分类讨论思想
思想方法 第3讲 分类讨论思想
思想方法第3讲分类讨论思想 思想概述分类讨论思想是当问题的对象不能进行统一研究时，需对研究的对象按某个标准进行分类，然后对每一类分别研究，给出每一类的结论，最终综合各类结果得到整个问题的解答．实质上分类讨论就是“化整为零，各个击破，再集零为整”的数学思想．方法一 由概念、公式、法则、计算性质引起的讨论 概念、定理分类整合即利用数学中的基本概念、定理对研究对象进行分类，如绝对值的定义、不等式的转化、等比数列{a n }的前n 项和公式等，然后分别对每类问题进行解决． 例1(1)(2022·滁州质检)已知过点P (0,1)的直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －6y ＋6＝0相交于A ，B 两点，则当|AB |＝23时，直线l 的方程为( )A ．x ＝0B ．15x －8y －8＝0C ．3x －4y ＋4＝0或x ＝0D ．3x ＋4y －4＝0或x ＝0________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________(2)已知数列{a n }满足a 1＝－2，a 2＝2，a n ＋2－2a n ＝1－(－1)n ，则下列选项不正确的是( )A ．{a 2n －1}是等比数列B.∑i ＝15(a 2i －1＋2)＝－10C ．{a 2n }是等比数列D.∑i ＝110a i ＝52________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________规律方法 解题时应准确把握数学概念的本质，根据需要对所有情形分类．本例中，设直线方程需分斜率存在和不存在两种情况，数列中含(－1)n 需分奇偶两种情况，要注意分类讨论要有理有据、不重不漏．方法二 由图形位置或形状引起的讨论图形位置、形状分类整合是指由几何图形的不确定性而引起的分类讨论，这种方法适用于对几何图形中点、线、面的位置关系以及解析几何中直线与圆锥曲线的位置关系的研究． 例2设F 1，F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，点P 为椭圆上一点，已知点P ，F 1，F 2是一个直角三角形的三个顶点，且|PF 1|>|PF 2|，则|PF 1||PF 2|＝________. ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________规律方法 圆锥曲线的形状、焦点位置不确定时要分类讨论；立体几何中点、线、面的位置变化，三角形和平行四边形的不确定性都要进行分类讨论．方法三 由参数变化引起的分类讨论某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，需对参数进行讨论，如含参数的方程、不等式、函数等．解决这类问题要根据需要合理确定分类标准，讨论中做到不重不漏，结论整合要周全．例3 (2022·湖北七市(州)联考)已知函数f (x )＝x ＋1x (x >0)，若f (x )[f (x )]2＋a的最大值为25，则正实数a ＝________.________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________规律方法 若遇到题目中含有参数的问题，常常结合参数的意义和对结果的影响进行分类讨论，此类题目为含参型，应全面分析参数变化引起的结论的变化情况，在分类讨论时要遵循分类的原则：一是分类的标准要一致，二是分类时要做到不重不漏，三是能不分类的要尽量避免分类，杜绝无原则的分类讨论．。
分类讨论思想【学生版】
解题思想数学“分类讨论思想”学生姓名授课日期教师姓名授课时长分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论。
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。
分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。
引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。
如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。
这种分类讨论题型可以称为概念型。
②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。
如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。
这种分类讨论题型可以称为性质型。
③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。
如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。
这称为含参型。
另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。
进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。
其中最重要的一条是“不漏不重”。
解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。
分类讨论思想
分类讨论思想参考资料：百度百科1定义每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想。
2分类时间当数学问题中的条件，结论不明确或题意中含参数或图形不确定时，就应分类讨论。
分类讨论思想是指在解决一个问题时，无法用同一种方法去解决，而需要一个标准将问题划分成几个能用不同形式去解决的小问题，将这些小问题——加以解决，从而使问题得到解决,这就是分类讨论思想。
当我们所研究的各种对象之间过于复杂或涉及范围比较广泛时，我们大多采取分类讨论的方法进行解决，即对问题中的各种情况进行分类，或对所涉及的范围进行分割，然后分别研究和求解。
分类讨论解题的实质，是将整体问题化为部分问题来解决,以增加题设条件。
分类讨论的原则是不重复、不遗漏。
讨论的方法是逐类进行，还必须要注意综合讨论的结果，以使解题步骤完整。
3分类讨论一方面可将复杂的问题分解成若干个简单的问题，另一方面恰当的分类可避免丢值漏解，从而提高全面考虑问题的能力，提高周密严谨的数学教养。
4常见题目近年来，在各地中考试题中涉及“分类讨论”的问题十分常见，因为这类试题不仅考查我们的数学基本知识与方法，而且考查了我们思维的深刻性。
在解决此类问题时，因考虑不周全导致失分的较多，究其原因主要是平时的学习中，尤其是在中考复习时，对“分类讨论”的数学思想渗透不够.个人水平太低。
5思想运用“数无形，少直观，形无数，难入微”，利用“数形结合”可使所要研究的问题化难为易，化繁为简。
分类讨论思想在高中数学解题中的应用
分类讨论思想在高中数学解题中的应用摘要分类讨论思想是数学中的一个重要思想，其在高中数学解题中得到了广泛的应用。
本文将详细阐述分类讨论思想的定义、重要性、应用及具体案例，以便更好地展示其在高中数学解题中的应用价值。
分类讨论思想；高中数学；解题应用；具体案例一、分类讨论思想是一种数学思想，在高中数学中得到了广泛的应用。
它可以有效地降低解题难度，提高解题效率。
本文将重点研究其在高中数学解题中的应用。
二、分类讨论思想的定义分类讨论思想指的是将问题分为若干小问题，根据不同的情况分别进行讨论，最终得到问题的解决方法的一种数学思想。
使用这种方法，问题就可以逐步分解，降低难度，提高解题效率。
三、分类讨论思想的重要性分类讨论思想的重要性主要体现在以下几个方面：1.降低问题难度采用分类讨论思想，将问题分为若干小问题进行处理，可以使问题难度逐步降低，最终简化问题难度，得到问题的解决方法。
2.提高解题效率分类讨论思想可以使问题分解成若干小问题，这样可以使解决问题的速度更快，提高解题效率。
3.避免遗漏采用分类讨论思想，将问题分为若干小问题进行处理，可以避免因为考虑不全面而遗漏某些情况，从而得到更为全面的解决方法。
四、分类讨论思想在高中数学解题中的应用分类讨论思想在高中数学中的应用非常广泛，下面将以具体案例来说明其应用方法。
1.解决数列问题在解决数列问题时，可以采用分类讨论思想，将数列分成等差数列和等比数列两种情况进行讨论。
例如，如下：已知数列{a_n}满足a_1=-3，a_n+1=2a_n+7，求数列的前n项和。
解：由题意得，a_n+1=2a_n+7化简可得：a_n=2^(n-2)a_1+7(2^(n-2)-1)/(2-1)若数列为等差数列，则d=a_n-a_1=(2^(n-2)-1)*2若数列为等比数列，则q=a_n/a_(n-1)代入公式得：q=2综上所述，当数列为等差数列时，前n项和为n/2(2a_1+(n-1)d)。
分类讨论思想
分类讨论思想第三讲分类讨论思想[思想方法解读]分类讨论思想是一种重要的数学思想方法，其基本思路是将一个较复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略.1.中学数学中可能引起分类讨论的因素：(1)由数学概念而引起的分类讨论：如绝对值的定义、不等式的定义、二次函数的定义、直线的倾斜角等.(2)由数学运算要求而引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根为非负数，对数运算中真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式中两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域，等比数列{a n}的前n项和公式等. (3)由性质、定理、公式的限制而引起的分类讨论：如函数的单调性、基本不等式等.(4)由图形的不确定性而引起的分类讨论：如二次函数图象、指数函数图象、对数函数图象等. (5)由参数的变化而引起的分类讨论：如某些含有参数的问题，由于参数的取值不同会导致所得的结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的求解或证明方法等.2.进行分类讨论要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.其中最重要的一条是“不重不漏”.3.解答分类讨论问题时的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不重不漏、分类互斥(没有重复)；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论.常考题型精析题型一由概念、公式、法则、计算性质引起的分类讨论例1设集合A＝{x∈R|x2＋4x＝0}，B＝{x∈R|x2＋2(a＋1)x＋a2－1＝0，a∈R}，若B⊆A，求实数a的取值范围.点评对概念、公式、法则的内含及应用条件的准确把握是解题关键，在本题中，B⊆A，包括B ＝∅和B≠∅两种情况.解答时就应分两种情况讨论，在关于指数、对数的运算中，底数的取值范围是进行讨论时首先要考虑的因素.变式训练1若函数f(x)＝a x (a>0，a≠1)在[－1,2]上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)＝(1－4m)x在[0，＋∞)上是增函数，则a＝________. 题型二分类讨论在含参函数中的应用例2已知函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a在x∈[0,1]上有最大值2，求a的值.点评本题中函数的定义域是确定的，二次函数的对称轴是不确定的，二次函数的最值问题与对称轴息息相关，因此需要对对称轴进行讨论，分对称轴在区间内和对称轴在区间外，从而确定函数在给定区间上的单调性，即可表示函数的最大值，从而求出a 的值.变式训练2 (2015·江苏)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋b (a ，b ∈R).(1)试讨论f (x )的单调性；(2)若b ＝c －a (实数c 是与a 无关的常数)，当函数f (x )有三个不同的零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，＋∞，求c 的值.题型三 根据图形位置或形状分类讨论例3 在约束条件⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥0，y ＋x ≤s ，y ＋2x ≤4下，当3≤s ≤5时，z ＝3x ＋2y 的最大值的变化范围是( ) A.[6,15]B.[7,15]C.[6,8]D.[7,8] 点评 几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论 (1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等.变式训练3 设F 1、F 2为椭圆x 29＋y 24＝1的两个焦点，P 为椭圆上一点，已知P 、F 1、F 2是一个直角三角形的三个顶点，且⎪⎪⎪⎪PF 1＞⎪⎪⎪⎪PF 2，求⎪⎪⎪⎪PF 1⎪⎪⎪⎪PF 2的值.高考题型精练1.对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则必有( )A.f (0)＋f (2)<2f (1)B.f (0)＋f (2)≤2f (1)C.f (0)＋f (2)≥2f (1) D .f (0)＋f (2)>2f (1)2.已知数列{a n }的前n 项和S n ＝p n －1(p 是常数)，则数列{a n }是( )A.等差数列B.等比数列C.等差数列或等比数列D.以上都不对3.已知变量x ，y 满足的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的是一个直角三角形围成的平面区域，则实数k 等于( )A.－12B.12C.0D.－12或0 4.(2014·四川)设m ∈R ，过定点A 的动直线x ＋my ＝0和过定点B 的动直线mx －y －m ＋3＝0交于点P (x ，y )，则|PA |＋|PB |的取值范围是( ) A.[5，25] B.[10，25] C.[10，45] D.[25，45]5.(2015·大连模拟)抛物线y 2＝4px (p >0)的焦点为F ，P 为其上的一点，O 为坐标原点，若△OPF 为等腰三角形，则这样的点P 的个数为( )A.2B.3C.4D.66.在等比数列{a n }中，已知a 3＝32，S 3＝92，则a 1＝________.7.已知函数f (x )＝ax 3－3x ＋1对于x ∈[－1,1]总有f (x )≥0成立，则a ＝________.8.(2014·浙江)若某程序框图如图所示，当输入50时，则该程序运行后输出的结果是________.9.(2015·南昌模拟)已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4，且位于x轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB垂直于y轴，垂足为B，OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；(2)以M为圆心，MB为半径作圆M，当K(m,0)是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系.10.已知a是实数，函数f(x)＝x(x－a).(1)求函数f(x)的单调区间；(2)设g(a)为f(x)在区间[0,2]上的最小值.①写出g(a)的表达式；②求a的取值范围，使得－6≤g(a)≤－2.答案精析第46练 分类讨论思想常考题型精析例1 解 ∵A ＝{0，－4}，B ⊆A ，于是可分为以下几种情况.(1)当A ＝B 时，B ＝{0，－4}，∴由根与系数的关系，得⎩⎨⎧－2(a ＋1)＝－4，a 2－1＝0，解得a ＝1.(2)当B A 时，又可分为两种情况. ①当B ≠∅时，即B ＝{0}或B ＝{－4}， 当x ＝0时，有a ＝±1； 当x ＝－4时，有a ＝7或a ＝1. 又由Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0， 解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足条件；②当B ＝∅时，Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)<0，解得a <－1.综合(1)(2)知，所求实数a的取值范围为a≤－1或a＝1.变式训练11 4解析若a>1，有a2＝4，a－1＝m，此时a＝2，m＝1 2，此时g(x)＝－x在[0，＋∞)上为减函数，不合题意.若0<a<1，有a－1＝4，a2＝m，此时a＝14，m＝116，检验知符合题意.例2解函数f(x)＝－x2＋2ax＋1－a＝－(x－a)2＋a2－a＋1，对称轴方程为x＝a.(1)当a<0时，f(x)max＝f(0)＝1－a，∴1－a＝2，∴a＝－1.(2)当0≤a≤1时，f(x)max＝f(a)＝a2－a＋1，∴a2－a＋1＝2，∴a2－a－1＝0，∴a＝1±52(舍).(3)当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，∴a ＝2. 综上可知，a ＝－1或a ＝2.变式训练2 解 (1)f ′(x )＝3x 2＋2ax ， 令f ′(x )＝0，解得x 1＝0，x 2＝－2a3.当a ＝0时，因为f ′(x )＝3x 2≥0， 所以函数f (x )在(－∞，＋∞)上单调递增； 当a ＞0时，x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－2a 3∪(0，＋∞)时，f ′(x )＞0，x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫－2a 3，0时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－∞，－2a 3，(0，＋∞)上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎪⎫－2a3，0上单调递减； 当a ＜0时，x ∈(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎪⎪⎫－2a3，＋∞时，f ′(x )＞0，x ∈⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，－2a 3时，f ′(x )＜0，所以函数f (x )在(－∞，0)，⎝⎛⎭⎪⎪⎫－2a 3，＋∞上单调递增，在⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，－2a 3上单调递减. (2)由(1)知，函数f (x )的两个极值为f (0)＝b ， f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－2a 3＝427a 3＋b ，则函数f (x )有三个零点等价于f (0)·f ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－2a 3＝b ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫427a 3＋b ＜0， 从而⎩⎨⎧ a ＞0，－427a 3＜b ＜0或⎩⎨⎧a ＜0，0＜b ＜－427a 3.又b ＝c －a ，所以当a ＞0时，427a 3－a ＋c ＞0或当a ＜0时，427a 3－a ＋c ＜0.设g (a )＝427a 3－a ＋c ，因为函数f (x )有三个零点时，a 的取值范围恰好是(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，32∪⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，＋∞，则在(－∞，－3)上g (a )＜0，且在⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，＋∞上g (a )＞0均恒成立.从而g (－3)＝c －1≤0，且g ⎝⎛⎭⎪⎪⎫32＝c －1≥0，因此c ＝1.此时，f (x )＝x 3＋ax 2＋1－a ＝(x ＋1)[x 2＋(a －1)x＋1－a ]，因函数有三个零点，则x 2＋(a －1)x ＋1－a ＝0有两个异于－1的不等实根，所以Δ＝(a －1)2－4(1－a )＝a 2＋2a －3＞0，且(－1)2－(a －1)＋1－a ≠0，解得a ∈(－∞，－3)∪⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，32∪⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，＋∞.综上c ＝1.例3 D [由⎩⎨⎧ x ＋y ＝s ，y ＋2x ＝4⇒⎩⎨⎧x ＝4－s ，y ＝2s －4，取点A (2,0)，B (4－s,2s －4)，C (0，s )，C ′(0,4). (1)当3≤s <4时，可行域是四边形OABC ，如图(1)所示，此时，7≤z <8.(2)当4≤s ≤5时，此时可行域是△OAC ′，如图(2)所示，z max ＝8.综上，z ＝3x ＋2y 最大值的变化范围是[7,8].]变式训练3 解 若∠PF 2F 1＝90°，则⎪⎪⎪⎪PF 12＝|PF 2|2＋⎪⎪⎪⎪F 1F 22， 又∵⎪⎪⎪⎪PF 1＋⎪⎪⎪⎪PF 2＝6，⎪⎪⎪⎪F 1F 2＝25， 解得⎪⎪⎪⎪PF 1＝143，⎪⎪⎪⎪PF 2＝43，∴⎪⎪⎪⎪PF 1⎪⎪⎪⎪PF 2＝72. 若∠F 1PF 2＝90°，则⎪⎪⎪⎪F 1F 22＝⎪⎪⎪⎪PF 12＋⎪⎪⎪⎪PF 22， ∴⎪⎪⎪⎪PF 12＋(6－⎪⎪⎪⎪PF 1)2＝20， 又|PF 1|>|PF 2|，∴⎪⎪⎪⎪PF 1＝4，⎪⎪⎪⎪PF 2＝2， ∴⎪⎪⎪⎪PF 1⎪⎪⎪⎪PF 2＝2. 综上知，⎪⎪⎪⎪PF 1⎪⎪⎪⎪PF 2＝72或2. 高考题型精练1.C [依题意，若任意函数f (x )为常函数时，则(x －1)f ′(x )＝0在R 上恒成立；若任意函数f (x )不是常函数时，当x ≥1时，f ′(x )>0，函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数；当x <1时，f ′(x )<0，f (x )在(－∞，1)上是减函数，故f (x )当x ＝1时取得最小值，即有f (0)>f (1)，f (2)>f (1)，综上，则有f (0)＋f (2)≥2f (1).]2.D [∵S n ＝p n －1，∴a 1＝p －1，a n ＝S n －S n －1＝(p －1)pn －1(n ≥2)，当p ≠1且p ≠0时，{a n }是等比数列； 当p ＝1时，{a n }是等差数列；当p ＝0时，a 1＝－1，a n ＝0(n ≥2)，此时{a n }既不是等差数列也不是等比数列.]3.D [不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的可行域如图(阴影部分)所示，由图可知若不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≥2x ，kx －y ＋1≥0表示的平面区域是直角三角形，只有直线y ＝kx ＋1与直线x ＝0垂直(如图①)或直线y ＝kx ＋1与直线y ＝2x 垂直(如图②)时，平面区域才是直角三角形.由图形可知斜率k 的值为0或－12.]4.B [由动直线x ＋my ＝0知定点A 的坐标为(0,0)，由动直线mx －y －m ＋3＝0知定点B 的坐标为(1,3)，且两直线互相垂直，故点P 在以AB 为直径的圆上运动.故当点P 与点A 或点B 重合时，|PA |＋|PB |取得最小值，(|PA |＋|PB |)min ＝|AB |＝10.当点P 与点A 或点B 不重合时，在Rt △PAB 中，有|PA |2＋|PB |2＝|AB |2＝10.因为|PA |2＋|PB |2≥2|PA ||PB |，所以2(|PA |2＋|PB |2)≥(|PA |＋|PB |)2，当且仅当|PA |＝|PB |时取等号，所以|PA |＋|PB |≤2|PA |2＋|PB |2＝2×10＝25，所以10≤|PA |＋|PB |≤25，所以|PA |＋|PB |的取值范围是[10，25].]5.C [当|PO |＝|PF |时，点P 在线段OF 的中垂线上，此时，点P 的位置有两个；当|OP |＝|OF |时，点P 的位置也有两个；对|FO |＝|FP |的情形，点P 不存在.事实上，F (p,0)，若设P (x ，y )，则|FO |＝p ，|FP |＝(x －p )2＋y 2，若(x －p )2＋y 2＝p ，则有x 2－2px ＋y 2＝0，又∵y 2＝4px ，∴x 2＋2px ＝0，解得x ＝0或x ＝－2p ，当x ＝0时，不构成三角形.当x ＝－2p (p >0)时，与点P 在抛物线上矛盾.∴符合要求的点P 一共有4个.]6.32或6 解析 当q ＝1时，a 1＝a 2＝a 3＝32，S 3＝3a 1＝92，显然成立；当q ≠1时，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝a 3＝32，a 1(1－q 3)1－q ＝S 3＝92.所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1q 2＝32， ①a 1(1＋q ＋q 2)＝92， ②由①②，得1＋q ＋q 2q 2＝3，即2q 2－q －1＝0， 所以q ＝－12或q ＝1(舍去).当q ＝－12时，a 1＝a 3q 2＝6.综上可知，a 1＝32或a 1＝6.7.4解析 若x ＝0，则不论a 取何值，f (x )≥0显然成立；当x >0即x ∈(0,1]时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≥3x 2－1x 3. 设g (x )＝3x 2－1x 3，则g ′(x )＝3(1－2x )x 4，所以g (x )在区间⎝⎛⎦⎥⎥⎤0，12上单调递增，在区间⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12，1上单调递减，因此g (x )max ＝g ⎝⎛⎭⎪⎪⎫12＝4，从而a ≥4； 当x <0即x ∈[－1,0)时，f (x )＝ax 3－3x ＋1≥0可化为a ≤3x 2－1x 3， 令g (x )＝3x 2－1x 3，g ′(x )＝3(1－2x )x 4>0，g (x )在区间[－1，0)上单调递增，因此g (x )min ＝g (－1)＝4，从而a ≤4，综上得a ＝4.8.6解析 输入n ＝50，由于i ＝1，S ＝0，所以S ＝2×0＋1＝1，i ＝2，此时不满足S >50； 当i ＝2时，S ＝2×1＋2＝4，i ＝3，此时不满足S>50；当i＝3时，S＝2×4＋3＝11，i＝4，此时不满足S>50；当i＝4时，S＝2×11＋4＝26，i＝5，此时不满足S>50；当i＝5时，S＝2×26＋5＝57，i＝6，此时满足S>50，因此输出i＝6.9.解(1)抛物线y2＝2px的准线为x＝－p 2，由题意得4＋p2＝5，所以p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x.(2)由题意知，圆M的圆心为点(0,2)，半径为2. 当m＝4时，直线AK的方程为x＝4，此时，直线AK与圆M相离；当m≠4时，由(1)知A(4,4)，则直线AK的方程为：y＝44－m(x－m)，即4x－(4－m)y－4m＝0，圆心M (0,2)到直线AK 的距离d ＝|2m ＋8|16＋(m －4)2， 令d >2，解得m >1.所以，当m >1时，直线AK 与圆M 相离； 当m ＝1时，直线AK 与圆M 相切； 当m <1时，直线AK 与圆M 相交.10.解 (1)函数的定义域为[0，＋∞)，f ′(x )＝3x －a 2x(x >0). 若a ≤0，则f ′(x )>0，f (x )有单调递增区间[0，＋∞).若a >0，令f ′(x )＝0，得x ＝a 3， 当0<x <a 3时，f ′(x )<0， 当x >a 3时，f ′(x )>0. f (x )有单调递减区间[0，a 3]，有单调递增区间(a 3，＋∞). (2)①由(1)知，若a ≤0，f (x )在[0,2]上单调递增， 所以g (a )＝f (0)＝0.若0<a <6，f (x )在[0，a 3]上单调递减，在(a 3，2]上单调递增，所以g (a )＝f (a 3)＝－2a 3a 3. 若a ≥6，f (x )在[0,2]上单调递减，所以g (a )＝f (2)＝2(2－a ).综上所述，g (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0，a ≤0，－2a 3a 3，0<a <6，2(2－a )，a ≥6.②令－6≤g (a )≤－2.若a ≤0，无解.若0<a <6，解得3≤a <6.若a ≥6，解得6≤a ≤2＋3 2.故a 的取值范围为3≤a ≤2＋3 2.。
2021年中考中的数学思想方法---分类讨论思想(方法指导及例题解析)
中考中的数学思想方法----分类讨论思想一、概述：当我们面对一大堆杂乱的人民币时;我们一般会先分10元;5元;2元;1元;5角;…… 等不同面值把人民币整理成一叠叠的;再分别数出各叠钱数;最后把各叠的钱数加起来得出这一堆人民币的总值。
这样做;比随意一张张地数的方法要快且准确的多;因为这种方法里渗透了分类讨论的思想。
在数学中;分类思想是根据数学本质属性的相同点和不同点;把数学的研究对象区分为不同种类的一种数学思想;正确应用分类思想;是完整解题的基础。
而在中考中;分类讨论思想也贯穿其中;几乎在全国各地的重考试卷中都会有这类试题;命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度;很多压轴题也都涉及分类讨论;由此可见分类思想的重要性;下面精选了几道有代表性的试题予以说明。
二、例题导解：1、（上海市中考题）直角三角形的两条边长分别为6和8,那么这个三角形的外接圆半径等于 .③解：①当6、8是直角三角形的两条直角边时;斜边长为10;此时这个三角形的外接圆半径等于21╳ 10 =5②当6是这个三角形的直角边;8是斜边时;此时这个三角形的外接圆半径等于21╳ 8=42、（北京市中考题）在△ABC 中;∠B ＝25°;AD 是BC 边上的高;并且AD BD DC 2·;则∠BCA 的度数为____________。
解：①如图1;当△ABC 是锐角三角形时; ∠BCA=90°-25°=65°①如图2;当△ABC 是钝角三角形时; ∠BCA=90°+25°=115°图1 图2这是一道比较基础却很典型的分类 讨论题;关键是要注意题设中的“两条边长”。
这是一道非常容易出错的题目;很多同学由于看惯了图1所示的图形而漏解;一些难度并不很大的题目频频十分很多时候就是由于缺乏分类思想。
3、（济南市中考题）如图1;已知Rt ABC △中;30CAB ∠=;5BC =．过点A 作AE AB ⊥;且15AE =;连接BE 交AC 于点P ． （1）求PA 的长：（2）以点A 为圆心;AP 为半径作⊙A;试判断BE 与⊙A 是否相切;并说明理由：（3）如图2;过点C 作CD AE ⊥;垂足为D ．以点A 为圆心;r 为半径作⊙A ：以点C 为圆心;R 为半径作⊙C ．若r 和R 的大小是可变化的;并且在变化过程中保持⊙A 和⊙C 相切．．;且使D 点在⊙A 的内部;B 点在⊙A 的外部;求r 和R 的变化范围．（1）在Rt ABC △中;305CAB BC ∠==，;210AC BC ∴==．AE BC ∥;APE CPB ∴△∽△． ::3:1PA PC AE BC ∴==． :3:4PA AC ∴=;3101542PA ⨯==． （2）BE 与⊙A 相切．在Rt ABE △中;AB =15AE =;tan AE ABE AB ∴∠===60ABE ∴∠=． 又30PAB ∠=;9090ABE PAB APB ∴∠+∠=∴∠=，;BE ∴与⊙A 相切．（3）因为5AD AB ==，所以r的变化范围为5r <<当⊙A 与⊙C 外切时;10R r +=;所以R的变化范围为105R -<<： 当⊙A 与⊙C 内切时;10R r -=;所以R的变化范围为1510R <<+CＤ 图1 图24、（上海市普陀区中考模拟题）直角坐标系中;已知点P （－2;－1）; 点T （t ;0）是x 轴上的一个动点.(1) 求点P 关于原点的对称点P '的坐标： (2) 当t 取何值时;△P 'TO 是等腰三角形？ 解：（1）点P 关于原点的对称点P '的坐标为（2;1）. （2）5='P O .（a ）动点T 在原点左侧.当51='=O P O T 时;△TO P '是等腰三角形∴点)0,5(1-T .（b ）动点T 在原点右侧.①当P T O T '=22时;△TO P '是等腰三角形.得：)0,45(2T .② 当O P O T '=3时;△TO P '是等腰三角形. 得：点)0,5(3T .③ 当O P P T '='4时;△TO P '是等腰三角形. 得：点)0,4(4T .综上所述;符合条件的t 的值为4,5,45,5-. 5、如图,平面直角坐标系中,直线AB 与x 轴,y 轴分别交于A (3,0),B (0,3)两点, ,点C 为线段AB 上的一动点,过这是济南市的中考数学压轴题;其中第（3）小题涉及圆的位置关系分类讨论;须分内切和外切两种情况加以讨论;只要解题时注意读题;“相切．．”两字是正确解题的关键字。
分类讨论思想
分类讨论【知识要点】分类是基本逻辑方法之一.依据数学研究对象本质属性的相同点和差异点，将数学对象分为不同种类的数学思想叫做分类的思想。
“物以类聚，人以群分”。
将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做分类讨论的方法。
分类的思想是自然科学乃至社会科学研究中经常用到的，又叫做逻辑划分。
不论从宏观上还是从微观上对研究对象进行分类，都是深化研究对象、发展科学必不可少的思想。
因此分类讨论既是一种逻辑方法，也是一种数学思想。
需要运用分类讨论的思想解决的数学问题，就其引起分类的原因，可归结为：①涉及的数学概念是分类定义的；②运用的数学定理、公式或运算性质、法则是分类给出的；③求解的数学问题的结论有多种情况或多种可能；④数学问题中含有参变量，这些参变量的取值会导致不同结果的。
应用分类讨论思想解决问题，必须保证分类科学、统一，不重复，不遗漏，并力求最简。
运用分类的思想，通过正确的分类，可以使复杂的问题得到清晰、完整、严密的解答。
【突破方法】a.牢固掌握概念，掌握概念间的区别与联系。
b.动点问题中的分类讨论是难点，需要同学们认真、细致的分析运动过程，依据动点某时刻所处的位置，化动为静，再利用平面几何知识去处理。
c.实际问题主要是考察学生对数学的驾驭能力以及一些常识性问题，比如人数不能为小数，时间不能为负数等等。
考点1. 许多定义，定理，公式是分类的。
例1. 化简a 32a ---。
例2. 求11+--=x x y 的最大值与最小值1．化简：1x 2x --+考点2. 某些运算和推理过程需要分类例3. 已知0≠abc ，且,p bac a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定过 A . 第一第二象限 B 第二第三象限 C 第三第四象限 D 第一第四象限1． 已知实数b ,a 满足0ab ,1b a 22>=+，求22a 1b b 1a -+-的值。
2．求a b c abc++的值。
分类讨论思想的教案
分类讨论思想的教案教案标题：分类讨论思想的教案教学目标：1. 了解分类讨论思想的概念和重要性。
2. 学习如何进行分类讨论，并能运用分类讨论思想解决问题。
3. 培养学生的批判性思维和合作能力。
教学内容：1. 介绍分类讨论思想的定义和背景知识。
2. 分类讨论的步骤和技巧。
3. 示例案例分析和讨论。
教学步骤：引入（5分钟）：1. 引发学生对分类讨论思想的兴趣，可以通过提问或分享一个相关的真实案例。
2. 解释分类讨论思想的定义和重要性，说明它在解决问题和批判性思维中的作用。
知识讲解（10分钟）：1. 介绍分类讨论的步骤：确定主题、收集信息、分类整理、讨论和总结。
2. 解释如何有效地分类整理信息，包括根据相似性、重要性、优先级等进行分类。
3. 提供一些分类讨论的技巧，如提出问题、引用例证、分析对比等。
示例案例分析和讨论（15分钟）：1. 给出一个与学生熟悉的案例，例如环境保护、社会问题等。
2. 引导学生根据分类讨论思想的步骤，对案例进行分类整理。
3. 学生分组讨论各自的分类结果，并就各自的分类进行辩论和交流。
4. 整合各组的讨论结果，总结出最佳的分类方案。
练习和巩固（15分钟）：1. 学生分组进行小组练习，选择一个新的案例，并运用分类讨论思想解决问题。
2. 每个小组向其他小组展示他们的分类方案，并进行讨论和评价。
总结和反思（5分钟）：1. 总结分类讨论思想的重要性和应用。
2. 鼓励学生反思他们在分类讨论过程中的经验和收获。
3. 提供反馈和建议，以便学生进一步提高他们的分类讨论技巧。
教学资源：1. PowerPoint演示文稿或白板。
2. 真实案例材料。
3. 分组讨论活动的工作表。
4. 评价和反馈表格。
教学评估：1. 观察学生在分类讨论过程中的参与程度和合作能力。
2. 评估学生对分类讨论思想的理解程度，可以通过小组练习和展示进行评价。
3. 收集学生的反馈和建议，以改进教学方法和教案设计。
教学扩展：1. 鼓励学生在日常生活中运用分类讨论思想解决问题。
关于分类讨论思想在初中数学教学中的应用 (5)
分类讨论思想在初中数学教学中的应用数学分类讨论是一种常见的思维方法。
所谓分类讨论，就是把一个复杂或不确定的问题按不同情况分类讨论，从而得到简化或明确的。
在初中数学教学中，分类讨论思想的应用可以激发学生的思维，提高他们的分析、归纳、判断和解决问题的能力。
本文将深入探讨分类讨论思想在初中数学教学中的应用，并提出一些具体的教学实践建议。
一、分类讨论思想的基本原理分类讨论思想是指将一个复杂的问题，根据不同情况分类进行研究和讨论的思维方法。
其基本原理是“分而治之”，通过将一个问题分解成若干个相对简单的部分，再从不同角度考虑、分析和讨论，最终得出全面、准确的。
分类讨论的基本方法主要包括以下几个步骤：1. 将问题进行分类，找到不同情况。
2. 对每一种情况进行详细分析和讨论，寻找规律。
3. 综合各种情况的结果，得出最终。
分类讨论思想在数学中的应用非常广泛，例如在解决几何问题、方程式、概率统计等问题中，都可以通过分类讨论的方法得出较为简单明了的。
二、分类讨论思想在初中数学教学中的应用1. 解决数学问题分类讨论思想可以帮助学生更加深入地理解和掌握各种数学概念和定理。
例如，在解决一些复杂的几何问题时，学生可以把问题进行分类，分别研究每一种情况，并通过综合得出。
这样，学生的思维会更加开阔，能力也会得到提升。
2. 强化数学推理能力分类讨论思想在初中数学教学中还可以强化学生的推理能力。
在讨论分类的过程中，学生需要分析各种情况的规律，找到相同点和不同点，然后对每种情况进行比较和推理。
这样，学生的推理能力会得到很好的锻炼，在以后的学习和工作中也会受益匪浅。
3. 激发解决问题的热情分类讨论思想可以激发学生对数学问题的兴趣和热情，促进他们的思维发展。
在课堂上，老师可以通过举一些有趣的例子来引导学生讨论和发现规律，从而培养学生解决问题的兴趣和自信心。
三、分类讨论思想在初中数学教学中的实践建议1. 合理设置问题为了引导学生正确运用分类讨论思想解决问题，老师在教学中应该合理设置问题。
分类讨论思想【讲师版】
解题思想数学“分类讨论思想”学生姓名授课日期教师姓名授课时长分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论。
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。
分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。
有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。
引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。
如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。
这种分类讨论题型可以称为概念型。
②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。
如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。
这种分类讨论题型可以称为性质型。
③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。
如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。
这称为含参型。
另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。
进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。
其中最重要的一条是“不漏不重”。
解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。
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知识点详解
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予
以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解
题策略．
分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的
思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高
分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不
重复、也不遗漏．
分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一
个标准；（3）分类讨论应逐级进行．
一、例题详解
例1．若直线4yxb与两坐标轴围成的三角形的面积是5，则b的值为（ ）
.25 .210 .210 .210ABCD
例2．在同一坐标系中，正比例函数-3yx与反比例函数kyx的图象的交点的个数是（ ）
A．0个或2个 B．l个 C．2个 D．3个
例3．已知点P（2，0），若x轴上的点Q到点P的距离等于2，则点Q的坐标为_________．
例4．已知两圆内切，一个圆的半径是3，圆心距是2，那么另一个圆的半径是________．
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例5．抛物线222yxbx经过点A (1，0)．
⑴ 求b的值；
⑵ 设P为此抛物线的顶点，B（a，0）（a≠1）为抛物线上的一点，Q是坐标平面内
的点．如果以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形，试求线段PQ的长．
例6．已知矩形的长大于宽的2倍，周长为12，从它的一个顶点，作一条射线，将矩形
分成一个三角形和一个梯形，且这条射线与矩形一边所成的角的正切值等于12 ，设
梯形的面积为S，梯形中较短的底的长为x，试写出梯形面积S关于x的函数关系
式，并指出自变量x的取值范围．
二、课堂练习
1．已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个三角形的周长是（ ）
A．16 B．16或 17 C.17 D．17或 18
2．已知11||1,||aaaa则的值为（ ）
.5 .5 .3 .51ABCD或
3．若2222122,ababababab则值为（）
A．2 B．－2 C．2或－2 D．2或－2或0
4．等腰三角形的一个内角为70°，则其顶角为______．
5．要把一张面值为10元的人民币换成零钱，现有足够的面值为2元、1元的人民币，
那么有______种换法．
6.已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为
_______．
7.矩形ABCD，AD=3，AB=2，则以矩形的一边所在直线为轴旋转一周所得到的圆柱的表面
积为_____.
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8．化简2|1|(9)xx.
9．抛物线 2yaxc与y轴交点到原点的距离为3，且过点（1，5）,求这个函数的解析
式．
10．已知关于 x的方程22(23)10xkk.
⑴ 当k为何值时，此方程有实数根；
⑵ 若此方程的两实数根x1，x2满足12||||3xx，求k的值．
三、课堂小结
分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想
方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析
问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、
也不遗漏．
分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一
个标准；（3）分类讨论应逐级进行．
四、家庭作业
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1．若等腰三角形的一个内角为500则其他两个内角为（ ）
A．500 ，80o B．650， 650 C．500 ，650 D．500，800或 650，650
2．若||3,||2,,( )ababab且则
A．5或－1 B．－5或1; C．5或1 D．－5或－1
3．等腰三角形的一边长为3cm，周长是13cm，那么这个等腰三角形的腰长是（ ）
A．5cm B.3cm C．5cm或3cm D．不确定
4．若⊙O的弦 AB所对的圆心角∠AOB=60°，则弦 AB所对的圆周角的度数为（ ）
A．300 B、600 C．1500 D．300或 1500
5．一次函数y=kx+b，当－3≤x≤l时，对应的y值为l≤y≤9， 则b值为（ ）
A．14 B．－6 C．－4或21 D.－6或14
6．已知||3,||2,0,xyxyxy且则_______.
7．已知⊙O的半径为5cm，AB、CD是⊙O的弦，且 AB=8cm，CD=6cm，AB∥CD，则AB
与CD之间的距离为__________.
8．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3 cm两部分，则这个矩形的面积为
__________.
9．已知⊙O1和⊙O2相切于点P，半径分别为1cm和3cm．则⊙O1和⊙O2的圆心距为________.
10 若a、b在互为倒数，b、c互为相反数，m的绝对值为 1，则2()abbcmmm的值是
______.
11 已知 y=kx＋3与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，求其函数解析式．
12.已知：如图3－2－8所示，直线l切⊙O于点C，AD为⊙O的任意一条直径，点B在
直线l上，且∠BAC=∠CAD(A D与AB不在一条直线上)，试判断四边形ABCO为怎样的
特殊四边形？