人教版初三数学上册《圆周角》课后练习.doc
人教版九年级数学上册 第二十四章 圆 24.1.3 弧、县、圆心角 课后练习
人教版九年级数学上册第二十四章圆24.1.3 弧、县、圆心角课后练习一、选择题1．如图，AB为⊙O直径，CD为弦，AB⊥CD于E，连接CO，AD，∠BAD＝20°，下列结论中正确的有（）①CE ＝OE②∠C＝50° ③ ACD ＝ ADC ④AD＝2OEA．①④B．②③C．②③④D．①②③④2．如图，半径为R的⊙O的弦AC＝BD，AC、BD交于E，F为BC上一点，连AF、BF、AB、AD，下列结论：⊙AE＝BE；⊙若AC⊥BD，则AD＝R；⊙在⊙的条件下，若CF CD=，AB＝，则BF+CE＝1．其中正确的是（）A．⊙⊙B．⊙⊙C．⊙⊙D．⊙⊙⊙3．如图，AB是⊙O的直径，C是线段OB上的一点（不与点B重合），D，E是半圆上的点且CD与BE交于点F,用①DB DE=，②DC⊥AB，③FB=FD中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成一个命题，则组成真命题的个数为（）A．0B．1C．2D．34．如图，AB是O的直径，AB＝4，C为AB的三等分点（更靠近A点），点P是O上一个动点，取弦AP的中点D，则线段CD的最大值为（）A．2B C．D5．如图：已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，点D在半径OA上（不与点O，A重合）．若∠COA＝60°，∠CDO＝70°，∠ACD的度数是（）A ．60°B ．50°C ．30°D ．10°6．已知点A 、B 、C 、D 、E 、F 是半径为r 的⊙O 的六等分点，分别以A 、D 为圆心，AE 和DF 长为半径画圆弧交于点P ．以下说法正确的是( )①∠PAD=∠PDA=60º； ②△PAO ≌△ADE ；③r ；④AO ∶OP ∶PA=1.A ．①④B ．②③C ．③④D ．①③④7．下列命题是假命题的是( )A ．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等B ．平分弦的直径垂直于弦C ．两条平行线间的距离处处相等D ．正方形的两条对角线互相垂直平分8．如图 ⊙MN 是⊙O 的直径，MN=8⊙∠AMN=40°，点B 为弧AN 的中点，点P 是 直径MN 上的一个动 点，则PA+PB 的最小值为( )A ．√3B ．2√3C ．3√3D ．4√39．如图，点A 是半圆上的一个三等分点，点B 为弧AD 的中点，P 是直径CD 上一动点，⊙O 的半径是2，则PA PB +的最小值为（ ⊙A ．2BC 1D ．10．如图，在平面直角坐标系xOy 中()(),3,0,3,0A B -,若在直线y x m =-+上存在点P 满足60APB ∠=︒,则m 的取值范围是（ ）A m≤≤B．m≤≤C m≤≤D．m≤≤二、填空题11．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AB=8，点E是AB的中点，以AE为边作等边△ADE（点D与点C 分别在AB异侧），连接CD，则△ACD的面积是_________．12．点A、C为半径是3的圆周上两点，点B为弧AC的中点，以线段BA、BC为邻边作菱形ABCD，顶点D恰在该圆直径的三等分点上，则该菱形的边长为_____．13．如图，MN是⊙O的直径，OM=2，点A在⊙O上，30∠⊙B为弧AN的中点，P是直径MN上一动点，AMN=则PA+PB的最小值为______________.14．如图，AB、CD是⊙O的两条弦，若⊙AOB+⊙C=180°，⊙COD=⊙A，则⊙AOB=________15．如图⊙A⊙B⊙C⊙D是⊙O上的四个点⊙若AB CD BC AD+=+⊙且弦AB=8⊙CD=4⊙则⊙O的半径为________⊙三、解答题16．如图，在平面直角坐标系中，点P 是y 轴正半轴上一点，⊙P 与x 轴交与A ，B 两点，与y 轴交与C 点，OC 、OA 分别是方程214480x x -+=的两个根（OC ＞OA ），点D 是弧AC 上的一动点，点F 是弧AD 的中点．（1）求⊙P 的半径；（2）试判断∠CF A 与∠EFC 的大小关系，并说明理由；（3）随着D 点的运动，CE 的长度变化吗？若不变，请求出其值；若变化，请求出其变化范围．17．某处靠近海岸的海域有一片暗礁，当地海洋管理部门在海岸上建造了两座灯塔A ，B ，通告所有船只不要进入以AB 为弦的弓形区域（阴影部分）内（含边界）以免触礁，如图所示.现有一艘货轮P 正向暗礁区域靠近，当APB ∠多大时，才能避开暗礁？18．如图，在正方形ABCD 中，点E 在边AD 上运动（不运动至两端点），射线BE ，CD 交于点F ，O 为BDF ∆的外接圆，连结OA ，OF ，OB ．（1）求OFB ∠的度数．（2）求证：180AOF AEF ∠+∠=︒．（3）若正方形ABCD 的边长为2．①当E 为AD 中点时，求四边形OAEF 的面积．②设OD ，BF 交于点M ，设BED ∆，EMD ∆，MFD ∆的面积分别为1S ，2S ，3S ，当BA 平分OBF ∠时，123::S S S =_________（直接写出答案）．19．（理论学习）学习图形变换中的轴对称知识后，我们容易在直线l 上找到点P ，使AP BP +的值最小，如图1所示，根据这一理论知识解决下列问题：（1）（实践运用）如图2，已知O 的直径CD 为4，弧AD 所对圆心角的度数为60︒，点B 是弧AD 的中点，请你在直径CD 上找一点P ，使BP AP +的值最小，并求BP AP +的最小值．（2）（拓展延伸）在图3中的四边形ABCD 的对角线AC 上找一点P ，使APB APD ∠=∠．（尺规作图，保留作图痕迹，不必写出作法）．20．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝a （x ﹣1）（x ﹣5）（a ＞0）的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于P 点，过其顶点C 作直线CH ⊥x 轴于点H ．（1）若∠APB ＝30°，请直接写出满足条件的点P 的坐标；（2）当∠APB 最大时，请求出a 的值；（3）点P 、O 、C 、B 能否在同一个圆上？若能，请求出a 的值，若不能，请说明理由．（4）若a ＝15，在对称轴HC 上是否存在一点Q ，使∠AQP ＝∠ABP ？若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．21．在平面直角坐标系xOy 中，点A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），若x 1x 2+y 1y 2＝0，且A ，B 均不为原点，则称A 和B 互为正交点．比如：A （1，1），B （2，﹣2），其中1×2+1×（﹣2）＝0，那么A 和B 互为正交点．（1）点P 和Q 互为正交点，P 的坐标为（﹣2，3），①如果Q 的坐标为（6，m ），那么m 的值为多少；②如果Q 的坐标为（x ，y ），求y 与x 之间的关系式；（2）点M 和N 互为正交点，直接写出∠MON 的度数；（3）点C，D是以（0，2）为圆心，半径为2的圆上的正交点，以线段CD为边，构造正方形CDEF，圆心F在正方形CDEF的外部，求线段OE长度的取值范围．22．如图，在⊙O中，AB⊙DE为⊙O的直径，C是⊙O上一点，且AD=CE⊙⊙1⊙BE与CE有什么数量关系？为什么？⊙2）若∠BOE=60°，则四边形OACE是什么特殊的四边形？请说明理由．23．如图，AB为⊙O的直径，点C是⊙O上一点，CD是⊙O的切线，∠CDB＝90°，BD交⊙O于点E．（1）求证：=AC CE．（2）若AE＝12，BC＝10．①求AB的长；②如图2，将BC沿弦BC折叠，交AB于点F，则AF的长为【参考答案】1．B 2．D 3．D 4．D 5．D 6．C 7．B 8．D 9．D 10．D11．4+12或13．14．108°15．16．解：（1）解方程214480x x-+=，得16x=，28x=，OA OC<，6OA ∴=，8OC =，连接AP ，设⊙P 的半径为r ，则在Rt AOP △中，222AP OP AO =+，即()22268r r =+-， 解得254r =； （2）连接AC ，AP ，BP∵12AFB APB ACO PAC ∠=∠=∠+∠， 且1122CFB CPB CPA ∠=∠=∠， ∴CFA CFB AFB ∠=∠+∠，180EFC CFB ∠=︒-∠，∴21801800CFA EFC CFB AFB CPA ACO PAC ∠-∠=∠+∠-︒=∠+∠+∠-︒=， ∴∠CF A 与∠EFC 相等；（3）不变；∵点F 是弧AD 的中点，∴ECF ACF ∠=∠，易得CEF CAF ≌，∴10CE AC ===．17．解：货轮P 在航行时，只要使∠APB<55°，即在ACB 外行驶，就能避开暗礁. 18．（1） 解：∵∠ADB=45°， ∠ADF=90°，∴∠BDF=135°∴优弧BF =270°．∴BF =90°，∠BOF =90°∵OB=OF ，∴∠OFB=∠OBF=45°故答案为：45°（2）证明：连结OD （如图１），∵OB=OD ，OA=OA ，AB=AD ，∴△OAB ≌△OAD （SSS ）．∴∠OAB=∠OAD=360901352︒-︒=︒． ∵∠OFB=45°，∴∠AOF+∠AEF=360°-135°-45°=180°图1（3）①作OH ⊥AD ，OG ⊥FD ，垂足分别为H ，G ，连结OD （如图2），图2由AE=ED ，易得△ABE ≌△DFE ，∴FD=AB=2，由OD=OF ，OG ⊥FD ，得GD=12FD = 由OH ⊥AD ，OG ⊥FD ，∠ADF=90°，得矩形OHDG ，∴OH=GD=1．由∠OAH=∠OAB -∠HAB=135°-90°=45°，得∠HOA=∠HAO=45°∴AH=OH=1，OG=HD=AH+AD=1+2=3．∵△OAD 的面积=21122AD OH ⨯⨯==，△ODF 的面积=23322DF OG ⨯⨯==， △FDE 的面积=12122ED DF ⨯⨯==， ∴四边形OAEF 的面积=△OAD 的面积+△ODF 的面积-△FDE 的面积=1+3-1=3． ②OD 与BF 交于点M 如图3：BA 平分OBF ∠∴OBA ABE MDE ∠=∠=∠又∵AEB MED ∠=∠ ∴AEB MED ∆∆∴90EMD BAE ∠=∠=︒∵OF=OB∴BM=MF设圆的半径为r∵OBA ABE MED MFD ∠=∠=∠=∠∵90FDE FMD ∠=∠=︒∴DEF MED ∆∆∴2DM ME MF =2(r ME =1)ME r =，1)(1BE BM ME r r =-== BED ∆，EMD ∆，MFD ∆的面积分别为1S ，2S ，3S ，三个三角形的高均为MD∴312::::(1:1)1):(2:1S S BE ME MF r r S ===图3故答案为：1):(2:1-19．解：（1）作点B 关于CD 的对称点E ，则点E 在圆上，连接AE 交CD 于点P ，则AP BP +最短，连接OA OB OE ，，. 60AOD ∠=︒，B 是弧AD 的中点，30AOB DOB ∴∠=∠=︒，B 关于CD 的对称点E ，3090DOE DOB AOE ∴∠=∠=︒∴∠=︒，又2OA OE ==，OAE ∴是等腰直角三角形，∴AE =（2）如图，作点B 关于AC 的对称点B′，连接DB′交AC 于点P ， 由AC 是BB′的垂直平分线，可得∠APB=∠APD.20．解：（1）作△PAB 的外接圆⊙D ，连接DP 、DA 、DB ，如图1 ∴DP ＝DA ＝DB ，∵C 为抛物线顶点且CH ⊥x 轴∴CH 为抛物线对称轴，即CH 垂直平分AB∴D 在直线CH 上∵∠APB ＝30°∴∠ADB ＝2APB ＝60°∴△ABD 是等边三角形∵当y ＝0时，a （x ﹣1）（x ﹣5）＝0 解得：x 1＝1，x 2＝5 ∴A （1，0），B （5，0）∴DP ＝DA ＝AB ＝4，H （3，0），直线CH ：x ＝3∴AH ＝2，DH ＝∴D （3，设P （0，p ）（p ＞0）∴PD2＝32+（﹣p）2＝42解得：p1＝+p2＝∴点P坐标为（0，+0，（2）作△PAB的外接圆⊙E，连接EP、EA、EB，如图2∵∠AEB＝2∠APB∴∠AEB最大时，∠APB最大∵AB＝4是定值∴EH最小时，∠AEB最大，此时⊙E与y轴相切于点P ∴EP⊥y轴于P∴四边形OHEP是矩形∴PE＝OH＝3∴EA＝PE＝3∴Rt△AEH中，EH==∴OP＝EH∴点P坐标为（0，代入抛物线解析式得：5a∴a（3）点P、O、C、B能在同一个圆上．连接PB，取PB中点F，连接FO、FC∵∠POB＝90°∴OF＝PF＝FB＝12 PB∴点P、O、B在以点F为圆心、FB的长为半径的圆上若点C在⊙F上，则FC＝FB∵抛物线解析式y＝a（x﹣1）（x﹣5）＝ax2﹣6ax+5a＝a（x﹣3）2﹣4a ∴P（0，5a），C（3，﹣4a）∵B（5，0），F为PB中点∴F55,22a ⎛⎫ ⎪⎝⎭∴22222 22551169552525 34,5222442244a a a a FC a FB⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++=+=-+=+⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴22 11692525 4444a a +=+解得：a1a2∴a的值为6（4）对称轴HC上存在一点Q，使∠AQP＝∠ABP作△PAB的外接圆⊙G，连接GP、GA，设⊙G与直线CH交于点Q ∴∠AQP＝∠ABP当a＝15时，点P（0，1）设G（3，b）（b＞0）∴GP2＝32+（b﹣1）2，GA2＝（3﹣1）2+b2∵GP＝GA∴32+（b﹣1）2＝（3﹣1）2+b2解得：b＝3∴G（3，3），GQ＝GA=∴点Q坐标为（3，3+ 3，3．21．（1）①由题意：﹣2×6+3m＝0，解得m＝4，故答案为4．②由题意：﹣2x+3y＝0，∴y＝23 x．（2）设M（m，n），N（p，q），∴直线OM的解析式为y＝nmx，直线ON的解析式为y＝qpx，∵点M和N互为正交点，∴mp +nq ＝0，∴k OM •k ON ＝nq mp＝﹣1， ∴OM ⊥ON ．∴∠MON ＝90°．（3）如图1中，连接EF 交CD 于H ，作FQ ⊥CD 于Q ．由题意DF ＝CF ＝2，CD ＝DE ＝，DQ ＝QC ＝FQ ，∵FQ ∥DE ，∴QH ：DH ＝FQ ：DE ＝FH ：EH ＝1：2，∴HQ ＝3，FH 3=，∴EH ＝2FH ＝3，∴EF ＝FH +EH ＝在△OFE 中，EF ﹣OF ≤OE ≤EF +OF ，∴当点E 在y 轴的正半轴上时，O 、F 、E 共线，此时OE 的值最大，最大值为 ∵原点O 在正方形CDEF 的外部，∴当点E 在y 轴负半轴上时，OE 的值最小，最小值为2．∴符合条件的OE 的范围为：2≤OE22．⊙1⊙∵AB⊙DE 是⊙O 的直径，∴∠AOD=∠BOE⊙∴AD BE =⊙∵AD CE =⊙∴BE CE ⊙∴BE=CE⊙⊙2）连结OC⊙∵∠BOE=60°⊙BE=CE⊙∴∠COE=60°⊙∵OC=OE⊙∴△COE是等边三角形，∵∠AOC=180°⊙60°⊙60°=60°⊙OA=OC⊙∴△AOC是等边三角形，∴OE=CE=OA=AC=OC⊙∴四边形OACE是菱形．23．解：（1）如图1，连接OC交AE于M，∵DC与⊙C相切于点C，∴OC⊥DC，即：∠OCD＝90°，∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵∠CDB＝90°，∴CD∥AE，∴OC⊥AE，∴弧AC=弧CE；（2）①由（1）知，∠D＝∠OCD＝∠DEM＝∠EMC＝90°，∴四边形CMED是矩形，∴CD＝ME＝AM＝12AE＝6，在Rt△BCD中，根据勾股定理得，BD8，∴cos∠DBC＝45，∵∠CAM＝∠DBC，∴cos∠CAM＝AMAC＝45，∴AC＝152，在Rt△ABC中，根据勾股定理得，AB＝252；②如图2，在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE＝7 2连接EF，∵弧AC=弧CE，∴∠ABC＝∠DBC，由折叠知，BF＝BE，∴AF＝AB﹣BF＝252﹣72＝9，故答案为：9．。
人教版 九年级数学上册 第24章 圆的概念及弧、弦、圆心角和圆周角 专题练习(含答案)
圆的概念及弧、弦、圆心角和圆周角专题练习（含答案）例1. 如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（）A．160°B．150°C．140°D．120°例2. 如图，以AB为直径的⊙O与弦CD相交于点E，且AC=2，AE CE=1．则弧BD 的长是（）B C D例3．如图，已知A，B，C在⊙O上，ACB为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（）A．2∠C B．4∠B C．4∠A D．∠B+∠C例4. 如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（）A．6 B．5 C．4 D．3巩固练习1．如下图，(1)若点O为⊙O的圆心，则线段__________是圆O的半径；线段________是圆O的弦，其中最长的弦是______；______是劣弧；______是半圆．(2)若∠A=40°，则∠ABO=______，∠C=______，∠ABC=______．2．如图，将半径为2cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为________．3．⊙O中，∠AOB＝100°，若C是AB上一点，则∠ACB等于( )．A．80°B．100°C．120°D．130°4．已知：如图，在同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C，D两点．(1)求证：∠AOC=∠BOD；(2)试确定AC与BD两线段之间的大小关系，并证明你的结论．5. 已知：如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上的两点，且C为AD的中点，若∠BAD=20°，求∠ACO的度数6．如图，以ABCD的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，分别交BC、AD于E、F，交BA的延长线于G，试说明弧EF和弧FG相等.7. ⊙O中，M为AB的中点，则下列结论正确的是( )．A．AB>2AM B．AB=2AM C．AB<2AM D．AB与2AM的大小不能确定8. 如图，⊙O中，AB为直径，弦CD交AB于P，且OP=PC，试猜想AD与CB之间的关系，并证明你的猜想．9. 如图，⊙O中，直径AB=15cm，有一条长为9cm的动弦CD在ANB上滑动(点C与A，点D与B不重合)，CF⊥CD交AB于F，DE⊥CD交AB于E．(1)求证：AE=BF；(2)在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值?若是定值，请给出证明并求这个定值；若不是，请说明理由．10．如图，若五边形ABCDE是⊙O的内接正五边形，则∠BOC=______，∠ABE=______，∠ADC=______，∠ABC=______．10题图11题图12题图11．如图，若六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，则∠AED=______，∠FAE=______，∠DAB=______，∠EFA=______．12．如图，ΔABC是⊙O的内接正三角形，若P是AB上一点，则∠BPC=______；若M是BC上一点，则∠BMC=______．13．在⊙O中，若圆心角∠AOB=100°，C是AB上一点，则∠ACB等于( )．A．80°B．100°C．130°D．140°14．在圆中，弦AB，CD相交于E．若∠ADC=46°，∠BCD=33°，则∠DEB等于( )．A．13°B．79°C．38.5°D．101°15．如图，AC 是⊙O 的直径，弦AB ∥CD ，若∠BAC =32°，则∠AOD 等于( )．A ．64°B ．48°C ．32°D ．76°16．如图，弦AB ，CD 相交于E 点，若∠BAC =27°，∠BEC =64°，则∠AOD 等于( )．A ．37°B ．74°C ．54°D ．64°17．如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，则x ＝ 。
中考数学复习----《圆周角定理》知识点总结与专项练习题(含答案)
中考数学复习----《圆周角定理》知识点总结与专项练习题（含答案）知识点总结1.圆心角、弦以及弧之间的关系：①定理：在同圆和等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。
②推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
说明：同一条弦对应两条弧，其中一条是优弧，一条是劣弧，而在本定理和推论中的“弧”是指同为优弧或劣弧。
2.圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角。
3.圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
4.圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
5.圆的内接四边形：①定义：四个顶点都在圆上的四边形叫做圆的内接四边形。
②性质：I：圆内接四边形的对角互补。
II：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角。
练习题1、（2022•襄阳）已知⊙O的直径AB长为2，弦AC长为2，那么弦AC所对的圆周角的度数等于．【分析】首先利用勾股定理逆定理得∠AOC＝90°，再根据一条弦对着两种圆周角可得答案．【解答】解：如图，∵OA＝OC＝1，AC＝，∴OA2+OC2＝AC2，∴∠AOC＝90°，∴∠ADC＝45°，∴∠AD'C＝135°，故答案为：45°或135°．2、（2022•日照）一圆形玻璃镜面损坏了一部分，为得到同样大小的镜面，工人师傅用直角尺作如图所示的测量，测得AB＝12cm，BC＝5cm，则圆形镜面的半径为．【分析】连接AC，根据∠ABC＝90°得出AC是圆形镜面的直径，再根据勾股定理求出AC 即可．【解答】解：连接AC，∵∠ABC＝90°，且∠ABC是圆周角，∴AC是圆形镜面的直径，由勾股定理得：AC＝＝＝13（cm），所以圆形镜面的半径为cm，故答案为：cm．3、（2022•永州）如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠ADC＝30°，则∠BOC＝度．【分析】根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半求出∠AOC的度数，根据平角的定义即可得到∠BOC＝180°﹣∠AOC的度数．【解答】解：∵∠ADC是所对的圆周角，∴∠AOC＝2∠ADC＝2×30°＝60°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝180°﹣60°＝120°．故答案为：120．4、（2022•苏州）如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点E，连接AC，AD．若∠BAC＝28°，则∠D＝°．【分析】如图，连接BC，证明∠ACB＝90°，求出∠ABC，可得结论．【解答】解：如图，连接BC．∵AB是直径，∴∠ACB＝90°，∴∠ABC＝90°﹣∠CAB＝62°，∴∠D＝∠ABC＝62°，故答案为：62．5、（2022•湖州）如图，已知AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝120°，OC ⊥AB ，垂足为C ，OC 的延长线交⊙O 于点D ．若∠APD 是AB ⌒所对的圆周角，则∠APD 的度数是 ．【分析】由垂径定理得出，由圆心角、弧、弦的关系定理得出∠AOD ＝∠BOD ，进而得出∠AOD ＝60°，由圆周角定理得出∠APD ＝∠AOD ＝30°，得出答案．【解答】解：∵OC ⊥AB ，∴，∴∠AOD ＝∠BOD ，∵∠AOB ＝120°，∴∠AOD ＝∠BOD ＝∠AOB ＝60°，∴∠APD ＝∠AOD ＝×60°＝30°，故答案为：30°．6、（2022•徐州）如图，A 、B 、C 点在圆O 上，若∠ACB ＝36°，则∠AOB ＝ ．【分析】利用一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得出结论．【解答】解：∵∠ACB ＝∠AOB ，∠ACB ＝36°，∴∠AOB ＝2×∠ACB ＝72°．故答案为：72°．7、（2022•锦州）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为⊙O的直径，∠ADC＝130°，连接AC，则∠BAC的度数为．【分析】利用圆内接四边形的性质和∠ADC的度数求得∠B的度数，利用直径所对的圆周角是直角得到∠ACB＝90°，然后利用直角三角形的两个锐角互余计算即可．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC＝130°，∴∠B＝180°﹣∠ADC＝180°﹣130°＝50°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠CAB＝90°﹣∠B＝90°﹣50°＝40°，故答案为：40°．8、（2022•雅安）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72°，那么∠BOD的度数为．【分析】根据邻补角的概念求出∠BCD，根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理解答即可．【解答】解：∵∠DCE＝72°，∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝108°，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠A＝180°﹣∠BCD＝72°，由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝144°，故答案为：144°．9、（2022•甘肃）如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC＝110°，则∠ADC＝°．【分析】根据圆内接四边形的对角互补即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝110°，∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70．。
初三上册圆的圆周角练习题
初三上册圆的圆周角练习题在初三数学的课程中，圆的相关概念和性质是学生们需要掌握的重要内容之一。
其中，圆周角作为圆的一个重要性质，在解题过程中起着至关重要的作用。
本文将为大家提供一些圆周角练习题，帮助大家巩固和提升对圆周角的理解和运用。
1.已知半径为r的圆上有两条弧AB和CD，弧AB对应的圆心角为α，弧CD对应的圆心角为β。
如果α+β=90°，求证：弧AB和弧CD的长度相等。
解答：由于α+β=90°，根据圆周角和的性质可知，弧AB和弧CD所对应的弧度和为π/2，即AB+CD=π/2。
又由于AB和CD是同一圆上的两条弧，因此它们的弧长相等，即AB=CD。
2.已知圆心角θ对应的圆弧长度为s，圆的半径为r。
求证：θ的度数等于s/r的弧度数。
解答：根据圆周等分的原理，360°对应于2π的弧度数。
假设θ对应的弧度数为x，那么x/2π=θ/360°。
根据题目已知条件，s/r=x/2π，两边乘以360°得到s/r=θ。
3.已知直径为d的圆上的两条弧AB和CD，弧AB对应圆心角为α，弧CD对应圆心角为β。
如果α和β的度数之和等于180°，求证：弧AB和弧CD的长度之和等于圆周长的一半。
解答：由题意可知，α+β=180°，根据圆周角和的性质可得，AB+CD=π，即弧AB和弧CD的长度之和等于圆周长的一半。
通过以上的练习题，我们可以更深入地了解和应用圆的圆周角的性质。
在解题过程中，需要灵活运用和转化弧度和度数的关系、圆周角和的性质等概念。
只有真正理解并掌握这些概念，才能在数学问题中正确地运用它们。
圆周角作为圆的一个重要性质，不仅存在于初三数学中，也在实际生活中有着广泛的应用。
比如，在建筑中，为了保证圆形构件的连接稳定，需要正确地计算和设计圆周角。
因此，对圆周角的学习不仅仅是应试的需要，更是培养学生逻辑思维和数学运算能力的重要一环。
通过不断练习和巩固，相信大家在初三数学中的圆的圆周角问题上将能够得心应手，取得良好的成绩。
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C
O
B
A
图1
D
A
C
O
B
图2
P
D
A
C
O
B
图3
C
O
B
A
图4
《圆周角》课后检测
咸丰县民族中学 主备人：刘兴美
1、下列命题中是真命题的是（ ）
A．顶点在圆周上的角叫做圆周角； B．60º的圆周角所对的弧
的度数是30º；
C．一弧所对的圆周角等于它所对的圆心角； D．160º的弧所对的
圆周角是80º．
2、一弦分圆周成两部分，其中一部分是另一部分的4倍，则这弦所
对的圆周角度数为____．
3、如图1,△ABC的顶点都在⊙O上,若∠BOC=120°,那么∠BAC等于
（ ）
A．60 º B.90 º C.120 º D.150 º
4、一条弧所对的圆周角是120º，那么它所含的圆周角为（ ）
A．120 º B.90 º C.60 º D.60 º或120 º
5、如图2,AB、AC是⊙O的弦，延长CA到点D，使AD=AB.若∠D=20
º，则∠BOC等于（ ） A．20 º B.40 º C.80
º D.120 º
6、在半径为R的圆内，长为R的弦所对的圆周角为（ ）
A．30 º B.60 º C.30 º 或150 º D.120 º或
60º
7、如图3，正方形ABCD内接于⊙O，点P在AB上，则∠DPC
= .
8、如图4，已知AB是⊙O的直径，点C为弧AB上的一个三等分
点，则AC : BC: AB .
9、如图5，点A、B、C在⊙O上，∠B=50º，∠A=15º，则∠AOB等于
（ ）
A．50 º B.60 º C.70º D.80º
10、如图6，AB是⊙O的直径，点P是半圆上任意一点（不含A，B），
点Q是另一半圆上一定点，若∠POA为x度，∠PQB为y度，则x与
y
的函数关系式是 .
C
B
A
O
图5
Q
P
B
A
O
图6
O
A
B
C
图7
图8
O
A
B
C
O
D
B
E
C
A
O
D
B
E
C
A
O
D
B
C
A
11、如图7，△ABC的顶点都在⊙O上,∠B=30°，AC=2cm，则⊙O
的半径长为 .
12、如图8，△ABC的顶点都在⊙O上,∠B=∠OAC，OA=8cm,则
AC= .
13、如图，AB、CD是⊙O的直径，弦CE∥AB.B是DE的中点吗？为什
么？
14、如图，在⊙O中，弦AB、CD相交于点E，∠BAC=40°，∠AED=75°，
求∠ABD的度数.
15、如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠ADC=∠BDC=60°.判断△ABC
的形状，并说明理由.