人教B版高中数学必修二《第二章 平面解析几何初步 2.2 直线的方程 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率》_13
高中数学第二章平面解析几何初步2.2.2第2课时直线的两
则得直线方程 ax＋by＝1，叫做直线的截距式方程.
3.若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)且线段P1P2的 x1 x2
中点M的坐标为(x，y)，则
___2___ y1 y2
.
___2___
(2)求BC边上的中线所在直线的方程.
解 设BC的中点为M(x0，y0)， 则 x0＝5＋2 0＝52，y0＝－4＋2 －2＝－3. ∴M52，－3， 又BC边上的中线经过点A(－3,2).
y－2 x－－3 ∴由两点式得－3－2＝52－－3， 即10x＋11y＋8＝0. 故BC边上的中线所在直线的方程为10x＋11y＋8＝0.
∵A(2，－1)，C(4,1)，由直线方程的两点式可得直线 AC 的
y－1 x－4
方程为
＝，
－1－1 2－4
即x－y－3＝0.
同理可由直线方程的两点式得直线 BC 的方程为
y－2 x－2 ＝，
1－2 4－2 即x＋2y－6＝0.
要点二 直线的截距式方程 例2 求过点(4，－3)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的 直线l的方程. 解 设直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b. ①当 a≠0，b≠0 时，设 l 的方程为ax＋by＝1. ∵点(4，－3)在直线上，
2 ，
故满足条件的直线有3条.
12345
12345
5.求过点M(3，－4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的
方程. 解 ①若直线过原点，则 k＝－43， ∴y＝－34x，即 4x＋3y＝0. ②若直线不过原点，设ax＋ay＝1，即 x＋y＝a.
∴a＝3＋(－4)＝－1， ∴x＋y＋1＝0. 故直线方程为4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0.
数学新学案同步 必修2 人教B版(鲁京辽)：第二章 平面解析几何初步 2.2.2 第1课时
解答
反思与感悟 (1)在求解过程中，常因混淆截距与距离的概念，而漏掉解.
(2)截距是直线与x轴(或y轴)交点的横(或纵)坐标，它是个数值，可正、可
负、可为零.
跟踪训练2 写出下列直线的斜截式方程. (1)斜率是3，在y轴上的截距是－3； 解 由直线方程的斜截式，可得直线方程为y＝3x－3.
(2)倾斜角是60°，在y轴上的截距是5；
为负数或零？ 答案 或零. y轴上的截距b不是距离，是直线与y轴交点的纵坐标，可以是负数
梳理 (1)直线的斜截式方程 斜截式 已知条件 斜率k和直线在y轴上的截距b
图示
方程式 适用条件
y＝kx＋b _________ 斜率存在
(2)直线的截距 如果一条直线通过点(0，b)，且斜率为k，则直线的点斜式方程为y－b ＝k(x－0).整理，得 y＝kx＋b ，则b叫做直线y＝kx＋b在y轴上的 截距 ， 简称为直线的截距.
第二章 2.2.2
直线方程的几种形式
第1课时 直线的点斜式方程
学习目标
1.掌握直线的点斜式方程和直线的斜截式方程.
2.结合具体实例理解直线的方程和方程的直线概念及直线在 y轴
上的截距的含义.
内容索引
问题导学
题型探究
达标检测
问题导学
知识点一 思考1
直线的点斜式方程
如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线l
1
2
3
4
5
解析
答案
－7 4.直线y＝－2x－7在y轴上的截距为b，则b＝_____.
1
234Fra bibliotek5答案
5.已知直线l的方程为y－ m＝(m－1)(x＋1)，若l在y轴上的截距为 7，则m ＝___. 4 解析 直线l的方程可化为y＝(m－1)x＋2m－1， ∴2m－1＝7，解得m＝4.
人教B版高中数学必修二《第二章 平面解析几何初步 2.2 直线的方程 2.2.2 直线方程的几种形式》_5
3.2.3 直线的一般式方程教学目标1.知识与技能：（1）通过推导，了解直线都可以表示成一般式方程； （2）理解直线一般式方程系数的意义； （3）会判断一般式方程的平行垂直问题.2.过程与方法：通过实例初步了解概念，通过探究深入理解概念的实质，关键是要培养学生分析问题、解决问题和转化问题的能力.3.情感态度价值观：（1）本节核心问题是让学生学会转化思想，灵活应用所学知识，加强与实际生活的联系，以科学的态度评价身边的一些现象；（2）用有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。
培养学生掌握“理论来源于实践，并把理论应用于实践”的辨证思想 重点难点1.教学重点：了解直线都可以表示成一般式方程，会判断一般式方程的平行垂直问题2.教学难点：理解直线一般式方程系数的意义. 教学过程（一）复习引入： 1、直线方程的几种形式： 形式 条 件方 程应用范围点斜式 过点),(111y x P ，斜率为k )(11x x k y y -=-k 存在 斜截式斜率为k ，在y 轴的截距为bb kx y +=k 存在两点式 过不同两点),(111y x P 、),(222y x P 121121x x x x y y y y --=-- k 存在 截距式 在x 轴、y 轴上的截距分别为a 、b1=+bya x k 存在且0≠k 且不过原点思考：以上方程有什么共同的特点？ （有限制的一元二次方程表示有特定范围的直线） 有没有适用任意直线的直线方程？Oy xlx 1 Oyx（二）讲授新课：1、二元一次方程与直线的关系：问题1：平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x 、y 的二元一次方程表示吗？ 对直线的倾斜角α进行讨论： ① 当︒≠90α时，直线斜率为αtan =k ，其方程可写成：b kx y +=，可变形为：0=++C By Ax ，其中：A = k ，B = – 1，C = b ；A 、B 不同时为零。
人教B版高中数学必修二《第二章 平面解析几何初步 2.2 直线的方程 2.2.4 点到直线的距离》_8
§3.3.3点到直线的距离【课程标准】探索并掌握点到直线的距离公式. 【学习目标】1.通过由特殊到一般的过程及方法对比，会选用三角形等面积法推导点到直线的距离公式，讨论A=0及B=0的情况，并体会数形结合思想和坐标法的使用，提升逻辑推理和数学运算素养;2.通过对点到直线的距离公式的理解，会运用公式求解点到直线的距离问题，并体会数形结合思想，提升数学运算素养. 【学习重点】点到直线的距离【学习难点】点到直线的距离公式的推导 【评价任务】1.完成探究一和探究二及思考，检测目标1是否达成.2.完成例1、例2及练习，检测目标2是否达成. 【资源与建议】1.点到直线距离公式，是直线方程的运用，是坐标法的继续，属于解析几何的基础知识，在解决许多实际问题中有着广泛的应用.2.点到直线的距离公式的推导过程中方程变形灵活，能力要求高，属于本节知识的难点，通过小组讨论合作和教师的设问引导突破难点.3.本节课的内容按以下流程进行：点到直线距离的定义→探究点到直线距离公式推导过程→运用点到直线距离公式求解具体问题（一题多解）→总结反思.4.学生已经掌握两点间的距离公式，可以自主探究或者小组讨论的形式尝试推导点到直线的距离公式.5.课后作业布置：A 组全部完成，B 组作业供学有余力的同学选做. 【学习过程】 （一）复习引入1.),(),(222111y x P y x P ，两点间的距离公式：（二）新知探究【探究一】1.点到直线的距离是怎样定义的？0(11):40P l x y +-=2.如何求解点，到直线的距离？0o 0(x ,y )0P Ax By C ++=【探究二】用等面积法推导点到直线的距离公式0=0A B =【思考】或时上述公式是否成立？0o 0(x ,y )0P Ax By C ++=【公式】点到直线的距离 说明：（三）学以致用01(12):32P l x -=例：求点，到直线的距离.练习：01.(23):3430P l x y -++=求点，到直线的距离.2.x y =求坐标原点到直线的距离.(1,3),(3,1),(1,0),A B C ABC -∆例2：已知点求的面积.（四）课时小结知识点： 思想方法： （五）作业布置A 组：完成课本P108练习第1,2题.B 组：1.已知点())0(2,>a a 到直线03:1=+-y x l 的距离为1,则a 的值等于( ) A.2 B .22- C.12- D.12+2.已知点A （-3，-4），B （6,3），直线l 过点P （-1,5）且到点A,B 的距离相等，求直线l 的方程。
人教B版高中数学必修二《第二章 平面解析几何初步 2.2 直线的方程 2.2.3 两条直线的位置关系》_2
合作探究、内化知识
1.回忆联想初中所学习的直角三角形的相关知识，能够推理证明出两条直线垂直满足的条件。
2.学生理解利用直线的平行关系将两条一般直线垂直问题转化为过原点的两条直线垂直问题。
2.能够掌握并区分判断两条直线平行与垂直满足的条件。
3.通过典型例题的分析与解决，进一步掌握求与已知直线垂直的直线方程的方法。
课堂：交流展示，合作探究平板应用
教师活动
学生活动
设计意图
预设时间
强化学习，基础达标
1.会判断两直线是否平行，会求与已知直线平行的直线方程。
2.带着思考，步入新知。
平板应用：课前反馈
解析答案
1.进一步检查课前学习效果，强化所学，为实现高阶目标做铺垫。
2.结合课前学情让学生带着问题学习，更有针对性和目的性。
发布任务自主学习
课前网上发布任务内容
任务一：回顾上节课知识，完成相关练习题。（3分钟）
任务二：阅读教材，记下要点。看微课，形成知识网络。（15分钟）
任务三：爱学平台推送试题，自主检测。（6分钟）
任务四：在讨论区作答反馈。（6分钟）
收集学情
二次备课
根据学生任务完成情况调整课程内容
根据学生反馈的预习情况，精心准备第二次备课，二次目标
1、通过课前复习教材、学案导学、网上任务引领，会判断两条直线平行，会求与已知直线平行的直线方程。学案卷
2、借助微课学习，进一步探索并理解了判断两条直线平行的方法，为课堂上推理证明两条直线垂直做准备。
（二）高阶目标
1.借助教师的启发，学生通过小组讨论等活动，引导学生运用不同方法推理证明出两条直线垂直的判定条件。在此过程中，解析几何思想方法渗透其中，同时培养了学生思维的严密性，表述的规范性。
新教材高中数学第2章平面解析几何两条直线的位置关系第2课时两条直线的垂直课件新人教B版选择性必修
1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两条直线垂直，则它们的斜率的乘积一定等于－1.( × ) (2)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线都与 x 轴垂直．( √ ) (3)两条直线的斜率分别为 k1，k2，若 k1·k2≠－1，则两条直线一定不垂 直．( √ )
2．做一做
第二章 平面解析几何
2.2 直线及其方程 2.2.3 两条直线的位置关系 第2课时 两条直线的垂直
(教师独具内容) 课程标准：1.能根据斜率判定两条直线垂直.2.理解并掌握两条直线垂直 的条件.3.能利用两条直线垂直进行实际应用． 学法指导：从法向量和倾斜角两个角度结合图形探求两直线垂直的条 件． 教学重点：两条直线垂直的条件． 教学难点：利用两条直线垂直的条件解决对称问题及其他实际问题.
1．对两直线垂直与斜率的关系要注意的几点 (1)l1⊥l2⇔k1k2＝－1 成立的前提条件：①两条直线的斜率都存在；② k1≠0 且 k2≠0. (2)两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于 零，则这两条直线垂直． (3)判定两条直线垂直的一般结论：l1⊥l2⇔k1k2＝－1 或一条直线的斜率 不存在，同时另一条直线的斜率等于零．
2．常用对称的特例 (1)A(a，b)关于 x 轴的对称点为 A′(a，－b)； (2)B(a，b)关于 y 轴的对称点为 B′(－a，b)； (3)C(a，b)关于直线 y＝x 的对称点为 C′(b，a)； (4)D(a，b)关于直线 y＝－x 的对称点为 D′(－b，－a)； (5)P(a，b)关于直线 x＝m 的对称点为 P′(2m－a，b)； (6)Q(a，b)关于直线 y＝n 的对称点为 Q′(a,2n－b)．
所以直线 l 的方程为 4x＋3y－6＝0.
两条直线相交平行垂直条件
－a －4 [错解] ∵l1∥l2，∴ 3 ＝ ，∴a2＋4a－12＝0. ∴a＝2 或 a＝－6. a＋4
[辨析] 错解中忽略了两直线重合这一情况.
[正解] 当 a＝－4 时，l1：4x－3y＋3＝0 与 l2：4x＋2＝0 不平行，∴a≠－ 4. －a － 4 ∵l1∥l2，∴ 3 ＝ ，∴a2＋4a－12＝0， a＋4 ∴a＝2 或 a＝－6. 当 a＝－6 时，l1：－6x＋3y－3＝0，即 2x－y＋1＝0，l24x－2y＋2＝0，即 2x－y＋1＝0，此时 l1 与 l2 重合，∴a≠－6. 当 a＝2 时，l1：2x＋3y－3＝0，l2：4x＋6y＋2＝0，即 2x＋3y＋1＝0，∴l1 ∥l2. 综上可知，a＝2.
2 ．已知两直线 l1 ： A1x ＋ B1y ＋ C1 ＝ 0 ， l2 ： A2x ＋ B2y ＋ C2 ＝ 0(A ＋ B≠0 ， i ＝
1,2).
A1 B1 A1B2－A2B1≠0 (1)l1与l2相交的条件：________________ 或________________. A2≠B2(A2B2≠0)
受到过山车中的平行吗？那么两条直线的平行用什么来刻画呢？
1．思考下列问题 (1)设直线l1，l2的倾斜角分别为 α1，α2，斜率分别为 k1，k2，若l1与l2不重合，则l1∥l2时，α1＝α2成立吗？k1＝
k2成立吗？
(2) 对任意两条不重合的直线 l1. l2 ， l1∥l2 与 k1 ＝ k2 等 价吗？ (3)若k1，k2存在且k1≠k2，两直线一定相交吗？
导学号 92434653
[解析] (1)平行
(2)相交 (3)重合
命题方向2 ⇨已知两条直线的位置关系，求参数的值或取值范围
典例 2 已知直线 l1：x＋my＋6＝0，l2：(m－2)x＋3y＋2m＝0，当 m 为何
人教B版高中数学必修二《第二章 平面解析几何初步 2.2 直线的方程 2.2.2 直线方程的几种形式》_10
3.2.3直线的一般式方程教案【教学目标】1.掌握直线方程一般式的形式特征；2.能将直线方程的五种形式进行转化，并能求斜率和截距；3.能主动参与探究直线和一元二次方程关系的数学活动，体验数学发现和探索的历程；4.会用数形结合等思想方法解决数学问题【教学重点】直线方程的一般式的理解及直线方程一般式和点斜式、斜截式、两点式、截距式之间的互化【教学难点】直线方程的一般式的理解与应用一、复习回顾1.直线的表示形式问：请观察直线的这四种表示形式，找出它们的共同点？二、合作探究问题（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x,y的二元一次方程表示吗？结论1：平面上任意一条直线都可以用一个关于x、y的二元一次方程表示。
问题（2）每一个关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（其中,A B 不同时为0）都表示一条直线吗？结论2：关于,x y 的二元一次方程0Ax By C ++=（其中,A B 不同时为0）都表示一条直线。
问题（3）在方程0Ax By C ++=中参数,,A B C 对直线的影响三、典例分析例1.已知直线经过点(6,4)A -，斜率为43-，求直线的点斜式和一般式方程。
巩固练习1.根据下列条件,写出直线的方程，并化为一般式方程(1)经过点A(8,-2),斜率是12-（2）经过点B(4,2)，平行于x 轴 （3）经过点1P （3，-2），2P （5，-4）（4）在x 轴，y 轴上的截距分别是3,32-例2.把直线l 的一般方程260x y -+=化成斜截式，求出直线l 的斜率以及它在x 轴y 轴上的截距，并画出图形。
例题小结：（1）求直线方程注意选合适的形式（2）直线的五种表示方法在一定条件下可以相互转化，一般情况下，最后保留一般式方程（3）画直线时一般找出直线与坐标轴的截距，利用两点决定一条直线完成作图（4）直线与二元一次方程之间的联系，体现出数形结合的思想四、巩固提高已知直线l：5530ax y a--+=（1）求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限（2）为使直线不经过第二象限，求a的取值范围五、总结1.对于一般式方程的理解，及参数的几何意义当0B≠，AB-是斜率CB-是y轴上的截距当0A≠，CA-是x轴上的截距2.平面直角坐标系作为桥梁把方程和直线联系起来用几何图形来研究代数问题，增加了数学的直观性，体现出数形结合的思想方法3.做题时注意选择恰当方法，可以达到事半功倍的效果.六、作业：基础作业：课本P100，1，2知识迁移与提高：1．已知ABC的顶点是(1,1),(3,1),(1,6A B C--直线l平行于AB，且分别交,AC BC于点,E F，CEF的面积是CAB的14，求直线l的方程。
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《3.1.1倾斜角与斜率》教学设计
【教材分析】
直线与方程是平面解析几何初步的第一章，与之前学习的立体几何在研究方式上不同，欧氏几
何是以公理为基础，直接依据图形中点、线、面的关系研究图形性质；解析几何中是在直角坐标系
的基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线（包括直线），通过方程研究曲线的性质，通过方程组的
解研究图形间的位置关系。本节课以直线为对象进行代数化，依据直线的两要素：一个定点和倾斜
程度，点用坐标代数化，重点探究倾斜程度的代数化。本节内容是直线代数化的基础，本章内容也
是解析几何的基础，是用代数方法研究几何问题的重要手段．
【教学目标】
一、知识和技能
1.通过观察平面内直线，直观感知决定直线的几何要素；
2.理解倾斜角、斜率的定义，及两者的一一对应关系；
3.掌握用两点坐标求过两点直线的斜率的公式.
1.通过观察平面内直线，发现确定直线除了定点以外，还需要刻画倾斜程度的量，理解直
线的倾斜角的定义.
2.结合实际生活中坡度的概念，用倾斜角的正切值定义斜率，对倾斜程度代数化.
3.通过几何画板演示“随着倾斜角的变化，斜率随之改变”，理解倾斜角和斜率的一一对应
关系，理解当倾斜角为90°时，仅对应斜率不存在，反之亦然.
4.掌握利用直线上两点坐标，求过两点的直线的斜率的方法.
三、情感、态度与价值观
1.通过介绍数学文化：解析几何的研究背景---笛卡尔平面直角坐标系，对正、余弦函数的
学习与观察，体会和感受，正、余弦函数图像的对称美和均匀波状美，进一步培养数学
学习的兴趣，增进对数学学习的积极情感.
2.通过实验观察和直观想象，感受和认识数学源于生活，高于生活；更好地理解和体会数
学的目的之一就是探究事物运动变化的规律.
3.初步感受和体会从数学角度，思考与探究世界，用数学方法，描述表达世界的重要性，
培养学生的数学意识与观念；进一步体会和感受数学的价值与意义，从而增强和激发学
习数学的内在动力.
【重 点】理解和掌握斜率的两种计算方法.
【难 点】倾斜角为90°时，斜率的值不存在.
【关 键 点】倾斜角与斜率一一对应.
【数学思想】函数思想、数形结合、转化化归.
【数学方法】由特殊到一般的研究方法，数形结合，转化与化归等.
【核心素养】直观想象、数学抽象、逻辑推理及数学运算.
【教学方法】
问题驱动、探究式教学
【教学用具】
PPT、几何画板等。
【教学过程设计】
一、教学流程设计
数学文化
引入
设计意图：介绍数学家，数学文化，激发学生的兴趣和学
习动力。
形成概念
设计意图：确定斜率的定义
探究1
设计意图：确定直线的要素有哪些
探究2
设计意图：倾斜角与斜率的一一对应关系，教师借助几何
画板展示对应过程
探究3
设计意图：两点式求斜率，教师再用几何画板展示几何法
画图过程。数学的数形结合思想也得以体现，直观想象的
核心素养也得以培养。
探究4
设计意图：两点式的斜率公式中，两点的顺序是否有要求。
分类讨论，强调考虑问题严谨。
探究5
设计意图：探究公式使用的要求，两点横坐标相等与两点
两线垂直x轴对应的特殊情况，数形结合。
例题示范
设计意图：熟练两点式求斜率，明确斜率的正负对应直线
图形的倾斜程度。
二、教
学过程设计
课堂练习
设计意图：运用两点式求斜率，学以致用，同时培养动手
能力和直观想象能力。
课堂小结
设计意图：总结提升：知识与技能、数学思想与核心素养、
价值观念及人生感悟。
教学环节 教学内容 师生活动
环节一
数学文化
引入
展示出笛卡尔的画像。
问题：知道人物画像是谁？
学生观察图画，并回答相应问题。
设计意图：
介绍数学家，数学文化，明确本章节学习的侧重点。
教学环节 教学内容 师生活动
环节二
形成概念
直线方程，直线的斜率
教师结合几何画板的动画，指出倾斜角与正切
值的一一对应关系，明确直线的两要素，理解
直线斜率的定义。（教师给出直线方程的定义
后，板书课题名称）
设计意图：借助几何画板动画，
明确倾斜角与斜率一一对应关系。
教学环节 教学内容 师生活动
环节三
探究新知
探究1：两点坐标得到直线斜
率 教师板书画出平面两点，并少许说明，学生观察思考怎么求得斜率。教师说明直线斜率可以
如何表示。
设计意图：数形结合，把直线这个“形”的问题怎么用“数”表示。
（衔接）教师：思考把图形中两点顺序改变后，得出的公式需要怎么变？
教学环节 教学内容 师生活动
环节三
探究新知
探究2：分直线图形的不同情况，讨论是否对两点的斜率公式有影响。 教师抛出问题：交换两点的位置，斜率公式会
该是怎样的？让学生讨论，找代表发言，其他
学生评价，教师补充。
设计意图：分类讨论，
让学生从不同角度，全面地考虑问题，培养思维的严谨
性和完整性.
教学环节 教学内容 师生活动
环节三
探究新知
探究3：两点坐标求直线斜率的公
式的使用要求
教师描述一些特殊的直线，然后让学生想图。
提问是否都可以用直线上两点，来求直线的斜
率？学生实践，讨论，得出结论。
设计意图：理解使用两点式斜率公式的限制条件，探索得出结论的过程中，
数学的数形结合思想也得以体现，直观想象的核心素养也得以培养。
（衔接）教师：我们回味一下，刚刚获取的重要信息，能不能总结提炼出来？
教学环节 教学内容 师生活动
环节四
归纳概括
直线的倾斜角，斜率公式
（1）两者的一一对应关系；
（2）两点坐标求直线斜率。
学生说明倾斜角和斜率两者的关系；
学生说明由两点坐标求直线斜率的公式特点，
及使用的限制条件。
设计意图：回顾前面内容，讨论交流，学生总结所探究的知识，结论。
（衔接）教师：学以致用，解决问题
教学环节 教学内容 师生活动
环节五
典例分析
例题：
已知)1,0(),1,4(),2,3(CBA，
求直线AB，BC，CA的斜率，并
判断这些直线的倾斜角是锐角还
是钝角．
学生在学案上独立完成，期间教师观察并选取
有代表性的展示，学生点评，教师补充。
设计意图：运用两点坐标求直线的斜率，数形结合，同时培养动手能力。
（链接）盘点收获，全课总结
教学环节 教学内容 师生活动
环节六
典例分析
1、这节课你学到了哪些知识？
2、数学思想方法与核心素养。
先让学生小结，教师补充并且加以升华。
设计意图：归纳小结是巩固新知必不可少的环节，通过对本节课所学知识点
的回顾，帮助学生梳理思路，强化记忆，以及在价值观人生观等的升华。
三、课后作业
分层作业：【必做题】1、A组：《课时作业》P118基础达标1-6；；
【选做题】2、
《课时作业》P118基础达标4,5，6，能力提升1-5；
四、板书设计
2.2.1直线方程的概念与直线的斜率
一、直线方程 1、直线的要素 ①两点； ②一点和倾斜程度； 2、直线方程 二、直线的斜率：两点式 思考：公式的使用要求 演示区