选修4_2__矩阵与变换__第二节_矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量
人教版高中数学选修4-2课件：2.4逆变换与逆矩阵
解：(1)设矩阵 A 的逆矩阵为 B＝ca db，
则13
2 a 4 c
b d
a＋2c＝1， ＝10 01，得b3＋ a＋2d4＝ c＝00，，
3b＋4d＝1，
a＝－2， b＝1， 解得c＝32， d＝－12，
－2 1
所以 B＝3 2
－12.
(2)设直线 l 上任一点 P(x，y)经过 B 对应变换变为点 P(x′，y′)，
2.4 逆变 换与 逆矩 阵
2.4.1 逆矩 阵的 概念
理解教材 新知
把握热点 考向
应用创新 演练
考点一 考点二
2.4
逆变换与逆矩阵
2．4.1 逆矩阵的概念
1．逆矩阵的定义 对于二阶矩阵A、B，若有_A_B__＝__B_A_＝ ___E_，则称A是可逆 的，B称为A的逆矩阵，记为A－1.
2．逆矩阵的性质 (1)若二阶矩阵 A、B 均可逆，则_A__B_也可逆，且_(_A_B_)_－_1_＝__B_ _－_1A__－_1_. (2)已知 A、B、C 为二阶矩阵且 AB＝AC，若 A 存在逆矩阵， 则_B__＝__C_.
求满足 AXB＝C 的矩阵 X.
[思路点拨] 由 AXB＝C 得 X＝A－1CB－1，从而求解．
[精解详析] ∵A－1＝－23 －12，
B－1＝－21 －32，
∴X＝A－1CB－1＝－23
－2 0 1 1
1
2
0 －1
＝－12
－3
2
2 －1
－23＝－10
01.
－3 2
此种题型要特别注意左乘还是右乘相应的逆矩 阵，若位置错误，则得不到正确结果，原因是矩阵 乘法并不满足交换律．
11＝－223
2 1－
高二数学：新人教a版选修4《矩阵与变换》课件
-1
0
-1
0
0
1
0
1
压伸变换之逆为压伸变换 旋转变换之逆为旋转变换 切边变换之逆为切变变换
18
两矩阵之积之逆的几何意义
0 1
–1
1
0
0
0 1/2
0
–1
1 0
1 0
0 2
19
线性方程组与变换
线性方程组 2 x y 1
x 3 y 2
2 1
0 1
10
旋转变换
0 1 -1 0
0
-1
1
0
返回
11
投影变换
1 0 0 0
0 1 返回
0 1
12
矩阵变换是线性变换 1) A( ) A 也就是 2) A( ) A A
A( ) A A
13
矩阵表示的变换，把直线或者 变成直线，或者变成一个点
直线的向量方程 一般地，在平面直角坐标系中，经过点
v1 M0(x0,y0）且平行于非零向量 v0 v2 的直线l的方程为
14
矩阵表示的变换，把直线或者 变成直线，或者变成一个点
给定矩阵M,它把点M0变成点M0’，即把向
量 OM0 '变成向量 ， M把向量v0变成 OM 0 向量Mv0。 对l上任意一点X,矩阵M把点X变成点 X’，根据矩阵变换的性质有
4
矩阵---几何变换的代数表示
2 1 1 2 1 1 0 2 1 10 11 (1) 0 1
2 1 0 2 0 11 1 1 1 1 1 0 (1) 1 1
【苏教版】高中数学选修4-2《矩阵与变换》.5 特征值与特征向量
选修4－2矩阵与变换 2.5 特征值与特征向量编写人： 编号：012学习目标1、 掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义。
2、 会求二阶矩阵的特征值与特征向量。
3、 利用矩阵A 的特征值、特征向量给出A n α简单表示。
学习过程：一、预习：（一）阅读教材，解答下列问题：问题、根据下列条件试判断M α是否与α共线：⑴M=⎢⎣⎡03 ⎥⎦⎤30，非零向量α=⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x ⑵ M=⎢⎣⎡21- ⎥⎦⎤32，非零向量α=⎥⎦⎤⎢⎣⎡2-3 ⑶M ＝10⎡⎢⎢⎢⎣ 012⎤⎥⎥⎦，非零向量α＝10⎡⎤⎢⎥⎣⎦，01⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 归纳定义：特征值：特征向量：特征多项式：练习：求出矩阵A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001的特征值。
探究：矩阵A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡2001的特征向量是什么？怎样从几何直观的角度加以解释？请同学们互相交流各自探究的成果。
二、课堂训练：例1．求矩阵M=⎢⎢⎣⎡251-⎥⎥⎦⎤32的特征值和特征向量。
例2、求矩阵A ＝00a a ⎛⎫⎪⎝⎭的特征值及其对应的所有特征向量。
例3、已知M ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡1221，⎥⎦⎤⎢⎣⎡=71β，试计算β50M 。
三、课后巩固：1. 下列关于矩阵A 的逆矩阵、特征值的结论正确是( ) (A) det(A)≠0时，一定有逆矩阵，也一定有特征值(B) det(A)≠0时，不一定有逆矩阵，也不一定有特征值(C) det(A)＞0时，一定有逆矩阵，也一定有特征值(D) det(A)＜0时，一定有逆矩阵，也一定有特征值2、求出下列矩阵的特征值和特征向量：（1）A ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-4121； （2）B ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1001； （3）C ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡20013、证明：若α是矩阵M 对应于特征值λ的特征向量，则)0(≠k k α也是矩阵M 对应于特征值λ的特征向量。
3、求投影变换矩阵M ＝⎥⎦⎤⎢⎣⎡1000的特征值和特征向量，并计算⎥⎦⎤⎢⎣⎡32200M 的值，解释它的几何意义。
高三数学一轮复习精品课件：选修4-2 矩阵与变换(创新设计)
组有唯一解xy＝ac db－1mn ，
其中 A－1＝ad－d－bcc
－b ad－bc
a
.
ad－bc ad－bc
3．二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念 设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向 量α，使得Aα＝λα，那么___称λ为A的一个特征值，而___ 称为αA的一个属于特征值λ的一个特征向量． (2)特征多项式与特征方程
解析
1 AB＝12
2
1 1 2 2 12－12
－12
1
2
＝12×12＋12×－12 12×12＋12×－12
1212× ×－ －1212＋ ＋1212× ×1212＝00
00.
答案
0 0
0 0
3．设 A＝－10 01，B＝01 －10，则 AB 的逆矩阵为________．
解析
∵A－1＝－10
01，B－1＝－01
1 0
∴(AB)－1＝B－1A－1＝－01
1 －1 0 0
01＝01
10.
答案
0 1
1 0
1 0
4．函数 y＝x2在矩阵 M＝0
1变换作用下的结果为________． 4
解析
1 0
014xy ＝14y x＝xy′′⇒x＝x′，y＝4y′，
代入 y＝x2，得 y′＝14x′2，即 y＝14x2.
路漫漫其修远兮，吾将上下而求索！
基础诊断
考点突破
设A是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ、 λ1、λ2是任意三个实数，则 ①A(λα)＝λAα；②A(α＋β)＝Aα＋Aβ； ③A(λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ. (3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则 如下：
高三数学分章节复习资料(内有详解可学生自学)：选修4-2 矩阵与变换
选修4－2 矩阵与变换A[最新考纲]1．了解二阶矩阵的概念，了解线性变换与二阶矩阵之间的关系．2．了解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示．3．理解变换的复合与矩阵的乘法；理解二阶矩阵的乘法和简单性质． 4．理解逆矩阵的意义，会求出简单二阶逆矩阵．5．理解矩阵的特征值与特征向量，会求二阶矩阵的特征值与特征向量.知 识 梳 理1．矩阵的乘法规则(1)行矩阵[a 11 a 12]与列矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21的乘法规则： [a 11 a 12]⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21＝[a 11×b 11＋a 12×b 21]． (2)二阶矩阵⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21 a 12a 22与列向量⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0的乘法规则： ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21 a 12a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x 0y 0＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11×x 0＋a 12×y 0a 21×x 0＋a 22×y 0. 设A 是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ、λ1、λ2是任意三个实数，则①A (λα)＝λAα；②A (α＋β)＝Aα＋Aβ； ③A (λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ.(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下： ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11a 21 a 12a 22⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤b 11b 21 b 12b 22＝ ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a 11×b 11＋a 12×b 21a 21×b 11＋a 22×b 21 a 11×b 12＋a 12×b 22a 21×b 12＋a 22×b 22 性质：①一般情况下，AB ≠BA ，即矩阵的乘法不满足交换律；②矩阵的乘法满足结合律，即(AB )C ＝A (BC )；③矩阵的乘法不满足消去律． 2．矩阵的逆矩阵(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A ，B ，若有AB ＝BA ＝E ，则称A 是可逆的，B 称为A 的逆矩阵．若二阶矩阵A 存在逆矩阵B ，则逆矩阵是唯一的，通常记A 的逆矩阵为A －1，A －1＝B .(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d (det A ＝ad －bc ≠0)，它的逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc－b ad －bc －c ad －bc a ad －bc . (3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x ，y 的二元一次方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝m ，cx ＋dy ＝n的系数矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 可逆，那么该方程组有唯一解⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ， 其中A－1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤dad －bc－b ad －bc－c ad －bca ad －bc . 3．二阶矩阵的特征值和特征向量 (1)特征值与特征向量的概念设A 是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A 的一个特征值，而α称为A 的一个属于特征值λ的一个特征向量．(2)特征多项式与特征方程 设λ是二阶矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d 的一个特征值，它的一个特征向量为ξ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，则A ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝λ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y 满足二元一次方程组⎩⎨⎧ax ＋by ＝λx ，cx ＋dy ＝λy ， 故⎩⎨⎧(λ－a )x －by ＝0－cx ＋(λ－d )y ＝0⇔⎣⎢⎡⎦⎥⎤λ－a －b －c λ－d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤00(*)则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0.记f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d 为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征多项式；方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝0，即f (λ)＝0称为矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab c d 的特征方程． (3)特征值与特征向量的计算如果λ是二阶矩阵A 的特征值，则λ是特征方程f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－a －b －c λ－d ＝λ2－(a ＋d )λ＋ad －bc ＝0的一个根．解这个关于λ的二元一次方程，得λ＝λ1、λ2，将λ＝λ1、λ2分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解⎩⎨⎧ x ＝x 1，y ＝y 1，⎩⎨⎧x ＝x 2，y ＝y 2，记ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2.则Aξ1＝λ1ξ1、Aξ2＝λ2ξ2，因此λ1、λ2是矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ab cd 的特征值，ξ1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 1y 1，ξ2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2y 2为矩阵A 的分别属于特征值λ1、λ2的一个特征向量． 诊 断 自 测1. ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤57＝________.解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 00 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤57＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1×5＋0×7 0×5＋(－1)×7＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－7.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5－72．若A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 121212，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 －12－12 12，则AB ＝________.解析AB ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12 121212⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 12 －12－12 12 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤12×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12×1212×12＋12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋12×12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤000 0.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 00 0 3．设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 －11 0，则AB 的逆矩阵为________． 解析 ∵A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－10 01，B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 1－1 0 ∴(AB )－1＝B －1A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0 1－1 0 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 0 0 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤011 0. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 110 4．函数y ＝x 2在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10014变换作用下的结果为________． 解析 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1 0014 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ x 14y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′⇒x ＝x ′，y ＝4y ′， 代入y ＝x 2，得y ′＝14x ′2，即y ＝14x 2. 答案 y ＝14x 25．若A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤156 2，则A 的特征值为________． 解析 A 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －5 －6 λ－2 ＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)， ∴A 的特征值为λ1＝7，λ2＝－4. 答案 7和－4考点一 矩阵与变换【例1】 (·苏州市自主学习调查)已知a ，b 是实数，如果矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a b 1所对应的变换将直线x －y ＝1变换成x ＋2y ＝1，求a ，b 的值．解 设点(x ，y )是直线x －y ＝1上任意一点，在矩阵M 的作用下变成点(x ′，y ′)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 a b1 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′， 所以⎩⎨⎧x ′＝2x ＋ay ，y ′＝bx ＋y .因为点(x ′，y ′)，在直线x ＋2y ＝1上，所以 (2＋2b )x ＋(a ＋2)y ＝1，即⎩⎨⎧2＋2b ＝1，a ＋2＝－1，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝－12.规律方法 理解变换的意义，掌握矩阵的乘法运算法则是求解的关键，利用待定系数法，构建方程是解决此类题的关键．【训练1】 已知变换S 把平面上的点A (3,0)，B (2,1)分别变换为点A ′(0,3)，B ′(1，－1)，试求变换S 对应的矩阵T . 解 设T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c bd ，则T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤30→⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a c b d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤30＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3a 3b ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤03，解得⎩⎨⎧a ＝0，b ＝1； T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤21→⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ac bd ⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a ＋c 2b ＋d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1，解得⎩⎨⎧c ＝1，d ＝－3，综上可知T ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤0 11 －3. 考点二 二阶逆矩阵与二元一次方程组【例2】 已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1所对应的线性变换把点A (x ，y )变成点A ′(13,5)，试求M 的逆矩阵及点A 的坐标．解 依题意得由M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1，得|M |＝1， 故M －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13－12. 从而由⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －31 －1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135得⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1－1 32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤135＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1×13＋3×5－1×13＋2×5＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－3，故⎩⎨⎧x ＝2，y ＝－3，∴A (2，－3)为所求． 规律方法 求逆矩阵时，可用定义法解方程处理，也可以用公式法直接代入求解．在求逆矩阵时要重视(AB )－1＝B －1A －1性质的应用． 【训练2】 已知矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21 32， (1)求矩阵A 的逆矩阵；(2)利用逆矩阵知识解方程组⎩⎨⎧2x ＋3y －1＝0，x ＋2y －3＝0.解 (1)法一 设逆矩阵为A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a cb d ， 则由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2132⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a cb d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1001，得⎩⎨⎧2a ＋3c ＝1，2b ＋3d ＝0，a ＋2c ＝0，b ＋2d ＝1，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－3，c ＝－1，d ＝2，A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1－32. 法二 由公式知若A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a c b d ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2132，(2)已知方程组⎩⎨⎧2x ＋3y －1＝0，x ＋2y －3＝0，可转化为⎩⎨⎧2x ＋3y ＝1，x ＋2y ＝3，即AX ＝B ，其中A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤21 32，X ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13，且由(1)， 得A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1 －32. 因此，由AX ＝B ，同时左乘A －1，有 A －1AX ＝A －1B ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2－1 －32⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤13＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－75. 即原方程组的解为⎩⎨⎧x ＝－7，y ＝5.考点三 求矩阵的特征值与特征向量【例3】 已知a ∈R ，矩阵A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a21对应的线性变换把点P (1,1)变成点P ′(3,3)，求矩阵A 的特征值以及每个特征值的一个特征向量． 解 由题意⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1a21 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3a ＋1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤33， 得a ＋1＝3，即a ＝2，矩阵A 的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1－2 －2λ－1＝(λ－1)2－4＝(λ＋1)(λ－3)， 令f (λ)＝0，所以矩阵A 的特征值为λ1＝－1，λ2＝3. ①对于特征值λ1＝－1，解相应的线性方程组⎩⎨⎧ x ＋y ＝0，2x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎨⎧x ＝1，y ＝－1.因此，α＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1－1是矩阵A 的属于特征值λ1＝－1的一个特征向量； ②对于特征值λ2＝3，解相应的线性方程组⎩⎨⎧2x －2y ＝0，－2x ＋2y ＝0得一个非零解⎩⎨⎧x ＝1，y ＝1.因此，β＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11是矩阵A 的属于特征值λ2＝3的一个特征向量． 规律方法 已知A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a cb d ，求特征值和特征向量，其步骤为： (1)令f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪(λ－a )－c －b (λ－d )＝(λ－a )(λ－d )－bc ＝0，求出特征值λ； (2)列方程组⎩⎨⎧(λ－a )x －by ＝0，－cx ＋(λ－d )y ＝0；(3)赋值法求特征向量，一般取x ＝1或者y ＝1，写出相应的向量．【训练3】 (·扬州质检)已知矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤3－1 －13，求M 的特征值及属于各特征值的一个特征向量．解 由矩阵M 的特征多项式f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－31 1λ－3＝ (λ－3)2－1＝0，解得λ1＝2，λ2＝4，即为矩阵M 的特征值． 设矩阵M 的特征向量为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，当λ1＝2时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ，可得⎩⎨⎧－x ＋y ＝0，x －y ＝0.可令x ＝1，得y ＝1，∴α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11是M 的属于λ1＝2的特征向量．当λ2＝4时，由M ⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝4⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ， 可得⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x ＋y ＝0，取x ＝1，得y ＝－1，∴α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－1是M 的属于λ2＝4的特征向量．用坐标转移的思想求曲线在变换作用下的新方程【典例】 二阶矩阵M 对应的变换T 将点(1，－1)与(－2，1)分别变换成点(－1，－1)与(0，－2)． (1)求矩阵M ；(2)设直线l 在变换T 作用下得到了直线m ：x －y ＝4，求l 的方程．[审题视点] (1)变换前后的坐标均已知，因此可以设出矩阵，用待定系数法求解． (2)知道直线l 在变换T 作用下的直线m ，求原直线，可用坐标转移法． 解 (1)设M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b cd ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1－1， ⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2 1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－2， 所以⎩⎨⎧ a －b ＝－1，c －d ＝－1，且⎩⎨⎧－2a ＋b ＝0，－2c ＋d ＝－2，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，c ＝3，d ＝4，所以M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 23 4. (2)因为⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋2y 3x ＋4y 且m ：x ′－y ′＝4， 所以(x ＋2y )－(3x ＋4y )＝4，即x ＋y ＋2＝0，∴直线l 的方程是x ＋y ＋2＝0.[反思感悟] (1)本题考查了求变换矩阵和在变换矩阵作用下的曲线方程问题，题目难度属中档题．(2)本题突出体现了待定系数法的思想方法和坐标转移的思想方法 . (3)本题的易错点是计算错误和第(2)问中坐标转移的方向错误． 【自主体验】(·南京金陵中学月考)求曲线2x 2－2xy ＋1＝0在矩阵MN 对应的变换作用下得到的曲线方程，其中M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1002，N ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－101.解 MN ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 02⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－1 01＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－2 02. 设P (x ′，y ′)是曲线2x 2－2xy ＋1＝0上任意一点，点P 在矩阵MN 对应的变换下变为点P ′(x ，y )， 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤ 1－202⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ x ′－2x ′＋2y ′， 于是x ′＝x ，y ′＝x ＋y2，代入2x ′2－2x ′y ′＋1＝0，得xy ＝1.所以曲线2x 2－2xy ＋1＝0在MN 对应的变换作用下得到的曲线方程为xy ＝1.一、填空题1．已知变换T ：⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y →⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3x ＋4y 5x ＋6y ，则该变换矩阵为________． 解析 ⎩⎨⎧x ′＝3x ＋4y ，y ′＝5x ＋6y ，可写成⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 45 6⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 45 6 2．计算⎣⎢⎡⎦⎥⎤3758⎣⎢⎡⎦⎥⎤2－1等于________． 解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 75 8⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3×2－75×2－8＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 2. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1 23．矩阵⎣⎢⎡⎦⎥⎤500 1的逆矩阵为________． 解析 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 001＝5，∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤5 00 1的逆矩阵为⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤15 0 0 1. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤15 0 0 14．若矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b 13把直线l ：2x ＋y －7＝0变换成另一直线l ′：9x ＋y －91＝0，则a ＝________，b ＝________. 解析 取l 上两点(0,7)和(3.5,0)，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤07＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤7a 91，⎣⎢⎡⎦⎥⎤3 a b 13⎣⎢⎡⎦⎥⎤3.5 0＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10.53.5b . 由已知(7a,91)，(10.5,3.5b )在l ′上，代入得a ＝0，b ＝－1. 答案 0 －15．矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤6 －36 －3的特征值为________． 解析 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－6 3－6 λ＋3＝(λ－6)(λ＋3)＋18＝0. ∴λ＝0或λ＝3. 答案 0或3 6．已知矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234，α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－3，则M (2α＋4β)＝________.解析 2α＋4β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤24＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0－12＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－8，M (2α＋4β)＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤123 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 2－8＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14－26. 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－14－26 7．曲线C 1：x 2＋2y 2＝1在矩阵M ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10 21的作用下变换为曲线C 2，则C 2的方程为________．解析 设P (x ，y )为曲线C 2上任意一点，P ′(x ′，y ′)为曲线x 2＋2y 2＝1上与P 对应的点， 则⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1021⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x ′ y ′＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤x y ，即⎩⎨⎧ x ＝x ′＋2y ′，y ＝y ′⇒⎩⎨⎧x ′＝x －2y ，y ′＝y . 因为P ′是曲线C 1上的点， 所以C 2的方程为(x －2y )2＋y 2＝1. 答案 (x －2y )2＋y 2＝18．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 －1－4 3，B ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤4 －1－3 1，则满足AX ＝B 的二阶矩阵X 为________．解析 由题意，得A －1＝ AX ＝B ， ∴X ＝A －1B ＝. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤92 －1 5 －1 9．已知矩阵A 将点(1,0)变换为(2,3)，且属于特征值3的一个特征向量是⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11，则矩阵A 为________． 解析 设A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a c b d ，由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a c b d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤10＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23，得⎩⎨⎧a ＝2，c ＝3. 由⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤a cb d ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝3⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤11＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤33，得⎩⎨⎧ a ＋b ＝3，c ＋d ＝3.所以⎩⎨⎧b ＝1，d ＝0. 所以A ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤23 10. 答案 ⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤2310 二、解答题10．(·江苏卷)已知矩阵A 的逆矩阵A －1＝错误!，求矩阵A 的特征值． 解 因为AA －1＝E ，所以A ＝(A －1)－1.因为A －1＝错误!，所以A ＝(A －1)－1＝错误!，于是矩阵A 的特征多项式为 f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－2－2 －3λ－1＝λ2－3λ－4. 令f (λ)＝0，解得A 的特征值λ1＝－1，λ2＝4.11．已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1 a －1 b ，A 的一个特征值λ＝2，其对应的特征向量是α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21.(1)求矩阵A ；(2)若向量β＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤74，计算A 5β的值．解 (1)A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 12－14. (2)矩阵A 的特征多项式为f (λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－1 －2 1 λ－4＝λ2－5λ＋6＝0，得λ1＝2，λ2＝3，当λ1＝2时，α1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤21，当λ2＝3时，得α2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11.由β＝m α1＋n α2，得⎩⎨⎧2m ＋n ＝7，m ＋n ＝4，解得m ＝3，n ＝1.∴A 5β＝A 5(3α1＋α2)＝3(A 5α1)＋A 5α2＝3(λ51α1)＋λ52α2＝3×25⎣⎢⎡⎦⎥⎤21＋35⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤435339. 12．(·福建卷)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1在矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a0b1(a ＞0)对应的变换作用下得到的曲线为x 2＋y 2＝1. (1)求实数a ，b 的值； (2)求A 2的逆矩阵．解 (1)设曲线2x 2＋2xy ＋y 2＝1上任意点P (x ，y )在矩阵A 对应的变换作用下的像是P ′(x ′，y ′)． 由⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ′y ′＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 0b1⎣⎢⎡⎦⎥⎤x y ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤ ax bx ＋y ，得⎩⎨⎧x ′＝ax ，y ′＝bx ＋y . 又点P ′(x ′，y ′)在x 2＋y 2＝1上，所以x ′2＋y ′2＝1， 即a 2x 2＋(bx ＋y )2＝1，整理得(a 2＋b 2)x 2＋2bxy ＋y 2＝1，依题意得⎩⎨⎧ a 2＋b 2＝2，2b ＝2，解得⎩⎨⎧ a ＝1，b ＝1或⎩⎨⎧a ＝－1，b ＝1.因为a ＞0，所以⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1.(2)由(1)知，A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011，A 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 01 1⎣⎢⎡⎦⎥⎤1011＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 021.所以|A 2|＝1，(A 2)－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤10－21.。
北师大版高中数学选修4-2逆变换与逆矩阵教案.docx
逆变换与逆矩阵教学目标1.理解逆矩阵的概念，了解逆变换的概念2.能判断一个矩阵是否存在逆矩阵，掌握六种变换除了投影变换不存在逆变换，其他的都有逆变换的结论3.能求一个二阶矩阵以及两个二阶矩阵乘积的逆矩阵4.理解二阶矩阵消去律的条件一．回顾复习，引入新课1.矩阵乘法的简单性质2.矩阵乘法的几何意义3.初等变换，初等变换矩阵，初等变换的复合问题：对于下列给出的变换对应的矩阵A ，是否存在变换矩阵B ，使得连续进行两次变换（先A T 后B T ）的结果与恒等变换的结果相同？（1）以y 轴为反射轴作反射变换；（2）绕原点逆时针旋转︒30作旋转变换；（3）纵坐标不变，沿x 轴方向将横坐标压缩为原来的21作伸压变换； （4）沿x 轴方向，将y 轴作投影变换；（5）横坐标x 不变，纵坐标依横坐标的比例增加，且)2,(),(y x x y x +→作切变变换.二．建构数学，新授内容1.逆变换2.逆矩阵3.相关结论（1）（2）（3）思考：M 的逆矩阵M 1-和函数)(x f y =的反函数)(1x fy -=有什么异同？三．应用示例，例题分析例1.用几何变换的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵，若存在，请把它求出来；若不存在，请说明理由. （1）A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1001；（2）B ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=3001；（3）C ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1000；（4）D ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=12101例2.求矩阵A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1223的逆矩阵.例3.求下列矩阵AB 的逆矩阵. （1）A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=2001，B ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=10211； （2）A ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0211，B ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=021210.思考：1.已知A,B,C为二阶矩阵，且AB=AC，若矩阵A存在逆矩阵，B=C是否成立？2.已知A,B,C为二阶矩阵，且BA=CA，若矩阵A存在逆矩阵，B=C是否成立？四．小结。
高二数学选修4-2矩阵与变换课件 苏教版
2.在本章中点和向量不加区分.如:
x （0， 0）为起点， y 既可以表示点（x, y），也可以表示以O uuu r 以（ P x, y）为终点的向量OP。
2.1 二阶矩阵与平面向量
3.矩阵的概念——从表、网络图、坐标平面上的点（向 量）、生活实例等引出. 即在大量举例的基础上引出矩 阵的概念和表示方法.如: 某公司负责从两个矿区向三个城市送煤： 从甲矿区向城市A,B,C送煤的量分别是200万吨、240 万吨、160万吨； 从乙矿区向城市A,B,C送煤的量分别是400万吨、360 万吨、820万吨。 城市A 城市B 城市C 甲矿区 乙矿区
a11 a12 x0 a11 x0 a12 y0 a21 a22 y0 a21 x0 a22 y0
2.1 二阶矩阵与平面向量
7.强化学生对二阶矩阵与平面列向量乘法的几何意义 理解.使他们认识并理解矩阵是向量集合到向量集合 的映射,为后面学习几种常见的几何变换打下基础.
200 240 160 400 360 820
2.1 二阶矩阵与平面向量
4.矩阵通常用大写黑体字母表示.如;矩阵A, 行矩阵和列 矩阵通常用希腊字母α 、β 等表示. 5.两个矩阵的行数与列数分别相等,并且对应位置的 元素也分别相等时两矩阵相等. 6.二阶矩阵与列向量的乘法法则为:
难点
切变变换，逆变换(矩阵)，特征值与特征向 量。
主要数学思想
（1）数学化思想； （2）数学建模； （3）数形结合的思想；（4）算法思想。
主线
本专题的教学思路
通过几何变换对几何图形的作用，直观认识矩 阵的意义和作用。
教学要点
从具体实例入手，突出矩阵的几何意义，遵循
高中数学选修4-2矩阵与变换ppt版
a b x bx ax＋by ＋ ＝ ，这是矩阵 与向量 的乘 y d y cx＋dy c d ＋
5．线性变换的基本性质 ． 性质 1.设 A 是一个二阶矩阵，α，β 是平面上的任意两个向 设 是一个二阶矩阵， ， 是任意实数， 量，λ 是任意实数，则 ①A(λα)＝λAα. ＝
理科
│知识梳理
a A＝ ＝ c x b ＝ ，a＝y ，规定二阶矩阵 A 与向量 a 的乘积为 d
设
ax＋by ＋ 向量 ，记为 cx＋dy ＋
Aa
a 或 c
bx ， d y
即 法．
a Aa＝ ＝ c
理科
│要点探究
【点评】 要理解二阶矩阵变换的定义，熟悉五种常 点评】 要理解二阶矩阵变换的定义， 见的矩阵变换，明确矩阵变换的特点． 见的矩阵变换，明确矩阵变换的特点．
理科
│要点探究
变式题 已知变换 T 把平面上的点 A(2,0)，B(3,1)分 ， 分 别变换成点 A′(2,1)，B′(3,2)，试求变换 T 对应的矩阵 M. ， ，
理科
│二阶矩阵与平面图形的变换
理科
│知识梳理
知识梳理
1．二阶矩阵的定义 ． (1)由 4 个数 a，b，c，d 由 ，，， 矩阵． 矩阵． (2)元素全为 0 元素全为
1 矩阵 0 0 的二阶矩阵 0 a 排成的正方形数表 c
b 称为二阶 d
0 0 . 称为零矩阵， 称为零矩阵，简记为 0
0 E 称为二阶单位矩阵， 称为二阶单位矩阵，记为 2 . 1
理科
│知识梳理
2．几种特殊线性变换 ． (1)旋转变换 旋转变换 直线坐标系 xOy 内的每个点绕原点 O 按逆时针方向旋 转 α 角的旋转变换的坐标变换公式是
最新人教版高中数学选修4-2逆变换与逆矩阵
-1 3 ∴ A = 3 c= , 2 2 1 d=- . 2 7 2 5 B-1= 110 . 1 10 5
.
章末整合提升
自主探究 自我检测 重难点拨 思悟升华
知识网络构建 预习导引
YUXI DAOYIN
专题归纳整合 互动课堂
HUDONG KETANG
1
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3
4
5
2 0 1 0 ,B= ,求矩阵乘积 AB 的逆矩阵. 0 1 0 4 1 1 0 0 -1 -1 1 , 解:∵ A = 2 ,B = 0 0 1 5.已知 A=
2 0 . -2 1
2 0 答案: -2 1
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x' = 4x, 的逆变换把点(1,4)变换成点的坐标是 y' = y x' = 4x, 4 0 a b 解析:伸缩变换 对应的矩阵为 A= ,设 A-1= , y' = y 0 1 c d 4 0 a b 1 0 4a 4b 则 AA-1= = = , 0 1 c d 0 1 c d 1 4a = 1, a= , 4 1 4b = 0, 1 ∴ ∴ b = 0, ∴ A = 4 0 , c = 0, c = 0, 0 1 d = 1. d = 1. 3.伸缩变换 则A
第三讲
逆变换与逆矩阵
内容提要
本讲共三节,第一节主要介绍逆变换与逆矩阵的概念,给出了可逆矩阵 的两条性质;第二节主要是利用二阶行列式求二阶逆矩阵;第三节是利 用逆矩阵解二元一次方程组,二元一次线性方程组有唯一解的充要条 件是方程组的系数矩阵可逆.
人教A版高中数学选修4-2课件 3逆变换和逆矩阵课件
逆变换与逆矩阵
教育目标: 1.通过具体的图形变换,理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩 阵存在逆矩阵的条件,通过具体的投影变换,说明它所对应 矩阵的逆矩阵不存在. 2.会证明逆矩阵的惟一性和(AB)-1=B-1A-1等简单性质. 3.会从几何变换的角度求出AB的逆矩阵. 4.会用逆矩阵的知识解释二阶矩阵的乘法何时满足消去 率. 5.了解二阶行列式的定义,会用二阶行列式求逆矩阵和解 方程组.
11
5．矩阵ca
db的行列式为
a c
b d
ad
bc
,则如果
a c
b d
0
则矩阵 a b 存在逆矩阵.
cdLeabharlann 几何解释6.矩阵是否可逆的判断
代数解释
行列式 映射观点
逆变换与逆矩阵
几何变换方法
7.逆矩阵的求解
待定系数方法 公式法
行列式方法
d
b
8.矩阵ca
b
d
的逆矩阵为
．
ad
bc
c
ad
bc
a
ad bc ad bc
11.逆矩阵与二元一次方程组密切相关，用逆矩阵的知识 理解二元一次方程组的求解过程是为了让学生更好的认识 两者，理解它们间的相互为用、相辅相成.
逆变换与逆矩阵
12.
逆变换与逆矩阵
12. AX=B X= A-1B 13. AXC=B X= A-1BC-1
14.
逆变换与逆矩阵
15.用二阶矩阵和行列式研究二元一次方程组的解的情 况并不比消元法优越多少.但是,当方程组中的未知元很 多时,矩阵就变成了研究它的一个强有力的工具.
3．例1的设计起着承上启下的作用，所举的几个例子也是 学生熟知的，学生可以从几何变换的角度借助直观找到答 案．所以，例1的目的在于帮助学生从几何的角度理解逆 矩阵的意义，并为后续学习积累丰富的感性认识．
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.. .. .. 专业word可编辑 . 第二节 矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量
1．矩阵的逆矩阵 (1)一般地，设ρ是一个线性变换，如果存在线性变换σ，使得σρ＝ρσ＝I，则称变换ρ可逆，并且称σ是ρ的逆变换． (2)设A是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使得BA＝AB＝E，则称矩阵A可逆，或称矩阵A是可逆矩阵，并且称B是A的逆矩阵． (3)(性质1)设A是一个二阶矩阵，如果A是可逆的，则A的逆矩阵是唯一的，A的逆矩阵记为A－1. (4)(性质2)设A，B是二阶矩阵，如果A，B都可逆，则AB也可逆，且(AB)－1＝B－1A－1.
(5)二阶矩阵A＝a bc d可逆，当且仅当det A＝ad－bc≠0时，A－1＝
ddet A －bdet A
－cdet A adet A
.
2．二阶行列式与方程组的解 .. .. .. 专业word可编辑 . 对于关于x，y的二元一次方程组 ax＋by＝m，cx＋dy＝n，我们把a bc d称为二阶行列式，它的运算结果是一个数值，记为det A＝
a b
c d＝ad－bc.
若将方程组中行列式a bc d记为D，m bn d记为Dx，a mc n记为Dy
，则当D≠0
时，方程组的解为
x＝DxD.
y＝DyD.
3．矩阵特征值、特征向量的相关概念 (1)定义：设矩阵A＝a bc d，如果存在实数λ以及非零向量ξ，使得Aξ＝λξ，则称λ是矩阵A的一个特征值，ξ是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量． (2)一般地，设ξ是矩阵A的属于特征值λ的一个特征向量，则对任意的非零常数k，kξ
也是矩阵A的属于特征值λ的特征向量． (3)一般地，属于矩阵的不同特征值的特征向量不共线．
(4)设矩阵A＝a bc d，称f(λ)＝
λ－a －b
－c λ－d为矩阵A的特征多项式，方程
λ－a －b
－c λ－d＝0为矩阵A的特征方程．
4．特征向量的应用 (1)设A是一个二阶矩阵，α是矩阵A的属于特征值λ的任意一个特征向量，则Anα＝λnα(n∈N*)．
(2)性质1 设λ1，λ2是二阶矩阵A的两个不同特征值，ξ1，ξ2是矩阵A的分别属于特 .. .. .. 专业word可编辑 . 征值λ1，λ2的特征向量，对于任意的非零平面向量α，设α＝t1ξ1＋t2ξ2(其中t1，t2为实数)，则对任意的正整数n，有Anα＝t1λn1ξ1＋t2λn2ξ2.
1．矩阵
0 －1
1 0的逆矩阵是________．
答案：
0 1
－1 0
2．若矩阵
2 3
5 k可逆，则k的值不可能是________．
答案：152
3．若矩阵A＝
2 1－a2
1 a＋1不可逆，则实数a的值为________．
解析：由题意|A|＝
2 1－a2
1 a＋1
＝2×(a＋1)－1×(1－a2)＝a2＋2a＋1＝0，∴a＝－1. 答案：－1
4．对任意实数x，矩阵
x 3＋m
2－m 2总存在特征向量，则m的取值范围是________．
解析：由条件得f(λ)＝
λ－x －3－m
m－2 λ－2
＝(λ－x)(λ－2)－(m－2)(－3－m) ＝λ2－(x＋2)λ＋2x＋(m＋3)(m－2)＝0有实数根， 所有Δ1
＝(x＋2)2－4(2x＋m2＋m－6)≥0对任意实数x恒成立，
所以Δ2
＝16＋4(4m2＋4m－28)≤0，
解得m的取值范围是－3≤m≤2. .. .. .. 专业word可编辑 . 答案：－3≤m≤2. 5．已知矩阵M的特征值λ1＝8及对应的一个特征向量e1＝11，并有特征值λ2＝2及
对应的一个特征向量e2
＝1－2.则矩阵M＝________.
解析：设M＝a bc d，则a bc d11＝811＝
8
8，
故 a＋b＝8，c＋d＝8，a bc d 1－2＝2 1－2＝
2
－4，
故 a－2b＝2，c－2d＝－4，联立以上两个方程组解得a＝6，b＝2，c＝4，d＝4，故M＝6 2
4 4.
答案：
6 2
4 4
热点考向一 求逆矩阵
例1 求矩阵A＝3 22 1的逆矩阵． 【解析】 法一：设矩阵A的逆矩阵为x yz w， 则3 22 1 x yz w＝
1 0
0 1， .. .. .. 专业word可编辑 . 即3x＋2z 3y＋2w2x＋z 2y＋w＝
1 0
0 1，
故 3x＋2z＝1，2x＋z＝0，且
3y＋2w＝0，
2y＋w＝1，
解得x＝－1，z＝2，y＝2，w＝－3， 从而矩阵A的逆矩阵A－1＝－1 2 2 －3.
法二：∵A＝
3 2
2 1，∴detA＝－1.
∴A－1＝1－1 －2－1－2－1 3－1＝－1 22 －3. 【点评】 方法一是待定系数法；方法二是公式法．
1．已知变换矩阵A把平面上的点P(2，－1)、Q(－1,2)分别变换成点P1(3，－4)、Q1(0,5)．
(1)求变换矩阵A； (2)判断变换矩阵A是否可逆，如果可逆，求矩阵A的逆矩阵A－1：如不可逆，请说明理由．
【解析】 (1)假设所求的变换矩阵A＝a bc d，依题意，可得a bc d 2－1＝
3
－4及
a bc d －1 2＝0
5， .. .. .. 专业word可编辑 . 即 2a－b＝3，2c－d＝－4，－a＋2b＝0，－c＋2d＝5，解得：
a＝2，
b＝1，
c＝－1，
d＝2
所以所求的变换矩阵A＝
2 1
－1 2
(2)∵detA＝2×2－(－1)×1＝5， ∴A可逆
A－1＝25 －15－1－15 25＝25 1－515 25.
热点考向二 利用矩阵解二元一次方程组
步骤-求a1 b1a2 b2的逆矩阵-求方程组的解 例2 (1)求矩阵A＝2 31 2的逆矩阵； (2)利用逆矩阵知识，
解方程组
2x＋3y－1＝0，
x＋2y－3＝0.
【解析】 (1)法一：设矩阵A的逆矩阵为A－1＝a bc d， 则由2 31 2 a bc d＝
1 0
0 1，