高考《数列》汇编及详解 高考数学

n
切点为（ 2 ， -2n ） , 所以切线方程为 y+2n=k(x-2), 令 x=0 得 an=(n+1)2n, 令 bn=
an 2 n . 数列 n 1
an 2 3 n n+1 的前 n 项和为 2+2 +2 +…+2 =2 -2 n 1
【解后反思】应用导数求曲线切线的斜率时，要首先判定所经过的点为切点。否则容易出错。 22． （山东卷）设 S n 为等差数列 an 的前 n 项和， S4 ＝14，S10－ S7 ＝30，则 S9＝ 解：设等差数列 an 的首项为 a1，公差为 d，由题意得 4a1 .
（C）
2 n 3 (8 1) 7
（D）
2 n4 (8 1) 7
解：依题意， f ( n) 为首项为 2，公比为 8 的前 n＋4 项求和，根据等比数列的求和公式可得 D 2． （北京卷）如果-1，a,b,c,-9 成等比数列，那么 （A）b=3,ac=9 (B)b=-3,ac=9 (C)b=3,ac=-9 (D)b=-3,ac=-9
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a1 a 2 a n
2n 1 2n 1 . 2 1
21． （江苏卷）对正整数 n，设曲线 y x n (1 x) 在 x＝2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n ，则 数列 {
an } 的前 n 项和的公式是 n 1
【思路点拨】 本题考查应用导数求曲线切线的斜率， 数列通项公式以及等比数列的前 n 项和的公 式 【正确解答】 y nxn1 (n 1) xn ，曲线 y=x (1-x)在 x=2 处的切线的斜率为 k=n2n-1-(n+1)2n
解 ：在等差数列 an 中，若 a4 a6 12 ，则 a5 6 ， Sn 是数列的 an 的前 n 项和，则
S9 =
9( a1 a9 ) 9a5 =54，选 B. 2
18．(重庆卷)在等差数列 an 中，若 an 0 且 a3a7 64 ， a5 的值为 （A）2 （B）4 （C）6 （D）8
„
n(n 1)( n 2) 6
.

a1 1, a n 1 2a n .n 1 ， 20． （湖南卷） 若数列 a n 满足： 2， 3„.则 a1 a 2 a n
解：数列 a n 满足： a1 1, an1 2an , n 1 ， 2 ， 3… ，该数列为公比为 2 的等比数列，∴
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3
D. 243
解：因为数列｛an｝是等比数列，且 a1＝1，a10＝3，所以 a2a3a4a5a6a7a8a9＝ （a2a9） （a3a8） （a4a7） （a5a6）＝（a1a10）4＝34＝81，故选 A 7． （江西卷）已知等差数列｛an｝的前 n 项和为 Sn，若 OB ＝a1 OA ＋a 200 OC ，且 A、B、C 三点 共线（该直线不过原点 O） ，则 S200＝（ A．100 B. 101 ） C.200 D.201
11． （全国卷 I）设 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，若 S7 35 ，则 a4 A． 8 B． 7 C． 6 D． 5
【解析】 Sn 是等差数列 an 的前 n 项和，若 S7 7a4 35, ∴ a4 5 ，选 D. S3 1 S6 12． （全国 II）设 Sn 是等差数列｛an｝的前 n 项和，若 ＝ ，则 ＝ S6 3 S12 3 （A） 10 1 （B） 3 1 （C） 8 1 （D） 9
9(a1 a9 ) =36，选 C 2
.15 ． （天津卷）已知数列 {an } 、 {bn } 都是公差为 1 的等差数列，其首项分别为 a1 、 b1 ，且
a1 b1 5 ， a1 , b1 N * ．设 cn abn （ n N * ） ，则数列 {cn } 的前 10 项和等于（
5a1 10d 10 a1 2d 2 9d 4d 1 4 d 1 10a1 45d 5 2a1 9d 1
【名师点拔】数学问题解决的本质是，你已知什么？从已知出发又能得出什么？完成了这些，也 许水到渠成了。本题非常基础，等差数列的前 n 项和公式的运用自然而然的就得出结论。 24．(重庆卷)在数列｛an｝中，若 a1=1,an+1=2an+3 (n≥1),则该数列的通项 an=_________.
a4 a2 15 7 4 ， a1 ＝3，所以 S10 ＝210，选 B 42 2
)
14．(陕西卷)已知等差数列{an}中,a2+a8=8,则该数列前 9 项和 S9 等于( A.18 B.27 C.36 D.45
解：在等差数列{an}中，a2+a8=8，∴ a1 a9 8 ，则该数列前 9 项和 S9=
解： an 是等差数列， a1 a3 a5 3a3 9, a3 3, a6 9. ∴ d 2, a1 1 ，则这个数列的 前 6 项和等于
6(a1 a6 ) 24 ，选 B. 2
17．(重庆卷)在等差数列｛an｝中，若 aa+ab=12,SN 是数列｛an｝的前 n 项和，则 SN 的值为 （A）48 (B)54 (C)60 (D)66
解：由等比数列的性质可得 ac＝（－1）×（－9）＝9，b×b＝9 且 b 与奇数项的符号相同，故 b＝－3，选 B 3． （福建卷）在等差数列｛a n ｝中，已知 a 1 =2,a 2 +a 3 =13，则 a 4 +a 5 +a 6 等于 A.40 B.42 C.43 D.45
解：在等差数列 an 中，已知 a1 2, a2 a3 13, ∴ d=3，a5=14， a4 a5 a6 =3a5=42，选 B. 4． （广东卷）已知某等差数列共有 10 项，其奇数项之和为 15，偶数项之和为 30，则其公差为 A.5 解： B.4 C. 3 D. 2



解：依题意，a1＋a200＝1，故选 A
2 8． （江西卷） 在各项均不为零的等差数列 an 中， 若 an1 an 则 S2n1 4n an1 0(n ≥ 2) ，
（
） Ａ． 2 Ｂ． 0 Ｃ． 1 Ｄ． 2
2 2 解：设公差为 d，则 an＋1＝an＋d，an－1＝an－d，由 an1 an ＝0， an1 0(n ≥ 2) 可得 2an－ an
A． 120 B． 105 C． 90 D． 75
【解析】 an 是公差为正数的等差数列，若 a1 a2 a3 15 ， a1a2 a3 80 ，则 a2
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5，
a1a3 (5 d )(5 d ) 16 ，∴ d=3， a12 a2 10d 35 ， a11 a12 a13 105 ，选 B.
解析:由等差数列的求和公式可得
S3 3a1 3d 1 , 可得a1 2d 且 d 0 S6 6a1 15d 3
所以
S6 6a 15d 27d 3 1 ,故选 A S12 12a1 66d 90d 10
【点评】本题主要考察等比数列的求和公式,难度一般 13． （全国II）已知等差数列 an 中， a2 7, a4 15 ，则前10项的和 S10 ＝ （A）100 解：d＝ (B)210 (C)380 (D)400
【解析】因数列 an 为等比，则 an 2qn1 ，因数列 an 1 也是等比数列， 则
(an1 1)2 (an 1)(an2 1) an12 2an1 an an2 an an2 an an2 2an1 an (1 q 2 2q) 0 q 1
A．55 B．70 C．85 D．100
）
解：数列 {an } 、 {bn } 都是公差为 1 的等差数列，其首项分别为 a1 、 b1 ，且 a1 b1 5 ，
a1 , b1 N * ． 设 cn abn （ n N * ） ， 则 数 列 {cn } 的 前 10 项 和 等 于
解得 an＝2（零解舍去） ，故 S2n1 4n 2×（2n－1）－4n＝－2，故选 A 9． （辽宁卷） 在等比数列 an 中, a1 2 ,前 n 项和为 Sn ,若数列 an 1 也是等比数列,则 Sn 等 于 (A) 2
n 1
2
(B)
3n
(C) 2 n
(D) 3n 1
即 an 2 ，所以 Sn 2n ，故选择答案 C。 【点评】本题考查了等比数列的定义和求和公式，着重考查了运算能力。 10 ． （全国卷 I ）设 an 是公差为正数的等差数列，若 a1 a 2 a 3 15 ， a1a2 a3 80 ，则
a11 a12 a13
4(4 1) d 14, 2
[10 a1
10(10 1) 7(7 1) 9(9 1) d ] [7a1 d ] 30 ，联立解得 a1=2,d=1，所以 S9＝ 9 2 1 54 2 2 2
（用数
23． （浙江卷）设 S n 为等差数列 an 的前 n 项和，若 S 5 10, S10 5 ,则公差为 字作答） 。 【考点分析】本题考查等差数列的前 n 项和，基础题。 解析：设首项为 a1 ，公差为 d ，由题得
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ab1 ab2 ab10 = ab1 ab1 1 ab1 9 ， ab1 a1 (b1 1) 4 ，∴ ab1 ab1 1 ab1 9
= 4 5 6 13 85 ，选 C. 16． （天津卷） 设 an 是等差数列，a1 a3 a5 9 ，a6 9 ， 则这个数列的前 6 项和等于 （ Ａ．12 Ｂ．24 Ｃ．36 Ｄ．48 ）