2012年北京市高考数学试卷(理科)答案与解析
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)
绝密★启封并使用完毕前2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）一、选择题共8小题．每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.1．（5分）已知集合A＝{x∈R|3x+2＞0}，B＝{x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B＝（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，）C．（，3）D．（3，+∞）2．（5分）设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A．B．C．D．3．（5分）设a，b∈R．“a＝0”是“复数a+bi是纯虚数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．2 B．4 C．8 D．165．（5分）如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E．则（）A．CE•CB＝AD•DB B．CE•CB＝AD•ABC．AD•AB＝CD2D．CE•EB＝CD26．（5分）从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（）A．24 B．18 C．12 D．67．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+6B．30+6C．56+12D．60+128．（5分）某棵果树前n年的总产量S n与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（）A．5 B．7 C．9 D．11二.填空题共6小题．每小题5分．共30分.9．（5分）直线（t为参数）与曲线（α为参数）的交点个数为．10．（5分）已知﹛a n﹜是等差数列，s n为其前n项和．若a1＝，s2＝a3，则a2＝．11．（5分）在△ABC中，若a＝2，b+c＝7，cos B＝﹣，则b＝．12．（5分）在直角坐标系xOy中．直线l过抛物线y2＝4x的焦点F．且与该抛物线相交于A、B两点．其中点A 在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°．则△OAF的面积为．13．（5分）已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为．14．（5分）已知f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3），g（x）＝2x﹣2，若同时满足条件：①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0；②∃x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0．则m的取值范围是．三、解答题公6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（13分）已知函数f（x）＝．（1）求f（x）的定义域及最小正周期；（2）求f（x）的单调递增区间．16．（14分）如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D，E分别是AC，AB上的点，且DE∥BC，DE＝2，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如图2．（1）求证：A1C⊥平面BCDE；（2）若M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；（3）线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由．17．（13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）；（1（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a，b，c，其中a＞0，a+b+c＝600．当数据a，b，c的方差s2最大时，写出a，b，c的值（结论不要求证明），并求此时s2的值．（求：S2＝[++…+]，其中为数据x1，x2，…，x n的平均数）18．（13分）已知函数f（x）＝ax2+1（a＞0），g（x）＝x3+bx（1）若曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，求a、b的值；（2）当a2＝4b时，求函数f（x）+g（x）的单调区间，并求其在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．19．（14分）已知曲线C：（5﹣m）x2+（m﹣2）y2＝8（m∈R）（1）若曲线C是焦点在x轴点上的椭圆，求m的取值范围；（2）设m＝4，曲线c与y轴的交点为A，B（点A位于点B的上方），直线y＝kx+4与曲线c交于不同的两点M、N，直线y＝1与直线BM交于点G．求证：A，G，N三点共线．20．（13分）设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记s（m，n）为所有这样的数表构成的集合．对于A∈S（m，n），记r i（A）为A的第i行各数之和（1≤i≤m），∁j（A）为A的第j列各数之和（1≤j≤n）；记K（A）为|r1（A）|，|R2（A）|，…，|Rm（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，…，|Cn（A）|中的最小值．（1）如表A，求K（A）的值；（3）给定正整数t，对于所有的A∈S（2，2t+1），求K（A）的最大值．数学试题答案一、选择题共8小题．每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.1．【分析】求出集合B，然后直接求解A∩B．【解答】解：因为B＝{x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}＝{x|x＜﹣1或x＞3}，又集合A＝{x∈R|3x+2＞0}＝{x|x}，所以A∩B＝{x|x}∩{x|x＜﹣1或x＞3}＝{x|x＞3}，故选：D．【点评】本题考查一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查计算能力．2．【分析】本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可．【解答】解：其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形，面积为S1＝4，满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心，以2为半径的圆外部，面积为＝4﹣π，∴在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率P＝故选：D．【点评】本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到，本题是通过两个图形的面积之比得到概率的值．3．【分析】利用前后两者的因果关系，即可判断充要条件．【解答】解：因为a，b∈R．“a＝O”时“复数a+bi不一定是纯虚数”．“复数a+bi是纯虚数”则“a＝0”一定成立．所以a，b∈R．“a＝O”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件．故选：B．【点评】本题考查复数的基本概念，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查基本知识的掌握程度．4．【分析】列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：第1次判断后S＝1，k＝1，第2次判断后S＝2，k＝2，第3次判断后S＝8，k＝3，第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8．故选：C．【点评】本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力．5．【分析】连接DE，以BD为直径的圆与BC交于点E，DE⊥BE，由∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，△ACD∽△CBD，由此利用三角形相似和切割线定理，能够推导出CE•CB＝AD•BD．【解答】解：连接DE，∵以BD为直径的圆与BC交于点E，∴DE⊥BE，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∴△ACD∽△CBD，∴，∴CD2＝AD•BD．∵CD2＝CE•CB，∴CE•CB＝AD•BD，【点评】本题考查与圆有关的比例线段的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意三角形相似和切割线定理的灵活运用．6．【分析】分类讨论：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位；从0、2中选一个数字2，则2排在十位或百位，由此可得结论．【解答】解：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有＝6种；从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有＝6种；2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有＝6种；故共有3＝18种故选：B．【点评】本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．7．【分析】通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可．【解答】解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形，一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，所以S底＝＝10，S后＝，S右＝＝10，S左＝＝6．几何体的表面积为：S＝S底+S后+S右+S左＝30+6．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，注意表面积的求法，考查空间想象能力计算能力．8．【分析】由已知中图象表示某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系，可分析出平均产量的几何意义为原点与该点边线的斜率，结合图象可得答案．【解答】解：若果树前n年的总产量S与n在图中对应P（S，n）点则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率由图易得当n＝9时，直线OP的斜率最大即前9年的年平均产量最高，故选：C．【点评】本题以函数的图象与图象变化为载体考查了斜率的几何意义，其中正确分析出平均产量的几何意义是解答本题的关键．二.填空题共6小题．每小题5分．共30分.9．【分析】将参数方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离与半径比较，即可得到结论．【解答】解：直线（t为参数）化为普通方程为x+y﹣1＝0曲线（α为参数）化为普通方程为x2+y2＝9∵圆心（0，0）到直线x+y﹣1＝0的距离为d＝∴直线与圆有两个交点故答案为：2【点评】本题考查参数方程与普通方程的互化，考查直线与圆的位置关系，属于基础题．10．【分析】由﹛a n﹜是等差数列，a1＝，S2＝a3，知＝，解得d＝，由此能求出a2．【解答】解：∵﹛a n﹜是等差数列，a1＝，S2＝a3，∴＝，解得d＝，a2＝＝1．故答案为：1．【点评】本题考查等差数列的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．11．【分析】根据a＝2，b+c＝7，cos B＝﹣，利用余弦定理可得，即可求得b的值．【解答】解：由题意，∵a＝2，b+c＝7，cos B＝﹣，∴∴b＝4故答案为：4【点评】本题考查余弦定理的运用，解题的关键是构建关于b的方程，属于基础题．12．【分析】确定直线l的方程，代入抛物线方程，确定A的坐标，从而可求△OAF的面积．【解答】解：抛物线y2＝4x的焦点F的坐标为（1，0）∵直线l过F，倾斜角为60°∴直线l的方程为：，即代入抛物线方程，化简可得∴y＝2，或y＝﹣∵A在x轴上方∴△OAF的面积为＝故答案为：【点评】本题考查抛物线的性质，考查直线与抛物线的位置关系，确定A的坐标是解题的关键．13．【分析】直接利用向量转化，求出数量积即可．【解答】解：因为＝＝＝＝1．故答案为：1【点评】本题考查平面向量数量积的应用，考查计算能力．14．【分析】①由于g（x）＝2x﹣2≥0时，x≥1，根据题意有f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x＞1时成立，根据二次函数的性质可求②由于x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0，而g（x）＝2x﹣2＜0，则f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）时成立，结合二次函数的性质可求【解答】解：对于①∵g（x）＝2x﹣2，当x＜1时，g（x）＜0，又∵①∀x∈R，f（x）＜0或g（x）＜0∴f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＜0在x≥1时恒成立则由二次函数的性质可知开口只能向下，且二次函数与x轴交点都在（1，0）的左面则∴﹣4＜m＜0即①成立的范围为﹣4＜m＜0又∵②x∈（﹣∞，﹣4），f（x）g（x）＜0∴此时g（x）＝2x﹣2＜0恒成立∴f（x）＝m（x﹣2m）（x+m+3）＞0在x∈（﹣∞，﹣4）有成立的可能，则只要﹣4比x1，x2中的较小的根大即可，（i）当﹣1＜m＜0时，较小的根为﹣m﹣3，﹣m﹣3＜﹣4不成立，（ii）当m＝﹣1时，两个根同为﹣2＞﹣4，不成立，（iii）当﹣4＜m＜﹣1时，较小的根为2m，2m＜﹣4即m＜﹣2成立．综上可得①②成立时﹣4＜m＜﹣2．故答案为：（﹣4，﹣2）．【点评】本题主要考查了全称命题与特称命题的成立，指数函数与二次函数性质的应用是解答本题的关键．三、解答题公6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．【分析】通过二倍角与两角差的正弦函数，化简函数的表达式，（1）直接求出函数的定义域和最小正周期．（2）利用正弦函数的单调增区间，结合函数的定义域求出函数的单调增区间即可．【解答】解：＝sin2x﹣1﹣cos2x＝sin（2x﹣）﹣1 k∈Z，{x|x≠kπ，k∈Z}（1）原函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，最小正周期为π．（2）由，k∈Z，解得，k∈Z，又{x|x≠kπ，k∈Z}，原函数的单调递增区间为，k∈Z，，k∈Z【点评】本题考查三角函数中的恒等变换应用，三角函数的周期性及其求法，复合三角函数的单调性，注意函数的定义域在单调增区间的应用，考查计算能力．16．【分析】（1）证明A1C⊥平面BCDE，因为A1C⊥CD，只需证明A1C⊥DE，即证明DE⊥平面A1CD；（2）建立空间直角坐标系，用坐标表示点与向量，求出平面A1BE法向量，＝（﹣1，0，），利用向量的夹角公式，即可求得CM与平面A1BE所成角的大小；（3）设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]，求出平面A1DP法向量为假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，可求得0≤a≤3，从而可得结论．【解答】（1）证明：∵CD⊥DE，A1D⊥DE，CD∩A1D＝D，∴DE⊥平面A1CD，又∵A1C⊂平面A1CD，∴A1C⊥DE又A1C⊥CD，CD∩DE＝D∴A1C⊥平面BCDE（2）解：如图建系，则C（0，0，0），D（﹣2，0，0），A1（0，0，2），B（0，3，0），E（﹣2，2，0）∴，设平面A1BE法向量为则∴∴∴又∵M（﹣1，0，），∴＝（﹣1，0，）∴∴CM与平面A1BE所成角的大小45°（3）解：设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]∴，设平面A1DP法向量为则∴∴假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则，∴3a+12+3a＝0，6a＝﹣12，a＝﹣2∵0≤a≤3∴不存在线段BC上存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直【点评】本题考查线面垂直，考查线面角，考查面面垂直，既有传统方法，又有向量知识的运用，要加以体会．17．【分析】（1）厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故可求厨余垃圾投放正确的概率；（2）生活垃圾投放错误有200+60+20+20＝300，故可求生活垃圾投放错误的概率；（3）计算方差可得＝，因此有当a＝600，b＝0，c＝0时，有s2＝80000．【解答】解：（1）由题意可知：厨余垃圾600吨，投放到“厨余垃圾”箱400吨，故厨余垃圾投放正确的概率为；（2）由题意可知：生活垃圾投放错误有200+60+20+20＝300，故生活垃圾投放错误的概率为；（3）由题意可知：∵a+b+c＝600，∴a，b，c的平均数为200∴＝，∵（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥a2+b2+c2，因此有当a＝600，b＝0，c＝0时，有s2＝80000．【点评】本题考查概率知识的运用，考查学生的阅读能力，属于中档题．18．【分析】（1）根据曲线y＝f（x）与曲线y＝g（x）在它们的交点（1，c）处具有公共切线，可知切点处的函数值相等，切点处的斜率相等，故可求a、b的值；（2）根据a2＝4b，构建函数，求导函数，利用导数的正负，可确定函数的单调区间，进而分类讨论，确定函数在区间（﹣∞，﹣1）上的最大值．【解答】解：（1）f（x）＝ax2+1（a＞0），则f'（x）＝2ax，k1＝2a，g（x）＝x3+bx，则g′（x）＝3x2+b，k2＝3+b，由（1，c）为公共切点，可得：2a＝3+b①又f（1）＝a+1，g（1）＝1+b，∴a+1＝1+b，即a＝b，代入①式可得：．（2）由题设a2＝4b，设则，令h'（x）＝0，解得：，；∵a＞0，∴，x（﹣∞，﹣﹣））∴原函数在（﹣∞，﹣）单调递增，在单调递减，在）上单调递增①若，即0＜a≤2时，h（x）在（﹣∞，﹣1]递增，无最大值；②若＜﹣，即2＜a＜6时，最大值为；③若﹣1≥﹣时，即a≥6时，最大值为h（﹣）＝1．综上所述：当a∈（0，2]时，无最大值；当a∈（2，+∞）时，最大值为．【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，解题的关键是正确求出导函数．19．【分析】（1）原曲线方程，化为标准方程，利用曲线C是焦点在x轴点上的椭圆可得不等式组，即可求得m 的取值范围；（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24＝0，△＝32（2k2﹣3），解得：，设N（x N，kx N+4），M（x M，kx M+4），G（x G，1），MB方程为：，则，从而可得，＝（x N，kx N+2），欲证A，G，N三点共线，只需证，共线，利用韦达定理，可以证明．【解答】（1）解：原曲线方程可化简得：由题意，曲线C是焦点在x轴点上的椭圆可得：，解得：（2）证明：由已知直线代入椭圆方程化简得：（2k2+1）x2+16kx+24＝0，△＝32（2k2﹣3）＞0，解得：由韦达定理得：①，，②设N（x N，kx N+4），M（x M，kx M+4），G（x G，1），MB方程为：，则，∴，＝（x N，kx N+2），欲证A，G，N三点共线，只需证，共线即成立，化简得：（3k+k）x M x N＝﹣6（x M+x N）将①②代入可得等式成立，则A，G，N三点共线得证．【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三点共线，解题的关键是直线与椭圆方程联立，利用韦达定理进行求解．20．【分析】（1）根据r i（A），∁j（A），定义求出r1（A），r2（A），c1（A），c2（A），c3（A），再根据K （A）为|r1（A）|，|R2（A）|，|R3（A）|，|C1（A）|，|C2（A）|，|C3（A）|中的最小值，即可求出所求．（2）先用反证法证明k（A）≤1，然后证明k（A）＝1存在即可；（3）首先构造满足的A＝{a i，j}（i＝1，2，j＝1，2，…，2t+1），然后证明是最大值即可．【解答】解：（1）由题意可知r1（A）＝1.2，r2（A）＝﹣1.2，c1（A）＝1.1，c2（A）＝0.7，c3（A）＝﹣1.8 ∴K（A）＝0.7（2）先用反证法证明k（A）≤1：若k（A）＞1则|c1（A）|＝|a+1|＝a+1＞1，∴a＞0同理可知b＞0，∴a+b＞0由题目所有数和为0即a+b+c＝﹣1∴c＝﹣1﹣a﹣b＜﹣1与题目条件矛盾∴k（A）≤1．易知当a＝b＝0时，k（A）＝1存在∴k（A）的最大值为1（3）k（A）的最大值为．首先构造满足k（A）＝的A＝{a i，j}（i＝1，2，j＝1，2，…，2t+1）：a1，1＝a1，2＝…＝a1，t＝1，a1，t+1＝a1，t+2＝…＝a1，2t+1＝﹣，a2，1＝a2，2＝…＝a2，t＝，a2，t+1＝a2，t+2＝…＝a2，2t+1＝﹣1．经计算知，A中每个元素的绝对值都小于1，所有元素之和为0，且|r1（A）|＝|r2（A）|＝，|c1（A）|＝|c2（A）|＝…＝|c t（A）|＝1+，|c t+1（A）|＝|c t+2（A）|＝…＝|c2t+1（A）|＝1+．下面证明是最大值．若不然，则存在一个数表A∈S（2，2t+1），使得k（A）＝x＞．由k（A）的定义知A的每一列两个数之和的绝对值都不小于x，而两个绝对值不超过1的数的和，其绝对值不超过2，故A的每一列两个数之和的绝对值都在区间[x，2]中．由于x＞1，故A的每一列两个数符号均与列和的符号相同，且绝对值均不小于x﹣1．设A中有g列的列和为正，有h列的列和为负，由对称性不妨设g＜h，则g≤t，h≥t+1．另外，由对称性不妨设A的第一行行和为正，第二行行和为负．考虑A的第一行，由前面结论知A的第一行有不超过t个正数和不少于t+1个负数，每个正数的绝对值不超过1（即每个正数均不超过1），每个负数的绝对值不小于x﹣1（即每个负数均不超过1﹣x）．因此|r1（A）|＝r1（A）≤t•1+（t+1）（1﹣x）＝2t+1﹣（t+1）x＝x+（2t+1﹣（t+2）x）＜x，故A的第一行行和的绝对值小于x，与假设矛盾．因此k（A）的最大值为．【点评】本题主要考查了进行简单的演绎推理，以及新定义的理解和反证法的应用，同时考查了分析问题的能力，属于难题．。
2012年高考真题——理数(北京卷)word版
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学(理)(北京卷)本试卷共5页. 150分.考试时长120分钟.考试生务必将答案答在答题卡上.在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题。
每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项.1.已知集合A={x∈R｜3x+2>0﹜·B={x∈ R｜(x+1)(x-3)>0﹜则A∩B=( )A．（﹣∞，﹣1） B.｛﹣1，-⅔｝ C. ﹙﹣⅔，3﹚ D.（3，＋∝）2. 设不等式组表示的平面区域为D.在区域D内随机取一个点.则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A. B. C. D.3.设a，b∈R.“a=O”是‘复数a+bi是纯虚数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A. 2B .4C.8D. 165.如图. ∠ACB=90º。
CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E.则( )A. CE·CB=AD·DBB. CE·CB=AD·ABC. AD·AB=CD ²D.CE·EB=CD²6.从0，2中选一个数字.从1.3.5中选两个数字,组成无重复数字的三位数.其中奇数的个数为( )A. 24B. 18C. 12D. 67.某三梭锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（）A. 28+6B. 30+6C. 56+ 12D. 60+128.某棵果树前n前的总产量S与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高。
m值为（）A.5B.7C.9D.11第二部分(非选择题共110分)二.填空题共6小题。
每小题5分。
共30分.9.直线(t为参数)与曲线 (“为多α数)的交点个数为10.已知﹛﹜等差数列为其前n项和.若=，=，则=11.在△ABC中，若α=2，b+c=7,=-，则b=12.在直角坐标系xOy中.直线l过抛物线=4x的焦点F.且与该撇物线相交于A、B两点.其中点A在x轴上方。
北京市高考数学理科试卷及答案解析
北京市高考数学理科试卷及答案解析2012 北京理科高考试卷及答案分析精校版一、选择题共 8小题。
每题5分.共 40分 .在每题列出的四个选项中，选出吻合胜目要求的一项.1．已知会集 A={x ∈ R ｜ 3x+2>0﹜， B={x ∈ R ｜ (x+1)(x-3)>0﹜则 A ∩B=( ) A ．（﹣∞，﹣ 1）B.｛ 1,2｝ C. ﹙2,3 ﹚ D.（ 3，＋∝）332. 设不等式组0 x 2表示的平面地域为 D ，在地域 D 内随机取一个0 y 2点，则此点到坐标原点的距离大于 2的概率是（）A.B.2 4C.D.42643.设a,b R .“0 ”是 ‘复数a bi是纯虚数 ”的（）aA.充分而不用要条件B.必需而不充分条件C.充分必需条件D.既不充分也不用要条件4.履行以下列图的程序框图，输出的 S 值为（ ）A. 2B .4D. 165.如图 . ∠ ACB=90o ， CD ⊥ AB 于点 D ，以 BD 为直径的圆与 BC 交于点 E.则（ ）A. CE · CB=AD · DBB. CE · CB=AD · ABC. AD AB CD 2D.CE EB CD 26.从0， 2中选一个数字 .从中选两个数字,构成无重复数字的三位数.此中奇数的个数为 ( )7.某三梭锥的三视图以下列图，该三梭锥的表面积是（ ）A.286 5 B.30 65C.56 12 5D. 60 12 5S n8.某棵果树前 n 前的总产量 S 与 n 之间的关系以下列图 . 从目前记录的结果 看，前 m 年的年均匀产量最高。
m 值为（）O1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11n152二 .填空题共 6小题。
每题 5分。
共 30分 .x 2 t x3cos9.直线1 ( t 为参数 )与曲线y( 为参数 )的交点个数为yt3sin10.已知 { a n } 等差数列 S n 为其前 n 项和，若 a 11 a 3 ，则 a2 = ， S n， S 2211.在△ ABC 中，若 a 2 ， b c 7， cos B1，则 b =412.在直角坐标系 xOy 中，直线 l 过抛物线 y 2 4x 的焦点 F ，且与该抛物线订交于A 、B 两点，此中点 A 在 x 轴上方，若直线l 的倾斜角为 60o.则 OAF 的面积为13.己知正方形 ABCD 的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点 .则 DE CB 的值为14. 已知 f ( x) m( x 2m)( x m 3)， g( x)2x 2 ，若同时满足条件：① x R ，有 f ( x)0 或g (x) 0；② x (, 4) ，使得 f (x) g( x)则 m 的取值范围是三、解答题公 6小题，共 80分。
2012北京卷高考数学(理)试题
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考试生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，，则（）A．B．C．D．2．设不等式组表示的平面区域为．在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（）A．B．π22-C．D．4π4-3．设．“”是“复数是纯虚数”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A．2B．4C．8D．165．如图，，于点，以为直径的圆与交于点，则（）A．B．C．D．6．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）A．24 B．18 C．12 D．67．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．B．C．D．8．某棵果树前前的总产量与之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前年的年平均产量最高，值为（）A．5B．7C．9D．11第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9直线（为参数）与曲线（为参数）的交点个数为．10．已知为等差数列，为其前项和．若，，则．11．在中，若，，，则．12．在直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于，两点，其中点在轴上方，若直线的倾斜角为．则的面积为．13．已知正方形的边长为1，点是边上的动点，则的值为；的最大值为．14．已知，．若同时满足条件：①，或；②，则的取值范围是．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（本小题共13分）已知函数．（1）求的定义域及最小正周期；（2）求的单调递增区间．16．（本小题共14分）如图1，在中，，，．，分别是，上的点，且，，将沿折起到的位置，使，如图2.（1）求证：平面；（2）若是的中点，求与平面所成角的大小；（3）线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由．17．（本小题共13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率；（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为，其中，．当数据的方差最大时，写出的值（结论不要求证明），并求此时的值．（求：，其中为数据，，…，的平均数）18．（本小题共13分）已知函数，．（1）若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线，求，的值；（2）当时，求函数的单调区间，并求其在区间上的最大值．19．（本小题共14分）已知曲线（1）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；（2）设，曲线与轴的交点为（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的两点，，直线与直线交于点．求证：三点共线．20．（本小题共13分）设是由个实数组成的行列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零．记为所有这样的数表构成的集合．对于，记为的第行各数之和，为的第j列各数之和；记为，，…，，，，…，中的最小值．（1（2（3）给定正整数，对于所有的，求的最大值．。
2012年北京市高考数学试卷(理科)学生版
2012 年北京市高考数学试卷（理科）一、选择题共8 小题．每题 5 分.共 40 分 .在每题列出的四个选项中，选出切合胜目要求的一项 .1．（5 分）（2012?北京）已知会合A={ x∈R| 3x+2＞0} ，B={ x∈R| （ x+1）（x﹣3）＞0} ，则 A∩ B=（）．（﹣∞，﹣1）．（﹣，）C．﹙，3﹚D．（3，+∞）A B12．（ 5 分）（2012?北京）设不等式组，表示的平面地区为 D，在地区 D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于 2 的概率是（）A．B．C．D．3．（5 分）（2012?北京）设a，b∈R．“ a=0是”“复数a+bi 是纯虚数”的（）A．充足而不用要条件B．必需而不充足条件C．充足必需条件D．既不充足也不用要条件4．（5 分）（2012?北京）履行以下图的程序框图，输出的S 值为（）A．2B．4C．8D．165．（5 分）（2012?北京）如图，∠ ACB=90°， CD⊥AB 于点 D，以 BD 为直径的圆与 BC交于点 E．则（）A ．CE?CB=AD?DBB ．CE?CB=AD?AB2C ．AD?AB=CD2D ．CE?EB=CD6．（5 分）（2012?北京）从0、2 中选一个数字．从 1、3、5 中选两个数字，组成无重复数字的三位数．此中奇数的个数为（）A ．24B ．18C ．12D ．67．（5 分）（2012?北京）某三棱锥的三视图以下图， 该三棱锥的表面积是（）A ．28+6B ．30+6C ．56+12D ．60+12．（ 分）（2012? 北京）某棵果树前 n 年的总产量 n 与 n 之间的关系以下图． 从 8 5 S 当前记录的结果看，前 m 年的年均匀产量最高，则m 的值为（ ）A ．5B ．7C ．9D ．11二 .填空题共 6 小题．每题5 分．共 30 分.9．（5 分）（北京）直线（t 为参数）与曲线（α为2012?参数）的交点个数为．10．（5 分）（ 2012?北京）已知﹛ a n﹜是等差数列，s n为其前 n 项和．若 a1= ，s2=a3，则 a2=．11．（5 分）（2012?北京）在△ ABC中，若 a=2，b+c=7，cosB=﹣，则 b=．12．（5 分）（2012?北京）在直角坐标系 xOy 中．直线 l 过抛物线 y2=4x 的焦点 F．且与该抛物线订交于 A、B 两点．此中点 A 在 x 轴上方．若直线 l 的倾斜角为 60°．则△OAF的面积为．13．（5 分）（2012?北京）已知正方形 ABCD的边长为 1，点 E 是 AB 边上的动点．则的值为．14．（ 5 分）（2012?北京）已知 f（ x） =m（ x﹣2m）（x+m+3）， g（ x）=2x﹣2，若同时知足条件：① ? x∈ R， f（ x）＜ 0 或 g（x）＜ 0；② ? x∈（﹣∞，﹣ 4），f（ x） g（x）＜ 0．则 m 的取值范围是．三、解答题公 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．（ 13 分）（ 2012?北京）已知函数 f （x）=．（1）求 f （x）的定义域及最小正周期；（2）求 f （x）的单一递加区间．16．（ 14 分）（ 2012?北京）如图 1，在 Rt△ABC 中，∠ C=90°，BC=3，AC=6，D，E 分别是 AC，AB 上的点，且DE∥BC， DE=2，将△ ADE 沿 DE 折起到△ A1DE的地点，使 A1C⊥CD，如图 2．（1）求证： A1C⊥平面 BCDE；（2）若 M 是 A1D 的中点，求 CM 与平面 A1BE所成角的大小；（3）线段 BC上能否存在点 P，使平面 A1DP 与平面 A1BE垂直？说明原因．17．（ 13 分）（2012?北京）最近几年来，某市促生活垃圾的分理，将生活垃圾分厨余垃圾、可回收物和其余垃圾三，并分置了相的垃圾箱，居民生活垃圾分投放状况，先随机抽取了市三垃圾箱1000吨生活垃圾，数据以下（位：吨）；“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其余垃圾”箱厨余垃圾400100100可回收物3024030其余垃圾202060（1）估厨余垃圾投放正确的概率；（2）估生活垃圾投放的概率；（3）假厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其余垃圾”箱的投放量分a， b，c，此中 a＞0，a+b+c=600．当数据 a， b，c 的方差 s2最大，写出a，b，c 的（不要求明），并求此 s2的．（求： S2= [++⋯+] ，此中数据x1，x2，⋯，x n的平均数）18．（ 13 分）（ 2012?北京）已知函数 f （x）=ax2+1（a＞ 0），g（x）=x3+bx（1）若曲 y=f（x）与曲 y=g（x）在它的交点（ 1，c）拥有公共切，求 a、 b 的；（2）当 a2=4b ，求函数 f（x）+g（ x）的区，并求其在区（∞，1）上的最大．19．（ 14 分）（ 2012?北京）已知曲 C：（5 m）x2+（m 2） y2=8（m∈ R）（ 1）若曲 C 是焦点在 x 点上的，求m 的取范；（2） m=4，曲 c 与 y 的交点 A，B（点 A 位于点 B 的上方），直 y=kx+4 与曲 c 交于不一样的两点 M 、N，直 y=1 与直 BM 交于点 G．求：A，G，N三点共．20．（13 分）（ 2012?北京） A 是由 m×n 个数成的m 行 n 列的数表，足：每个数的不大于1，且全部数的和零，s（m，n）全部的数表组成的会合．于 A∈S（m，n）， r i（A） A 的第 i 行各数之和（ 1≤i ≤m），C j（A） A 的第 j 列各数之和（ 1≤j≤n）； K（A）| r1（A）| ，| R2（A）| ，⋯， | Rm（ A） | ， | C1（ A）| ， | C2（A）| ，⋯，| Cn（ A） | 中的最小．（ 1）如表 A，求 K（A）的；110.80.10.31（ 2）数表 A∈S（2， 3）形如11ca b1求 K（A）的最大；（ 3）定正整数 t ，于全部的 A∈S（2，2t+1），求 K（A）的最大．。
2012年高考理科数学北京卷
（
）
第Ⅱ卷（选择题 共 110 分）
二、填空题：本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卡相应位置上. 9. 直线
在
2012 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
E
数学（理科）
A. CE CB AD DB 本试卷共 6 页,150 分.考试时长 120 分钟.考试生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. C. AD AB CD2
2 3 4 侧（左）视图 俯视图
D. (3, )
① x R , f ( x)＜0 或 g ( x)＜0 ； ② x (, 4) , f ( x) g ( x)＜0 . 则 m 的取值范围是________.
姓名________________
答
0≤x≤2, 表示的平面区域为 D,在区域 D 内随机取一个点,则此点到坐标原 0≤y≤2
效
D. 16 数学试卷 第 1 页（共 6 页）
16.（本小题共 14 分） 如图 1,在 Rt△ABC 中, C 90 , BC 3 , AC 6 .D,E 分别是 AC , AB 上的点,且
18.（本小题共 13 分） 已知函数 f ( x) ax 1(a 0) , g ( x) x bx .
题
π C. 6
4π D. 4
）
年平均产量最高,m 值为
Sn
（
）
(sin x cos x)sin 2 x . sin x
3. 设 a, b R . “a 0” 是 “复数 a bi 是纯虚数” 的（ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 A. 2 C. 8 B. 4 （
2012年高考理科数学北京卷
绝密★启用前
在
2013 年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）
数学（理科）
此
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分 150 分，考试时间
120 分钟.
第Ⅰ卷（选择题 共 40 分）
卷 一、选择题：本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.
()
A.充分不必要条件
Hale Waihona Puke B.必要不充分条件 题C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.执行如图所示的程序框图，输出的 S 值为
无
A.1
B. 2
3
C. 13 21
效
D. 610 987
()
数学试卷 第 1 页（共 6 页）
5.函数 f (x) 的图象向右平移 1 个单位长度，所得图象与曲线 y ex 关于 y 轴对称，则 f (x) ()
18.（本小题满分 13 分） 设 L 为曲线 C : y ln x 在点 (1,0) 处的切线. x
（Ⅰ）求 L 的方程； （Ⅱ）证明：除切点 (1,0) 之外，曲线 C 在直线 L 的下方.
20.（本小题满分 13 分） 已知{an} 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前 n 项的最大值记为 An ，第 n 项之后 各项 an1 ， an2 ，…的最小值记为 Bn ， dn An Bn . （Ⅰ）若{an} 为 2，1，4，3，2，1，4，3，…，是一个周期为 4 的数列（即对任意 nN *， an4 an ），写出 d1 ， d2 ， d3 ， d4 的值；
姓名________________ 准考证号_____________
2012年普通高等学校招生全国统一考试北京卷理科数学(2012年北京市高考理科数学)
2012年普通高等学校招生全国统一考试北京卷理科数学试卷1.已知集合A ＝{x ∈R|3x ＋2>0}，B ＝{x ∈R|(x ＋1)(x ﹣3)>0}，则A ∩B ＝( ).A .(﹣∞，﹣1)B .21,-3⎧⎫-⎨⎬⎩⎭ C .2,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D .(3，＋∞) D 由题意得，A ＝2x|x }3⎧>-⎨⎩，B ＝{x|x<﹣1或x>3}， 所以A∩B ＝(3，＋∞).2.设不等式组0x 2,0y 2≤≤⎧⎨≤≤⎩表示的平面区域为D.在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( ). A .4πB .22π-C .6πD .44π-D 由题意知此概型为几何概型，设所求事件为A ，如图所示，边长为2的正方形区域为总度量μΩ，满足事件A 的是阴影部分区域μA ，故由几何概型的概率公式得：P(A)＝22212242π-⨯⨯＝44π-. 3.设a ，b ∈R ，“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( ).A .充分而不必要条件B .必要而不充分条件C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件B 由已知得，“a ＋b i 是纯虚数”⇒“a ＝0”，但“a ＝0”“复数a ＋b i 是纯虚数”，因此“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要而不充分条件.4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为( ).A .2B .4C .8D .16C初始：k＝0，S＝1，第一次循环：由0<3，得S＝1×20＝1，k＝1;第二次循环：由1<3，得S＝1×21＝2，k＝2;第三次循环：由2<3，得S＝2×22＝8，k＝3.经判断此时要跳出循环，因此输出的S值为8.5.如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E，则().A.CE·CB＝AD·DBB.CE·CB＝AD·ABC.AD·AB＝CD2D.CE·EB＝CD2A由切割线定理得，CD2＝CE·CB，又在Rt△CAB中，△ACD∽△CBD，∴CD2＝AD·DB，∴CE·CB＝AD·DB.6.从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为().A.24B.18C.12D.6B先分成两类：(一)从0，2中选数字2，从1，3，5中任选两个所组成的无重复数字的三位数中奇数的个数为23C×4＝12;(二)从0，2中选数字0，从1，3，5中任选两个所组成的无重复数字的三位数中奇数的个数为23C×2＝6.故满足条件的奇数的总个数为12＋6＝18.7.某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是().A.28＋B.30＋C.56＋D.60＋B根据三棱锥的三视图可还原此几何体的直观图为：此几何体为一个底面为直角三角形，高为4的三棱锥，因此表面积为S＝12×(2＋3)×4＋12×4×5＋12×4×(2＋3)＋1230＋8.某棵果树前n 年的总产量S n 与n 之间的关系如图所示，从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 值为( ). A .5 B .7 C .9 D .11C 结合S n 与n 的关系图象可知，前2年的产量均为0，显然2S 2＝0为最小，在第3年~第9年期间，S n 的增长呈现持续稳定性，但在第9年之后，S n 的增速骤然降低.因为当n ＝9时，9S 9的值为最大，故m 值为9.9.直线x 2t,y 1t =+⎧⎨=--⎩(t 为参数)与曲线x 3αy 3αcos sin =⎧⎨=⎩(α为参数)的交点个数为__________. 2 由题意知直线与曲线的参数方程可分别化为x ＋y ﹣1＝0，x 2＋y 2＝9，进而求出圆心(0，0)到直线x ＋y﹣1＝0的距离d，∴交点个数为2.10.已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和.若a 1＝12，S 2＝a 3，则a 2＝________，S n ＝________.1 14(n 2＋n) 由a 1＝12，S 2＝a 3得，a 1＋a 2＝a 3，即a 3﹣a 2＝12，∴{a n }是一个以a 1＝12为首项，以12为公差的等差数列.∴a n ＝12＋(n ﹣1)×12＝12n.∴a 2＝1，S n ＝n 2(a 1＋a n )＝14n 2＋14n ＝14(n 2＋n).11.在△ABC 中，若a ＝2，b ＋c ＝7，cos B ＝﹣14，则b ＝__________.4 由余弦定理得，cos B ＝222a c b 2ac +-＝224(7b)b 22(7b)+--⨯⨯-＝﹣14，解得b ＝4.12.在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线y 2＝4x 的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B 两点，其中点A 在x 轴上方.若直线l 的倾斜角为60°，则△OAF 的面积为__________.由已知得抛物线的焦点坐标为(1，0)，直线l 的方程为y ＝tan 60°(x ﹣1)，即y联立得2y y 4x.⎧=⎪⎨=⎪⎩①②由①得x ＋1，③将③代入②并整理得y 2﹣4＝0，解得y1＝y 2又点A 在x 轴上方，∴A(3， ∴S△OAF ＝12×|OF|×|y 1|＝1213.已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为__________，DE ·DC 的最大值为__________.1 1 DE ·CB ＝(DA ＋AE )·CB ＝(CB ＋AE )·CB ＝|CB |2＋AE ·CB .因为AE CB ⊥，所以AE ·CB ＝0. 所以DE ·CB ＝12＋0＝1.DE ·DC ＝(DA ＋AE )·DC ＝DA ·DC ＋AE ·DC ＝λ|DC |2(0≤λ≤1)， ∴DE ·DC 的最大值为1.14.已知f(x)＝m(x ﹣2m)(x ＋m ＋3)，g(x)＝2x ﹣2.若同时满足条件： ①∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0; ②∃x ∈(﹣∞，﹣4)，f(x)g(x)<0. 则m 的取值范围是__________.(﹣4，﹣2) (一)由题意可知，m ≥0时不能保证对∀x ∈R ，f (x )<0或g (x )<0成立.(1)当m ＝﹣1时，f(x)＝﹣(x ＋2)2，g(x)＝2x ﹣2，此时显然满足条件①; (2)当﹣1<m<0时，2m>﹣(m ＋3)，要使其满足条件①，则需1m 0,2m 1,-<<⎧⎨<⎩解得﹣1<m<0; (3)当m<﹣1时，﹣(m ＋3)>2m ，要使其满足条件①，则需m 1,-(m 3)1,<-⎧⎨+<⎩解得﹣4<m<﹣1. 因此满足条件①的m 的取值范围为(﹣4，0).(二)在满足条件①的前提下，再探讨满足条件②的m 的取值范围. (1)当m ＝﹣1时，在(﹣∞，﹣4)上，f(x)与g(x)均小于0，不合题意; (2)当m<﹣1时，则需2m<﹣4，即m<﹣2，所以﹣4<m<﹣2; (3)当﹣1<m<0时，则需﹣(m ＋3)<﹣4，即m>1，此时无解. 综上所述满足①②两个条件的m 的取值范围为(﹣4，﹣2). 15.已知函数f(x)＝(x x)2x xsin cos sin sin -.(1)求f(x)的定义域及最小正周期; (2)求f(x)的单调递增区间.解：(1)由sin x≠0得x≠kπ(k ∈Z )，故f(x)的定义域为{x ∈R |x≠kπ，k ∈Z }.因为f(x)＝(x x)2x xsin cos sin sin -＝2cos x(sin x ﹣cos x) ＝sin 2x ﹣cos 2x ﹣12x 4π⎛⎫- ⎪⎝⎭﹣1， 所以f(x)的最小正周期T ＝22π＝π.(2)函数y ＝sin x 的单调递增区间为2k ,2k 22ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦(k ∈Z ).由2kπ﹣2π≤2x ﹣4π≤2k π＋2π，x ≠k π(k ∈Z )，得kπ﹣8π≤x ≤k π＋38π，x ≠k π(k ∈Z ).所以f(x)的单调递增区间为k ,k 8πππ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭和3k ,k 8πππ⎛⎤+ ⎥⎝⎦(k ∈Z ). 16.如图1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝3，AC ＝6.D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE ∥BC ，DE ＝2，将△ADE 沿DE 折起到△A 1DE 的位置，使A 1C ⊥CD ，如图2. (1)求证：A 1C ⊥平面BCDE;(2)若M 是A 1D 的中点，求CM 与平面A 1BE 所成角的大小;(3)线段BC 上是否存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直?说明理由.图1 图2解：(1)因为AC ⊥BC ，DE ∥BC ，所以DE ⊥AC.所以DE ⊥A 1D ，DE ⊥CD. 所以DE ⊥平面A 1DC. 所以DE ⊥A 1C.又因为A 1C ⊥CD ，所以A 1C ⊥平面BCDE.(2)如图，以C 为坐标原点，建立空间直角坐标系C ﹣xyz ，则A 1(0，0，，D(0，2，0)，M(0，1，B(3，0，0)，E(2，2，0). 设平面A 1BE 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ·1A B ＝0，n ·BE ＝0.又1A B ＝(3，0，﹣，BE ＝(﹣1，2，0)，所以3x 0,x 2y 0.⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩令y ＝1，则x ＝2，z所以n ＝(2，1设CM 与平面A 1BE 所成的角为θ.因为CM ＝(0，1，所以sin θ＝|cos <n ，CM >|＝n?|n|||CM CM ＝所以CM 与平面A 1BE 所成角的大小为4π.(3)线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直. 理由如下：假设这样的点P 存在，设其坐标为(p ，0，0)，其中p ∈[0，3]. 设平面A 1DP 的法向量为m ＝(x ，y ，z )， 则m ·1A D ＝0，m ·DP ＝0.又1A D ＝(0，2，﹣，DP ＝(p ，﹣2，0)，所以2y 0,px 2y 0.⎧-=⎪⎨-=⎪⎩ 令x ＝2，则y ＝p ，z所以m ＝⎛ ⎝.平面A 1DP ⊥平面A 1BE ，当且仅当m ·n ＝0， 即4＋p ＋p ＝0.解得p ＝﹣2，与p ∈[0，3]矛盾.所以线段BC 上不存在点P ，使平面A 1DP 与平面A 1BE 垂直.17.近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾.(1)(2)试估计生活垃圾投放错误的概率;(3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a ，b ，c ，其中a>0，a ＋b ＋c ＝600，当数据a ，b ，c 的方差s 2最大时，写出a ，b ，c 的值(结论不要求证明)，并求此时s 2的值. (求：s 2＝1n[(x 1﹣x )2＋(x 2﹣x )2＋…＋(x n ﹣x )2]，其中x 为数据x 1，x 2，…，x n 的平均数)解：(1)厨余垃圾投放正确的概率约为“”厨余垃圾箱里厨余垃圾量厨余垃圾总量＝400400100100++＝23.(2)设生活垃圾投放错误为事件A ，则事件A 表示生活垃圾投放正确.事件A 的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P(A )约为400240601000++＝0.7，所以P(A)约为1﹣0.7＝0.3.(3)当a ＝600，b ＝c ＝0时，s 2取得最大值.因为x ＝13(a ＋b ＋c)＝200，所以s 2＝13×[(600﹣200)2＋(0﹣200)2＋(0﹣200)2]＝80000.18.已知函数f(x)＝ax 2＋1(a>0)，g(x)＝x 3＋bx.(1)若曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a ，b 的值; (2)当a 2＝4b 时，求函数f(x)＋g(x)的单调区间，并求其在区间(﹣∞，﹣1]上的最大值. 解：(1)f'(x)＝2ax ，g'(x)＝3x 2＋b.因为曲线y ＝f(x)与曲线y ＝g(x)在它们的交点(1，c)处具有公共切线， 所以f(1)＝g(1)，且f'(1)＝g'(1). 即a ＋1＝1＋b ，且2a ＝3＋b. 解得a ＝3，b ＝3.(2)记h(x)＝f(x)＋g(x)，当b ＝14a 2时，h(x)＝x 3＋ax 2＋14a 2x ＋1，h'(x)＝3x 2＋2ax ＋14a 2.令h'(x)＝0，得x 1＝﹣a 2，x 2＝﹣a 6.a>0时，所以函数h(x)的单调递增区间为a ,-2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和a ,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭; 单调递减区间为a a ,-26⎛⎫-⎪⎝⎭. 当﹣a 2≥﹣1，即0<a ≤2时，函数h(x)在区间(﹣∞，﹣1]上单调递增，h(x)在区间(﹣∞，﹣1]上的最大值为h(﹣1)＝a ﹣14a 2.当﹣a 2<﹣1，且﹣a 6≥﹣1，即2<a ≤6时，函数h(x)在区间a ,-2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭内单调递增，在区间a ,-12⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递减，h(x)在区间(﹣∞，﹣1]上的最大值为h a 2⎛⎫- ⎪⎝⎭＝1. 当﹣a 6<﹣1，即a>6时，函数h(x)在区间a ,-2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭内单调递增，在区间a a ,-26⎛⎫- ⎪⎝⎭内单调递减，在区间a ,-16⎛⎤- ⎥⎝⎦上单调递增， 又因为h a 2⎛⎫- ⎪⎝⎭﹣h(﹣1)＝1﹣a ＋14a 2＝14(a ﹣2)2>0，所以h(x)在区间(﹣∞，﹣1]上的最大值为h a 2⎛⎫- ⎪⎝⎭＝1. 19.已知曲线C ：(5﹣m )x 2＋(m ﹣2)y 2＝8(m ∈R).(1)若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围;(2)设m ＝4，曲线C 与y 轴的交点为A ，B(点A 位于点B 的上方)，直线y ＝kx ＋4与曲线C 交于不同的两点M ，N ，直线y ＝1与直线BM 交于点G.求证：A ，G ，N 三点共线. 解：(1)曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，当且仅当5m 0,m 20,88,5m m 2⎧⎪->⎪->⎨⎪⎪>--⎩解得72<m<5，所以m 的取值范围是7,52⎛⎫ ⎪⎝⎭. (2)当m ＝4时，曲线C 的方程为x 2＋2y 2＝8，点A ，B 的坐标分别为(0，2)，(0，﹣2).由22y kx 4,x 2y 8,=+⎧⎨+=⎩得(1＋2k 2)x 2＋16kx ＋24＝0. 因为直线与曲线C 交于不同的两点， 所以Δ＝(16k)2﹣4(1＋2k 2)×24>0，即k 2>32.设点M ，N 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则y 1＝kx 1＋4，y 2＝kx 2＋4， x 1＋x 2＝216k 12k -+，x 1x 2＝22412k +. 直线BM 的方程为y ＋2＝11y 2x +x ，点G 的坐标为113x ,1y 2⎛⎫⎪+⎝⎭. 因为直线AN 和直线AG 的斜率分别为k AN ＝22y 2x -，k AG ＝﹣11y 23x +，所以k AN ﹣k AG ＝22y 2x -＋11y 23x +＝22kx 2x +＋11kx 63x +＝43k ＋12122(x x )x x +＝43k ＋2216k212k 2412k -⨯++＝0，即k AN ＝k AG .故A ，G ，N 三点共线.20.设A 是由m×n 个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零.记S(m ，n)为所有这样的数表构成的集合.对于A ∈S(m ，n)，记r i (A)为A 的第i 行各数之和(1≤i ≤m)，c j (A)为A 的第j 列各数之和(1≤j ≤n); 记k(A)为|r 1(A)|，|r 2(A)|，…，|r m (A)|，|c 1(A)|，|c 2(A)|，…，|c n (A)|中的最小值. (1)对如下数表A ，求k(A)的值;(2)设数表A ∈S(2，3)形如求k(A)的最大值;(3)给定正整数t ，对于所有的A ∈S(2，2t ＋1)，求k(A)的最大值.解：(1)因为r 1(A)＝1.2，r 2(A)＝﹣1.2，c 1(A)＝1.1，c 2(A)＝0.7，c 3(A)＝﹣1.8，所以k(A)＝0.7.(2)不妨设a ≤b.由题意得c ＝﹣1﹣a ﹣b. 又因为c ≥﹣1，所以a ＋b ≤0.于是a ≤0. r 1(A)＝2＋c ≥1，r 2(A)＝﹣r 1(A)≤﹣1，c 1(A)＝1＋a ，c 2(A)＝1＋b ，c 3(A)＝﹣(1＋a)﹣(1＋b)≤﹣(1＋a). 所以k(A)＝1＋a ≤1.当a ＝b ＝0且c ＝﹣1时，k(A)取得最大值1.(3)对于给定的正整数t ，任给数表A任意改变A 的行次序或列次序，或把A 中的每个数换成它的相反数，所得数表A *∈S(2，2t ＋1)，并且k(A)＝k(A *).因此，不妨设r 1(A)≥0，且c j (A)≥0(j ＝1，2，…，t ＋1).由k(A)的定义知，k(A)≤r 1(A)，k(A)≤c j (A)(j ＝1，2，…，t ＋1). 又因为c 1(A)＋c 2(A)＋…＋c 2t ＋1(A)＝0，所以(t ＋2)k(A)≤r 1(A)＋c 1(A)＋c 2(A)＋…＋c t ＋1(A)＝r 1(A)﹣c t ＋2(A)﹣…﹣c 2t ＋1(A)＝t 1j 1+=∑a j ﹣2t 1j t 2+=+∑b j≤(t ＋1)﹣t×(﹣1)＝2t ＋1. 所以k(A)≤2t 1t 2++.对数表A 0：第1列 第2列 … 第t ＋1列第t ＋2列 … 第2t ＋1列则A 0∈S(2，2t ＋1)，且k(A 0)＝2t 1t 2++.综上，对于所有的A ∈S(2，2t ＋1)，k(A)的最大值为2t 1t 2++.。
2012年北京高考理科数学试卷
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）满分：150分考试时长：120分钟第一部分（选择题共40分）一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分．）1．已知集合，，则（）2．设不等式组，表示的平面区域为．在区域内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于的概率是（）3，“”是“复数是纯虚数”的（）充分而不必要条件必要而不充分条件充分必要条件既不充分也不必要条件4．执行如图所示的程序框图，输出的值为（）5．如图，，于点，以为直径的圆与交于点，则（）6．中选一个数字，中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）7．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）8．某棵果树前年的总产量与之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前年的年平均产量最高，值为（）第二部分（非选择题共110分）二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分．）9．直线（为参数）与曲线（为参数）的交点个数为．10．已知为等差数列，为其前项和，若，，则．11．在中，若，，，则．12．在直角坐标系中，直线过抛物线的焦点，且与该抛物线相交于两点，其中点在轴上方，若直线的倾斜角为，则的面积为．13．已知正方形的边长为，点是的值为；大值为．14．已知，，若同时满足条件：①，或；②，．则的取值范围是．第8题图第5题图4第7题图俯视图侧（左）视图正（主）视图三、解答题（共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．）15．（本大题13分）已知函数（1）求的定义域及最小正周期；（2）求的单调递增区间．16．（本大题14分）如图1，在中，，，分别是上的点，且，，将沿折起到的位置，使，如图2．（1）求证：平面；（2）若是的中点，求与平面所成角的大小；（3）线段上是否存在点，使平面与平面垂直？说明理由．图1C图2近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：（（2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾“，其中，，当数据的方差，并求此时的值．（求：，为数据的平均数）已知函数，，（1）若曲线与曲线在它们的交点的值； （2）当时，求函数上的最大值．已知曲线（1）若曲线是焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；（2）设，曲线与轴的交点为（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的，直线与直线交于点，求证：三点共线．设是由个实数组成的行列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零．记为所有这样的数表构成的集合．对于，记为的第行各数之和，为的第列各数之和．记为，中的最小值．（1）对如下数表，求的值；（2（3）给定正整数，对于所有的，求的最大值．。
2012年普通高等学校招生全国统一考试北京文科数学和理科数学整编卷详细解析(精品回顾)
2012年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）本试卷共5页，150分．考试时长120分钟．考试生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题 共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{}|320A x x =∈+>R ，()(){}|130B x x x =∈+->R ，则A B = （ ）A ．()1-∞-，B ．213⎧⎫--⎨⎬⎩⎭，C ．233⎛⎫- ⎪⎝⎭，D ．()3+∞，2．设不等式组0202x y ⎧⎨⎩≤≤，≤≤表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）A ．π4B ．π22-C ．π6D ．4π4- 3．设a b ∈R ，．“0a =”是“复数i a b +是纯虚数”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．2B ．4C ．8D ．165．如图，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，以BD 为直径的圆与BC 交于点E ，则（ ）A ．CE CB AD DB ⋅=⋅ B ．CE CB AD AB ⋅=⋅C ．2AD AB CD ⋅= D ．2CE EB CD ⋅=回归往日精品，再现今日辉煌EBDAC6．从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为（）A ．24B ．18C ．12D ．67．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（）A．28+ B．30+C．56+D．60+8．某棵果树前n 前的总产量n S 与n 之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m 年的年平均产量最高，m 值为（）A ．5B ．7C ．9D ．1134主主主主主主主主主主主主主主主回归往日精品，再现今日辉煌第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．9直线21x t y t =+⎧⎨=--⎩（t 为参数）与曲线3cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）的交点个数为．10．已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和．若112a =，23S a =，则2a =．11．在ABC △中，若2a =，7b c +=，1cos 4B =-，则b =．12．在直角坐标系xOy 中，直线l 过抛物线24y x =的焦点F ，且与该抛物线相交于A ，B两点，其中点A 在x 轴上方，若直线l 的倾斜角为60︒．则OAF △的面积为．13．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE CB ⋅的值为 ；DE DC ⋅的最大值为．14．已知()()()23f x m x m x m =-++，()22x g x =-．若同时满足条件：①x ∀∈R ，()0f x <或()0g x <； ②()()()40x f x g x ∃∈-∞-<，，， 则m 的取值范围是 ．三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题共13分）已知函数()()sin cos sin 2sin x x xf x x-=．（1）求()f x 的定义域及最小正周期； （2）求()f x 的单调递增区间． 16．（本小题共14分）如图1，在Rt ABC △中，90C ∠=︒，3BC =，6AC =．D ，E 分别是AC ，AB 上的点，且DE BC ∥，2DE =，将ADE △沿AEA 1MDE 折起到1A DE △的位置，使1A C CD ⊥，如图2. （1）求证：1A C ⊥平面BCDE ；（2）若M 是1A D 的中点，求CM 与平面1A BE 所成角的大小；（3）线段BC 上是否存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直？说明理由．17．（本小题共13分）近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1000吨生活垃圾，数据统计如下（单位：吨）：“厨余垃圾”箱“可回收物”箱“其他垃圾”箱厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾202060（1）试估计厨余垃圾投放正确的概率； （2）试估计生活垃圾投放错误的概率；（3）假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a b c ，，，其中0a >，600a b c ++=．当数据a b c ，，的方差2s 最大时，写出a b c ，，的值（结论不要求证明），并求此时2s 的值． （求：()()()2222121n s x x x xx x n ⎡⎤=-+-++-⎢⎥⎣⎦，其中x 为数据1x ，2x ，…，n x 的平均数）18．（本小题共13分）已知函数()()210f x ax a =+>，()3g x x bx =+．（1）若曲线()y f x =与曲线()y g x =在它们的交点()1c ，处具有公共切线，求a ，b 的值； （2）当24a b =时，求函数()()f x g x +的单调区间，并求其在区间(]1-∞-，上的最大值．19．（本小题共14分）已知曲线()()()22:528C m x m y m -+-=∈R（1）若曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆，求m 的取值范围；（2）设4m =，曲线C 与y 轴的交点为A B ，（点A 位于点B 的上方），直线4y kx =+与曲线C 交于不同的两点M ，N ，直线1y =与直线BM 交于点G ．求证：A G N ，，三点共线．20．（本小题共13分）设A 是由m n ⨯个实数组成的m 行n 列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零．记()S m n ，为所有这样的数表构成的集合．对于()A S m n ∈，，记()i r A 为A 的第i 行各数之和()1i m ≤≤，()j c A 为A 的第j 列各数之和()1j n ≤≤；记()k A 为()1||r A ，()2||r A ，…，()||m r A ，()1||c A ，()2||c A ，…，()||n c A 中的最小值．（1）对如下数表A ，求()k A 的值；110.8-0.10.3-1-（2）设数表()23A S ∈，形如1 1 cab 1-求()k A 的最大值；（3）给定正整数t ，对于所有的()221A S t ∈+，，求()k A 的最大值．答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DDBCABBC二、填空题三、解答题 15． 解： (sin cos )sin 2(sin cos )2sin cos ()2(sin cos )cos sin sin x x x x x x xf x x x x x x--===-{}πsin 21cos 221|π4x x x x x k k ⎛⎫=-+--≠∈ ⎪⎝⎭Z ，，（1）原函数的定义域为{}|πx x k k ≠∈Z ，，最小正周期为π．（2）原函数的单调递增区间为πππ8k k ⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭，k ∈Z ，3πππ8k k ⎛⎤+ ⎥⎝⎦，k ∈Z16． 解：（1） CD DE ⊥，1A E DE ⊥∴DE ⊥平面1A CD ，又 1A C ⊂平面1A CD ，∴1A C ⊥DE又1A C CD ⊥，∴1A C ⊥平面BCDEy C（2）如图建系C xyz -，则()200D -，，，(00A ，，，()030B ，，，()220E -，，∴(103A B =-，，,()1210A E =-- ，，设平面1A BE 法向量为()n x y z =，，则1100A B n A E n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴3020y x y ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩ ∴2z y yx ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴(12n=-，又∵(10M -， ∴(10CM =-，∴cos ||||CM n CM n θ⋅====⋅ ∴CM 与平面1A BE 所成角的大小45︒（3）设线段BC 上存在点P ，设P 点坐标为()00a ，，，则[]03a ∈，则(10A P a =-，，，()20DP a = ，，设平面1A DP 法向量为()1111n x y z =，，则1111020ay x ay ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩ ∴111112z x ay ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴()136n a =-，假设平面1A DP 与平面1A BE 垂直 则10n n ⋅=，∴31230a a ++=，612a =-，2a =- ∵03a <<∴不存在线段BC 上存在点P ，使平面1A DP 与平面1A BE 垂直 17．（1）由题意可知：4002=6003（2）由题意可知：200+60+403=100010（3）由题意可知：22221(120000)3s a b c =++-，因此有当600a =，0b =，0c =时，有280000s =．18． 解：（1）由()1c ，为公共切点可得：2()1(0)f x ax a =+>，则()2f x ax '=，12k a =， 3()g x x bx =+，则2()=3f x x b '+，23k b =+，∴23a b =+①又(1)1f a =+，(1)1g b =+，∴11a b +=+，即a b =，代入①式可得：33a b =⎧⎨=⎩． （2） 24a b =，∴设3221()()()14h x f x g x x ax a x =+=+++则221()324h x x ax a '=++，令()0h x '=，解得：12a x =-，26a x =-；0a >，∴26a a -<-，∴原函数在2a ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，单调递增，在26a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调递减，在6a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增 ①若12a--≤，即2a ≤时，最大值为2(1)4a h a =-；②若126a a -<-<-，即26a <<时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭③若16a --≥时，即6a ≥时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭． 综上所述：当(]02a ∈，时，最大值为2(1)4a h a =-；当()2,a ∈+∞时，最大值为12a h ⎛⎫-= ⎪⎝⎭．19．（1）原曲线方程可化简得：2218852x y m m +=--由题意可得：8852805802m m mm ⎧>⎪--⎪⎪>⎨-⎪⎪>⎪-⎩，解得：752m <<（2）由已知直线代入椭圆方程化简得：22(21)16240k x kx +++=，2=32(23)k ∆-，解得：232k >由韦达定理得：21621M N k x x k +=+①，22421M N x x k =+，② 设(,4)N N N x k x +，(,4)M M M x kx +，(1)G G x ，MB 方程为：62M M kx y x x +=-，则316M M x G kx ⎛⎫⎪+⎝⎭，， ∴316M M x AG x k ⎛⎫=-⎪+⎝⎭ ，，()2N N AN x x k =+，， 欲证A G N ，，三点共线，只需证AG ，AN共线即3(2)6MN N M x x k x x k +=-+成立，化简得：(3)6()M N M N k k x x x x +=-+将①②代入易知等式成立，则A G N ，，三点共线得证。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1 2012年北京市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题共8小题．每小题5分.共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合胜目要求的一项. 1．（5分）（2012•北京）已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，则A∩B=（ ） A． （﹣∞，﹣1） B． （﹣1，） C． ﹙，3﹚ D． （3，+∞）
考点： 一元二次不等式的解法；交集及其运算． 专题： 集合． 分析： 求出集合B，然后直接求解A∩B． 解答： 解：因为B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0﹜={x|x＜﹣1或x＞3}，
又集合A={x∈R|3x+2＞0﹜={x|x}，
所以A∩B={x|x}∩{x|x＜﹣1或x＞3}={x|x＞3}， 故选：D． 点评： 本题考查一元二次不等式的解法，交集及其运算，考查计算能力．
2．（5分）（2012•北京）设不等式组，表示的平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ） A． B． C． D．
考点： 二元一次不等式（组）与平面区域；几何概型． 专题： 概率与统计． 分析： 本题属于几何概型，利用“测度”求概率，本例的测度即为区域的面积，故只要求出题中两个区域：由不等式组表示的区域 和到原点的距离大于2的点构成的区域的面积后再求它们的比值即可． 解答： 解：其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形，面积为S1=4，
满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心，以2为半径的圆外部，
面积为=4﹣π，
∴在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率P= 故选：D． 2
点评： 本题考查几何概型，几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积、的比值得到，本题是通过两个图形的面积之比得到概率的值．
3．（5分）（2012•北京）设a，b∈R．“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的（ ） A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件
考点： 复数的基本概念；必要条件、充分条件与充要条件的判断． 专题： 数系的扩充和复数． 分析： 利用前后两者的因果关系，即可判断充要条件． 解答： 解：因为a，b∈R．“a=O”时“复数a+bi不一定是纯虚数”． “复数a+bi是纯虚数”则“a=0”一定成立． 所以a，b∈R．“a=O”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件． 故选B． 点评： 本题考查复数的基本概念，必要条件、充分条件与充要条件的判断，考查基本知识的掌握程度．
4．（5分）（2012•北京）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
A． 2 B． 4 C． 8 D． 16 3
考点： 循环结构． 专题： 算法和程序框图． 分析： 列出循环过程中S与K的数值，不满足判断框的条件即可结束循环． 解答： 解：第1次判断后S=1，k=1， 第2次判断后S=2，k=2， 第3次判断后S=8，k=3， 第4次判断后3＜3，不满足判断框的条件，结束循环，输出结果：8． 故选C． 点评： 本题考查循环框图的应用，注意判断框的条件的应用，考查计算能力．
5．（5分）（2012•北京）如图，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，以BD为直径的圆与BC交于点E．则（ ）
A． CE•CB=AD•DB B． CE•CB=AD•AB C． AD•AB=CD2 D． CE•EB=CD2
考点： 与圆有关的比例线段． 专题： 直线与圆． 分析： 连接DE，以BD为直径的圆与BC交于点E，DE⊥BE，由∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，△ACD∽△CBD，由此利用三角形相似和切割线定理，能够推导出CE•CB=AD•BD． 解答： 解：连接DE， ∵以BD为直径的圆与BC交于点E， ∴DE⊥BE， ∵∠ACB=90°，CD⊥AB于点D， ∴△ACD∽△CBD，
∴， ∴CD2=AD•BD． ∵CD2=CE•CB， ∴CE•CB=AD•BD， 故选A．
点评： 本题考查与圆有关的比例线段的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注4
意三角形相似和切割线定理的灵活运用． 6．（5分）（2012•北京）从0、2中选一个数字．从1、3、5中选两个数字，组成无重复数字的三位数．其中奇数的个数为（ ） A． 24 B． 18 C． 12 D． 6
考点： 计数原理的应用． 专题： 算法和程序框图． 分析： 分类讨论：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位；从0、2中选一个数字2，则2排在十位或百位，由此可得结论． 解答： 解：从0、2中选一个数字0，则0只能排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位
与百位，共有=6种；
从0、2中选一个数字2，则2排在十位，从1、3、5中选两个数字排在个位与百位，共有=6种；
2排在百位，从1、3、5中选两个数字排在个位与十位，共有=6种； 故共有3=18种 故选B． 点评： 本题考查计数原理的运用，考查分类讨论的数学思想，正确分类是关键．
7．（5分）（2012•北京）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是（ ）
A． 28+6 B． 30+6 C． 56+12 D． 60+12
考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 立体几何． 分析： 通过三视图复原的几何体的形状，利用三视图的数据求出几何体的表面积即可． 解答： 解：三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形， 一个侧面垂直底面的等腰三角形，高为4，底边长为5，如图，
所以S底==10，
S后=， 5
S右==10， S左==6． 几何体的表面积为：S=S底+S后+S右+S左=30+6． 故选：B．
点评： 本题考查三视图与几何体的关系，注意表面积的求法，考查空间想象能力计算能力． 8．（5分）（2012•北京）某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示．从目前记录的结果看，前m年的年平均产量最高，则m的值为（ ）
A． 5 B． 7 C． 9 D． 11 考点： 函数的图象与图象变化；函数的表示方法． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 由已知中图象表示某棵果树前n年的总产量S与n之间的关系，可分析出平均产量的几何意义为原点与该点边线的斜率，结合图象可得答案． 解答： 解：若果树前n年的总产量S与n在图中对应P（S，n）点 则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率 由图易得当n=9时，直线OP的斜率最大 即前9年的年平均产量最高， 故选C 点评： 本题以函数的图象与图象变化为载体考查了斜率的几何意义，其中正确分析出平均产量的几何意义是解答本题的关键．
二.填空题共6小题．每小题5分．共30分. 6
9．（5分）（2012•北京）直线（t为参数）与曲线 （α为参数）的交点个数为 2 ． 考点： 圆的参数方程；直线与圆的位置关系；直线的参数方程． 专题： 直线与圆． 分析： 将参数方程化为普通方程，利用圆心到直线的距离与半径比较，即可得到结论． 解答： 解：直线（t为参数）化为普通方程为x+y﹣1=0
曲线 （α为参数）化为普通方程为x2+y2=9 ∵圆心（0，0）到直线x+y﹣1=0的距离为d= ∴直线与圆有两个交点 故答案为：2 点评： 本题考查参数方程与普通方程的互化，考查直线与圆的位置关系，属于基础题．
10．（5分）（2012•北京）已知﹛an﹜是等差数列，sn为其前n项和．若a1=，s2=a3，则a2= 1 ．
考点： 等差数列的前n项和；等差数列的通项公式． 专题： 等差数列与等比数列． 分析： 由﹛an﹜是等差数列，a1=，S2=a3，知=，解得d=，由此能求出a2．
解答： 解：∵﹛an﹜是等差数列，a1=，S2=a3，
∴=， 解得d=， a2==1． 故答案为：1． 点评： 本题考查等差数列的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
11．（5分）（2012•北京）在△ABC中，若a=2，b+c=7，cosB=﹣，则b= 4 ． 考点： 解三角形． 专题： 解三角形． 7
分析： 根据a=2，b+c=7，cosB=﹣，利用余弦定理可得
，即可求得b的值． 解答： 解：由题意，∵a=2，b+c=7，cosB=﹣，
∴ ∴b=4 故答案为：4 点评： 本题考查余弦定理的运用，解题的关键是构建关于b的方程，属于基础题．
12．（5分）（2012•北京）在直角坐标系xOy中．直线l过抛物线y2=4x的焦点F．且与该抛物线相交于A、B两点．其中点A在x轴上方．若直线l的倾斜角为60°．则△OAF的面积为 ．
考点： 直线与圆锥曲线的综合问题；直线的倾斜角；抛物线的简单性质． 专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程． 分析： 确定直线l的方程，代入抛物线方程，确定A的坐标，从而可求△OAF的面积． 解答： 解：抛物线y2=4x的焦点F的坐标为（1，0）
∵直线l过F，倾斜角为60°
∴直线l的方程为：，即
代入抛物线方程，化简可得 ∴y=2，或y=﹣ ∵A在x轴上方 ∴△OAF的面积为= 故答案为： 点评： 本题考查抛物线的性质，考查直线与抛物线的位置关系，确定A的坐标是解题的关键．
13．（5分）（2012•北京）己知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点．则的值为 1 ．
考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用． 分析： 直接利用向量转化，求出数量积即可． 解答： 解：因为====1．
故答案为：1