概率论与数理统计综合试题
概率论与数理统计》期末考试试题及解答
概率论与数理统计》期末考试试题及解答1.设事件A,B仅发生一个的概率为0.3，且P(A)+P(B)=0.5，则A,B至少有一个不发生的概率为0.3.解：由题意可得：P(AB+AB)=0.3，即0.3=P(AB)+P(AB)=P(A)-P(AB)+P(B)-P(AB)=0.5-2P(AB)，所以P(AB)=0.1，P(A∪B)=P(AB)=1-P(AB)=0.9.2.设随机变量X服从泊松分布，且P(X≤1)=4P(X=2)，则P(X=3)=1/e6.解答：由P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=e^(-λ)+λe^(-λ)=5λe^(-λ/2)得e^(-λ/2)=0.4，即λ=ln2，所以P(X=2)=e^(-λ)λ^2/2!=1/6，又因为P(X≤1)=4P(X=2)，所以P(X=0)+P(X=1)=4P(X=2)，即e^(-λ)+λe^(-λ)=4λe^(-λ)，解得λ=ln2，故P(X=3)=e^(-λ)λ^3/3!=1/e6.3.设随机变量X在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y=X在区间(0,4)内的概率密度为f_Y(y)=1/2，0<y<4；其它为0.解答：设Y的分布函数为F_Y(y)，X的分布函数为F_X(x)，密度为f_X(x)，则F_Y(y)=P(Y≤y)=P(X≤y)=F_X(y)-F_X(0)。
因为X~U(0,2)，所以F_X(0)=0，F_X(y)=y/2，故F_Y(y)=y/2，所以f_Y(y)=F_Y'(y)=1/2，0<y<4；其它为0.4.设随机变量X,Y相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，P(X>1)=e^(-λ)，则λ=2，P{min(X,Y)≤1}=1-e^(-λ)。
解答：因为P(X>1)=1-P(X≤1)=e^(-λ)，所以λ=ln2.因为X,Y相互独立且均服从参数为λ的指数分布，所以P{min(X,Y)≤1}=1-P{min(X,Y)>1}=1-P(X>1)P(Y>1)=1-e^(-λ)。
(完整word版)《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
一、填空题(每小题3分，共15分）1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发生的概率为__________。
答案：0.3解：3.0)(=+B A B A P即)(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+=所以1.0)(=AB P9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P 。
2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______.答案:161-e解答：λλλλλ---==+==+==≤e X P e eX P X P X P 2)2(,)1()0()1(2由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλλλ---=+e e e 22 即 0122=--λλ 解得 1=λ，故161)3(-==e X P3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2X Y =在区间)4,0(内的概率密度为=)(y f Y _________。
答案：04,()()0,.Y Y X y f y F y f <<'===⎩其它解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ,密度为()X f x 则2()()()((Y X X F y P Y y P X y P X F F =≤=≤=≤≤=-因为~(0,2)X U，所以(0X F =，即()Y X F y F = 故04,()()0,.Y Y Xyf y F y f<<'===⎩其它另解在(0,2)上函数2y x=严格单调，反函数为()h y=所以04,()0,.Y Xyf y f<<==⎩其它4．设随机变量YX,相互独立，且均服从参数为λ的指数分布，2)1(-=>eXP，则=λ_________，}1),{min(≤YXP=_________。
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案
概率论与数理统计期末考试试题及参考答案一、选择题（每题2分，共20分）1. 设A、B为两个事件，且P(A) = 0.5，P(B) = 0.6，则P(A∪B)等于（）A. 0.1B. 0.3C. 0.5D. 0.7参考答案：D2. 设随机变量X的分布函数为F(x)，若F(x)是严格单调增加的，则X的数学期望（）A. 存在且大于0B. 存在且小于0C. 存在且等于0D. 不存在参考答案：A3. 设X～N(0,1)，以下哪个结论是正确的（）A. P(X<0) = 0.5B. P(X>0) = 0.5C. P(X=0) = 0.5D. P(X≠0) = 0.5参考答案：A4. 在伯努利试验中，每次试验成功的概率为p，失败的概率为1-p，则连续n次试验成功的概率为（）A. p^nB. (1-p)^nC. npD. n(1-p)参考答案：A5. 设随机变量X～B(n,p)，则X的二阶矩E(X^2)等于（）A. np(1-p)B. npC. np^2D. n^2p^2参考答案：A二、填空题（每题3分，共15分）1. 设随机变量X～N(μ,σ^2)，则X的数学期望E(X) = _______。
参考答案：μ2. 若随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，则X+Y的概率密度函数f(x) = _______。
参考答案：f(x) = (1/√(2πσ^2))exp(-x^2/(2σ^2))3. 设随机变量X、Y相互独立，且X～B(n,p)，Y～B(m,p)，则X+Y～_______。
参考答案：B(n+m,p)4. 设随机变量X、Y的协方差Cov(X,Y) = 0，则X、Y的相关系数ρ = _______。
参考答案：ρ = 05. 设随机变量X～χ^2(n)，则X的期望E(X) = _______，方差Var(X) = _______。
参考答案：E(X) = n，Var(X) = 2n三、计算题（每题10分，共40分）1. 设随机变量X、Y相互独立，且X～N(0,1)，Y～N(0,1)，求X+Y的概率密度函数f(x)。
概率论与数理统计综合练习册
2012.9目录综合练习一 (1)综合练习二 (5)综合练习三 (7)综合练习四 (9)综合练习五 (11)综合练习六 (13)综合练习七 (15)综合练习八 (17)综合练习一一、填空题(3×4＝12分)1. 设3.0)(=A P ，5.0)(=B P ，7.0)(=B A P ，则=)|(B A P _____________.2. 设随机变量ξ服从参数为λ的泊松分布，且}2{}1{===ξξP P ，则=≥}1{ξP _________.3. 从标有号码1，2，…，9的9张卡片中任取2张，用ξ表示取到的号码的平均值，则=)(ξE _______.4.设总体)3.0,0(~2N ξ，nξξξ,,,21 是总体样本，则=⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑=44.11012i i P ξ________________. 二、选择题(3×4＝12分)1. 设321,,x x x 是总体ξ的样本，则下列统计量中，是总体均值的最小方差无偏估计的是[ ]. (A)321613121x x x ++； (B) )(31321x x x ++； (C) 321x x x -+； (D) )(2121x x +. 2. 设A ，B 是两个事件，则“这两个事件至少有一个没发生”可表示为[ ]. (A) AB ； (B) B A B A ； (C) B A ； (D) B A .3. 设随机变量ξ在[0，5]上服从均匀分布，则方程02442=+++ξξx x 有实根的概率为[ ]. (A)53； (B) 52； (C) 1； (D) 31. 4. 设随机变量ξ与η相互独立，其概率分布为和则下列式子中，正确的是[ ].(A) ηξ=； (B) 1}{==ηξP ； (C) 95}{==ηξP ； (D) 0}{==ηξP . 三、完成下列各题(6×8＝48分)1. 已知10个元件中有7个合格品及3个次品，每次随机抽取1个测试，测试后不放回，直至将3个次品都找到为止，求需要测试次数ξ的概率分布.2. 设),0(~2σξN ，求||ξη=的概率密度.3. 甲、乙、丙3门炮向某一目标射击，每次射击时，甲、乙、丙击中目标的概率分别是0.l ，0.2，0.3，问3门炮需齐射多少次，方能使目标被击中的概率不小于99％？(设各炮各次射击时是否击中目标是相互独立的.)4. 某厂生产的某种设备的寿命ξ(单位：年)服从指数分布，其概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧≤>=-0041)(4x x ex f x，工厂规定，若出售的设备在1年内损坏，则可予以调换，已知工厂售出1台设备获利100元，调换1台设备厂方需花费300元，试求厂方出售1台设备净获利的数学期望.5. 设某厂生产的灯泡的寿命),1600(~2σξN ，如要求975.0}1200{≥>ξP ，问σ应满足什么条件？6. 设某种零件的长度服从正态分布),(2σμN ，测得8个零件长度(单位：mm)为97，99，94，102，103，97，98，102. (1)若已知μ=100，求2σ的置信区间； (2)未知μ，求2σ的置信区间.(均取α=0.05)7. 计算机在做加法运算时，对每个加数取整(取为最接近它的整数)，设所有的取整数误差是相互独立的，且它们都在(－0.5，0.5)上服从均匀分布，如将1500个数相加，问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？8. 设总体ξ的样本观察值为n x x x ,,,21 ，证明：∑-=+--=11212)()1(21ˆn i i i x x n σ是总体方差的无偏估计.四、(9分)设(ξ，η)的概率密度⎩⎨⎧≤≤≤≤=其他,00,10,15),(2xy x xy y x ϕ，(1)求ξ，η的边缘概率密度，说明ξ，η是否独立；(2)求ξ，η的协方差.五、(9分)在长度为L 的线段上随机取一点，这点把该线段分成两段，求较短的一段与较长的一段长度之比小于41的概率. 六、(10分)在8件产品中，次品数从0到4是等可能的，检查其中任意4件，发现3件是合格品，l 件是次品，问在剩下的4件产品中，再任取2件来检查，这2件都是合格品的概率是多少？综合练习二一、填空题(3×4＝12分)1. 设事件A ，B 相互独立2.0)(=A P ，4.0)(=B P ，则=)(B A B A P _____________. 2. 设),(~2σμξN ，k ，h 为常数，0≠k ，h k +=ξη，则相关系数=||ξηρ____________.3. 将3个球随机放到5个盒子中去，则有球的盒子数的数学期望为_______________.4. 将6张同排连号的电影票随机分给3个男生，3个女生，则男女生相间而坐的概率为_______________. 二、选择题(3×4＝12分)1. 袋中有3个白球，2个红球，现从中依次取出2个(取后不放回)，则第2次取到红球的概率为[ ].(A)52; (B) 43; (C) 42; (D) 53. 2. 已知事件A 及B 的概率都是21，则下列结论中，一定正确的是[ ].(A) 1)(=B A P ; (B) 41)(=AB P ; (C) )()(B A P AB P =; (D)21)(=AB P .3. 设随机变量),(~p n B ξ，已知E (ξ)＝0.5，D (ξ)＝0.45，则n ，p 的值为[ ]. (A) n =5，p =0.3; (B) n =10，p =0.05; (C) n =1，p =0.5; (D) n =5，p =0.1.4. 若随机变量ξ与η满足D (ξ＋η)=D (ξ－η)，则下列式子中，正确的是[ ].(A) ξ与η相互独立; (B) ξ与η不相关; (C) D (ξ)=0; (D) D (ξ)·D (η)＝0.三、完成下列各题(6×8=48分)1. 猎人在距离100m 处射击一动物，击中的概率为0.6，如果第1次未击中，则进行第2次射击，但由于动物逃跑而使距离变为150m ，如果第2次又未击中，则进行第3次射击，这时距离变为200m ，假定击中的概率与距离成反比，求猎人击中动物的概率.2. 测量到某一目标的距离时发生的随机误差ξ(m)具有概率密度3200)20(22401)(--=x ex πϕ，求在3次测量中，至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率.3. 每次射击时，击中目标的炮弹数的数学期望为2，标准差为1.5，求在100次射击中，有180到220发炮弹命中目标的概率.4. 设随机变量ξ，η相互独立，)21,2(~B ξ，)32,2(~B η，求ξ＋η的概率分布及P {ξ>η}. 5. 设总体ξ的概率密度为)(21);(||+∞<<-∞=-x e x x θθθϕ，其中θ>0，若样本观测值为n x x x ,,,21 ，求θ的极大似然估计.6. 两批导线，从第一批中抽取4根，从第二批中抽取5根，测得它们的电阻(单位：Ω)如下第一批：0.143，0.142，0.143，0.137； 第二批：0.140，0.142，0.136，0.138，0.140.设两批导线的电阻分别服从正态分布),(211σμN 及),(222σμN ，其中，1μ，2μ，1σ，2σ都是未知参数，求这两批导线电阻的均值差1μ－2μ对应于置信概率0.95的置信区间(假定1σ=2σ).7. 为了估计灯泡使用时数的数学期望μ及标准差σ，试验10个灯泡，得到x =1500h ，s ＝20h ，设灯炮使用时数服从正态分布，求 (1)求μ的置信区间；(2)求σ的置信区间.(均取α=0.05)8. 设三事件A ，B ，C 相互独立，证明A －B 与C 也相互独立.四、(9分)甲、乙、丙3人各自加工1个产品，检验的结果是在3个产品中发现1个次品，设甲、乙、丙加工产品的次品率分别是0.1，0.2，0.3，分别求这个次品是甲、乙、丙加工的概率.五、(9分)甲、乙两人约定某日上午8:00~12:00在某地相会，设两人到达该地的时间是相互独立的，求两人相会前等待时间的数学期望及方差.六、(10分)甲、乙两人在某一局乒乓球比赛时，双方得分打成20:20平，按规定，在后面的比赛中，只有当某一方连得2分时，方能取得该局的胜利. 设在后面的比赛中，甲每个球得分的概率均为0.6，乙均为0.4，各球的胜负是相互独立的，求甲在该局获胜的概率.综合练习三一、填空题(3×4=12分)1. 设事件A ，B ，C 相互独立，P (A )=0.2，P (B )=0.4，P (C )=0.7，则)(C B A P =_______________.2. 设ξ～B (10，0.3)，则在P {ξ=m }(m =0，l ，…，10)中，最大的值是_________________.3. 设ξ～N (2，σ2)，P {2<ξ<4}=0.3，则P {ξ<0}=_____________.4. 设ξ服从泊松分布P (λ)，抽取样本1x ，2x ，…，n x ，则样本均值x 的概率分布为_____________.二、选择题(3×4=12分)l. 从5双不同型号的鞋中任取4只，则至少有2只鞋配成1双的概率为[ ].(A) 211； (B) 2112； (C) 218； (D) 2113. 2. 设总体ξ～N (μ，σ2)，其中σ2已知，则总体均值μ的置信区间长度L 与置信度1－α的关系是[ ].(A) 当1－α缩小时，L 缩短； (B) 当1－α缩小时，L 增长；(C) 当1－α缩小时，L 不变； (D) 以上说法都不对.3. 设离散型随机变量ξ的分布律为P {ξ=k }=αβk (k =1，2，…)，且α>0，则β为[ ].(A) 11-=αβ； (B) 1+=ααβ； (C) 11+=αβ； (D) 1+=αβ. 4. 设两个相互独立的随机变量ξ和η的方差分别为6和3，则随机变量2ξ－3η的方差是[ ].(A) 51l ； (B) 21； (C) －3； (D) 36.三、完成下列各题(6×8=48分)1. 射击运动中，1次射击最多能得10环，设某运动员在1次射击中得10环的概率为0.4，得9环的概率为0.3，得8环的概率为0.2，求该运动员在5次独立射击中得到不少于48环的概率.2. 设ξ在[－2，2]上服从均匀分布，η=ξ2，求η的概率密度及D (η).3. 设二维随机变量(ξ，η)的概率密度为])()[(2122221221),(μμσπσϕ-+--=y x e y x ，其中σ>0，求随机变量U =a ξ＋b η，V =a ξ－b η的相关系数r uv ，其中a ，b 为常数.4. a ，b ，c 3个盒子，a 盒中有1个白球和2个黑球，b 盒中有1个黑球和2个白球，c 盒中有3个白球和3个黑球，扔一骰子以决定选盒；若出现1，2，3点，则选a 盒；若出4点，则选b 盒；若出现5，6点，则选c 盒. 在选中的盒中任选1球，试求(1)选中白球的概率；(2)当选中的是白球时，问此自球来自a 盒的概率.5. 某系统备有30个电子元件a l ，a 2，…，a 30，先使用a l ，若a l 损坏，立即使用a 2；若a 2损坏，则立即使用a 3；…直至30个元件用尽. 设a i 的寿命(单位：h)服从参数为λ=0.1的指数分布，ξ为30个元件使用的总时间，求ξ超过350h 的概率.6. 设η服从参数为1的指数分布，ξ1，ξ2是0-l 分布， ⎩⎨⎧>≤=1,11,01ηηξ； ⎩⎨⎧>≤=.2,1;2,02ηηξ 求(ξ1，ξ2)的概率分布及E (ξ1ξ2).7. 在半径为R 的圆的某一直径上任取一点，过该点做垂直于该直径的弦，求弦长的数学期望及方差.8. 设随机变量ξ的数学期望为E (ξ)，方差为D(ξ)，证明对任意实数C ，均有)(])[(2ξξD C E ≥-.四、(9分)化工试验中要考虑温度对产品断裂力的影响，在70℃及80℃的条件下分别进行8次试验，测得产品断裂力(单位：kg)的数据如下70℃时，20.5，18.8，19.8，20.9，21.5，19.5，21.0，21.2；80℃时，17.7，20.3，20.0，18.8，19.0，20.1，20.2，19.1.已知产品断裂力服从正态分布，检验(1)两种温度下，产品断裂力的方差是否相等；(取α=0.05)(2)两种温度下，产品断裂力的平均值是否有显著差异. (取α=0.05)五、(9分)设ξ，η相互独立，ξ在[0，1]上服从均匀分布，η服从参数21=λ的指数分布，求方程022=++ηξt t 有实根的概率.六、(10分)甲、乙两排球队进行比赛，若有一队胜4场，则比赛结束. 假定甲队在每场比赛中获胜的概率均为0.6，乙均为0.4，求比赛场数的数学期望及甲队胜4场的概率.综合练习四一、填空题(3×4=12分)1. 一批产品，其中有10个正品和2个次品，任意抽取2次，每次抽1个，抽出后不再放回，则第2次抽出的是次品的概率为_______________.2. 在区间(0，l)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为_____________________. 3. ξ的分布函数⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<≤<≤--<=≤=.3,1;31,8.0;11,4.0;1,0}{)(x x x x x P x F ξ 则ξ的分布列为_________________________.4. ξ与η独立，且都服从N (0，32)分布，ξ1，ξ2，…，ξ9和η1，η2，…，η9分别是来自于总体ξ和η的随机样本，则统计量292191ηηξξ++++= U 服从______________分布.二、选择题(3×4=12分)1. 对于任意两个事件A ，B ，有P (A －B )=[ ].(A) P (A )－P (B )； (B) P (A )－P (B )＋P (AB )；(C) P (A )－P (AB )； (D) P (A )＋P (B )－P (A B ).2. 设随机变量ξ~N (μ，σ2)，则随σ的增大，P {|ξ−μ|<σ}[ ].(A) 单调增加； (B) 单调减小； (C) 保持不变； (D) 增减不定.3. 设两个随机变量ξ与η相互独立，且服从同分布P {ξ=－1}=P {η=－1}=21，P {ξ=1}=P {η=1}=21，则下面各式中，成立的是[ ]. (A) P {ξ=η}=21； (B) P {ξ=η}=1； (C) P {ξ+η=0}=41； (D) P {ξη}=41. 4. 设ξ和η的方差存在且不为零，则D (ξ+η)=D (ξ)+D (η)是ξ和η[ ].(A) 不相关的充分条件，但不是必要条件； (B) 独立的充分条件，但不是必要条件；(C) 不相关的充分必要条件； (D) 独立的充分必要条件.三、完成下列各题(6×8=48分)1. 设有一群高射炮，每一门击中飞机的概率都是0.6，今有一架敌机入侵领空，欲以99％的概率击中它，问需要多少高射炮射击.2. 把4个球随机地放入3个盒子中去，设ξ，η可分别表示第1个、第2个盒子中的球数，求(l)(ξ，η)的分布；(2)边缘分布；(3)已知η=1时ξ的条件分布.3. 做一件事情，一次成功的概率p =0.1，若进行100次重复独立试验，问事情最可能成功多少次，并求出其概率.4. 设ξ服从泊松分布 P {ξ=k }=!k e k λλ-(k =0，1，2，…)，问当k 取何值时，P {ξ=k }为最大.5. 已知一本300页的书中每页印刷错误的个数服从泊松分布P (0.2)，求这本书印刷错误的总数不超过70的概率.6. 已知高度表的误差的标准差σ=15m ，求飞机上应该有多少这样的仪器，才能使得以概率0.98保证平均高度x 的误差的绝对值小于30m ？假定高度表的误差服从正态分布.7. 求抛硬币多少次，才能使子样均值x 落在0.4和0.6之间的概率至少为0.9？8. 设(ξ，η)在区域D ：0<x <1，|y |<x 内服从均匀分布，求(1)关于ξ的边缘分布密度；(2) η=2ξ+l 的方差．四、(9分)某箱装有100件产品，其中一、二、三等品分别为80，10和10件，现在从中随机抽取1件，记⎩⎨⎧=.,0;,1其他等品若抽取i i ξ (i ＝l ，2，3) 试求(1) ξ1和ξ2的联合分布；(2) ξ1和ξ2的相关系数.五、(9分)设ξ，η独立，证明D (ξ－η)=D (ξ)+D (η).六、(10分)某城市每天的耗电量不超过100万kW ·h ，每天的耗电量与百万kW ·h 的比值称为耗电率，设该城市的耗电率为ξ，其分布密度为 ⎩⎨⎧<<-=.0;10),1()(2其他x x A x ϕ 如果发电厂每天的供电量为80万kW ·h ，问任意一天供电量不足的概率为多少？综合练习五一、填空题(3×4=12分)1. 已知P (A )=P (B )=P (C )=41，P (AB )=0，P (AC )=P (BC )=81，则A ，B ，C 全不发生的概率为_________________.2. 设ξ的密度121)(-+-=x x e x πϕ，则ξ的期望为_______________，方差为_____________________.3. 设ξ服从参数为1的指数分布，则)(2ξξ-+e E =_______________________________.4. 设ξ1，ξ2，ξ3相互独立，其中ξ1在[0，6]上服从均匀分布，ξ2服从正态分布N (0, 22)，ξ3服从参数λ=3的泊松分布，记η=ξ1+2ξ2+3ξ3，则D(η)=_________________________.二、选择题(3×4=12分)1. 设A ，B 为任意两个事件，且B A ⊂，P (B )>0，则下列选项中，必然成立的是[ ].(A) P (A )＜P (A |B )； (B) P (A )≤P (A |B )；(C) P (A )＞P (A |B )； (D) P (A )≥P (A |B ).2. 设两个相互独立的随机变量ξ和η分别服从正态分布N (0, 1)和N (1, l)，则[ ].(A) P {ξ+η≤0}=21； (B) P {ξ+η≤1}=21； (C) P {ξ－η≤0}=21； (D) P {ξ－η≤1}=21. 3. 设两个相互独立的随便机变量ξ和η的方差分别为4和2，则3ξ－2η的方差是[ ].(A) 8； (B) 16； (C) 28； (D)44.4. 设x 1，…，x n 是母体ξ的n 个子样. 21)(σ=x D ，∑==n i i x n x 11，∑=--=n i i x x n s 122)(11，则[ ].(A) s 是σ的无偏估计量； (B) s 是σ的极大似然会计量；(C) s 是σ的一致估计量； (D) s 与x 相互独立.三、完成下列各题(6×8=48分)1. 任取两个真分数，求它们乘积不大于41下的概率.2. 设ξ在]2,2[ππ-上服从均匀分布，求η=cos ξ的概率密度. 3. 一电子仪器由两个部件构成，以ξ和η分别表示两个部件的寿命(单位：h)，已知ξ和η的联合分布函数为⎩⎨⎧≥≥+--=+---.,0;0,0,1),()(5.05.05.0其他y x e e e y x F y x y x 问(1) ξ与η是否独立；(2)求两个部件的寿命都超过100h 的概率．4. 在长为L 的线段上任取两点，求两点间距离的数学期望及均方差.5. 为了确定事件A 的概率，需要进行一系列的试验，在100次试验中，A 发生了36次；如果取频率0.36作为A 的概率p 的近似值，求误差小于0.05的概率.6．要求某种导线电阻的标准差不得超过0.005(Ω)，今在生产的一批导线中取样品9根，测得s ＝0.007(Ω)，设总体服从正态分布，问在水平α=0.05下，能否认为这批导线的标准差显著地偏大.7. 过半径为R 的圆周上的一点，任意做圆的弦，求这些弦的平均长度.8. 从南郊乘汽车前往北郊火车站乘火车，有两条路线可走．第一条穿过市区，路程较短，但交通拥挤，所需时间(单位：min)服从正态分布N (50, 102)；第二条路沿环城公路走，路程较长，但意外阻塞较少，所需时间服从正态分布N (60, 42)，若有70min 时间可用，问应走哪条路？四、(9分)2台同样的自动记录仪，每台记录仪无故障工作的时间服从参数为5的指数分布．首先开动其中1台，当其发生故障时，停用，而另1台自动开动．试求2台记录仪无故障工作的总时间T 的概率密度．五、(9分)设总体ξ服从指数分布，其密度 ⎩⎨⎧≤>=-.0,0;0,)(x x ae x ax ϕ (a>0为常数) 求子样均值x 的分布． 六、(10分)设一大型设备在任何长为t 的时间内发生故障的次数N (t )服从参数为λt 的泊松分布，试求(1)相继两次故障的时间间隔T 的概率分布；(2)求在设备已经无故障工作8h 的情况下，再无故障运行8h 的概率.综合练习六一、填空题(3×4=12分)1. 已知P (A)=0.5, P (B )=0.6, 以及P (B |A )=0.8, 则P (B A )=____________.2. 若ξ在(1, 6)上服从均匀分布, 则x 2+ξx +1=0有实根的概率是______________.3. 某灯泡使用时数在1000h 以上的概率为0.2, 今3个灯泡在使用1000h 以后最多只坏1个的概率为________.4. 设由来自正态总体ξ~N (μ, σ2), 容量为9的简单随机样本得样本均值x =5, 则未知参数μ的置信度为0.95的置信区间是___________________________.二、选择题(3×4=12分)1. 若两个事件A 和B 同时出现的概率P (AB )=0, 则[ ].(A) A 和B 互不相容; (B) AB 是不可能事件; (C) AB 未必是不可能事件; (D) P (A )=0或P (B )=0.2. 设随机变量ξ的密度函数φ(x ), 且φ(－x )=φ(x ), F (x )是ξ的分布函数, 则对任意数a , 有[ ].(A) F (－a )=1－⎰a dx x 0)(ϕ; (B) F (－a )=211－⎰a dx x 0)(ϕ; (C) F (－a )= F (a ); (D) F (－a )= F (a )－1.3. 设随机变量ξ与η相互独立, 其概率分布为和 则下式中, 正确的是[ ].(A) ξ=η; (B) P {ξ=η}=0; (C) P {ξ=η}=21; (D) P {ξ=η}=1. 4. 设x 1, …, x n 是来自正态总体N (μ, σ2)的简单随机样本, x 是平均值, 记∑=--=n i i x x n s 1221)(11; ∑=-=n i i x x n s 1222)(1; ∑=--=n i i x n s 1223)(11μ; ∑=-=ni i x n s 1224)(1μ. 则服从自由度为n －1的t 分布的随机变量是[ ].(A) 11--=n s x t μ; (B) 12--=n s x t μ; (C) n s x t 3μ-=; (D) n s x t 4μ-=.三、完成下列各题(6×8=48分)1. 第一箱中有10个球, 其中有8个白球和2个黑球. 第二箱中有20个球, 其中有4个白球和16个黑球. 现从每箱中任取1球, 然后从这两球中任取1球. 问取到白球的概率是多少？2. 某种型号的电子管的寿命ξ(单位：h)具有以下的概率密度: ⎪⎩⎪⎨⎧>=.,0;1000,1000)(2其他x x x ϕ现有一大批此种管子, 任取5只, 问其中有2只寿命大于1500h 的概率是多少？3. 某工厂生产过程中, 出现次品的概率为0.05, 每100个产品为一批. 检查产品质量时, 在每批中任取一半来检查, 若发现次品不多于1个, 则认为这批产品是合格的, 求一批产品被认为是合格的概率.4. 点随机地落在中心在原点, 半径为R 的圆周上, 并且对弧长是均匀分布的. 求这点的横坐标的概率密度.5. 设x 和y 分别是取正态总体N (μ, σ2)的容量为n 的两组子样(x 1, …, x n )和(y 1, …, y n )的均值, 试确定n , 使两组子样的均值之差超过σ的概率大约为0.01.6. 某计算机系统有120个终端, 每个终端有5%时间在使用, 若各个终端使用与否是相互独立的, 试求有10个或更多终端在使用的概率.7. 某转炉炼某特种钢, 每一炉钢的合格率为0.7, 现有若干个转炉同时冶炼, 若要求至少能够炼出一炉合格钢的把握为99％, 问同时至少要有几个转炉炼钢？8. 对某一目标连续射击, 直到命中n 次为止, 设每次射击的命中率为p , 求子弹消耗量的数学期望.四、(9分)设二维随机变量(ξ, η)的密度为 ⎩⎨⎧≤≤=.,0;1,),(22其他y x y cx y x ϕ (1)试确定常数c ; (2)求边缘概率密度.五、(9分)设总体ξ~P (λ), 抽取样本x 1, …, x n , 求样本均值x 的概率分布、数学期望及方差.六、(10分)设随机变量ξ1, ξ2, ξ3, ξ4, 相互独立, 且同分布. P (ξi =0)=0.6, P (ξi =1)=0.4(i =1, 2, 3, 4), 求行列式4321ξξξξη=的概率分布.综合练习七一、填空题1.已知P (A)=0.5, P (B )=0.6, 以及P (B |A )=0.8, 则P (B A )=____________.2.设事件A ，B ，C 相互独立，P (A )=0.2，P (B )=0.4，P (C )=0.7，则)(C B A P =_______________.3.一批产品，其中有10个正品和2个次品，任意抽取2次，每次抽1个，抽出后不再放回，则第2次抽出的是次品的概率为_______________.4.将3个球随机放到5个盒子中去，则有球的盒子数的数学期望为_______________.5.设X ～N (2，σ2)，P {2<X <4}=0.3，则P {X <0}=_____________.6.设X 1，X 2，X 3相互独立，其中X 1在[0，6]上服从均匀分布，X 2服从正态分布N (0, 22)，X 3服从参数λ=3的泊松分布，记Y =X 1+2X 2+3X 3，则D (Y )=_________________________.7.在区间(0，l)中随机地取两个数，则事件“两数之和小于56”的概率为_____________________.二、选择题1.对于任意两个事件A ，B ，有P (A －B )=[ ].(A) P (A )－P (B )； (B) P (A )－P (B )＋P (AB )； (C) P (A )－P (AB )； (D) P (A )＋P (B )－P (A B ).2.设随机变量X 在[0，5]上服从均匀分布，则方程02442=+++X Xx x 有实根的概率为[ ].(A) 53； (B) 52； (C) 1； (D) 31. 3.设随机变量X 与Y 相互独立, 其概率分布为和 (A)X =Y ; (B) P {X =Y }=0; (C) P {X =Y }=21; (D) P {X =Y }=1. 4.设A ，B 为任意两个事件，且B A ⊂，P (B )>0，则下列选项中，必然成立的是[ ].(A) P (A )＜P (A |B )； (B) P (A )≤P (A |B )； (C) P (A )＞P (A |B )； (D) P (A )≥P (A |B ).5.设两个相互独立的随便机变量X 和Y 的方差分别为4和2，则3X －2Y 的方差是[ ].(A) 8； (B) 16； (C) 28； (D)44.6.若随机变量X 与η满足D (X ＋Y )=D (X －Y )，则下列式子中，正确的是[ ].(A) X 与Y 相互独立; (B) X 与Y 不相关; (C) D (X )=0; (D) D (X )·D (Y )＝0.7.设总体X ～N (μ，σ2)，其中σ2已知，则总体均值μ的置信区间长度L 与置信度1－α的关系是[ ].(A) 当1－α缩小时，L 缩短； (B) 当1－α缩小时，L 增长；(C) 当1－α缩小时，L 不变； (D) 以上说法都不对.8.设随机变量),(~p n B X ，已知E (X )＝0.5，D (X )＝0.45，则n ，p 的值为[ ].(A) n =5，p =0.3; (B) n =10，p =0.05; (C) n =1，p =0.5; (D) n =5，p =0.1.三、完成下列各题1.a ，b ，c 3个盒子，a 盒中有1个白球和2个黑球，b 盒中有1个黑球和2个白球，c 盒中有3个白球和3个黑球，扔一骰子以决定选盒；若出现1，2，3点，则选a 盒；若出4点，则选b 盒；若出现5，6点，则选c 盒. 在选中的盒中任选1球，试求(1)选中白球的概率；(2)当选中的是白球时，问此自球来自a 盒的概率.2.某计算机系统有120个终端, 每个终端有5%时间在使用, 若各个终端使用与否是相互独立的, 试求有10个或更多终端在使用的概率.3.已知(X ,Y )的概率密度函数为 ⎩⎨⎧<<<<+=其它010,10),(y x y x y x f ，求：（１）相关系数XY ρ；（２）判断X 与Y 的独立性。
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《概率论与数理统计》试题(1)判断题(本题共15分，每小题3分。
正确打“V” ，错误打“X” )⑴对任意事件A和B ,必有P(AB)=P(A)P(B) ()⑵ 设A、B是Q中的随机事件,则(A U B)-B=A ()⑶ 若X服从参数为入的普哇松分布，则EX=DX⑷假设检验基本思想的依据是小概率事件原理1 n _⑸ 样本方差S：= —(X i X )2是母体方差DX的无偏估计(n i i、(20分)设A、B、C是Q中的随机事件，将下列事件用A、B、C表示出来(1) 仅A发生，B、C都不发生;(2) 代B,C中至少有两个发生；(3) 代B,C中不多于两个发生;(4) 代B,C中恰有两个发生；(5) 代B,C中至多有一个发生。
三、(15分)把长为a的棒任意折成三段，求它们可以构成三角形的概率四、(10分)已知离散型随机变量X的分布列为X 2 1 0 1 31 1 1 1 11P5 6 5 15 302 求Y X的分布列.1五、(10分)设随机变量X具有密度函数f(x) -e|x|, V x V2求X的数学期望和方差•六、(15分)某保险公司多年的资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以随机抽查100个索赔户中因被盗而向保险公司索赔的户数，求P(14 X 30).七、(15分)设X1 ,X2,L ,X n是来自几何分布k 1P(X k) p(1 p) , k 1,2,L , 0 p 1 ,的样本，试求未知参数p的极大似然估计•X表示在x 0 0.5 1 1.5 2①(x ) 0.500 0.691 0.841 0.933 0.9772.5 30.994 0.999《概率论与数理统计》试题（1）评分标准⑴ X;（2） X;⑶“；⑷"；（5） X o 解(1) ABC(2)ABU AC U BC 或 ABC U ABC U ABC U ABC ；(3) AUBUC 或 ABC U ABC U ABC U ABC U ABC U ABC U ABC ； (4) ABC U ABC U ABC ；(5) AB U AC U BC 或 ABC U ABC U ABC U ABC六解X “ P(14 ^b(k;100,0.20), EX=100 X 0.2=20, DX=100 X 0.2 X 0.8=16.-- --5分 分 30 20 14 20、 X 30) ( --------- )( --------------- ) ------------------ V16 J16 ------10(2.5) ( 1.5)=0.994+0.933—10.927. -------------------------------------n——15分七解n x nL(X 1, L ,x n ；p)p(1 p)x i1 p n(1 p)i1---------5分 -------------------------------------- 10 分每小题4分；解 设A '三段可构成三角形'又三段的长分别为x,y,a x y ,Oxa, 0 ya, Oxy a ，不等式构成平面域S .Aa A 发生 0 x —, 02不等式确定S 的子域A , 所以a a y , x y a2 2------------------------------------ 10A 的面积 1S 的面积 4---------------------------------------- 15则 分分分四 解Y 的分布列为Y 0 1 4 91 7 1 11P — ----- — —5 30 5 30Y 的取值正确得2分， 分布列对一组得 2分； 五 解 EXx 2 凶 dx 0, （因为被积函数为奇函数）2D X EX 22 x 1 |x| 1 —e dx x 2e x dx22 xx e0 2 xe x dx 0------------------------- 4 分 2[ xe x 0e x dx] 2.In L n In p d In L n dp p (X i n )l n(1 p),i 1 X i n @0, --------------------------- 10 分 解似然方程 n n X in i 1 得p 的极大似然估计 ------------------------------------------------------------------- 15 分 《概率论与数理统计》期末试题(2) 与解答一、填空题(每小题 3分，共15分) 1. 设事件 代B 仅发生一个的概率为 0.3，且P(A) P(B) 0.5，则 代B 至少有一个不发 生的概率为 ___________ . 2. __________________________________________________________________________ 设随机变量X 服从泊松分布，且P(X 1) 4P(X 2)，则P(X 3) _______________________ . 23. _______________________ 设随机变量X 在区间(0,2)上服从均匀分布，则随机变量Y X 在区间(0,4)内的概率 密度为f Y (y) . 的指数分布，P(X 1) e 2，则4. 设随机变量 X,Y 相互独立，且均服从参数为5._______ , P{min( X ,Y) 1} = ____ 设总体X 的概率密度为 (1)x , 0 x 1, f (x)0, 其它 1.X 1 ,X 2, ,X n 是来自X 的样本，则未知参数 的极大似然估计量为 ___________解：1. P(AB AB) 0.3即 0.3 P(AB) P(AB) P(A) P(AB) P(B) P(AB) 0.5 2P(AB)2所以 P(AB) 0.1P(A B) P(AB) 1 P(AB) 092.P(X 1) P(X 0) P(X 1) e e , P(X 2) e由 P(X 1) 4P(X 2)知e e2 2e即2 21 0解得1，故P(X3)1 1 e . 63•设丫的分布函数为F Y (y), X 的分布函数为F x (x)，密度为f x (x)则F Y (V ) P(Y y) P(X 2 y) P( ...y X ,y) FxG.y) F x ( ,y) 因为 X ~U (0, 2)，所以 F X ( ,y) 0,即 F Y (y) F X G. y)1.ln x in i 1二、单项选择题(每小题 3分，共15分)1 .设A, B,C 为三个事件，且 A, B 相互独立，则以下结论中不正确的是(A) 若P(C) 1,则AC 与BC 也独立. (B) 若P(C) 1,则AUC 与B 也独立. (C) 若P(C) 0,则AUC 与B 也独立.J(y) F Y (y)1 _2丁x(J)0 y 4, 另解 在(0,2)上函数y 所以 2x 严格单调，反函数为h(y)其它..5f Y (y) Afx(7?)诙4孑 0 ,其它.y 4,4. P(X 1) 1 P(X P{min( X ,Y) 1} 111) eP{min( X,Y) 4 e ・ 1} P(X 1)P(Y 1)5.似然函数为L(X 1 ,L ,X n ；n(i 1n1)Xi(1叽1_ X )解似然方程得 ln L n ln(1)ln x i ln x i i 1@0的极大似然估计为EX X(D )若C B ，则A 与C 也独立• ()2•设随机变量 X~N(0,1), X 的分布函数为(x)，贝U P(|X| 2)的值为(A )2[1 (2)] . ( B )2 (2)1 .(C ) 2(2).( D )1 2 (2).()3•设随机变量 X 和Y 不相关，则下列结论中正确的是(A ) X 与 Y 独立. (B ) D(X Y) DX DY .(C ) D(X Y) DX DY .(D ) D(XY) DXDY .()4•设离散型随机变量 X 和Y 的联合概率分布为(X,Y) (1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3) P1 1 1 1 691832. X ~ N(0,1)所以 P(| X | 2) 1 P(| X | 2)1 P(2 X1 (2) ( 2) 1 [2 (2) 1] 2[1 (2)]若X,Y 独立，则 7的值为2 112(A ) -, —(A ) J—99991 15 1 (C ), — (D ) — , . ()6618185 •设总体X 的数学期望为,X 1,X 2丄,X n为来自X 的样本，则下列结论中正确的是(A ) X i 是的无偏估计量 (B ) X i 是 的极大似然估计量(C ) X 1是 的相合(一致)估计量(D ) X i 不是 的估计量.() 解：1.因为概率为1的事件和概率为 0的事件与任何事件独立，所以( A ), (B ), (C )可见A 与C 不独立.2)应选(A )都是正确的，只能选(事实上由图EX X12 3 P(X 2, Y 2)1 1 1 11— — ■ 1 、69183(- )(-391 1 23321 1丄92 918故应(A).3•由不相关的等价条件知应选(B ) 4•若X,Y 独立则有)P(X 2)P(Y 2)f(o三、(7分)已知一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求(1) 一个产品经检查后被认为是合格品的概率；(2) 一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率解：设A ‘任取一产品，经检验认为是合格品’B ‘任取一产品确是合格品’则(1) P(A) P(B)P(A|B) P(B)P(A|B)0.9 0.95 0.1 0.02 0.857.P(AB) 0.9 0.95 (2) P(B| A) 0.9977 .P(A) 0.857四、(12分)从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5.设X为途中遇到红灯的次数，求X的分布列、分布函数、数学期望和方差.解：X的概率分布为k2 k3 3 kP(X k) cf(5)k(5)3kX 0 1 2即P27 54 36 125 125 12X的分布函数为0 , x 0,27125 ,0 x 1,F(x )81 1 x 2, 125117 2 x3, 1251 , x 3.2 6 EX3 --5 5DX c 2 3 183 --5 5 25五、(10分)设二维随机变量(X,Y)在区域 D匀分布.求(1)(X,Y)关于X的边缘概率密度;38125{(x,y)|x 0, y 0, x y 1}上服从均(2)Z X Y的分布函数与概率密(1) (X ,Y)的概率密度为f(x, y) 2, (x, y) D 0,其它.k 0,1,2,3.2 2x, 0 x 1f(x，y)dy0 ,其它(2)利用公式f Z(z) f (x, z x)dx其中f(x,z x) 2, 0 x 1,0 z x 1 x0,其它2, 0 x 1, x z 1.0,其它.当z 0 或z 1 时f z (z) 0z的分布函数为z z0 z 1 时f z(z) 2 q dx 2x02z 故Z的概率密度为f z(z)2z, 0 z 1,0,其它.0, z 0 0, z 0,fZ⑵z zf Z(y)dy 02ydy,0 z 1 2z , 0 z 1,1,1 z 1.z 1或利用分布函数法0 , z 0,F Z(Z) P(Z z) P(X Y z) 2dxdy, 0 z 1D11 , z 1.0 , z 0,2z , 0 z 1,1 , z 1.f z (z) F z⑵2z,0 ,0 z 1,其它.六、（10分）向一目标射击，目标中心为坐标原点，已知命中点的横坐标X和纵坐标Y相互独立，且均服从N（0,22）分布.求（1）命中环形区域D ｛（ x, y） |1 x2 y2 2｝的概率；（2）命中点到目标中心距离Z X Y2的数学期望.D (1)P{X,Y) D} f(x,y)dxdyDx28dxdy 8rdrdf x(X)4 41 2 -8re 8 rdrd1 e 8 r 2dr 8 04 0r2re 丁r 2e T dr 02冷dr阪七、（11分）设某机器生产的零件长度（单位： cm ） X 〜N （ , 2），今抽取容量为样本，测得样本均值 X 10,样本方差s 2 0.16. （ 1）求的置信度为0.952区间；（2）检验假设H 。
概率论和数理统计试题及答案
概率论和数理统计试题及答案概率论和数理统计试题及答案⼀、填空题:1、设A 与B 相互独⽴，P(A) =31, P(B) =21, 则P (B-A) = . 解：111()()[1()](1)233P B A P B P A -=-=?-=2、设~[1,3]X U （均匀分布），则2()E X = ，(2)D X = ．(52)E X -= ，解：()2;()1/3E X D X ==22()()()13/3E X D X E X =+= (2)4()4/3D X D X ==(52)5()21028E X E X -=-=-=3、设随机变量X 服从指数分布，即 ~(2),X E 定义随机变量2,31,31,3X Y X X >??==??-则 Y 的分布列为。
解：3322620()()(1)(3)21Y x xF Y P Y y P Y P X e dx e e σσσ-----+=≤=≤-=<==-=-?33226()()(11)(3)21Y x xF Y P Y y P Y P X e dx e e ---=≤=-<≤=≤==-=-?3322620()()(12)(3)21Y xx F Y P Y y P Y P X edx ee σσσ++----=≤=<≤=>==-=-?其中σ是与y ⽆关的量4、设~(200,0.1)X B ~(3)Y P ,2~(3,2)Z N ，且X ，,Y Z 相互独⽴, 则(235)E X Y Z --+= , (235)D X Y Z --+=解：(235)2()3()()522000.1333533E X Y Z E X E Y E Z --+=--+=??-?-+=(235)4()9()()72274103D X Y Z D X D Y D Z --+=++=++=5、设总体2~(,)X N µσ，123,,x x x 为来⾃X 的样本，123?0.50.1x x ax µ=+-是未知参数µ的⽆偏估计，则a =。
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数理统计练习一、填空题1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=0.5，P (B)=0.6，P (B |A)=0.8，则P (A+B)=__ 0.7 __。
2、某射手对目标独立射击四次，至少命中一次的概率为8180，则此射手的命中率32。
3、设随机变量X 服从[0，2]上均匀分布，则=2)]([)(X E X D 1/3 。
4、设随机变量X 服从参数为λ的泊松（Poisson ）分布，且已知)]2)(1[(--X X E ＝1，则=λ___1____。
5、一次试验的成功率为p ，进行100次独立重复试验，当=p 1/2_____时 ，成功次数的方差的值最大，最大值为 25 。
6、（X ，Y ）服从二维正态分布),,,,(222121ρσσμμN ，则X 的边缘分布为 ),(211σμN 。
7、已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤=其他,010,20,23),(2y x xy y x f ，则E (X )=34。
8、随机变量X 的数学期望μ=EX ，方差2σ=DX ，k 、b 为常数，则有)(b kX E += ,k b μ+；)(b kX D +=22k σ。
9、若随机变量X ～N (－2，4)，Y ～N (3，9)，且X 与Y 相互独立。
设Z ＝2X －Y ＋5，则Z ～ N(-2, 25) 。
10、θθθ是常数21ˆ ,ˆ的两个 无偏 估计量，若)ˆ()ˆ(21θθD D <，则称1ˆθ比2ˆθ有效。
1、设A 、B 为随机事件，且P (A )=0.4, P (B )=0.3, P (A ∪B )=0.6，则P (B A )=_0.3__。
2、设X ~B (2,p )，Y ~B (3,p )，且P {X ≥ 1}=95，则P {Y ≥ 1}=2719。
3、设随机变量X 服从参数为2的泊松分布，且Y =3X -2, 则E (Y )=4 。
4、设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。
概率论与数理统计试题共九套有答案
概率论与数理统计试题（2）1．已知P （A ）= 0.4，P （B ）= 0.3，则（1）当A 、B 互不相容时，P （A ∪B ）= ；P （AB ）= 。
（2）当A 、B 相互独立时，P （A ∪B ）= ；P （AB ）= 。
2．三个人独立破译密码，他们能够单独译出的概率分别是,41,31,51则此密码被译出的概率是 。
3．已知P （A ）=0.5，P （B ）=0.6， P （B|A ）=0.8，则P （A ∪B ）= 。
4．掷两枚骰子，其点数之和为8的概率为 。
5．X 为一随机变量，若存在非负可积函数f (x) (-∞< x <+ ∞) ，使得对任意实数x ，都有F(x) = ，则称X 为 ，称f (x)为X 的 。
6．泊松分布的概率分布是P (X = k ) = ，它的数学期望E( X )= ，方差D(X) = 。
均匀分布的概率密度函数是f (x) = ，它的数学期望E( X ) = ，方差D(X) = 。
7．设随机变量X 的概率密度函度为⎩⎨⎧<<=其它10)(2x Ax x f 则A= ；P{| X |＜21} = 。
8．设随机变量X 服从二项分布B （4，7.0），则P{ X = 1 }= 。
9．设X~N （100，σ2），且P{X ≥110}=0.16，Φ(1)=0.84，则σ= 。
二．选择题：（每小题2分，共10分）1．设A 、B 为任意两个事件，且A ⊂B ，P （B ）＞0，则下列选项必然成立的是（ ）。
（A ）P （A ）＜P （A | B ） （B ）P （A ）≤P （A | B ） （C ）P （A ）＞P （A | B ） （D ）P （A ）≥P （A | B ）2．设X ～N （0，σ2），则服从自由度为n-1的t 分布的随机变量是（ ）。
（A ）SX n __ （B ）S X 1n __- （C ）s 2__X n （D ）S2__X1n - 3．掷两枚均匀硬币，出现“一正一反”的概率是（ ）。
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错选、多选或未选均无分。
1.下列选项正确的是( B ).A. B.C. (A-B)+B=AD.2.设，则下列各式中正确的是 ( D ).A.P(A-B)=P(A)-P(B)B.P(AB)=P(A)P(B)C. P(A+B)=P(A)+P(B)D. P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)3.同时抛掷3枚硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率是( D ).A. B. C. D.4.一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1，2，3，4，5顺序的概率为( B ).A. B. C. D.5.设随机事件A，B满足，则下列选项正确的是 ( A ).A. B.C. D.6.设随机变量X的概率密度函数为f (x)，则f (x)一定满足( C ).A. B. f (x)连续C. D.7.设离散型随机变量X的分布律为，且，则参数b的值为( D ).A. B. C. D. 18.设随机变量X, Y都服从[0, 1]上的均匀分布，则= (A ).A.1B.2C.1.5D.09.设总体X服从正态分布，,为样本，则样本均值~ ( D ).A. B. C. D.10.设总体是来自X的样本，又是参数的无偏估计，则a = (B ).A. 1B.C.D.二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11.已知，且事件相互独立，则事件A，B，C至少有一个事件发生的概率为 .12. 一个口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取两个球，则这两个球恰有一个白球一个黑球的概率是___0.6________.13.设随机变量的概率分布为为的分布函数，则 0.6 .14. 设X服从泊松分布，且，则其概率分布律为 .15.设随机变量X的密度函数为,则E(2X+3) = 4 .16.设二维随机变量(X, Y)的概率密度函数为.则(X, Y)关于X的边缘密度函数 .17.设随机变量X与Y相互独立，且则= 0.15 .18.已知，则D(X-Y)= 3 .19.设X的期望EX与方差DX都存在，请写出切比晓夫不等式或 .20. 对敌人的防御地段进行100次轰炸，每次轰炸命中目标的炮弹数是一个随机变量，其数学期望为2，方差为2.25，则在100轰炸中有180颗到220颗炮弹命中目标的概率为 0.816 . (附：)21.设随机变量X与Y相互独立，且，则随机变量F(3,5) .22.设总体X服从泊松分布P(5)，为来自总体的样本，为样本均值，则5 .23.设总体X 服从[0,]上的均匀分布,(1, 0, 1, 2, 1, 1)是样本观测值,则的矩估计为_2_________ .24.设总体，其中已知，样本来自总体X，和分别是样本均值和样本方差，则参数的置信水平为1-的置信区间为 .25.在单边假设检验中，原假设为，则备择假设为H1： .三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）26.设A，B为随机事件，，求及.解：由得：，因故所以27.设总体，其中参数未知，是来自X的样本，求参数的极大似然估计.解：设样本观测值则似然函数取对数ln得：，令，解得λ的极大似然估计为.或λ的极大似然估计量为.四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）28.设随机变量X的密度函数为，求：(1)X的分布函数F(x)；(2)；(3) E(2X+1)及DX.解：(1)当x<0时，F(x)=0.当时，.当时，.所以，X的分布函数为： .(2)=或=(3)因为，，所以，；.29.二维离散型随机变量(X,Y)的联合分布为求X与Y的边缘分布；(2)判断X与Y是否独立? (3)求X与的协方差..解：(1)因为,,所以，边缘分布分别为：(2)因为,而,,所以X与Y不独立；(3)计算得：,所以=0.9-0.7=0.2.五、应用题（10分）30. 已知某车间生产的钢丝的折断力X服从正态分布N(570, 82).今换了一批材料，从性能上看，折断力的方差不变.现随机抽取了16根钢丝测其折断力，计算得平均折断力为575.2，在检验水平下，可否认为现在生产的钢丝折断力仍为570？ ()解：一个正态总体，总体方差已知，检验.检验统计量为检验水平，临界值为，得拒绝域：|u|>1.96.计算统计量的值：，所以拒绝H0，即认为现在生产的钢丝折断力不是570.概率论与数理统计（经管类）综合试题二（课程代码 4183）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.某射手向一目标射击3次，表示“第i次击中目标”，i=1,2,3，则事件“至少击中一次”的正确表示为(A ).A. B. C. D.2. 抛一枚均匀的硬币两次，两次都是正面朝上的概率为(C ).A. B. C. D.3. 设随机事件与相互对立，且，，则有 (C ).A. 与独立B.C. D.4. 设随机变量的概率分布为则 (B ).A. 0.3B. 0.8C. 0.5D. 15. 已知随机变量X的概率密度函数为，则= ( D ).A. 0B. 1C. 2D. 36.已知随机变量服从二项分布，且，则二项分布中的参数,的值分别为( B ).A. B.C. D.7. 设随机变量X服从正态分布N(1，4)，Y服从[0，4]上的均匀分布，则E(2X+Y )= ( D ).A. 1B. 2C. 3D. 48. 设随机变量X的概率分布为则D(X+1)= ( C )A. 0B. 0.36C. 0.64D. 19. 设总体，(X1，X2，…，Xn) 是取自总体X的样本，分别为样本均值和样本方差，则有 ( B )10. 对总体X进行抽样，0，1，2，3，4是样本观测值，则样本均值为( B )A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。
错填、不填均无分。
11. 一个口袋中有10个产品，其中5个一等品，3个二等品，2个三等品.从中任取三个，则这三个产品中至少有两个产品等级相同的概率是_0.75__________.12. 已知P(A)=0.3，P(B)=0.5，P(A∪B)=0.6，则P(AB)=____0.2_______.13. 设随机变量X的分布律为是的分布函数，则____0.8_______.14.设连续型随机变量，则期望EX= .15.设则P(X+Y≤1) = 0.25 .16.设，则 0.6826 . ()17.设DX=4，DY=9，相关系数，则D(X+Y) = 16 .18.已知随机变量X与Y相互独立，其中X服从泊松分布，且DX=3，Y服从参数=的指数分布，则E(XY ) = 3 .19.设X为随机变量，且EX=0，DX=0.5，则由切比雪夫不等式得=0.5 .20.设每颗炮弹击中飞机的概率为0.01，X表示500发炮弹中命中飞机的炮弹数目，由中心极限定理得，X近似服从的分布是 N(5,4.95) .21.设总体是取自总体X的样本，则 (10) .22.设总体是取自总体X的样本，记，则 .23.设总体X的密度函数是，(X1，X2，…，Xn)是取自总体X的样本，则参数的极大似然估计为 .24.设总体，其中未知，样本来自总体X，和分别是样本均值和样本方差，则参数的置信水平为1-的置信区间为 .25.已知一元线性回归方程为，且，则 1 .三、计算题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）26. 设随机变量X服从正态分布N(2, 4)，Y服从二项分布B(10, 0.1)，X 与Y相互独立，求D(X+3Y).解：因为，所以.又X与Y相互独立，故D(X+3Y)=DX+9DY=4+8.1=12.1.27. 有三个口袋，甲袋中装有2个白球1个黑球，乙袋中装有1个白球2个黑球，丙袋中装有2个白球2个黑球.现随机地选出一个袋子，再从中任取一球，求取到白球的概率是多少？解：B表示取到白球，A1，A2，A3分别表示取到甲、乙、丙口袋.由题设知，. 由全概率公式：.四、综合题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）28.设连续型随机变量X的分布函数为，求：(1)常数k； (2)P(0.3<X<0.7)； (3)方差DX..解：(1)由于连续型随机变量X的分布函数F(x)是连续函数，所以，即k=1，故；(2)=0.4；(3)因为对于的连续点，，所以.,,29. 已知二维离散型随机变量(X，Y )的联合分布为求：(1) 边缘分布；(2)判断 X与Y是否相互独立；(3)E(XY).解：(1) 因为,,所以，边缘分布分别为：(2)因为，所以，X与Y不独立；(3).五、应用题（本大题共1小题，共6分）30.假设某班学生的考试成绩X(百分制)服从正态分布，在某次的概率论与数理统计课程考试中，随机抽取了36名学生的成绩，计算得平均成绩为=75分，标准差s = 10分.问在检验水平下，是否可以认为本次考试全班学生的平均成绩仍为72分？ ()解：总体方差未知，检验H0：对H1：，采用t检验法.选取检验统计量：由，得到临界值. 拒绝域为：|t|>2.0301 .因，故接受H0.即认为本次考试全班的平均成绩仍为72分.概率论与数理统计（经管类）综合试题三（课程代码 4183）一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。
错选、多选或未选均无分。
1.设A，B为随机事件，由P(A+B)=P(A)+P(B)一定得出(A ).A. P(AB)=0B. A与B互不相容C. D. A与B相互独立2.同时抛掷3枚硬币，则恰有2枚硬币正面向上的概率是(B ).A. B. C. D.3.任何一个连续型随机变量X的分布函数F(x)一定满足( A ).A. B.在定义域内单调增加C. D.在定义域内连续4.设连续型随机变量，则= ( C ).A. 0.5B.0.25C.D.0.755.若随机变量X与Y满足D(X+Y)=D(X-Y)，则( B ).A. X与Y相互独立B. X与Y不相关C. X与Y不独立D. X与Y不独立、不相关6.设,且X与Y相互独立，则D(X+2Y)的值是 ( A ).A. 7.6B. 5.8C. 5.6D. 4.47.设样本来自总体，则~ ( B ).A. B. C. D.8.假设总体X服从泊松分布，其中未知，2,1,2,3,0是一次样本观测值，则参数的矩估计值为 ( D ).A. 2B. 5C. 8D. 1.69.设是检验水平，则下列选项正确的是( A ).A.B.C.D.10.在一元线性回归模型中，是随机误差项，则E= ( C ).A. 1B. 2C. 0D. -1二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）请在每小题的空格中填上正确答案。