万州三中高2014级高二上期第一次月考

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重庆市巴蜀中学2014—2015学年度高三上第一次月考数学文科试题及答案

重庆市巴蜀中学2014—2015学年度第一学期第一次月考高2015级(三上)数学试题卷 (文科)命题人：吴树才、李水艳、先莹莹一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共计50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M ＝{2，3，4}，N ＝{0，1，2，3}，则M ∩N ＝( )A ．{0，2}B ．{1，3}C ．{2，3}D ．{3，4}2．已知角α为二象限角，53sin =α，则αcos ＝( ) A.45 B.35 C ．－35 D ．－453．已知向量a ＝(2，4)，b ＝(－1，1)，则b a -2＝( )A ．(5，7)B ．(5，9)C ．(3，7)D ．(3，9)4．下列函数为奇函数的是( )A ．1)(+=x x fB ．x x x f --=22)(C ．x x x f -=2)(D ．x x x f -+=22)(5．命题“[)0,,03≥++∞∈∀x x x ”的否定是( ) A ．()0,0,3<+∞-∈∀x x x B ．()0,0,3≥+∞-∈∀x x xC ．[)0,,00300<++∞∈∃x x xD ．[)0,,00300≥++∞∈∃x x x6. 设向量11(1,0),(,)22a b == ，则下列结论中正确的是（） A ．a b = B ．a b - 与b 垂直 C ．22a b ⋅= D ．a ∥b 7．为了得到函数x x y 3cos 3sin +=的图像，可以将函数x y 3cos 2=的图像( )A ．向右平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移12π个单位 D ．向左平移4π个单位8．已知函数()x x mx x f 2ln 212-+=在区间(]2,0上是增函数，则实数m 的取值范围是（） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,43 B.⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,43 C.()+∞,1 D.[)+∞,19．已知()x f 是定义在R 上的偶函数，且()x f 在[)+∞,0上单调递减，设()7log 4f a =，)5(log 21f b =，⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=4151f c ，则c b a ,,的大小关系为（） A.a b c << B.a c b << C.c a b << D.c b a <<10. 函数⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∈-=3,0cos 5cos sin 3sin πx x x x x y 的值域是（） A.(]31-， B. ()23-， C. ()3,4- D.(]2,4-二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共计25分.）11．曲线y ＝－5e x ＋3在点(0，－2) 处的切线的斜率为________．12．0000sin 45cos15cos225sin15⋅+⋅的值为_______． 13．已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f = . 14．向量⎪⎭⎫⎝⎛+-=2sin 2,2cos 2βαβαa 的模为,3则_________tan tan =⋅βα 15．如果对定义在R 上的函数()x f ，对任意两个不相等的实数21,x x ，都有()()()()12212211x f x x f x x f x x f x +>+，则称函数()x f 为“H 函数”. 给出下列函数①x y 2=; ②x x y 23-=; ③x x y cos 2+=; ④()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0001x x x x x f .以上函数是“H 函数” 的所有序号为 .三、解答题（本大题共6小题，共计75分）16．已知2)4tan(=+απ，（1）求αtan 的值；（2）求ααα222cos 1cos sin 2+-的值17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知3a cos C ＝2c cos A ，tan A ＝13，求（1）C tan 的值；（2）角B 的值。

专题19 立体图形的直观图(解析版)

专题19 立体图形的直观图一、单选题1．关于斜二测画法画直观图说法不正确的是A ．在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同B ．平行于坐标轴的线段在直观图中仍然平行于坐标轴C ．平行于坐标轴的线段长度在直观图中仍然保持不变D ．斜二测坐标系取的角可能是135【试题来源】2021年高考一轮数学（文）单元复习一遍过【答案】C【分析】根据斜二测画法的规则，平行关系不变，平行于x 、z 轴的线段长度不变，平行于y 轴的线段长度减半，直角变为45或135进行判断，即可得出结论．【解析】对于A 选项，在实物图中取坐标系不同，所得的直观图有可能不同，A 选项正确；对于B 、C 选项，由平行于x 轴或z 轴的线段长度在直观图中仍然保持不变，平行于y 轴的线段长度在直观图中是原来的一半，则B 选项正确，C 选项错误；对于D 选项，在平面直角坐标系中，90xOy ∠=，在斜二测画法中，45x O y '''∠=或135，D 选项正确．故选C ． 2．如图，水平放置的三角形的直观图，D 是A B ''边上的一点且13D A A B ''''=，//A B Y '''轴，//C D X '''轴，那么C A ''､C B ''､C D ''三条线段对应原图形中的线段CA ､CB ､CD 中A ．最长的是CA ，最短的是CB B ．最长的是CB ，最短的是CAC ．最长的是CA ，最短的是CDD ．最长的是CB ，最短的是CD【试题来源】河北省唐山市第十一中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】D【分析】直接利用斜二测画法求解．【解析】因为//A B Y '''轴，//C D X '''轴，所以在原图中，,2,AB CD AB A B CD C D ''''⊥==，所以22222222222,2CB CD BD CD B D CA CD AD CD A D ''''=+=+=+=+，因为13D A A B ''''=，所以CB CA CD >>，故选D 3．如果一个正方形的边长为4，那么用斜二测画法画出其直观图的面积是A ．B ．C ．8D ．16【试题来源】山西省吕梁市汾阳中学、孝义中学、文水中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】B【分析】由斜二测画法的原则：横等纵半，，写出直观图面积即可．【解析】若斜二测画法所得正方形如下图A’B’C’D’，根据横等纵半知4A B C D ''''==，2A D B C ''''==且45A D C '''∠=︒，所以直观图的面积sin 45S A B A D ''''=⋅⋅︒=B ．4．已知水平放置的ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，1B O C O ''''==，12A O ''=，那么原ABC 的面积是AB ．12C ．1D ．2【试题来源】福建省三明市三地三校2020-2021学年高二上学期期中联考【答案】C【分析】由直观图求出原图三角形的高，即可求解．【解析】由直观图中12A O ''=，2B C ''=知原图中1212AO =⨯=，且AO BC ⊥，2BC =，所以原ABC 的面积是面积为1121122BC OA ⨯⨯=⨯⨯=，故选C5．如图，一个正方形OABC 在斜二测画法下的直观图是个一条边长为1的平行四边形，则正方形OABC 的面积为A ．1B ．4C ．1或4D ．不能确定【试题来源】2020-2021学年高一数学单元测试定心卷（人教版必修2）【答案】C【分析】由题意，111O A =或111O C =，可得正方形OABC 的边长为1或2，即可求出正方形OABC 的面积．【解析】由题意，111O A =或111O C =，所以正方形OABC 的边长为1或2，所以正方形OABC 的面积为1或4．故选C6．如图直角'''O A B △是一个平面图形的直观图，斜边''4O B =，则原平面图形的面积是A ．B ．C ．4D【试题来源】山东省山东师大附中2019-2020学年高一下学期5月月考【答案】A【分析】根据斜二测画法规则可求原平面图形三角形的两条直角边长度，利用三角形的面积公式即可求解．【解析】由题意可知'''O A B △为等腰直角三角形，''4O B =，则O A ''=，所以原图形中，4OB =，OA =故原平面图形的面积为142⨯⨯=A7．如图是一个水平放置的直观图，它是一个底角为45，腰和上底均为1，1的等腰梯形，那么原平面图形的面积为A ．2+B 122C ．22+D ．1+【试题来源】陕西省西安市阎良区2019-2020学年高一上学期期末【答案】A【分析】先判断原平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1，1，代入梯形的面积公式计算．【解析】平面图形的直观图是一个底角为45︒，腰和上底长均为11的的等腰梯形，∴原平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1，梯形的下底边长为1+∴原平面图形的面积22S ==+A ．8．如图，A B C '''是ABC 的直观图，其中//,//A B O x A C O y ''''''''，且1A B A C ''''==，那么ABC 的面积是A ．1B ．C ．8D 【试题来源】安徽省合肥市第六中学2020-2021学年高二上学期期末（文）【答案】A【分析】根据斜二测画法的原则，确定原三角形的形状，以及边长，即可求出三角形的面积．【解析】根据斜二测画法可得，原图形中，//AB Ox ，//AC Oy ，则AB AC ⊥，又1AB A B ''==，22AB A C ''==，所以ABC 的面积是112ABCS AB AC =⨯=，故选A ．9．如图，正方形O A B C ''''的边长为1，它是一个水平放置的平面图形的直观图，则原图形的周长为A ．4B ．6C ．8D ．2+【试题来源】陕西省西安中学2020-2021学年高一上学期期末【答案】C【分析】根据斜二测画法求解．【解析】直观图如图所示：由图知原图形的周长为13138OA AB BC CO +++=+++=，故选C10．某水平放置的OAB 用斜二测画法得到如图所示的直观图O A B '''△，若O B A B '''='，则OAB 中A ．90OBA ∠=︒B ．OB BA =C ．OB OA =D ．OB OA >【试题来源】重庆市2020-2021学年高二上学期期末联合检测数学（康德卷）试题【答案】D【分析】90OBA ∠≠，所以选项A 错误；OB BA ≠，所以选项B 错误； OB OA >，所以选项C 错误，选项D 正确．【解析】设O B A B x '''='=，所以45B A O '''∠=，所以O A ''=，所以在OAB 中，90,90BOA OBA ∠=∴∠≠，所以选项A 错误；由题得2OB x =，BA ==，所以OB BA ≠，所以选项B 错误；因为2,OB x OA ==，所以OB OA ≠，OB OA >所以选项C 错误，选项D 正确．故选D11．采用斜二测画法作一个五边形的直观图，则其直观图的面积是原来五边形面积的 A ．12倍 B ．14倍C ．2倍 D 倍【试题来源】江苏省徐州市第一中学2020-2021学年高三上学期期末【答案】D【分析】根据斜二测画法中原图形面积S 与直观图面积S '的关系式S ='即可得出答案．【解析】斜二测画法中原图形面积S 与直观图面积S '的关系式S ='所以S S '==故选D 12．如图，已知等腰三角形O A B '''△，O A A B ''''=是一个平面图形的直观图，斜边2O B ''=，则这个平面图形的面积是A ．2B ．1CD ．【试题来源】江苏省苏州市工业园区园区三中2019-2020学年高一下学期期中【答案】D【分析】利用斜二测画法，由直观图作出原图三角形，再利用三角形面积公式即可求解．【解析】因为O A B '''△是等腰直角三角形，2O B ''=，所以O A A B ''''==，所以原平面图形为且2OB O B ''==，OA OB ⊥，2OA O A ''==所以原平面图形的面积是122⨯⨯=D 13．在用斜二测画法画水平放置的△ABC 时，若∠A 的两边分别平行于x 轴、y 轴，则在直观图中∠A ′等于 A ．45° B ．135° C ．90°D ．45°或135°【试题来源】【新教材精创】练习苏教版高中数学必修第二册【答案】D【分析】根据直角在直观图中有的成为45°，有的成为135°即可得答案【解析】因∠A 的两边分别平行于x 轴、y 轴，故∠A ＝90°，在直观图中，按斜二测画法规则知∠x ′O ′y ′＝45°或135°，即∠A ′＝45°或135°．故选D ． 14．关于斜二测画法所得直观图，以下说法正确的是 A ．等腰三角形的直观图仍是等腰三角形 B ．正方形的直观图为平行四边形 C ．梯形的直观图不是梯形D ．正三角形的直观图一定为等腰三角形【试题来源】【新教材精创】练习苏教版高中数学必修第二册【答案】B【分析】根据斜二测画法的方法：平行于y 轴的线段长度减半，水平长度不变即可判断．．【解析】由于直角在直观图中有的成为45°，有的成为135°；当线段与x 轴平行时，在直观图中长度不变且仍与x 轴平行，当线段与x 轴平行时，线段长度减半，直角坐标系变成斜坐标系，而平行关系没有改变．故选B ．15．如图，正方形O A B C ''''的边长为2cm ，它是水平放置的一个平面图形用斜二测画法得到的直观图，则原图形的周长是A ．16cmB ．12cmC ．10cmD ．18cm【试题来源】江西省吉安市省重点中学2020-2021学年高二年级（10月）联合考试（文）【答案】A【分析】将直观图还原为平面图形是平行四边形，然后计算．【解析】将直观图还原为平面图形，如图所示．2OB O B ''=＝2OA O A ''==，所以6AB ==，所以原图形的周长为16cm ，故选A ．【名师点睛】本题考查斜二测画法，掌握斜二测画法的定义是解题关键．根据斜二测画法的定义才能根据直观图中直线的位置关系确定原图形中直线的位置关系，从而解决原图形中的问题．16．一个水平放置的平面图形的直观图是一个底角为45︒，腰和上底长均为1的等腰梯形，则该平面图形的面积等于A ．1B ．2+C ．122+D ．12+【试题来源】宁夏贺兰县景博中学2020-2021学年高一上学期期末考试【答案】B【分析】根据斜二测直观图的特点可知原图形为一直角梯形，根据梯形面积公式即可求解．【解析】如图，恢复后的原图形为一直角梯形，所以1(11)222S =⨯=+B ．17．如图，边长为1的正方形''''O A B C 是一个水平放置的平面图形OABC 的直观图，则图形OABC 的面积是A B ．2C D ．【试题来源】江西省南昌县莲塘第三中学2020-2021学年高二上学期第二次月考【答案】D【分析】根据直观图画出原图可得答案．【解析】由直观图''''O A B C 画出原图OABC ，如图，因为''O B =OB =，1OA =，则图形OABC 的面积是故选D18．已知用斜二测画法得到的某水平放置的平面图形的直观图是如图所示的等腰直角O B C '''，其中1O B ''=，则原平面图形中最大边长为A ．2B ．C ．3D ．【试题来源】重庆市南开中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】D【分析】在斜坐标系中作A C B C ''''⊥交x '轴于A '点有2A C，根据斜二测法的画图原则：纵半横不变，得222AC A C ，1OA =，即可知最长边BC 的长度．【解析】由斜坐标系中作A C B C ''''⊥交x '轴于A '点，由1O B ''=，O B C '''等腰直角三角形，2A C由斜二测法的纵半横不变，可将直观图在直角坐标系中还原成原平面图形如下：所以222AC A C ，1OA =，所以最长边BC =，故选D 19．如图，A O B '''为水平放置的AOB 斜二测画法的直观图，且3,42''''==O A O B ，则AOB 的周长为A ．9B ．10C ．11D ．12【试题来源】广西崇左高级中学2020-2021学年高一12月月考【答案】D【分析】由斜二测画法的直观图与原图的关系，运算即可得解．【解析】由直观图可得，在OAB 中，23,4OA O A OB O B '''='===，且OA OB ⊥，所以5AB ==，所以OAB 的周长为34512++=．故选D ．20．如图，平行四边形O A B C ''''是四边形OABC 的直观图．若3O A ''=，2O C ''=，则原四边形OABC 的周长为A ．10B ．12C ．14D ．16【试题来源】安徽省宿州市十三所重点中学2020-2021学年高二上学期期中联考（文）【答案】C【分析】按直观图画法可知原四边形的边长，进一步可求原四边形的周长．【解析】由直观图与原图形的关系，可知原四边形为矩形，边3OA =，边4OC =，所以原四边形周长为14．故选C21．如图是水平放置的三角形的直观图，2AB BC ==，AB ，BC 分别与y '轴、x '轴平行，则ABC 在原图中的对应三角形的形状和面积分别为A B ．等腰三角形；2C ．直角三角形；4D ．直角三角形；8【试题来源】浙江省台州市书生中学2020-2021学年高二上学期12月第三次月考【答案】C【分析】利用斜二测画法的定义和过程，可判断三角形的形状，以及利用边长求面积．【解析】根据斜二测的直观图的画法可知，原图中，AB BC ⊥，并且原图中2BC =，4AB =，所以ABC 在原图中的对应三角形的形状是直角三角形，面积12442S =⨯⨯=．故选C 22．已知水平放置的ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中1B O C O ''''==，A O ''=，那么原ABC 的面积是A B ．2C ．D ．4 【试题来源】江西省余干县新时代学校2020-2021学年高一上学期阶段测试（二）【答案】C【分析】由直观图可以推得原三角形底边长及高，从而可得原三角形的面积．【解析】由直观图可知，原三角形BC 边长为2，BC 边上的高为所以ABC 的面积是122⨯⨯= C ． 23．若边长为2的正111A B C △是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是ABC ．D ．【试题来源】【新东方】418【答案】D【分析】先画出该直观图，由题中条件，根据斜二测画法，求出原图形的高，以及底边长，进而可求出原图形的面积．【解析】因为直观图是由斜二测画法作出的，图中1145A OC ∠=，因为111A B C △是边长为2的正三角形，11120OA C ∠=，在11OA C 中，由正弦定理可得12sin120sin 45OC =，解得1OC =根据斜二测画法的特征，可得原水平放置的三角形的高为12OC =，底边长等于112A B =，所以原图形的面积为122⨯=D ． 24．一个三角形用斜二测画法所作的直观图是一个边长为2的正三角形，则原三角形的面积为A BC ．D ．【试题来源】重庆市万州第三中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】C【分析】在直观图中求出三角形的高，利用斜二测画法的规则求出原三角形中三角形的高后，利用面积公式可得结果．=角形的高为=122⨯=C 25．利用斜二测画法得到：①三角形的水平放置的直观图是三角形；②平行四边形的水平放置的直观图是平行四边形；③矩形的水平放置的直观图是矩形；④菱形的水平放置的直观图是菱形．以上结论正确的是A ．①B ．①②C ．③④D ．①②③④【试题来源】陕西省西安交大附中2019-2020学年高一上学期12月月考【答案】B【分析】根据斜二测画法的规则，平行关系不变，平行x 轴的线段长度不变，平行y 轴的线段长度减半，直角变为45或135判断．【解析】由斜二测画法的规则可知因为平行关系不变，所以①正确；因为平行关系不变，所以②是正确；因为直角变为45或135，所以矩形的直观图是平行四边形，所以③错误；因为平行于y 轴的线段长度减半，平行于x 轴的线段长度不变，所以④是错误，故选B ． 26．一个平面图形的斜二测画法的直观图是一个直角边为a 的等腰直角三角形，则原图形的面积为A 2B ．2C 2D 2 【试题来源】安徽省合肥市第十一中学2020-2021学年高二上学期期中（理）【答案】D【分析】先计算出直观图的面积，再根据原图面积S 与直观图的面积S '的关系为S ='，即可求解．【解析】平面图形的斜二测画法的直观图是一个直角边为a 的等腰直角三角形，212S a '∴=，则原图形的面积2212S a ==．故选D ． 27．下列命题中正确的是A ．正方形的直观图是正方形B ．平行四边形的直观图是平行四边形C ．有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱D ．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台【试题来源】2020-2021学年高一数学单元测试定心卷（人教版必修2）【答案】B【分析】选项A ，正方形的直观图是平行四边形；选项B ，由斜二测画法规则知平行性不变知②正确；选项C ，要注意棱柱的每相邻两个四边形的公共边互相平行；选项D ，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台．【解析】选项A ，正方形的直观图是平行四边形，故A 错误；选项B ，由斜二测画法规则知平行性不变，即平行四边形的直观图是平行四边形，故②正确；选项C ，有两个面平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱，要注意棱柱的每相邻两个四边形的公共边互相平行，故C 错误；选项D ，用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台，故D 错误．故选B ．28．若水平放置的四边形AOBC 按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中//AC O B ''''，A C B C ''⊥''，1A C ''=，2O B ''=，则原四边形AOBC 的面积为A ．12B ．6C ．D 【试题来源】江西省景德镇一中2020-2021学年高一上学期期末考试（理）【答案】C【分析】根据图象，由“斜二测画法”可得，四边形AOBC 水平放置的直观图为直角梯形，进而利用相关的面积公式求解即可【解析】根据图象可得，四边形AOBC 水平放置的直观图为直角梯形，作A M O B '⊥''，则211O M '=-=，由'''4A O B π∠=，得''A O =2''AO A O ==，''1AC A C ==，''2OB O B ==，且AO OB ⊥，//AC OB ，所以，原四边形AOBC 的面积为11()(12)22S AC OB AO =+⨯=⨯+⨯=C29．已知水平放置的平面四边形ABCD ，用斜二测画法得到的直观图是边长为1的正方形，如图所示，则ABCD 的周长为A ．2B ．6C ．2D ．8【试题来源】河南省洛阳市2020-2021学年高一上学期期末【答案】D【分析】根据斜二测画法可换元原图形，根据原图形计算周长即可．【解析】由直观图可得原图形如图，根据斜二测画法可知，1AB CD ==，AC =在Rt ABC 中， 3BC ===，又AD BC =，所以四边形ABCD 的周长为23218⨯+⨯=，故选D30．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形，其中2O A ''=，45B A O '''∠=，//B C O A ''''．则原平面图形的面积为A ．32B ．62C ．322D ．34【试题来源】【新东方】绍兴qw119【答案】A【分析】作出原平面图形，然后求出面积即可．【解析】45B A O '''∠=B O A '''=∠，则O A B '''△是等腰直角三角形，所以2A B OB '''==O C C B ''''⊥，45C O B '''∠=︒，所以1B C ''=，在直角坐标系中作出原图形为梯形OABC ，//OA BC ，2,1OA BC ==，高22OB = 所以其面积为1(21)22322S =+⨯=A 【名师点睛】本题考查斜二测法画平面图形直观图，求原图形的面积，可能通过还原出原平面图形求得面积，也可以通过直观图到原图形面积的关系求解：直观图面积为S '，原图形面积为S ，则24S S '=．二、多选题1．利用斜二测画法得到：①水平放置的三角形的直观图是三角形；②水平放置的平行四边形的直观图是平行四边形；③水平放置的正方形的直观图是正方形；④水平放置的菱形的直观图是菱形；以上结论正确的是A ．①B ．②C ．③D ．④【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练【答案】AB【分析】根据斜二测画法的概念选择．【解析】水平放置的n 边形的直观图还是n 边形，故①正确；因为斜二测画法是一种特殊的平行投影画法，所以②正确；因为斜二测画法中平行于纵轴的线段长度减半，所以③④错误，故选AB ．【名师点睛】本题考查斜二测画法，属于基础题．2．水平放置的ABC 的直观图如图所示，其中1B O C O ''''==，A O ''=，那么原ABC 是一个A ．等边三角形B ．直角三角形C ．三边互不相等的三角形D 【试题来源】人教A 版（2019）必修第二册过关斩将第八章【答案】AD【分析】根据斜二测画法的规则还原图形的边角关系再求解即可．【解析】由题中图形知，在原ABC 中，AO BC ⊥．2A O ''=，AO ∴=1B O C O ''''==，2BC ∴=，2AB AC ==，ABC ∴为等边三角形．ABC ∴的面积为122⨯=AD ． 3．如图所示是斜二测画法画出的水平放置的三角形的直观图，D ′为B ′C ′的中点，且A ′D ′∥y ′轴，B ′C ′∥x ′轴，那么在原平面图形ABC 中A ．AB 与AC 相等B ．AD 的长度大于AC 的长度C ．AB 的长度大于AD 的长度D ．BC 的长度大于AD 的长度【试题来源】【新教材精创】练习苏教版高中数学必修第二册【答案】AC【分析】首先根据斜二测画法的直观图还原几何图形，根据实际图形的长度关系判断选项．【解析】根据斜二测画法的直观图，还原几何图形，首先建立平面直角坐标系xoy ，//BC x 轴，并且BC B C ''=，点D 是BC 的中点，并且作//AD y 轴，即AD BC ⊥，且2AD A D ''=，连结,AB AC ，所以ABC 是等腰三角形，AB AC =，AB 的长度大于AD 的长度，由图可知BC B C ''=，2AD A D ''=，由图观察，12A DBC ''''>，所以2B C AD ''''<，即BC AD <．故选AC【名师点睛】本题考查由直观图还原实际图形，判断长度关系，重点考查斜二测画法的规则，属于基础题型．三、填空题1．已知水平放置的四边形ABCD ，按照斜二测画法画出它的直观图A ′B ′C ′D ′如图所示，其中A ′D ′＝2，B 'C '＝4，A ′B ′＝1，则DC 的长度是___________．【试题来源】备战2021年新高考数学一轮复习考点微专题【答案】【分析】根据直观图画出原图，并计算出DC 的长．【解析】画出原图如下图所示，由图可知DC ==【名师点睛】本题主要考查斜二测画法的直观图和原图的对应关系，属于基础题． 2．用斜二测画法画出的某平面图形的直观图如图，边AB 平行于y 轴，BC ，AD 平行于x轴．已知四边形ABCD 的面积为2，则原平面图形的面积为___________．【试题来源】备战2021年新高考数学一轮复习考点微专题【答案】28cm【分析】根据平面图形中，原图面积与直观图面积之间的关系即可求解．【解析】设原图面积为S ，直观图面积1S ，根据直观图面积与原图面积的关系1S =，因为1S =容易解得8S =，故答案为28cm ．【名师点睛】本题考查斜二侧画法中直观图与原图面积之间的关系，属基础题．3．如图所示，直观图四边形''''A B C D 是一个底角为45︒，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是___________．【试题来源】四川省武胜烈面中学校2020-2021学年高二上学期开学考试（文）【答案】2+【分析】根据斜二侧画法可知，原图为直角梯形，上底为1，高为2，下底为1+梯形面积公式求解即可．也可利用原图和直观图的面积关系求解．【解析】根据斜二侧画法可知，原图形为直角梯形，其中上底1AD =，高2''2AB A B ==，下底为1BC =+22=+2+ 【名师点睛】本题考查水平放置的平面图形的直观图斜二测画法，比较基础． 4．水平放置的ABC ，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的A B C '''，其中1O A O B ''''==，2O C ''=，则ABC 面积为___________．【试题来源】安徽省合肥168中学2019-2020学年高二（上）期中数学（文）试卷题【分析】把直观图还原为原图形，再计算对应图形的面积．【解析】用斜二测画法作出的直观图，还原为原图形，如图所示；ABC 中，1OA O A ''==，1OB O B ''==，2OC O C ''==，且OC AB ⊥，所以ABC 的面积为11·222ABC S AB OC ∆==⨯= 【名师点睛】本题主要考查利用斜二测画法作直观图，考查直观图面积的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平．5．如图，梯形''''A B C D 是一平面四边形ABCD 按照斜二测画法画出的直观图，其中''//''A D B C ，''2A D =，''4B C =，''1A B =，则原图形DC 边的长度是___________．【试题来源】备战2021年高考数学（理）一轮复习考点一遍过【答案】．【分析】画出原图，根据斜二测画法，由边的关系，即可得解．【解析】如图，做DH BC ⊥与H ，由题意可得2AD =，4BC =，2AB =，2,2DH HC ==，由勾股定理可得222228,DC DC =+==【名师点睛】本题考查了直观图和原图的关系，考查了斜二测画法，计算量不大，属于基础题．6．如图，平行四边形O A B C ''''是四边形OABC 的直观图．若3O A ''=，2O C ''=，则原四边形OABC 的周长为___________．【试题来源】安徽省宿州市十三所重点中学2020-2021学年高二上学期期中联考（理）【答案】14【解析】因为平行四边形O A B C ''''是四边形OABC 的直观图，且'''45AO C ∠=︒，所以四边形OABC 是矩形，且3,4OA OC ==，所以四边形OABC 的周长为2(34)14⨯+=，故答案为147．水平放置的ABC 的斜二测直观图'''A B C 如图所示，已知''3,''2A C B C ==，则ABC 的面积为___________．【试题来源】安徽省蚌埠市田家炳中学2020-2021学年高二上学期12月月考（文）【答案】6【解析】由已知直观图根据斜二测化法规则画出原平面图形，如图所示；ABC ∴的面积为132262⨯⨯⨯=．故答案为6．8．利用斜二测画法得到： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形．以上结论中，正确的是___________(填序号)．【试题来源】【新教材精创】练习苏教版高中数学必修第二册【答案】①②【分析】根据斜二测画法的特点进行判断即可．【解析】斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，有的边的长度会发生变化，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形．故答案为①②9．四边形ABCD 的直观图是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形A B C D ''''，那么四边形ABCD 的面积为___________．【试题来源】贵州省遵义市航天高级中学2020-2021学年高二上学期第一次月考【答案】2+【分析】根据四边形ABCD 的直观图是一个底角为45，腰和上底均为1的等腰梯形，可得原图是上底为1，下底为1+2的直角梯形，即可求出原图四边形ABCD 的面积．【解析】由题意知直观图如图：1A D ''=，1D C ''=，45D A B '''∠=，过点D 作D O A B '''⊥于点O ，所以2A O '=，所以121A B ''=+=，原图如图：1AB =2AD =，1CD =，所以梯形ABCD 面积为11222+⨯=+，故答案为2+【名师点睛】本题主要考查了斜二测画法作图规则，属于逆用题型．10．某水平放置的平面图形的斜二侧直观图是等腰梯形（如图所示），45ABC ∠=，112AD BC ==，则该平面图形的面积为___________．【试题来源】江西省赣州市会昌县会昌中学2020-2021学年高二上学期第一次月考（理）【答案】2【分析】根据题中条件，先求出直观图的高，得出直观图中的AB 的长，再由斜二测画法的特征，得出原图形为直角梯形，根据梯形面积公式，即可求出结果．【解析】在直观图中，过点A 作AE BC ⊥于点E ，过点D 作DF BC ⊥于点F ，因为45ABC ∠=，112AD BC ==，所以1EF AD ==，则12BE CF ==，因此2cos 452BE AB ==，又根据斜二测画法的特征可得，在原图中，AB BC ⊥，//AD BC ，即原图为直角梯形，且高为直观图中AB 的2倍，所以该平面图形的面积为()11222S =⨯+=．故答案为2．【名师点睛】本题主要考查由直观图求原图的面积，熟记斜二测画法的特征即可，属于基础题型．11．已知ABC 的斜二测直观图如图所示，则ABC 的面积为___________．【试题来源】山西省朔州市怀仁县大地学校2019-2020学年高二上学期第一次月考【答案】2【分析】求出斜二测直观图的面积，再由斜二测直观图的面积与原图的面积关系即可得解．【解析】由题意，ABC 的斜二测直观图的面积1212sin 4522S '=⨯⨯⨯=，所以ABC 的面积22S '===．故答案为2． 12．如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图为直角梯形O A B C ''''，且2O A ''=，1O C ''=，A B ''平行于y '轴，则这个平面图形的面积为___________．【试题来源】安徽省马鞍山二中2020-2021学年高二上学期10月阶段考试（文）【答案】【分析】根据斜二测画法的规则原图是水平放置的一个直角梯形，画出图象求解即可．【解析】根据斜二测画法的规则可知水平放置的图形OABC 为一直角梯形，如图：由题意可知上底为2OA =，高为AB =213BC =+=，所以该图形的面积()1322S =⨯+⨯=；故答案为 13．如图，A B C D ''''是一个平面图形ABCD 的水平放置的斜二测直观图，则这个平面图形ABCD 的面积等于___________．【试题来源】【新东方】杭州新东方高中数学试卷360【答案】。

重庆市2023_2024学年高二数学上学期12月月考试题

高2025级高二数学上期第二次月考试题考试时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.3．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是BC ，11C D 的中点.设AB a =，AD b =，1AA c =，则EF =( )A.11a b c -++B.11a b c -+C.11a b c -+-D.11a b c --.122 D ．212,F F 为椭圆的焦点且是椭圆上两点，且112MF F N =，以F 径的圆经过M 点，则4 D ．12224)(2)1y ++=任一点，则D ．4，左、右焦点分别为F ，F ，过要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9．关于空间向量，以下说法正确的是( )A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则,,,P A B C 四点共面C ．已知向量{,,}a b c 组是空间的一个基底，则{,,}a b c a +也是空间的一个基底D ．若，则,a b <>是钝角．2BD BF = D 12. 已知正方体的棱长为2，点P 满足1CP CD CC λμ=+,其中0,1,0,1λ∈∈，E 为棱1DD 的中点，则下列说法正确的有（）A. 若1//B P 平面1A BE ，则点PB. 当1μ=时，ABP 的面积为定值C. 当12λμ+=时，三棱锥11P AB D -的体积为定值D. 当12λ=时，存在点P 使得BP ⊥平面11A B E三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在空间直角坐标系中，点(1,,2)b -关于y 轴的对称点是(,1,2)a c --，则点P (,,)a b c 到坐上的点，且120PF PF ⋅=，则三角15.已知圆C ：1x y +=，过圆C 外一点P 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .若，里给出了托勒密定理，即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上时等号成立.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，双曲线C 上关于原点对称的两点B A ，满足121221⋅=⋅+⋅AB F F AF BF AF BF ，若621π=∠F AF ，则双曲线C的离心率为_________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤..1)21()13()10(.17+=∠-x y ACB B A 方程为的平分线所在的直线的，，，，已知分(1) 求AB 的中垂线方程； (2)求AC 的直线方程..0864)01()10()02()12(.1822上的动点：是圆，，，，，，已知分=+--+--y x y x M Q P B A 面积的最小值；求△QAB )1( (2)求线段PQ 的中点N 的轨迹方程..)(5)2()1(.32)0(2)12(.192的方程求直线，为坐标原点的面积为两点，△，交于的直线与作斜率为过的方程；求，轴，轴上，在点上在第一象限的一点，是的焦点，：是抛物线已知分MN O MON N M C k F C AF AB y AB y B C A p px y C F ==⊥>=20.(12分)如图，已知BCD △与MCD △都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，23AB =.(1)求点D 到平面MBC 的距离；(2)求平面MBC 与平面MAD 的夹角的余弦值.21. (12分)已知圆221:(3)9C x y ++=，222:(3)1C x y -+=，动圆M 与圆1C ，2C 均外切，记圆心M 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)直线l 过点2C ，且与曲线C 交于,A B 两点，满足223AC C B =，求直线l 的方程．22.(12分)已知E ，F 分别是椭圆C ：)0(12222>>=+b a by a x 的左顶点与左焦点，P ，Q 是C 上关于原点O 对称的两点，.14==+EF QF PF ，(1)求C 的方程；(2)已知过点)03(，-的直线l 交C 于A ，B 两点，M ，N 是直线3-=x 上关于x 轴对称的两点，证明：直线MA ，BN 的交点在一条定直线上.高2025级高二上期第二次月考数学参考答案考试时间：120分钟一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．一条直线过点 A (1，0)和 B (−2，3) ，则该直线的倾斜角为( C )3．在平行六面体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是BC ，11C D 的中点.设AB a =，AD b =，1AA c =，则EF =( A )A.1122a b c -++B.1122a b c -+C.1122a b c -+- D.1122a b c --.4．画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆A ．122B ．132+ C ．152+ D ．172+ 【详解】设右焦点(,0);F c 则2;b MF a =由对称性知2045,,b MOF c a ∠=∴=即222;b ac c a ==-所以210(1),e e e --=>解得15.2e +=故选C 6．已知12,F F 为椭圆的焦点且1225F F =，M ，N 是椭圆上两点，且112MF F N =，以12F F 为直径的圆经过M 点，则2MNF △的周长为( D ) A ．4B ．6C ．8D ．12【分析】根据椭圆定义，结合勾股定理即可求解3,1a x ==，由焦点三角形的周长公式即可求解.【详解】由于12F F 为直径的圆经过M 点，所以12MF MF ⊥，不妨设1NF x,则12MF x =，由椭圆定义可得22222MF a x,NF a x,3MNx, 由勾股定理可得2221212F F MF MF =+和22222NF MNMF ，即2220422x a x 和2222922a xx a x ，解得3,1a x ==，故2MNF 的周长为412a =，故选：D7．设抛物线24x y =上一点P 到x 轴的距离为d，点Q 为圆22(4)(2)1x y -++=任一点，则d PQ +的最小值为( C )A ．251-B ．2C ．3D ．4【分析】根据抛物线定义结合圆外一点到圆上一点最值问题即可得到答案. 【详解】因为222x y =⨯，则抛物线焦点坐标为()0,1，准线方程为1y =-，则1d PF +=，即1d PF =-，所以1d PQ PF PQ +=-+，则要使其最小，则需PF PQ +最小，因为圆22(4)(2)1x y -++=的圆心为()4,2-，半径1r =，所以()22142113d PQ PF PQ r +=-+≥+----=. 故选：C.8．双曲线C ：22221x y a b-=的左、右顶点分别为1A ，2A ，左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作直线与双曲线C 的左、右两支分别交于A ，B 两点.若22AB BF =，且121cos 4F BF ∠=，则直线1A B与2A B 的斜率之积为( A ) A ．53B ．35C ．43D ．34【分析】设2BF m =，利用双曲线定义推出相关线段的长，进而在2ABF △和12F BF 中利用余弦定理，求出43m a =以及2238c a =，继而求得2235b a =，再结合双曲线方程推出1222A B A Bb ak k ⋅=，即可求得答案.【详解】由题意结合双曲线定义可知211222AF AF aBF BF a ⎧-=⎪⎨-=⎪⎩，且22AB BF =，不妨设2BF m =，则2AB m =，12BF m a =+，11||2AF BF AB a m =-=-，24AF a m =-.在2ABF △中，121cos 4F BF ∠=，由余弦定理得21222222||||2||||cos AF AB BF AB BF F BF =+-∠⋅⋅，即22221(4)444a m m m m -=+-⨯，即2238160m am a +-=，解得43m a =. 在12F BF 中，由余弦定理得21222212112||||2||cos ||F F BF BF BF BF F BF =+-∠⋅⋅，即22214(2)2(2)4c m a m m a m =++-+⨯，即2228368c m ma a =++，结合43m a =，即得2238c a =，故得2223)(8b a a +=，即2235b a =.又可设00(,)B x y ，则22222200002221,()x y b y x a a b a-=∴=-，而12(,0),(,0)A a A a -，故122000220220053A B A B y y y k k x a x a b x a a ⋅=⋅=+-==-，故选：A三、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9．关于空间向量，以下说法正确的是( )A ．空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B ．若对空间中任意一点O ，有111632OP OA OB OC =++，则,,,P A B C 四点共面C ．已知向量{,,}a b c 组是空间的一个基底，则{,,}a b c a +也是空间的一个基底D ．若0a b ⋅<，则,a b <>是钝角【答案】ABC【分析】根据向量共面的定义可判断A ，根据共面定理可判断B ，根据基底的定义可判断C ，利用向量夹角的取值范围判断D.【详解】对于A ，因为有两个向量共线，所以这三个向量一定共面，A 正确；对于B ，因为111,632OP OA OB OC =++且1111632++=，所以P ，A ，B ，C 四点共面，B 正确；对于C ，因为{,,}a b c 是空间中的一组基底，所以,,a b c 不共面且都不为0，假设,,a b c a +共面，则()a b c a λμ=++，即0μλ=⎧⎨=⎩，则0a =，与其为基底矛盾，所以,,a b c a +不共面，所以{,,}a b b c c a +++也是空间的一组基底，C 正确；对于D ，若0a b ⋅<，则,a b <>是钝角或是180，D 错误；故选：ABC由27040x y x y --+=⎧⎨+-=⎩解得3x =，1y =，即直线l 过定点()3,1P ，A 不正确；圆C ：22(1)(2)25x y -+-=的圆心(1,2)C ，半径=5r ，22||(31)(12)5PC r =-+-=<，即点P 在圆C 内，直线l 与圆C 恒相交，B 正确；圆心C 到x 轴的距离2d =，则圆C 被x 轴截得的弦长为2222254221r d -=-=，C 不正确；由于直线l 过定点()3,1P ，圆心(1,2)C ，则直线PC 的斜率121312k -==--，当圆C 被直线l 截得的弦最短时，由圆的性质知，l PC ⊥，于是得1221m m -=-，解得34m =，D 正确. 故选：BD11．已知斜率为3的直线l 经过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，与抛物线C 交于点,A B 两点（点A 在第一象限），与抛物线的准线交于点D ，若8AB =，则以下结论正确的是（） A ．32p =B ．6AF =C ．2BD BF = D ．F 为AD 中点【分析】作出图形，利用抛物线的定义、相似三角形等知识来判断各选项命题的正误. 【详解】如下图所示：分别过点,A B 作抛物线C 的准线m 的垂线，垂足分别为点E 、M . 抛物线C 的准线m 交x 轴于点P ，则PF p =，由于直线l 的斜率为3，其倾斜角为60，//AE x 轴，60，由抛物线的定义可知，则AEF △为等边三角形，60EFP ∴∠=，则30PEF ∠，设||BD =Rt Rt DBM DAE ，则MB AE 所以||BM ，||||42xAE AF ==+ 44822x xx =++=+=,解得|6AF =,所以B 正确.26PF p ==，得3p =，12. 已知正方体的棱长为2，点P 满足1CP CD CC λμ=+,其中[][]0,1,0,1λμ∈∈，E 为棱1DD 的中点，则下列说法正确的有（）A. 若1//B P 平面1A BE ，则点PB. 当1μ=时，ABP 的面积为定值C. 当12λμ+=时，三棱锥11P AB D -的体积为定值 D. 当12λ=时，存在点P 使得BP ⊥平面11A B E 分析】构造面面平行可判定A ，根据线线平行可判定B ，利用线面平行及棱锥体积公式可判定C ，建立空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系可判定D.【详解】如图所示，取CD 中点F ，1CC 中点G ，11C D 中点H ，由正方体的特征可得四边形11A D CB 是平行四边形，故11//A B D C ，又1CC 中点G ，11C D 中点H ，所以1//GH D C ，所以1//GH A B ，同理四边形11A EGB 也是平行四边形，可知11//B G A E ，又GH ⊄平面1A BE ，1A B ⊂平面1A BE ，可得//GH 平面1A BE ，同理可得1//B G 平面1A BE ，因为1B GGH G =，1B G 、GH 平面1B GH ，平面1//B GH 平面1A BE ，若1//B P 平面1A BE ，则点P 的轨迹为线段GH ，已知正方体的棱长为2，则点P 2，故A 正确；当1μ=时，1CP CD CC λ=+，则点P 在线段11C D 上运动，由题意易得11//AB C D ，故点P 到AB 的距离是定值，所以ABP 的面积为定值，故B 正确；由正方体特征可知11AB D 是边长为22 又CD 中点为F ，1CC 中点为G ，当12λμ+=时， 11111112222CP CD CC CC C D CP CG GF GP GF λλλλλ⎛⎫=+-=+⇒=+⇒= ⎪⎝⎭，故G P F 、、共线，即点P 在线段FG 上运动，且1//FG AB ，FG ⊄平面11AB D ，1AB ⊂平面11AB D ，所以//FG 平面11AB D ，可得点P 到平面11AB D 的距离是定值，可得三棱锥11P AB D -的体积为定值，故C 正确；如下图所示，以点A 为原点，分别以AB ，AD ，1AA 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，所以()10,0,2A ，()12,0,2B ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()12,2,2C ，则()()1112,0,0,1,2,2A B BP BC CD CC λμμ==++=-，若存在点P 使得BP ⊥平面11A B E ，那么11BP A B ⊥，而1120BP A B ⋅=-≠，故当12λ=时，不存在点P 使得BP ⊥平面11A B E ，故D 选项错误. 故选：ABC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在空间直角坐标系中，点(1,,2)b -关于y 轴的对称点是(,1,2)a c --，则点P (,,)a b c 到坐标原点O 的距离=PO _________. 【答案】【详解】试题分析：两点关于y 轴对称，则两点的横坐标，竖坐标互为相反数，纵坐标相同，所以由点(1,,2)b -关于y 轴的对称点是(,1,2)a c --可得1,1,0a b c ==-=()1,1,0P ∴-，PO =上的点，且120PF PF ⋅=，则三角【分析】由椭圆定义以及勾股定理即可求得128PF PF ⋅=，即可求得三角形1228PF PF a +==， 22212448PF PF c +==， ()()222121212264PF PF PF PF PF PF ⋅=+-+=-因此可得三角形12PF F 的面积为12142S PF PF ⋅==. 故答案为：415.已知圆C ：221x y +=，过圆C 外一点P 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .若120APB ︒∠=，则AB =_1_____.16．古希腊数学家托勒密在他的名著《数学汇编》，里给出了托勒密定理，即任意凸四边形中，两条对角线的乘积小于等于两组对边的乘积之和，当且仅当凸四边形的四个顶点同在一个圆上【分析】由题意可得四边形12AF BF 为平行四边形，根据121221⋅=⋅+⋅AB F F AF BF AF BF 及托勒密定理可得四边形12AF BF 为矩形．利用双曲线的定义、直角三角形的边角关系即可得出结论．【详解】由双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F 及双曲线上关于原点对称的两点A ，B ，则OA OB =，12OF OF =，可得四边形12AF BF 为平行四边形，又121221⋅=⋅+⋅AB F F AF BF AF BF 及托勒密定理，可得四边形12AF BF 为矩形．设1||AF m =，1()BF n m n =>，在12Rt AF F 中，12π6AF F ∠=，则2m n a -=，πtan 6n m =⋅， n c ∴=，3m c =，2m c a =+， ∴32c c a =+，解得31ca=+．∴双曲线的离心率为31+．故答案为：31+．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤..1)21()13()10(.17+=∠-x y ACB B A 方程为的平分线所在的直线的，，，，已知分(2) 求AB 的中垂线方程； (2)求AC 的直线方程. 答案：012)2(;0528)1(=--=--y x y x.0864)01()10()02()12(.1822上的动点：是圆，，，，，，已知分=+--+--y x y x M Q P B A(3) 面积的最小值；求△QAB )1( (2)求线段PQ 的中点N 的轨迹方程..)(5)2()1(.32)0(2)12(.192的方程求直线，为坐标原点的面积为两点，△，交于的直线与作斜率为过的方程；求，轴，轴上，在点上在第一象限的一点，是的焦点，：是抛物线已知分MN O MON N M C k F C AF AB y AB y B C A p px y C F ==⊥>=20.(12分)如图，已知BCD △与MCD △都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，23AB =.(1)求点D 到平面MBC 的距离；(2)求平面MBC 与平面MAD 的夹角的余弦值.22. (12分)已知圆221:(3)9C x y ++=，222:(3)1C x y -+=，动圆M 与圆1C ，2C 均外切，记圆心M 的轨迹为曲线C ． (1)求曲线C 的方程；(2)直线l 过点2C ，且与曲线C 交于,A B 两点，满足223AC C B =，求直线l 的方程．【答案】(1)()22118y x x -=≥ (2))353y x =±-【详解】（1）由题意可知：圆1C 的圆心()13,0C -，半径13r =，圆2C 的圆心()23,0C -，半径23r =，由条件可得1231MC MC -=-，即12122MC MC C C -=<，则根据双曲线的定义可知，点M 是以1C ，2C 为焦点，以2为实轴长的双曲线的右支，则1,2a c ==，可得2228b c a =-=，所以曲线C 的方程为()22118y x x -=≥．（2）由（1）可知：双曲线的渐近线方程为22y x =±，即24x y =±，由于()23,0C 且直线AB 的斜率不等于0，不妨设2:34l x my m ⎛⎫=+< ⎪ ⎪⎝⎭，()11,A x y ，()22,B x y ，则()2113,AC x y =--，()2223,C B x y =-，由223AC C B =可得123y y =-，联立方程22318x my y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去x 得()228148640m y my -++=则0∆>，由韦达定理可得12212248816481m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，由1221248813m y y m y y ⎧+=-⎪-⎨⎪=-⎩，解得122272812481m y m m y m ⎧=-⎪⎪-⎨⎪=⎪-⎩，代入1226481y y m =-可得222247264818181m m m m m ⎛⎫⨯-= ⎪---⎝⎭，解得211358m =<，即3535m =±，因此直线35:335l x y =±+，即()353y x =±-.22.(12分)已知E ，F 分别是椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的左顶点与左焦点，P ，Q 是C 上关于原点O 对称的两点，.14==+EF QF PF ，(1)求C 的方程； (2)已知过点)03(，-的直线l 交C 于A ，B 两点，M ，N 是直线3-=x 上关于x 轴对称的两点，证明：直线MA ，BN 的交点在一条定直线上.。

重庆市璧山来凤中学2024-2025学年高二上学期第一次月考(10月)数学试题

重庆市璧山来凤中学2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）数学试题一、单选题1．直线30x y ++=与直线230x y -+=的交点坐标为A ．()3,0-B ．()2,3--C ．()0,1D ．()1,0-2．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD BB ++等于（）A ．АCB ．1АC C ．1BC D ．1BD3．已知平行四边形ABCD 中，A （4，1，3），()2,5,1B -，()3,7,5C -，则顶点D 的坐标为（）A ．7,4,12⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．（2，3，1）C ．()3,1,5-D ．()5,13,3-4．已知(2,,)(,)=-+-∈ m a b a b a b R 是直线l 的方向向量，(2,1,2)=-n 是平面α的法向量．若l α⊥，则下列选项正确的是（）A ．340a b --=B ．350a b --=C ．13,22a b =-=D ．13,22a b ==-5．已知直线:153x yl -=的倾斜角为α，则sin2α=（）A ．1534-B ．1534C ．1517-D ．15176．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90BAC ∠=︒，D ，E ，F 分别是棱AB ，BC ，CP 的中点，2AB AC ==，4PA =，则直线PA 与平面DEF 所成角的余弦值为（）A ．5B C D ．57．如图，已知二面角l αβ--的大小为60o ，A α∈，B β∈，,C D l ∈，,AC l BD l ⊥⊥且3AC BD ==，5CD =，则AB =（）AB ．6C ．D ．78．设直线l ：20x y +-=，点()1,0A -，()10B ,，P 为l 上任意一点，则PA PB +的最小值为（）ABC D二、多选题9．若()()()121,,632P AB P A P B ===，则下列说法正确的是（）A ．()12P A =B ．事件A 与B 不互斥C ．事件A 与B 相互独立D ．事件A 与B 不一定相互独立10．若直线:(21)(3)10l a x a y -+-+=不经过第四象限，则实数a 的可能取值为（）A ．13B ．43C ．3D ．411．已知单位向量i ，j ，k 两两所成的夹角均为θ（0πθ<<，且π2θ≠），若空间向量a满足(),,R a xi yj zk x y z =++∈ ，则有序实数组(),,x y z 称为向量a在“仿射”坐标系O zyz -（O 为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作(),,a x y z θ=，则下列命题正确的有（）A ．已知(2,0,1)a θ=- ，(1,0,2)b θ= ，则0a b ⋅=B ．已知111(,,)a x y z θ= ，222(,,)b x y z θ= ，则121212(,,)a b x x y y z z θ-=---C ．已知3π(1,0,0)OA = ，3π(0,1,0)OB =，3π(0,0,1)OC = ，则三棱锥O ABC -的体积12V =D ．已知π3(,,0)a x y =，π3(0,0,)b z =，其中0xyz ≠，则当且仅当x y =，向量a，b 的夹角取得最小值三、填空题12．设空间向量()1,,2a m =- ，()2,2,4b =- ，若a b ⊥，则m =.13．重庆是一座魔幻都市，有着丰富的旅游资源.甲、乙两人相约来到重庆旅游，两人分别从,,,A B C D 四个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人恰好选择同一景点的概率为.14．在正方体ABCD -1111D C B A 中，点Р在侧面11BCC B (包括边界)上运动，满足AP 1BD ⊥记直线1C P 与平面1ACB 所成角为α，则sin α的取值范围是四、解答题15．求经过直线1L ：370x y +-=与直线2L ：2310x y --=的交点M ，且满足下列条件的直线方程.（1）与直线210x y ++=平行；（2）与直线210x y ++=垂直.16．如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱1DD ，11C D 的中点.(1)求1B F //平面1A BE ；(2)求直线BE 与平面11ABB A 所成角的正弦值.17．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，满足222sin sin sin sin sin A C B A C +=+.(1)求角B 的大小；(2)若ABC Va c +的最小值．18．2020年年底，某城市的地铁建设项目已经基本完工，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地铁站点随机抽取若干市民对该项目进行评分(评分均为整数，最低分40分，最高分100分)，绘制如下频率分布直方图，并将市民的所有打分分数从低到高分为四个等级：满意度评分低于60分60分到79分80分到89分不低于90分满意度等级不满意基本满意满意非常满意已知满意度等级为“基本满意”的市民有680人．（1）求频率分布于直方图中a 的值，并依据频率分布直方图估计评分等级为“不满意”的人数；（2）在（1）所得评分等级为“不满意”的市民中，老年人占13，中青年占23，现从该等级市民中按年龄分层抽取6人了解不满意的原因，并从中选取2人担任整改督导员，求至少有一位老年督导员的概率；（3）相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需进行整改．已知频率分布直方图中同一组中的数据用该组区间中点值代替，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由．（注：满意指数=100满意度评分的平均分）19．如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，AB AD ⊥，5AB AD +=，CD =，120PAD ∠=︒，=45ADC ∠︒.(1)求证：平面PAB ⊥平面PAD ；(2)设AB AP =.①若直线PB与平面PCD AB的长.②在线段AD上是否存在点G，使得点P，C，D在以G为球心的球上？若存在，求线段AB 的长；若不存在，说明理由.。

江西省(外国语学校)高二数学上学期第一次月考试题理

"江西省宜春九中〔外国语学校〕2021学年高二数学上学期第一次月考试题理 "一、选择题〔本大题共12小题，共分〕1.数列：1,,,,的一个通项公式是( )A. B. C. D.2.向量与满足,,且,那么( )A. 2B. 1C.D. 43.在等比数列中,,那么项数n为( )A. 6B. 5C. 4D. 34.等差数列的前n项和为,,且,那么( )A. 6B. 7C. 8D. 95.设等差数列的前n项和为,假设,那么等于( )A. 39B. 54C. 56D. 426.在等比数列中,假设,是方程的两根,那么的值是( )A. B. C. D.7.中,假设,且,那么的值为( )A. 3B. 2C.D.8.等比数列的各项均为正数,且,那么( )A. 12B. 10C. 8D.9.等比数列满足,且,,成等差数列,那么此数列的公比等于( )A. 1B.C.D. 210.假设数列满足为常数,那么称为等比数列,k叫公比差是以2为公比差的等比数列,其中,,那么( )A. 16B. 48C. 384D. 102411.是等差数列,公差d不为零,前n项和是,假设,,成等比数列,那么( )A. ,B. ,C. ,D. ,12.的值为( )A. B. C. D.二、填空题〔本大题共4小题，共分〕13.向量与的夹角为,且,,那么______．14.,的等差中项是______ ．15.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,假设,,,那么________．16.是等差数列的前n项和,且,给出以下五个命题：；；；数列中的最大项为；其中正确命题的序号是：______ ．三、解答题〔本大题共6小题，共70.0分；17题总分值10分，其余5题总分值12分〕17.在中,,求sin C的值；假设,求的面积．18.等差数列满足：,,的前n项和为．求及；求数列的前n项和为．19.数列中,,是常数,,2,3,,且,,成公比不为1的等比数列．求c的值；求的通项公式．20.设数列的前n项和为,且数列满足,．求数列的通项公式；证明：数列为等差数列,并求的通项公式；21.数列的前n项和为,且．求数列的通项公式；假设,设数列的前n项和为,证明．22.函数,数列的前n项和为,点均在函数的图象上．求数列的通项公式；假设函数,令,求数列的前2021项和．宜春九中〔外国语学校〕2021届高二年级上学期第一次月考理科数学试卷一、选择题〔本大题共12小题，共分〕22.数列：1,,,,的一个通项公式是( )A. B. C. D.【答案】D【解析】解：观察数列各项,可写成：,,,,应选：D．观察数列各项,可写成：,,,,即可得出结论．此题考查了通过观察分析归纳求出数列的通项公式的方法,属于根底题．23.向量与满足,,且,那么( )A. 2B. 1C.D. 4【答案】A【解析】解：向量与满足,,,,,,．应选：A．先求出,再由,求出,由此能求出此题考查向量的模的求法,考查向量的坐标运算法那么、向量垂直的性质等根底知识,考查推理论证能力、运算求解能力,考查函数与方程思想、数形结合思想,是根底题．24.在等比数列中,,那么项数n为( )A. 6B. 5C. 4D. 3【答案】C【解析】解：等比数列中,,,．应选：C．利用等比数列的通项公式,可求项数n．此题考查等比数列的通项公式,考查学生的计算能力,属于根底题．25.等差数列的前n项和为,,且,那么( )A. 6B. 7C. 8D. 9【答案】D【解析】解：设等差数列的公差为d,,且,,,解得,．那么．应选：D．设等差数列的公差为d,由,且,可得,,解出即可得出．此题考查了等差数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．26.设等差数列的前n项和为,假设,那么等于( )A. 39B. 54C. 56D. 42【答案】A【解析】解：由等差数列的性质可得：．,,解得．那么．应选：A．由等差数列的性质可得：根据,可得,此题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．27.在等比数列中,假设,是方程的两根,那么的值是( )A. B. C. D.【答案】C【解析】解：,是方程的两根,,．,．由等比数列,,．由等比数列的性质可得：,,同号．．利用根与系数的关系可得,再利用等比数列的性质即可得出．此题考查了一元二次方程根与系数的关系、等比数列的性质,属于根底题．28.中,假设,且,那么的值为( )A. 3B. 2C.D.【答案】B【解析】【分析】此题考查了平面向量的性质运算与平面向量根本定理等知识,属于根底题．利用平面向量的性质运算,得出用、表示的式子,再平面向量根本定理结合题意,算出x、y的值,可得的值．【解答】解：,,整理得,又,,,可得,应选：B．29.等比数列的各项均为正数,且,那么( )A. 12B. 10C. 8D.【答案】B【解析】【分析】此题主要考查了等比数列的性质,解题的关键是灵活利用了等比中项的性质,以及对数运算,属较易题．先根据等比中项的性质可知,进而根据,求得的值,最后根据等比数列的性质求得答案可得．【解答】解：由等比数列的性质可得,,,10．应选B．30.等比数列满足,且,,成等差数列,那么此数列的公比等于( )A. 1B.C.D. 2【答案】D【解析】解：,,成等差数列,,设数列的公比为q,那么,,,,．应选：D．由,,成等差数列可得,结合等比数列的通项公式可求公比q的值．此题主要考查了等比数列的性质、通项公式及等差数列的性质,以及运算能力属根底题．31.假设数列满足为常数,那么称为等比数列,k叫公比差是以2为公比差的等比数列,其中,,那么( )A. 16B. 48C. 384D. 1024【答案】C【解析】解：根据定义,得,,又,,又,．应选：C．由,2,3,分别求出,,,,此题主要考查数列递推式的知识点,解答此题的关键是计算要准确,是根底题．32.是等差数列,公差d不为零,前n项和是,假设,,成等比数列,那么( )A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】B【解析】【分析】此题主要考查等差数列和等比数列的性质,等差数列的前n项和,属于一般题．【解析】解：设等差数列的首项为,那么,,,由,,成等比数列,得,整理得：．,,,．应选B．33.的值为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】解：．．应选：B．利用等比数列求和公式求出通项的和,然后求解即可．此题考查等比数列求和公式的应用,考查计算能力．二、填空题〔本大题共4小题，共分〕34.向量与的夹角为,且,,那么______．【答案】10【解析】【分析】此题考查了向量的数量积公式,属于根底题．利用向量的模、夹角形式的数量积公式,求出即可．【解答】解：,,．故答案为10．35.,的等差中项是______ ．【答案】【解析】解：设a为,的等差中项,那么,,故答案为：由等差中项可得,化简根式可得a值．此题考查等差数列的通项公式,涉及根式的化简,属根底题．36.的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,假设,,,那么________．【答案】【解析】【分析】此题考查正弦定理的运用,同时考查两角和的正弦公式和诱导公式,以及同角的平方关系的运用,考查运算能力,属于中档题．运用同角的平方关系可得sin A,sin C,再由诱导公式和两角和的正弦公式,可得sin B,运用正弦定理可得,代入计算即可得到所求值．【解答】解：由,,且A,B,,可得,,,由正弦定理可得．故答案为．37.是等差数列的前n项和,且,给出以下五个命题：；；；数列中的最大项为；其中正确命题的序号是：______ ．【答案】【解析】解：,,化为：,,,,,,,数列中的最大项为．综上可得：其中正确命题的序号是：．故答案为：．由,可得,化为：,,即可得出,,,,进而判断出结论．此题考查了等差数列的通项公式与求和公式及其性质、不等式的解法与性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．三、解答题〔本大题共7小题，共分〕38.在中,,求sin C的值；假设,求的面积．【答案】解：,,由正弦定理可得；,那么,,,又由可得,,．【解析】此题考查了正弦定理和两角和正弦公式和三角形的面积公式,属于根底题．根据正弦定理即可求出答案；根据同角的三角函数的关系求出cos C,再根据两角和正弦公式求出sin B,根据面积公式计算即可．39.等差数列满足：,,的前n项和为．求及；求数列的前n项和为．【答案】解：Ⅰ设等差数列的公差为d,,,,解得,,；．Ⅱ由Ⅰ可知,,,．．【解析】Ⅰ设等差数列的公差为d,利用等差数列的通项公式与前n项和公式即可得出．Ⅱ由Ⅰ可知,,可得,利用“裂项求和〞即可得出．此题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和〞,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．40.数列中,,是常数,,2,3,,且,,成公比不为1的等比数列．求c的值；求的通项公式．【答案】解：,,,因为,,成等比数列,所以,解得或．当时,,不符合题意舍去,故．当时,由于,,,所以．又,,故3,．当时,上式也成立,所以2,【解析】此题考查数列的性质和应用,解题时要注意计算能力的培养．由题意知,解得或再由当时,,不符合题意舍去,知．由题意知,所以由此可知2,41.设数列的前n项和为,且数列满足,．求数列的通项公式；证明：数列为等差数列,并求的通项公式；【答案】解：当时,,当时,,满足上式,．证明：由得,,,又,是等差数列,公差为2,首项为1,,即．【解析】利用递推关系即可得出；由得,,变形为,利用等差数列的通项公式即可得出．此题考查了递推关系的意义、等差数列的通项公式,考查了变形能力、推理能力与计算能力,属于中档题．42.数列的前n项和为,且．求数列的通项公式；假设,设数列的前n项和为,证明．【答案】解：当时,,得,当时,,即,所以数列是以1为首项,3为公比的等比数列,所以．由得,所以,所以,两式相减得, 即,所以．【解析】利用递推关系即可得出．利用“错位相减法〞、等比数列的求和公式即可得出．此题考査了等比数列的通项公式与求和公式、“错位相减法〞、数列的递推关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．函数,数列的前n项和为,点均在函数的图象上．求数列的通项公式；假设函数,令,求数列的前2021项和．【答案】解：点在函数的图象上,．当时,；当时,,适合上式,．,．又由知,．,又,得,．【解析】【分析】此题考查数列的通项公式以及和的计算．将点代入桉树解析式,再利用求出通项,注意的检验；由函数解析式证明采用倒叙相加法即可求和．。

重庆市第一中学2014_2015学年高二数学上学期期中试卷文(含解析)

重庆一中2014-201 5学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10个小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.）1．（5分）直线x﹣y+1=0的倾斜角是（）A．30°B．C．D．135°2．（5分）如果命题“p∨q”为真命题，则（）A．p，q中至少有一个为真命题B．p，q均为假命题C．p，q均为真命题D．p，q中至多有一个为真命题3．（5分）全称命题“∀x∈R，x2+2x+3≥0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x+3＜0 B．∀x∉R，x2+2x+3≥0C．∃x∈R，x2+2x+3≤0D．∃x∈R，x2+2x+3＜04．（5分）已知直线m，n，l，若m∥n，n∩l=P，则m与l的位置关系是（）A．异面直线B．相交直线C．平行直线D．相交直线或异面直线5．（5分）设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．（5分）已知圆锥的母线长为4，侧面展开图的中心角为，那么它的体积为（）A．B．C．D．4π7．（5分）以直线x﹣2y=0和x+2y﹣4=0的交点为圆心，且过点（2，0）的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1 B．（x+2）2+（y+1）2=1 C．（x﹣2）2+（y ﹣1）2=2 D．（x+2）2+（y+1）2=28．（5分）对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是（）A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n9．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（）A．1 B．C．2 D．310．（5分）过双曲线的右焦点F2向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，l与另一条渐近线交于Q点，若，则双曲线的离心率为（）A．2 B．3 C．4 D．6二、填空题.（共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是．12．（5分）已知球的体积为，则球的大圆面积是．13．（5分）设M为圆（x﹣5）2+（y﹣3）2=9上的点，则M点到直线3x+4y﹣2=0的最短距离为．14．（5分）一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，，3，则这个球的表面积为．15．（5分）已知双曲线=1的右焦点为F，P是双曲线右支上任意一点，定点M（6，2），则3|PM|+|PF|的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答题卷相应的位置上．16．（13分）如图直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CB，E、F、M分别是棱CC1、AB、BB1中点．（1）求证：平面AEB1∥平面CFM；（2）求证：CF⊥BA1．17．（13分）已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：m2﹣15m＜0，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围．18．（13分）如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A．（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．19．（12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆焦点F作弦AB．当直线AB斜率为0时，弦AB长4．（1）求椭圆的方程；（2）若|AB|=．求直线AB的方程．20．（12分）已知四棱锥G﹣ABCD，四边形ABCD是长为2a的正方形，DA⊥平面ABG，且GA=GB，BH⊥平面CAG，垂足为H，且H在直线CG上．（1）求证：平面AGD⊥平面BGC；（2）求三棱锥D﹣ACG的体积；（3）求三棱锥D﹣ACG的内切球半径．21．（12分）已知椭圆的两焦点为，，离心率．（1）求此椭圆的方程；（2）设直线l：y=x+m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m 的值；（3）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．重庆一中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题；每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.）1．（5分）直线x﹣y+1=0的倾斜角是（）A．30°B．C．60°D．135°考点：直线的倾斜角．专题：直线与圆．分析：化直线的方程为斜截式可得直线的斜率，进而可得其倾斜角．解答：解：直线方程可化为：y=x+1，∴直线的斜率为1，设其倾斜角为α，0°≤α＜180°，则可得tanα=1，∴α=45°故选：B点评：本题考查直线的倾斜角，涉及斜率和倾斜角的关系，属基础题．2．（5分）如果命题“p∨q”为真命题，则（）A．p，q中至少有一个为真命题B．p，q均为假命题C．p，q均为真命题D．p，q中至多有一个为真命题考点：复合命题的真假．专题：简易逻辑．分析：根据p∨q为真命题的定义即可找出正确选项．解答：解：根据p∨q为真命题的定义即可知道：A正确．故选A．点评：考查真假命题的概念，以及p∨q真假和p，q真假的关系．3．（5分）全称命题“∀x∈R，x2+2x+3≥0”的否定是（）A．∀x∈R，x2+2x+3＜0 B．∀x∉R，x2+2x+3≥0C．∃x∈R，x2+2x+3≤0D．∃x∈R，x2+2x+3＜0考点：全称命题；命题的否定．专题：简易逻辑．分析：根据全称命题的否定要改成存在性命题的原则，可写出原命题的否定．解答：解：原命题为：∀x∈R，x2+2x+3≥0∵原命题为全称命题∴其否定为存在性命题，且不等号须改变∴原命题的否定为：∃x∈R，x2+2x+3＜0故选项为：D．点评：本题考查命题的否定的写法，常见的命题的三种形式写否定：（1）“若A，则B”的否定为“若￢A，则￢B”；（2）全称命题的否定为存在性命题，存在性命题的否定为全称命题；（3）切命题的否定为或命题，或命题的否定为切命题．本题考查第二种形式，属简单题4．（5分）已知直线m，n，l，若m∥n，n∩l=P，则m与l的位置关系是（）A．异面直线B．相交直线C．平行直线D．相交直线或异面直线考点：异面直线的判定．专题：空间位置关系与距离．分析：利用正方体的空间结构求解．解答：解：如图，AB∥CD，CD∩DD1=D，∴AB与DD1异面，AB∥CD，CD∩AD=D，∴AB与AD相交，∴若m∥n，n∩l=P，则l与m的位置关系：相交或异面．故选D．点评：本题考查两直线的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．5．（5分）设x∈R，则“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：求出二次不等式的解，然后利用充要条件的判断方法判断选项即可．解答：解：由2x2+x﹣1＞0，可知x＜﹣1或x＞；所以当“x＞”⇒“2x2+x﹣1＞0”；但是“2x2+x﹣1＞0”推不出“x＞”．所以“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的充分而不必要条件．故选A．点评：本题考查必要条件、充分条件与充要条件的判断，二次不等式的解法，考查计算能力．6．（5分）已知圆锥的母线长为4，侧面展开图的中心角为，那么它的体积为（）A．B．C．D．4π考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：设圆锥的底面半径为R，利用侧面展开图的中心角为，求得R，再根据圆锥的底面半径，高，母线构成直角三角形求得圆锥的高，代入圆锥的体积公式计算．解答：解：设圆锥的底面半径为R，∵侧面展开图的中心角为，∴×π×4=2πR，∴R=1，圆锥的高为=，∴圆锥的体积V=×π×12×=．故选：A．点评：本题考查了圆锥的体积公式及圆锥的侧面展开图，解答的关键是利用圆锥的底面半径，高，母线构成直角三角形求得圆锥的高．7．（5分）以直线x﹣2y=0和x+2y﹣4=0的交点为圆心，且过点（2，0）的圆的方程为（）A．（x﹣2）2+（y﹣1）2=1 B．（x+2）2+（y+1）2=1 C．（x﹣2）2+（y ﹣1）2=2 D．（x+2）2+（y+1）2=2考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：求出直线的交点坐标，然后求出圆的半径，即可求出圆的方程．解答：解：由题意，直线x﹣2y=0和x+2y﹣4=0联立，解得x=2，y=1，∴两条直线的交点为：（2，1）．所求圆的半径为：1，∴所求圆的标准方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1．故选：A．点评：本题考查圆的标准方程的求法，求出圆的圆心与半径是解题的关键．8．（5分）对于直线m、n和平面α，下面命题中的真命题是（）A．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n∥αB．如果m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，那么n与α相交C．如果m⊂α，n∥α，m、n共面，那么m∥nD．如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n考点：四种命题的真假关系；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系．分析：根据空间中直线与直线之间的位置关系和空间中直线与平面之间的位置关系及其性质对A、B、C、D四个选项进行一一判断，从而进行求解．解答：解：A、∵m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，若n⊥m，则n⊥α，故A错误；B、∵m⊂α，n⊄α，m、n是异面直线，可知n与α也可以平行，故B错误；C、∵m⊂α，n∥α，m、n共面，⇒m∥n，故C正确；D、∵m∥α，n∥α，m、n共面，可知m与n也可以垂直，故D错误；故选C．点评：此题是一道立体几何题，主要考查直线与直线之间的位置关系：相交与平行；空间中直线与平面之间的位置关系：平行或相交，比较基础．9．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于O、A、B三点，O为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，则p=（）A．1 B．C．2 D．3考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求出双曲线的渐近线方程与抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程，进而求出A，B两点的坐标，再由双曲线的离心率为2，△AOB的面积为，列出方程，由此方程求出p的值．解答：解：∵双曲线，∴双曲线的渐近线方程是y=±x又抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程是x=﹣，故A，B两点的纵坐标分别是y=±，双曲线的离心率为2，所以，∴则，A，B两点的纵坐标分别是y=±=，又，△AOB的面积为，x轴是角AOB的角平分线∴，得p=2．故选C．点评：本题考查圆锥曲线的共同特征，解题的关键是求出双曲线的渐近线方程，解出A，B两点的坐标，列出三角形的面积与离心率的关系也是本题的解题关键，有一定的运算量，做题时要严谨，防运算出错．10．（5分）过双曲线的右焦点F2向其一条渐近线作垂线l，垂足为P，l与另一条渐近线交于Q点，若，则双曲线的离心率为（）A．2 B．3 C．4 D．6考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用相互垂直的直线的斜率之间的关系可得直线PF2的斜率，即可得到直线方程，直线方程分别与渐近线方程联立即可得出点P，Q的坐标，再利用向量共线即可得出a，b，c的关系，利用离心率计算公式即可．解答：解：如图所示，∵PF2⊥OP，∴PF2的斜率为．∴直线PF2的直线方程为．联立解得．∴P．联立，解得．∴Q．∴=，=．∵，∴c2=4a2．∴=2．故选A．点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、相互垂直的直线相交问题、向量的运算等基础知识与基本技能方法，属于中档题．二、填空题.（共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面积是20π．考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：由已知中的三视图可得该几何体是一个底面半径为2，高为5的圆柱，代入圆柱的侧面积公式，可得答案．解答：解：由已知可得该几何体为圆柱且圆柱的底面直径为4，高h=5即圆柱的底面半径r=2故该几何体的侧面积S=2πrh=20π．故答案为：20π．点评：本题考查的知识点是由三视图求面积，其中根据已知中的三视图分析出几何体的形状及底面半径，高等几何量是解答的关键．12．（5分）已知球的体积为，则球的大圆面积是4π．考点：球的体积和表面积．专题：空间位置关系与距离．分析：运用体积公式求解半径，再运用圆的面积公式求解．解答：解：∵球的体积为，∴R=2，∴球的大圆面积是πR2=4π故答案为：4π点评：本题考查了球的体积公式，面积公式，属于计算题．13．（5分）设M为圆（x﹣5）2+（y﹣3）2=9上的点，则M点到直线3x+4y﹣2=0的最短距离为2．考点：直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：利用点到直线的距离公式求出圆心M到直线3x+4y﹣2=0的距离d，减去半径即可得到最短距离．解答：解：由圆（x﹣5）2+（y﹣3）2=9，得到圆心M（5，3），半径r=3，∵圆心M到直线3x+4y﹣2=0的距离d==5，∴M点到直线3x+4y﹣2=0的最短距离为5﹣3=2．故答案为：2点评：此题考查了直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，根据题意得出d﹣r 为最短距离是解本题的关键．14．（5分）一长方体的各顶点均在同一个球面上，且一个顶点上的三条棱长分别为1，，3，则这个球的表面积为16π．考点：球的体积和表面积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：求出长方体的对角线的长，就是外接球的直径，然后求出球的表面积．解答：解：由题意可知长方体的对角线的长，就是外接球的直径，所以球的直径：=4，所以外接球的半径为：2．所以这个球的表面积：4π×22=16π．故答案为：16π．点评：本题考查球内接多面体，球的体积和表面积的求法，考查计算能力．15．（5分）已知双曲线=1的右焦点为F，P是双曲线右支上任意一点，定点M（6，2），则3|P M|+|PF|的最小值是13．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：先根据双曲线方程求得a，b，进而求得c，则双曲线的离心率和右准线方程可得，进而根据双曲线的第二定义可知|MP|=e•d，进而推断出当MA垂直于右准线时，d+|PM|取得最小值进而推断3|PM|+|PF|的最小值．解答：解：由题意可知，a=，b=2，c=3，∴e=，右准线方程为x=，且点P在双曲线右支上，则|PF|=e•d=d（d为点P到右准线的距离）．∴3|PM|+|PF|=3（d+|PA|），当PM垂直于右准线时，d+|MA|取得最小值，最小值为6﹣=，故3|MF|+|MA|的最小值为13．故答案为：13点评：本题主要考查了双曲线的性质．考查了学生数形结合和转化和化归的数学思想．三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，并把解答写在答题卷相应的位置上．16．（13分）如图直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CB，E、F、M分别是棱CC1、AB、BB1中点．（1）求证：平面AEB1∥平面CFM；（2）求证：CF⊥BA1．考点：直线与平面垂直的性质；平面与平面平行的判定．专题：证明题；空间位置关系与距离．分析：（1）利用平面与平面平行的判定定理可得结论；（2）证明CF⊥平面ABB1A1，即可证明CF⊥BA1．解答：证明：（1）∵B1M∥CE，且B1M=CE，∴四边形CEB1M是平行四边形，∴CE∥EB1又∵FM∥AB1，CF∩FM=M，EB1∩AB1=B1，∴平面AEB1∥平面CFM；（2）直三棱柱ABC﹣A1B1C1，BB1⊥平面ABC，∴BB1⊥CF，∵AC=BC，AF=FB，∴CF⊥AB，BB1∩AB=B，∴CF⊥平面ABB1A1，∴CF⊥BA1．点评：本题考查平面与平面平行的判定定理，考查线面垂直的判定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．17．（13分）已知命题p：方程=1表示焦点在y轴上的椭圆；命题q：m2﹣15m ＜0，若p∧q为假命题，p∨q为真命题，求m的取值范围．考点：椭圆的简单性质；复合命题的真假．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意求出命题p、q为真时m的范围，由p∨q为真，p∧q为假得p真q假，或p假q真，进而求出答案即可．解答：解：命题p为真命题时，将方程改写为，只有当1﹣m＞2m＞0，即时，方程表示的曲线是焦点在y轴上的椭圆，若命题q为真命题时，0＜m＜15，∵p∧q为假命题，p∨q为真命题，∴p，q中有一真一假；当p真q假时，无解；当p假q真时，，解得综上：m的取值范围为点评：解决问题的关键是熟练掌握命题真假的判定方法，由复合命题的真假判断出简单命题的真假结合有关的基础知识进行判断解题即可．18．（13分）如图，直线l：y=x+b与抛物线C：x2=4y相切于点A．（Ⅰ）求实数b的值；（Ⅱ）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．考点：圆与圆锥曲线的综合．专题：综合题．分析：（I）由，得：x2﹣4x﹣4b=0，由直线l与抛物线C相切，知△=（﹣4）2﹣4×（﹣4b）=0，由此能求出实数b的值．（II）由b=﹣1，得x2﹣4x+4=0，解得x=2，代入抛物线方程x2=4y，得点A的坐标为（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离，由此能求出圆A的方程．解答：解：（I）由，消去y得：x2﹣4x﹣4b=0①，因为直线l与抛物线C相切，所以△=（﹣4）2﹣4×（﹣4b）=0，解得b=﹣1；（II）由（I）可知b=﹣1，把b=﹣1代入①得：x2﹣4x+4=0，解得x=2，代入抛物线方程x2=4y，得y=1，故点A的坐标为（2，1），因为圆A与抛物线C的准线相切，所以圆A的半径r等于圆心A到抛物线的准线y=﹣1的距离，即r=|1﹣（﹣1）|=2，所以圆A的方程为：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4．点评：本题考查圆锥曲线的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理运用．19．（12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆焦点F作弦AB．当直线AB斜率为0时，弦AB长4．（1）求椭圆的方程；（2）若|AB|=．求直线AB的方程．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）由题意知，2a=4，又a2=b2+c2，联立即可解出．（2）设直线AB的方程为y=k（x﹣1），将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得（3﹣4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，利用根与系数的关系、弦长公式即可得出．解答：解：（1）由题意知，2a=4，又a2=b2+c2，解得：，∴椭圆方程为：．（2）设直线AB的方程为y=k（x﹣1），将直线AB方程代入椭圆方程中并整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，则，∴．解得k=±2，∴直线AB方程为2x﹣y﹣2=0或2x+y﹣2=0．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、弦长公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．20．（12分）已知四棱锥G﹣ABCD，四边形ABCD是长为2a的正方形，DA⊥平面ABG，且GA=GB，BH⊥平面CAG，垂足为H，且H在直线CG上．（1）求证：平面AGD⊥平面BGC；（2）求三棱锥D﹣ACG的体积；（3）求三棱锥D﹣ACG的内切球半径．考点：平面与平面垂直的判定；球的体积和表面积．专题：综合题；空间位置关系与距离．分析：（1）过点B作平面AGC的垂线，垂足H在CG上，由ABCD是正方形，面ABCD⊥面ABG，由面面垂直的性质可得BC⊥面ABG，则BC⊥AG，又由BH⊥面AGC得BH⊥AG，由线面垂直的判定定理可得AG⊥面AGD后，可由面面垂直的判定定理得到面AGD⊥面BGC（2）△ABG中AG⊥BG且AG=BG，取AB中点E，连接GE，则GE⊥AB，利用等积法可得三棱锥D﹣ACG的体积；（3）利用等体积求三棱锥D﹣ACG的内切球半径．解答：（1）证明：过点B作平面AGC的垂线，垂足H在CG上，则∵ABCD是正方形，∴BC⊥AB，∵面ABCD⊥面ABG，∴BC⊥面ABG，∵AG⊂面ABG，∴BC⊥AG，又BH⊥面AGC，∴BH⊥AG，又∵BC∩BH=B，∴AG⊥面AGD，∴面AGD⊥面BGC；（2）解：由（1）知AG⊥面BGC，∴AG⊥BG，又AG=BG，∴△ABG是等腰Rt△，取AB中点E，连接GE，则GE⊥AB∴GE⊥面ABCD∴V D﹣ACG=V G﹣ACD=GE•S△ACD=••2a•（2a）2=；（3）解：记三棱锥内切球的半径为r，，△DCG中，DG=GC=a，DC=2a，S△DOG=，△ACG中，AC=2a，GC=a，AG=a，S△ACG=，△DAG中，DA=2a，AG=a，S△DAG=，△ADC中，S△DAC=2a2由，可得r=．点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，三棱锥的体积，其中（1）要熟练掌握空间中线线垂直，线面垂直及面面垂直之间的相互转化，属于中档题．21．（12分）已知椭圆的两焦点为，，离心率．（1）求此椭圆的方程；（2）设直线l：y=x+m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，求m 的值；（3）以此椭圆的上顶点B为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的直角三角形是否存在？若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．专题：综合题；压轴题；数形结合；方程思想；转化思想；综合法．分析：（1）求椭圆的方程即是求a，b两参数的值，由题设条件椭圆的两焦点为，，离心率求出a，b即可得到椭圆的方程．（2）本题中知道了直线l：y=x+m，若l与此椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|等于椭圆的短轴长，故可由弦长公式建立方程求出参数m的值．首先要将直线方程与椭圆方程联立，再利用弦长公式建立方程；（3）设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，故可设BA边所在直线的方程为y=kx+1（不妨设k＜0），则BC边所在直线的方程为，将此两直线方程与椭圆的方程联立，分别解出A，C两点的坐标，用坐标表示出两线段AB，BC的长度，由两者相等建立方程求参数k，由解的个数判断三角形的个数即可．解答：解：（1）设椭圆方程为（a＞b＞0），…（1分）则，，…（2分）∴a=2，b2=a2﹣c2=1…（3分）∴所求椭圆方程为．…（4分）（2）由，消去y，得5x2+8mx+4（m2﹣1）=0，…（6分）则△=64m2﹣80（m2﹣1）＞0得m2＜5（*）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则，，y1﹣y2=x1﹣x2，…（7分）…（9分）解得.，满足（*）∴．…（10分）（3）设能构成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由题意可知，直角边BA，BC不可能垂直或平行于x轴，故可设BA边所在直线的方程为y=kx+1（不妨设k＜0），则BC边所在直线的方程为，由，得A，…（11分）∴，…（12分）用代替上式中的k，得，由|AB|=|BC|，得|k|（4+k2）=1+4k2，…（13分）∵k＜0，∴解得：k=﹣1或，故存在三个内接等腰直角三角形．…（14分）点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，解题的关键是掌握直线与圆锥曲线位置关系中的相关的知识，如本题中求解的重点是弦长公式的熟练掌握运用，依据条件进行正确转化，分析出建立方程的依据很关键，如本题第二小题利用弦长公式建立方程求参数，第三小题中利用等腰三角形的性质转化为两弦长AB与BC相等，由此关系得到斜率k所满足的方程，将求解有几个三角形的问题转化为关于k的方程有几个根的问题，此类问题中正确转化，充分利用等量关系是解题的重中之重．本题中转化灵活，运算量大，且比较抽象，易出错，做题时要严谨认真．。

2020年高一高二数学百所名校好题分项解析汇编专题04 空间几何体的外接球与内切球(必修2)(原卷版)

高一数学（必修2）百所名校速递分项汇编专题04 空间几何体的外接球与内切球一、选择题1．【2017-2018学年辽宁省抚顺二中高一（上）期末】在三棱锥中，，，则该三棱锥的外接球的表面积为A．B．C．D．【答案】D∴外接球的表面积为S=4π×DG2=43π．故选：D．2．【黑龙江省实验中学2017-2018学年高一下学期期末】四面体中，，，，则此四面体外接球的表面积为A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，△BCD中，CB=DB=2，∠CBD=60°，可知△BCD是等边三角形，BF=∴△BCD的外接圆半径r==BE，FE=∵∠ABC=∠ABD=60°，可得AD=AC=，可得AF=∴AF⊥FB∴AF⊥BCD，∴四面体A﹣BCD高为AF=．设：外接球R，O为球心，OE=m可得：r2+m2=R2……①，（）2+EF2=R2……②由①②解得：R=．四面体外接球的表面积：S=4πR2=．故选：A．3．【四川省泸州市泸化中学2017-2018学年高一5月月考】三棱柱中，，、、，则该三棱柱的外接球的表面积为( )A．4πB．6πC．8πD．10π【答案】C【解析】由题意得三棱柱为直三棱柱，且正好是长方体切出的一半，所以外接球半径为，，选C.4．【四川省泸州市泸化中学2017-2018学年高一5月月考】三棱柱中，，、、，则该三棱柱的外接球的体积( )A．B．C．D．【答案】B【解析】为直角三角形，斜边为，球心与该斜边的中点的连线垂直于平面，故球的半径，故球的体积为，故选B.5．【2018年人教A版数学必修二】棱长分别为2、、的长方体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设长方体的外接球半径为，由题意可知：，则：，该长方体的外接球的表面积为.本题选择B选项.6．【浙江省嘉兴市第一中学2018-2019学年高二上学期期中】在四面体中，，二面角的余弦值是，则该四面体外接球的表面积是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】取中点，连接，，平面，为二面角，在中，，，取等边的中心，作平面，过作平面，（交于），因为二面角的余弦值是，，，点为四面体的外接球球心，其半径为，表面积为，故选C.7．【安徽省黄山市屯溪第一中学2018-2019学年高二上学期期中考试】三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，Q是BC边上的一个动点，且直线PQ与面ABC所成角的最大值为则该三棱锥外接球的表面积为( )A．B．C．D．【答案】C【解析】三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，直线PQ与平面ABC所成角为θ，如图所示；则sinθ==，且sinθ的最大值是，∴（PQ）min=2，∴AQ的最小值是，即A到BC的距离为，∴AQ⊥BC，∵AB=2，在Rt△ABQ中可得，即可得BC=6；取△ABC的外接圆圆心为O′，作OO′∥PA，∴=2r，解得r=2；∴O′A=2，取H为PA的中点，∴OH=O′A=2，PH=，由勾股定理得OP=R==，∴三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积是S=4πR2=4×=57π．故答案为：C8．【广东省佛山市第一中学2018-2019学年高二上学期第一次段考】三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥外接球的体积为（）A．B．C．D．【答案】A则球的半径R为，所以球的体积为.本题选择A选项.9．【内蒙古鄂尔多斯市第一中学2018-2019学年高二上学期期中考试】已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由三视图知几何体是一个侧棱与底面垂直的三棱锥，底面是斜边上的高为的等腰直角三角形，与底面垂直的侧面是个等腰三角形，底边长为，高为，故三棱锥的外接球与以棱长为的正方体的外接球相同，其直径为，半径为三棱锥的外接球体积为故选10．【四川省遂宁市2017-2018学年高二上学期教学水平监测】已知长方体中，,则长方体外接球的表面积为A．B．C．D．【答案】C11．【山西省朔州市应县第一中学2018-2019学年高二上学期期中考试】在三棱锥中，三侧面两两互相垂直，侧面的面积分别为，则此三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，侧棱两两垂直，设，则都是以为直角顶点的直角三角形，得，解之得，即，侧棱两两垂直，以为过同一顶点的三条棱作长方体，该长方体的对角线长为，恰好等于三棱锥外接球的直径，由此可得外接球的半径，可得此三棱锥外接球表面积为，故选A.12．【重庆市铜梁一中2018-2019学年高二10月月考】棱长分别为2，，的长方体的外接球的表面积为( )A．B．C．D．【答案】B13．【黑龙江省大庆中学2018-2019学年高二10月月考】长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，则该长方体外接球的表面积为A．B．C．D．【答案】C【解析】设长方体的棱长分别为，则，所以，于是，设球的半径为，则，所以这个球面的表面积为．本题选择C选项.14．【重庆市万州三中2018-2019学年高二上学期第一次月考】已知一个表面积为44的长方体,且它的长、宽、高的比为3 21,则此长方体的外接球的体积为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】设长方体的长、宽、高分别为，则，解得，即，即长方体的棱长分别为，所以长方体的对角线长为，所以球的半径为，即，所以球的体积为，故选D.二、填空题15．【江西省赣州市十四县（市）2018-2019学年高二上学期期中联考】在三棱锥中，，，，，，则三棱锥的外接球的表面积为_______________．【答案】【解析】由题意，在三棱锥中，平面，以为长宽高构建长方体，则长方体的外接球是三棱锥的外接球，所以三棱锥的外接球的半径为，所以三棱锥的外接球的表面积为.16．【贵州省遵义市南白中学2018-2019学年高二上学期第一次月考】正四面体内切球半径与外接球半径之比为__________．【答案】【解析】由正四面体的对称性可得正四面体的内切球与外接球球心重合且在正四面体的高上，设正四面体的内切球与外接球球心为，正四面体的高为，将正四面体分成以为顶点，以四面体的四个面为底面的四个正四棱锥，这四个正四棱锥的底面积是正四面体的底面积，高为内切球的半径，设四面体外接球半径为，则，由四个正四棱锥的体积和等于正四面体的体积可得，故答案为.17．【山西省长治市第二中学2017-2018学年高二下学期期末考试】已知三棱锥中，,，则三棱锥的外接球的表面积为________________.【答案】【解析】如图：∵AD=2，AB=1，BD=，满足AD2+AB2=SD2∴AD⊥AB，又AD⊥BC，BC∩AB=B，∴AD⊥平面ABC，∵AB=BC=1，AC=，∴AB⊥BC，∴BC⊥平面DAB，∴CD是三棱锥的外接球的直径，∵AD=2，AC=，∴CD=，∴三棱锥的外接球的表面积为4π（）2=6π．故答案为：6π18．【高二人教版必修2 第一章本章能力测评】已知正六棱柱的底面边长为4，高为6，则它的外接球的表面积为__________.【答案】【解析】根据正六棱柱的对称性可得，正六棱柱的体对角线就是球的直径，由高为，底面边长为，结合正六边形的性质，可得，即，所以外接球的表面积为，故答案为．19．【江西省南昌市第十中学2017-2018学年高二下学期期末考试】在三棱锥中，，，，，且三棱锥的体积为，则该三棱锥的外接球半径是_________【答案】3【解析】取的中点，连接，因为，，，，所以，且，所以平面，且是外接球的直径，设,所以为正三角形，则,则，解得．20．【山东省潍坊市2017-2018学年高二5月份统一检测】如图，在三棱锥中，平面，,,，则三棱锥外接球的表面积为__________．【答案】。

重庆市七校联考2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题含答案

2024-2025学年上期高2024级高一上第一次月考考试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.命题“x "ÎR ，2440x x ++³”的否定是（）A.x $ÎR ，2440x x ++³ B.x $ÎR ，2440x x ++<C.x "ÎR ，2440x x ++> D.x "ÎR ，2440x x ++<2.若函数的定义域为{}22M x x =-££，值域为{}02N y y =££，则函数的图像可能是（）AB.C. D.3.设集合12N |N 3A x y x ìü=Î=Îíý+îþ，则集合A 的子集个数为（）A.4B.16C.8D.94.英国数学家哈利奥特最先使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数a b c d 、、、，下列命题是真命题的是（）A.若a b <，则ac bc < B.若0a b >>，则22ac bc >C.若a b <，c d <，则ac bd< D.若a b <，c d <，则a c b d+<+5.已知,x y ÎR ，则“x y <”是“22x y <”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C 充要条件D.既不充分也不必要条件6.集合{2M x x =<-或}3x ³，{}0N x x a =-£，若R N M Ç¹Æð(R 为实数集)，则a 的取值范围是（）..重庆市七校联考2024-2025学年高一上学期第一次月考数学试题A. {}3a a £ B. {}2a a ³- C. {}2a a >- D. {}22a a -££7. 设0a >，0b >，不等式410k a b a b+-³+恒成立，则实数k 的最大值等于（）A. 0B. 8C. 9D. 108. 当()1,1x Î-时，不等式23208kx kx --<恒成立，则k 取值范围是（）A. ()3,0- B. (]3,0- C. 13,8æö-ç÷èøD. 13,8æù-çúèû二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.9. 下列说法正确的有（）A. 方程2210x x -+=的解集是{}1,1B. 由1，2，3组成的集合可表示为{}1,2,3或{}2,3,1C. 9以内的素数组成的集合是{}0,2,3,5,7D. 若集合{},,M a b c =中的元素是ABC V 的三边长，则ABC V 一定不是等腰三角形10. 下列说法不正确的是（）A. 函数()31f x x =+与()2g x =是同一个函数B. 函数()y f x =的图象与直线1x =的交点最多有1个C. 若函数()f x 的定义域为[]0,3，则函数()3f x 的定义域为[]0,9D. 函数()22122x f x x =+++最小值为211. 如图所示，四边形ABDC 为梯形，其中,AB a CD b ==，O 为对角线的交点.有4条线段（GH 、KL 、EF 、MN ）夹在两底之间.GH 表示平行于两底且于他们等距离的线段（即梯形的中位线），KL 表示平行于两底且使梯形ABLK 与梯形KLDC 相似的线段，EF 表示平行与两底且过点O 的线段，MN 表示平行于两底且将梯形ABDC 分为面积相等的两个梯形的线段.下列说法中正确的有（）的的A. 若1,2a b ==，则KLB. ,R,a b a b "Î¹，KL GH <C. ,R,a b a b "Î¹，2ab MN a b =+D. ,R,a b a b "Î¹，2abEF a b=+.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知3(4)f x x =+，则((1))=f f ______.13. 设全集R U =，集合{}50A x x =-<<，集合{}2B x x =<-，则如图阴影部分表示的集合为__________.（可用区间表示）14. 已知集合{}2|(2)310A x a x x =-+-=有且仅有两个子集，则实数a =______.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知集合{}23100A xx x =-->∣，()f x =的定义域为集合B ，R 为实数集.（1）求集合A B 和；（2）求A B Ç，()B A ÈR ð.16. 设函数2y x bx c =-++.（1）若不等式0y >的解集为()3,2-，求b ，c 的值；（2）当1x =时，0y =，0b >，0c >，求19+b c的最小值.17. 已知p ：关于x 的方程22220x ax a a -++-=有实数根，q ：15m a m -££+．（1）若命题p Ø是真命题，求实数a 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．18. 已知二次函数()f x 满足(2)()42f x f x x +-=-，且(1)=0f ：（1）求()f x 的解析式；（2）若在区间[]0,m 上，()f x 的值域为1,24éù-êúëû，求m 的取值范围.（3）若[]1,4x Î时，函数()f x 的图象恒在2y kx =图象的上方，求实数k 的取值范围．19. 两县城A 和B 相距20km ，现计划在县城外以AB 为直径半圆弧 AB (不含AB 两点)上选择一点C 建造垃圾处理站，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为K ，对城市A 和城市B 的总影响度为城市A 和城市B 的影响度之和，记C 点到城市A 的距离为x ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y ，统计调查表明：当垃圾处理厂建在 AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.（1）将y 表示成x 的函数；（2）判断弧 AB 上是否存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城市A 和城B 的总信影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离；若不存在，说明理由.的2024-2025学年上期高2024级高一上第一次月考考试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1. 命题“x "ÎR ，2440x x ++³”的否定是（）A. x $ÎR ，2440x x ++³ B. x $ÎR ，2440x x ++<C. x "ÎR ，2440x x ++> D. x "ÎR ，2440x x ++<【答案】B 【解析】【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可得到答案.【详解】由全称量词命题的否定是存在量词命题，则命题“x "ÎR ，2440x x ++³”的否定是：x $ÎR ，2440x x ++<，故选：B.2. 若函数的定义域为{}22M x x =-££，值域为{}02N y y =££，则函数的图像可能是（）A. B.CD.【答案】B 【解析】【分析】根据函数的定义域与值域，结合函数的性质判断即可.【详解】对A ，该函数的定义域为{}20x x -££，故A 错误；对B ，该函数的定义域为{}22M x x =-££，值域为{}02N y y =££，故B 正确；对C ，当()2,2x Î-时，每一个x 值都有两个y 值与之对应，故该图像不是函数的图像，故C错误；.对D ，该函数的值域不是为{}02N y y =££，故D 错误.故选：B.3. 设集合12N |N 3A x y x ìü=Î=Îíý+îþ，则集合A 的子集个数为（）A. 4 B. 16C. 8D. 9【答案】B 【解析】【分析】根据条件，先化简集合A ，再利用子集个数的计算公式，即可求解.【详解】易知{}0,1,3,9A =，所以A 的子集个数为4216=.故选：B.4. 英国数学家哈利奥特最先使用“<”和“>”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．对于任意实数a b c d 、、、，下列命题是真命题的是（）A. 若a b <，则ac bc < B. 若0a b >>，则22ac bc >C. 若a b <，c d <，则ac bd < D. 若a b <，c d <，则a c b d+<+【答案】D 【解析】【分析】取0c <可判断A ；取0c =可判断B ；取特例可判断C ；由不等式可加性可判断D .【详解】对A ，若0,c a b <<，则ac bc >，A 错误；对B ，若0a b >>，0c =，则22ac bc =，B 错误；对C ，取4,1,2,2a b c d =-==-=，则82ac cd =>=，C 错误；对D ，由不等式的可加性可知，若a b <，c d <，则a c b d +<+，D 正确.故选：D5. 已知,x y ÎR ，则“x y <”是“22x y <”的（）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】D 【解析】【分析】由相互是否推出判断即可.【详解】由21-<，但()2221->，可知x y <推不出22x y <；由()2212<-，但12>-，可知22x y <推不出x y <.故“x y <”是“22x y <”的既不充分也不必要条件.故选：D.6. 集合{2M x x =<-或}3x ³，{}0N x x a =-£，若R N M Ç¹Æð(R 为实数集)，则a 的取值范围是（）A. {}3a a £ B. {}2a a ³- C. {}2a a >- D. {}22a a -££【答案】B 【解析】【分析】表示出N 中不等式的解集，确定出N ，根据N 与M 的补集不为空集，结合数轴找出a 的范围即可.【详解】∵全集R ，{2M x x =<-或}3x ³，{}{}0N x x a x x a =-£=£，∴{}23R M x x =-£<ð，结合数轴可知，当2a ³-时，R N M Ç¹Æð，则a 的范围为{}2a a ³-，故选：B .【点睛】本题主要考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握各自的定义是解本题的关键，属于中档题.7. 设0a >，0b >，不等式410ka b a b+-³+恒成立，则实数k 最大值等于（）A. 0B. 8C. 9D. 10【答案】C 【解析】【分析】不等式变形为410ka b a b +-³+，再用基本不等式求得41()(a b a b++的最小值即可．【详解】因为0a >，0b >，所以不等式410ka b a b +-³+恒成立，即41()(k a b a b£++恒成立，又414()()559b a a b a b a b ++=++³+=，当且仅当4b a a b =，即2a b =时等号成立．所以9k £，即k 的最大值为9．的故选：C ．【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题时通过分离参数转化为求函数的最值，从而得出结论．而求最值有的可以应用基本不等式，有的可以利用函数的单调性，方法较多，易于求解．8. 当()1,1x Î-时，不等式23208kx kx --<恒成立，则k 的取值范围是（）A. ()3,0- B. (]3,0- C. 13,8æö-ç÷èøD. 13,8æù-çúèû【答案】D 【解析】【分析】对k 分类讨论，结合二次函数的性质求最值可得结果.【详解】①当0k =时，不等式化为308-<，显然恒成立，满足题意；②当0k ¹时，令()2328f x kx kx =--，则()0f x <在(−1,1)上恒成立，函数()f x 的对称轴为14x =，0k >时，()f x 在11,4æö-ç÷èø上单调递减，在1,14æöç÷èø上单调递增，则有()()3120831208f k k f k k ì-=+-£ïïíï=--£ïî，解得108k <£；0k <时，()f x 在11,4æö-ç÷èø上单调递增，在1,14æöç÷èø上单调递减，则有123041648k k f æö=--<ç÷èø，解得30k -<<.综上可知，k 的取值范围是13,8æù-çúèû.故选：D .二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选得0分.9. 下列说法正确的有（）A. 方程2210x x -+=的解集是{}1,1B. 由1，2，3组成的集合可表示为{}1,2,3或{}2,3,1C. 9以内的素数组成的集合是{}0,2,3,5,7D. 若集合{},,M a b c =中的元素是ABC V 的三边长，则ABC V 一定不是等腰三角形【答案】BD 【解析】【分析】由集合元素的互异性可得A 错误，D 正确；无序性可得B 正确，由0不是素数可得C 错误；【详解】对于A ，方程的解集是{}1，故A 错误；对于B ，由集合中元素的无序性可得B 正确，故B 正确；对于C ，9以内的素数组成的集合是{}2,3,5,7，故C 错误；对于D ，由集合中元素的互异性可得,,a b c 均不相等，故D 正确；故选：BD.10. 下列说法不正确的是（）A. 函数()31f x x =+与()2g x =是同一个函数B. 函数()y f x =的图象与直线1x =的交点最多有1个C. 若函数()f x 的定义域为[]0,3，则函数()3f x 的定义域为[]0,9D. 函数()22122x f x x =+++的最小值为2【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，两函数定义域不同，不是同一函数；B 选项，利用函数的定义可判断；C 选项，根据抽象函数的定义域求法即可判断；D 选项，利用基本不等式进行求解；【详解】对于A ，函数()31f x x =+的定义域为R ，()2g x =的定义域为1,3éö-+¥÷êëø，故函数()31f x x =+与()2g x =不是同一个函数，因此A 不正确；对于B ，当函数y =f (x )在1x =处无定义时，函数y =f (x )的图象与直线1x =无交点，当函数y =f (x )在1x =处有定义时，函数y =f (x )的图象与直线1x =只有1个交点，所以，函数y =f (x )的图象与直线1x =的交点最多有1个交点，因此B 正确；对于C ，函数()f x 的定义域为[]0,3，即03x ££，则对于函数()3f x 有033x ££，则01x ££，故函数()3f x 定义域为[0,1]，因此C 不正确；对于D ，由基本不等式得()221222f x x x =++³=+，当且仅当22122x x +=+时，等号成立，但22122x x +=+无解，故等号取不到，故()22122f x x x =+++的最小值不为2，因此D 不正确；故选：ACD.11. 如图所示，四边形ABDC 为梯形，其中,AB a CD b ==，O 为对角线的交点.有4条线段（GH 、KL 、EF 、MN ）夹在两底之间.GH 表示平行于两底且于他们等距离的线段（即梯形的中位线），KL 表示平行于两底且使梯形ABLK 与梯形KLDC 相似的线段，EF 表示平行与两底且过点O 的线段，MN 表示平行于两底且将梯形ABDC 分为面积相等的两个梯形的线段.下列说法中正确的有（）A. 若1,2a b ==，则KLB. ,R,a b a b "Î¹，KL GH <C. ,R,a b a b "Î¹，2abMN a b =+D. ,R,a b a b "Î¹，2abEF a b=+.【答案】ABD 【解析】【分析】利用相似比可得KL =故可判断A ，结合基本不等式可判断B ；设梯形ABNM ，MNDC ，ABDC的面积分别为12,,S S S ，高分别为12,,h h h ，根据1222S S S ==和12h h h +=可解得MN =判断C ；利用OAB ODC V :V ，COE CBA ~V V ，根据相似比可得abOE a b=+，即可判断D .【详解】由梯形中位线性质可得2a bGH +=.因为梯形ABLK 与梯形KLDC 相似，所以AB KL KL CD=，即KL ==,当1,2a b ==时，KL =A 正确；由基本不等式可知,R,a b a b "Î¹时，2a b GH KL +=>=，B 正确；设梯形ABNM ，MNDC ，ABDC 的面积分别为12,,S S S ，高分别为12,,h h h ，则1222S S S ==，即()()()1212a MN h b MN h a b h +=+=+，解得()()()()12,22a b h a b h h h a MN b MN ++==++，由题意可知()()()()1222a b h a b h h h h a MN b MN +++=+=++，解得MN =，C 错误；因为//AB CD ，所以,ABC DCB BAD CDA Ð=ÐÐ=Ð，所以OAB ODC V :V ，所以CO CD b BO BA a==，易知COE CBA ~V V ，所以OE CO b BA CB a b ==+，得ab OE a b =+，所以2ab EF a b =+，D 正确.故选：ABD【点睛】本题关键是能灵活运用平行线分线段成比例，相似比，以及面积关系求出GH 、KL 、EF 、MN ，然后即可求解.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知3(4)f x x =+，则((1))=f f ______.【答案】31【解析】【分析】根据函数表达式先计算(1)f ，再计算((1))f f .【详解】∵3(4)f x x =+，∴7(1)413f =´+=，∴((1))(7)47331f f f ==´+=.故答案为：31.13. 设全集R U =，集合{}50A x x =-<<，集合{}2B x x =<-，则如图阴影部分表示的集合为__________.（可用区间表示）【答案】[2,0)-【解析】【分析】将如图阴影部分表示的集合记为M ，由图得{|M x x A =Î且}x B Ï，接着求出A B Ç即可求解阴影部分表示的集合.【详解】将如图阴影部分表示的集合记为M ，则由图可知{|M x x A =Î且}x B Ï，又{}50A x x =-<<，{}2B x x =<-，所以{}{}{}50252A B x x x x x x Ç=-<<Ç<-=-<<-，所以{},0)|22[0M x x £=-=-<.故答案为：[2,0)-.14. 已知集合{}2|(2)310A x a x x =-+-=有且仅有两个子集，则实数a =______.【答案】2或14-【解析】【分析】集合A 有且仅有两个子集，转化为方程2(a 2)310x x -+-=只有一个解，分2a =、2a ¹讨论可得答案.【详解】因为集合{}2|(2)310A x a x x =-+-=有且仅有两个子集，所以方程2(a 2)310x x -+-=只有一个解，当2a =时，由310x -=得13x =，符合题意，当2a ¹时，由()9420a D =+-=得14a =-，符合题意，综上所述，实数2a =或14a =-.故答案为：2或14-.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 已知集合{}23100A x x x =-->∣，()f x =的定义域为集合B ，R 为实数集.（1）求集合A B 和；（2）求A B Ç，()B A ÈR ð【答案】（1）{2A xx =<-∣或5}x >，{}3B x x =³；（2）{|5}A B x x Ç=>，(){}R B=2A x x È³-ð【解析】【分析】（1）解不等式23100x x -->即可求解集合A ，求函数()f x =定义域可得集合B ；（2）由（1）集合交集的定义即可直接计算得A B Ç，接着结合补集和并集的定义即可计算求解()B A ÈRð.【小问1详解】解23100x x -->得2x <-或5x >，则{2A xx =<-∣或5}x >，由()f x =30x -³，即3x ³，故{}3B x x =³.【小问2详解】由（1）可得{|5}A B x x Ç=>，{}R 25A x x =-££ð，所以(){}R B=2A x x È³-ð.16. 设函数2y x bx c =-++.（1）若不等式0y >的解集为()3,2-，求b ，c 的值；（2）当1x =时，0y =，0b >，0c >，求19+b c的最小值.【答案】（1）1b =-，6c =（2）16【解析】【分析】（1）借助一元二次不等式的性质结合一元二次方程根与系数的关系计算即可得；（2）代入计算可得1b c +=，再借助基本不等式“1”的或用计算即可得.【小问1详解】..由题意知，3-和2是方程20x bx c -++=的两根，所以32b -+=，()32c -´=-，解得1b =-，6c =；【小问2详解】由()110f b c =-++=，知1b c +=，因为0b >，0c >，所以()19199101016c b b c b c b c b c æö+=++=++³+=ç÷èø，当且仅当9c b b c=，即343c b ==时，等号成立，所以19+b c 的最小值为16.17. 已知p ：关于x 的方程22220x ax a a -++-=有实数根，q ：15m a m -££+．（1）若命题p Ø是真命题，求实数a 的取值范围；（2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．【答案】（1）2a >（2）3m £-【解析】【分析】（1）由命题p Ø是真命题，可得命题p 是假命题，再借助0D <，求出a 的取值范围作答.（2）由命题p 是命题q 的必要不充分条件，可得出两个集合的包含关系，由此列出不等式求解作答.【小问1详解】因为命题p Ø是真命题，则命题p 是假命题，即关于x 的方程22220x ax a a -++-=无实数根，因此2244(2)0a a a D =-+-<，解得2a >，所以实数a 的取值范围是2a >.【小问2详解】由（1）知，命题p 是真命题，即:2p a £，因为命题p 是命题q 的必要不充分条件，则{|15}a m a m -££+是{}|2a a £的真子集，因此52m +£，解得3m £-，所以实数m 的取值范围是3m £-.18. 已知二次函数()f x 满足(2)()42f x f x x +-=-，且(1)=0f ：（1）求()f x 的解析式；（2）若在区间[]0,m 上，()f x 的值域为1,24éù-êúëû，求m 的取值范围.（3）若[]1,4x Î时，函数()f x 的图象恒在2y kx =图象的上方，求实数k 的取值范围．【答案】（1）2()32f x x x =-+（2）3,32éùêúëû （3）1,8æö-¥-ç÷èø【解析】【分析】（1）设二次函数2()f x ax bx c =++，利用题目条件可以得到关于,,a b c 的方程组，解方程组得到，即可得到解析式；（2）根据()f x 的图象、值域可得答案；（3）分=000、、k k k ><讨论，结合()f x 的图象求解可得答案.【小问1详解】设二次函数2()f x ax bx c =++，(0)a ¹，由题意知：(1)=0(+2)()=42f f x f x x ìí--î，整理得：++=04+4+2=42a b c ax a b x ìí-î，即：++=04=44+2=2a b c a a b ìïíï-î，解得：=1=3=2a b c ìï-íïî，∴2()32f x x x =-+；【小问2详解】因为2231()3224f x x x x æö=-+=--ç÷èø，所以其图象的对称轴为直线32x =，当32x =时，min 14y =-，因为当0x =时，2y =，由二次函数图象可知3,233022m m ì³ïïíï-£-ïî，解得332m ££，所以m 的取值范围是3,32éùêúëû；【小问3详解】由（1）知，2()32f x x x =-+的图象开口向上，()=0f x 时，2320x x -+=，解得：=1x 或=2x ，∴当(1,2)x Î，()0f x <，图象在x 轴下方，当(]2,4x Î，()0f x >，图象在x 轴上方，对于2y kx =，当=0k 时，=0y ，当(1,2)x Î时，图象在()f x 图象的上方，不合题意，舍去；当0k >时，2y kx =，开口向上，当(1,2)x Î时，图象在()f x 图象的上方，不合题意，舍去；当0k <时，2y kx =，开口向下，函数()f x 的图象恒在2y kx =图象的上方，即()0f x y ->恒成立，即22320x x kx -+->恒成立，即2(1)320k x x --+>恒成立，10k ->，即有：2(3)4(1)2180k k D =--´-´=+<，即：18k <-.综上，k 的取值范围是1,8¥æö--ç÷èø.19. 两县城A 和B 相距20km ，现计划在县城外以AB 为直径的半圆弧 AB (不含AB 两点)上选择一点C 建造垃圾处理站，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，垃圾处理厂对城A 的影响度与所选地点到城A 的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B 的影响度与所选地点到城B 的距离的平方成反比，比例系数为K ，对城市A 和城市B 的总影响度为城市A 和城市B 的影响度之和，记C 点到城市A 的距离为x ，建在C 处的垃圾处理厂对城A 和城B 的总影响度为y ，统计调查表明：当垃圾处理厂建在 AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065.（1）将y 表示成x 的函数；（2）判断弧 AB 上是否存在一点，使得建在此处的垃圾处理厂对城市A 和城B 的总信影响度最小？若存在，求出该点到城A 的距离；若不存在，说明理由.【答案】（1）2249(020)400y x x x =+<<-（2）存在，该点到城A的距离为.【解析】【分析】（1）由AC BC ^，得22400BC x =-，由题意得224(020)400K y x x x =+<<-，再录垃圾处理厂建在 AB 中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065，求出K ，即可得解；（2）由（1）知2249400y x x =+-，令2320(320,720)t x =+Î，换元得251040720320t y t t =-+-´，利用基本不等式求最值即可.【详解】（1）由AB 为直径，得AC BC ^，22400BC x \=-由已知得224(020)400K y x x x=+<<-的又当垃圾处理厂建在 AB 的中点时，对城A 和城B 的总影响度为0.065，即x =，0.065y =，代入上式得40.065200400200K =+-，解得9K =所以y 表示成x 的函数为：2249(020)400y x x x=+<<-（2）222242222495(320)5(320)400400(320)1040(320)720320x x y x x x x x x ++=+==--+-+++-´令2320(320,720)t x =+Î则25572032010407203201040t y t t t t ==´-+-´æö-++ç÷èø又720320960t t ´+³=，当且仅当720320t t ´=，即480t =，等号成立，所以51960104016y ³=-+，当x =时，等号成立.所以弧 AB 上存在一点，该点到城A的距离为时，建在此处的垃圾处理厂对城市A 和城B 的总信影响度最小为116.【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.。

重庆八中2024-2025学年度高二第一次月考数学试卷及答案

重庆八中2024—2025学年度（上）高二年级第一次月考数学试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z 满足()2i 34i z -=+（i 为虚数单位），则z 的值为（）A ．1BC ．3D ．2．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，下列说法正确的是（）A ．若//αβ，l α⊂，m β⊂，则//l mB ．若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥C ．若l α⊥，αβ⊥，则//l βD ．若l α∥，m α⊥，则l m⊥3．“直线()680ax a y -++=与350x ay a -+-=平行”是“6a =”的（）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充分必要D ．既不充分也不必要4．已知两个单位向量1e ，2e的夹角为120 ，则()()12212e e e e +⋅-= （）A ．32B ．3C ．52D ．55．圆222460x y mx my ++++=关于直线30mx y ++=对称，则实数m =（）A ．1B ．-3C ．1或-3D ．-1或36．直线:0l x -与圆22:(2)(1)2C x y ++-=交于A ，B 两点，则直线AC 与直线BC 的倾斜角之和为（）A ．120B ．145C ．165D ．2107．已知4tan23θ=，π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若ππcos cos 44m ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭θθ，则实数m 的值为（）A ．13-B ．12-C ．13D ．128．已知圆22:(2)(1)5C x y -++=及直线()():2180l m x m y m ++---=，下列说法正确的是（）A ．圆C 被x 轴截得的弦长为2B ．直线l 过定点()3,2C ．直线l 被圆C 截得的弦长存在最大值，此时直线l 的方程为10x y +-=D ．直线l 被圆C 截得的弦长存在最小值，此时直线l 的方程为50x y --=二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在毎小题给出的选项中，有多项9．在边长为2的正方形ABCD 中，,E F 分别为BC ，CD 的中点，则（）A ．2AB AD EF-= B ．4AE AF ⋅= C ．()32AE AF AB AD+=+ D ．AE 在AD 上的投影向量为12AE10．如图，直三棱柱111ABC A B C -所有棱长均为4，D ，E ，F ，G 分别在棱1111,,A B A C AB ，AC 上，（不与端点重合）且11A D A E BF CG ===，H ，P 分别为BC ，1A H 中点，则（）A ．11//BC 平面PFGB ．过D ，F ，G 三点的平面截三棱柱所得截面一定为等腰梯形C ．M 在111A B C △内部（含边界），1π6A AM ∠=，则M 到棱11BCD ．若M ，N 分别是平面11A ABB 和11A ACC 内的动点，则MNP △周长的最小值为311．已知圆221:1C x y +=和圆222:()(2)4C x m y m -+-=，0m ≥．点Q 是圆2C 上的动点，过点Q 作圆1C 的两条切线，切点分别为G ，H ，则下列说法正确的是（）A ．当5m ⎡⎫∈⎪⎢⎪⎣⎭时，圆1C 和圆2C 没有公切线B ．当圆1C 和圆2C 有三条公切线时，其公切线的倾斜角的和为定值C ．圆1C 与x 轴交于M ，N ，若圆2C 上存在点P ，使得π2MPN >∠，则m ∈⎝⎭D ．圆1C 和2C 外离时，若存在点Q ，使四边形1QGC H 面积为，则5m ⎛∈ ⎝三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填写在答題卡相应位置上．12．将函数πcos 46y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移π 02φφ⎛⎫<< ⎪⎝⎭个单位长度后，所得函数为奇函数，则φ=．13．已知点()3,0P 在直线l 上，且点P 恰好是直线l 夹在两条直线1:220--=l x y 与2:30l x y ++=之间线段的一个三等分点，则直线l 的方程为．（写出一条即可）14．台风“摩羯”于2024年9月1日晚在菲律宾以东洋面上生成．据监测，“摩羯”台风中心位于某海滨城市O （如图）的东偏南1cos 7θθ⎛⎫= ⎪⎝⎭方向350km 的海面P 处，并以20km /h 的速度向西偏北60o 方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为130km ，并以10km/h 的速度不断增大，小时后，该海滨城市开始受到台风侵袭．四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步㵵．15．（13）在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知4a =，2π3C =，D 为AB 边上一点．（1）若D 为AB 的中点，且CD =，求c ；（2）若CD 平分ACB ∠，且ABC V 的面积为CD 的长．16．（15）如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，6CA =，E 为棱AC 的中点，P 为BC 边上靠近B 的三等分点，且11PB BC ⊥．（1）证明：1//CB 平面1EBA ；（2）求平面11ABB A 与平面1BEC 夹角的余弦值．17．（15）圆心为C 的圆经过0,3，2,1两点，且圆心C 在直线:320l x y -=上．（1）求圆C 的标准方程；（2）过点()1,2M 作圆C 的相互重直的两条弦DF ，EG ，求四边形DEFG 的面积的最大值与最小值．18．（17）如图、三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，O 为AB 的中点，AC BC ⊥，1OC =，4PA =．（1）证明：面ACP ⊥面BCP ；（2）若点A 到面BCP 的距离为43，证明：OC AB ⊥；（3）求OP 与面PBC 所成角的正弦值的取值范围．19．（17）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：222120x y x +---=，1M ，2M 是圆C 上的动点，且12M M =，12M M 的中点为M ．（1）求点M 的轨迹方程；（2）设点A 是直线0l y -+上的动点，AP ，AQ 是M 的轨迹的两条切线，P ，Q 为切点，求四边形APCQ 面积的最小值；（3）若垂直于y 轴的直线1l 过点C 且与M 的轨迹交于点D ，E ，点N 为直线3x =-上的动点，直线ND ，NE 与M 的轨迹的另一个交点分别为F ，(G FG 与DE 不重合），求证：直线FG 过定点．重庆八中2024—2025学年度（上）高二年级第一次月考数学答案1．B【分析】根据复数的除法运算求z ，再结合共轭复数以及模长公式运算求解.【详解】因为()2i 34i z -=+，则()()()()34i 2i 34i 211i 2i 2i 2i 55z +++===+--+，可得211i 55z -=，所以z ==.故选：B.2．D【分析】根据空间中直线与平面，以及平面与平面的关系，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A ，若//αβ，l α⊂，m β⊂，则//l m 或者l m ,异面，故A 错误，对于B ，若αβ⊥，l α⊂，且l 与α，β的交线垂直，才有l β⊥，否则l 与β不一定垂直，故B 错误，对于C ，若l α⊥，αβ⊥，则//l β或者l β⊂，故C 错误，对于D ，若l α∥，m α⊥，则l m ⊥，D 正确，故选：D 3．C【分析】根据两直线平行求出参数的值，即可判断.【详解】若直线()680ax a y -++=与350x ay a -+-=平行，则()236a a -=-+，解得3a =-或6a =，当3a =-时直线3380x y --+=与3380x y +-=重合，故舍去；当6a =时直线61280x y -+=与3610x y -+=平行，符合题意；所以6a =.所以“直线()680ax a y -++=与350x ay a -+-=平行”是“6a =”的充分必要条件.故选：C 4．A【分析】首先根据数量积的定义求出12e e ⋅，再由数量积的运算律计算可得.【详解】因为两个单位向量1e ，2e的夹角为120 ，所以121211cos 1122120e e e e ⎛⎫⋅=⋅=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭，所以()()222212121212211322121222e e e e e e e e e e ⎛⎫⋅-+-=⋅+⋅-=-+⨯--= ⎪⎝⎭ .故选：A 5．B【分析】求出圆心坐标，代入直线方程即可求解.【详解】222460x y mx my ++++=的圆心坐标为(),2m m --，因为圆222460x y mx my ++++=关于直线30mx y ++=对称，所以圆心在直线30mx y ++=上，也即2230m m --+=，解得：3m =-或1m =.当3m =-时，可得：2261260x y x y +--+=，符合圆的方程；当1m =时，可得：222460x y x y ++++=，配方可得：()()221210x y +++=-<，舍去.故选：B 6．A【分析】联立方程，设1,1，2,2()1202x x >>->，设直线AC 与直线BC 的倾斜角分别为,αβ，分别求出两直线的斜率，即tan ,tan αβ，再求出()tan αβ+即可.【详解】圆22:(2)(1)2C x y ++-=的圆心为()2,1C-，由()()220212x x y ⎧=⎪⎨++-=⎪⎩，消去y 整理得22630x x ++=，设1,1，2,2()1202x x >>->，又26423120⨯⨯=-∆=>，所以123x x +=-，1232x x =，设直线AC 与直线BC 的倾斜角分别为,αβ，显然,αβ均不等于90 ，所以111113tan 022ACy k x x α-===>++，222213tan 022BC y k x x β-===<++，所以090,90180αβ<<<< ，则90270αβ︒<+<︒，所以()12123322tan tan tan 1tan tan 33122x x x x αβαβαβ-+++==--⨯++()()()()()12121212122222131322x x x x x x x x x x ++++=--⋅++()()()121212121212122224131324x x x x x x x x x x x x x x +++++=--⋅+++()()()322323234233121332342⨯+⨯-+⨯-+=-=--⨯+⨯-+所以120αβ+= ，即直线AC与直线BC的倾斜角之和为120.故选：A7．C【分析】根据余弦和差公式化简得到1tan1mm-=+θ，由正切二倍角公式和π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭得到1tan2θ=，从而得到方程，求出实数m的值.【详解】因为ππcos cos44mθθ⎛⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则sin cos2222mθθθθ⎛⎫+=-⎪⎪⎝⎭，即()cos sin cos sinmθθθθ+=-，整理可得()()1sin1cosm mθθ+=-，即1tan1mm-=+θ，又因为22tan4tan21tan3θθθ==-，故22tan3tan20θθ+-=，解得tan2θ=-或12，且π0,4θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则tan0θ>，可得1tan2θ=，即1112mm-=+，解得13m=.故选：C.8．D【分析】根据圆方程求得圆C与x轴的交点坐标可得弦长为4，即A错误，将直线l整理可得其恒过定点()3,2M-，即B错误，又圆心()2,1C-不在直线l上，可得直线l被圆C截得的弦长不存在最大值，即C 错误；当CM l⊥时，直线l被圆C截得的弦长存在最小值，此时直线l的方程为50x y--=，即D正确.【详解】对于A，由圆C方程可得圆C与x轴的交点坐标为()0,0和()4,0，因此圆C被x轴截得的弦长为4，即A错误；对于B，将直线()():2180l m x m y m++---=整理可得()1280x y m x y+-+--=；由10280x y x y +-=⎧⎨--=⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩，所以无论m 为何值时，直线l 恒过定点()3,2M -，即B 错误；对于C ，易知圆22:(2)(1)5C x y -++=是以()2,1C -为圆心，半径r =，易知圆心()2,1C -不在直线l 上，又直线l 被圆C 截得的弦长的最大值为直径，所以可得直线l 被圆C 截得的弦长不存在最大值，可得C 错误；对于D ，设直线l 与圆C 交于点,A B ，圆心C 到直线l 的距离为d ，则弦长AB ==由直线l 恒过定点()3,2M -可得圆心C 到直线l 的距离d 有最大值为max d CM ===此时直线l 被圆C 截得的弦长存在最小值，满足CM AB ⊥，如下图所示；此时直线l 的斜率为1，其方程为23y x +=-，即，可得D 正确；故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键在于判断出不管m 取何值时直线l 都不过圆心，即取不得弦长的最大值（圆的直径），可得出结论.9．BC【分析】根据平面向量的线性运算及数量积的运算律分别计算即可.【详解】对于A ，1122EF EC CF AD AB =+=-，所以2AD AB EF -=，故A 错误；对于B ，1122AF AE AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭221152204224AD AB AD AB =++⋅=++=，故B 正确；对于C ，()()AF AE AD DF AB BE+=+++()113222AD AB AD AB AD AB ⎛⎫⎛⎫=+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故C 正确；对于D ，因为E 中点，由图可知AE在AD上的投影向量为，故D 错误.故选：BC.10．ACD【分析】由直三棱柱性质以及线面平行判定定理可判断A 正确，易知当,,,D E F G 分别为棱1111,,A B A C AB ，AC 的中点时截面为EDFG 为矩形，即B 错误；易知点M 的轨迹是以1A 为圆心，1A M =为半径的圆在111A B C △内的部分，可判断C 正确，作出点P 关于平面11A ABB 和11A ACC 的对称点，再利用余弦定理可得D正确.【详解】对于A ，如下图所示：由BF CG =可得//FG BC ，由三棱柱性质可得11//BC B C ，因此可得11//FG B C ，因为FG ⊂平面PFG ，11B C ⊄平面PFG ，所以11//B C 平面PFG ，即可知A 正确；对于B ，由11A D A E =可知11//DE B C ，结合A 选项可知//DE FG ，当,,,D E F G 分别为棱1111,,A B A C AB ，AC 的中点时，满足DE FG =，如下图所示：结合直棱柱性质可知，此时过D ，F ，G 三点的平面截三棱柱所得截面为EDFG ，为矩形；即B 错误；对于C ，易知11AA A M ⊥，又1π6A AM ∠=，所以在直角三角形1AA M中，111πtan tan 6A M A AM A A ∠===1A M =；因此可得M 的轨迹是以1A为圆心，13A M =为半径的圆在111ABC △内的部分，即圆弧12M M ；如下图所示：又111A B C △是边长为4的正三角形，取1H 为11B C 的中点，所以1A 到11B C的距离为因此可得当M 为圆弧12M M 的中点时，M 到棱11B C距离的最小值为=，即C 正确；对于D ，取P 点关于平面11A ABB 和11A ACC 的对称点分别为12,P P ，连接12PP 与平面11A ABB 和11AACC 的交点分别为M ，N 时，MNP △周长的最小，如下图所示：易知12PP PP ==，12120PPP ∠=，由余弦定理可得123PP ==，因此MNP △周长的最小值为123MN MP NP PP ++==，即D 正确.故选：ACD 11．ABD【分析】对于A ：根据题分析可知圆1C 和圆2C 内含，即可得结果；对于B ：根据题意可知两圆外切，进列式求得m 得值即可分析判断；对于C ：根据题意分析可知圆1C 与圆2C 相交，列式求解即可；对于D ：根据两圆外离解得5m >，根据面积关系可得13QC =122QC -≤≤+，运算求解即可【详解】由题意可知：圆1C 的圆心为()10,0C ，半径11r =，圆2C 的圆心为()2,2C m m ，半径22r =，可得12C C =，对于选项A ：若m ⎡∈⎢⎣⎭，则12211C C r r =<=-，可知圆1C 和圆2C 内含，所以圆1C 和圆2C 没有公切线，故A 正确；对于选项B ：若圆1C 和圆2C 有三条公切线，则两圆外切，则1221C C r r =+3=，可得5m =，此时两圆是确定的，则公切线方程也是确定的，所以公切线的倾斜角的和为定值，故B 正确；对于选项C ：若π2MPN ∠=，则点P 的轨迹方程为圆221:1C x y +=，由此可知：圆2C 存在点P 在圆1C 内，且12r r <，可知圆1C 与圆2C 相交，可得211212r r C C r r <<+-，即13<<，m <<C 错误；对于选项D ：若圆1C 和2C 外离，可得1212C C r r >+3>，解得m >因为四边形1QGC H 面积1111222QGC H QGC S S r QG ==⨯⋅=△，解得13QC =，又因为1221122C C r QC C C r -≤≤+122QC -≤+，232-≤≤+，解得5m <≤D 正确；故选：ABD.12．π12或π3【分析】首先求出平移后的解析式，再根据诱导公式计算可得.【详解】将函数πcos 46y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向右平移 φ个单位长度得到()ππcos 4cos 4466y x x φφ⎡⎤⎛⎫=--=-- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，又πcos 446y x φ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭为奇函数，所以()ππ4πZ 62k k φ--=+∈，解得()ππZ 64k k φ=--∈，又π02φ<<，所以π12φ=或π3φ=.故答案为：π12或π3.13．216630x y --=或10300x y +-=（其中一条即可）【分析】设直线l 夹在直线1l 、2l 之间的部分是AB ，且AB 被()3,0P 三等分，设1,1，2,2，依题意可得121223122012x x y y +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩或121223122012x x y y +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，再结合A 、B 分别在直线1l 、2l 上，求出A 、B 坐标，即可求出直线l的方程.【详解】设直线l 夹在直线1l 、2l 之间的部分是AB ，且AB 被()3,0P 三等分，设1,1，2,2，则21AP PB =或12AP PB =，所以121223122012x x y y +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩或121223122012x x y y +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩，又A 、B 分别在直线1l 、2l 上，所以11220x y --=，2230x y ++=，解得11173283x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩、2253143x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩或1183103x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩、22113203x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，所以1728,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭，514,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭或810,33A ⎛⎫⎪⎝⎭，1120,33B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则直线l 的方程为14282817335173333y x --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-或2010108331183333y x --⎛⎫-=- ⎪⎝⎭-，整理得216630x y --=或10300x y +-=.故答案为：216630x y --=或10300x y +-=（其中一条即可）14．8【分析】设在t 小时后，该海滨城市开始受到台风侵袭，此时台风中心位于点Q ，利用两家和差公式求得13cos 14OPQ ∠=，在结合余弦定理运算求解即可.【详解】设在t 小时后，该海滨城市开始受到台风侵袭，此时台风中心位于点Q，则13010,350,20OQ t OP PQ t =+==，且60OPQ ∠=-︒θ，因为1πcos ,0,72θθ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭，则sin 7==θ，可得()1113cos cos 60cos cos 60sin sin 60727214OPQ θθθ∠=-︒=︒+=⨯+⨯=，在OPQ △中，由余弦定理可得2222cos OQ PQ OP PQ OP OPQ =+-⋅∠，即()()22213130102035022035014t t t +=+-⨯⨯⨯，整理可得2523520t t -+=，解得8t =或44t =，故8小时后该海滨城市开始受到台风侵袭．故答案为：8.15．(1)(2)43【分析】（1）依题意可得C =+B ，将两边平方，由数量积的运算律求出b ，再由余弦定理计算可得；（2）由CD 平分ACB ∠，则π3ACD BCD ∠=∠=，由ACD BCD ACB S S S += ，利用三角形的面积公式可求得b ，CD .【详解】（1）在ABC V 中，4a =，2π3C =，因为D 为AB 的中点，所以C= +B ，两边平方得()222124CD CA CB CA CB =++⋅，则212π31624cos 43b b ⎛⎫=++⨯⨯⨯ ⎪⎝⎭，解得2b =，由余弦定理2222212cos 42242282c a b ab C ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以c =（2）因为CD 平分ACB ∠，所以π3ACD BCD ∠=∠=，又+= ACD BCD ABC S S S ，即111sin sin sin 222AC CD ACD BC CD BCD AC CB ACB ⋅∠+⋅∠=⋅∠所以1π1π12πsin 4sin 4sin232323CD b CD b ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=解得2b =，43CD =.16．（1）证明见解析(2)7【分析】（1）利用三角形的中位线得线线平行，即可根据线面平行的判定求证，（2）建立空间直角坐标系，利用向量垂直可得三棱柱的高，即可利用法向量的夹角求解.【详解】（1）如图，连接11BA B O A ⋂=，连接OE ，则O 为1AB 的中点，又E 为AC 的中点，1//CB OE ∴，又1CB ⊂/平面1EBA ，OE ⊂平面1EBA ，1//CB ∴平面1EBA ；（2）取AB 中点，设三棱柱的高为a ，以M为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()())()()1130,0,0,0,3,0,,0,3,0,2,0,3,0,3,,,,022M B C A P C a B a E ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，()()111,,PB a BC a =-=，由于11PB BC ⊥，故()()2111,930PB BC a a a ⋅=-⋅=--+=，解得a =，（负值舍去），(19,,02BC BE ⎫==⎪⎪⎝⎭,设平面1BEC 的法向量为(n x =,y ,)z ，则30902n BC y z n BE x y ⎧⋅=++=⎪⎨⋅+=⎪⎩ ，取1y =-，得1,n =- ，而平面11ABB A 的一个法向量为()1,0,0m =，则cos ,7m nm n m n ⋅===故平面11ABB A 与平面1BEC夹角的余弦值为717．(1)()()22234x y -+-=（2）四边形DEFG 的面积的最大值为6，最小值为【分析】（1）设()2,3C k k ，根据圆的定义解得1k =，即可得圆心和半径，即可方程；（2）设弦DF ，EG 的中点分别为弦,P Q ，,CP a CQ b ==，可得222,b a a ⎡=-∈⎣，利用垂径定理求,DF EG ，进而求面积并结合二次函数求最值.【详解】（1）因为圆心C 在直线:320l x y -=，设()2,3C k k ，由题意可知：CA CB ==1k =，即圆心()2,3C ，半径2r CA ==，所以圆C 的标准方程为()()22234x y -+-=.（2）因为CM r ==<，可知点M 在圆C 内，设弦DF ，EG 的中点分别为弦,P Q ，,CP a CQ b ==，由题意可知：CPMQ 为矩形，则222CP CQ CM +=，即222a b +=，可得222,b a a ⎡=-∈⎣，且DF ==EG ===则四边形DEFG 的面积1122DEFG S DF EG =⋅=⨯=且a ⎡∈⎣，即[]20,2a ∈，当21a =，即1a =时，DEFG S 取到最大值6；当20a =或22a =，即0a =或a =DEFG S 取到最小值所以四边形DEFG 的面积的最大值为6，最小值为.18．（1）证明见解析（2）证明见解析(3)0,85⎛ ⎝⎭【分析】（1）由条件先证明⊥BC 平面PAC ，即可求证；（2）设,AC x BC y ==，通过直角三角形PAC 的面积构造等式，说明x y =，即可求证；（3）确定O 到平面PBC 的距离，再结合线面角正弦值的计算公式即可求解.【详解】（1）因为PA ⊥平面ABC ，BC 在平面ABC 内，所以BC PA ⊥，又AC BC ⊥，,AC PA 为平面PAC 内两条相交之间，所以⊥BC 平面PAC ，又BC 在平面BCP 内，所以面ACP ⊥面BCP .（2）因为O 为AB 的中点，AC BC ⊥，1OC =，所以2,1AB OA OB ===，设,AC x BC y ==，所以224x y +=，由（1）知，BC PC ⊥，PA AB ⊥，PA AC ⊥,所以22220PB PA AB =+=，所以222220PC PB BC y =-=-，所以PC =，所以在直角三角形PAC 中，由面积可得：4x 224x y +=，解得：222x y ==，也即AC BC =，所以OC AB ⊥.（3）因为2AB =，OP =，设,AC x BC y ==，所以224x y +=，其中02x <<此时222220,PC PB BC y =-=-所以PC =过A 向PC 作垂线，垂足为D ，设AD h =，所以4x =所以h =由（1）可知，AD⊥面PBC,因为O为AB的中点，所以O到面PBC的距离为12 h，设OP与面PBC所成角为θ，所以12sinhOPθ==，因为02x<<，所以204<<x，2164x>所以sinθ=所以OP与面PBC所成角的正弦值的取值范围是0,85⎛⎝⎭.19．(1)()(2214x y-+-=(2)（3）证明见详解【分析】（1）根据弦长关系可得2CM=，可知点M的轨迹是以(C为圆心，半径为2r=的圆，即可得方程；（2）根据切线性质可得APCQS=，进而可得最小值；（3）先进行图形平移，将圆心C平行至原点，可得003P R P Tk k=，分类讨论直线斜率是否存在，利用韦达定理可证直线RT过定点()1,0-，进而可得结果.【详解】（1）因为圆C：222120x y x y+---=，即()(22116x y-+-=，可知圆C的圆心为(C，半径4R=，由题意可得：2CM=，可知点M的轨迹是以(C为圆心，半径为2r=的圆，所以点M的轨迹方程为()(2214 x y-+-=.（2）因为四边形APCQ面积12222APCQ APCS S PA r PA==⨯⋅===可知当AC l⊥时，B取到最小值min PC=所以四边形APCQ面积的最小值为=.（3）由题意可知：直线1:l y=((,3,D E-，先说明如下问题：若点()004,P y-为直线4x=-上的动点，直线()()()010212,2,0,2,0P A P A A A-与圆22:4O x y+=的另一个交点分别为()()1122,,,R x y T x y，（RT与12A A不重合），求证：直线RT过定点．因为00001212,2262P R P Ty yy yk kx x====-+--，可知003P R P Tk k=，即1212322y yx x=+-，可得()()22122212922y yx x=+-，—21—又因为222211224,4x y x y +=+=，可得()()()()222211112222422,422y x x x y x x x =-=+-=-=+-，则()()()()()()112222122292222x x x x x x +-+-=+-，即()211292222x x x x +-=-+-，整理可得()12122580x x x x +++=，若直线RT 的斜率存在，设为y kx b =+，联立方程224y kx b x y =+⎧⎨+=⎩，消去y 可得()2221240k x kbx b +++-=，则0∆>，且212122224,11kb b x x x x k k -+=-⋅=++，则()22224108011b kb k k --+=++，整理可得22540b kb k -+=，解得b k =或4b k =，若b k =，则直线RT ：()1y k x =+过定点()1,0-；若4b k =，则直线RT ：()4y k x =+过定点()4,0-，且RT 与12A A 不重合，不合题意；所以直线RT 过定点()1,0-；若直线RT 的斜率不存在，则12x x =，可得21121080x x ++=，即211540x x ++=，解得11x =-或14x =-（舍去），此时直线RT 过点()1,0-，符合题意；且()1,0-在圆O 内部，直线RT 与圆O 必相交，综上所述：直线RT 过定点()1,0-.将上述问题图象，整体向右平移1个单位，再向上平移3个单位，即可得得到本题的问题，结合图形平移可知：直线FG过定点(.【点睛】关键点点睛：根据图形变换，将圆心C 平移至坐标原点，这样可以简化运算.。

鞍山市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考(10月)月考数学试卷

鞍山市第一中学2024-2025学年高二上学期第一次月考（10月）月考数学试卷一、单选题1310y -+=的倾斜角是（） A ．30oB ．60oC ．120oD ．150o2．若方程2224240x y mx y m m ++-+-=表示一个圆，则实数m 的取值范围是（） A ．1m ≤- B ．1m <- C ．1m ≥-D ．1m >-3．已知直线l 的一个方向向量为()1,2,1m =-r ，平面α的一个法向量为1,1,2n x ⎛⎫= ⎪⎝⎭r ，若//l α，则x =（）A ．52B ．52-C ．12-D ．124．已知直线()12:20,:2120l ax y l x a y +-=+++=，若1l ∥2l ，则a =（） A ．1-或2B ．1C ．1或2-D ．2-5．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,M N 分别为11,DB AC 的中点，则直线1A M 和BN 夹角的余弦值为（）A B C ．23D ．126．当点()2,1P --到直线()()():131240l x y λλλλ+++--=∈R 的距离最大时，直线l 的一般式方程是（） A ．3250x y +-= B ．2310x y -+= C ．250x y ++=D ．2320x y -+=7．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，190,1,,,BAC AB AC AA G E F ∠=︒===分别是棱111,A B CC 和AB 的中点，点D 是线段AC 上的动点（不包括端点）．若GD EF ⊥，则线段AD 的长度是（）A ．14B ．12C ．34D ．138．如图，在四裬锥P ABCD -中，PA ⊥平面,90,ABCD BAD BC ∠=o ∥AD ，12,2PA AB BC AD Q ====是四边形ABCD 内部一点（包括边界），且二面角Q PD A --的平面角大小为π3，若点M 是PC 中点，则四棱锥M ADQ -体积的最大值是（）A B ．43C D ．1二、多选题9．已知m ∈R ，若过定点A 的动直线1l ：20x my m -+-=和过定点B 的动直线2l ：240mx y m ++-=交于点P （P 与A ，B 不重合），则以下说法正确的是（）A ．A 点的坐标为 2,1B ．PA PB ⊥C ．2225PA PB +=D ．2PA PB +的最大值为510．如图，已知二面角l αβ--的棱l 上有,A B 两点，,,C AC l D αβ∈⊥∈，BD l ⊥，若2,AC AB BD CD ====，则（）A ．直线AB 与CD 所成角的余弦值为45o B ．二面角l αβ--的大小为60oC ．三棱锥A BCD -的体积为D ．直线CD 与平面β11．如图，M 为棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -表面上的一个动点，则（）A ．当M 在平面1111D CB A 内运动时，四棱锥M ABCD -的体积是定值 B ．当M 在直线11AC 上运动时，BM 与AC 所成角的取值范围为ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．使得直线MA 与平面ABCD 所成的角为60°的点M D ．若N 为棱11A B 的中点，当M 在底面ABCD 内运动，且//MN 平面11B CD 时，MN 的三、填空题12．已知空间直角坐标系中的三点()2,0,2A 、()0,0,1B 、()2,2,2C ，则点A 到直线BC 的距离为．13．一条光线从点(4,0)A -射出，经直线10x y +-=反射到圆22:(2)2C x y ++=上，则光线经过的最短路径的长度为．14．已知梯形CEPD 如图1所示，其中8,6PD CE ==，A 为线段PD 的中点，四边形ABCD为正方形，现沿AB 进行折叠，使得平面PABE ⊥平面ABCD ，得到如图2所示的几何体．已知当点F 满足(01)AF AB λλ=<<u u u r u u u r 时，平面DEF ⊥平面PCE ，则λ的值为．图1 图2四、解答题15．已知直线l 的方程为：()()211740m x m y m +++--=. (1)求证：不论m 为何值，直线必过定点M ；(2)过点M 引直线1l 交坐标轴正半轴于A B 、两点，当AOB V 面积最小时，求AOB V 的周长. 16．在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为11AC 的中点.(1)求异面直线AE 与1B C 所成角的余弦值； (2)求三棱锥1A B CE -的体积.17．已知圆满足：截y 轴所得弦长为2；被x 轴分成两段弧，其弧长的比为3:1， (1)若圆心在直线20x y -=上，求圆的标准方程；(2)在满足条件的所有圆中，求圆心到直线1:20x y -=的距离最小的圆的方程．18．如图，PD ⊥平面,,ABCD AD CD AB ⊥∥,CD PQ ∥,222CD AD CD DP PQ AB =====，点,,E F M 分别为,,AP CD BQ 的中点.(1)求证：EF ∥平面CPM ；(2)求平面QPM 与平面CPM 夹角的余弦值；(3)若N 为线段CQ 上的点，且直线DN 与平面QPM 所成的角为π6，求N 到平面CPM 的距离.19．如图，在ABC V 中，,2,AC BC AC BC D ⊥==是AC 中点，E F ､分别是BA BC ､边上的动点，且EF ∥AC ；将BEF △沿EF 折起，将点B 折至点P 的位置，得到四棱锥P ACFE -；(1)求证：EF PC ⊥；(2)若2BE AE =，二面角P EF C --是直二面角，求二面角P CE F --的正弦值； (3)当PD AE ⊥时，求直线PE 与平面ABC 所成角的正弦值的取值范围.。

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1 万州三中高2014级高二上期第一次月考语文试题卷 2012.9

命题人：牟方平审题人：谢礼卷首寄语：一笔一画关乎成绩，一字一句决定人生。注意事项： 1.第 1至 6 题、第 14至 17题为选择题，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。 2.其余为非选择题，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。第I卷（阅读题共62分）一、现代社科文阅读(9分，每小题3分) 阅读下面的文字，完成1～3题。

记住历史，不要记住仇恨徐迅雷（1）2007年12月13日，南京大屠杀70周年。要“记住历史，不要记住仇恨”，这是已故南京大屠杀幸存者李秀英的遗言，非常精确地说明了今天的纪念意义。（2）今天，一些空乏的口号式发泄，又翻卷起来，颇有些“四海翻腾云水怒”的味道，比如网民的“铭记三十万，谢绝日本人”、“抵制日货”、“日本人真不是东西”等等。把70年前战犯所犯下的罪行，拿今天的“日本”“日本人”来“替罪”，犹如“先人犯罪、孙辈罚跪”。这多么荒谬。今日日本人当中也有右翼和极右翼，但我们一些狭隘民族主义者，根本就不知道哪个是右翼分子，不区分右翼与其他日本人的不同，就像不区分今天日本百姓与过去日本侵略军的不同一样。（3）一万次发泄抵不上一次证据的发现。我们需要的是精准的研究，而不是空乏的口号。（4）73岁的张宪文，南京大学中华民国史研究中心主任，是厚大的《中国抗日战争史》一书主编，他还担负着主编《南京大屠杀史料集》的重任大责。史料先后已出版了两批，共55卷，3000万字，这是南京学界数十位学者共同参与、历时7年完成的一项庞大工程，是在调查了中国、日本、美国、德国、丹麦等国家的历史史料后的血汗结晶。大屠杀证据的发掘研究，是认识历史真相的过程；我们就应该做这样扎实的具体的工作，而不是泛泛地光顾着说“30万”的数字。（5）没有具体的、扎实的证据，就难以真正教育他人、启发自己。“我们最终会出到第80卷，收集到的证据、史料越来越多。”张宪文说，“我就不信，把这些书摆到日本首相的办公桌上，他还不承认南京大屠杀?”我想，“第80卷”不该是“最终”，今后要一直研究发掘下去：“日本首相”也要区别这个那个，有的首相根本就不会“不承认南京大屠杀”。（6）历史不是木乃伊．．．。今天要挖掘的是历史“木乃伊．．．”，而不是不做具体的史料搜集研究工作。只会漫天发泄；否则，我们自己就会成为活着的“木乃伊．．．”。对于当今日本右翼的行动，我们应该以行动对行动、用证据对谎言。右翼导演水岛悟，最近弄了部电影《南京2

真相》(The Truth of Naming)，号称自己对1937年日本军队占领南京的历史进行了“彻底的研究”。他得出一个“非常准确”的遇难者数字：零。对于水岛悟的这一切，你痛骂“日本人真不是东西”有用吗? （7）记住仇恨是容易的，而记住历史却很难。在新开张的餐馆门口挂个虚张声势的“日本人不得入内”是容易的，让你去搜集发掘验证一条具体的日军屠杀证据却迈不动腿了。理性的战争史观，是将战争的责任锁定在具体的战犯身上；狭隘的民族主义情绪，却是以空洞的国家名称作为发泄对象。遥想当年，梅汝璈代表中国出任远东国际军事法庭法官，参与了东京审判。历时两年半，在“坚持死刑处罚”等关键问题上，做了大量细致艰苦的工作，最终在法官表决中，以1票之差赢得“坚持死刑”，从而使东条英机等7名战犯被判处绞刑。如果不是在“证据与法理”上面进行大量扎实具体的工作，只晓得空喊口号、发泄情绪、表达仇恨，会有这样的结果吗? （8）不区分具体的对象，煽动莫名其妙的仇恨，这属于一种“爱国贼”，以为自己是爱国，其实把自己祖国的老脸都丢光了。狭隘民族主义者，本质上就是通过损害他人的“手段”，达到最终自残的“目的”，简单地说，就是“害人害己”。这许多年来，狭隘的、极端的民族主义情绪蔓延。这是怎么纵容出来的?值得我们理性地反思。（9）记住历史，是为了将来不让悲惨的历史重演，是为了现在避免怒火中烧自焚、焚他。如果只记住仇恨．悲惨历史就有重新发生的可能。“要记住历史，不要记住仇恨”，经历过南京大屠杀苦难的李秀英老人都有这样睿智的认识，相比之下．今天的我们真应该感到汗颜。在当今的和平时代，要温和、理性、开放的爱国主义，还是要狂热、极端、狭隘的民族主义，这是国家的选择，是民族的选择，也是个人的选择。 1．对第六段中三个加点的“木乃伊”在文中含义理解正确的一项是( ) A．“历史不是木乃伊”与“今天要挖掘的历史‘木乃伊’”相同。 B．“历史不是木乃伊”与“我们自己就会成为活着的‘木乃伊’”相同。 C．“今天要挖掘的是历史‘木乃伊’”与“我们自己就会成为活着的‘木乃伊’”相同。 D．全不相同。 2．对文中所有事例的目的说明不正确的一项是( ) A．列举“谢绝日本人”“抵制日货”“日本人真不是东西”等“先人犯罪，孙辈罚跪”的现象，为了说明盲目的仇恨是根本不区分对待历史与现实的狭隘民族主义的泛滥。 B．列举张宪文编辑史书的事例，说明空泛的口号是无用的，扎实有力的史实才能教育他人，启发自己，才是反击日本右翼分子的有力武器。 C．举水岛悟所拍电影的事例，意在说明谎言是需要行动来戳穿的，而那些空洞的言论在别人精心编造的谎言前毫无用处的。 D．举梅汝璈的事例说明理性的战争史观，是将战争的责任锁定在具体的战犯身上；狭隘的民族主义情绪，却是空洞的国家名称作发泄对象。 3．通读全文，对“记住历史，不要记仇恨”的理解不正确的一项是( ) A．一味空喊“铭记三十万，谢绝日本人”“抵制日货”、“日本人真不是东西”等口号，是一种狭隘民族主义的情绪发泄，是记住了仇恨，而不是记住了历史。 B．了解那段历史，了解那场战争发生的原因及造成的灾难，就是为了将来不让悲惨的历史重演。 C．在今天，正确的民族主义应当是区别对待历史与现实，区别对待日本人民与极少数日本右翼分子，以理性的态度对待两国关系，着眼于两国人民的世代友好发展两国关系。 D．记住历史就是应当记住那段历史，以那段历史为耻，警钟长鸣，时刻提防日本的3

再次入侵。二、文言古诗文阅读（本大题共31分）（一）文言文阅读（共19分）阅读下文，完成第4～7题（共9分）。

范纯仁字尧夫，始出仕，知襄城县。县有牧地，卫士牧马，以践民稼，纯仁捕一人杖之。牧地初不隶县，主者怒曰：‚天子宿卫，令敢尔邪？‛白其事于上，劾治甚急。纯仁言：‚养兵出于税亩，若使暴民田而不得问，税安所出？‛诏释之，且听牧地隶县。拜同知谏院，奏言：‚王安石变祖宗法度，掊（注①）克财利，民心不宁。《书》曰：‘怨岂在明，不见是图。’愿陛下图不见之怨。‛神宗曰：‚何谓不见之怨？‛对曰：‚杜牧所谓‘天下之人，不敢言而敢怒’是也。‛神宗嘉纳之，曰：‚卿善论事，宜为朕条古今治乱可为鉴戒者。‛富弼在相位，称疾家居。纯仁言：‚弼受三朝眷倚，当自任天下之重，而恤己深于恤物，忧疾过于忧邦，致主处身，二者胥失。‛其所上章疏，语多激切。知庆州。秦中方饥，擅发常平粟赈贷。僚属请奏而须报，纯仁曰：‚报至无及矣，吾当独任其责。‛或谤其所全活不实，诏遣使按视。会秋大稔，民欢曰：‚公实活我，忍累公邪？‛昼夜争输还之。使者至，已无所负。移齐州，齐俗凶悍，人轻为盗劫。或谓：‚此严治之犹不能戢，公一以宽，恐不胜其治矣。‛纯仁曰：‚宽出于性，若强以猛，则不能持久；猛而不久，以治凶民，取玩之道也。‛有西司理院，系囚常满，皆屠贩盗窃而督偿者。纯仁曰：‚此何不保外使输纳邪？‛通判曰：‚此释之，复紊，官司往往待其以疾毙于狱中，是与民除害尔。‛纯仁曰：‚法不至死，以情杀之，岂理也邪？‛尽呼至庭下，训使自新，即释去。期岁，盗减比年大半。拜尚书右仆射兼中书侍郎。纯仁凡荐引人材，必以天下公议，其人不知自纯仁所出。或曰：‚为宰相，岂可不牢笼天下士，使知出于门下？‛纯仁曰：‚但朝廷进用不失正人，何必知出于我邪？‛ 纯仁性夷易宽简，不以声色加人，谊之所在，则挺然不少屈。每戒子弟曰：‚人虽至愚责人则明虽有聪明恕己则昏苟能以责人之心责己恕己之心恕人不患不至圣贤地位也。‛ 注①掊：搜括。（《宋史》列传第七十三） 4．下列各组句子中，加点字的解释错误的一项是（） A．白．其事于上白：禀报 B．神宗嘉纳．之纳：采纳 C．擅发．常平粟赈贷发：征发 D．诏遣使按．视按：查究 5．以下四组句子，分别表现范纯仁“敢谏”和“爱民”的一组是（） A．致主处身，二者胥失纯仁性夷易宽简，不以声色加人 B．愿陛下图不见之怨报至无及矣，吾当独任其责 C．此何不保外使输纳邪？若使暴民田而不得问，税安所出 4

D．法不至死，以情杀之，岂理也邪？秦中方饥，擅发常平粟赈贷 6．下列对原文有关内容的分析和概括，不正确的一项是（） A．范纯仁认为朝廷军费是由田税所出，故惩治了毁损百姓庄稼的宫廷卫士；他反对以变法搜括钱财，侵害百姓，认为这将使百姓不敢言而敢怒。 B．范纯仁敢于弹劾权贵，他指出宰相富弼身为三朝重臣，深受朝廷恩顾倚重，却称病家居，这是不肯效力君主、担当重任的行为，也是立身处世方面的缺失。 C．范纯仁为政宽缓，对轻罪的囚犯，并不像一般官吏那样使他们在狱中疾病而死，而是给他们自新的机会。这样一年之后，被关押的囚犯大半出狱了。 D．范纯仁担任宰相时，依据公议荐举人才，并不为了将人才罗致到自己门下，也不要被举荐的人知晓感恩，只求朝廷所任用的是正直的人。 7．（1）用斜线“/”给下面文言文中加波浪的部分断句。（3分）人虽至愚责人则明虽有聪明恕己则昏苟能以责人之心责己恕己之心恕人不患不至圣贤地位也（2）将划横线的句子翻译成现代汉语。 ①卿善论事，宜为朕条古今治乱可为鉴戒者。（4分）

②屈贾谊于长沙，非无圣主；窜梁鸿于海曲，岂乏明时？（《滕王阁序》）（3分）（二）古代诗歌阅读（共6分） 8.阅读下面这首诗歌，然后回答问题。（6分）

送路六侍御入朝杜甫

童稚情亲四十年，中间消息两茫然。更为后会知何地？忽漫相逢是别筵！不分①桃花红胜锦，生憎柳絮自如棉。剑南春色还无赖②，触忤愁人到酒边。【注】①分：fèn，满意。②无赖：无聊。（1）请简要概括“愁人”因何而愁？（2分）

（2）有人说颈联“看似无理，实则情深”，你同意吗？请简要分析。（4分）

(三)名篇名句默写与文学常识(6分） 9.（1）策扶老以流憩，。（陶渊明《归去来兮辞》）（2），临清流而赋诗。（陶渊明《归去来兮辞》）（3），访风景于崇阿。（王勃《滕王阁序》）