高中数学人教A版选修2-3练习：1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质(含答案解析)

合集下载

1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质 (3)

（1）
C
m n

C nm n
（2）
C
m n

C m1 n

Cm n 1
（3）当 r n 1 2
时，Cnr Cnr +1 ;
当 r n1 2
时，C
r n
1

C
r n
（4）
C
0 n

C
1 n

C
n n

2n
性质的应用：
1.
(x3

1 x2
)n
(n

N*
)
的展开式中的所有二项式系数之和为
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质
二项式定理: 一般地，对于n N*有
(a b)n C n0a n C n1a n1b C n2a b n2 2

C
r n
a
n
r
b
r

C
n n
b
n
二项展开式中的二项式系数指的是哪些？共
有多少个？下面我们来研究二项式系数有些什么性质.我
从函数角度看，C
r n
可看成是
以r为自变量的函数 f (r) ,其定
义域是：0,1, 2, , n
当n 6时，其图象是右图中
的7个孤立点．
2．二项式系数的性质
（1）对称性
与首末两端“等距离”的两
个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式
C
m n

C
n n
m
得到．
图象的对称轴： r n 2
C0n C1n C2n Cnn 2n

高中数学人教A版选修2-3课件：1-3-2 “杨辉三角”与二项式系数的性质

C��
�� -��
�� (�� ≥m), C�� -1 + C�� = C �� (�� ≥k+1)等,可以更深刻地理解组合数 -1
�� -1
的一些性质.从左到右可以具体地观察每一项的特征,比较二项式系数之间的大小关系,如 n 是偶数,则中间一项的二项式系数最大等.如 0 1 果给左边赋值的话,会出现更有趣的一些结论,如 2n= C�� + C�� + �� 0 2 1 3 ⋯ + C�� , C�� + C�� + ⋯ = C�� + C�� + ⋯. 从这个角度看,二项式定理的由简变繁是为了更好地由繁变简.
栏目导引
第一章典例透析三角函数
题型一题型二题型三
反思“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法,根据题目要求,灵活赋给字母不同值.一般地,要使展开式中项的关系变为系数的关系,令x=0可得常数项,令x=1可得所有项系数之和,令x=-1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差.
(2+10)×9 3 + C12 2
= 274.
栏目导引
第一章典例透析三角函数
题型一题型二题型三
反思解决与杨辉三角有关的问题的一般思路.
栏目导引
第一章典例透析三角函数
题型一题型二题型三
【变式训练1】如图,在由二项式系数所构成的杨辉三角形中,第行中从左至右第14个与第15个数的比为2∶3.
1 C�� 时,二项式的展开式的各项依次是 �� (�� 2 2��

高中数学杨辉三角和二项式系数的性质相关精选题目(附解析)

杨辉三角和二项式系数的性质相关精选题目（附答案）(1)杨辉三角的特点①在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等； ②在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C r n ＋1＝C r －1n ＋C r n .(2)二项式系数的性质 ①对称性：在(a ＋b )n 的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． ②增减性与最大值：当k ＜n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n 是偶数时，中间一项的二项式系数C n2n 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数C n －12n ，C n ＋12n 相等，且同时取得最大值．(3)各二项式系数的和①C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n.②C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1. 一、求二项展开式中系数或二项式系数的最大项1．(1)(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为( )A ．第5项B ．第6项或第7项C ．第6项D ．第7项(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 10的展开式中，系数最大的项为( ) A ．第6项 B ．第3项C ．第3项和第6项D ．第5项和第7项(3)(1－x )13的展开式中系数最小的项为( )A ．第6项B ．第7项C ．第8项D ．第9项解析： (1)T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n ×25＝C 6n ×26⇒n ＝8. 所以(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48(2x )4＝1 120x 4.故选A.(2)展开式中，二项式系数与对应的项的系数的绝对值相等．由于二项式系数的最大项为T 6，且T 6＝C 510x 5⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 5＝－C 510中的二项式系数等于项的系数的相反数，此时T 6的系数最小．而T 5＝C 410x 6⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 4＝C 410x 2， T 7＝C 610x 4⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 6＝C 610x －2，且C 410＝C 610. 所以系数最大的项为第5项和第7项．故选D.(3)展开式中共有14项，中间两项(第7、8项)的二项式系数最大．由于二项展开式中二项式系数和项的系数满足：奇数项相等，偶数项互为相反数．所以系数最小的项为第8项，系数最大的项为第7项．故选C.答案：(1)A (2)D (3)C 注：(1)根据二项式系数的性质，n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大；(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式(组)，解不等式(组)的方法求解．一般地，如果第r ＋1项的系数最大，则与之相邻两项(第r 项，第r ＋2项)的系数均不大于第r ＋1项的系数，由此列不等式组可确定r 的范围，再依据r ∈N *来确定r 的值，即可求出最大项．2．(1－x )2n －1展开式中，二项式系数最大的项是( ) A ．第n －1项 B ．第n 项C ．第n －1项与第n ＋1项D ．第n 项与第n ＋1项解析：选D 由二项式系数的性质得，二项式系数最大为C2n －1－122n －1＝C n －12n －1，C2n －1＋122n －1＝C n2n －1，分别为第n ，n ＋1项． 3.⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 2n 展开式的第6项系数最大，则其常数项为( ) A ．120 B ．252 C ．210 D ．45解析：选C 由题意，C n 2n ＝C 52n ，易知n ＝5，由T r ＋1＝C r 10(x )10－r⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x r ＝C r 10x 30－5r 6，令30－5r ＝0，得r ＝6，故其常数项为C 610＝210.二：展开式的系数和1．若(3x －1)7＝a 7x 7＋a 6x 6＋…＋a 1x ＋a 0，求： (1)a 1＋a 2＋…＋a 7； (2)a 1＋a 3＋a 5＋a 7； (3)a 0＋a 2＋a 4＋a 6； (4)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|. 解析： (1)令x ＝0，则a 0＝－1，令x ＝1，则a 7＋a 6＋…＋a 1＋a 0＝27＝128.① 所以a 1＋a 2＋…＋a 7＝129. (2)令x ＝－1，则－a 7＋a 6－a 5＋a 4－a 3＋a 2－a 1＋a 0＝(－4)7，② 由①－②2得：a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝12[128－(－4)7]＝8 256. (3)由①＋②2得：a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝12[128＋(－4)7]＝－8 128. (4)法一：∵(3x －1)7展开式中a 0，a 2，a 4，a 6均小于零，a 1，a 3，a 5，a 7均大于零，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝a 1＋a 3＋a 5＋a 7－(a 0＋a 2＋a 4＋a 6)＝8 256－(－8 128)＝16 384. 法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7| 即为(1＋3x )7展开式中各项的系数和，所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 7|＝(1＋3)7＝47＝16 384. 注：“赋值法”是解决二项展开式中项的系数常用的方法，根据题目要求，灵活赋给字母不同值．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项系数之和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．2．在(1－3x )12的展开式中．求： (1)各二项式系数之和； (2)奇数项二项式系数和； (3)偶数项二项式系数和．解：(1)各二项式系数和为C 012＋C 112＋C 212＋…＋C 1212＝212＝4 096. (2)奇数项二项式系数和为C 012＋C 212＋C 412＋…＋C 1212＝211＝2 048. (3)偶数项二项式系数和为C 112＋C 312＋C 512＋…＋C 1112＝211＝2 048.三、二项式系数性质的应用1．已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x n .(1)若展开式中第5项，第6项，第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；(2)若展开式中前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．解析：(1)展开式中二项式系数最大的项应是中间项，并要根据n 的奇偶性来确定是中间两项还是一项．(2)系数最大的系数，应满足不小于前一项的系数，也不小于后一项的系数，即设第r ＋1项的系数为A r ＋1，则满足不等式组⎩⎨⎧A r ＋1≥A r ，A r ＋1≥A r ＋2，由不等式组解出r 的值．(1)由题意，得C 4n ＋C 6n ＝2C 5n ，∴n 2－21n ＋98＝0， ∴n ＝7或n ＝14.当n ＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T 4和T 5，T 4的系数为C 37×⎝ ⎛⎭⎪⎫124×23＝352，T 5的系数为C 47×⎝ ⎛⎭⎪⎫123×24＝70. 故展开式中二项式系数最大项的系数分别为352，70. 当n ＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T 8， ∴T 8的系数为C 714×⎝⎛⎭⎪⎫127×27＝3 432. 故展开式中二项式系数最大项的系数为3 432.(2)由题意知C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝79，解得n ＝12或n ＝－13(舍去)．设展开式中第r ＋1项的系数最大，由于⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋2x 12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212·(1＋4x )12，则⎩⎨⎧C r 12·4r ≥C r －112·4r －1，C r 12·4r ≥C r ＋112·4r ＋1，∴9.4≤r ≤10.4. 又r ∈{0,1,2，…，12}，∴r ＝10，∴系数最大的项为T 11，且T 11＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1212·C 1012·(4x )10＝16 896x 10. 注：求展开式中系数的最值的方法：(1)若展开式的系数的绝对值与对应二项式系数相等，可转化为确定二项式系数的最值来解决．(2)若展开式的系数为f (r )＝C r n ·m g (r )的形式，如求(a ＋bx )n (a ，b ∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第r ＋1项系数最大，应用⎩⎨⎧A r ＋1≥A r ＋2，A r ＋1≥A r解出r ，即得系数最大项．(3)若展开式的项数较少或转化为讨论较小项的系数的类型，可采用逐个作差(作商)比较确定．2．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中，只有第6项的二项式系数最大．(1)求该展开式中所有有理项的项数；(2)求该展开式中系数最大的项．解：(1)由题意，可知n2＋1＝6，∴n ＝10. ∴T r ＋1＝C r 10x10－r 22r x －2r ＝C r 102rx 10－5r 2，当r ＝0,2,4,6,8,10时，10－5r2∈Z ，∴展开式中所有有理项的项数为6. (2)设第T r ＋1项的系数最大，则⎩⎨⎧C r 102r ≥C r －1102r －1，C r 102r ≥C r ＋1102r ＋1，即⎩⎪⎨⎪⎧2r ≥111－r ，110－r ≥2r ＋1.解得193≤r ≤223. ∵r ∈N ，∴r ＝7.∴展开式中系数最大的项为T 8＝C 71027x －252＝15 360x －252.巩固练习：（基础题）题组1 求二项展开式中系数或二项式系数的最大项 1.⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 11的展开式中二项式系数最大的项是( ) A ．第3项 B ．第6项 C ．第6、7项 D ．第5、7项解析：选C ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 11的展开式中第11＋12项和11＋12＋1项，即第6、7项的二项式系数相等，且最大．2．在(1＋x )n (n ∈N *)的展开式中，若只有x 5的系数最大，则n 的值为( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11解析：选C 由题意，展开式共有11项，所以n ＝10. 3．在(1－x )201的展开式中，系数的最大值是( )A．C99201B．C100201C．C101201D．C102201＝C r201(－x)r＝(－1)r C r201解析：选B在(1－x)201的展开式中，第r＋1项为T r＋1x r，所以系数的最大值是C100201，选B.4．下列关于(a＋b)10的说法：①展开式中的各二项式系数之和为1 024；②展开式中第6项的二项式系数最大；③展开式中第5项与第7项的二项式系数最大；④展开式中第6项的系数最小．其中正确说法的个数为________．解析：根据二项式系数的性质，知(a＋b)10的展开式中的各二项式系数之和为210＝1 024，故说法①正确；(a＋b)10的展开式中，二项式系数最大的项是中间一项，即第6项的二项式系数最大，故说法②正确，说法③错误；易知展开式中各项的系数等于二项式系数，故第6项的系数最大，故说法④错误．答案：2题组2展开式的系数和5．(1＋x)n(3－x)的展开式中各项系数的和为1 024，则n的值为()A．8 B．9C．10 D．11解析：选B由题意知(1＋1)n(3－1)＝1 024，即2n＋1＝1 024，所以n＝9.故选B.6．(C14x＋C24x2＋C34x3＋C44x4)2的展开式中所有项的系数和为()A．64 B．224C．225 D．256解析：选C令x＝1，原式＝(C14＋C24＋C34＋C44)2＝(24－1)2＝225，故选C.7．已知(3－x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，若其第2项的二项式系数与第4项的二项式系数相等，则a0－a1＋a2＋…＋(－1)n a n＝()A．32 B．64C．128 D．256解析：选D由题意可得C1n＝C3n，∴n＝4.令x＝－1，则(3－x)n＝(3＋1)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4＝256.∴a0－a1＋a2＋…＋(－1)n a n＝256.8．设(2－3x )100＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 100x 100，求下列各式的值： (1)a 0；(2)a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a 100； (3)a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99；(4)(a 0＋a 2＋…＋a 100)2－(a 1＋a 3＋…＋a 99)2； (5)|a 0|＋|a 1|＋…＋|a 100|. 解：(1)令x ＝0，可得a 0＝2100. (2)令x ＝1，可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100，(*) 所以a 1＋a 2＋…＋a 100＝(2－3)100－2100， (3)令x ＝－1.可得a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100. 与(*)式联立相减得a 1＋a 3＋…＋a 99＝(2－3)100－(2＋3)1002.(4)原式＝[(a 0＋a 2＋…＋a 100)＋(a 1＋a 3＋…＋a 99)]·[(a 0＋a 2＋…＋a 100)－(a 1＋a 3＋…＋a 99)]＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 100)·(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 98－a 99＋a 100)＝[(2－3)(2＋3)]100＝1100＝1.(5)∵T r ＋1＝(－1)r C r 1002100－r (3)r x r ， ∴a 2r －1＜0(r ∈N *)．∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 100|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 100＝(2＋3)100. 题组3 二项式系数性质的应用9．已知(1＋x )10＝a 1＋a 2x ＋a 3x 2＋…＋a 11x 10，若数列a 1，a 2，a 3，…，a k (1≤k ≤11，k ∈N *)是一个单调递增数列，则k 的最大值是( )A ．6B ．7C ．8D ．5解析：选A 由二项式定理，知a k ＝C k －110(k ＝1,2,3，…，11)．又(1＋x )10的展开式中二项式系数最大的项是第6项，所以k 的最大值为6.10．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n 的展开式的各项系数之和等于⎝ ⎛⎭⎪⎫43b －15b 5的展开式中的常数项，求：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n展开式的二项式系数和； (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n展开式中a －1项的二项式系数．解：依题意，令a ＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3a－3a n展开式中各项系数和为(3－1)n ＝2n ，⎝ ⎛⎭⎪⎫43b －15b 5展开式中的通项为T r ＋1＝C r 5(43b )5－r ⎝ ⎛⎭⎪⎫－15b r ＝(－1)r C r 545－r ·5－r 2b 10－5r6.若T r ＋1为常数项，则10－5r6＝0，即r ＝2，故常数项为T 3＝(－1)2C 25·43·5－1＝27，于是有2n ＝27，得n ＝7.(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a n展开式的二项式系数和为2n ＝27＝128. (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫3a －3a 7的通项为T r ＋1＝C r 7⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 7－r ·(－3a )r ＝C r 7(－1)r ·37－r ·a 5r －216，令5r －216＝－1，得r ＝3，∴所求a －1项的二项式系数为C 37＝35.巩固练习（提升题)1．已知(x －1)n 的展开式中奇数项的二项式系数之和是64，则它的展开式的中间项为( )A ．－35x 4B ．35x 3C ．－35x 4和35x 3D ．－35x 3和35x 4解析：选C 由已知，可得2n －1＝64，解得n ＝7，(x －1)7的展开式中共有8项．中间项为第4项与第5项，T 4＝C 37x 4(－1)3＝－35x 4，T 5＝C 47x 3(－1)4＝35x 3，故选C.2．已知(1＋2x )2n 的展开式中奇次项系数之和等于364，那么展开式中二项式系数最大的项是( )A ．第3项B ．第4项C ．第5项D ．第6项解析：选B 设(1＋2x )2n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a 2n －1x 2n －1＋a 2n x 2n ，则展开式中奇次项系数之和就是a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1.分别令x ＝1，x ＝－1，得⎩⎨⎧a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n －1＋a 2n ＝32n ，a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2n －1＋a 2n ＝1，两式相减，得a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1＝32n －12.由已知，得32n －12＝364，∴32n ＝729＝36，即n ＝3.(1＋2x )2n ＝(1＋2x )6的展开式共有7项，中间一项的二项式系数最大，即第4项的二项式系数最大，选B.3．已知(a －x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，若a 2＝80，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝( )A ．32B ．1C ．－243D ．1或－243解析：选B (a －x )5展开式的通项为T k ＋1＝(－1)k ·C k 5a 5－k x k ，令k ＝2，得a 2＝(－1)2C 25a 3＝80，解得a ＝2，即(2－x )5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 5x 5，令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1.4．若(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝________.解析：令x ＝1，得：a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝(2－1)10，令x ＝－1得：a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10＝(2＋1)10，故(a 0＋a 2＋…＋a 10)2－(a 1＋a 3＋…＋a 9)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 10)＝(2－1)10()2＋110＝1.答案：15．如图，在由二项式系数构成的“杨辉三角”中，第________行中从左至右数第14个数与第15个数的比为2∶3.解析：由已知，得C n C 14n＝23，化简得14n －13＝23，解得n ＝34. 答案：346．将⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 2n (n ≥2，n ∈N *)的展开式中x －4的系数记为a n ，求1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 017的值．解：⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1x 2n 的展开式的通项为T r ＋1＝C r n ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2r ＝(－1)r C r n x －2r ，由题意可知r ＝2，此时a n ＝C 2n ＝n (n －1)2，所以1a n ＝2n (n －1)＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ，所以1a 2＋1a 3＋…＋1a 2 017＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 016－12 017 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 017＝4 0322 017. 7．已知(3x 2＋3x 2)n 展开式中各项系数和比二项式系数和大992.(1)求展开式中二项式系数最大的项；(2)求展开式中系数最大的项．解：令x ＝1得展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝4n .又展开式中二项式系数和为C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n ＝2n ，由题意有4n －2n ＝992.即(2n )2－2n －992＝0，(2n －32)(2n ＋31)＝0.所以2n ＝－31(舍去)或2n ＝32.所以n ＝5.(1)因为n ＝5，所以展开式共6项，其中二项式系数最大项为第三、四两项，它们是T 3＝C 25(3x 2)3·(3x 2)2＝90x 6. T 4＝C 35(3x 2)2(3x 2)3＝270x 223. (2)设展开式中第r ＋1项的系数最大，又T r ＋1＝C r 5(3x 2)5－r ·(3x 2)r ＝C r 53r x 10＋4r 3，得⎩⎨⎧ C r 5·3r ≥C r －15·3r －1C r 5·3r ≥C r ＋15·3r ＋1⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 3r ≥16－r 15－r ≥3r ＋1⇒72≤r ≤92.又因为r ∈N *，所以r ＝4，所以展开式中第5项系数最大．T 5＝C 4534x 263＝405x 263.。

1.3.2杨辉三角(上课用)

这(a就+b是)3…组…合…数…的1性质3
23:
C
1m
n1
C
m n
C m1 n
(3)各(a二+b项)4式…系…数…的1和.4 6 4 1
(aC+n0b)5…C…n1 1
C5n2
L10
1C0
r n
5 L
1
C
n n
2n
T (a+b)6…1 6 15 20 15 6 1
(4)增减性与最大值.
即 n1 2
从第一项起至中间项,二项式系数逐渐增大,随后又逐渐减小.
变式训练:如下图,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第 ________行中从左到右第14与第15个数的比为2：3.
解析 :由“杨辉三角”与二项式系数之间的关系可得 :
Cn13 Cn14
2, 3
即 n! 14!(n 14)! 2 ,
13!(n 13)!
n!
3
即 14 2 n 13 3
解得 : n 34.
解 : 设2x 3y9 a0x9 a1x8y a2x7y2 a9y9. 2令x y 1得各项系数之和为a0 a1 a2 a9 21 319 1.
解 : 3由2知, a0 a1 a2 a9 1
令x 1, y 1得 :
a0 a1 a2 a8 a9 59二式相减得
s
5s
16r2 s 2
由题意知 16r2 s
2
6
r 2s 4 (r 0L 6, s 0L 5)
r 0 r 2 r 4 解得 s 2 s 1 s 0
所以 x6 的系数为:
C52C60 (1)2 23 C51C62 (1)24 C50C64 (1)0 25

人教新课标版数学高二-选修2-3练习 1.3.2“杨辉三角与二项式系数性质

第一章 1.3 1.3.2一、选择题(每小题5分，共20分)1．(x －1)11展开式中x 的偶次项系数之和是( )A ．－2 048B ．－1 023C ．－1 024D ．1 024解析： (x －1)11＝C 011x 11＋C 111x 10(－1)＋C 211x 9·(－1)2＋…＋(－1)11，偶次项系数为负数，其和为－210＝－1 024.答案： C2．C 133＋C 233＋C 333＋…＋C 3333除以9所得的余数是( )A ．2B ．6C ．7D ．3解析： C 133＋C 233＋…＋C 3333＝233－1＝(23)11－1＝811－1 ＝(9－1)11－1＝C 011·911－C 111·910＋C 211·99－…＋C 1011·9－1－1＝C 011·911－C 111·910＋C 211·99－…＋C 1011·9－2.可见，上式被9除，余－2，即余7，故余数为7.答案： C3．(2014·驻马店市高二第二学期期末卷)已知⎝⎛⎭⎫1x －x n 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则展开式中的常数项等于( )A ．15B ．－15C ．20D ．－20解析：由题意知n ＝6，T r ＋1＝C r 6⎝⎛⎭⎫1x 6－r ·(－x )r ＝(－1)r C r 6x 32r －6，由32r －6＝0得r ＝4，故T 5＝(－1)4C 46＝15，故选A.答案： A4．(2014·河南大学附中高二下学期期末考试)已知关于x 的二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x n 展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a 的值为( )A ．2B ．±1C ．1D ．±2解析： ∵二项式系数和为2n ＝32，∴n ＝5，∴通项公式为T r ＋1＝C r 5·(x )5－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3x r ＝C r 5·a r ·x 15－5r 6. ∵常数项为80.∴r ＝3时，C 35·a 3＝80， ∴a ＝2，故选A.答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．(1＋x )n 展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________．解析：因为8<C 0n ＋C 1n ＋…＋C n n <32，即8<2n <32，且n ∈N *，所以n ＝4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T 3＝C 24(x )2＝6x .答案： 6x6．将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图所示的0－1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第________行；第61行中1的个数是________．解析：观察可得第1行，第3行，第7行，第15行，全行都为1，故第n 次全行的数都为1的是第2n －1行；∵n ＝6⇒26－1＝63，故第63行共有64个1，逆推知第62行共有32个1，第61行共有32个1.答案： 2n －1 32三、解答题(每小题10分，共20分)7．已知(1－2x )7＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a 7(x －1)7.求：(1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7；(2)a 0＋a 2＋a 4＋a 6.解析： (1)令x ＝2，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 7＝(1－4)7＝－37＝－2 187.①(2)令x ＝0，则a 0－a 1＋a 2－…＋a 6－a 7＝1. ② ①＋②2得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－37＋12＝－1 093. 8．(1＋2x )n 的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．解析： T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n 25＝C 6n 26，解得n ＝8.∴(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48·(2x )4＝1 120x 4. 设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 8·2r ≥C r －18·2r －1C r 8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1⇒5≤r ≤6. ∵r ∈{0,1,2，…，8}，∴r ＝5或r ＝6.∴系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6.(10分)在(x －y )11的展开式中，解答下列问题：(1)通项T r ＋1；(2)二项式系数最大的项；(3)项的系数绝对值最大的项；(4)项的系数最大的项；(5)项的系数最小的项；(6)二项式系数的和；(7)各项系数的和．解析： (1)T r ＋1＝(－1)r C r 11x11－r y r ；(2)二项式系数最大的项为中间两项：T6＝－C511x6y5，T7＝C611x5y6；(3)项的系数绝对值最大的项也是中间两项：T6＝－C511x6y5，T7＝C611x5y6；(4)因为中间两项系数的绝对值相等，一正一负，第7项为正，故项的系数最大的项为T7＝C611x5y6；(5)项的系数最小的项为T6＝－C511x6y5；(6)二项式系数的和为C011＋C111＋C211＋…＋C1111＝211；(7)各项系数和为(1－1)11＝0.。

最新整理高中数学人教A版选修2-3课前导引：1.3.3“杨辉三角”与二项式系数的性质 Word版含解析.doc

1.3.3 “杨辉三角”与二项式系数的性质课前导引问题导入问题：某城市的街道纵横织成方格网（如图），行人只能在街道上行走，方向规定朝东或朝南前行，某同学欲从A 处前往B 处，试问有多少种走法？思路分析：将图中的最小正方形的每一边看作一个小段，显然学生从A 到B 无论怎么走都必须走完8个小段，其中向东走过4个小段，向南走过4个小段，至于是先向东还是先向南，抑或忽东忽南，但凭兴之所致.于是问题转化为“从8个不同元素（8个小段）中选出4个（向东的4段）不同元素的组合有多少个？”故知有走法C 48=70种.如果把从A 处出发到方格网的每一个结点处的走法标在图上，并将方格网绕A 点按顺时针方向旋转45°，观察新的网格图，你从中发现了什么？如果把方格网数进一步扩大，你能得到从A 到B 的走法吗？知识预览1.对称性.源于组合数的性质“m n C =m n nC -”.从“0n C =nn C =1”开始，然后左右向中间靠拢，便有1n C =1-n n C , 2n C =2-n n C ,… 2.增值性与最大值.当n 为偶数时，(a+b)n 的展开式有n+1项，n+1是奇数，这时展开式的形式是↑x 前2n 项第2n +1项后2n 项中间一项是第2n +1项，它的二项式系数是2n n C ,它是所有的二项式系数中的最大者. 当n 为奇数时，（a+b ）n 的展开式共有n+1项，n+1是偶数，这时展开式的形式是↑x 前121++n 项第21+n 项↑x 第21+n +1项前21-n 项中间两项是第21+n 、21+n +1项，它们的二项式系数是21-n n C 、21+n n C ,这两个系数相等，并且是所有二项式系数中的最大者.3.在(a+b)n 展开式中令a=b=1得0n C +1n C +…+n n C =2n ;令a=1,b=-1得0n C -1n C +2n C -3n C +…=0,∴0n C +2n C +4n C +…=1n C +3n C +5n C +…=2n-1这种由一般到特殊的方法是“赋值法”.4.杨辉三角中蕴含的规律：r n n r n r n r n r n C C C C C --+=+=,11等.。

高中数学选修2-3教学案：1.3.2杨辉三角含解析

1．3.2 杨辉三角(a ＋b )n 的展开式的二次项系数，当n 取正整数时可以表示成如下形式：问题1：从上面的表示形式可以直观地看出什么规律？提示：在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等；在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和．问题2：计算每一行的系数和，你又能看出什么规律？提示：2,4,8,16,32,64，…，其系数和为2n . 问题3：二项式系数的最大值有何规律？提示：n ＝2,4,6时，中间一项最大，n ＝3,5时中间两项最大．二项式系数的性质(1)每一行的两端都是1，其余每个数都等于它“肩上”两个数的和．即C 0n ＝C nn ＝1，C m n ＋1＝C m －1n ＋C m n .(2)每一行中，与首末两端“等距离”的两个数相等，即C m n ＝C n－mn.(3)如果二项式的幂指数n 是偶数，那么其展开式中间一项T 12n＋的二项式系数最大；如果n 是奇数，那么其展开式中间两项T n 12＋与T 112n ＋＋的二项式系数相等且最大．(4)二项展开式的各二项式系数的和等于2n .即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n .且C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.由“杨辉三角”可直观地看出二项式系数的性质，同时当二项式乘方次数不大时，可借助于它直接写出各项的二项式系数．[对应学生用书P16][例1] 如图，在“杨辉三角”中，斜线AB 的上方，从1开始箭头所示的数组成一个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n 项和为S n ，求S 19的值．[思路点拨] 由图知，数列中的首项是C 22，第2项是C 12，第3项是C 23，第4项是C 13，…，第17项是C 210，第18项是C 110，第19项是C 211.[精解详析] S 19＝(C 22＋C 12)＋(C 23＋C 13)＋(C 24＋C 14)＋…＋(C 210＋C 110)＋C 211＝(C 12＋C 13＋C 14＋…＋C 110)＋(C 22＋C 23＋…＋C 210＋C 211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C 312＝(2＋10)×92＋220＝274. [一点通]解决与杨辉三角有关的问题的一般思路：(1)观察：对题目要横看、竖看、隔行看、连续看，多角度观察； (2)找规律：通过观察，找出每一行的数之间、行与行之间的数据的规律．1.如图是一个类似杨辉三角的图形，则第n 行的首尾两个数均为________．解析：由1,3,5,7,9，…可知它们成等差数列，所以a n ＝2n －1. 答案：2n －12．如图，由二项式系数构成的杨辉三角中，第________行从左到右第14个数与第15个数之比为2∶3.解析：设第n 行从左至右第14与第15个数之比为2∶3，则3C 13n ＝2C 14n ，即3n ！13！(n －13)！＝2n ！14！(n －14)！. 解得n ＝34. 答案：34[例2] 设(1012 2 014·(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 014的值． (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 013的值． (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 014|的值．[思路点拨] 先观察所要求的式子与展开式各项的特点，用赋值法求解． [精解详析] (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 014＝(－1)2 014＝1.①(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…＋a 2 014＝32 014.② ①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 013)＝1－32 014， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 013＝1－32 0142.(3)∵T r ＋1＝C r 2 014(－2x )r ＝(－1)r·C r 2 014·(2x )r ， ∴a 2k －1<0(k ∈N ＋)，a 2k >0(k ∈N )． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 014| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 2 014 ＝32 014. [一点通]赋值法是解决二项展开式中项的系数问题的常用方法．根据题目要求，灵活赋给字母不同值是解题的关键．一般地，要使展开式中项的关系变为系数的关系，令x ＝0可得常数项，令x ＝1可得所有项的和，令x ＝－1可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差．3．(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式中各项系数的和为( ) A ．2n ＋1B ．2n －1C ．2n ＋1－1D ．2n ＋1－2解析：令x ＝1，则2＋22＋…＋2n ＝2n ＋1－2. 答案：D4．已知(1＋2x －x 2)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 13x 13＋a 14x 14. (1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14； (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13. 解：(1)令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 14＝27＝128.① (2)令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 13＋a 14＝(－2)7＝－128.② ①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 13)＝256， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 13＝128.[例3] (10分)已知x x 233⎛⎫ ⎪⎝⎭＋n 的展开式中，各项系数和与它的二项式系数和的比为32.(1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．[思路点拨] 根据已知条件求出n ，再根据n 为奇数或偶数确定二项式系数最大的项和系数最大的项．[精解详析] 令x ＝1，则展开式中各项系数和为(1＋3)n ＝22n . 又展开式中二项式系数和为2n ， ∴22n2n ＝2n ＝32，n ＝5. (1)∵n ＝5，展开式共6项，∴二项式系数最大的项为第三、四两项，∴T 3＝C 25(x 23)3(3x 2)2＝90x 6， T 4＝C 35(x 23)2(3x 2)3＝270x 223.(2)设展开式中第k ＋1项的系数最大，则由T k ＋1＝C k 5(x 23)5－k (3x 2)k ＝3k C k5x k 1043＋，得⎩⎪⎨⎪⎧3k C k 5≥3k －1C k －15，3k C k 5≥3k ＋1C k ＋15，，∴72≤k ≤92，∴k ＝4，即展开式中系数最大的项为T 5＝C 45(x 23)(3x 2)4＝405x263.[一点通]1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．求展开式中系数最大项与二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组、解不等式的方法求得．5．若⎝⎛⎭⎫x 3＋1x 2n 的展开式中第6项系数最大，则不含x 的项是( ) A ．210 B ．120 C ．461D ．416解析：由题意知展开式中第6项二项式系数最大， n2＋1＝6，∴n ＝10， T r ＋1＝C r 10x 3(10－r )⎝⎛⎭⎫1x 2r ＝C r 10x 30－5r. ∴30－5r ＝0.∴r ＝6. 常数项为C 610＝210. 答案：A6．已知(1＋3x )n 的展开式中，末三项的二项式系数的和等于121，求展开式中二项式系数最大的项．解：由题意知C n n ＋C n －1n ＋C n －2n ＝121，即C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＝121，∴1＋n ＋n (n －1)2＝121，即n 2＋n －240＝0，解得n ＝15或－16(舍)．∴在(1＋3x )15的展开式中二项式系数最大的项是第八、九两项，且T 8＝C 715(3x )7＝C 71537x 7， T 9＝C 815(3x )8＝C 81538x 8.二项式系数的有关性质的形成过程体现了观察——归纳——猜想——证明的数学方法，并且在归纳证明的过程中应用了函数、方程等数学思想．大致对应如下：[对应课时跟踪训练(八)]1．已知(2－x )10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 10x 10，则a 8等于( ) A ．180 B ．－180 C ．45D ．－45解析：a 8＝C 810·22＝180. 答案：A2．在(a －b )20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是( ) A ．第15项 B ．第16项 C ．第17项D ．第18项解析：第6项的二项式系数为C 520，又C 1520＝C 520，所以第16项符合条件．答案：B3．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 3n ＋C 5n 的值等于( )A ．64B ．32C ．63D ．31解析：C 0n ＋2C 1n ＋…＋2n C 2n ＝(1＋2)n ＝3n ＝729， ∴n ＝6，∴C 16＋C 36＋C 56＝32.答案：B4．已知关于x 的二项式⎝⎛⎭⎪⎫x ＋a 3x n 展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为( )A ．1B ．＋1C ．2D ．±2解析：由题意知2n ＝32，n ＝5， T r ＋1＝C r 5(x )5－r a r·xr13－＝C r 5a r x5526－r ，令52－56r ＝0，得r ＝3， ∴a 3C 35＝80，解得a ＝2.答案：C5．在(1＋2x )7的展开式中，C 27是第________项的二项式系数，第3项的系数是________．解析：由二项式系数的定义知C k n 为第k ＋1项的系数，∴C 27为第3项的二项式系数． ∵T 2＋1＝C 27·(2x )2＝22·C 27x 2，∴第3项的系数为22·C 27＝84. 答案：3 846．若(x ＋2)5的展开式第二项的值大于1 000，则实数x 的取值范围为________．解析：∵T 2＝C 15·(x )4·21＝10x 2>1 000，且x ≥0， ∴x >10.答案：(10，＋∞)7．已知⎝⎛⎭⎫x －2x 2n (n ∈N ＋)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10∶1，求展开式中含x 32的项．解：由题意知第五项的系数为C 4n ·(－2)4，第三项的系数为C 2n ·(－2)2，则C 4n ·(－2)4C 2n·(－2)2＝101，解得n ＝8(n ＝－3舍去)．所以通项为 T r ＋1＝C r 8(x )8－r·⎝⎛⎭⎫－2x 2r ＝C r8(－2)r ·x r 852－.令8－5r 2＝32，得r ＝1. ∴展开式中含x 32的项为T 2＝－16x 32.8．已知(2x －3y )9＝a 0x 9＋a 1x 8y ＋a 2x 7y 2＋…＋a 9y 9，求： (1)各项系数之和； (2)所有奇数项系数之和；(3)系数绝对值的和；(4)分别求出奇数项的二项式系数之和与偶数项的二项式系数之和．解：(1)令x ＝1，y ＝1，得 a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝(2－3)9＝－1. (2)由(1)知，a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 9＝－1.令x ＝1，y ＝－1，可得a 0－a 1＋a 2－…－a 9＝59. 将两式相加，可得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝59－12.(3)法一：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9，令x ＝1，y ＝－1，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 9＝59.法二：|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|即为(2x ＋3y )9的展开式中各项的系数和，令x ＝1，y ＝1，得|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 9|＝59. (4)奇数项的二项式系数之和为C 09＋C 29＋…＋C 89＝28.偶数项的二项式系数之和为C 19＋C 39＋…＋C 99＝28.。

高中数学第1章计数原理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质学案新人教A版选修2_3

1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质1．杨辉三角的特点(1)在同一行中，每行两端都是1，与这两个1等距离的项的系数相等．(2)在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即C r n ＋1＝C r －1n ＋C rn .2．二项式系数的性质(1)对称性：在(a ＋b )n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C 0n ＝C n n ，C 1n ＝C n －1n ，…，C r n ＝C n －rn .(2)增减性与最大值：当k ＜n ＋12时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值．当n是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n 是奇数时，中间两项的二项式系数与相等，且同时取得最大值．3．各二项式系数的和 (1)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n； (2)C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2n －1.1．(1－2x )15的展开式中的各项系数和是( ) A ．1 B ．－1 C ．215D ．315B [令x ＝1即得各项系数和，∴各项系数和为－1.]2．在(a ＋b )10二项展开式中与第3项二项式系数相同的项是( ) A ．第8项 B ．第7项 C ．第9项D ．第10项C[由二项式展开式的性质与首末等距离的两项的二项式系数相等．]3．在(a＋b)8的展开式中，二项式系数最大的项为________，在(a＋b)9的展开式中，二项式系数最大的项为________．70a4b4126a5b4与126a4b5[因为(a＋b)8的展开式中有9项，所以中间一项的二项式系数最大，该项为C48a4b4＝70a4b4.因为(a＋b)9的展开式中有10项，所以中间两项的二项式系数最大，这两项分别为C49a5b4＝126a5b4，C59a4b5＝126a4b5.]个锯齿形数列：1,2,3,3,6,4,10,5，….记其前n项和为S n，求S19的值．[思路点拨] 由图知，数列中的首项是C22，第2项是C12，第3项是C23，第4项是C13，…，第17项是C210，第18项是C110，第19项是C211.[解] S19＝(C22＋C12)＋(C23＋C13)＋(C24＋C14)＋…＋(C210＋C110)＋C211＝(C12＋C13＋C14＋…＋C110)＋(C22＋C23＋…＋C210＋C211)＝(2＋3＋4＋…＋10)＋C312＝(2＋10)×92＋220＝274.解决与“杨辉三角”有关的问题的一般方法1．将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15……按照以上排列的规律，第n行(n≥3)从左向右的第3个数为________．n2－n＋62[前n－1行共有正整数[1＋2＋…＋(n－1)]个，即n2－n2个，因此第n行第3个数是全体正整数中第⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2－n 2＋3个，即为n 2－n ＋62.]【例2】 012 2 018(1)求a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 018的值； (2)求a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017的值； (3)求|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 018|的值．[思路点拨] 先观察所求式子与展开式各项的特点，利用赋值法求解． [解] (1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 018＝(－1)2 018＝1. ①(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2 017＋a 2 018＝32 018. ②①－②得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 017)＝1－32 018， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 017＝1－32 0182.(3)∵T r ＋1＝C r2 018(－2x )r＝(－1)r·C r2 018·(2x )r， ∴a 2k －1＜0(k ∈N *)，a 2k ＞0(k ∈N )． ∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 2 018| ＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－a 2 017＋a 2 018＝32 018.在本例条件不变的情况下，求下列各式的值． (1)a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 018； (2)a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋2 018a 2 018.[解] (1)由⎩⎪⎨⎪⎧a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 018＝1，a 0－a 1＋a 2－…＋a 2 018＝32 018，得2(a 0＋a 2＋…＋a 2 018)＝32 018＋1，∴a 0＋a 2＋…＋a 2 018＝32 018＋12，又令x ＝0得a 0＝1， ∴a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2 018＝32 018－12. (2)∵(1－2x )2018＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 018x 2 018(x ∈R )，∴两边分别求导得－4 036(1－2x )2 017＝a 1＋2a 2x ＋…＋2 018a 2 018x2 017(x ∈R )，令x ＝1得，4 036＝a 1＋2a 2＋…＋2 018a 2 018.二项展开式中系数和的求法1．对形如(ax ＋b )n ，(ax 2＋bx ＋c )m (a ，b ，c ∈R ，m ，n ∈N *)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x ＝1即可；对(ax ＋by )n (a ，b ∈R ，n ∈N *)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x ＝y ＝1即可．2．一般地，若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n，则f (x )展开式中各项系数之和为f (1)，奇数项系数之和为a 0＋a 2＋a 4＋…＝f (1)＋f (－1)2，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…＝f (1)－f (－1)2.2．已知(2x －3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，求： (1)a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4； (2)(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2.[解] (1)由(2x －3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，令x ＝1得(2－3)4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4，所以a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1.(2)在(2x －3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4中，令x ＝1得(2－3)4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4， ① 令x ＝－1得(－2－3)4＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4. ② 所以(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4) ＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.[探究问题1．计算C knC k －1n ，并说明二项式系数的单调性．[提示] C kn C k －1n ＝n －k ＋1k.当k <n ＋12时，C knC k －1n >1，说明二项式系数逐渐增大；同理，当k >n ＋12时，二项式系数逐渐减小．2．如何求(a ＋bx )n(a ，b ∈R )的展开式中系数最大的项？[提示] 求(a ＋bx )n(a ，b ∈R )的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式各项系数分别为A 1，A 2，…，A n ＋1，且第r ＋1项系数最大，应用⎩⎪⎨⎪⎧A r ＋1≥A r ＋2，A r ＋1≥A r 解出r ，即得系数的最大项．【例3】已知f (x )＝(3x 2＋3x 2)n展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项．[思路点拨] 求二项式系数最大的项，利用性质知展开式中中间项(或中间两项)是二项式系数最大的项；求展开式中系数最大的项，必须将x ，y 的系数均考虑进去，包括“＋”“－”号．[解] 令x ＝1，则二项式各项系数的和为f (1)＝(1＋3)n ＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为2n .由题意知，4n －2n＝992.∴(2n )2－2n －992＝0，∴(2n ＋31)(2n－32)＝0， ∴2n ＝－31(舍去)或2n＝32，∴n ＝5.(1)由于n ＝5为奇数，∴展开式中二项式系数最大的项为中间两项，它们分别是T 3＝C 25()3(3x 2)2＝90x 6，T 4＝C 35()2(3x 2)3＝270.(2)展开式的通项公式为T r ＋1＝C r 53r ·(5＋2r )．假设T r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r 53r≥C r －15·3r －1，C r 53r ≥C r ＋15·3r ＋1，∴⎩⎪⎨⎪⎧5！(5－r )！r ！×3≥5！(6－r )！(r －1)！，5！(5－r )！r ！≥5！(4－r )！(r ＋1)！×3，∴⎩⎪⎨⎪⎧3r ≥16－r ，15－r ≥3r ＋1.∴72≤r ≤92，∵r ∈N ，∴r ＝4. ∴展开式中系数最大的项为T 5＝C 45 (3x 2)4＝405.1．求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，当n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；当n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．2．求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式组，解不等式的方法求得．3．(1＋2x )n的展开式中第6项和第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．[解] T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n 25＝C 6n ·26⇒n ＝8，∴(1＋2x )8的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48·(2x )4＝1 120x 4.设第r ＋1项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C r8·2r≥C r －18·2r －1C r8·2r ≥C r ＋18·2r ＋1⇒5≤r ≤6.∵r ∈{0,1,2，…，8}， ∴r ＝5或r ＝6.∴系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6.1．赋值法是求展开式系数和的常用方法，一般对字母赋的值为0,1或－1. 2．释疑二项展开式中系数最大的项(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时，中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况进行判断．一般采用列不等式、解不等式的方法求解．(3)系数最大的项不一定是二项式系数最大的项，只有当二项式系数与各项系数相等时，二者才一致.1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)杨辉三角的每一斜行数字的差成一个等差数列．( ) (2)二项展开式的二项式系数和为C 1n ＋C 2n ＋…＋C nn .( ) (3)二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同．( ) [答案] (1)√ (2)× (3)×2．已知(a ＋b )n展开式中只有第5项的二项式系数最大，则n 等于( ) A ．11B ．10C．9 D．8D[第5项的二项式系数最大，故展开式为9项，∴n＝8.]3．若(x＋3y)n的展开式中各项系数的和等于(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和，则n 的值为________．5 [(7a＋b)10的展开式中二项式系数的和为C010＋C110＋…＋C1010＝210，令(x＋3y)n中x＝y＝1，则由题设知，4n＝210，即22n＝210，解得n＝5.]4．已知(a－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，若a2＝80，求a0＋a1＋a2＋…＋a5的值．[解] (a－x)5展开式的通项为T k＋1＝(－1)k C k5a5－k x k，令k＝2，得a2＝(－1)2C25a3＝80，解得a＝2，即(2－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.所以a0＋a1＋a2＋…＋a5＝1.。

人教A版高中数学选修2-3同步检测第1章1.3-1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质

第一章计数原理 1.3 二项式定理1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质A 级基础巩固一、选择题1．(1＋x )2n ＋1(n ∈N *)的展开式中，二项式系数最大的项所在的项数是( )A ．n ，n ＋1B ．n －1，nC ．n ＋1，n ＋2D ．n ＋2，n ＋3解析：因为2n ＋1为奇数，所以展开式中间两项的二项式系数最大，中间两项的项数是n ＋1，n ＋2.答案：C2．设(x 2＋1)(2x ＋1)9＝a 0＋a 1(x ＋2)＋a 2(x ＋2)2＋…＋a 11(x ＋2)11，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11的值为( )A ．－2B ．－1C ．1D ．2解析：令等式中x ＝－1可得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 11＝(1＋1)×(－1)9＝－2，故选A.答案：A3．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x n的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含x 项的系数是( )A ．5B ．20C ．10D ．40解析：根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，则有2n ＝32，可得n ＝5，T r ＋1＝C r 5x 2(5－r )·x －r ＝C r 5x10－3r，令10－3r ＝1，解得r ＝3，所以展开式中含x 项的系数是C 35＝10，故选C.答案：C4．已知C 0n ＋2C 1n ＋22C 2n ＋…＋2n C n n ＝729，则C 1n ＋C 3n ＋C 5n 的值等于( )A ．64B ．32C ．63D ．31解析：由已知(1＋2)n ＝3n ＝729，解得n ＝6，则C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＝C 16＋C 36＋C 56＝12×26＝32.答案：B5．已知⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋33x n 的展开式中，各项系数的和与各二项式系数的和之比为64，则n 等于( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：令x ＝1，得各项系数的和为4n ，又各二项式系数的和为2n，故4n2n ＝64.所以n ＝6.答案：C 二、填空题6．(a ＋a )n 的展开式中奇数项系数和为512，则展开式的第八项T 8＝________．解析：C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝2n －1＝512＝29，所以n ＝10，所以T 8＝C 710a 3(a )7＝120a 132.答案：120a 1327．(1＋x )n 展开式中的各项系数的和大于8而小于32，则系数最大的项是________．解析：因为8＜C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C r n ＋…＋C n n ＜32，即8＜2n＜32.所以n ＝4.所以展开式共有5项，系数最大的项为T 3＝C 24(x )2＝6x .答案：6x8．如图所示，满足如下条件： ①第n 行首尾两数均为n ；②表中的递推关系类似“杨辉三角”．则第10行的第2个数是________，第n 行的第2个数是________．1 2 2 3 4 3 4 7 7 4 5 11 14 11 5 6 16 25 25 16 6…解析：由图表可知第10行的第2个数为： (1＋2＋3＋…＋9)＋1＝46，第n 行的第2个数为：[1＋2＋3＋…＋(n －1)]＋1＝n （n －1）2＋1＝n 2－n ＋22.答案：46 n 2－n ＋22三、解答题9．已知(2x －3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，求： (1)a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4； (2)(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2.解：(1)由(2x －3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，令x ＝1得(2－3)4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4，所以a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1.(2)在(2x －3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4中，令x ＝1得(2－3)4＝a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4，① 令x ＝－1得(－2－3)4＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4.②所以(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＝(－2－3)4(2－3)4＝(2＋3)4(2－3)4＝625.10．(1＋2x )n 的展开式中第六项与第七项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项．解：T 6＝C 5n (2x )5，T 7＝C 6n (2x )6，依题意有C 5n 25＝C 6n 26，解得n ＝8.所以(1＋2x )n 的展开式中，二项式系数最大的项为T 5＝C 48(2x )4＝1 120x 4.设第(k ＋1)项系数最大，则有⎩⎪⎨⎪⎧C k 82k ≥C k －182k －1，C k 82k ≥C k ＋182k ＋1，解得5≤k ≤6.又因为k ∈{0，1，2，…，8}，所以k ＝5或k ＝6. 所以系数最大的项为T 6＝1 792x 5，T 7＝1 792x 6.B 级能力提升1．若9n ＋C 1n ＋1·9n －1＋…＋C n －1n ＋1·9＋C nn ＋1是11的倍数，则自然数n 为( )A ．奇数B ．偶数C ．3的倍数D ．被3除余1的数解析：9n＋C 1n ＋1·9n －1＋…＋C n －1n ＋1·9＋C n n ＋1＝19(9n ＋1＋C 1n ＋1·9n＋…＋C n －1n ＋1·92＋C n n ＋1＋C n ＋1n ＋1)－19＝19(9＋1)n ＋1－19＝19(10n ＋1－1)是11的倍数，所以n ＋1为偶数，n 为奇数．答案：A2．(2015·山东卷)观察下列各式：C 01＝40； C 03＋C 13＝41； C 05＋C 15＋C 25＝42； C 07＋C 17＋C 27＋C 37＝43；……照此规律，当n ∈N *时，C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝________．解析：具体证明过程可以是：C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＝12(2C 02n －1＋2C 12n －1＋2C 22n －1＋…＋2C n －12n －1)＝12[(C 02n －1＋C 2n －12n －1)＋(C 12n －1＋C 2n －22n －1)＋(C 22n －1＋C 2n －32n －1)＋…＋(C n －12n －1＋C n 2n －1)]＝12(C 02n －1＋C 12n －1＋C 22n －1＋…＋C n －12n －1＋C n 2n －1＋…＋C 2n －12n －1)＝12·22n －1＝4n －1.答案：4n －13．已知(a 2＋1)n展开式中的各项系数之和等于⎝⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值．解：由⎝ ⎛⎭⎪⎫165x 2＋1x 5得T r ＋1＝C r 5⎝ ⎛⎭⎪⎫16x 255－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1655－rC r 5x20－5r 2，令T r ＋1为常数项，则20－5r ＝0，所以r ＝4，常数项T 5＝C 45·165＝16. 又(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于2n ，由此得到2n ＝16，n ＝4.所以(a 2＋1)4展开式中系数最大项是中间项T 3＝C 24a 4＝54.解得a ＝±3.。

最新整理高中数学人教A版选修2-3课后导练：1.3.3“杨辉三角”与二项式系数的性质 Word版含解析.doc

课后导练基础达标1.若(2x+3)4=a 0+a 1x+a 2x 2+a 3x 3+a 4x 4 ,则(a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2的值为（）A.1B.-1C.0D.2 解析：令x=1，得a 0+a 1+a 2+a 3+a 4=(2+3)4; 令x=-1，得a 0-a 1+a 2-a 3+a 4=(2-3)4. 两式相乘，得 (a 0+a 2+a 4)2-(a 1+a 3)2=(2+3)4(2-3)4=1,故选A.2.若(1+x)n =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n 中，a 3=a 12，则自然数n 的值为( )A.13B.14C.15D.16 答案：C3.若(1-2x)2006=a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 200 6x 200 6(x ∈R )则(a 0+a 1)+(a 0+a 2)+(a 0+a 3)+ …+(a 0+a 200 6）=(用数字作答).解析：取x=0,得a 0=1; 取x=1,得a 0+a 1+a 2+…+a 200 6=(1-2)200 6=1.故(a 0+a 1)+(a 0+a 2)+(a 0+a 3)+ …+(a 0+a 200 6) =200 6a 0+(a 0+a 1+a 2+…+a 200 6） =200 6+1=200 7.4.若(x+1)n =x n +…+ax 3+bx 2+cx+1(n ∈N *)，且a ∶b=3∶1，那么n=____________. 解析：a ∶b=3n C ∶2n C =3∶1，n=11.答案：115.在二项式(ax m +bx n )12(a ＞0,b ＞0,m 、n≠0)中有2m+n=0,如果它的展开式里最大系数项恰是常数项.(1)求它是第几项； (2)求ba的范围. 解析：(1)设T r+1=rC 12(ax m )12-r ·(bx n )r =rC 12a 12-r b r x m(12-r)+nr 为常数项，则有m(12-r)+nr=0,即m(12-r)-2mr=0,∴r=4,它是第5项. (2)∵第5项又是系数最大的项，∴有⎪⎩⎪⎨⎧≥≥)2.()1(,57512484123931248412b a C b a C b a C b a C由①得3948231011122349101112b a b a ⨯⨯⨯≥⨯⨯⨯⨯⨯,∵a ＞0,b ＞0，∴49b≥a,即b a ≤49.由②得b a ≥58，∴58≤b a ≤49.综合运用 6.二项式(x-x1)10的展开式，系数最大的项为( )A.第六项B.第五项和第六项C.第五项和第七项D.第六项和第七项解析：先求二项展开式的通项为T r+1=rr xC -1010(21--x)r=(-1)r·rrxC 231010-，则此项系数为(-1)r ·rC 10，故而得到每项系数的绝对值与对应的二项式系数相等，由二项式系数性质，展开式中中间一项即第六项的二项式系数最大为510C ，但第六项系数为-510C ，显然不是最大的.又因第五项和第七项的系数相等且为410C =610C ，再由二项式系数的增减性规律可知，410C 即为最大值，因此正确选项为C. 答案：C 7.已知(x-xa )8展开式中常数项为1 120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是( ) A.28 B.38 C.1或38 D.1或28 解析：T r+1=rC 8·x 8-r ·(-ax -1)r =(-a)r rC 8·x 8-2r. 令8-2r=0,∴r=4.∴(-a)448C =1 120.∴a=±2.当a=2时，令x=1，则(1-2)8=1. 当a=-2时，令x=-1,则(-1-2)8=38 答案：C8.已知(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)n =a 0+a 1x+…+a n x n ,若a 1+a 2+…+a n-1=29-n(n ∈N ，n ＞1),那么(1+y)6的展开式中含y n 项的系数是____________. 答案:15 9.已知(22x x -)8,则展开式中系数绝对值最大项是第几项?并求出系数最大的项和系数最小的项.解析:设第r+1项系数的绝对值最大,则此项系数的绝对值必不小于它左、右相邻两项系数的绝对值.则有⎪⎩⎪⎨⎧≥≥++--118811882222r r r r r r r r C C C C ⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+≥--≥1281912r r r r ⇒5≤r≤6.故系数绝对值最大项是第六项与第七项.∵T 6=(-1)558C (x )3·(22x)5=-1 792218-x，T 7=(-1) 668C (x )2·(22x)6=1 792x -11，则系数最大项为1 792x -11，系数最小项为-1 792218-x . 拓展探究10.已知数列｛a n ｝是首项为a 1,公比为q 的等比数列.(1)求和：a 102C -a 212C +a 322C ，a 103C -a 213C +a 323C -a 433C ；(2)由(1)的结果归纳概括出关于正整数n 的一个结论，并加以证明.解析：(1)a 102C -a 212C +a 322C=a 102C -a 1q 12C +a 1q 222C =a 1(1-q)2,a 103C -a 213C +a 323C -a 433C=a 103C -a 1q 13C +a 1q 223C -a 1q 333C =a 1(1-q)3.(2)结论是：a 10n C -a 21n C +a 32n C -…+(-1)n a n+1nn C =a 1(1-q)n .证明如下：左边=a 10n C -a 1q 1n C +a 1q 22n C -…+(-1)n a 1q n nn C =a 1［0n C -q 1n C +q 22n C -…+(-1)n q n nn C ］=a 1(1-q)n =右边. 备选习题11.已知(a+b)n 的展开式各项的二项式系数之和为8 192，则(a-b)2n 的展开式中共有( ) A.13项 B.14项 C.26项 D.27项解析：由2n =8 192得n=13, ∴(a-b)2n 有27项答案：D12.(经典回放)已知(3132x x +)n的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x 5的系数是___________.(以数字作答)解析:(3132-+x x )n的展开式中各项系数和为128， ∴令x=1,即得所有项系数和为2n =128.∴n=7.设该二项展开式中的r+1项为T r+1=rC 7(32x )7-r·(31-x )r=r C 7·61163r x -,令61163r -=5即r=3时，x 5项的系数为37C =35. 答案：3513.如图所求，在杨辉三角中，斜线AB 上方箭头所示的数组成一个锯齿形的数列：1，2，3，3，6，4，10，……，记这个数列的前n 项和为S(n)，则S(16)_____________.解析：由题意得S(16)=12C +22C +13C +23C + (19)+29C =(12C +13C +…+19C )+(22C +23C +… +29C )=(11C +12C +13C +…+19C )+( 22C +23C +…+29C )-1=210C +310C -1=164.14.求和S n =0n C -1+m m 1n C +2+m m 2n C +…+(-1)n ·nm m +·n n C . 解析：由k n C =k n n C -及k n C +1-k n C =k n C 1+,有S n =1-1+m m ·(11-n C +01-n C )+2+m m ·(21-n C +11-n C )+…+(-1)n-1·1-+n m m ·(2111----+n n n n C C )+(-1)n ·n m m +=S n-1-1+m m 01-n C +2+m m 1-n nC -…+（-1）n·112--+n n C m m=S n-1+n m ［0n C ·00+m -1n C ·11+m +…+(-1)n ·n m m +·n n C ］ =S n-1+n m ［0n C ·(1-1)- 1n C ·(1-1+m m )+…+(-1)n ·n n C ·(1-n m m +)］=S n-1+n m ·(1-1)n -分 n m S n∴S n =nm n+·S n-1，用迭代法，有S n =2)1()1(-∙-+-∙+n S n m n n m n =…=n nm C m n m n S m n m n +=+=+1)!(!!)!(!!0 15.设a 0,a 1,a 2, …，a n 成等差数列，求证：a 0+a 11n C +a 22n C +…+a k k n C +…+a n nn C =(a 0+a n )·2n-1. 证明：设S n =a 0+a 11n C +a 22n C +…+a n nn C ∵kn C =kn nC - (k=0,1,2, …，n)∴S n =a n 0n C +a n-11n C +a n-22n C +…+a 0两式相加得：2S n =0n C (a 0+a n )+ 1n C (a 1+a n-1)+ 2n C (a 2+a n-2)+ …+nn C (a n +a 0)∵a 0+a n =a 1+a n-1=…=a n +a 0∴2S n =(a 0+a n )( 0n C +1n C +2n C +…+nn C )=(a 0+a n )·2n ∴S n =(a 0+a n )·2n-1. 16.在(421xx +)n 的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式的中间项.解析：由题意得：0n C , 1n C ·21, 2n C ·41成等差数列，∴21n C ·21=0n C +412n C ∴n=8 ∴T 5为中间项，T 5=48C (x )4·(421x)4=835x17.已知a,b ＞0,n ∈N *且n ＞1，求证：2n n b a +≥(2b a +)n证明：∵a,b ＞0,n ＞1,n ∈N *，不妨设a≥b ＞0,则2b a -≥0，(2b a -)n≥0故a n +b n =( 2b a ++2b a -)n +(2b a +-2b a -)n=2［0n C (2b a +)n +2n C (2b a +)n -2(2b a -)2+4n C (2b a +)n -4·(2b a -)4+…+n n C (2b a -)n ］≥2(2b a +)n∴2n n b a +≥(2b a +)n。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。

学业分层测评
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、选择题
1．在(a－b)20的二项展开式中，二项式系数与第6项的二项式系数相同的项是( )
A．第15项 B．第16项
C．第17项 D．第18项
【解析】第6项的二项式系数为C520，又C1520＝C520，所以第16项符合条件．
【答案】 B

2．(2016·吉林一中期末)已知x2＋1xn的展开式的二项式系数之和为32，则展开式中含
x项的系数是( )
A．5 B．20
C．10 D．40
【解析】根据题意，该二项式的展开式的二项式系数之和为32，
则有2n＝32，可得n＝5，
Tr＋1＝Cr5x2(5－r)·x－r＝Cr5x10－3r，
令10－3r＝1，解得r＝3，
所以展开式中含x项的系数是C35＝10，故选C.
【答案】 C
3．设(1＋x＋x2)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2nx2n，则a0＋a2＋a4＋…＋a2n等于( )

A．2n B.3n－12

C．2n＋1 D.3n＋12
【解析】令x＝1，得3n＝a0＋a1＋a2＋…＋a2n－1＋a2n，①
令x＝－1，得1＝a0－a1＋a2－…－a2n－1＋a2n，②
①＋②得3n＋1＝2(a0＋a2＋…＋a2n)，

∴a0＋a2＋…＋a2n＝3n＋12.故选D.
【答案】 D
4．(2016·信阳六高期中)已知(1＋2x)8展开式的二项式系数的最大值为a，系数的最大值

为b，则ba的值为( )
A.1285 B.2567
C.5125 D.1287
【解析】 a＝C48＝70，设b＝Cr82r，则 Cr82r≥Cr－182r－1，Cr82r≥Cr＋182r＋1，得5≤r≤6，所以b＝C6826＝C282
6
＝7×28，所以ba＝1285.故选A.
【答案】 A
5．在(x－2)2 010的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝2时，S等于( )
A．23 015 B．－23 014
C．23 014 D．－23 008

【解析】因为S＝x－22 010－x＋22 0102，当x＝2时，S＝－23 0152＝－23 014.
【答案】 B
二、填空题

6．若(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋…＋a2 016x2 016(x∈R)，则a12＋a222＋…＋a2 01622 016的值为________．

【解析】令x＝0，得a0＝1.令x＝12，得a0＋a12＋a222＋…＋a2 01622 016＝0，所以a12＋a222＋…
＋a2 01622 016＝－1.
【答案】－1
7．若n是正整数，则7n＋7n－1C1n＋7n－2C2n＋…＋7Cn－1n除以9的余数是________．
【解析】 7n＋7n－1C1n＋7n－2C2n＋…＋7Cn－1n＝(7＋1)n－Cnn＝8n－1＝(9－1)n－1＝C0n9n(－
1)0＋C1n9n－1(－1)1＋…＋Cnn90(－1)n－1，∴n为偶数时，余数为0；当n为奇数时，余数为7.
【答案】 7或0
8．在“杨辉三角”中，每一个数都是它“肩上”两个数的和，它开头几行如图1-3-5所示．那
么，在“杨辉三角”中，第________行会出现三个相邻的数，其比为3∶4∶5.
【解析】根据题意，设所求的行数为n，则存在正整数k，
使得连续三项Ck－1n，Ckn，Ck＋1n，有Ck－1nCkn＝34且CknCk＋1n＝45.

化简得kn－k＋1＝34，k＋1n－k＝45，联立解得k＝27，n＝62.
故第62行会出现满足条件的三个相邻的数．
【答案】 62
三、解答题
9．已知(1＋2x－x2)7＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a13x13＋a14x14.
(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a14；
(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a13.
【解】 (1)令x＝1，
则a0＋a1＋a2＋…＋a14＝27＝128.①
(2)令x＝－1，
则a0－a1＋a2－a3＋…－a13＋a14＝(－2)7＝－128.②
①－②得2(a1＋a3＋…＋a13)＝256，
所以a1＋a3＋a5＋…＋a13＝128.

10．已知14＋2xn的展开式中前三项的二项式系数的和等于37.求展开式中二项式系数
最大的项的系数．
【解】由C0n＋C1n＋C2n＝37，得1＋n＋12n(n－1)＝37，得n＝8.14＋2x8的展开式共有

9项，其中T5＝C48144(2x)4＝358x4，该项的二项式系数最大，系数为358.
[能力提升]
1．若(2－x)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)
2
＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．－2
【解析】令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a10＝(2－1)10，
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋a10＝(2＋1)10，
故(a0＋a2＋…＋a10)2－(a1＋a3＋…＋a9)2
＝(a0＋a1＋a2＋…＋a10)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a10)
＝(2－1)10(2＋1)10＝1.
【答案】 A
2．把通项公式为an＝2n－1(n∈N*)的数列{an}的各项排成如图1-3-6所示的三角形数
阵．记S(m，n)表示该数阵的第m行中从左到右的第n个数，则S(10,6)对应于数阵中的数是
( )
1
3 5
7 9 11
13 15 17 19
……
图1-3-6
A．91 B．101
C．106 D．103
【解析】设这个数阵每一行的第一个数组成数列{bn}，则b1＝1，bn－bn－1＝2(n－1)，
∴bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1
＝2[(n－1)＋(n－2)＋…＋1]＋1＝n2－n＋1，
∴b10＝102－10＋1＝91，S(10,6)＝b10＋2×(6－1)＝101.
【答案】 B
3．(2016·孝感高级中学期中)若(x2＋1)(x－3)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…
＋a11(x－2)11，则a1＋a2＋a3＋…＋a11的值为________．
【解析】令x＝2，得－5＝a0，令x＝3，得0＝a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11，所以a1＋a
2

＋a3＋…＋a11＝－a0＝5.

【答案】 5
4．已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N*)的展开式中x的系数为11.
(1)求x2的系数取最小值时n的值；
(2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)展开式中x的奇次项的系数之和.
【解】 (1)由已知C1m＋2C1n＝11，所以m＋2n＝11，

x2的系数为C2m＋22C2n＝mm－2＋2n(n－1)＝m2－m2＋(11－m)·11－m2－1＝



m－

4
2
＋35116.

因为m∈N*，所以m＝5时，x2的系数取得最小值22，此时n＝3.
(2)由(1)知，当x2的系数取得最小值时，m＝5，n＝3，
所以f(x)＝(1＋x)5＋(1＋2x)3，
设这时f(x)的展开式为f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，
令x＝1，a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝25＋33，
令x＝－1，a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1，
两式相减得2(a1＋a3＋a5)＝60，
故展开式中x的奇次项的系数之和为30.