中国科学院高等代数考研试题
高等代数考研真题第一章多项式
且f(x)在有理数域上不可约。
第一章多项式1 (清华2 000— 20分)试求7次多项式f(X )，使f(M 1能被(X -1)4整除，而f(X )-1能被(X 1)4整除。
2、 (南航 2001 — 20 分)(1) 设 x —2px+2 I x +3x +px+q ，求 p,q 之值。
(2) 设f(x) , g(x), h(x) € R[x]，而满足以下等式2(x +1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=02(x +1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=02 2证明：x +1 I f(x) , x +1 I g(x)3、 (北邮2002 —12分)证明：x d - 1 I x "- 1的充分必要条件是d I n (这里里记号 d I n 表示正整数d 整除正整数n )。
4、 、(北邮 2003 —15分)设在数域 P 上的多项式 g 1(x), g 2(x) , g 3(x) , f(x),已知 g 1(x) I f(x),g 2(x) I f(x) , g 3(x) I f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：(〔)如果 g 1(x) ,g 2(x) , g 3(x)两两互素，则一定有 g 1(x) , g 2(x) , g 3(x) I f(X )(2)如果g1(x) , g 2(x) , g 3(x)互素，则一定有 g 1(x)g 2(x)g 3(x)I f(X )5、 (北师大2003—25分)一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。
证明P 是素数当且仅当任取正整数a ,b 若p I ab 则p I a 或p I b 。
6、 (大连理工2003 —12分)证明：次数＞0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幕主充分必要条件是，对任意的多项式g(x) , h(x),由f(x) I g(x) h(x)可以推出f(x) I g(x)，或者对某一正整数 m , f(x) I h m(x)。
985院校数学系2019年考研数学分析高等代数试题及部分解答
, 2. 定义 Mn.C / 上的变
(1)求变换 T 的特征值. (2)若 A 可对角化，证明 T 也可对角化.
四.(20 分) A 为 n 阶实对称矩阵，令
S D fX jX T AX D 0, X 2 Rng
(1)求 S 为 Rn 中的一个子空间的充要条件并证明. (2)若 S 为 Rn 中的一个子空间，求 di mS .
C pn n
二.(15 分) 设 f .x/ 2 C Œa, b，f .a/ D f .b/，证明 9xn, yn 2 Œa, b, s.t . lim .xn yn/ D n!1 0，且 f .xn/ D f .yn/.
三.(15 分) 证明
Xn .
kD0
1/k
Cnk
k
C
1 m
C
1
D
X m .
kD0
1/k
Cmk
k
C
1 n
C
1
其中m, n是正整数
Y 1
X 1
四.(15 分) 无穷乘积 .1 C an/ 收敛，是否无穷级数 an 收敛？若是，证明这个
nD1
nD1
结论；若不是，请给出反例.
X 1
ż1
五.(15 分) 设 f .x/ D xn ln x，计算 f .x/dx.
0
nD1
六.(15 分) 设定义 .0, C1/ 上的函数 f .x/ 二阶可导，且 lim f .x/ 存在，f 00.x/ 有 x!C1 界，证明 lim f 0.x/ D 0. x!C1
(1)证明存在正交矩阵 P 使得
0
P T AP
D
BB@
a 0
0
1
高等代数每日一题考研真题
高等代数每日一题考研真题高等代数是数学中的重要分支之一，对于考研学生来说，掌握高等代数的知识是非常重要的。
为了帮助考生更好地备考，下面将为大家介绍一道高等代数的考研真题，并给出详细的解答过程。
考研高等代数题目如下：已知矩阵A = [a11, a12, a13; a21, a22, a23; a31, a32, a33]其中，a11, a12, a13, a21, a22, a23, a31, a32, a33均为非零实数。
（1）若|A| = -6，求a33的值。
（2）设矩阵B = (A^-1)^T，其中(A^-1)^T表示矩阵A的逆矩阵的转置矩阵，求B。
解答如下：（1）根据题目已知条件，我们可以使用行列式的性质进行求解。
由于|A| = -6，根据行列式的性质可知：|A| = a11(a22a33 - a23a32) - a12(a21a33 - a23a31) + a13(a21a32 -a22a31) = -6根据上述等式，可以得到一个关于a33的二次方程，进一步求解该二次方程，即可得到a33的值。
（2）根据题目已知条件，我们需要先求解矩阵A的逆矩阵，然后再对其进行转置。
首先，求解矩阵A的逆矩阵。
设A的逆矩阵为A^-1，根据矩阵的性质可知：AA^-1 = I，其中I为单位矩阵，即I = [1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1]。
根据上述等式，我们可以得到以下方程组：a11x11 + a12x21 + a13x31 = 1a11x12 + a12x22 + a13x32 = 0a11x13 + a12x23 + a13x33 = 0a21x11 + a22x21 + a23x31 = 0a21x12 + a22x22 + a23x32 = 1a21x13 + a22x23 + a23x33 = 0a31x11 + a32x21 + a33x31 = 0a31x12 + a32x22 + a33x32 = 0a31x13 + a32x23 + a33x33 = 1解上述方程组，即可得到逆矩阵A^-1的值。
高等代数考研真题 第一章 多项式
第一章 多项式1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4(1)X -整除,而()1f x -能被4(1)X +整除。
2、（南航2001—20分）（1）设x 2-2px+2∣x 4+3x 2+px+q ，求p,q 之值。
（2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式 （x 2+1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0 （x 2+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0 证明：x 2+1∣f(x)，x 2+1∣g(x) 3、（北邮2002—12分）证明：x d -1∣x n -1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表示正整数d 整除正整数n ）。
4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x )，g 3(x )，f(x),已知g 1(x)∣f(x)，g 2(x)∣f(x)， g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由：（1）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x) （2）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。
证明P 是素数当且仅当任取正整数a ，b 若p ∣ab 则p ∣a 或p ∣b 。
6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x) ，由f(x)∣g(x) h(x)可以推出f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m (x)。
7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。
高等代数考研真题详解
高等代数考研真题详解高等代数考研真题详解高等代数是数学专业研究生考试的重要科目之一，也是数学学科中的基础课程。
考研真题是考生备考的重要参考资料，通过对真题的详细解析，可以帮助考生更好地理解高等代数的知识点，提高解题能力。
本文将对几道高等代数考研真题进行详细解析，帮助考生更好地备考。
第一道题目是关于线性空间的性质的判断题。
题目如下：判断下列命题的正确性：1. 若线性空间V中存在一个非零向量v，使得V中的每个向量都可以表示为v的倍数，则V是有限维的。
2. 若线性空间V中存在一个非零向量v，使得V中的每个向量都可以表示为v与另一个向量的线性组合，则V是有限维的。
对于第一题，我们可以通过反证法来证明其正确性。
假设V是无限维的，那么存在一个无限长的线性无关向量组，我们可以找到一个向量w，使得w与这个向量组线性无关。
那么w就无法表示为v的倍数，与题目的条件矛盾，因此V是有限维的。
对于第二题，我们可以通过举例来证明其正确性。
假设V是有限维的，那么存在一个有限长的基底，我们可以选择其中的一个向量v作为题目中所述的非零向量。
对于任意一个向量x，我们可以找到一组系数使得x可以表示为v与另一个向量的线性组合，因此V是有限维的。
通过以上的解析，我们可以得出第一题的命题是正确的，而第二题的命题是错误的。
接下来，我们来看一道关于线性空间的子空间的题目。
题目如下：设V是数域K上的线性空间，U和W是V的子空间，证明U∩W也是V的子空间。
对于这道题目，我们需要证明U∩W满足线性空间的三个条件：非空性、封闭性和加法逆元存在性。
首先，由于U和W都是V的子空间，所以它们都非空。
因此，U∩W也非空。
其次，对于U∩W中的任意两个向量u和w，由于u和w分别属于U和W，所以它们也属于V。
因此，u和w的线性组合也属于V。
根据线性空间的定义，u和w的线性组合也属于U和W。
因此，u和w的线性组合也属于U∩W。
所以，U∩W对于向量的加法封闭。
最后，对于U∩W中的任意一个向量u，由于u属于U和W，所以u的加法逆元也分别属于U和W。
数学考研-中科院考研试题合辑2011-2015
«Ï ǽ ). 6 («Ï
5 ( (1) (2)
15
n Í °É n=1 (x+1 /n)
ǽ
×ǽ
(
©» ¬ ×
Ï 10 ) 2 sin x Ô ¥ 0<x< π 2 â π < x < 1. Á É f (x) Ò¬ ´ [a, b] À º ¢ f ′′(x) < 0, Ó
中国科学院研究生院
2011 年招收攻读硕士学位研究生入学统一考试试题
科目名称：数学分析
考生须知：
1. 本试卷满分为 150 分， 全部考试时间总计 180 分钟； 2. 所有答案必须写在答题纸上， 写在试题纸上或草稿纸上一律无效。 1. (30 分)
3. (15 分) 设函数 f (x) 满足， f ′′ (x) < 0（当 x > 0） ， f (0) = 0．证明对于所有 x1 > 0， x2 > 0， 有 f (x1 + x2 ) < f (x1 ) + f (x2 )．
25 10 15 15
) ) ) )
²Ë¥
n→∞ n→∞
√ lim sin2 (π n2 + n). lim an ,
ØÁ a1 = 1, an+1 = 1 + a1 (n ≥ 1).
n
2 (
«Ï
Á f (x) ¼ ¢ g(x) =
g′′ (x) + g(x) = f (x), y = ex
x 0 f (x
Ľ (−∞, +∞) ÉÙ ÉÆÙ £ £
5 (
Ê Ä½ [a, b] É¢f (x) Ô¢g(x) ¶¢ Á f (x) > 0, g(x) > 0.
985院校数学系2019年考研数学分析高等代数试题及部分解答
高等代数考研试题及答案
高等代数考研试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列矩阵中，哪个不是可逆矩阵？A. [1, 2; 3, 4]B. [2, 0; 0, 1]C. [1, 1; 1, 1]D. [1, -1; 2, 2]2. 设线性变换 \( T: \mathbb{R}^3 \rightarrow \mathbb{R}^3 \) 由矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \) 给出，那么 \( T(1, 2, 3) \) 的结果是：A. (3, 5, 3)B. (5, 3, 3)C. (1, 2, 3)D. (2, 3, 1)3. 多项式 \( p(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \) 的根的个数是：A. 1B. 2C. 3D. 44. 设 \( V \) 是所有 \( n \) 次多项式的向量空间，\( T: V\rightarrow V \) 是一个线性变换，且 \( T(p(x)) = p'(x) \)。
如果 \( T \) 的特征值为 \( k \)，那么 \( k \) 等于：A. 0B. 1C. -1D. \( n \)5. 下列哪个命题是正确的？A. 每个线性映射都可以用一个矩阵来表示。
B. 矩阵的乘积总是可交换的。
C. 两个相似矩阵必定是同阶矩阵。
D. 行列式的值总是正数或零。
6. 设 \( A \) 是一个 \( n \) 阶方阵，如果 \( A \) 的所有特征值的和等于 \( 0 \)，那么 \( A \) 必定是：A. 正交矩阵B. 对角矩阵C. 零矩阵D. 反对称矩阵7. 如果一个 \( n \) 阶方阵 \( A \) 的所有元素都等于 \( 1 \)，那么 \( A^n \) 的迹（trace）是：A. \( n \)B. \( n^n \)C. \( n! \)D. \( 0 \)8. 对于任意 \( n \) 阶方阵 \( A \)，下列哪个选项是正确的？A. \( \det(A^2) = (\det A)^2 \)B. \( \det(A^T) = \det A \)C. \( \det(A + I) = \det A + 1 \)D. \( \det(A) = \det(A^T) \)9. 设 \( V \) 是一个向量空间，\( T: V \rightarrow V \) 是一个线性变换，如果 \( T \) 的一个特征向量 \( v \) 满足 \( T(v) = \lambda v \)，那么 \( T \) 的逆变换 \( T^{-1} \)（如果存在）将 \( v \) 映射到：A. \( \lambda^{-1} v \)B. \( \frac{1}{\lambda} v \)C. \( v \)D. \( v + \lambda v \)10. 下列哪个矩阵是正交矩阵？A. \( \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)B. \( \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix} \)C. \( \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix} \)D. \( \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \)二、填空题（每题4分，共20分）11. 矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \) 的行列式 \( \det A \) 等于 _______。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
中科院高等代数
1.(15分) 证明()231....1!2!3!!
n
x x x x f x n =++++与()'f x 没有重因式。
2. (20分) 设()g x 是[]P X 中的非零多项式, ()g x =()()1n p x g x ,且()()()
1,1p x g x =证明对任意()f x 均有: ()()()()()()()
111n n f x r x f x g x p x p x g x -=+ 其中:()0r x ∂=或者()()r x p x ∂<∂。
3. (20分) 设矩阵21121221222121..11..1::::11..n n n n n a a a a a a a a a a A a a a a a ⎡⎤++⎢⎥++⎢⎥=⎢⎥⎢⎥++⎢⎥⎣⎦
且满足11n i i a ==∑;21n i i a n ==∑。
()1求矩阵A 的所有特征值
()2求det A 及trA
4.(15分) 若n 阶方阵A 满足2A A =,其中1V 为0AX =的解空间,2V 为()0n A I X -=的解空
间,证明12P V V =⊕。
5. (20分) 若n 阶方阵A 可逆,且,αβ均为n 维列向量又满足110T A βα-+≠。
()1 证明1T A P αβ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
可逆,并求其逆矩阵. ()2 证明T Q A αβ=+可逆,并求其逆矩阵.
6. (20分) 证明:任意n 阶复方阵A 与其转置矩阵T A 相似。
7.(22分) 若n 阶方阵,A B 满足()()
,T A B tr A B =。
()1 证明: (),A B 为内积.
()2 若W 为1100A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
,1011B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦生成的子空间,求W 的一组标准正交基W ⊥.
8.(18分) 若1T ,2T ,3T ….. n T 为线性空间V 上的一组非零变换.证明:线性空间V 上存在向量α,使得()0i T α≠,{}1,2,3,.....,.i n ∈。