2008年高考数学试题分类汇编(数列)

2008年高考数学试题分类汇编

数列

一． 选择题：

1.（全国一5）已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ C ）

A ．138

B ．135

C ．95

D ．23

2.（上海卷14） 若数列{a n }是首项为1，公比为a －3

2的无穷等比数列，且{a n }各项的

和为a ，则a 的值是（B ）

A ．1

B ．2

C ．12

D ．5

4

3.（北京卷6）已知数列{}n a 对任意的*p q ∈N ，满足p q p q a a a +=+，且26a =-，那么

10a 等于（ C ） A ．165-

B ．33-

C ．30-

D ．21-

4.（四川卷7）已知等比数列()n a 中21a =，则其前3项的和3S 的取值范围是(D ) （Ａ）(],1-∞- （Ｂ）()(),01,-∞+∞ （Ｃ）[)3,+∞ （Ｄ）(][),13,-∞-+∞

5.（天津卷4）若等差数列{}n a 的前5项和525S =，且23a =，则7a =B （A ）12 （B ）13 （C ）14 （D ）15

6.（江西卷5）在数列{}n a 中，12a =， 11

ln(1)n n a a n

+=++，则n a = A

A ．2ln n +

B ．2(1)ln n n +-

C ．2ln n n +

D ．1ln n n ++ 7.（陕西卷4）已知{}n a 是等差数列，124a a +=，7828a a +=，则该数列前10项和10S 等于（ B ）

A ．64

B ．100

C ．110

D ．120

8.（福建卷3)设｛a n ｝是公比为正数的等比数列，若n 1=7,a 5=16,则数列｛a n ｝前7项的和为C

A.63

B.64

C.127

D.128

9.（广东卷2）记等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11

2

a =

，420S =，则6S =（ D ） A ．16

B ．24

C ．36

D ．48

10.（浙江卷6）已知{}n a 是等比数列，4

1

252=

=a a ，，则13221++++n n a a a a a a =C （A ）16（n --41） （B ）16（n --21） （C ）

332（n --41） （D ）3

32

（n --21） 11.（海南卷4）设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则

4

2

S a =（ C ） A. 2

B. 4

C.

15

2

D.

172

二． 填空题：

1.（四川卷16）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若4510,15S S ≥≤，则4a 的最大值为______4_____。

安徽卷（14）在数列{}n a 在中，5

42

n a n =-，212n a a a an bn ++=+ ，*n N ∈,其中,a b

为常数，则lim n n

n n

n a b a b →∞-+的值是 1

2.（江苏卷10）将全体正整数排成一个三角形数阵：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

． ． ． ． ． ． ．

按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 ．26

2

n n -+

3.（湖北卷14）已知函数()2x f x =,等差数列{}x a 的公差为2.若

246810()4f a a a a a ++++=,则212310log [()()()()]f a f a f a f a ???= .－6 4.（湖北卷15）观察下列等式：

21

11,22n

i i n n ==+∑

2

321

111,326n

i i n n n ==++∑ 34321

111,424n

i i n n n ==++∑ 45431

1111,52330n i i n n n n ==++-∑ 565421

1151,621212n i i n n n n ==++-∑ 676531

11111,722642n i i n n n n n ==++-+∑ ……………………………………

212112101

,n

k

k k k k k k k k i i

a n a n a n a n a n a +--+--==++++???++∑

可以推测，当x ≥2（*k N ∈）时，1111,,12k k k a a a k +-=

==+ 12

k

2k a -= .，0

5.（重庆卷14)设S n =是等差数列{a n }的前n 项和，a 12=-8,S 9=-9,则S 16= .-72

三． 解答题：

1.（全国一22）．（本小题满分12分）

（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．

） 设函数()ln f x x x x =-．数列{}n a 满足101a <<，1()n n a f a +=．

（Ⅰ）证明：函数()f x 在区间(01)，

是增函数； （Ⅱ）证明：11n n a a +<<； （Ⅲ）设1(1)b a ∈，，整数11ln a b

k a b

-≥．证明：1k a b +>． 解析：

（Ⅰ）证明：()ln f x x x x =-，()()()'ln ,0,1'ln 0f x x x f x x =-∈=->当时， 故函数()f x 在区间(0,1)上是增函数；

（Ⅱ）证明：（用数学归纳法）（i ）当n=1时，101a <<，11ln 0a a <，

211111()ln a f a a a a a ==->

由函数()f x 在区间(01)，是增函数，且函数()f x 在1x =处连续，则()f x 在区间(01]，是增函数，

21111()ln 1a f a a a a ==-<，即121a a <<成立；

（ⅱ）假设当(*)x k k N =∈时，11k k a a +<<成立，即1101k k a a a +<<<≤ 那么当1n k =+时，由()f x 在区间(01]，是增函数，1101k k a a a +<<<≤得

1()()(1)k k f a f a f +<<.而1()n n a f a +=，则121(),()k k k k a f a a f a +++==，

121k k a a ++<<，也就是说当1n k =+时，11n n a a +<<也成立；

根据（ⅰ）、（ⅱ）可得对任意的正整数n ，11n n a a +<<恒成立. （Ⅲ）证明：由()ln f x x x x =-．1()n n a f a +=可得

k

k k k a a b a b a ln 1--=-+11

ln k

i i i a b a a ==--∑ 1， 若存在某i k ≤满足i a b ≤，则由⑵知：1k i a b a b +-<-≥0

2， 若对任意i k ≤都有b a i >，则k

k k k a a b a b a ln 1--=-+ 11

ln k i i i a b a a ==--∑11

ln k i i a b a b ==--∑11

()ln k

i i a b a b ==--∑b ka b a ln 1

1--> b ka b a ln 11--≥)(1

1b a b a --->0=，即1k a b +>成立. 2.（全国二20）．（本小题满分12分）

设数列{}n a 的前n 项和为n S ．已知1a a =，13n n n a S +=+，*

n ∈N ．

（Ⅰ）设3n n n b S =-，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）若1n n a a +≥，*

n ∈N ，求a 的取值范围．

解：

（Ⅰ）依题意，113n n n n n S S a S ++-==+，即123n

n n S S +=+， 由此得1

13

2(3)n n n n S S ++-=-． ·

························································································· 4分 因此，所求通项公式为

13(3)2n n n n b S a -=-=-，*n ∈N ．① ·

············································································· 6分

（Ⅱ）由①知13(3)2n n n S a -=+-，*

n ∈N ， 于是，当2n ≥时，

1n n n a S S -=-

1123(3)23(3)2n n n n a a ---=+-?---? 1223(3)2n n a --=?+-，

12143(3)2n n n n a a a --+-=?+-

22

32

1232n n a --????=+-?? ???????

， 当2n ≥时，

2

1312302n n n a a a -+???+- ?

??

≥≥

9a ?-≥．

又2113a a a =+>．

综上，所求的a 的取值范围是[)9-+∞，． ········································································· 12分 3.（四川卷20）．（本小题满分12分）

设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()21n

n n ba b S -=-

（Ⅰ）证明：当2b =时，{}

12n n a n --?是等比数列；

（Ⅱ）求{}n a 的通项公式 【解】：由题意知12a =，且

()21n n n ba b S -=- ()11121n n n ba b S +++-=-

两式相减得()()1121n

n n n b a a b a ++--=-

即12n n n a ba +=+ ①

（Ⅰ）当2b =时，由①知122n n n a a +=+ 于是()()1122212n

n

n

n n a n a n +-+?=+-+?

()

1

22n n a n -=-?

又111210n a --?=≠，所以{}

12n n a n --?是首项为1，公比为2的等比数列。

（Ⅱ）当2b =时，由（Ⅰ）知1122n n n a n ---?=，即()1

12n n a n -=+

当2b ≠时，由由①得

11111

22222n n n n n a ba b b

+++-

?=+-?-- 22n n b

ba b

=-?-

122n n b a b ??

=-? ?-??

因此11112222n n n n a b a b b ++??

-

?==-? ?--??

()212n

b b b

-=?-

得()1

2

1122222n n n n a b b n b -=??=???+-≥??

?-? 4.（天津卷20）（本小题满分12分）

在数列{}n a 中，11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-（2,0n q ≥≠）． （Ⅰ）设1n n n b a a +=-（*

n N ∈），证明{}n b 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；

（Ⅲ）若3a 是6a 与9a 的等差中项，求q 的值，并证明：对任意的*

n N ∈，n a 是3n a +与6n a +的等差中项．

本小题主要考查等差数列、等比数列的概念、等比数列的通项公式及前n 项和公式，考查

运算能力和推理论证能力及分类讨论的思想方法．满分12分． （Ⅰ）证明：由题设11(1)n n n a q a qa +-=+-（2n ≥），得

11()n n n n a a q a a +--=-，即1n n b qb -=，2n ≥．

又1211b a a =-=，0q ≠，所以{}n b 是首项为1，公比为q 的等比数列． （Ⅱ）解法：由（Ⅰ）

211a a -=， 32a a q -=， ……

21n n a a q --=，（2n ≥）．

将以上各式相加，得211n n a a q q --+++= （2n ≥）．

所以当2n ≥时，1

1,,.

1,111n n q q q a n q

-≠=?-+

?=-???

上式对1n =显然成立．

（Ⅲ）解：由（Ⅱ），当1q =时，显然3a 不是6a 与9a 的等差中项，故1q ≠． 由3693a a a a -=-可得5228q q q q -=-，由0q ≠得3611q q -=-， ① 整理得323()20q q +-=，解得32q =-或31q =（舍去）

．于是q =

另一方面，21133(1)11n n n n n q q q a a q q q +--+--==---，

151

66(1)11n n n n n q q q a a q q q

-+-+--==---．

由①可得36n n n n a a a a ++-=-，*

n N ∈．

所以对任意的*

n N ∈，n a 是3n a +与6n a +的等差中项． 5.（安徽卷21）．（本小题满分13分）

设数列{}n a 满足3

*010,1,,n n a a ca c c N c +==+-∈其中为实数

（Ⅰ）证明：[0,1]n a ∈对任意*

n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈；

（Ⅱ）设1

03c <<

，证明：1*1(3),n n a c n N -≥-∈; （Ⅲ）设103c <<，证明：222

*1221,13n a a a n n N c

++>+-

∈- 解 (1) 必要性 ：120,1a a c ==-∵∴ ，

又 2[0,1],011a c ∈≤-≤∵∴ ，即[0,1]c ∈

充分性 ：设 [0,1]c ∈，对*

n N ∈用数学归纳法证明[0,1]n a ∈ 当1n =时，10[0,1]a =∈.假设[0,1](1)k a k ∈≥

则31111k k a ca c c c +=+-≤+-=，且3

1110k k a ca c c +=+-≥-=≥

1[0,1]k a +∈∴，由数学归纳法知[0,1]n a ∈对所有*n N ∈成立

(2) 设 1

03

c <<

，当1n =时，10a =，结论成立 当2n ≥ 时，

32

11111,1(1)(1)n n n n n n a ca c a c a a a ----=+--=-++∵∴

103

C <<

∵,由（1）知1[0,1]n a -∈，所以 2

1113n n a a --++≤ 且 110n a --≥ 113(1)n n a c a --≤-∴

21112113(1)(3)(1)(3)(1)(3)n n n n n a c a c a c a c -----≤-≤-≤≤-= ∴ 1*1(3)()n n a c n N -≥-∈∴

(3) 设 103c <<

，当1n =时，2

120213a c

=>--，结论成立 当2n ≥时，由（2）知11(3)0n n a c -≥->

2

1212(1)1(1(3))12(3)(3)12(3)n n n n n a c c c c ----≥-=-+>-∴ 222222112212[3(3)(3)]n n n

a a a a a n c c c -+++=++>--+++ ∴

2(1(3))2

111313n c n n c c

-=+->+---

6.（山东卷19)。(本小题满分12分)

将数列｛a n ｝中的所有项按每一行比上一行多一项的规则排成如下数表： a 1 a 2 a 3 a 4 a 5 a 6

a 7 a 8 a 9 a 10

……

记表中的第一列数a 1，a 2，a 4，a 7，…构成的数列为｛b n ｝,b 1=a 1=1. S n 为数列｛b n ｝的前n 项和，且满足＝

n

N n n

S S b b 22-1=（n ≥2）.

(Ⅰ)证明数列｛

n

S 1

｝成等差数列，并求数列｛b n ｝的通项公式； （Ⅱ）上表中，若从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，且公比为同一个正数.当91

4

81-

=a 时，求上表中第k (k ≥3)行所有项和的和. (Ⅰ)证明：由已知， ??

?

??≥--==2,)1(2

1

,1n n n n b n （Ⅱ）解：设上表中从第三行起，每行的公比都为q ,且q ＞0. 因为 1213

121278,2

?++???+=

= 所以表中第1行至第12行共含有数列｛a n ｝的前78项， 故 a 82在表中第13行第三列， 因此2

82134.91

a b q ==- 又 132

,1314

b =-?

所以 q =2.

记表中第k (k ≥3)行所有项的和为S ，

则(1)2(12)2

(12)1(1)12(1)

k k k k b q S q k k k k --===--+-+ （k ≥3）.

).

1(2

2122.

1

2

,

21

12111.21

11.

1,

2111

,

12,

1)(2,,121111*********

+-

=-+=

-=≥+=

+=-?

?????====-=--=---+++==-------n n h n S b n n S n n S S a b S S S S S S S S S S S S S b b b S S S b b n n n n n n n

n n n n n n n n n n n n n

n n n

时，所以 当即 ）（＋＝由上可知　的等差数列，公差为是首项为

所以数列又所以　）

（即 ）

（所以 又　

7.（江苏卷19）.（Ⅰ）设12,,,n a a a 是各项均不为零的等差数列（4n ≥），且公差0d ≠，若将此数列删去某一项得到的数列（按原来的顺序）是等比数列： ①当n =4时，求

1

a d

的数值；②求n 的所有可能值； （Ⅱ）求证：对于一个给定的正整数n(n ≥4)，存在一个各项及公差都不为零的等差数列

12,,,n b b b ，其中任意三项（按原来顺序）都不能组成等比数列．

【解析】本小题主要考查等差数列与等比数列的综合运用．

（Ⅰ）①当n ＝4 时，1234,,,a a a a 中不可能删去首项或末项，否则等差数列中连续三项成等比数列，则推出d ＝0．

若删去2a ，则有2314,a a a = 即()()2

11123a d a a d +=+ 化简得214a d d +＝0，因为d ≠0，所以

1

a d

=4 ； 若删去3a ，则有214a a a = ，即()()2

1113a d a a d +=+ ，故得1

a d

=1． 综上

1

a d

=1或－4． ②当n ＝5 时，12345,,,,a a a a a 中同样不可能删去首项或末项．

若删去2a ，则有15a a ＝34a a ，即()()()1111423a a d a d a d +=++ ．故得1

a d

=6 ； 若删去3a ，则15a a ＝24a a ，即()()()111143a a d a d a d +=++ ． 化简得32

d ＝0，因为d ≠0，所以也不能删去3a ；

若删去4a ，则有15a a ＝23a a g ，即()()()111142a a d a d a d +=++g g ．故得

1

a d

= 2 ． 当n ≥6 时，不存在这样的等差数列．事实上，在数列1a ，2a ，3a ，…，2n a -，1n a -，n a 中， 由于不能删去首项或末项，若删去2a ，则必有1n a a ＝32n a a - ，这与d ≠0 矛盾；同样若删 去2n a -也有1n a a ＝32n a a - ，这与d ≠0 矛盾；若删去3a ，…，2n a - 中任意一个，则必有

1n a a ＝21n a a - ，这与d ≠0 矛盾．

综上所述，n ∈{4，5}． （Ⅱ）略

8.（江西卷19）．（本小题满分12分）

数列{}n a 为等差数列，n a 为正整数，其前n 项和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且113,1a b ==，

数列{}n a b 是公比为64的等比数列，2264b S =. （1）求,n n a b ； （2）求证

1211134

n S S S +++< . 解：（1）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则d 为正整数，

3(1)n a n d =+-，1n n b q -=

依题意有1363(1)22642(6)64n n nd

a d n d a

b q q b q S b d q +++-?====?

??=+=?

①

由(6)64d q +=知q 为正有理数，故d 为6的因子1,2,3,6之一， 解①得2,8d q ==

故132(1)21,8n n n a n n b -=+-=+= （2）35(21)(2)n S n n n =++++=+ ∴

121111111

132435(2)

n S S S n n +++=++++

???+ 11111111(1)2324352n n =

-+-+-++-+ 11113(1)22124n n =+--<++ 9.（湖北卷21）.(本小题满分14分)

已知数列{}n a 和{}n b 满足：1a λ=,12

4,(1)(321),3

n n n n n a a n b a n +=+-=--+其中λ为实数，n 为正整数.

（Ⅰ）对任意实数λ，证明数列{}n a 不是等比数列； （Ⅱ）试判断数列{}n b 是否为等比数列，并证明你的结论；

（Ⅲ）设0a b <<,n S 为数列{}n b 的前n 项和.是否存在实数λ，使得对任意正整数n ，都有

n a S b <

本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查

综合分析问题的能力和推理认证能力，（满分14分）

（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛a n ｝是等比数列，则有a 22=a 1a 3,即

,0949

4

9494)494()332(222=?-=+-?-=-λλλλλλλ矛盾. 所以｛a n ｝不是等比数列.

(Ⅱ)解：因为b n +1=(-1)n +1［a n +1-3(n -1)+21］=(-1)n +1(

3

2

a n -2n +14) =

32(-1)n ·（a n -3n +21）=-3

2b n 又b 1x -(λ+18),所以

当λ＝－18，b n =0(n ∈N +),此时｛b n ｝不是等比数列： 当λ≠－18时，b 1=(λ+18) ≠0,由上可知b n ≠0，∴

3

2

1-=+n a b b (n ∈N +). 故当λ≠-18时，数列｛b n ｝是以－（λ＋18）为首项，－3

2

为公比的等比数列. (Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,b n =0,S n =0,不满足题目要求. ∴λ≠-18，故知b n = -（λ+18）·（－3

2）n -1

，于是可得 S n =-.321·)18(5

3??

????+n ）－（－　λ 要使a

53(λ+18)·［1－（－3

2）n ］〈b(n ∈N +) ，则

令

得

)2

(1)()3

2(1)18(5

3

)3

2(1--=--<

+-<--n f b a n

n

λ ①

当n 为正奇数时，1

;35<≤≤

n f n 为正偶数时，当 ∴f (n )的最大值为f (1)=35,f (n )的最小值为f (2)= 95

,

于是，由①式得95a <-53(λ+18),<.183185

3

--<<--?a b b λ

当a

当b >3a 存在实数λ，使得对任意正整数n ,都有a

10.（湖南卷18）.（本小题满分12分） 数列{}2

21221,2,(1cos

)sin ,1,2,3,.22

n n n n n a a a a a n ππ+===++= 满足 (Ⅰ)求34,,a a 并求数列{}n a 的通项公式； (Ⅱ)设21

122,.n n n n n

a b S b b b a -=

=+++ 证明：当162.n n S n ≥-<时，

解: (Ⅰ)因为121,2,a a ==所以2

2

311(1cos

)sin 12,2

2

a a a π

π

=++=+=

22422(1cos )sin 2 4.a a a ππ=++== 一般地，当*21(N )n k k =-∈时，2

22121(21)21[1cos ]sin 22

k k k k a a ππ+---=++ ＝211k a -+，即2121 1.k k a a +--=

所以数列{}21k a -是首项为1、公差为1的等差数列，因此21.k a k -= 当*2(N )n k k =∈时，2

2222222(1cos

)sin 2.22

k k k k k a a a ππ

+=++= 所以数列{}2k a 是首项为2、公比为2的等比数列，因此22.k k a =

故数列{}n a 的通项公式为**21,21(N ),2

2,2(N ).

n n n n k k a n k k +?=-∈?=??=∈?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，2122,2

n n n a n

b a -=

=23123,2222n n n S =++++ ①

2241112322222

n n n

S +=++++ ② ①-②得，23111111.222222

n n n n

S +=++++-

21111

[1()]

1221.122212

n n n n n ++-=-=--- 所以112

22.222

n n n n n n S -+=--=-

要证明当6n ≥时，12n S n -<成立，只需证明当6n ≥时，

(2)

12n

n n +<成立. 证法一

(1)当n = 6时，6

6(62)483

12644

?+==<成立. (2)假设当(6)n k k =≥时不等式成立，即

(2)

1.2k

k k +< 则当n =k +1时，

1(1)(3)(2)(1)(3)(1)(3)

1.222(2)(2)2k k k k k k k k k k k k k k

++++++++=?<<++

由(1)、(2)所述，当n ≥6时，2

(1)12n n +<.即当n ≥6时，1

2.n S n

-< 证法二

令2(2)(6)2n n n c n +=

≥，则2

1121(1)(3)(2)30.222

n n n n n n n n n c c ++++++--=-=< 所以当6n ≥时，1n n c c +<.因此当6n ≥时，6683

1.644

n c c ?≤=

=< 于是当6n ≥时，

2

(2)

1.2n n +< 综上所述，当6n ≥时，1

2.n S n

-<

11.（陕西卷22）．（本小题满分14分） 已知数列{}n a 的首项135a =

，1321

n

n n a a a +=+，1

2n = ，，． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）证明：对任意的0x >，21121(1)3n n

a x x x ??

-- ?++??

≥

，12n = ，，； （Ⅲ）证明：2

121

n n a a a n +++>+ ．

解法一：（Ⅰ）1321n n n a a a +=+ ，1121

33n n a a +∴=+，1111113n n a a +??∴-=- ???

， 又

12

13n a -=，11n a ??∴- ???

是以23为首项，13为公比的等比数列．

∴11212

1333n n n a --== ，332n n n

a ∴=+． （Ⅱ）由（Ⅰ）知3032

n

n n

a =>+，

21121(1)3n

x x x ??-- ?++?? 2112111(1)3n x x x ??

=

-+-- ?++??

2

11

1(1)1(1)n x x x a ??

=

-

-+??++??

2112

(1)1n a x x

=-

+

++ 2

111n n n a a a x ??=--+ ?+??

n a ≤，∴原不等式成立．

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的0x >，有

122221121121(1)31(1)3n a a a x x x x x x ????+++--+-- ? ?++++???? ≥

21121(1)3n

x x x ??

++-- ?++??

2212221(1)333n

n nx x x ??

=

-+++- ?++??

． ∴取22111222113311333313n n n x n n n ??

- ???????=+++=

=- ? ???????

- ???

， 则22

12111111133n n

n n n a a a n n n +++=>

+??

+-+- ???

≥． ∴原不等式成立．

解法二：（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）设2112()1(1)3n f x x x x ??

=

-- ?++??

， 则222222(1)2(1)2133()(1)(1)(1)n n x x x x f x x x x ????

-+--+- ? ?????'=-

-=+++

0x > ， ∴当23n x <时，()0f x '>；当2

3

n x >时，()0f x '<，

∴当2

3n

x =

时，()f x 取得最大值2123

13n n n

f a ??== ???+

． ∴原不等式成立．

（Ⅲ）同解法一．

12.（重庆卷22）（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分.） 设各项均为正数的数列{a n }满足3

2

112

2,(N*)n a a a a a

a n ++==∈.

（Ⅰ）若21

4

a =

，求a 3，a 4，并猜想a 2cos 的值（不需证明）； （Ⅱ）

记32(N*),n n n b a a a n b =∈≥ 若n ≥2恒成立，求a 2的值及数列{b n }的通项公式.

解：(Ⅰ)因2122,2,a a -==故

3

42

312

382

423

2,2.

a a a a a a -

--====

由此有0

223

(2)(2)(2)(2)12342,2,2,2a a a a ----====，故猜想n a 的通项为 1

(2)*2(N ).n n a n --=∈

（Ⅱ）令2log ,2.n S

n n n n n x a S x n b ==表示的前项和，则 由题设知x 1=1且

*123

(N );2

n n n x x x n ++=

+∈ ①

123

(2).2

n n S x x x n =+++≥≥ ② 因②式对n =2成立，有1213

,12

x x x ≤+=又得 21

.2x ≥

③ 下用反证法证明：2211

..22

x x ≤>假设

由①得2121131

2()(2).22

n n n n n n x x x x x x ++++++=+++

因此数列12n n x x ++是首项为22x +，公比为1

2

的等比数列.故

*

121111()(N ).222

n n n x x x n +--=-∈ ④

又由①知 211111311

()2(),2222

n x n n n n n x x x x x x x +++++-=--=-- 因此是11

2

n n x x +-

是首项为212x -，公比为-2的等比数列,所以

1*1211

()(2)(N ).22

n n n x x x n -+-=--∈ ⑤ 由④-⑤得

1*221511

(2)()(2)(N ).222

n n n S x x n --=+---∈ ⑥ 对n 求和得

2*2215111(2)(2)(2)()(N ).2223

n n x x x n ---=+---∈ ⑦

由题设知21231

,22

k S x +≥

>且由反证假设有 21*22221

*2222112115

2)(2)()(N ).

2234

1211151

()(2)(2)2(N ).

23244

k k k k x x k x x x k ++++---≥∈+-≤+--<+∈ （从而 即不等式22k +1＜

22364112x x +

--

对k ∈N *

恒成立.但这是不可能的，矛盾.

因此x 2≤12,结合③式知x 2=12

,因此a 2=2*2

将x 2=1

2代入⑦式得

S n =2－11

2

n -(n ∈N*),

所以b n =2S n =22－

112n -(n ∈N*)

13.（广东卷21）．（本小题满分12分）

设p q ，为实数，αβ，是方程2

0x px q -+=的两个实根，数列{}n x 满足1x p =，

22x p q =-，12n n n x px qx --=-（34n =，

，…）．（1）证明：p αβ+=，q αβ=；（2）求数列{}n x 的通项公式； （3）若1p =，1

4

q =

，求{}n x 的前n 项和n S ．

【解析】（1）由求根公式，不妨设<αβ

，得==

αβ

∴+==p αβ

，==q αβ

（2）设112()----=-n n n n x sx t x sx ，则12()--=+-n n n x s t x stx ，由12n n n x px qx --=-得

+=??

=?s t p

st q

， 消去t ，得20-+=s ps q ，∴s 是方程20x px q -+=的根，由题意可知，12,==s s αβ

①当≠αβ时，此时方程组+=??=?

s t p

st q 的解记为1212==????==??s s t t ααββ或 112(),---∴-=-n n n n x x x x αβα112(),----=-n n n n x x x x βαβ

即{}11--n n x t x 、{}21--n n x t x 分别是公比为1=s α、2=s β的等比数列， 由等比数列性质可得2121()---=-n n n x x x x ααβ,2121()---=-n n n x x x x ββα, 两式相减，得2212121()()()----=---n n n x x x x x βααββα

221,=-= x p q x p ，222∴=++x αβαβ，1=+x αβ

22221()--∴-== n n n x x αββββ，22221()---== n n n x x βαααα

1()-∴-=-n

n

n x βαβα，即1--∴=

-n n n x βαβα，11++-∴=-n n n x βαβα

②当=αβ时，即方程20x px q -+=有重根，2

40∴-=p q ，

即2()40+-=s t st ，得2

()0,-=∴=s t s t ，不妨设==s t α，由①可知

2121()---=-n n n x x x x ααβ，= αβ，2121()--∴-=-=n n n n x x x x αααα

即1-∴=+n

n n x x αα，等式两边同时除以n

α，得

1

1

1--=

+n

n n

n x x α

α

，即

1

1

1---

=n

n n

n x x α

α

∴

数列

{

}n

n

x α是以1为公差的

等差

数

列

，

1

2(1)111∴=

+-?=

+-=+n

n

x x n n n α

α

α

α

,∴=+n n n x n αα

综上所述，11

,(),()++?-≠?

=-??+=?

n n n n n x n βααββααααβ

（3）把1p =，14q =

代入20x px q -+=，得2

104-+=x x ，解得12

==αβ 11

()()22

∴=+ n n n x n

23231

1111111()()()...()()2()3()...()22222222n n n S n ????=+++++++++ ? ?????

2311

1111()()2()3()...()22222n n n ??=-+++++ ?

?? 11111

1()2()()3(3)()2222

n n n n n n -=-+--=-+

14.（浙江卷22）（本题14分） 已知数列

{}

n a ，

0≥n a ，01=a ，)(12

121?++∈=-+N n a a a n n n ．记

n n a a a S +++= 21．)

1()1)(1(1

)1)(1(11121211n n a a a a a a T ++++

+++++=

． 求证：当?

∈N n 时， （Ⅰ）1+n S n ； （Ⅲ）3

本题主要考查数列的递推关系，数学归纳法、不等式证明等基础知识和基本技能，同时考查逻辑推理能力．满分14分．

（Ⅰ）证明：用数学归纳法证明．

①当1n =时，因为2a 是方程2

10x x +-=的正根，所以12a a <． ②假设当*

()n k k =∈N 时，1k k a a +<，

因为22

1k k a a +-2

2

2211(1)(1)k k k k a a a a ++++=+--+-

2121()(1)k k k k a a a a ++++=-++， 所以12k k a a ++<．

即当1n k =+时，1n n a a +<也成立．

根据①和②，可知1n n a a +<对任何*

n ∈N 都成立．

（Ⅱ）证明：由22111k k k a a a +++-=，121k n =- ，，，（2n ≥），

得2

2231()(1)n n a a a a n a ++++--= ． 因为10a =，所以21n n S n a =--．

由1n n a a +<及2211121n n n a a a ++=+-<得1n a <， 所以2n S n >-．

（Ⅲ）证明：由221112k k k k a a a a +++=+≥，得

111

(2313)12k k k

a k n n a a ++=-+ ≤，，，，≥

所以

2342

1

(3)(1)(1)(1)2n n n a a a a a a -+++ ≤≥，

于是

2222

232211

(3)(1)(1)(1)2()22n n n n n n a a n a a a a a ---=<++++ ≤≥，

故当3n ≥时，211

11322

n n T -<++

++< ， 又因为123T T T <<， 所以3n T <． 15.（辽宁卷21）．（本小题满分12分） 在数列||n a ，||n b 中，a 1=2，b 1=4，且1n n n

a b a +，，成等差数列，

11n n n b a b ++，，成等比数列（n ∈*

N ） （Ⅰ）求a 2，a 3，a 4及b 2，b 3，b 4，由此猜测||n a ，||n b 的通项公式，并证明你的结论； （Ⅱ）证明：

1122111512

n n a b a b a b +++<+++…． 本小题主要考查等差数列，等比数列，数学归纳法，不等式等基础知识，考查综合运用数

学知识进行归纳、总结、推理、论证等能力．满分12分．

解：（Ⅰ）由条件得2

1112n n n n n n b a a a b b +++=+=，

由此可得

2233446912162025a b a b a b ======，，，，，． ·

··················································· 2分 猜测2(1)(1)n n a n n b n =+=+，． ······················································································· 4分 用数学归纳法证明：