大学物理课后习题答案(北邮第三版)下

大学物理习题及解答

习题八

8-1 电量都是q 的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系? 解: 如题8-1图示

(1) 以A 处点电荷为研究对象，由力平衡知：q '为负电荷

2

220)33(π4130cos π412a q q a q '=︒εε

q q 3

3

-

='

解得 (2)与三角形边长无关．

题8-1图 题8-2图

8-2 两小球的质量都是m ，都用长为l 的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止时两线夹角为2θ,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小球所带的电量． 解: 如题8-2图示

⎪⎩⎪

⎨⎧

===220)sin 2(π41

sin cos θεθθl q F T mg T e

θ

πεθtan 4sin 20mg l q =

解得 8-3 根据点电荷场强公式

204r q

E πε=

，当被考察的场点距源点电荷很近(r →0)时，则场强→∞，这是没有物理意义的，对此应如何理解?

解:

2

0π4r r q E ϖϖε=

仅对点电荷成立，当0→r 时，带电体不能再视为点电荷，再用上式求场强是错误的，实

际带电体有一定形状大小，考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大．

8-4 在真空中有A ，B 两平行板，相对距离为d ，板面积为S ，其带电量分别为+q 和-q ．则这两板之间有

相互作用力f ，有人说f =2

02

4d q πε,又有人说，因为f =qE ,S q E 0ε=，所以f =S q 02

ε．试问这两种说法对

吗?为什么? f 到底应等于多少?

解: 题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强

S

q E 0ε=

看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解答应为一个板的电场为

S q

E 02ε=

，另一板受

它的作用力

S q S q

q f 02

022εε=

=，这是两板间相互作用的电场力． 8-5 一电偶极子的电矩为l q p ϖϖ=，场点到偶极子中心O 点的距离为r ,矢量r ϖ与l ϖ的夹角为θ,(见题8-5图)，

且l r >>．试证P 点的场强E 在r 方向上的分量r E 和垂直于r 的分量θE 分别为 r E =

302cos r p πεθ, θE =304sin r p πεθ

证: 如题8-5所示，将p ϖ分解为与r ϖ平行的分量θsin p 和垂直于r ϖ的分量θsin p ．

∵ l r >>

∴ 场点P 在r 方向场强分量

30π2cos r p E r εθ=

垂直于r 方向，即θ方向场强分量

300π4sin r p E εθ=

题8-5图 题8-6图 8-6 长l =15.0cm

的直导线AB 上均匀地分布着线密度λ=5.0x10-9C ·m

-1

的正电荷．试求：(1)在导线的延

长线上与导线B 端相距1a =5.0cm 处P 点的场强；(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距2d =5.0cm 处Q 点的场强．

解： 如题8-6图所示

(1)在带电直线上取线元x d ，其上电量q d 在P 点产生场强为

20)(d π41d x a x E P -=

λε

2220)(d π4d x a x

E E l

l

P P -==⎰⎰-ελ ]

2121[π40

l a l a +

--=ελ

)

4(π220l a l

-=

ελ

用15=l cm ，9

10

0.5-⨯=λ1

m C -⋅, 5.12=a cm 代入得

2

1074.6⨯=P E 1C N -⋅方向水平向右

(2)同理

2220d d π41d +=

x x

E Q λε 方向如题8-6图所示

由于对称性

⎰=l

Qx

E 0d ，即

Q E ϖ

只有

y

分量，

∵

22

2222

20d d d d π41d ++=

x x x

E Qy

λε

2

2π4d d ελ⎰==l

Qy

Qy E E ⎰

-+22

2

3

222)d (d l

l x x

22

20d 4π2+=

l l

ελ

以9

10

0.5-⨯=λ1

cm C -⋅, 15=l cm ,5d 2=cm 代入得

2

1096.14⨯==Qy Q E E 1C

N -⋅轴正向y ，方向沿 8-7 一个半径为R 的均匀带电半圆环，电荷线密度为λ,求环心处O 点的场强． 解: 如8-7图在圆上取ϕRd dl =

题8-7图

ϕλλd d d R l q ==，它在O 点产生场强大小为

20π4d d R R E εϕ

λ=

方向沿半径向外

则 ϕ

ϕελ

ϕd sin π4sin d d 0R E E x ==

ϕϕελ

ϕπd cos π4)cos(d d 0R

E E y -=

-=

积分

R R E x 000

π2d sin π4ελ

ϕϕελπ

==⎰

0d cos π400

=-=⎰

ϕϕελ

π

R

E y

∴

R E E x 0π2ελ

=

=，方向沿x 轴正向．

8-8 均匀带电的细线弯成正方形，边长为l ，总电量为q ．(1)求这正方形轴线上离中心为r 处的场强E ；(2)证明：在l r >>处，它相当于点电荷q 产生的场强E ．

解: 如8-8图示，正方形一条边上电荷4q 在P 点产生物强P E ϖ

d 方向如图，大小为

()

4

π4cos cos d 2

2

21l r E P +

-=

εθθλ

∵

22cos 2

2

1l r l

+

=

θ

1

2cos cos θθ-= ∴

24

π4d 2

2

2

2

l r l l r E P +

+

=

ελ

P E ϖd βcos d d P E E =⊥

在垂直于平面上的分量 ∴

42

4π4d 2

2

22

22

l r r l r l r l

E +

+

+=

⊥ελ