数值分析中的误差传播理论
数值计算中的误差估计与分析
数值计算中的误差估计与分析在数值计算中，误差是无法避免的。
无论是数值积分、求根、线性方程组求解还是常微分方程求解，我们都需要对误差进行估计与分析，以保证结果的可靠性。
1.舍入误差：计算机中数字的存储精度是有限的，常用的浮点数表示法只能表示有限位数的小数。
当进行计算时，由于舍入操作会使结果产生一定的误差。
舍入误差是由于浮点数计算机表示能力造成的，它依赖于计算机所采用的机器数系统。
2.截断误差：在数值计算方法中，我们通常会使用有限项的级数展开式或多项式插值来近似解析解。
但由于展开或插值时的截断限制，会导致结果与真实结果之间的误差。
3.近似误差：数值计算方法本身就是在对问题进行近似求解，所以解的精确性受到近似精度的限制。
比如，对于数值积分来说，选择积分点的个数、插值多项式的次数都会影响结果的准确性。
4.舍入误差传播：在多步计算的过程中，每一步的舍入误差都会传播到下一步计算中，进而影响最终结果。
舍入误差的传播是一个累积效应，有时即使每一步舍入误差非常小，但在多步计算的累加下，也会导致结果产生很大的误差。
二、误差估计方法1.精度估计：对于一些数值方法，可以通过理论分析推导出误差的范围。
例如，对于数值积分，可以通过误差估计公式进行分析。
这种方法需要对问题进行数学建模，并具备一定的数学推导能力。
2.实验估计：对于一些复杂问题，很难通过理论分析得到精确的误差范围。
此时可以通过实验的方式来估计误差。
实验方法可以是计算机模拟实验，也可以是通过比较数值方法与解析解的差异来估计误差。
3.改进方法：除了估计误差大小，我们还可以通过改进数值方法来减小误差。
比如，可以采用更高阶的数值积分公式、使用更精确的数值微分方法等。
这些改进方法在一定程度上可以提高数值计算的准确性，并减小误差。
三、误差分析策略1.迭代策略：很多数值方法都是通过迭代来逐步逼近真实解的。
在迭代过程中，我们可以通过观察迭代序列的变化情况来判断结果是否趋近真实解，以及误差的变化是否在可接受范围内。
误差的传播与估计.pptx
* r
(
x1
)和
* r
(
x2
)经过传播后增大或缩小的倍数。
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例：用电表测得一个电阻两端的电压和流过的电流
范围分别为V 220 2(伏特)，I 10 0.1(安培)，求
这个电阻的阻值R,并估算其绝对误差和相对误差。
解：由欧姆定律，有R V ，可求出 R 的近似值， I
R* 220 2（2 欧姆），可以计算出 R* 的绝对误差：
10
(R)
R V
*
(V
)
R I
*
(I )
1 I*
(V
)
V* (I * )2
(I )
令V * 220(伏特), (v) 2(伏特),I * 10(安培)， (I ) 0.1(安培)，把它们代入上式即可估计出 R* 的绝对误差：
(R)
1 I*
(V )
V* (I * )2
式可知，这时
* r
(
x1
x2
)
可能会很大，说明计算结果的
有效数字严重丢失，计算精度很低。因此在实际计算中，
应尽可能设法避开相近数的相减。当实在无法避免时，
可用变换计算公式的办法来解决。
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例如：当要求计算 3.01 3，结果精确到第五位数 字时，至少取到 3.01 1.7349352和 3 1.7320508， 这样 3.01 3 2.8844103才能达到具有五位有效 数字的要求。
(x1)
x1* (x2* )2
(x2 )
x1* x2*
[
* r
(
x1
)
* r
(
x2
)]
数值分析1-误差及有效数字
（避免绝对值很大的数为乘数）
x1 1 x1 e e x ex 2 （避免 x2 为很小的数为除数） 1 2 x x x2 2 2
er x1 x2 x1 x2 er x1 er x 2 x1 x2 x1 x2
er x1 x2
这里，主要介绍计算机中浮点数的表示形式及 表示范围（4个参数）：
x s p
其中， s =±0.a1a2a3………at 称为尾数∈[-1,1],
s 中的正负号用一位数字区分；
β为基数，如取2、10、8、16； p为阶数，有上限U和下限L, 由计算机存储字节长度决定。
1.4 误差危害的防止 （1）使用数值稳定的计算公式
数值稳定是指计算过程中舍入误差对计算影响不大的算法， 若第n+1步的误差en+1 与第n步的误差en满足
en 1 1 en
，则称该计算公式是绝对稳定的
例：建立积分In=
1
0
xn dx x5
（n=0,1.........,20）
递推关系式，并分析误差传播影响。
解： I +5I
n
n-1=
x 5x 0 x 5 dx
1 n n -1
1
0
x n-1dx
x n
n
1
0
1 n
I 0=
1 0 x 5dx
1
ln x 5
1 0
=ln6-ln5
1 In -5In -1 n ∴递推式： I 0 ln6 - ln5
2
x1 x 2
2
e x1 e x 2
误差传播分析和容错效果
误差传播分析和容错效果误差传播分析是在各种科学研究和实际应用中常用的一种分析方法。
它用于研究在测量、计算或实验过程中产生的误差如何传播到最终结果，并评估这些误差对结果的影响。
误差传播分析的目的是帮助我们理解和控制误差，从而提高数据的可靠性和研究结果的准确性。
误差传播分析的基本原理是根据误差的数学性质和统计规律，通过对误差的传播规律进行建模和计算。
在实际应用中，误差往往是由多个环节的测量、计算或实验引起的。
因此，误差传播分析需要考虑不同环节的误差来源和传播方式。
首先，我们需要识别和量化每个环节中的误差来源。
这些误差来源可以分为系统误差和随机误差。
系统误差是由系统的固有性质或外部条件引起的，它们可能导致测量值的偏倚或偏离真实值。
随机误差是由各种不确定因素引起的，它们在多次测量或实验中会导致结果的变动。
然后，我们需要确定误差的传播方式。
误差可以通过线性传播或非线性传播的方式进行传播。
线性传播是指误差在不同环节之间按照线性关系进行传播。
非线性传播是指误差在不同环节之间按照非线性关系进行传播。
为了进行误差传播分析，我们可以使用数学模型和统计方法。
数学模型可以帮助我们建立误差的传播关系，并进行误差的计算和预测。
统计方法可以帮助我们评估误差的大小和不确定性，并进行误差的分布分析。
误差传播分析的结果通常以误差边界（error bounds）或置信区间（confidence interval）的形式呈现。
误差边界是指误差的上、下限，它给出了误差的范围。
置信区间是指给定置信水平下误差的范围，它可以帮助我们评估误差的可靠性。
容错效果是指在误差传播过程中，系统的容错性能。
容错效果的好坏会影响最终结果的准确性和可靠性。
如果系统具有较好的容错效果，那么即使系统中存在一定误差，最终结果仍然可以保持较高的准确性。
如果系统的容错效果较差，那么即使系统中的误差很小，最终结果可能会变得不可靠。
在实际应用中，对误差传播分析和容错效果的研究非常重要。
数值分析课件1
提出数值问题
数值问题是指有限个输入数据（问题 的自变量、原始数据）与有限个输出数据 （待求解数据）之间函数关系的一个明确 无歧义的描述。这正是数值分析所研究的 对象。
数值问题举例
dy = x +y2 dx y ( 0) = y 0 x ∈ [0, 1]
是用一阶常微分方程初值问题表示的 数学模型，要求无穷多个输出，因而它不是 数值问题 。但当我们要求出有限个点处函 数值的近似值时，便成为一数值问题。
设计高效可靠的算法
计算方法的任务之一就是提供求得数值问 题近似解的方法—算法。
算法：指把对数学问题的解法归结为只有 加、减、乘、除等基本运算，并确定运算次序 的完整而准确的描述。
算法的可靠性：算法的可靠性包括算法的收 敛性、稳定性、误差估计等几个方面。这些是
数值分析研究的第二个任务。
一个算法在保证可靠的大前提下再评价其 优劣才是有价值的。 算法的优劣评价：可靠算法的优劣，应该考 虑其时间复杂度（计算机运行时间）、空间 复杂度（占据计算机存储空间的多少）以及 逻辑复杂度（影响程序开发的周期以及维护 ）。这是数值分析研究的第三个任务。
e − e = (e − en ) + (en − e)
* *
二、误差的度量
1) 2) 3) 4)
绝对误差 相对误差 有效数字 各种度量之间的关系
1. 绝对误差
绝对误差定义：近似值减准确值
* ∆
x − x= e( x * ) * * e ( x ) 在不引起混淆时， 简记 为 e 。
• 绝对误差限：
位有效数字。如 A = sin 29 20′ = 0.4900 设其近似值a=0.484，其相对误差为：
0.4900 − 0.484 1 = 0.012397 < 0.0125 = × 101− 2 0.484 2× 4
3-误差传播律
X [ X 1 , X 2 ,... X n ]T ,
n ,1
及其方差 协方差阵：
t ,1
DXX ,
n ,n
今有 X 的线性函数Z ：
n ,1
Z K X K0
t ,1 t , n n ,1 t ,1
Z1 k11 X 1 k12 X 2 k1n X n k10 Z 2 k 21 X 1 k 22 X 2 k 2 n X n k 20 Z t kt1 X 1 kt 2 X 2 ktn X n kt 0
Z K X K0
t ,1 t , n n ,1 t ,1
证明：设：
X [ X , X ,... X ] , E ( X ) E , E ,... E E 1 2 n 1 2 n X n ,1
T
DXX E( X EX )( X EX )
那么：
T
DZZ E( Z EZ )( Z EZ )
解：
二、协方差传播律
[例4] 如图，观测角 1 , 2 的中误差 1 2 1.4秒 协 方差 1 1秒2 . 若 BAC 无误差，求角 3 2 的中误差。
B
1 3 1 - 2 [ 1 1] 2
协方差传播律及权
§3.1 协方差的传播
一、 数学期望的特性 处理带有偶然误差的观测值时，常用数学期望表示其真值。 数学期望的定义： E ( X ) f ( x) xdx
性质：
E (C ) C
E (CX ) CE ( X )
E( X Y ) E( X ) E(Y )
f f f K (k 1 , k 2 , k n ) （ [ ） , ） （ )0 ] 0（ 0 X 1 X 2 X n
数值分析学习方法
第一章1霍纳（horner）方法：输入=c+bn*c bn?1*c b3*c b2*c b1*c an an?1 an?2 ……a2 a1 a0 bn bn?1 bn?2 b2 b1 b0 answer p（x）=b0 该方法用于解决多项式求值问题=anxn+an?1xn?1+an?2xn?2+……+a2x2+a1x+a0 ?2 注：p为近似值p（x）绝对误差：?|ep?|p?p ?||p?prp?|p| 相对误差：?|101?d|p?prp??|p|2 有效数字: （d为有效数字，为满足条件的最大整数） 3 big oh(精度的计算)：o(h?)+o(h?)=o(h?);o(hm)+o(hn)=o(hr) [r=min{p,q}]; o(hp)o(hq)=o(hs) [s=q+p]; 第二章2.1 求解x=g(x)的迭代法用迭代规则，可得到序列值｛｝。
设函数g 满足y 定义在得。
如果对于所有x ，则函数g 在，映射y=g(x)的范围内有一个不动点;此外，设，存在正常数k<1，使内，且对于所有x，则函数g 在内有唯一的不动点p。
，（ii）k是一个正常数，。
如果对于所有定理2.3 设有（i）g，g ’（iii ）如果对于所有x在这种情况下，p成为排斥不动点，而且迭代显示出局部发散性。
波理尔查. 诺二分法(二分法定)<收敛速度较慢>试值（位）法：<条件与二分法一样但改为寻求过点(a,f(a))和(b,f(b))的割线l与x轴的交点(c,0)>应注意越来越小，但可能不趋近于0，所以二分法的终止判别条件不适合于试值法. f(pk?1)其中k=1,2,……证明：用f(pk?1)牛顿—拉夫森迭代函数：pk?g(pk?1)?pk?1?泰勒多项式证明第三章线性方程组的解法对于给定的解线性方程组ax=b a11x1 ? a12x2 ? ? ? a1nxn ?b1 a21x1 ? a22x2 ? ? ? a2nxn ? b2 ? an1x1 ? an2x2 ? ? ? annxn ? bn 一gauss elimination （高斯消元法第一步forward elimination 第二步substitution二lu factorization第一步 a = lu 原方程变为lux=y ；第二步令ux=y,则ly = b由下三角解出y；第三步 ux=y,又上三角解出x ；三iterative methods（迭代法）a11x1 ? a12x2 ? ? ? a1nxn ? b1 a21x1 ? a22x2 ? ? ? a2nxn ? b2?）back 初始值0,x0,?,x0x1n2四 jacobi method1.选择初始值2.迭代方程为0,x0,?,x0x1n2k?1? x1k?1 ? x2k? ? ? axk)b1?(a12x1nna11k? ? ? axk)b2?(a21x2nna22k ? axk ? ? ? ak)bn?(an1xxn2nn?1? k?1xn ? ann五gauss seidel method1.迭代方程为kkb?(ax? ? ? axk?111221nn)x1? a11k?1kb?(ax? ? ? axk?122112nn)x2 ? a22?k?1k?1k?1 2.选择初始值判断是否能用0,x0,?,x0x1n2jacobi method或者gaussseidel method的充分条件（绝对对角占优原则）第四章插值与多项式逼近·第一节泰勒级数和函数计算一些常用函数的泰勒级数展开：for all x for all x for all x -1 -1 for篇二：如何学好数值分析怎样学好数值分析课程？提几点意见供参考：一、树立信心，克服怕的思想。
第一章数值计算方法与误差分析分析
控制误差传播的例子
例10 计算积分 In=∫01 xn ex-1dx，n=0,1, 2, … , 9 利用分部积分法，可得 In= xn ex-1| 01 –∫01 ex-1dxn
=1– n∫01 xn-1 ex-1dx =1– nIn-1
从而有递推公式
I0= ∫01 ex-1dx= ex-1 | 01 = 1-e-1 ≈0.6321 In= 1– nIn-1 （n=0, 1, 2, … , 9）
所谓算法，是指对一些数据按某种规定的顺序 进行的运算序列。在实际计算中，对于同一问题我 们选用不同的算法, 所得结果的精度往往大不相同。 这是因为初始数据的误差或计算中的舍入误差在计 算过程中的传播，因算法不同而异，于是就产生了 算法的数值稳定性问题。一个算法, 如果计算结果 受误差的影响小，就称这个算法具有较好的数值稳 定性。否则，就称这个算法的数值稳定性不好。
简化计算步骤、减少运算次数、避免误差积累的例子
又如计算
1/(1*2)+1/(2*3)+…+1/(1000*1001)
的值。 若一项一项进行计算，不仅计算次数多，而 且误差积累也很大。若简化成 1－1/1001 进行计 算，则整个计算只要一次求倒数和一次减法。
（四）要避免绝对值小的数作除数
由式 ε(x1/x2)≈d(x1/x2)≈[x2ε(x1)－x1ε(x2)]/ x22 , (x2≠0) 可知，当除数x2接近于零时，商的绝对误差就可能很大。因此 , 在数值计算中要尽量避免绝对值小的数作除数, 避免的方法是把 算式变形或改变计算顺序。 例8 当x接近于0时 (1-cosx)/sinx 的分子、分母都接近0，为避免绝对值小的数作除数，可将原式 化为 (1-cosx)/sinx=sinx/(1+cosx) 例9 当x 很大时，可化 x/[(x+1)0.5－x0.5]=x[(x+1)0.5 + x0.5]
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数值分析中的误差传播理论数值分析是一门应用数学领域的重要学科，旨在通过利用数值方法解决实际问题。
然而，在数值计算中，由于各种因素的影响，我们无法完全避免误差的产生。
误差传播理论是数值分析中一种重要的理论工具，旨在帮助我们理解和控制误差的产生和传播过程。
一、误差及其分类
在数值计算中，由于测量和计算过程中的不确定性，我们得到的结果往往与真实值存在一定的偏差，我们称之为误差。
根据误差产生的原因和性质，误差可以分为以下几类：
1. 舍入误差：由于计算机存储空间的有限性，无法精确表示某些实数，从而导致舍入误差的产生。
舍入误差是最常见的一类误差，通常通过保留足够的有效数字或采用更高的精度计算来减小。
2. 截断误差：当我们使用近似方法计算某个函数或数值时，由于截断计算过程中的无穷级数或无穷小量，截断误差会被引入。
减小截断误差的常用方法是增加计算的步骤或者使用更高阶的近似方法。
3. 模型误差：数值计算往往需要建立数学模型来描述实际问题，而模型本身的不准确性会引入模型误差。
模型误差可以通过改进数学模型或采用更适合实际情况的模型来减小。
二、误差传播的基本原理
误差传播理论是基于线性近似的思想，它假设误差在传播过程中是线性累积的。
根据误差传播的基本原理，我们可以通过对误差的传播规律进行研究，从而评估计算结果的可靠性。
误差传播理论的基本公式为：
δf = |∂f/∂x₁|δx₁ + |∂f/∂x₂|δx₂ + ... + |∂f/∂xₙ|δxₙ
其中，δf表示函数f的误差，δx₁、δx₂、...、δxₙ表示自变量x₁、x₂、...、xₙ的误差，|∂f/∂x₁|、|∂f/∂x₂|、...、|∂f/∂xₙ|表示函数f对自变量的偏导数。
该公式表明，函数f的误差δf由自变量的误差δx₁、
δx₂、...、δxₙ以及函数f对各自变量的偏导数共同决定。
三、利用误差传播理论进行数值计算
在实际的数值计算中，我们可以利用误差传播理论来评估计算结果的误差范围，并采取相应的措施来减小误差。
首先，我们可以通过估计自变量的误差范围和函数对自变量的偏导数来评估函数值的误差范围。
其次，我们可以通过增加计算的精度或者使用更精确的数值方法来减小误差。
此外，我们还可以考虑采用更合适的数值方法或优化算法来改进计算结果。
总之，误差传播理论为数值分析提供了一个重要的理论基础，它帮助我们理解和控制数值计算中的误差。
在实际应用中，我们可以根据误差传播理论来评估计算结果的可靠性，并采取相应的方法来减小误差，以提高数值计算的准确性和可靠性。
（文章结束）。