第二章投影作图的基本定理与方法

第二章 投影作图的基本定理与方法

知识点：四个定理和面上取点取线、线面平行、面面平行、线面相交求交点、面面相交求交线、线面垂直、面面垂直、直角三角形求直线实长等作图方法。点线面综合问题解题方法。

难点：线面相交求交点、面面相交求交线、线面垂直、面面垂直作图方法。点线面综合问题解题方法。 时间：8学时

讲课内容：

§2-1导言

在第一章中，我们仅仅解决了点、直线、平面这些几何元素的投影表达问题。或者说仅解决了图示问题。而对它们之间的几何关系及其定位和度量，例如从属问题、平行问题、相交问题、垂直问题以及长短、大小、角度、距离等的度量等等，尚需进一步研究。

此外，为区分投影重合时所产生的遮挡现象（如居前的将挡住在后的，居左的将挡住在右的，居上的将挡住在下的），也有必要对投影图进行可见性判定，分清可见的与不可见的。如直线的可见的投影部分以粗实线画出，而不可见的投影部分则以虚线表达。凡此，可称为重影问题。

以上这些问题，无疑是进行投影作图——图解的主要问题。本章所要讨论的，正是投影作图的几个基本投影定理以及几个主要的投影作图方法。应用初等几何的知识，配合这些投影作图的定理和方法，也就在纸平面上取得了自由权，可以准确无误地解决一些定位

严谨逻辑的空间逻辑思维方法。

§2-2从属问题

一．属于直线的点

设体系空间有一线段AB 。若K 点属于AB

直线，那么由图2-1可以容易看到：

1．K 点的投影（k ，k ′，k ″）也必定属于

AB 的投影（ab ，a ′b ′，a ″b ″）； 图2-1 直线上的点

2．同时，由于平行投影法的各投射线互相

平行的结果，根据初等几何学的“平行线之间所截得的各对应线段成比例”的 定理（平行截切定理），有：AK ∶KB=ak ∶kb=a ′k ′∶k ′b ′=a ″k ″∶k ″b ″

若K 点不属于直线AB ，

我们由图2-1可以得到如下结论，即理：（见图2-2）

[定理1]——若点在(属于) 若 K ∈AB ，

则 k ∈ab ，k ′∈a ′b ′，k ″∈a ″b ″ 且 KB AK =kb ak =''''b k k a ="

"""b k k a

这一定理，是一切从属问题乃至相交问题的基础。它指导着我们正确地在投影图上进行线上取点以及面上取点取线。同时也是判断点是否在直线上的根据。

[例]

图2-3 侧平线上的点

解：由图可知，AB是条侧平线。现K点的二投影都落在AB线的同名投影上，乍一看，似乎K点已属于AB线。但是，K点的W投影是否也在直线的W投影上呢？又，它

V中是无法光凭眼睛看得明白的。为要判断明白，们之间是否保持相等的分割比呢？这在

H

可有二法：

法一：求出W投影，看看k″是否也在a″b″投影上。

V判断其分割比。为此，可作图如下：法二：不求W投影，而直接从

H

①过AB的任一投影，例如a′b′的一端a′，任引一条辅助线a′t；

②在a′t上以a′为基点，截取a′s=ak，st=kb；

③联结tb′两点，作sm∥tb′，交a′b′线于m。则由之可断定，因m不与k′

重合，说明ak∶kb≠a′k′∶k′b′，所以K点不属于直线AB。

二、属于平面的直线和点

决定一条直线是否属于平面，起码的条件是：必需知道直线的两点或一点一方向是否属于平面。而要知道点是否属于平面，又必须应用到线上取点投影定理。所以，平面与直线以及平面与点的从属关系是联系在一起的。

例如图2-4，K点在不在△ABC平面上呢？当然我们不能光凭直觉就断定K点是在平面上。而只能应用线上取点定理，通过平面上的某一条直线来加以判断。

①连结a′k′并延长与b′c′交于s′点。

②设S点属于直线BC，则据s′可求得H投影s。

③连结as。发现K点的水平投影k不在所作的as上。这说明K点不在AS线上。既

然如此，K点也就不可能在△ABC平面上。

这里，我们首先进行的一个重要步骤，是取一条属于平面的线AS，这条AS线是由属于平面的两个点（A和S）决定的。显然，凡AS线上的一切点都属于平面。因此投影图上取的M点也必然是△ABC所决定的平面上的点。

总结以上所述，可以得到如下结论，即面上取点取线投影作图法。

面上取点取线作图法：面上取点，必须先取属于该面的线，使该点在该线上。在面上取线，必须在面上取两点或一点一已知方向。

这一作图法可以解决属于同一平面的三点以外的所有从属点的作图问题。或者说，只

取面上的点来进行。

四．在特殊位置平面上取点和取线

影必落在该面的积聚投影之上。如图

M、E、F各点均属于△ABC面，且M

影点。

§2-3平行问题

由于平行投影法保持平行的性质不变，所以这个问题比较简单。

一、线与线平行

2]——若空间直线与直线平行，则其各

且线段比在各投影中保留。反之，

2-8所示，即： CD

，a ′b ′∥c ′d ′，a ″b ″∥c ″d ″；

cd ab =''''d c b a ="

"""d c b a 。 二、线与面平行

线面平行作图法：该平面必需包含有一条与空间直线平行的直线；行。（见图2-9）

这一作图法的实质，仍然是两线的平行。两线中的一线作一平面，或已知平面包含平行两线中的一 图2-9 线面平行直观图 线，则该面必与直线平行。

过E 作EF ∥AB ，或 则CD 与DF 所决定的平面 作EG ∥AC ，或 必平行于AB 线。

作EH ∥BC 。等。

图2-10 线面平行的基本作图