应用数理统计期末复习
应用统计分析复习要点和回答
应用统计分析复习要点和回答本文档将提供应用统计分析的复要点和回答，帮助您进行复和准备。
以下是一些重要的要点和相应的回答：1. 描述性统计分析问题：描述性统计分析是什么？描述性统计分析是通过分析和总结数据来了解数据的特征和分布情况的方法。
问题：描述性统计分析常用的统计指标有哪些？常用的描述性统计指标包括平均值、中位数、方差、标准差和频数。
问题：如何计算某个数据集的平均值？计算平均值的方法是将所有数据相加，然后除以数据的个数。
问题：如何计算某个数据集的方差？计算方差的方法是将每个数据与平均值的差的平方相加，然后除以数据的个数。
2. 推断统计分析问题：推断统计分析是什么？推断统计分析是基于样本数据对总体进行推断和估计的方法。
问题：什么是假设检验？假设检验是根据样本数据对关于总体参数的某个假设进行检验的方法。
问题：如何进行一样本均值的假设检验？进行一样本均值的假设检验时，首先设立原假设和备择假设，然后计算样本均值和标准误差，并使用统计检验方法计算显著性水平来判断是否拒绝原假设。
问题：什么是置信区间？置信区间是对总体参数范围的估计，表示我们有一定的置信水平相信参数落在该区间内。
3. 回归分析问题：回归分析是什么？回归分析是通过建立一个数学模型来描述因变量与一个或多个自变量之间的关系的方法。
问题：如何解释回归模型中的回归系数？回归模型中的回归系数表示因变量在自变量发生一单位变化时的平均变化量。
问题：什么是多重共线性？多重共线性是指在回归分析中，自变量之间存在较高的相关性，可能导致参数估计不准确甚至与理论预期相悖。
以上是应用统计分析的一些重要要点和回答，希望能对您的复习有所帮助。
祝您成功！。
数理统计期末练习题
数理统计期末练习题1. 在总体)4,6.7(N 中抽取容量为n 的样本,如果要求样本均值落在)6.9,6.5(内的概率不小于0.95,则n 至少为多少2．设n x x ,,1 是来自)25,(μN 的样本,问n 多大时才能使得95.0)1|(|≥<-μx P 成立 3. 由正态总体)4,100(N 抽取两个独立样本,样本均值分别为y x ,,样本容量分别15,20,试求)2.0|(|>-y x P .5.设161,,x x 是来自),(2δμN 的样本,经计算32.5,92==s x ,试求)6.0|(|<-μx P .6.设n x x ,,1 是来自)1,(μN 的样本,试确定最小的常数c,使得对任意的0≥μ,有α≤<P )|(|c x .7. 设随机变量 X~F(n,n),证明 =<P )1(X9．设21,x x 是来自),0(2σN 的样本,试求22121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x x x x Y 服从 分布.10.设总体为N(0,1),21,x x 为样本,试求常数k ,使得.05.0)()()(221221221=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛>++-+P k x x x x x x11．设n x x ,,1 是来自),(21σμN 的样本,m y y ,,1 是来自),(22σμN 的样本,c,d 是任意两个不为0的常数,证明),2(~)()(2221-+-+-=+m n t s y d x c t md n c ωμμ其中22222,2)1()1(yx y x s s m n s m s n s 与-+-+-=ω分别是两个样本方差.12．设121,,,+n n x x x x 是来自),(2σμN 的样本,11,n n i i x x n ==∑_2211(),1n n i n i s x x n ==--∑试求常数 c 使得1n nc nx x t cs +-=服从t 分布,并指出分布的自由度 。
概率论与数理统计期末考试复习资料
（1）排 列组合 公式
Pmn
m! (m n)!
C
n m
m! n!(m n)!
从 m 个人中挑出 n 个人进行排列的可能数。 从 m 个人中挑出 n 个人进行组合的可能数。
加法原理（两种方法均能完成此事）：m+n
（2）加 法和乘 法原理
某件事由两种方法来完成，第一种方法可由 m 种方法完成，第二种方 法可由 n 种方法来完成，则这件事可由 m+n 种方法来完成。 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）：m×n 某件事由两个步骤来完成，第一个步骤可由 m 种方法完成，第二个步
率。分布函数F(x) 表示随机变量落入区间（– ∞，x]内的概率。
分布函数具有如下性质：
1° 0 F(x) 1, x ；
2° F(x) 是单调不减的函数，即x1 x2 时，有 F(x1) F(x2) ；
3° F() lim F(x) 0， F() lim F(x) 1；
设F(x) 是随机变量 X 的分布函数，若存在非负函数 f (x) ，对任意 实数x ，有
F (x) x f (x)dx ，
则称 X 为连续型随机变量。f (x) 称为 X 的概率密度函数或密度函 数，简称概率密度。 密度函数具有下面 4 个性质： 1° f (x) 0 。
2° f (x)dx 1。
X
| x1, x2,, xk, 。
P( X xk) p1, p2,, pk,
显然分布律应满足下列条件：
（1） pk 0 ，k 1,2,， （2） pk 1。 k 1
（2）连 续型随 机变量 的分布 密度
重庆大学研究生数理统计总复习
* 故任意样本(X1,…,Xn)的概率分布统一为：
n
f (x1, x2,, xn ) f (xi )
i 1
7、统计量
1）定义：设X1,…,Xn为总体X 的一个样本，
f (x1,, xn ) 为关于n维变量 x1,, xn 的连续函 数，且该函数中不含任何未知参数 ( x1,, xn 取定值时)，则称 f (X1,, X n ) 为统 计量，很明显，统计量是一个随机变量。
3 . X ~ P ()E XD X
4 . X ~ U ( a ,b )E X a bD X 1 ( b a ) 2
2
1 2
1
1
5 . X ~ () E X D X 2
6 . X ~ N ( a , 2 )E X a D X 2
4、二维随机变量的数学期望：（EX，EY）
2）Poisson分布X~P(λ)： P X k k e , k 0,1,2,( 0)
k!
4）均匀分布X～U[a,b]：
f
( x;
a,
b)
b
1
a
,
a xb
F(x)
x
f(t)dt
10bxaa,abxxxab
0
，其它
5）指数分布X～Γ(λ)：
f
(
x;
)
e
x
,
x0
0 , x 0
分 布 函 数 F (x ) x f( t) d t 1 0 , e x ,0 x 0 0
D(aX bY ) a2DX b2DY 2ab cov(X ,Y )
4）若X与Y独立，则：
E( XY ) EXEY
D(aX bY ) a 2 DX b2 DY
数理统计期末练习题
数理统计期末练习题1. 在总体)4,6.7(N 中抽取容量为n 的样本,如果要求样本均值落在)6.9,6.5(内的概率不小于,则n 至少为多少2．设n x x ,,1 是来自)25,( N 的样本,问n 多大时才能使得95.0)1|(| x P 成立 3. 由正态总体)4,100(N 抽取两个独立样本,样本均值分别为y x ,,样本容量分别15,20,试求)2.0|(| y x P .5.设161,,x x 是来自),(2 N 的样本,经计算32.5,92 s x ,试求)6.0|(| x P . 6.设n x x ,,1 是来自)1,( 的样本,试确定最小的常数c,使得对任意的0 ,有)|(|c x .7. 设随机变量 X~F(n,n),证明 )1(X9．设21,x x 是来自),0(2 N 的样本,试求22121x x x x Y 服从 分布.10.设总体为N(0,1),21,x x 为样本,试求常数k ,使得.05.0)()()(221221221 k x x x x x x11．设n x x ,,1 是来自),(21N 的样本,m y y ,,1 是来自),(22 N 的样本,c,d 是任意两个不为0的常数,证明),2(~)()(2221m n t s y d x c t md nc 其中22222,2)1()1(y x yx s s m n s m s n s 与分别是两个样本方差.12．设121,,, n n x x x x 是来自),(2N 的样本,11,n n i i x x n _2211(),1n n i n i s x x n 试求常数c 使得1n nc nx x t cs 服从t 分布,并指出分布的自由度 。
13．设从两个方差相等的正态总体中分别抽取容量为15,20的样本,其样本方差分别为,,2221s s 试求).2(2221 S S p14. 某厂生产的灯泡使用寿命)250,2250(~2N X ,现进行质量检查,方法如下：随机抽取若干个灯泡,如果这些灯泡的平均寿命超过2200h,就认为该厂生产的灯泡质量合格,若要使检查能通过的概率不低于,问至少应检查多少只灯泡？15．设 )(171x x 是来自正态分布),(2N 的一个样本,_x 与 2s 分别是样本均值与样本方差。
概率论与数理统计期末复习提纲
推论： P( B A) P( B) P( AB ) 4) P( A) 1 5) P( A) 1 P( A ) 6) P( A B) P( A) P( B) P( AB)
第二章 一维随机变量及其分布
一维随机变量
离散型随机变量
随机变量的分布函数 连续性随机变量 随机变量函数的分布
pij P{X xi , Y y j }， i, j 1, 2,
满足规范性条件 pij 1 ，则称 ( X , Y ) 为二维离散型
i , j 1
随机变量。
定义
设 ( X ,Y ) 为二维离散型随机变量，其所有可 能取值为 ( xi , yi )(i, j 1, 2,) ，则称 pij (i, j 1, 2,) 为 ( X , Y )的联合分布律。
3 x p ( x ) dx 1 ke dx 1 ， 解：(1) ， 0
ke 3 x , p( x ) 0,
x0
x 0，
1 3x k e 3
0
1，
k 3，
即
3e 3 x , p( x ) 0,
0
0
数学期望的性质
1. 设C是常数，则E(C)=C; 请注意: 2. 若k是常数，则E(kX)=kE(X); 由E(XY)=E(X)E(Y) 不一定能推出X,Y 3. E(X+Y) = E(X)+E(Y); 独立 n n 推广 : E[ X i ] EX i
i 1 i 1
4. 设X、Y 相互独立，则 E(XY)=E(X)E(Y);
0 1
0 1
x
1 2 x 2x 1 2
概率论与数理统计期末复习
概率论与数理统计期末复习《概率论与数理统计》总复习提纲第⼀块随机事件及其概率内容提要基本内容：随机事件与样本空间，事件的关系与运算，概率的概念和基本性质，古典概率，⼏何概率，条件概率，与条件概率有关的三个公式，事件的独⽴性，贝努⾥试验.1、随机试验、样本空间与随机事件（1）随机试验：具有以下三个特点的试验称为随机试验，记为.1）试验可在相同的条件下重复进⾏；2）每次试验的结果具有多种可能性，但试验之前可确知试验的所有可能结果；3）每次试验前不能确定哪⼀个结果会出现.（2）样本空间：随机试验的所有可能结果组成的集合称为的样本空间记为Ω；试验的每⼀个可能结果，即Ω中的元素，称为样本点，记为.（3）随机事件：在⼀定条件下，可能出现也可能不出现的事件称为随机事件，简称事件；也可表述为事件就是样本空间的⼦集，必然事件（记为）和不可能事件（记为）. 2、事件的关系与运算（1）包含关系与相等：“事件发⽣必导致发⽣”，记为或；且.（2）互不相容性：；互为对⽴事件且.（3）独⽴性：（1）设为事件，若有，则称事件与相互独⽴. 等价于：若().（2）多个事件的独⽴：设是n个事件，如果对任意的，任意的，具有等式，称个事件相互独⽴．3、事件的运算（1）和事件（并）：“事件与⾄少有⼀个发⽣”，记为.（2）积事件（交）：“事件与同时发⽣”，记为或.（3）差事件、对⽴事件(余事件)：“事件发⽣⽽不发⽣”，记为称为与的差事件；称为的对⽴事件；易知：.4、事件的运算法则1) 交换律：，；2) 结合律：，；3) 分配律：，；4) 对偶(De Morgan)律：，，可推⼴5、概率的概念（1）概率的公理化定义：（2）频率的定义：事件在次重复试验中出现次，则⽐值称为事件在次重复试验中出现的频率，记为，即.（3）统计概率：称为事件的（统计）概率.在实际问题中，当很⼤时，取（4）古典概率：若试验的基本结果数为有限个，且每个事件发⽣的可能性相等，则（试验对应古典概型）事件发⽣的概率为：.（5）⼏何概率：若试验基本结果数⽆限，随机点落在某区域g的概率与区域g的测度(长度、⾯积、体积等)成正⽐，⽽与其位置及形状⽆关，则（试验对应⼏何概型），“在区域中随机地取⼀点落在区域中”这⼀事件发⽣的概率为：.（6）主观概率：⼈们根据经验对该事件发⽣的可能性所给出的个⼈信念.6、概率的基本性质（1）不可能事件概率零：＝0.（2）有限可加性：设是n个两两互不相容的事件，即＝，（），则有＝＋.（3）单调不减性：若事件，且.（4）互逆性：且.（5）加法公式：对任意两事件，有－；此性质可推⼴到任意个事件的情形.（6）可分性：对任意两事件，有，且7、条件概率与乘法公式（1）条件概率：设是两个事件，即，则称为事件发⽣的条件下事件发⽣的条件概率．（2）乘法公式：设且则称为事件的概率乘法公式.8、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式（1）全概率公式：设是的⼀个划分，且，，则对任何事件，有称为全概率公式.（2）贝叶斯(Bayes)公式：设是的⼀个划分，且，则对任何事件，有称为贝叶斯公式或逆概率公式.9、贝努⾥(Bernoulli)概型（1）只有两个可能结果的试验称为贝努⾥试验，常记为．也叫做“成功—失败”试验,“成功”的概率常⽤表⽰，其中＝“成功”.（2）把重复独⽴地进⾏次，所得的试验称为重贝努⾥试验，记为．（3）把重复独⽴地进⾏可列多次，所得的试验称为可列重贝努⾥试验，记为．以上三种贝努⾥试验统称为贝努⾥概型．（4）中成功次的概率是：其中.疑难分析1、必然事件与不可能事件必然事件是在⼀定条件下必然发⽣的事件，不可能事件指的是在⼀定条件下必然不发⽣的事件.它们都不具有随机性，是确定性的现象，但为研究的⽅便，把它们看作特殊的随机事件.2、互逆事件与互斥（不相容）事件如果两个事件与必有⼀个事件发⽣，且⾄多有⼀个事件发⽣，则、为互逆事件；如果两个事件与不能同时发⽣，则、为互斥事件.因⽽，互逆必定互斥，互斥未必互逆.区别两者的关键是：当样本空间只有两个事件时，两事件才可能互逆，⽽互斥适⽤与多个事件的情形.作为互斥事件在⼀次试验中两者可以都不发⽣，⽽互逆事件必发⽣⼀个且只发⽣⼀个.3、两事件独⽴与两事件互斥两事件、独⽴，则与中任⼀个事件的发⽣与另⼀个事件的发⽣⽆关，这时；⽽两事件互斥，则其中任⼀个事件的发⽣必然导致另⼀个事件不发⽣，这两事件的发⽣是有影响的，这时.可以⽤图形作⼀直观解释.在图1.1左边的正⽅形中，图1.1，表⽰样本空间中两事件的独⽴关系，⽽在右边的正⽅形中，，表⽰样本空间中两事件的互斥关系.4、条件概率与积事件概率是在样本空间内，事件的概率，⽽是在试验增加了新条件发⽣后的缩减的样本空间中计算事件的概率.虽然、都发⽣，但两者是不同的，⼀般说来，当、同时发⽣时，常⽤，⽽在有包含关系或明确的主从关系时，⽤.如袋中有9个⽩球1个红球，作不放回抽样，每次任取⼀球，取2次，求：（1）第⼆次才取到⽩球的概率；（2）第⼀次取到的是⽩球的条件下，第⼆次取到⽩球的概率.问题（1）求的就是⼀个积事件概率的问题，⽽问题（2）求的就是⼀个条件概率的问题. 5、全概率公式与贝叶斯(Bayes)公式当所求的事件概率为许多因素引发的某种结果，⽽该结果⼜不能简单地看作这诸多事件之和时，可考虑⽤全概率公式，在对样本空间进⾏划分时，⼀定要注意它必须满⾜的两个条件.贝叶斯公式⽤于试验结果已知，追查是何种原因（情况、条件）下引发的概率.第⼆块随机变量及其分布内容提要基本内容：随机变量，随机变量的分布的概念及其性质，离散型随机变量的概率分布，连续型随机变量的概率分布，常见随机变量的分布，随机变量函数的分布.1、随机变量设是随机试验的样本空间，如果对于试验的每⼀个可能结果，都有唯⼀的实数与之对应，则称为定义在上的随机变量，简记为.随机变量通常⽤⼤写字母等表⽰.2、离散型随机变量及其分布列如果随机变量只能取有限个或可列个可能值，则称为离散型随机变量.如果的⼀切可能值为，并且取的概率为，则称为离散型随机变量的概率函数（概率分布或分布律）.也称分布列，常记为其中.常见的离散型随机变量的分布有：（1）两点分布（0-1分布）：记为，分布列为或（2）⼆项分布：记为，概率函数（3）泊松分布，记为，概率函数泊松定理设是⼀常数，是任意正整数，设，则对于任⼀固定的⾮负整数，有.当很⼤且很⼩时，⼆项分布可以⽤泊松分布近似代替，即，其中（4）超⼏何分布：记为，概率函数，其中为正整数，且.当很⼤，且较⼩时，有（5）⼏何分布：记为，概率函数.3、分布函数及其性质分布函数的定义：设为随机变量，为任意实数，函数称为随机变量的分布函数.分布函数完整地描述了随机变量取值的统计规律性，具有以下性质：（1）有界性；（2）单调性如果，则；（3）右连续，即；（4）极限性；（5）完美性.4、连续型随机变量及其分布分布如果对于随机变量的分布函数，存在⾮负函数，使对于任⼀实数，有，则称为连续型随机变量.函数称为的概率密度函数.概率密度函数具有以下性质：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）如果在处连续，则.常⽤连续型随机变量的分布：（1）均匀分布：记为，概率密度为分布函数为（2）指数分布：记为，概率密度为分布函数为（3）正态分布：记为，概率密度为，相应的分布函数为当时，即时，称服从标准正态分布.这时分别⽤和表⽰的密度函数和分布函数，即具有性质：①.②⼀般正态分布的分布函数与标准正态分布的分布函数有关系：.5、随机变量函数的分布（1）离散型随机变量函数的分布设为离散型随机变量，其分布列为(表2-2)：表2-2则任为离散型随机变量，其分布列为(表2-3)：表2-3……有相同值时，要合并为⼀项，对应的概率相加.（2）连续型随机变量函数的分布设为离散型随机变量，概率密度为，则的概率密度有两种⽅法可求.1）定理法：若在的取值区间内有连续导数，且单调时，是连续型随机变量，其概率密度为.其中是的反函数.2）分布函数法：先求的分布函数然后求.疑难分析1、随机变量与普通函数随机变量是定义在随机试验的样本空间上，对试验的每⼀个可能结果，都有唯⼀的实数与之对应.从定义可知：普通函数的取值是按⼀定法则给定的，⽽随机变量的取值是由统计规律性给出的，具有随机性；⼜普通函数的定义域是⼀个区间，⽽随机变量的定义域是样本空间.2、分布函数的连续性定义左连续或右连续只是⼀种习惯.有的书籍定义分布函数左连续，但⼤多数书籍定义分布函数为右连续. 左连续与右连续的区别在于计算时，点的概率是否计算在内.对于连续型随机变量，由于，故定义左连续或右连续没有什么区别；对于离散型随机变量，由于，则定义左连续或右连续时值就不相同，这时，就要注意对定义左连续还是右连续.第三块多维随机变量及其分布内容提要基本内容：多维随机变量及其分布函数⼆维离散型随机变量的联合分布列，⼆维连续型随机变量的联合分布函数和联合密度函数，边际分布，随机变量的独⽴性和不相关性，常⽤多维随机变量，随机向量函数的分布.1、⼆维随机变量及其联合分布函数为n维(n元)随机变量或随机向量.联合分布函数的定义设随机变量,为随机向量的联合分布函数⼆维联合分布函数具有以下基本性质：（1）单调性是变量或的⾮减函数；（2）有界性；（3）极限性（3）连续性关于右连续，关于也右连续；（4）⾮负性对任意点，若，则.上式表⽰随机点落在区域内的概率为：.2、⼆维离散型随机变量及其联合分布列如果⼆维随机变量所有可能取值是有限对或可列对，则称为⼆维离散型随机变量.设为⼆维离散型随机变量,它的所有可能取值为将或表3.1称为的联合分布列.………………联合分布列具有下列性质：（1）；（2）.3、⼆维连续型随机变量及其概率密度函数如果存在⼀个⾮负函数,使得⼆维随机变量的分布函数对任意实数有，则称是⼆维连续型随机变量，称为的联合密度函数（或概率密度函数）.联合密度函数具有下列性质：（1）⾮负性对⼀切实数，有；（2）规范性；（3）在任意平⾯域上，取值的概率；（4）如果在处连续，则.4、⼆维随机变量的边缘分布设为⼆维随机变量，则称分别为关于和关于的边缘（边际）分布函数.当为离散型随机变量，则称分别为关于和关于的边缘分布列.当为连续型随机变量，则称分别为关于和关于的边缘密度函数.5、⼆维随机变量的条件分布（了解）（1）离散型随机变量的条件分布设为⼆维离散型随机变量，其联合分布律和边缘分布列分别为，则当固定，且时，称为条件下随机变量的条件分布律.同理，有（2）连续型随机变量的条件分布设为⼆维连续型随机变量，其联合密度函数和边缘密度函数分别为：.则当时，在和的连续点处，在条件下，的条件概率密度函数为.同理，.6、随机变量的独⽴性设及分别是的联合分布函数及边缘分布函数.如果对任何实数有则称随机变量与相互独⽴.设为⼆维离散型随机变量，与相互独⽴的充要条件是.设为⼆维连续型随机变量，与相互独⽴的充要条件是对⼏乎⼀切实数，有.7、两个随机变量函数的分布设⼆维随机变量的联合概率密度函数为，是的函数，则的分布函数为.（1）的分布若为离散型随机变量，联合分布列为，则的概率函数为：或.若为连续型随机变量，概率密度函数为，则的概率函数为：.（2）的分布若为连续型随机变量，概率密度函数为，则的概率函数为：.8．最⼤值与最⼩值的分布则9．数理统计中常⽤的分布（1）正态分布：（2）：（3）：（4）：疑难分析1、事件表⽰事件与的积事件，为什么不⼀定等于？如同仅当事件相互独⽴时，才有⼀样，这⾥依乘法原理.只有事件与相互独⽴时，才有，因为.2、⼆维随机变量的联合分布、边缘分布及条件分布之间存在什么样的关系？由边缘分布与条件分布的定义与公式知，联合分布唯⼀确定边缘分布，因⽽也唯⼀确定条件分布.反之，边缘分布与条件分布都不能唯⼀确定联合分布.但由知，⼀个条件分布和它对应的边缘分布，能唯⼀确定联合分布.但是，如果相互独⽴，则，即.说明当独⽴时，边缘分布也唯⼀确定联合分布，从⽽条件分布也唯⼀确定联合分布.3、两个随机变量相互独⽴的概念与两个事件相互独⽴是否相同？为什么？两个随机变量相互独⽴，是指组成⼆维随机变量的两个分量中⼀个分量的取值不受另⼀个分量取值的影响，满⾜.⽽两个事件的独⽴性，是指⼀个事件的发⽣不受另⼀个事件发⽣的影响，故有.两者可以说不是⼀个问题.但是，组成⼆维随机变量的两个分量是同⼀试验的样本空间上的两个⼀维随机变量，⽽也是⼀个试验的样本空间的两个事件.因此，若把“”、“”看作两个事件，那么两者的意义近乎⼀致，从⽽独⽴性的定义⼏乎是相同的.第四块随机变量的数字特征内容提要基本内容：随机变量的数学期望和⽅差、标准差及其性质，随机变量函数的数学期望，原点矩和中⼼矩，协⽅差和相关系数及其性质.1、随机变量的数学期望设离散型随机变量的分布列为，如果级数绝对收敛，则称级数的和为随机变量的数学期望.设连续型随机变量的密度函数为，如果⼴义积分绝对收敛，则称此积分值为随机变量的数学期望.数学期望有如下性质：（1）设是常数，则；（2）设是常数，则；（3）若是随机变量，则；对任意个随机变量，有；（4）若相互独⽴，则；对任意个相互独⽴的随机变量，有.2、随机变量函数的数学期望设离散型随机变量的分布律为，则的函数的数学期望为，式中级数绝对收敛.设连续型随机变量的密度函数为，则的函数的数学期望为，式中积分绝对收敛.3、随机变量的⽅差设是⼀个随机变量，则称为的⽅差.称为的标准差或均⽅差.。
概率论与数理统计(A)期末复习资料
《概率论与数理统计（A ）》期末复习资料一、选择题：1.设A ，B 为两个任意事件，那么与事件B A B A B A ++相等的事件是（）．(A) AB (B) B A + (C) A (D) B2.设B A ,为两个随机事件，若0)(=AB P ，则( ).(A)A 和B 两事件互不相容(互斥)； (B)AB 是不可能事件； (C)AB 未必是不可能事件； (D)0)(=A P 或0)(=B P . 3.如果0)(=AB P ，则( ).(A))()(A P B A P =-； (B)A 与B 不相容； (C)A 与B 不相容； (D))()()(B P A P B A P -=-. 4.如果1)()(=+B P A P ，则( ).(A)1)(=⋃B A P ； (B)0)(=⋂B A P ； (C))()(B A P B A P ⋂=⋂； (D))()(B A P B A P ⋃=⋂. 5.设A 和B 相互独立，则下列结论错误的是( ).(A)B ,A 独立； (B)B ,A 独立； (C))()()(B P A P B A P =； (D)φ=AB .6.设B A ⊂且相互独立，则( ).(A)0)(=A P ； (B)1)(0)(==B P A P 或； (C)1)(=A P ； (D)上述都不对. 7.设随机变量~(2,)X B p ，若()159X P ≥=，则p =( ). (A)32； (B)21； (C)31； (D)2719.8.设随机变量X 概率分布为,,2,1)1()( =+==k k k ak X P ，则a 为( ).(A)0； (B)1； (C)2； (D)3.9.设随机变量X 服从泊松分布，且(1)(2)P X P X ===，则λ=( ). (A)2； (B)1； (C)4； (D)0.5.10.若)(x f 与)(x F 分别为连续型随机变量X 的密度函数与分布函数,则等式（ ）成立．(A) X a P <(≤⎰∞+∞-=x x F b d )() (B) X a P <(≤⎰=bax x F b d )()(C) X a P <(≤⎰=b ax x f b d )() (D) X a P <(≤⎰∞+∞-=x x f b d )()11.设随机变量),(~2σμN X ，且022=++X x x 无实根的概率为0.5，=μ( ). (A)-1； (B)0； (C)1； (D)2.12.随机变量),(Y X 的联合概率密度为⎩⎨⎧<<<<=其他,0,20,20,),(y x cx y x f ，则c 为( ).(A)0.25； (B)1； (C)2； (D)4.13.设随机变量Y X ,相互独立，它们的密度函数分别为⎩⎨⎧≤>=-000x ,;x ,e )x (f x X ，⎩⎨⎧≤>=-00022y ,;y ,e )y (f y Y ，则=>)Y X (P ( ).(A)31； (B)21； (C)32； (D)43.14.设X ～)4,2(N 且b aX +～)1,0(N ，则( ). (A)22-==b a ，； (B)12-=-=b a ，； (C)121==b a ，； (D)121-==b a ，.15.设)1(~P X ,)2(~P Y ,且X 与Y 相互独立,则~Y X +( ). (A) (1,2)b (B) (3)P (C) (1.5)P(D) (2,1)b16.设随机变量)6.0,20(~b X ,)6.0,10(~b Y ,且X 与Y 相互独立,则~Y X +( ). (A) (10,0.6)b (B) (20,0.6)b (C) b(30,0.6) (D) (18)P17.设),(~p n b X 且6 3.6EX DX ==，,则有()(A) 100.6n p ==， (B) 200.3n p ==，(C) 150.4n p ==， (D) 120.5n p ==， 18.设12,,n X X X 是取自正态总体X ～)1,0(N 的样本，2,S X 分别是样本均值和样本方差，则下列结论正确的是( ).(A)X ～)1,0(N ； (B)X n ～)1,0(N ； (C)S X /～)1(-n t ； (D)∑=ni i X 12～)(2n χ.19.设n X X X 21,是取自正态总体X ～),(2σμN 的样本（2>n ）, 2,S X 分别是样本均值和样本方差，则下列结论正确的是( ).(A)1--n SX μ～)1(-n t ； (B)22)(S X n μ-～)1,1(-n F ； (C)22σS ～)1(2-n χ； (D)122X X -～),(2σμN .20.设12,,,n X X X 为来自正态总体2(,)N μσ的一个样本，2211(())1ni i S X X n ==--∑ X 分别为样本方差和样本均值，则下面结论中不正确的是( ). (A)2~(,)X N n σμ ；(B)22()E S σ=； (C)22()1nE S n σ=-； (D)222(1)/~(1)n S n σχ--. 21.已知随机变量X 与Y 相互独立,且2~(40)X χ,2~(80)Y χ,则~/2Y X ().(A)2(40)χ (B) (20,40)F (C) (40,80)F (D) 2(80)χ22.设n X X X ,,,21 是来自正态总体N (,)μσ2的样本，则（ ）是μ无偏估计．(A) 321X X X ++ (B) 321525252X X X ++ (C) 321515151X X X ++ (D) 321535151X X X ++23.对正态总体),(2σμN 的假设检验问题中,Z 检验解决的问题是（ ）． (A) 已知方差,检验均值 (B) 未知方差,检验均值(C) 已知均值,检验方差 (D) 未知均值,检验方差24.对来自正态总体X N ~(,)μσ2（μ未知）的一个样本X X X 123,,,则下列各式中（ ）不是统计量．(A)1X (B) μ+X(C)221σX (D)1X μ25.设n X X X ,,,21 是正态总体),(~2σμN X （2σ已知）的一个样本,按给定的显著性水平α检验0H ：0μμ=（已知）；1H ：0μμ≠时,判断是否接受0H 与（ ）有关.(A) 样本值,显著水平α (B) 样本值,样本容量(C) 样本容量n ,显著水平α (D) 样本值,样本容量n ,显著水平α 26.在对单正态总体N (,)μσ2的假设检验问题中,T 检验法解决的问题是（ ）． (A) 已知方差,检验均值 (B) 未知方差,检验均值 (C) 已知均值,检验方差 (D) 未知均值,检验方差 27.假设检验时,若增大样本容量,则犯两类错误的概率（ ）． (A) 有可能都增大 (B) 有可能都减小(C) 有可能都不变 (D) 一定一个增大,一个减小二、填空题：1.设B A ,是两个事件，且=)(B A P 1，则=-)(A B P .2.设()0.7P A =，()0.3P A B -=，则()AB P = ，()B A P = .3.设事件B A ,和B A ⋃的概率分别为0.2，0.3和0.4，则=)(A B P _______.4.设B A ,是两个随机事件，()0.4()0.3P A P B ==，，若B A ,相互独立，则()P A B ⋃= ，则()P B A = .5.三个人独立地向一架飞机射击，每个人击中飞机的概率都是0.4，则飞机被击中的概率为 .6.设甲、乙两人投篮命中率分别为0.7和0.8，每人投篮3次，则有人投中的概率为 .7.从0,1,2,,9这10个数字中任意选出3个不同的数字，则3个数字中不含0或5的概率为 .8.某工厂一个班组共有男工9人，女工5人，现在要选出3个代表，则选的3 个代表中至少有1个女工的概率为 .9.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且()2D X =，则(1)p X ==________. 10.设随机变量),(N ~X 42，则~X Y 22-=. 11.设随机变量Y 在]5,0[上服从均匀分布，则关于x 的一元二次方程02442=+++Y xY x 有实根的概率为 .12.设)(1x F 与)(2x F 分别是任意两个随机变量分布函数，令=)(x F)()(21x bF x aF +，则下列各组数中使)(x F 为某随机变量的分布函数的有 =a ， =b .13.已知连续随机变量X 的分布函数为1,0()0,0x e x F x x λ--≥=<⎧⎨⎩，0λ>，则其密度函数为 ，(2)P x ≤= ；已知随机变量X 的密度函数⎩⎨⎧≤≤=其它 , 010,2)(x x x f 则:)5.15.0(<<X p = .14.设随机变量X 分布律为令,12+=X Y 则随机变量X 分布律为 ;=)(Y E _________.15.若二维随机变量(,)X Y 具有分布律：则(21)P Y X ===________. 16.设随机变量X 分布列如下表则E (X )=________，D (X )=________.17.两独立随机变量X Y 和都服从正态分布，且()()~3,4~2,9X N Y N ，，则()D X Y +=________;又两个相互独立的随机变量~(3),V ~P(2)U E ,则(22)D U V ++=________.18.设X 服从[-1，2]上的均匀分布，令⎩⎨⎧<-≥=,01,01X X Y ，，则=)(Y E ，=)(Y D .19.设相互独立的随机变量X ,Y 均服从参数为5的指数分布，则当0,0x y >>时，(,)X Y 的概率密度(,)f x y =________.20.设总体)1,0(~N X ,1210,,,X X X 是来自总体X 的样本，则~X .21.设总体2~(0,)X N σ，921,X X X 为总体的一个样本，则)(9196521X X X X X X ++++++= 分布为 .22.设),(21n X X X 是取自参数为λ泊松分布的样本，则统计量i ni X Y ∑==1服从分布.23.设12n X X X ,,,为来自总体X 的样本，且~(0,1)X N ，则统计量21~nii X=∑ .24.设12,,,n X X X 是来自总体)1,0(~N X 的简单随机样本，则21()ni i X X =-∑服从的分布为 .25.设n X X X 21,是来自正态总体X ～N (μ，2σ)的样本，即它们是独立同分布，则~X ，~)1(22σS n - .26.在单边假设检验中,原假设为0H ：μ≤0μ,则其备择假设为1H ：_______________.27.设总体X 服从正态分布2(,)N μσ,其中2σ未知,12,,n X X X 为其样本.若假设检验问题为0010:,:,H H μμμμ=≠则采用的检验统计量表达式应为_______________.三、计算题1.一个袋内装有大小相同的7个球，其中4个是白球，3个是黑球，从中一次抽取3个，计算至少有两个是白球的概率.2.有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种子中各随机取一粒，求： (1)两粒都发芽的概率；(2)至少有一粒发芽的概率；(3)恰有一粒发芽的概率.3.某地某天下雪的概率为0.3，下雨的概率为0.5，既下雪又下雨的概率为0.1,求： (1)在下雨条件下下雪的概率；(2)这天下雨或下雪的概率.4.已知5%的男人和0.25%的女人是色盲,现随机地挑选一人,此人恰为色盲,问此人是男人的概率（假设男人和女人各占人数的一半）.5.某工厂生产的产品中96%是合格品,检查产品时,一个合格品被误认为是次品的概率为0.02,一个次品被误认为是合格品的概率为0.05,求在被检查后认为是合格品产品确是合格品的概率.6.甲、乙、丙三人独立地向同一飞机射击，设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7，若只有一人击中，则飞机被击落的概率为0.2；若有两人击中，则飞机被击落的概率为0.6；若三人都击中，则飞机一定被击落，求：飞机被击落的概率.7.有一繁忙的汽车站,每天有大量汽车通过,设每辆车在一天的某时段出事故的概率为0.0001,在某天的该时段内有1000辆汽车通过,问出事故的次数不小于2的概率是多少（利用泊松定理）？8.有2500名同一年龄和同社会阶层的人参加了保险公司的人寿保险.在一年中每个人死亡的概率为0.002，每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司领取2000元赔偿金.求： (1)保险公司亏本的概率；(2)保险公司获利分别不少于10000元、20000元的概率.9.设某种仪器内装有三只同样的电子管，电子管使用寿命X 的密度函数为f (x )=⎪⎩⎪⎨⎧<≥.100,0,100,1002x x x求：(1)在开始150小时内没有电子管损坏的概率；(2)在这段时间内有一只电子管损坏的概率； (3)F (x ).10.某教科书出版了2000册,因装订等原因造成错误的概率为0.001,试求在这2000册书中恰有5册错误的概率.11.由某机器生产的螺栓长度（cm ）~(10.05,0.062)X N ,规定长度在10.050.12±内为合格品,求一螺栓为不合格品的概率..12.设一工厂生产的电子管寿命X （小时）服从正态分布),160(2δN ,若要求{}8.0200120≥≤<X P ,允许δ最大不超过多少？13.设X ~N （3，22），(1)求P {2<X ≤5}，P {4<X ≤10}，P {｜X ｜＞2}，P {X ＞3}; (2)确定c 使P {X ＞c }=P {X ≤c }.14.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律.（2）求（X ，Y ）的边缘分布律； （3）求W =X +Y 的分布律.16.设随机变量(X ，Y )的概率密度为()⎩⎨⎧<<<<--=.,0,42,20),6(,其他y x y x k y x f (1)确定常数k ；(2)求P {X ＜1，Y ＜3}； (3)求P {X <1.5}； (4)求P {X +Y ≤4}.17.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为()⎩⎨⎧>>--=--.,0,0,0),e 1)(e 1(,24其他y x y x F y x求(X ，Y )的联合分布密度.18.设随机变量X 的概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤-+=.,0,10 ,1,01 ,1其他x x x x x f求)()(X D X E ，.19.设随机变量X 的概率密度为()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤=.,0,21,2,10,其他x x x x x f求)()(X D X E ，.20.设随机变量(X ，Y )的概率密度为()⎩⎨⎧<<<<=.,0,0,10,,其他x y x k y x f 试确定常数k ，并求)(XY E .21.设X ，Y 是相互独立的随机变量，其概率密度分别为()⎩⎨⎧≤≤=;,0,10,2其他x x x f X ()(5)e ,5,0,.y Y y f y --⎧>=⎨⎩其他 求E (XY ).22.设总体X 服从二项分布b (n ，p )，n 已知，X 1，X 2，…，X n 为来自X 的样本，求参数p 的矩估计.23.设总体X 的密度函数()2(x )2,,f x e x R μμ--=∈X 1，X 2，…，X n 为其样本，试求参数μ的矩估计. 24.设12,,,n x x x 为来自正态总体2~N(,)X μδ的一个样本的X1，X2， (X)观测值，试求总体未知参数2,μδ的极大似然估计.25.设总体X 的密度函数为⎩⎨⎧<<=-.,0,10,),(1其他x x x f θθθn X X X 21,为其样本，求θ 的极大似然估计.26.某车间生产的螺钉，其直径2~N(,)X μδ，由过去的经验知道2δ=0.06,今随机抽取6枚，测得其长度（单位mm ）如下：14.7 15.0 14.8 14.9 15.1 15.2 求μ的置信概率为0.95的置信区间.27.来自正态总体2~N(,)X μδ的一个样本为X 1，X 2，…，X n ，并且2μδ未知，已知，求μ的置信概率为1α-的置信区间.28.在正常状态下，某种牌子的香烟一支平均1.1克，若从这种香烟堆中任取36支作为样本；测得样本均值为1.008（克），样本方差2s =0.1(2g ).问这堆香烟是否处于正常状态.已知香烟（支）的重量（克）近似服从正态分布（取α=0.05）.。
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应用数理统计期末复习指导一、复习重点第一章 绪 论数理统计学是一门对客观不确定现象进行数据搜集、整理、表列和分析的科学，其目的是了解客观情况，探索数据内在结构及现象之间的规律性。
对搜集的全部数据加以整理来研究这些数据的特征，这称为描述统计。
建立在样本数据的基础上对总体的特征做出估计和推断，这称为推断统计。
数理统计学的发展大致经历了古典统计学、近代统计学和现代统计学三个阶段。
第二章第二章 数据的搜集、整理与描述统计表最主要的内容是指标名称与指标数值。
数据集中趋势的计量：（１）均值（算术平均数）；（２）几何平均数；（３）中位数；（４）众数；（５）切尾均值。
离散趋势的计量：（１）极差，又称为全距。
极差是数据中最大值和最小值之差；（２）四分位差；（３）平均差，它是数据值与其均值之差绝对值的平均数；（４）方差和标准差。
方差是数据值与其均值离差平方和的平均数。
方差不仅可以用来反映值代表性的高低，而且也是数据离散趋势的最主要的统计数量特征；（５）离散系数。
第三章 概率基础凡是一个行动或过程会导致一毓可能的结果之一，但具体发生哪一个结果是不确定的，这种行动或过程统称为随机试验。
随机试验所有可能结果的集合称作样本空间。
随机试验的每一个可能的结果称为随机事件。
凡是必然发生的事件称为必然事件。
必然不发生的事件称为不可能事件。
如果事件Ａ的发生必然导致事件Ｂ的发生，则称事件Ａ包含于事件Ｂ，记作 。
两个事件Ａ、Ｂ中至少有一个发生称为两个事件的并，记作 。
两个事件Ａ、Ｂ中同时发生称为两个事件的交，记作 。
事件Ａ发生而事件Ｂ不发生称为两个事件的差，记作Ａ－Ｂ或 。
样本空间与事件Ａ的差称为事件Ａ的逆事件或对立事件，互补事件，记作 。
事件Ａ与事件Ｂ不可能同时发生称两个事件互不相容或互斥，记 。
事件的运算满足： B A ⊂B A B A B A A A -Ω=ϕ=B A概率的古典定义：如果某一随时机试验的结果（基本事件）有限；而且各个结果出现的可能性相等，则某一事件Ａ的概率为该事件所包含的基本事件数m 与样本空间中所包含的基本事件个数n 的比值，记为概率的公理化定义：（１）对于任何一个事件Ａ，有 ；（２）对于必然事件 ，有 ；对于不可能事件 ，有 ； （３）对于两两互斥事件 ，有概率的加法规则： 概率的乘法规则：事件的独立性与互斥的区别：（１）互斥事件一定是相互依赖（不独立）的，但相互依赖的事件则不一定是互斥的。
（２）不互斥事件可能是独立的，也可能是不独立的，然而独立的事件不可能是互斥的。
全概率公式：设 为一样本空间，事件 ， 为互斥事件，且有 和 ，若样本空间 的另一个事件Ａ与上述几个事件同时出现，则有贝叶斯公式：条件同全概率公式，有ini i n i A A 11=== ini i ni A A 11=== nmA P =)(1)(0≤≤A P Ω1)(=ΩP ϕ0)(=ΩP,,21A A++=++)()()(2121A P A P A A P )()()()(AB P B P A P B A P -+=+)/()()/()()(B A P B P A B P A P AB P ==Ω ,,21B B nB nB B B ++=Ω210)(>i B P Ω)/()( )/()()/()()(2211n n B A P B P B A P B P B A P B P A P ++⋅+⋅= ni B A P BP B A P B P A B P nj j ji i I ,,2,1 )/()()/()()/(1=⋅=∑=第四章 随机变量及其分布随时机变量可以分为离散型随机变量和连续型随机变量两种。
离散型随机变量的可能取值为有限可数个或无限可数个。
连续型随机变量的可能取值是某一区间的全部数值。
离散型随机变量的概率分布特点。
（１）（１）随机变量的值是可以一一列举的；（２）（２），即随机变量取某一特定值 的概率为非负。
（３） ，即随机变量Ｚ取各个可能数值 的概率之和为１。
贝努里试验的特点：（１）（１）每次试验都有两种可能的结果：“成功”或“失败”； （２）（２）第次试验其“成功”的概率（记为 ）是一样的，相应地“失败”的概率（记为 ）也是不变的，显然 ； （３）（３）第一次试验相互独立。
若随机变量Ｘ服从二项分布 ，则二项分布的均值为 ，方 差为 。
设总体的单位数为Ｎ，其中具有某种特征的单位数为Ｋ，不具有某种特征的单位数为Ｎ－Ｋ，用不重复抽样的方式从中抽取 n 个单位，其中具有某种特征的单位数为Ｘ。
则Ｘ服从超几何分布，即泊松分布的密度函数为：其它∑=≥=ni i x X P 10)(i x ∑===n i ix X P11)(ix ρq 1=+q ρ),(p n b np npq nNx n k N x k C C C x X P /)(--==0,2,1,00!)(>=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-λλλx e x x P x泊松分布的参数是单位时间（或单位面积）内随机事件的平均发生率。
泊松分布适合于单位时间内随机事件发生的次数，如某一服务设施在一定时间内到达人数；电话交换台接到呼唤的次数；公共汽车站的候客人数；机器出现的故障数；自然灾害发生的次数等。
泊松分布具有性质： 。
若Ｘ服从参数为 和 的正态分布，则其密度函数为：记为Ｘ－Ｎ 若Ｘ服从标准正态分布，则其密度函数为：记为Ｘ－Ｎ（０，１）第五章 统计推断导论随机抽样的组织方式有：简单随机抽样、系统抽样、分类抽样和整群抽样。
简单随机抽样的原则是：在抽取样本时，必须保证每一个可能样本被抽到的概率是相等的，在实际抽选过程中是使总体中每个单位被包括在样本中的可能性相等。
简单随机抽样有两种抽取单位的方法：重复抽样和不重复抽样。
系统抽样，也称等距抽样或机械抽样，它是从总体中抽取样本时，按照时间或空间的等距间隔抽取。
分类抽样是先把总体按一定标志划分成许多性质相近的类型或组别，然后在每种类型中抽取单位。
整群抽样是把总体分为许多群，然后在这些群中随机抽选若干个群做为样本，把它作为总体的一个代表。
当被抽样总体服从正态分布时，样本均值的抽样分布具有下列性质： （１）样本均值 的分布也是正态分布； （２）样本均值的平均数等于总体平均数；（３）样本均值的方差等于被抽样总体的方差除以样本容量。
λλ===)()(X D X E μσ∞<<∞-=--x e x f x 222)(21)(σμσπ),(2σμ2221)(xe xf -=πx中心极限定理的内容：给出一个具有任意分布形式的总体，其平均值为 ，方差 有限，如从这一总体中抽出容量为n 的样本，则当样本容量很大时，由这些样本算出的 的抽样分布近似服从均值为 、方差为 的正态分布。
在研究样本均值的抽样分布中，一般认为样本容量不小于30，就可以把正态分布作为抽样分布的近似值。
计算抽样平均数的平均误差的公式 ，只适用于无限总体。
当计算有限总体的抽样平均误差时，必须对公式进行修正：。
当有限总体的容量Ｎ相对于样本容量n 很大时，有限总体修正系数接近于１，此时有限总体的抽样平均误差接近于无限总体的抽样平均误差。
对两个平均值分别为 和 ，方差分别为 和 的正态分布总体，从这些总体抽取的容量分别为 的两个独立的样本的均值之差也服从正态分布，且其均值为 ，方差为。
在两个总体方差已知时，统计量第六章 参数估计对总体估计可以有两种类型：点估计和区间估计。
评价估计量的标准：（１）无偏性，若 ，则称 为 的无偏估计量； （２）有效性； （３）一致性； （４）充分性。
μ2σx μn /2σnx σσ=1--⨯=N n N n x σσ1--N n N 2μ1μ21σ22σ21,n n 21μμ-)]/()/[(222121n n σσ+2221212121)()(n n X X Z σσμμ+---=θθ=)ˆ(E θˆθ总体均值区间估计的步骤如下：（１）（１）计算出样本值和确定该统计量的抽样分布；（２）（２）根据研究的目的确定置信水平，即可靠性或把握程度； （３）（３）按照要求的置信水平查出概率度；（４）（４）计算抽样误差。
重复抽样时样本平均数的标准误差 ，不重复抽样时 ；（５）（５）作出总体平均数的区间估计。
当用区间估计的方法估计未知参数时，区间越大，估计的误差越大，置信 水平越高；区间越小，估计的误差越小，置信水平越低。
当从方差已知的正态分布中抽样时， 的置信区间为：对于总体方差 未知的正态分布总体，其均值 在 置信水平下的置信区间为：当两个总体的方差 已知时，两个总体均值之差 在 置信水平下的置信区间为从总体随机抽取一个容量为n 。
当 和 皆大于0.5时， 的抽样分布服从 ， 此时在 置信水平下，总体比例的置信区间为：为了估计两个总体比例之差 ，从两个总体中各抽取容量为和 的样本，当 和 两者都很大，且总体比例不太接近0或1，两个独立样本的 的抽样分布近似服从nxσσ=1--⨯=N n N n x σσμnZ x a σ⋅±2/2σμα-1nStx ⋅±-21α2221,σσ21μμ-α-12221212/21)(n n Z x x a σσ+⋅±-p np)1(p n -p ))1( , (np p p N -α-1np p Z p )1(2/-±α21p p -1n 2n 1n 2n 21p p -))1( )1( , (22211121n p p n p p p p N -+--，些时在 置信水平下，两个总体比例之差的区间估计为：必要样容量 与总体方差为 、允许误差 、可靠性系数有以下关系：（１）总体方差越大，必要的样本容量越大，即必要样本容量 与总体方差成正比。
（２）必要样本容量 反比例于允许误差 ，即在给定的置信水平下，允许误差越大，样本容量就可以越小。
（３）必要样本容量 与可靠性系数成正比，即要求的可靠程度越高，样本容量就应越大。
第七章 参数假设检验参数假设检验的步骤：（１）提出零假设和备择假设。
零假设是我们要检验的假设，是在统计分析过程中始终被假定为真实的假设。
备择假设是当零假设被否定时就生效的假设。
（２）确定适当的检验统计量。
（３）规定显著水平 ，称在 为真时拒绝 为“弃真”错误，习惯上称为 错误；称在 为非真时接受 为“取伪”错误，习惯上称为 错误。
（４）（４）计算检验统计量的值。
（５）（５）作出统计决策并加以解释。
正态总体、总体方差已知或未知时，总体均值的假设检验。
两个正态分布总体，在已知或未知时均值之差的假设检验。
对正态总体方差的假设检验，适当的检验统计量为：第八章 方差分析α-122211121)1()1()(n p p n p p Z p p -+-⋅±-αn 2σ∆n n ∆n α0H 0H α0H 0H β2221,σσ222/)1(σS n x -=方差分析是用以检验两个以上总体平均数之间的差异是否显著的一种方法。