(word完整版)初中数学二次函数动点问题

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精品九年级数学中考二次函数专题三动点问题

二次函数专题三动点问题1.已知抛物线3222+--+-=m m mx x y（1）证明抛物线的顶点一定在直线y=-x+3上；（2）若抛物线与x 轴交于M 、N 两点，当OM 〃ON=3，且OM ≠ON 时，求抛物线的解析式；（3）若（2）中所求抛物线顶点为C ，与y 轴交点在原点上方，抛物线的对称轴与x 轴交于点B ，直线y=-x+3与x 轴交于点A 。

点P 为抛物线对称轴上一动点，过点P 作PD ⊥AC ，垂足D 在线段AC 上。

试问：是否存在点P ，使ABC PAD S S ∆∆41=？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

2.如图，已知抛物线经过原点O 和x 轴上另一点A ,它的对称轴x =2 ，与x 轴交于点C ，直线y =-2x -1经过抛物线上一点B (-2,m )，且与y 轴、直线x =2分别交于点D 、E .（1）求m 的值及该抛物线对应的函数关系式；（2）求证：① CB =CE ；② D 是BE 的中点；（3）若P (x ，y )是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P ,使得PB =PE ,若存在，试求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由3.如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P 从点O 开始沿OA 边向点A 以l 厘米／秒的速度移动；点Q 从点B 开始沿BO 边向点O 以l 厘米，秒的速度移动．如果P 、Q 同时出发，用t(秒)表示移动的时间(0≤t ≤6)，那么 (1)设△POQ 的面积为y ，求y 关于t 的函数解析式；(2)当△POQ 的面积最大时，将△POQ 沿直线PQ 翻折后得到△PCQ ，试判断点C 是否落在直线AB 上，并说明理由；(3)当t 为何值时，△POQ 与△AOB 相似．4.如图，在Rt △ABO 中，OB=8,tan ∠OBA=43.若以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点C 在x 轴负半轴上，且OB ＝4OC.若抛物线c bx ax y ++=2经过点A 、B 、C .（1）求该抛物线的解析式；（2）设该二次函数的图象的顶点为P ，求四边形OAPB 的面积；（3）有两动点M,N 同时从点O 出发，其中点M 以每秒2个单位长度的速度沿折线OAB 按O →A →B的路线运动，点N 以每秒4个单位长度的速度沿折线按O →B →A 的路线运动，当M 、N 两点相遇时，它们都停止运动.设M 、N 同时从点O 出发t 秒时，△OMN 的面积为S . ①请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ②判断在①的过程中,t 为何值时，△OMN 的面积最大？5.如图，在平面直角坐标系中，以点(04)C ，为圆心，半径为4的圆交y 轴正半轴于点A ， AB 是C ⊙的切线．动点P 从点A 开始沿AB 方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q 从O 点开始沿x 轴正方向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P 、Q 从点A 和点O 同时出发，设运动时间为t (秒)．⑴当1t =时，得到1P 、1Q 两点，求经过A 、1P 、1Q 三点的抛物线解析式及对称轴l ； ⑵当t 为何值时，直线PQ 与C ⊙相切？并写出此时点P 和点Q 的坐标； ⑶在⑵的条件下，抛物线对称轴l 上存在一点N ，使N P N Q +最小，求出点N 的坐标并说明理由．l Q 1P 1yxQOPCBA6.已知：抛物线2y ax bx c =++()0a ≠，顶点()13C -，，与x 轴交于A 、B 两点，()10A -，． ⑴ 求这条抛物线的解析式． ⑵ 如图，以AB 为直径作圆，与抛物线交于点D ，与抛物线对称轴交于点E ，依次连接A 、D 、B 、E ，点P 为线段AB 上一个动点(P 与A 、B 两点不重合)，过点P 作PM AE ⊥于M ，PN DB ⊥于N ，请判断PM PNBE AD+是否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由． ⑶ 在⑵的条件下，若点S 是线段EP 上一点，过点S 作FG EP ⊥，FG 分别与边．AE 、BE 相交于点F 、G (F 与A 、E 不重合，G 与E 、B 不重合)，请判断PA EFPB EG=是否成立．若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．CxyBN M ADP O E7.如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P ，Q 都是斜边AB 上的动点，点P 从B 向A 运动（不与点B 重合），点Q 从A 向B 运动，BP=AQ ．点D ，E 分别是点A ，B 以Q ，P 为对称中心的对称点， HQ ⊥AB 于Q ，交AC 于点H ．当点E 到达顶点A 时，P ，Q 同时停止运动．设BP 的长为x ，△HDE 的面积为y ．（1）求证：△DHQ ∽△ABC ；（2）求y 关于x 的函数解析式并求y 的最大值；（3）当x 为何值时，△HDE 为等腰三角形？8.如图，在直角坐标系中，以点(30)A ，为圆心，以23为半径的圆与x 轴相交于点B,C ，与y 轴相交于点D,E ．（1）若抛物线213y x bx c =++经过C,D 两点，求抛物线的解析式，并判断点B 是否在该抛物线上．（2）在（1）中的抛物线的对称轴上求一点P ，使得PBD △的周长最小．（3）设Q 为（1）中的抛物线的对称轴上的一点，在抛物线上是否存在这样的点M ，使得四边形BCQM 是平行四边形．若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．9.已知抛物线y=ax2+4ax+t与x轴的一个焦点为A（-1，0）。

二次函数动点问题的解题技巧

二次函数动点问题的解题技巧
以下是 8 条关于二次函数动点问题的解题技巧：
1. 大胆设未知数呀！比如在一个直角坐标系里，有个二次函数图像上有个动点 P，那咱就大大方方设它的坐标为(x,y)，这样不就能更好地分析啦！就像给这个动点取了个名字，好指挥它呀！
2. 把条件都用上呀！可别漏了，像找到某个线段长度与动点坐标的关系，哎呀呀，这可是关键呢！比如已知一个线段的长度是 5，和动点 P 的横坐标有关，那可不能放过这个线索，得好好挖掘挖掘！
3. 找等量关系呀！这就好比寻宝，到处去找那些能关联起来的等量哦。

比如说一个三角形面积和另一个图形面积相等，这不就找到宝贝线索啦！
4. 注意特殊位置呀！嘿，动点有时候会跑到一些特殊的点呢，那可有意思啦。

比如它跑到对称轴上时，那说不定会有惊喜发现呢！像突然发现一些对称关系，多神奇呀！
5. 画画图呀！通过图形能更直观地看到动点的运动呀，这就像给你一双眼睛看着它怎么跑。

看看它跑到不同地方时整个图形发生的变化，多好玩呀！
6. 多试试分类讨论呀！有时候动点的情况不唯一呢，那咱就别怕麻烦，一种一种来。

难道还能被它难住不成？像动点在不同区间时可能有不同的结果，咱就一个个算清楚嘛！
7. 利用函数解析式呀！这可是个好宝贝，通过它能知道很多信息呢。

比如知道了二次函数的解析式，那动点在上面的一些性质不就清楚啦？
8. 要敢想敢做呀！别犹豫，大胆去尝试各种方法。

不试试看怎么知道行不行呢？就像冒险一样，多刺激呀！
总之，面对二次函数动点问题，别怕！勇敢地去探索，一定能找到答案的！。

中考数学二次函数动点问题-因动点产生的平行四边形问题

因动点产生的平行四边形问题例1 2013年上海市松江区中考模拟第24题如图1，已知抛物线y ＝－x 2＋bx ＋c 经过A (0, 1)、B (4, 3)两点．（1）求抛物线的解析式；（2）求tan ∠ABO 的值；（3）过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，在对称轴的左侧且平行于y 轴的直线交线段AB 于点N ，交抛物线于点M ，若四边形MNCB 为平行四边形，求点M 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“13松江24”，拖动点N 在直线AB 上运动，可以体验到，以M 、N 、C 、B 为顶点的平行四边形有4个，符合MN 在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB 只有一个．请打开超级画板文件名“13松江24”，拖动点N 在直线AB 上运动，可以体验到，MN 有4次机会等于3，这说明以M 、N 、C 、B 为顶点的平行四边形有4个，而符合MN 在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB 只有一个．思路点拨1．第（2）题求∠ABO 的正切值，要构造包含锐角∠ABO 的角直角三角形． 2．第（3）题解方程MN ＝y M －y N ＝BC ，并且检验x 的值是否在对称轴左侧．满分解答（1）将A (0, 1)、B (4, 3)分别代入y ＝－x 2＋bx ＋c ，得1,164 3.c b c =⎧⎨-++=⎩ 解得92b =，c ＝1．所以抛物线的解析式是2912y x x =-++．（2）在Rt △BOC 中，OC ＝4，BC ＝3，所以OB ＝5．如图2，过点A 作AH ⊥OB ，垂足为H ．在Rt △AOH 中，OA ＝1，4sin sin 5AOH OBC ∠=∠=，所以4sin 5AH OA AOH =⋅∠=．图2 所以35OH =，225BH OB OH =-=．在Rt △ABH 中，4222tan 5511AH ABO BH ∠==÷=．（3）直线AB 的解析式为112y x =+．设点M 的坐标为29(,1)2x x x -++，点N 的坐标为1(,1)2x x +，那么2291(1)(1)422MN x x x x x =-++-+=-+．当四边形MNCB 是平行四边形时，MN ＝BC ＝3．解方程－x 2＋4x ＝3，得x ＝1或x ＝3．因为x ＝3在对称轴的右侧（如图4），所以符合题意的点M 的坐标为9(1,)2（如图3）．图3 图4考点伸展第（3）题如果改为：点M 是抛物线上的一个点，直线MN 平行于y 轴交直线AB 于N ，如果M 、N 、B 、C 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标．那么求点M 的坐标要考虑两种情况：MN ＝y M －y N 或MN ＝y N －y M ．由y N －y M ＝4x －x 2，解方程x 2－4x ＝3，得27x =±（如图5）．所以符合题意的点M 有4个：9(1,)2，11(3,)2，57(27,)2--，57(27,)2++．图5例2 2012年福州市中考第21题如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动，动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动，过点P作PD//BC，交AB于点D，联结PQ．点P、Q分别从点A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动的时间为t秒（t≥0）．（1）直接用含t的代数式分别表示：QB＝_______，PD＝_______；（2）是否存在t的值，使四边形PDBQ为菱形？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由，并探究如何改变点Q的速度（匀速运动），使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度；（3）如图2，在整个运动过程中，求出线段PQ的中点M所经过的路径长．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“12福州21”，拖动左图中的点P运动，可以体验到，PQ的中点M的运动路径是一条线段．拖动右图中的点Q运动，可以体验到，当PQ//AB时，四边形PDBQ为菱形．请打开超级画板文件名“12福州21”，拖动点Q向上运动，可以体验到，PQ的中点M的运动路径是一条线段．点击动画按钮的左部，Q的速度变成1.07，可以体验到，当PQ//AB时，四边形PDBQ为菱形．点击动画按钮的中部，Q的速度变成1.思路点拨1．菱形PDBQ必须符合两个条件，点P在∠ABC的平分线上，PQ//AB．先求出点P运动的时间t，再根据PQ//AB，对应线段成比例求CQ的长，从而求出点Q的速度．2．探究点M的路径，可以先取两个极端值画线段，再验证这条线段是不是点M的路径．满分解答（1）QB＝8－2t，PD＝43t．（2）如图3，作∠ABC的平分线交CA于P ，过点P作PQ//AB交BC于Q，那么四边形PDBQ是菱形．过点P作PE⊥AB，垂足为E，那么BE＝BC＝8．在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝10．图3在Rt△APE中，23cos5AEAAP t===，所以103t=．当PQ//AB时，CQ CPCB CA=，即106386CQ-=．解得329CQ=．所以点Q的运动速度为3210169315÷=．（3）以C为原点建立直角坐标系．如图4，当t＝0时，PQ的中点就是AC的中点E(3，0)．如图5，当t＝4时，PQ的中点就是PB的中点F(1，4)．直线EF的解析式是y＝－2x＋6．如图6，PQ的中点M的坐标可以表示为（62t-，t）．经验证，点M（62t-，t）在直线EF上．所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长，EF＝25．图4 图5 图6考点伸展第（3）题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数：当t＝2时，PQ的中点为(2，2)．设点M的运动路径的解析式为y＝ax2＋bx＋c，代入E(3，0)、F(1，4)和(2，2)，得930,4,42 2.a b ca b ca b c++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩解得a＝0，b＝－2，c＝6．所以点M的运动路径的解析式为y＝－2x＋6．例3 2012年烟台市中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B(1, 0)、C(3, 0)、D(3, 4)．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点C出发，沿线段CD向点D运动．点P、Q的运动速度均为每秒1个单位，运动时间为t秒．过点P作PE⊥AB交AC 于点E．（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；（2）过点E作EF⊥AD于F，交抛物线于点G，当t为何值时，△ACG的面积最大？最大值为多少？（3）在动点P、Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形ABCD内（包括边界）存在点H，使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值．图1动感体验请打开几何画板文件名“12烟台26”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，当P在AB的中点时，△ACG的面积最大．观察右图，我们构造了和△CEQ中心对称的△FQE和△ECH′，可以体验到，线段EQ 的垂直平分线可以经过点C和F，线段CE的垂直平分线可以经过点Q和H′，因此以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个．请打开超级画板文件名“12烟台26”，拖动点P在AB上运动，可以体验到，当P在AB 的中点时，即t=2，△ACG的面积取得最大值1．观察CQ，EQ，EC的值，发现以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个．点击动画按钮的左部和中部，可得菱形的两种准确位置。

二次函数的动点问题(等腰、直角三角形的存在性问题)

_ Q_ G_P_ O二次函数中的动点问题三角形的存在性问题一、技巧提炼1、利用待定系数法求抛物线解析式的常用形式〔1〕、【一般式】抛物线上任意三点时，通常设解析式为，然后解三元方程组求解；〔2〕、【顶点式】抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点时，通常设解析式为求解；2、二次函数y=ax 2+bx+c 与x 轴是否有交点，可以用方程ax 2+bx+c = 0是否有根的情况进展判定；判别式ac b 42-=∆ 二次函数与x 轴的交点情况一元二次方程根的情况 △ ＞ 0与x 轴交点方程有的实数根△ ＜ 0 与x 轴交点实数根 △ ＝ 0与x 轴交点方程有的实数根3、抛物线上有两个点为A 〔x 1，y 〕，B 〔x 2，y 〕 (1)对称轴是直线2x 21x x +=(2)两点之间距离公式：两点()()2211y ,x Q ,y ,x P ，那么由勾股定理可得：221221)()(y y x x PQ -+-=练一练：A 〔0，5〕和B 〔－2，3〕，那么AB ＝。

4、常见考察形式1〕A 〔1,0〕，B 〔0，2〕，请在下面的平面直角坐标系坐标轴上找一点C ，使△ABC 是等腰三角形；总结：两圆一线方法规律:平面直角坐标系中一条线段，构造等腰三角形，用的是“两圆一线〞：分别以线段的两个端点为圆心，线段长度为半径作圆，再作线段的垂直平分线；2〕A 〔-2,0〕，B 〔1，3〕，请在平面直角坐标系中坐标轴上找一点C ，使△ABC 是直角三角形；总结：两线一圆方法规律{平面直角坐标系中一条线段，构造直角三角形，用的是“两线一圆〞：分别过线段的两个端点作线段的垂线，再以线段为直径作圆； 5、求三角形的面积：〔1〕直接用面积公式计算；〔2〕割补法；〔3〕铅垂高法；如图，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽〞〔a 〕，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高〞〔h 〕．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S △ABC =12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半。

九年级数学上册第二十二章二次函数全部重要知识点(带答案)

九年级数学上册第二十二章二次函数全部重要知识点单选题1、已知二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下，对称轴为直线x=−1，且经过点(−3，0)，则下列结论正确的是（）A．b>0B．c<0C．a+b+c>0D．3a+c=0答案：D=−1，得b=2a，则b<0，图象经过(−3，0)，根据对分析：图象开口向下，得a<0，对称轴为直线x=−b2a称性可知，图象经过点(1，0)，故c>0，当x=1时，a+b+c=0，将b=2a代入，可知3a+c=0．解：∵图象开口向下，∴a<0，∵对称轴为直线x=−b=−1，2a∴b=2a，∴b<0，故A不符合题意；根据对称性可知，图象经过(−3，0)，∴图象经过点(1，0)，当x=1时，a+b+c=0，故C不符合题意；∴c=-a-b，∴c>0，故B不符合题意；将b=2a代入，可知3a+c=0，故D符合题意．故选：D．小提示：本题考查了二次函数的性质和图象，对称轴及对称性，与坐标轴的交点，熟练地掌握二次函数的图象特征是解决问题的关键．2、在平面直角坐标系中，将二次函数y=x2的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（）A．y=(x−2)2+1B．y=(x+2)2+1C．y=(x+2)2−1D．y=(x−2)2−1答案：B分析：先求出平移后抛物线的顶点坐标，进而即可得到答案．解：∵y=x2的顶点坐标为（0，0）∴将二次函数y=x2的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（-2，1），∴所得抛物线对应的函数表达式为y=(x+2)2+1，故选B小提示：本题主要考查二次函数的平移规律，找出平移后二次函数图像的顶点坐标或掌握“左加右减，上加下减”，是解题的关键．3、如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A(−2,0),B(6,0)，与y轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①b2−4ac>0；②4a+b=0；③当y>0时，−2<x<6；④a+b+c<0．其中正确的个数为（）A．4B．3C．2D．1答案：B分析：根据二次函数的图像与性质，逐一判断即可．解：∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(−2,0)、B(6,0)，∴抛物线对应的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根，即△=b2−4ac＞0，故①正确；对称轴为x=−b2a =6−22，整理得4a＋b＝0，故②正确；由图像可知，当y＞0时，即图像在x轴上方时，x＜－2或x＞6，故③错误，由图像可知，当x＝1时，y=a+b+c＜0，故④正确．∴正确的有①②④，故选：B．小提示：本题考查二次函数的性质与一元二次方程的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．4、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4√3cm，CD⊥AB，垂足为点D，动点M从点A出发沿AB方向以√3cm/s的速度匀速运动到点B，同时动点N从点C出发沿射线DC方向以1cm/s的速度匀速运动．当点M停止运动时，点N也随之停止，连接MN，设运动时间为t s，△MND的面积为S cm2，则下列图象能大致反映S与t之间函数关系的是（）A．B．C．D．答案：B分析：分别求出M在AD和在BD上时△MND的面积为S关于t的解析式即可判断．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB=4√3，∴∠B＝60°，BC=1AB=2√3，AC=√3BC=6，2∵CD⊥AB，∴CD=12AC=3，AD=√3CD=3√3，BD=12BC=√3，∴当M在AD上时，0≤t≤3，MD=AM−AD=3√3−√3t，DN=DC＋CN=3＋t，∴S=12MD·DN=12(3√3−√3t)(3+t)=−√32t2+9√32，当M在BD上时，3＜t≤4，MD=AD−AM=√3t−3√3，∴S=12MD·DN=12(√3t−3√3)(3+t)=√32t2−9√32，故选：B．小提示：本题考查了动点问题的函数图象，函数图象是典型的数形结合，图象应用信息广泛，通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力．5、三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）A．4√3米B．5√2米C．2√13米D．7米答案：B分析：根据题意，可以画出相应的抛物线，然后即可得到大孔所在抛物线解析式，再求出顶点为A的小孔所在抛物线的解析式，将x=﹣10代入可求解．解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN=4，EF=14，BC=10，DO=32，设大孔所在抛物线解析式为y =ax 2+32， ∵BC =10，∴点B （﹣5，0），∴0=a ×（﹣5）2+32， ∴a =-350， ∴大孔所在抛物线解析式为y =-350x 2+32，设点A （b ，0），则设顶点为A 的小孔所在抛物线的解析式为y =m （x ﹣b ）2，∵EF =14，∴点E 的横坐标为-7，∴点E 坐标为（-7，-3625）， ∴-3625=m （x ﹣b ）2， ∴x 1=65√−1m +b ，x 2=-65√−1m +b ，∴MN =4，∴|65√−1m +b -（-65√−1m +b ）|=4 ∴m =-925， ∴顶点为A 的小孔所在抛物线的解析式为y =-925（x ﹣b ）2， ∵大孔水面宽度为20米，∴当x =-10时，y =-92， ∴-92=-925（x ﹣b ）2， ∴x 1=52√2+b ，x 2=-5√22+b ， ∴单个小孔的水面宽度=|（52√2+b ）-（-52√2+b ）|=5√2（米），故选：B ．小提示：本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．6、如图，顶点为(−3,−6)的抛物线y =ax 2+bx +c 经过点(−1,−4)，则下列结论中正确的是（）A ．b 2−4ac ≥0B ．若点(−2,m),(−4,n)都在抛物线上，则m >nC ．当x <−3时，y 随x 的增大而减小D ．关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =−7有两个不等的实数根答案：C分析：由抛物线与x 轴有两个交点则可对A 进行判断；根据抛物线上的点离对称轴的远近，则可对B 进行判断；由抛物线的增减性可直接判断C 选项；根据二次函数的最值可对D 进行判断．解：A 、图像与x 轴有两个交点，方程ax 2+bx +c =0有两个不相等的实数根，b 2-4ac ＞0，故A 选项不符合题意；B、抛物线的对称轴为直线x=-3，因为-2离对称轴的距离等于-4离对称轴的距离，所以m=n，故B选项不符合题意；C、顶点为（-3，-6），则对称轴为直线x=-3，抛物线开口向上，则当x＜-3时，y随x的增大而减小，故C 选项符合题意；D、由抛物线开口向上及顶点为（-3，-6）可知，此函数的最小值为-6，则ax2+bx+c=-7（a≠0）没有实数根，故D选项不符合题意．故选：C．小提示：本题综合考查了二次函数的性质，属于基础题，且难度适中；考查了根的判别式、最值与顶点坐标的关系，及一元二次方程与二次函数的关系等方面的内容，掌握相关基础知识是解题关键．7、已知实数x，y满足x+y=12，则xy−2的最大值为（）A．10B．22C．34D．142答案：C分析：利用二次函数的性质求解即可．解：∵x+y=12，∴y=12-x，∴xy-2=x(12-x)-2=-x2+12x-2=-(x-6)2+34，∵-1＜0，∴当x=6时，xy-2有最大值，最大值为34，故选：C．小提示：本题考查二次函数的性质，会利用二次函数的性质求最值是解答的关键．8、已知二次函数y=ax2+2ax+a−1的图象只经过三个象限，下列说法正确的是（）A．开口向下B．顶点在第一象限C．a≥1D．当x>1时，y的最小值为－1答案：C分析：二次函数y=ax2+2ax+a−1的图象只经过三个象限，要满足条件，常数项大于等于0，解不等式即得．∵二次函数y =ax 2+2ax +a −1的图象只经过三个象限，∴a -1≥0，∴a ≥1．故选C ．小提示：本题考查了二次函数y =ax 2+2ax +a −1的图象只经过三个象限，运用函数图象与x 轴的两个交点横坐标的积大于等于0，即常数项大于等于0，是解决此类问题的关键．9、抛物线y =ax 2+bx +c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表：下列结论不正确的是（）A ．抛物线的开口向下B ．抛物线的对称轴为直线x =12C ．抛物线与x 轴的一个交点坐标为(2,0)D ．函数y =ax 2+bx +c 的最大值为254 答案：C 分析：利用待定系数法求出抛物线解析式，由此逐一判断各选项即可解：由题意得{4a −2b +c =0a −b +c =4c =6，解得{a =−1b =1c =6，∴抛物线解析式为y =−x 2+x +6=−(x −12)2+254， ∴抛物线开口向下，抛物线对称轴为直线x =12，该函数的最大值为254，故A 、B 、D 说法正确，不符合题意；令y =0，则−x 2+x +6=0，解得x =3或x =−2，∴抛物线与x 轴的交点坐标为（-2，0），（3，0），故C 说法错误，符合题意；故选C ．小提示：本题主要考查了二次函数的性质，正确求出二次函数解析式是解题的关键．10、如图，某公司准备在一个等腰直角三角形ABC 的绿地上建造一个矩形的休闲书吧PMBN ，其中点P 在AC 上，点NM 分别在BC ，AB 上，记PM=x ，PN=y ，图中阴影部分的面积为S ，若NP 在一定范围内变化，则y 与x ，S与x 满足的函数关系分别是（）A ．反比例函数关系，一次函数关系B ．二次函数关系，一次函数关系C ．一次函数关系，反比例函数关系D ．一次函数关系，二次函数关系答案：D分析：先求出AM =PM ，利用矩形的性质得出y =﹣x +m ，最后利用S =S △ABC －S 矩形PMBN 得出结论．设AB =m （m 为常数）．在△AMP 中，∠A =45°，AM ⊥PM ，∴△AMP 为等腰直角三角形，∴AM =PM ，又∵在矩形PMBN 中，PN =BM ，∴x +y =PM +PN =AM +BM =AB =m ，即y =﹣x +m ，∴y 与x 成一次函数关系，∴S =S △ABC －S 矩形PMBN =12m 2-xy =12m 2-x （﹣x +m ）=x 2-mx +12m 2， ∴S 与x 成二次函数关系．故选D ．小提示：本题考查了一次函数的实际应用及二次函数的实际应用，解题的关键是掌握根据题意求出y 与x 之间的函数关系式．填空题11、在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝mx －2mx ＋m －2（m ＞0）．（1）抛物线的顶点坐标为_________；（2）点M（x1，y1）、N（x2，y2）（x1＜x2≤3）是拋物线上的两点，若y1＜y2，x2－x1＝2，则y2的取值范围为_________（用含m的式子表示）答案：（1，-2）m−2<y2≤4m−2分析：（1）将二次函数解析式化为顶点式求解；（2）抛物线的对称轴为直线x=1，得到当点M，N关于抛物线的对称轴对称时，x1+x2=2，结合x2-x1=2，可得x1=0，x2 =2，得到当2＜x2≤3时，y1＜y2，再将x=2、x=3代入函数关系式进行求解即可．（1）∵y＝mx2－2mx＋m－2=m(x−1)2−2，∴抛物线顶点坐标为（1，-2），故答案为（1，-2）．（2）∵抛物线的对称轴为直线x=1，∴当点M，N关于抛物线的对称轴对称时，x1+x2=2，结合x2-x1=2，可得x1=0，x2 =2，∴当2＜x2≤3时，y1＜y2，对于y=m（x-1）2-2，当x =2时，y=m-2；当x=3时，y=4m-2，∴m−2<y2≤4m−2．小提示：本题考查二次函数图象上的点的特征，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系．12、如图，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于点(−1,0)和点(2,0)，以下结论：①abc<0；②4a−2b+c<0；③a+b=0；④当x<1时，y随x的增大而减小．其中正确的结论有2___________．（填写代表正确结论的序号）答案：①②##②①分析：根据二次函数的对称轴位置和抛物线开口方向确定①③，根据x＝-2时判定②，由抛物线图像性质判定④．解：①抛物线的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＞0，故abc＜0，故正确；②x＝-2时，函数值小于0，则4a-2b+c＜0，故正确；③与x轴交于点(−1,0)和点(2,0)，则对称轴x=−b2a =−1+22=−12，故a=b，故③错误；④当x<12时，图像位于对称轴左边，y随x的增大而减大．故④错误；综上所述，正确的为①②．所以答案是：①②．小提示：本题考查了二次函数的图像和性质，要求熟悉掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．13、阳光超市里销售的一种水果，每千克的进价为10元，销售过程中发现，每天销量y（kg）与销售单价x （元）之间满足一次函数y=−x+50的关系.若不计其他成本（利润=售价-进价），则该超市销售这种水果每天能够获得的最大利润是_________元．答案：400分析：设超市销售这种水果每天能够获得的利润是w元，由题意得w=-（x-30）2+400，再根据二次函数的性质可得答案．解：设超市销售这种水果每天能够获得的利润是w元，由题意得，w=(x−10)(−x+50)=−x2+60x−500=−(x−30)2+400，∵a=-1＜0，∴当x=30时，w最大为400元，所以答案是：400．小提示：本题考查二次函数的实际应用，根据题意得到二次函数的关系式是解题关键．14、某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为______________元（利润=总销售额-总成本）．答案：121分析：利用待定系数法求一次函数解析式，然后根据“利润=单价商品利润×销售量”列出二次函数关系式，从而根据二次函数的性质分析其最值．解：当10≤x ≤20时，设y =kx +b ，，把（10，20），（20，10）代入可得：{10k +b =2020k +b =10，解得{k =−1b =30， ∴每天的销售量y （个）与销售价格x （元/个）的函数解析式为y =−x +30，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w 元，w =(x −8)y =(x −8)(−x +30)=−x 2+38x −240=−(x −19)2+121，∵−1<0，∴当x =19时，w 有最大值为121，所以答案是：121．小提示：本题考查二次函数的应用，理解题意，掌握“利润=单价商品利润×销售量”的等量关系及二次函数的性质是解题关键．15、已知点（3，a ）在抛物线y =-2x 2+2x 上，则a =______．答案：-12分析：把点（3，a ）代入解析式即可求得a 的值．解：∵点（3，a ）在抛物线y =-2x 2+2x 上，∴a =-2×32+2×3=-18+6=-12，所以答案是：-12．小提示：本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．解答题16、已知y=(k+2)x k2+k−4是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大．（1）求k的值；（2）直接写出顶点坐标和对称轴．答案：（1）k=-3；（2）顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴．分析：（1）根据二次函数的次数是二，可得方程，根据二次函数的性质，可得k+2<0，可得答案；（2）根据二次函数的解析式，可得顶点坐标，对称轴．解：（1）由y=(k+2)x k2+k−4是二次函数，且当x<0时，y随x的增大而增大，得{k 2+k−4=2k+2<0，解得k=-3；（2）由（1）得二次函数的解析式为y=-x2，y=-x2的顶点坐标是（0，0），对称轴是y轴．小提示：本题考查了二次函数的定义以及二次函数的性质，利用二次函数的定义得出方程是解题关键．17、如图，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于A，B两点，y与轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（-1 ，0），C（0，3）．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上有一点M ，使得MA +MC 的值最小，求此点M 的坐标；(3)在抛物线的对称轴上是否存在P 点，使△PCD 是等腰三角形，如果存在，求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由．答案：(1)y =−x 2+2x +3(2)点M 坐标（1，2）(3)存在，点P 坐标为（1，6），（1，√10），（1，−√10），（1，53）分析：（1）把A 、C 两点的坐标代入y =-x 2+bx +c ，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式；（2）由抛物线的对称性可知点A 与点B 关于对称轴对称，所以BC 与抛物线对称轴的交点为M ，此时MA+MC 最小，即MA+MC 最小值等于线段BC 长，求出直线BC 与抛物线对称轴交点M 坐标即可；（3）分两种情况讨论：i )当△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论：①PC =CD ；②PD =CD ．设出点P 的坐标，利用两点间的距离公式列出方程求解即可； ii )当△PCD 是以CD 为底的等腰三角形时，点P 在CD 的垂直平分线上，PC=PD ，利用两点间的距离公式列出方程求解即可．（1）解：把A （-1，0），C （0，3）代入y =-x 2+bx +c ，得：{−1−b +c =0c =3 ，解得：{b =2c =3， ∴抛物线的解析式为：y =-x 2+2x +3；（2）解：由抛物线的对称性可知点A 与点B 关于抛物线的对称轴对称，所以设BC 与抛物线对称轴的交点为M ，此时MA+MC 最小，即MA+MC 最小值=BC ，如图，∵y =-x 2+2x +3=-（x -1）2+4；∴抛物线的对称轴为直线x =1，∵A （-1，0），点A 与点B 关于抛物线的对称轴对称，∴B （3，0），设直线BC 解析式为y =kx +m ，则{−k +m =0m =3 ，解得{k =−1m =3， ∴直线BC 解析式为y =-x +3，当x =1时，y =2，∴M （1，2）．（3）解：∵y =-x 2+2x +3=-（x -1）2+4，∴对称轴为直线x =1，∴D （1，0）．设点P 的坐标为（1，t ），∵C （0，3），∴CD 2=12+32=10．分两种情况讨论：i )当△PCD 是以CD 为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论：①若PC =CD ，则12+（t -3）2=10，解得t =0（舍弃）或6，所以点P 的坐标为（1，6）；②若PD =CD ，则t 2=10，解得t=±√10，所以点P 的坐标为（1，√10）或（1，-√10）； ii )当△PCD 是以CD 为底的等腰三角形时，PC =PD ，则1+（t -3）2=t 2，解得：t =53，所以点P 的坐标为（1，53）；综上所述，点P 的坐标有三个，分别是（1，6）或（1，√10））或（1，-√10）或（1，53）．小提示：本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的性质、利用轴对称求最短距离；难度适中，在考虑构建等腰三角形时，采用了分类讨论的思想．18、园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃ABCD ．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃ABCD 的一边CD 长为x 米．(1)BC 长为________米（包含门宽，用含x 的代数式表示）；(2)若苗圃ABCD 的面积为96m 2，求x 的值；(3)当x 为何值时，苗圃ABCD 的面积最大，最大面积为多少？答案：(1)（36-3x ）(2)8(3)当x 为223米时，苗圃ABCD 的最大面积为3083平方米分析：（1）根据木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃ABCD 的一边CD 长为x 米，即得BC 的长为（36-3x ）米；（2）根据题意得，x ·(36−3x )=96，即可解得x 的值；（3）设苗圃ABCD 的面积为w ，w =x ·(36−3x )=−3(x −6)2+108，由二次函数的性质可得答案．（1）∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃ABCD 的一边CD 长为x 米，BC 的长为32-3x +4=（36-3x ）米，所以答案是：（36-3x ）；（2）根据题意得，x ·(36−3x )=96，解得，x =4或x =8，∵当x =4时，36-3x =24>14，∴x =4舍去，∴x 的值为8；（3）设苗圃ABCD 的面积为w ，w =x ·(36−3x )=−3(x −6)2+108，∵4<36-3x ≤14，∴223≤x <323，∵-3<0，图象开口向下，∴当x =223时，w 取得最大值，w 最大为3083；答：当x 为223米时，苗圃ABCD 的最大面积为3083平方米．小提示：本题考查了二次函数的应用，解题的关键是读懂题意，根据已知列方程和函数关系式．。

2014中考数学二次函数与四边形的动点问题(含答案)

72x =B(0,4)A(6,0)EFxyO二次函数与四边形一．二次函数与四边形的形状例1.(浙江义乌市) 如图，抛物线223y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中C 点的横坐标为2．（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；（3）点G 是抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．例1.解：（1）令y=0，解得11x =-或23x =∴A （-1，0）B （3，0）；将C 点的横坐标x=2代入223y x x =--得y=-3，∴C （2，-3）∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 （2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2）则P 、E 的坐标分别为：P （x ，-x-1）， E （2(,23)x x x --∵P 点在E 点的上方，PE=22(1)(23)2x x x x x -----=-++ ∴当12x =时，PE 的最大值=94（3）存在4个这样的点F ，分别是1234(1,0),(3,0),(470),(47,0)F F F F -+-，练习 1.解：（1）由抛物线的对称轴是72x =，可设解析式为27()2y a x k =-+．把A 、B 两点坐标代入上式，得227(6)0,27(0) 4.2a k a k ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解之，得225,.36a k ==- 故抛物线解析式为22725()326y x =--，顶点为725(,).26- （2）∵点(,)E x y 在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合22725()326y x =--， ∴y<0，即－y>0,－y 表示点E 到OA 的距离．∵OA 是OEAF 的对角线， ∴2172264()2522OAE S S OA y y ==⨯⨯⋅=-=--+ ．因为抛物线与x 轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x 的取值范围是1＜x ＜6． ①根据题意，当S = 24时，即274()25242x --+=．A72x =B(0,4) A(6,0)E FxyO化简，得271().24x -=解之，得123, 4.x x == 故所求的点E 有两个，分别为E 1（3，－4），E 2（4，－4）．点E 1（3，－4）满足OE = AE ，所以OEAF 是菱形；点E 2（4，－4）不满足OE = AE ，所以OEAF 不是菱形． ② 当OA ⊥EF ，且OA = EF 时，OEAF 是正方形，此时点E 的坐标只能是（3，－3）．而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E ，使OEAF 为正方形．练习1.(河南省实验区) 23．如图，对称轴为直线72x =的抛物线经过点A （6，0）和B （0，4）．（1）求抛物线解析式及顶点坐标；（2）设点E （x ，y ）是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA 为对角线的平行四边形．求平行四边形OEAF 的面积S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；①当平行四边形OEAF 的面积为24时，请判断平行四边形OEAF 是否为菱形？②是否存在点E ，使平行四边形OEAF 为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．练习 2.（四川省德阳市）25.如图，已知与x 轴交于点(10)A ，和(50)B ，的抛物线1l 的顶点为(34)C ，，抛物线2l 与1l 关于x 轴对称，顶点为C '．（1）求抛物线2l 的函数关系式；5- 4- 3- 2- 1- 1 234554321 A EBC '1- O2l1lxy（2）已知原点O ，定点(04)D ，，2l 上的点P 与1l 上的点P '始终关于x 轴对称，则当点P 运动到何处时，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形？（3）在2l 上是否存在点M ，使ABM △是以AB 为斜边且一个角为30的直角三角形？若存，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由．练习3.（山西卷）如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -，，(20)B -，，(08)E ，．（1）求抛物线1C关于原点对称的抛物线2C 的解析式；（2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值；（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．二．二次函数与四边形的面积例1.（资阳市）25.如图10，已知抛物线P ：y=ax 2+bx+c(a ≠0) 与x 轴交于A 、B 两点(点A 在x 轴的正半轴上)，与y 轴交于点C ，矩形DEFG 的一条边DE 在线段AB 上，顶点F 、G 分别在线段BC 、AC 上，抛物线P 上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：x…-3-212…5-4-3-2-1- 1 2 3 455 4 3 2 1 A EBC '1- O 2l 1lx yy …-52-4-520 …(1) 求A 、B 、C 三点的坐标；(2) 若点D 的坐标为(m ，0)，矩形DEFG 的面积为S ，求S 与m 的函数关系，并指出m 的取值范围；(3) 当矩形DEFG 的面积S 取最大值时，连接DF 并延长至点M ，使FM=k ·DF ，若点M 不在抛物线P 上，求k 的取值范围.练习1.（辽宁省十二市2007年第26题）．如图，平面直角坐标系中有一直角梯形OMNH ，点H 的坐标为（－8，0），点N 的坐标为（－6，－4）．（1）画出直角梯形OMNH 绕点O 旋转180°的图形OABC ，并写出顶点A ，B ，C 的坐标（点M 的对应点为A ，点N 的对应点为B ，点H 的对应点为C ）；（2）求出过A ，B ，C 三点的抛物线的表达式；（3）截取CE =OF =AG =m ，且E ，F ，G 分别在线段CO ，OA ，AB 上，求四边形BEFG 的面积S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；面积S 是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由；（4）在（3）的情况下，四边形BEFG 是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m 的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由．练习3.（吉林课改卷）如图，正方形ABCD 的边长为2cm ，在对称中心O 处有一钉子．动点P ，Q 同时从点A 出发，点P 沿A B C →→方向以每秒2cm 的速度运动，到点C 停止，点Q 沿A D→方向以每秒1cm 的速度运动，到点D 停止．P ，Q 两点用一条可伸缩的细橡皮筋联结，设x 秒后橡图10皮筋扫过的面积为2cm y ．（1）当01x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式；（2）当橡皮筋刚好触及钉子时，求x 值；（3）当12x ≤≤时，求y 与x 之间的函数关系式，并写出橡皮筋从触及钉子到运动停止时POQ ∠的变化范围；（4）当02x ≤≤时，请在给出的直角坐标系中画出y 与x 之间的函数图象．练习4.（四川资阳卷）如图，已知抛物线l 1：y =x 2-4的图象与x 轴相交于A 、C 两点，B 是抛物线l 1上的动点(B 不与A 、C 重合)，抛物线l 2与l 1关于x 轴对称，以AC 为对角线的平行四边形ABCD 的第四个顶点为D .(1) 求l 2的解析式；(2) 求证：点D 一定在l 2上；(3) □ABCD 能否为矩形？如果能为矩形，求这些矩形公共部分的面积(若只有一个矩形符合条件，则求此矩形的面积)；如果不能为矩形，请说明理由. 注：计算结果不取近似值.三．二次函数与四边形的动态探究例1.(荆门市)28. 如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC ，已知O (0，0)，A (4，0)，C (0，3)，点P 是OA 边上的动点(与点O 、A 不重合)．现将△PAB 沿PB 翻折，得到△PDB ；再在OC 边上选取适当的点E ，将△POE 沿PE 翻折，得到△PFE ，并使直线PD 、PF 重合．(1)设P (x ，0)，E (0，y )，求y 关于x 的函数关系式，并求y 的最大值；(2)如图2，若翻折后点D 落在BC 边上，求过点P 、B 、E 的抛物线的函数关系式；B C PO D QA BPCO DQ A y321O12 x(3)在(2)的情况下，在该抛物线上是否存在点Q ，使△PEQ 是以PE 为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q 的坐标．例2.（2010年沈阳市第26题）、已知抛物线y ＝ax2＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB <OC ）是方程x 2－10x ＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2．（1）求A 、B 、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）连接AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围；（4）在（3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由．例3..(湖南省郴州) 27．如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，将矩形ABCD 沿对角线A 平移，平移后的矩形为EFGH （A 、E 、C 、G 始终在同一条直线上），当点E 与C 重时停止移动．平移中EF 与BC 交于点N ，GH 与BC 的延长线交于点M ，EH 与DC 交于点P ，FG 与DC 的延长线交于点Q ．设S 表示矩形PCMH 的面积，S '表示矩形NFQC 的面积．（1） S 与S '相等吗？请说明理由．（2）设AE ＝x ，写出S 和x 之间的函数关系式，并求出x 取何值时S 有最大值，最大值是多少？图 2OC A Bxy DPE F 图 1FE P D y xBA C O（3）如图11，连结BE ，当AE 为何值时，ABE 是等腰三角形．练习1.（07年河池市）如图12，四边形OABC 为直角梯形，A （4，0），B （3，4），C （0，4）．点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ．（1）点（填M 或N ）能到达终点；（2）求△AQM 的面积S 与运动时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围，当t 为何值时，S 的值最大；（3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的坐标，若不存在，说明理由．练习2..(江西省) 25．实验与探究（1）在图1，2，3中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），写出图1，2，3中的顶点C 的坐标，它们分别是(52)，，，； x NM QP H G FE D C B A 图11 Q P N M H GF E D C B A 图10图12yxPQBCNMOA（2）在图4中，给出平行四边形ABCD 的顶点A B D ，，的坐标（如图所示），求出顶点C 的坐标（C 点坐标用含a b c d e f ，，，，，的代数式表示）；归纳与发现（3）通过对图1，2，3，4的观察和顶点C 的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形ABCD 处于直角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为()()()()A a b B c d C m n D e f ，，，，，，，（如图4）时，则四个顶点的横坐标a c m e ，，，之间的等量关系为；纵坐标b d n f ，，，之间的等量关系为（不必证明）；运用与推广（4）在同一直角坐标系中有抛物线2(53)y x c x c =---和三个点15192222G c c S c c ⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，(20)H c ，（其中0c >）．问当c 为何值时，该抛物线上存在点P ，使得以G S H P ，，，为顶点的四边形是平行四边形？并求出所有符合条件的P 点坐标．答案：一．二次函数与四边形的形状例1.解：（1）令y=0，解得11x =-或23x =∴A （-1，0）B （3，0）；yC()A(40)D ，(12)B ，O x图1yC()A(0)D e ，()B c d ，O x图2yC()A a b ， ()D e b ，()B c d ，Ox图3y C()A a b ，()D e f ，()B c d ，Ox图472x =B(0,4)A(6,0)EFxyO将C 点的横坐标x=2代入223y x x =--得y=-3，∴C （2，-3）∴直线AC 的函数解析式是y=-x-1 （2）设P 点的横坐标为x （-1≤x ≤2）则P 、E 的坐标分别为：P （x ，-x-1）， E （2(,23)x x x --∵P 点在E 点的上方，PE=22(1)(23)2x x x x x -----=-++ ∴当12x =时，PE 的最大值=94（3）存在4个这样的点F ，分别是1234(1,0),(3,0),(470),(47,0)F F F F -+-，练习 1.解：（1）由抛物线的对称轴是72x =，可设解析式为27()2y a x k =-+．把A 、B 两点坐标代入上式，得227(6)0,27(0) 4.2a k a k ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩ 解之，得225,.36a k ==- 故抛物线解析式为22725()326y x =--，顶点为725(,).26- （2）∵点(,)E x y 在抛物线上，位于第四象限，且坐标适合22725()326y x =--， ∴y<0，即－y>0,－y 表示点E 到OA 的距离．∵OA 是OEAF 的对角线， ∴2172264()2522OAE S S OA y y ==⨯⨯⋅=-=--+ ．因为抛物线与x 轴的两个交点是（1，0）的（6，0），所以，自变量x 的取值范围是1＜x ＜6． ③根据题意，当S = 24时，即274()25242x --+=．化简，得271().24x -=解之，得123, 4.x x == 故所求的点E 有两个，分别为E 1（3，－4），E 2（4，－4）．点E 1（3，－4）满足OE = AE ，所以OEAF 是菱形；点E 2（4，－4）不满足OE = AE ，所以OEAF 不是菱形． ④ 当OA ⊥EF ，且OA = EF 时，OEAF 是正方形，此时点E 的坐标只能是（3，－3）．而坐标为（3，－3）的点不在抛物线上，故不存在这样的点E ，使OEAF 为正方形．练习2.解：（1）由题意知点C '的坐标为(34)-，．设2l 的函数关系式为2(3)4y a x =--．又点(10)A ，在抛物线2(3)4y a x =--上，2(13)40a ∴--=，解得1a =． ∴抛物线2l 的函数关系式为2(3)4y x =--（或265y x x =-+）． 4-3-2- 1-1 2 3 4554 3 2 1 AEBC '1- O 2lxy5-4-3-2-1-12 3D554 32 1 ACEMBC '1-O2l 1l xy（2）P 与P '始终关于x 轴对称， PP '∴与y 轴平行．设点P 的横坐标为m ，则其纵坐标为265m m -+，4OD = ，22654m m ∴-+=，即2652m m -+=±．当2652m m -+=时，解得36m =±．当2652m m -+=-时，解得32m =±．∴当点P 运动到(362)-，或(362)+，或(322)--，或(322)+-，时，P P OD '∥，以点D O P P '，，，为顶点的四边形是平行四边形．（3）满足条件的点M 不存在．理由如下：若存在满足条件的点M 在2l 上，则90AMB ∠= ，30BAM ∠= （或30ABM ∠= ）， 114222BM AB ∴==⨯=．过点M 作ME AB ⊥于点E ，可得30BME BAM ∠=∠=．112122EB BM ∴==⨯=，3EM =，4OE =． ∴点M 的坐标为(43)-，．但是，当4x =时，246451624533y =-⨯+=-+=-≠-．∴不存在这样的点M 构成满足条件的直角三角形．练习3. [解] （1）点(40)A -，，点(20)B -，，点(08)E ，关于原点的对称点分别为(40)D ，，(20)C ，，(08)F -，．设抛物线2C 的解析式是2(0)y ax bx c a =++≠，则16404208a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=-⎩，，．解得168a b c =-⎧⎪=⎨⎪=-⎩，，．所以所求抛物线的解析式是268y x x =-+-．（2）由（1）可计算得点(31)(31)M N --，，，．过点N 作NH AD ⊥，垂足为H ．当运动到时刻t 时，282AD OD t ==-，12NH t =+．根据中心对称的性质OA OD OM ON ==，，所以四边形MDNA 是平行四边形．所以2AD NS S =△．所以，四边形MDNA 的面积2(82)(12)4148S t t t t =-+=-++．因为运动至点A 与点D 重合为止，据题意可知04t <≤．所以，所求关系式是24148S t t =-++，t 的取值范围是04t <≤．（3）781444S t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭，（04t <≤）．所以74t =时，S 有最大值814．提示：也可用顶点坐标公式来求．（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形．由（2）知四边形MDNA 是平行四边形，对角线是AD MN ，，所以当AD MN =时四边形MDNA 是矩形．所以OD ON =．所以2222OD ON OH NH ==+．所以22420t t +-=．解之得126262t t =-=--，（舍）．所以在运动过程中四边形MDNA 可以形成矩形，此时62t =-．[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。

二次函数动点问题专题

二次函数动点问题专题一、因动点产生的面积问题1、如图，抛物线与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？，若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值.若没有，请说明理由.cbxxy++-=2ABC2、如图，抛物线y=12x2+b x-2与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（-1,0）。

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；（3）点M（m，0）是x轴上一个动点，当CM+DM的值最小时，求m的值；（4）点P为直线BC下方抛物线上一动点，问当P在什么位置时，四边形ACPB 的面积最大，求出此时的P点坐标及最大面积。

3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴交于A、B 两点，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，－3）点，点P是直线BC下方抛物线上的动点．（1）求这个二次函数表达式；（2）连接PO、PC，并将△POC沿y轴对折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使得四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．4、（2015中大附中一模）如图，已知抛物线c bx ax y ++=2过点A （6，0），B （－2，0），C （0，－3）．（1）求此抛物线的解析式；（2）若点H 是该抛物线第四象限的任意一点，求四边形OCHA 的最大面积；（3）若点Q 在y 轴上，点G 为该抛物线的顶点，且∠GQA =45º，求点Q 的坐标．5、（2016•越秀区一模）如图，已知抛物线y=x 2﹣（m +3）x +9的顶点C 在x 轴正半轴上，一次函数y=x +3与抛物线交于A 、B 两点，与x 、y 轴分别交于D 、E 两点．（1）求m 的值；（2）求A 、B 两点的坐标；（3）当﹣3＜x ＜1时，在抛物线上是否存在一点P ，使得△PAB 的面积是△ABC 面积的2倍？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．二、因动点产生的等腰三角形存在性问题1、已知：如图抛物线a x x y +-=421过点A （0,3），抛物线1y 与抛物线2y 关于y 轴对称，抛物线2y 的对称轴交x 轴于点B ，点P 是x 轴上的一个动点，点Q 是第四象限内抛物线1y 上的一点。

二次函数中的动点问题

二次函数中的动点问题二次函数是高中数学课程中比较重要的一种函数类型，它的图像是一个开口朝上或朝下的抛物线，可以用来表达很多实际问题中的关系。

其中，二次函数中的动点问题是一个常见的问题，主要涉及到了抛物线上某点的运动轨迹，对于此类问题的讨论可以帮助我们深入理解二次函数以及抛物线的特点和应用。

一、动点问题的形式通过一个具体的例子来展示二次函数中的动点问题。

设有一根长60m、重量为100N的弹性绳悬挂于两个点P、Q 之间，弹性绳呈现一个U形。

现有一质量为m的物体从点P 处自由下落，然后受到弹性绳的支撑反弹，反弹高度为h，再落回原点P处。

此时，假设物体在下落或反弹的任意时刻都在弹性绳的中垂线上，我们可以通过求出物体在任意时刻的高度求解出反弹的高度h与物体的质量m的关系。

初步分析这个问题，可以列出物体所在的位置函数，即h(t)。

我们假设物体下落时时间t=0s，其高度为0m，则有：h(t) = at^2 + bt其中，a和b都是常数，t是时间。

物体在弹性绳上下运动，向下运动的时候速度会不断加快，直到反弹的时候速度为0，然后速度逐渐加快，到达下落的时候又达到最大值。

因此，可以得出物体的速度函数v(t)：v(t) = 2at + b而物体的位置函数是速度函数的积分，因此可以解出：h(t) = at^2 + bt + c其中，c是一个常数，其值等于物体下落的初速度的平方除以2g（g为重力加速度，约为9.8m/s^2）。

由于物体在任意时刻都在弹性绳中垂线上，因此可以确定物体的运动轨迹为抛物线。

在上述问题中，我们可以确定抛物线的顶点V的坐标为（30，hmax），其中hmax即为物体下落时的最大高度。

二、动点问题的解法对于二次函数中的动点问题，主要通过求出抛物线的顶点来解决。

通过求解出顶点的坐标、抛物线的开口方向和方程等，可以确定抛物线的形状和运动轨迹，进而判断动点的位置、速度和加速度等物理量。

具体来说，解决二次函数动点问题的步骤如下：1. 确定抛物线的形状和开口方向。

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函数性问题专题—动点问题
函数及其图象是初中数学中的主要内容之一，也是初中数学与高中数学相联系的纽带．它与代数、几何、三角函数等知识有着密切联系，中考命题中既重点考查函数及其图象的有关基础知识，同时以函数为背景的综合性问题也是命题热点之一，多数省市作压轴题．因此，在中考复习中，关注这一热点显得十分重要．以函数为背景的综合性问题往往都可归结为动点性问题，我们把它归纳为以下七种题型（附例题）
一、因动点而产生的面积问题
例1：如图10，已知抛物线P：y=ax2+bx+c(a≠0) 与x轴交于A、B两点(点A在x轴的正半轴上)，与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下：
x …-3 -2 1 2 …
y …-5
2
-4 -
5
2
0 …
(1) 求A、B、C三点的坐标；
(2) 若点D的坐标为(m，0)，矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围；
(3) 当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM=k·DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围.
若因为时间不够等方面的原因，经过探索、思考仍无法圆满解答本题，请不要轻易放弃，试试将上述(2)、(3)小题换为下列问题解答(已知条件及第(1)小题与上相同，完全正确解答只能得到5分)：
(2) 若点D的坐标为(1，0)，求矩形DEFG的面积.
例2：如图1，已知直线
1
2
y x
=-与抛物线2
1
6
4
y x
=-+交于A B
，两点．
（1）求A B
，两点的坐标；
（2）求线段AB的垂直平分线的解析式；（3）如图2，取与线段AB等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A B
，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P在直线AB上方的抛物线上移动，动点P将与A B
，构成无数个三角形，这些三角
求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
y
x
O
y
x
O
P
A
图2
图1
B
B
A
图10
例3：如图1，矩形ODEF 的一边落在矩形ABCO 的一边上，并且矩形ODE F ∽矩形ABCO ，其相似比为1 : 4，矩形ABCO 的边AB=4,BC=43
．
(1)求矩形ODEF 的面积； (2）将图l 中的矩形ODEF 绕点O 逆时针旋转 900，若旋转过程中OF 与OA 的夹角（图2中的∠FOA ）的正切的值为x ，两个矩形重叠部分的面积为y ，求 y 与 x 的函数关系式；
(3)将图1中的矩形ODEF 绕点O 逆时针旋转一周，连结EC 、EA ，△ACE 的面积是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，请说明理由。

二、因动点而产生的等腰三角形问题
例4：如图，抛物线2
54y ax ax =-+经过ABC △的
三个顶点，已知BC x ∥轴，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，且AC BC =．
（1）求抛物线的对称轴；（2）写出A B C ，，三点的坐标并求抛物线的解析式；
（3）探究：若点P 是抛物线对称轴上且在x 轴下方的动点，是否存在PAB △是等腰三角形．若存在，求出所有符合条件的点P 坐标；不存在，请说明理由．
三、因动点而产生的直角三角形问题
例5：如图12，四边形OABC 为直角梯形，A （4，0），B （3，4），C （0，4）．点M 从O 出发以每秒2个单位长度的速度向A 运动；点N 从B 同时出发，以每秒1个单位长度的速度向C 运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N 作NP 垂直x 轴于点P ，连结AC 交NP 于Q ，连结MQ ．
（1）点（填M 或N ）能到达终点；
（2）求△AQM 的面积S 与运动时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的
取值范围，当t 为何值时，S 的值最大；
（3）是否存在点M ，使得△AQM 为直角三角形？若存在，求出点M 的
A
C B
y x
0 1
1
y
x
P
Q
B
C
N
M
O
A
坐标，若不存在，说明理由．
四、因动点而产生的相似形问题
例6：设抛物线2
2y ax bx =+-与x 轴交于两个不同的点A(一1，0)、B(m ，0)，
与y 轴交于点C .且∠ACB=90°． (1)求m 的值和抛物线的解析式；
(2)已知点D(1，n )在抛物线上，过点A 的直线1y x =+交抛物线于另一点E ．若点P 在x 轴上，以
点P 、B 、D 为顶点的三角形与△AEB 相似，求点P 的坐标． (3)在(2)的条件下，△BDP 的外接圆半径等于________________．．
五、因动点而产生的平行四边问题
例7：如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -，，
(20)B -，，(08)E ，．
（1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式；（2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于
C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；（3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并
求出此最大值；
（4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．
例8、如图，抛物线2
23y x x =--与x 轴交A 、B 两点（A
点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A 、C 两点，其中 C 点的横坐标为2．
（1）求A 、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式；
（2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值；
（3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F ，使A 、C 、F 、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．
六、因动点而产生的梯形问题
例9：已知，在Rt △OAB 中，∠OAB ＝900，∠BOA ＝300，AB ＝2。

若以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B 在第一象限内。

将Rt △OAB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处。

（1）求点C 的坐标；（2）若抛物线bx ax y +=2
（a ≠0）经过C 、A 两点，求此抛物线的解析式；
（3）若抛物线的对称轴与OB 交于点D ，点P 为线段DB 上一点，过P 作y 轴的平行线，交抛物线于点M 。

问：是否存在这样的点P ，使得四边形CDPM 为等腰梯形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由。

七、因动点而产生的线段和（差）问题
例10：如图，点M （4，0），以点M 为圆心、2为半径的圆与x 轴交于点A 、B ．已知抛物线2
16
y x bx c =++过点A 和B ，与y 轴交于点C ．
（1）求点C 的坐标，并画出抛物线的大致图象．（2）点Q （8，m ）在抛物线2
16
y x bx c =
++上，点P 为此抛物线对称轴上一个动点，求PQ ＋PB 的最小值．
（3）CE 是过点C 的⊙M 的切线，点E 是切点，求OE 所在直线的解析式．
例11、已知抛物线y =ax 2+bx +c 与y 轴交于点A
(0，3)，与x 轴分别交于B (1，0)、C (5，0)两点。

（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点D 为线段OA 的一个三等分点，求直线DC 的解析式；
（3）若一个动点P 自OA 的中点M 出发，先到达x 轴上的某点(设为点E )，再到达抛物线的对称轴上
某点(设为点F )，最后运动到点A 。

求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长。

例12：抛物线y=ax 2+bx+c 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，已知抛物线的对称轴为x=1,B(3,0),C(0,-3), (1)求二次函数的解析式；
（2）在抛物线对称轴上是否存在一点P ，使点P 到B 、C 两点距离之差最大？若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由；
（3）平行于x 轴的一条直线交抛物线于M 、N 两点，若以MN 为直径的圆恰好与x 轴相切，求此圆的半径。