【一轮参考】高优指导2017数学人教B版(文)一轮9.1直线的倾斜角斜率与直线的方程
直线的倾斜角、斜率与直线的方程
8．1 直线的倾斜角、斜率与直线的方程 题型1 直线的倾斜角与斜率典例 直线l 过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 斜率的取值范围为________．答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞)[条件探究] 若将典例中点P(1,0)改为点P(－1,0)，其他条件不变，求直线l 斜率的取值范围．解 ∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，3)，∴kAP ＝1－02－(－1)＝13，kBP ＝3－00－(－1)＝ 3.如图可知，直线l 斜率的取值范围为⎣⎡⎦⎤13，3.冲关针对训练已知线段PQ 两端点的坐标分别为P(－1,1)和Q(2，2)，若直线l ：x ＋my ＋m ＝0与线段PQ 有交点，则实数m 的取值范围是________． 答案 －23≤m ≤12 题型2 直线方程的求法典例 求适合下列条件的直线的方程： (1)在y 轴上的截距为－5，倾斜角的正弦值是35；(2)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)经过点A(－1，－3)，倾斜角等于直线y ＝3x 的倾斜角的2倍．解 (1)设直线的倾斜角为α，则sinα＝35.∴cosα＝±45，直线的斜率k ＝tanα＝±34.又直线在y 轴上的截距是－5，由斜截式得直线方程为y ＝±34x －5.即3x －4y －20＝0或3x ＋4y ＋20＝0. (2)设直线l 在x ，y 轴上的截距均为a ，若a ＝0， 即l 过点(0,0)和(3,2)．∴l 的方程为y ＝23x ，即2x －3y ＝0. 若a ≠0，则设l 的方程为x a ＋y a ＝1.∵l 过点P(3,2)，∴3a ＋2a ＝1. ∴a ＝5，∴l 的方程为x ＋y －5＝0.综上可知，直线l 的方程为2x －3y ＝0或x ＋y －5＝0.(3)设直线y ＝3x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α.∵tanα＝3，∴tan2α＝2tanα1－tan2α＝－34.又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y ＋3＝－34(x ＋1)，即3x ＋4y ＋15＝0.冲关针对训练根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为1010； (2)直线过点(5,10)，且到原点的距离为5.解 (1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sinα＝1010(0≤α<π)，从而cosα＝±31010，则k ＝tanα＝±13，故所求直线方程为y ＝±13(x ＋4)，即x ＋3y ＋4＝0或x －3y ＋4＝0.(2)当斜率不存在时，所求直线方程为x －5＝0，满足题意． 当斜率存在时，设其为k ，则所求直线方程为y －10＝k(x －5)，即kx －y ＋(10－5k)＝0.由点线距离公式，得|10－5k|k2＋1＝5，解得k ＝34，故所求直线方程为3x－4y ＋25＝0.综上知，所求直线方程为x －5＝0或3x －4y ＋25＝0. 题型3 直线方程的综合应用 角度1 由直线方程求参数问题典例 (2017·泰安模拟)已知直线l1：ax －2y ＝2a －4，l2：2x ＋a2y ＝2a2＋4，当0<a<2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a ＝________.答案 12解析 由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1的纵截距为2－a ，直线l2的横截距为a2＋2，所以四边形OMPN 的面积S ＝12×2×(2－a)＋12×2×(a2＋2)＝a2－a ＋4＝⎝⎛⎭⎫a －122＋154，当a ＝12时，面积最小．角度2 与直线方程有关的最值问题(多维探究)典例 过点P(2,1)作直线l ，与x 轴和y 轴的正半轴分别交于A ，B 两点，求： (1)△AOB 面积的最小值及此时直线l 的方程；(2)求直线l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线l 的方程．解 (1)设所求直线l 的方程为x a ＋y b ＝1(a>0，b>0)，则2a ＋1b ＝1. 又∵2a ＋1b ≥22ab ⇒12ab ≥4，当且仅当2a ＝1b ＝12，即a ＝4，b ＝2时，△AOB 面积S ＝12ab 有最小值为4.此时，直线l 的方程是x 4＋y2＝1，即x ＋2y －4＝0.(2)根据题意，直线斜率存在，设为k ，且k<0，故直线方程为y －1＝k(x －2)．∴A ⎝⎛⎭⎫2k －1k ，0，B(0,1－2k)(k<0)，∴截距之和为2k －1k ＋1－2k ＝3－2k －1k ≥3＋2(－2k )·⎝⎛⎭⎫－1k ＝3＋2 2.此时－2k ＝－1k ⇒k ＝－22.故截距之和最小值为3＋22，此时l 的方程为y －1＝－22(x －2)，即x ＋2y －2－2＝0. [结论探究] 若本典例条件不变，求|PA|·|PB|的最小值及此时直线l 的方程． 解 ∵A⎝⎛⎭⎫2k －1k ，0，B(0,1－2k)(k<0)，∴|PA|·|PB|＝1k2＋1·4k2＋4＝2⎣⎡⎦⎤1－k ＋(－k )≥4，当且仅当k ＝－1时等号成立．故|PA|·|PB|最小值为4，此时，直线l 的方程为x ＋y －3＝0.方法技巧 冲关针对训练已知直线l 过点M(1,1)，且与x 轴，y 轴的正半轴分别相交于A ，B 两点，O 为坐标原点．求： (1)当|OA|＋|OB|取得最小值时，直线l 的方程； (2)当|MA|2＋|MB|2取得最小值时，直线l 的方程． 解 (1)设A(a,0)，B(0，b)(a>0，b>0)． 设直线l 的方程为x a ＋y b ＝1，则1a ＋1b ＝1，所以|OA|＋|OB|＝a ＋b ＝(a ＋b)⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋a b ＋b a ≥2＋2a b ·ba ＝4，当且仅当“a ＝b ＝2”时取等号，此时直线l 的方程为x ＋y －2＝0.(2)设直线l 的斜率为k ，则k<0， 直线l 的方程为y －1＝k(x －1)，则A ⎝⎛⎭⎫1－1k ，0，B(0,1－k)，所以|MA|2＋|MB|2＝⎝⎛⎭⎫1－1＋1k 2＋12＋12＋(1－1＋k)2＝2＋k2＋1k2≥2＋2k2·1k2＝4.当且仅当k2＝1k2，即k ＝－1时取等号，此时直线l 的方程为y －1＝－(x －1)，即x ＋y －2＝0.1.解析 直线方程x m －y n ＝a 可化为y ＝n m x －na ，直线x n －y m ＝a 可化为y ＝mn x －ma ，由此可知两条直线的斜率同号．故选B.2．解析 ∵sinθ＋cosθ＝55，①∴(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝15， ∴2sinθcosθ＝－45，∴(sinθ－cosθ)2＝95，易知sinθ>0，cosθ<0， ∴sinθ－cosθ＝355，②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧sinθ＝255，cosθ＝－55，∴tanθ＝－2，即l 的斜率为－2，故选D.3．解析 由y ＝2－x2得x2＋y2＝2(y ≥0)，它表示以原点O 为圆心，2为半径的圆的一部分，如图所示．由题意知直线l 的斜率存在，设过点P(2,0)的直线l 的方程为y ＝k(x －2)，则圆心到此直线的距离d ＝|2k|1＋k2，弦长|AB|＝22－⎝ ⎛⎭⎪⎫|2k|1＋k22＝22－2k21＋k2，所以S △AOB ＝12×|2k|1＋k2×22－2k21＋k2≤(2k )2＋2－2k22(1＋k2)＝1，当且仅当(2k)2＝2－2k2，即k2＝13时等号成立，结合图可知k ＝－33⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＝33舍去，故所求直线l 的倾斜角为150°.故选A.4．答案 5解析 易知A(0,0)，B(1,3)，且PA ⊥PB ，∴|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，∴|PA|·|PB|≤|PA|2＋|PB|22＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝5时取“＝”)．一、选择题1．解析 直线斜率为－33，即tanα＝－33，0≤α<π，∴α＝5π6，故选D.2．解析 将直线xcos140°＋ysin40°＋1＝0化成xcos40°－ysin40°－1＝0，其斜率为k ＝cos40°sin40°＝tan50°，倾斜角为50°.故选B.3．解析 由函数y ＝f(x)＝asinx －bcosx 的一条对称轴为x ＝π4知，f(0)＝f ⎝⎛⎭⎫π2，即－b ＝a ，∴直线l 的斜率为－1，∴倾斜角为3π4.故选D.4．解析 直线PQ 的斜率为－3，则直线PQ 的倾斜角为120°，所求直线的倾斜角为60°，tan60°＝ 3.故选A.5．解析 因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以kAB ＝－kOA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为y －3＝－3(x －1)．故选D.6．解析 将直线Ax ＋By －1＝0化成斜截式y ＝－A B x ＋1B .∵1B ＝－1，∴B ＝－1.又直线3x －y ＝33的倾斜角α＝π3，∴直线Ax ＋By －1＝0的倾斜角为2α＝2π3，∴斜率－A B ＝tan 2π3＝－3，∴A ＝－3，故选B.7．解析 解法一：直线过P(1,4)，代入，排除A 、D ；又在两坐标轴上的截距为正，排除C ，故选B.8．解析 ∵直线ax ＋by ＝ab(a>0，b>0)过点(1,1)，∴a ＋b ＝ab ，即1a ＋1b ＝1，∴a ＋b ＝(a ＋b)⎝⎛⎭⎫1a ＋1b ＝2＋b a ＋a b ≥2＋2b a ·ab ＝4，当且仅当a ＝b ＝2时上式等号成立．∴直线在x 轴，y轴上的截距之和的最小值为4.故选C.9．解析 ∵m ＋2n －1＝0，∴m ＋2n ＝1.∵mx ＋3y ＋n ＝0，∴(mx ＋n)＋3y ＝0，当x ＝12时，mx ＋n ＝12m ＋n ＝12，∴3y ＝－12，∴y ＝－16，故直线过定点⎝⎛⎭⎫12，－16.故选B.10解析 因为点(m ，n)在直线4x ＋3y －10＝0上，所以4m ＋3n －10＝0. 欲求m2＋n2的最小值可先求(m －0)2＋(n －0)2的最小值．而(m －0)2＋(n －0)2表示4m ＋3n －10＝0上的点(m ，n)到原点的距离，如图．当过原点和点(m ，n)的直线与直线4m ＋3n －10＝0垂直时，原点到点(m ，n)的距离最小，最小值为2.故m2＋n2的最小值为4.故选C. 二、填空题 11．解析 直线l ：ax ＋y ＋3＝0是过点A(0，－3)的直线系，斜率为参变数－a ，易知PQ ，QA ，l 的斜率分别为：kPQ ＝13，kAQ ＝73，kl ＝－a.若l 与PQ 延长线相交，由图可知kPQ<kl<kAQ ，解得－73<a<－13.12．解析 设横截距为a ，则纵截距为12－a ，直线方程为x a ＋y 12－a ＝1，把A(－3,4)代入，得－3a ＋412－a ＝1，解得a ＝－4，a ＝9.a ＝9时，直线方程为x 9＋y3＝1， 整理可得x ＋3y －9＝0.a ＝－4时，直线方程为x －4＋y16＝1，整理可得4x －y ＋16＝0.综上所述，此直线方程是x ＋3y －9＝0或4x －y ＋16＝0.13．解析 ①若直线m 的斜率不存在，则直线m 的方程为x ＝2，直线m ，直线l 和x 轴围成的三角形面积为2，符合题意；②若直线m 的斜率k ＝0，则直线m 与x 轴没有交点，不符合题意；③若直线m 的斜率k ≠0，设其方程为y －2＝k(x －2)，令y ＝0，得x ＝2－2k ，依题意有12×⎪⎪⎪⎪2－2k×2＝2，即⎪⎪⎪⎪1－1k ＝1，解得k ＝12，所以直线m 的方程为y －2＝12(x －2)，即x －2y ＋2＝0. 综上知，直线m 的方程为x －2y ＋2＝0或x ＝2.14．解析 ①当α＝90°时，斜率k 不存在，故①错误；②倾斜角的正切值为－1时，倾斜角为135°，故②正确；③直线AB 与x 轴垂直，斜率不存在，倾斜角为90°，故③正确；④直线过定点(1,2)，斜率为1，又4－23－1＝1，故直线必过点(3,4)，故④正确；⑤斜率为34的直线有无数条，所以直线不一定过(1,1)与(5,4)两点，故⑤错误． B 级三、解答题15．设直线l 的方程为(a ＋1)x ＋y ＋2－a ＝0(a ∈R)． (1)若l 在两坐标轴上截距相等，求l 的方程； (2)若l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围．解 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和y 轴上的截距为零，∴a ＝2，方程即为3x ＋y ＝0. 当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.∴a －2a ＋1＝a －2，即a ＋1＝1.∴a ＝0，方程即为x ＋y ＋2＝0.综上，l 的方程为3x ＋y ＝0或x ＋y ＋2＝0. (2)将l 的方程化为y ＝－(a ＋1)x ＋a －2，∴⎩⎪⎨⎪⎧ －(a ＋1)＞0，a －2≤0或⎩⎪⎨⎪⎧－(a ＋1)＝0，a －2≤0，∴a ≤－1.综上可知a 的取值范围是(－∞，－1]． 16．已知直线l ：kx －y ＋1＋2k ＝0(k ∈R)． (1)证明：直线l 过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，△AOB 的面积为S(O 为坐标原点)，求S 的最小值并求此时直线l 的方程．解 (1)证明：直线l 的方程可化为k(x ＋2)＋(1－y)＝0，令⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2＝0，1－y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝1.∴无论k 取何值，直线总经过定点(－2,1)． (2)由方程知，当k ≠0时，直线在x 轴上的截距为－1＋2kk ，在y 轴上的截距为1＋2k ，要使直线不经过第四象限，则必须有⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ≤－2，1＋2k ≥1，解得k ＞0；当k ＝0时，直线为y ＝1，符合题意，故k 的取值范围为[0，＋∞)．(3)由题意可知k ≠0，再由l 的方程，得A ⎝⎛⎭⎫－1＋2k k ，0，B(0,1＋2k)．依题意得⎩⎪⎨⎪⎧－1＋2k k ＜0，1＋2k ＞0，解得k ＞0. ∵S ＝12·|OA|·|OB|＝12·⎪⎪⎪⎪1＋2k k ·|1＋2k|＝12·(1＋2k )2k ＝12⎝⎛⎭⎫4k ＋1k ＋4≥12×(2×2＋4)＝4，“＝”成立的条件是k ＞0且4k ＝1k ，即k ＝12， ∴Smin ＝4，此时直线l 的方程为x －2y ＋4＝0.。
直线的倾斜角、斜率及直线的方程ppt
点斜式方程的局限性
点斜式方程只适用于已知一点和 斜率的直线，对于其他情况需要
使用其他形式的直线方程。
当直线与x轴垂直时，斜率不存 在，点斜式方程不适用。
在实际应用中，需要根据具体情 况选择合适的直线方程形式。
05 直线的两点式方程与斜率 的关系
点斜式方程
01
点斜式方程是直线方程的一种形 式，它表示通过一个固定点(x1, y1)和斜率m的直线。
02
点斜式方程可以用来求解直线的 方程，特别是当已知直线上的一 点和斜率时。
两点式方程
两点式方程是直线方程的另一种形式， 它表示通过两点(x1, y1)和(x2, y2)的 直线。
两点式方程也可以用来验证两点是否 在同一直线上。
整理得到$y - y_1 = m(x - x_1)$，其中$m$为直线斜率。
因此，点斜式方程为$y - y_1 = m(x - x_1)$，它是通过直线上两点坐标推导出来的。
斜率在点斜式方程中的应用
斜率$m$表示直线在坐标系上的倾斜程度，当$m > 0$时， 直线从左下到右上倾斜；当$m < 0$时，直线从左上到右下 倾斜；当$m = 0$时，直线与x轴平行。
两点式方程仅适用于已知两点坐标的情 况，对于其他情况可能不适用。
当两点坐标相同时，即直线过一个点时， 另外，当直线与坐标轴平行或重合时，
两点式方程将失去意义。
斜率不存在，此时两点式方程也无法表
示直线。
06 直线的方程在实际问题中 的应用
利用直线方程解决几何问题
确定两点间的直线方程
已知两点坐标，利用直线方程求解直线方程。
推导过程中，利用了直线上两点间斜率相等的性质，即斜率是固定的值。
高三数学第一轮复习课件：直线的倾斜角与斜率、直线的方程
4.倾斜角越大的直线斜率越大；
5.斜率越大的直线倾斜角越大.
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知识梳理
(2)直线的斜率：
①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，斜
率常用小写字母k表示，即
存在．
，k倾斜t角a是n90°的直线斜率不
判断下列命题是否正确？
1.任意一条直线有唯一的倾斜角，也有唯一的斜率；
×
2.两直线的斜率相等，则它们的倾斜角也相等； √
变:P(1,5)
(,5][2,) 23
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考点二 求直线的方程
[例2] 求适合下列条件的直线方程：
(1)经过点A (1,3，) 且倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍；
(2)经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等．
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(1)经过点A(－1,－3)，且倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍 的直线方程. 解：由已知，设直线y＝3x的倾斜角为α， 则所求的直线的倾斜角为 2α ∵tanα＝3，∴tan2α＝1－2tatannα2α＝－34. 又直线经过点A(－ 1, － 3)， 因此所求的直线方程为 y+3=－34(x+1) 即3x＋4y＋15＝0.
y l1
l2
O
x l3
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知识梳理
(2)直线的斜率：
①定义：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，
斜率常用小写字母k表示，即
不存在．
k，倾t斜a角n是90°的直线斜率
②过两点的直线的斜率公式：
经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式
为
k＝
y2－y1 x2－x1
. 60
?
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2023届高考数学一轮复习作业直线的倾斜角与斜率直线的方程新人教B版
直线的倾斜角与斜率、直线的方程一、选择题1．若直线过两点(－1,1)，(2,1＋3)，则此直线的倾斜角是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90°A [∵直线过点(－1,1)，(2,1＋3)，∴直线的斜率k ＝1－1＋3－1－2＝33，即直线的倾斜角α满足tan α＝33；∵0°≤α<180°，∴α＝30°．] 2．如图中的直线l 1，l 2，l 3的斜率分别为k 1，k 2，k 3，则( )A ．k 1<k 2<k 3B ．k 3<k 1<k 2C ．k 3<k 2<k 1D ．k 1<k 3<k 2D [直线l 1的倾斜角α1是钝角，故k 1<0，直线l 2与l 3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0<k 3<k 2，因此k 1<k 3<k 2．]3． 若A (－2,3)，B (3，－2)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，m 三点在同一条直线上，则m 的值为( ) A ．－2 B ．2 C ．－12 D ．12D [因为A ，B ，C 三点在同一条直线上，所以k AB ＝k AC ，所以－2－33－－2＝m －312－－2，解得m ＝12．故选D ．]4．过点P (3，－23)且倾斜角为135°的直线方程为( ) A ．3x －y －43＝0 B ．x －y －3＝0 C ．x ＋y －3＝0D ．x ＋y ＋3＝0D [因为直线的倾斜角为135°，所以直线的斜率为k ＝tan 135°＝－1， 所以直线方程为y ＋23＝－(x －3)，即x ＋y ＋3＝0，故选D ．]5．已知直线l 将圆C ：x 2＋y 2－6x ＋6y ＋2＝0的周长平分，且直线l 不经过第三象限，则直线l 的倾斜角θ的取值范围为( )A ．[90°，135°]B ．[90°，120°]C ．[60°，135°]D ．[90°，150°]A [由题意，直线l 过圆心(3，－3)，因为直线不过第三象限，则倾斜角θ范围为[90°，135°]，故选A ．]6．在等腰三角形AOB 中，AO ＝AB ，点O (0,0)，A (1,3)，点B 在x 轴的正半轴上，则直线AB 的方程为( )A ．y －1＝3(x －3)B ．y －1＝－3(x －3)C ．y －3＝3(x －1)D ．y －3＝－3(x －1)D [因为AO ＝AB ，所以直线AB 的斜率与直线AO 的斜率互为相反数，所以k AB ＝－k OA ＝－3，所以直线AB 的点斜式方程为y －3＝－3(x －1)． ]二、填空题7．直线y ＝kx －2k ＋3必过定点，该定点为 ．(2,3) [y ＝kx －2k ＋3变形为k (x －2)＝y －3，令x －2＝0，y －3＝0得定点(2,3)．] 8．(2021·云南师大附中高三月考)瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．已知平面直角坐标系中△ABC 各顶点的坐标分别为A (0,0)，B (8,0)，C (0,6)，则其“欧拉线”的方程为 ．3x －4y ＝0 [由题设知：△ABC 是直角三角形，则垂心为直角顶点A (0,0)，外心为斜边BC 的中点M (4,3)，∴“欧拉线”的方程为3x －4y ＝0．]9．若直线l 过点P (－3,2)，且与以A (－2，－3)，B (3,0)为端点的线段相交，则直线l 的斜率的取值范围是 ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－13 [因为P (－3,2)，A (－2，－3)，B (3,0)，则k PA ＝－3－2－2－－3＝－5，k PB ＝0－23－－3＝－13．如图所示，当直线l 与线段AB 相交时，直线l 的斜率的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－5，－13．]三、解答题10．(2021·四川资阳高三期末)解答下面两个小题：(1)直线l 经过点A (－2，－1)，倾斜角为直线y ＝12x 的倾斜角的2倍，求l 的方程；(2)直线l 经过点B (－2,4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，求l 的方程． [解](1)设直线y ＝12x 的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α．因为tan α＝12，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝43．又直线经过点A (－2，－1)， 所以，所求直线方程为y ＋1＝43(x ＋2)，即4x －3y ＋5＝0．(2)由题可知，所求直线的斜率为±1．又过点B (－2,4)，由点斜式得y －4＝x ＋2或y －4＝－(x ＋2)． 故所求直线的方程为x －y ＋6＝0或x ＋y －2＝0．11．过点P (4,1)作直线l 分别交x 轴、y 轴正半轴于A ，B 两点，O 为坐标原点． (1)当△AOB 面积最小时，求直线l 的方程； (2)当|OA |＋|OB |取最小值时，求直线l 的方程． [解] 设直线l ：x a ＋y b＝1(a ＞0，b ＞0)， 因为直线l 经过点P (4,1)，所以4a ＋1b＝1．(1)4a ＋1b＝1≥24a ·1b＝4ab，所以ab ≥16，当且仅当a ＝8，b ＝2时等号成立， 所以当a ＝8，b ＝2时，△AOB 的面积最小， 此时直线l 的方程为x 8＋y2＝1，即x ＋4y －8＝0． (2)因为4a ＋1b＝1，a ＞0，b ＞0，所以|OA |＋|OB |＝a ＋b ＝(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋1b＝5＋a b＋4ba≥5＋2a b ·4ba ＝9，当且仅当a ＝6，b ＝3时等号成立，所以当|OA |＋|OB |取最小值时，直线l 的方程为x 6＋y3＝1，即x ＋2y －6＝0．1．直线2x cos α－y －3＝0⎝ ⎛⎭⎪⎫α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3的倾斜角的取值范围是( ) A ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π3B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2 D ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，2π3B [由题意知，直线的斜率k ＝2cos α，又π6≤α≤π3，所以12≤cos α≤32，即1≤k ≤3，设直线的倾斜角为θ，则1≤tan θ≤3，故θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π3．]2．已知直线l 过点(1,0)，且倾斜角为直线l 0：x －2y －2＝0的倾斜角的2倍，则直线l 的方程为 ．4x －3y －4＝0 [由题意可设直线l 0，l 的倾斜角分别为α，2α， 因为直线l 0：x －2y －2＝0的斜率为12，则tan α＝12，所以直线l 的斜率k ＝tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43， 所以由点斜式可得直线l 的方程为y －0＝43(x －1)，即4x －3y －4＝0．]3．(1)设P 为曲线C ：y ＝x 2＋2x ＋3上的点，且曲线C 在点P 处的切线倾斜角的范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，求点P 的横坐标的取值范围． (2)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，求|PA |·|PB |的最大值．[解](1)由题意知y ′＝2x ＋2，设P (x 0，y 0)，则k ＝2x 0＋2．因为曲线C 在点P 处的切线倾斜角的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4，所以0≤k ≤1，即0≤2x 0＋2≤1． 所以－1≤x 0≤－12．(2)由动直线x ＋my ＝0求得定点A (0,0)，动直线mx －y －m ＋3＝0，即y －3＝m (x －1)，所以得定点B (1,3)．当m ＝0时，两条动直线垂直，当m ≠0时，因为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1m ·m ＝－1，所以两条动直线也垂直，因为P 为直线x ＋my ＝0与mx －y －m ＋3＝0的交点，所以|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10，所以|PA |·|PB |≤|PA |2＋|PB |22＝5(当且仅当|PA |＝|PB |＝5时，等号成立)，所以|PA |·|PB |的最大值是5．。
高考数学一轮总复习 9.1 直线及其方程精品课件 理 新人教版
y-y1
不含直线 x=x1(x1≠x2)和直线 y=y1(y1≠y2)
两点式
截距式
一般式
y2 -y1
x
a
=
x-x1
x2 -x1
y
+ =1
b
Ax+By+C=0
2
2
(A +B ≠0)
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
平面直角坐标系内的直线都适用
第六页，共25页。
梳理
(shūlǐ)自
测
3.过 P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程
(jiě xī) (dá àn)
解析
第二十二页，共25页。
角 α 的取值范围是(
A.0≤α<π
π
4
)
π
4
π
2
B.0≤α≤ 或 <α<π
π
4
π
2
π
2
C.0≤α≤
D. ≤α< 或 <α<π
直线 l 的斜率为
2 -1
k=
=1-m2≤1,又直线
1-2
π
2
关闭
l 的倾斜角为 α,则有 tan α≤1,
π
4
即 tan α<0 或 0≤tan α≤1,所以 <α<π 或 0≤α≤ ,故选 B.
A. 0,
π
4
C. 0,
π
4
∪
π
,π
2
B.
3π
,π
4
D.
π π
,
4 2
∪
)
3π
,π
4
1
1
x,∴直线的斜率
高考数学大一轮复习 第八章 第1节 直线的倾斜角与斜率、直线方程
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18
对点训练 △ABC 的三个顶点为 A(－3,0)，B(2,1)， C(－2,3)，求： (1)BC 所在直线的方程； (2)BC 边上中线 AD 所在直线的方程； (3)BC 的垂直平分线 DE 的方程．
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19
【解】 (1)因为直线 BC 经过 B(2,1)和 C(－2,3)两点， 由两点式得 BC 的方程为3y－－11＝－x－2－22，即 x＋2y－4＝ 0. (2)设 BC 中点 D 的坐标(x，y)，则 x＝2－2 2＝0，y＝1＋2 3＝2. BC 边的中线 AD 过点 A(－3,0)，D(0,2)两点，由截距式 得 AD 所在直线方程为－x3＋2y＝1，即 2x－3y＋6＝0.
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3
2．斜率公式
(1)直线 l 的倾斜角为 α≠90°，则斜率 k＝_t_a_n_α__.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线 l 上，且 x1≠x2，则 l 的 y2－y1
斜率 k＝__x_2－__x_1__.
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4
二、直线方程的五种形式
名称
方程
适用范围
点斜式 斜截式
＝
.
【答案】 －
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8
4．一条直线经过点 A(2，－3)，并且它的倾斜角等于直
线
y＝
1 3x
的倾斜角的
2
倍，则这条直线的一般式方程
是
，斜截式方程是
．
【答案】 3x－y－2 3－3＝0 y＝ 3x－2 3－3
高优指导2017数学文一轮模拟题组练：第九章解析几何 2 含解析
122 直线的倾斜角与斜率1.（2015广西柳州3月模拟，文12,直线的倾斜角与斜率,选择题）过点(√2,0)引直线l 与曲线y=√1-x 2交于A ，B 两点,O 为坐标原点，当△AOB 的面积取得最大值时，直线l 的斜率等于( )A 。
√33 B 。
-√33 C 。
±√33 D.-√3解析:依题意，曲线y=√1-x 2是以原点为圆心、1为半径的圆周上位于x 轴及其上方的部分(含点(±1,0)).△AOB 的面积等于12｜OA ｜·｜OB ｜·sin ∠AOB=12sin ∠AOB 的最大值是12，此时∠AOB=90°，圆心(0，0)到直线l 的距离等于1×sin 45°=√22，结合图形可知，相应直线l 的倾斜角为180°-30°=150°，相应直线l 的斜率是tan 150°=—√33,故选B 。
答案:B 126 距离公式1。
（2015宁夏银川二中一模，文5,距离公式，选择题）已知直线x+y-k=0（k>0)与圆x 2+y 2=4交于不同的两点A ,B ,O 是坐标原点,若｜OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=√33|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |,则实数k= （ ）A 。
1B 。
√2C 。
√3D 。
2解析:设AB 的中点为D ,则OD ⊥AB ,因为｜OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜=√33|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜,故2｜OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√33|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ｜，故|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3|OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ｜.因为｜OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2+14|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=4，故｜OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2=1，即1=(√2)2,因为k>0，k=√2，故选B 。
答案：B128 求圆的方程1。
（2015河北石家庄一检,文5,求圆的方程,选择题)若圆C的半径为1,点C与点(2，0）关于点（1，0）对称，则圆C的标准方程为(）A。
2017年高考数学(理)一轮复习精品资料 专题45 直线及其方程(教学案) 含解析
1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；
2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；
3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次
函数的关系.
1．直线的倾斜角与斜率
（1）直线的倾斜角
①定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角；②规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；③范围：直线的倾斜角α的取值范围是∪
【解析】b为直线y＝－2x＋b在y轴上的截距,
如图，当直线y＝－2x＋b过点A（－1,0）和点B(1，0）时，b分别取得最小值和最大值．
∴b的取值范围是．
12。
如图,射线OA、OB分别与x轴正半轴成45°和30°角，过点P （1，0）作直线AB分别交OA、OB于A、B两点，当AB的中点C 恰好落在直线y＝错误!x上时，求直线AB的方程．
13．已知直线l:kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)．
（1）证明：直线l过定点；
（2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；
（3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点），求S的最小值并求此时直线l的方程．（1）证明直线l的方程是k(x＋2)＋(1－y）＝0，
令错误!解得错误!
∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1)．
（2）解由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－错误!，在y 轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第。
高考数学一轮复习第九章解析几何9.1直线的倾斜角、斜率与直线的方程课件文北师大版2
两点式 过两点
截距式 纵、横截距
一般式
-1
2 -1
=
-1
2 -1
+ =1
Ax+By+C=0
(A2+B2≠0)
适用条件
与 x 轴不垂直的直线
与两坐标轴均不垂直的
直线
不过原点,且与两坐标轴
均不垂直的直线
平面内所有直线都适用
-4知识梳理
+4
(2)若直线过(0,0)点,则-4-m=0,则 m=-4,令 x=0,则 y= 2 ,
+4
+4
+4
再令 y=0,则 x= ,由在 x 轴,y 轴上的截距相等,得 2 = ,
解得 m=2.综上 m=2 或 m=-4.故选 C.
3
3
(3)对于直线 mx+ny+3=0,令 x=0 得 y=- ,故- =-3,∴n=1.
-6知识梳理
考点自诊
2.(202X河南郑州一中月考,2)点(√3,4) 在直线l:ax-y+1=0上,则直
线l的倾斜角为( C )
A.30° B.45° C.60° D.120°
解析:∵点(√3,4)在直线 l:ax-y+1=0 上,∴√3a-4+1=0,
∴a=√3,即直线 l 的斜率为√3,直线 l 的倾斜角为 60°.故选 C.
2.涉及截距问题,还要考虑截距为0这一特殊情况.
-19考点1
考点2
考点3
对点训练2(1)(202X山东青岛二模,10)已知直线l经过两条直线
l1:x+y=2,l2:2x-y=1的交点,且直线l的一个方向向量v=(-3,2),则直线l
高优指导高考数学一轮复习 第九章 解析几何 9.1 直线与直线的方程课件 理 北师大版
(2)经过P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(1,-2),B(2,1)的线段总有
公共点,则直线l的倾斜角α的范围是
.
关闭
(方法一)如图所示,
kPA=-21-(--01)=-1,kPB=12-(--01)=1,
由图可观察出:直线 l 倾斜角 α 的范围是
3π ,π ∪ 0, π .
4
4
(方法二)由题意知,直线 l 存在斜率.
������
=
������1
+ 2
������2
,
������
=
������1
+ 2
������2
.
-712345
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.
(1)直线的倾斜角越大,其斜率越大. ( × )
(
(2)斜率公式 ×)
k=������������22--������������11
,不适用于垂直于x轴和平行于x轴的直线.
设直线 l 的斜率为 k,则直线 l 的方程为 y+1=kx,即 kx-y-1=0.
∵A,B 两点在直线的两侧或其中一点在直线 l 上,
∴(k+2-1)(2k-1-1)≤0,
即 2(k+1)(k-1)≤0,∴-1≤k≤1.
B.
0,
π 4
∪
3π 4
,π
D.
0,
π 4
∪
π 2
,π
关闭
设倾斜角为 θ,则有 tan θ=-sin α,其中 sin α∈[-1,1].又 θ∈[0,π),∴0≤θ
≤π 或 3π≤θ<π.
44
关闭
B
解析 答案
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考情概览 考点一 考点二 考点三
知识梳理
核心考点
规律总结
-19-
(3)在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC的中点M在y轴上,BC边的 中点N在x轴上,求MN的方程. 关闭
解 : 设 C(x0,y0),则 M
5+������ 0 ������0 -2 , 2 2
,N
∵M 在 y 轴上 ,∴ 2 =0. ∴x0=-5. ������ +3 ∵N 在 x 轴上 ,∴ 02 =0. ∴y0=-3,
5 2 5
即 2x+5y=0. ②当横截距、纵截距都不是零时 , ������ ������ 设所求直线方程为 + =1,
2������ ������
将 (-5,2)代入所设方程 , 1 解得 a=- , 此时 ,直线方程为 x+2y+1=0. 综上所述 ,所求直线方程为 x+2y+1=0 或 2x+5y=0.
1 2
=5,
2 1 2
kBP=
=- ,
关闭
故 k≥5 或 k≤- .
k≤- 或 k≥5
解析
答案
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核心考点
规律总结
-15-
方法总结1.当利用直线的斜率范围求倾斜角范围时,要注意结合 π π 0 , 与 ,π 两种情况讨论. 正切曲线,并要分 2 2 2.由直线的相对位置求斜率的范围,要注意数形结合,并且要明确 直线的斜率与倾斜角的变化规律,尤其对于不连续的区间范围要找 出转折点.
2 4
解析
答案
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核心考点
规律总结
-14-
(2)(2015江苏苏州模拟)若直线l过点P(-1,2),且与以A(-2,-3),B(3,0) 为端点的线段相交,则直线l的斜率的取值范围是 .
关闭
如图 ,由斜率公式,得 kAP=
2-(-3) -1-(-2) 2-0 1 -1-3
∵kPA=
kPB=
-1-(-2) 0-1
=-1,
-1-1 0-2
=1,
π 4
∴-1≤k≤1.
当 -1≤k<0 时 , ≤α<π.
3π 4
又当 0≤k≤1 时 ,0≤α≤ ; 故倾斜角 α∈ 0, ∪ [-1,1] 0α , 的取值范围为 ∪ ,π 4 4 4
π 3π
π
3π 4
关闭
,π .
解析 答案
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核心考点
规律总结
-13-
考点一直线的倾斜角与斜率★★师生互动探究 例题(1)如果直线l过A(2,1),B(1,m2)(m∈R)两点,那么直线l的倾斜 角α的取值范围是 .
关闭
直线 l 的斜率为 k=
������ 2 -1 1-2
=1-m2≤1,
关闭
又直线 l 的倾斜角为 α,则有 tan α≤1, 即 tan α<0 或 0≤tan α≤1, π π π π 0 ≤ α ≤ 或 < α < π 所以 <α <π 2 或 0≤α≤ . 4
考情概览 考点一 考点二 考点三
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核心考点
规律总结
-16-
对点练习经过点P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(1,-2),B(2,1)的线 段总有公共点,则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别 关闭 如图所示 ,结合图形 :为使 l 与线段 AB 总有公共点 ,则 kPA≤k≤kPB,而 为 , . kPB>0,kPA<0,故当 k<0 时 ,倾斜角 α 为钝角 ,当 k=0 时 ,α=0,当 k>0 时 ,α 为锐角 .
五年考题统计
2012 全国,文 20 2014 全国Ⅰ,文 20 2014 全国Ⅱ,文 10 2014 全国Ⅱ,文 20 2015 全国Ⅰ,文 20 2015 全国Ⅱ,文 20
命题角度分析 本节考点在高 考中单独命题 的机会很少,一 般与其他知识 综合交叉考查, 在解析几何的 高考解答题中, 往往涉及直线 与圆锥曲线的 联立,直线方程 的设解形式,及 直线方程形式 的转化属于高 考高频考点.
1 2 ������ -√3������ ������ +������ 2
,
2
,
������ +������ 2 ������ -0 ������ -1
由点 C 在直线 y= x 上 ,且 A,P,B 三点共线得 解得 m=√3,所以 A(√3, √3). 又 P(1,0),所以 kAB=kAP=
√3 √ 3 -1
7 7 ������ ������ 4 -3 ������ ������ 4 4 ������ ������
即 x+y=1 或 x-y=7. 综上可知 ,所求直线 l 的方程是 3x+4y=0 或 x+y-1=0 或 x-y-7=0.
答案
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-22关闭
= ·
1 ������ -√3������ 2 2 ������ -0
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-8-
1 2 3 4 5 6
3.直线x- √3 y+a=0(a为常数)的倾斜角为(
π A. 6 π B. 3 2π C. 3 5π D. 6
)
关闭
∵由题意易知直线的斜截式方程为 y= 3 x+ 3 a, ∴k= 3 ,tan α= 3 .
A α= . ∴ 6
解考点三直线方程的综合应用 :由题意可得 kOA=tan 45°=1,★★师生互动探究 √3 例题 如图, 射线 OB 分别与 x轴正半轴成45°和30°角,过点P(1,0) kOB =tan(180 ° -30OA °), =, 3 作直线AB分别交OA,OB √3 于A,B两点,当AB的中点C恰好落在直线y= 则直线 1 lOA:y=x,lOB:y=- x. 3. x上时2 ,求直线AB的方程 设 A(m,m),B(-√3n,n), 所以 AB 的中点 C
即 C(-5,-3).
7+������ 0 ������0 +3 , 2 2 5+������ 0
.
∴M 0,- 2 ,N(1,0).
5
∴直线 MN 的方程为1 + 5=1,即 5x-2y- 5=0.
2
������
������
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-20-
方法总结1.求直线方程时,应结合所给条件选择适当的直线方程 形式,并注意各种形式的适用条件. 2.涉及直线在坐标轴上的截距问题,还要考虑截距为0这一特殊 情况.
解析
������ ������
关闭
������ ������
������
������
������
������
答案
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-10-
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5.过点(-1,2),且倾斜角为150°的直线方程为
.
关闭
由直线的倾斜角 α=150°,得 k=tan α=- , 由点斜式方程得 y-2=- (x+1), 3 x+ 3y+ 3 = 0 √3 √ 即 3x+ 36 y6 + 3 =0. √ √
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-5-
2.直线方程的五种形式
名称 方程 点斜式 y-y0=k(x-x0) 斜截式 y=kx+b y-y1 x-x1 = 两点式 y2 -y1 x 2 -x1 x y 截距式 + =1 Ax+By+C=0 一般式 其中要 求 A2+B2≠0
a b
适用范围 不含直线 x=x0 不含垂直于 x 轴的直线 不含垂直于 x 轴和平行于 x 轴的直线
第九章
解析几何
9.1
直线的倾斜角、斜率与 直线的方程
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-3-
考纲要求 题型 1.在平面直角坐标系 中,结合具体图形,确 定直线位置的几何 要素. 2.理解直线的倾斜角 与斜率的概念. 3.掌握过两点的直线 选择题 斜率的计算公式. 解答题 4.掌握确定直线位置 的几何要素,掌握直 线方程的三种形式 (点斜式、两点式及 一般式),了解斜截式 与一次函数的关系.
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-7-
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2.直线经过点(0,2)和点(3,0),则它的斜率为(
A.
2 3
)
3 2
B.
3 2
C.-
2 3
D.-
关闭
k=
C
������2 -������1 ������ 2 -������ 1
=
0-2 3-0
=- .
3
关闭
2
解析
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考点二求直线的方程★★师生互动探究 例题(1)求经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的 关闭 2倍的直线方程 . 解 :(1)①当横截距、纵截距均为零时 ,设所求的直线方程为 y=kx,将 2 (-5,2)代入 y=kx 中 ,得 k=- ,
此时 ,直线方程为 y=- x.