数理统计课后复习西安交大施雨

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西安交大西工大考研备考期末复习概率论与数理统计习题课

12. 条件概率
设 A, B 是两个事件,且 P(B) 0, 称 P( A | B) P( AB) P(B)
为在事件B 发生的条件下事件A发生的条件概率.
A AB B
13. 乘法定理
设 P( A) 0, 则有 P( AB) P(B A)P( A). 设 A, B,C 为事件,且 P( AB) 0, 则有
2 若事件A与B相互独立, 则以下三对事件
① A与 B；
② A 与 B；
③ A 与 B.
18. 独立试验序列概型
设{Ei }(i=1,2,…)是一列随机试验,Ei的样本空间为i ,设Ak 是Ek 中的任一事件,Ak k , 若Ak出
现的概率都不依赖于其它各次试验Ei (ik)的结果,
则称{Ei } 是相互独立的随机试验序列,简称独立试验序列.
(2) 问：哪个系统的可靠性更大？
系统Ⅰ.
①1 2 … n
② n+1 n+2 …
2n
1
系统Ⅱ.
2
n
…
n+1
n+2
2n
解设 Ai {第i个元件正常工作}, 则 P( Ai ) r
i 1,2,n 设 B1={ 系统Ⅰ正常工作}
j 1
称此为贝叶斯公式.
i 1,2,, n.
16.四个公式之间的联系
条件概率 P(B A) P( AB) P( A)
全概率公式
乘法定理
P( AB) P( A)P(B A)
P(A) P(B1)P(A B1) P(B2 )P(A B2) P(Bn)P(A Bn)
贝叶斯公式
P ( Bi
A)

数理统计总复习

则 D(aX bY ) a 2 DX b 2 DY . 若 X , Y 不相关，
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4）熟记两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布、指数分布的期望值和方差值.
5）掌握协方差和相关系数的定义，不相关的定义及独立与不相关的关系； COV( X, Y ) = E( X – EX )( Y-EY ) = E XY –EX EY
… … …

yj p1 j p2 j pij
x2
… … …

pi
p1 p2
pi
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱi
p j
pi1

p1
pi 2

p2
…

…

…
p j
…
5）掌握随机变量独立性的充分必要条件:
i , j pij pi p j f x， y f X x fY y 对于几乎所有x,y
5）理解贝努里试验，掌握两点分布及其概率背景；
X ~ B ( 1, p ), 6）掌握二项分布的概率背景，即会把实际问题中服从二项分布的随机变量构设出来，运用有关公式求概率. 若 X 表示n重贝努里试验中成功出现的次数，则 X ~ B ( n , p ),
P{X k} C p 1 p
实轴某一区间上的概率.
(1) F ( x )
x
( 2)

f ( t )dt;
x2

f ( x )dx 1;
x1
(3) P{ x1 < X x 2 } F ( x 2 ) F ( x1 ) f ( x )dx;

应用数理统计习题答案西安交大施雨

应用数理统计答案学号：姓名：班级：目录第一章数理统计的基本概念 (2)第二章参数估计 (14)第三章假设检验 (23)第四章方差分析与正交试验设计 (28)第五章回归分析 (31)第六章统计决策与贝叶斯推断 (34)对应书目：《应用数理统计》施雨著西安交通大学出版社第一章数理统计的基本概念1.1 解：∵2(,)XN μσ∴ 2(,)n XN σμ∴(0,1)N 分布∴(1)0.95P X P μ-<=<=又∵ 查表可得0.025 1.96u =∴ 221.96n σ=1.2 解：(1) ∵(0.0015)X Exp∴ 每个元件至800个小时没有失效的概率为：8000.001501.2(800)1(800)10.0015x P X P X e dxe -->==-<=-=⎰∴ 6个元件都没失效的概率为： 1.267.2()P ee --==(2)∵(0.0015)X Exp∴ 每个元件至3000个小时失效的概率为：30000.001504.5(3000)0.00151x P X e dxe--<===-⎰∴ 6个元件没失效的概率为： 4.56(1)P e-=-1.4 解：ini n x n x ex x x P ni i 122)(ln 2121)2(),.....,(122=--∏∑==πσμσ1.5证：21122)(naa x n x a x n i ni ii+-=-∑∑==∑∑∑===-+-=+-+-=ni i ni i ni i a x n x x na a x n x x x x 1222211)()(222a) 证：)(11111+=+++=∑n ni i n x x n x)(11)(1111n n n n n x x n x x x n n -++=++=++])()1(1 ))((12)[(11)](11[11)(11212111121211212112n n n i n n n i n i n i ni n n n i n i n in x x n n x x x x n x x n x x n x x n x x n S -+++--+--+=-+--+=-+=++=+=+=+=++∑∑∑∑] )(11))1()((12)([112111212n n n n n n n n n x x n x n x x n x x n x x nS n -++-+-+--++=++++ ])(11S [1 ])(1[n S 11212n 212n n n n n x x n n n x x n n n -+++=-+++=++1.6证明 (1) ∵22112211221()()()2()()()()()nni ii i nni i i i ni i X X X X X X X X X n X X X n X μμμμμ=====-=-+-=-+--+-=-+-∑∑∑∑∑(2) ∵2221112221221()22ii i nn ni i i i i ni ni XX X X X nX X nX nX X nX =====-=-+=-+=-∑∑∑∑∑1.10 解:(1).∑∑====ni i n i i x E n x n E X E 11)(1)1()(p np n=⋅=1np m p x D n x n D X D ni in i i )1()(1)1()(121-===∑∑==))(1()(122∑=-=n i i x x n E S E)1(1)])1(1())1(([1)])()(())()(([1])()([1])([12222212212212p mp nn p m p mp n n p m p mp n n x E x D n x E x D n x nE x E n x x E n ni i i n i i n i i --=+--+-=+-+=-=-=∑∑∑=== 同理，（2）.λ===∑∑==ni i n i i x E n x n E X E 11)(1)1()(λnx D n x n D X D ni in i i 1)(1)1()(121===∑∑==λnn x E x D n x E x D n x nE x E n S E ni i i n i i 1)])()(())()(([1])()([1)(2122122-=+-+=-=∑∑==(3).2)(1)1()(11ba x E n x n E X E ni i n i i +===∑∑==na b x D nx n D X D ni ini i 12)()(1)1()(2121-===∑∑==12)(1)])()(())()(([1])()([1)(22122122a b n n x E x D n x E x D n x nE x E n S E ni i i n i i -⋅-=+-+=-=∑∑==(4).λ===∑∑==ni i ni i x E n x n E X E 11)(1)1()(nx D nx n D X D ni ini i 2121)(1)1()(λ===∑∑==221221221)])()(())()(([1])()([1)(λnn x E x D n x E x D n x nE x E n S E ni i i n i i -=+-+=-=∑∑==(5).μ===∑∑==ni i n i i x E n x n E X E 11)(1)1()(nx D nx n D X D ni in i i 2121)(1)1()(σ===∑∑==221221221)])()(())()(([1])()([1)(σ⋅-=+-+=-=∑∑==nn x E x D n x E x D n x nE x E n S E ni i i n i i1.11 解：由统计量的定义知，1，3，4，5，6，7为统计量，5为顺序统计量 1.17 证：),(~ λαΓXxe x xf λαααλ--Γ=∴1)()( 令kXY =ke ky k ke ky yf kyky⋅Γ=⋅Γ=∴----λαααλαααλαλ11)()( )()()(即 ),(~ky Y αΓ1.18 证：),(~ b a X β),()1()( 11b a B x xx f b a ---=∴),(),(),()1()( 11b a B b k a B b a B x x x X E b a k k +=-=∴⎰∞+∞---),(),1()( b a B b a B X E +=∴ba a ab a b a b a a a a b a b a a a b b a b a b a +=Γ+Γ++ΓΓ=Γ++Γ+Γ+Γ=ΓΓ+Γ⋅++ΓΓ+Γ=)()()()()()()1()()1()()()()1()()1(),(),2()(2b a B b a B X E +=))(1()1()()()()2()()2(b a b a a a a b b a b a b a ++++=ΓΓ+Γ⋅++ΓΓ+Γ= 22)]([)()( X E X E X D -=∴2))(1())(1()1(b a b a ab ba ab a b a a a +++=+-++++=1.19 解：∵(,)X F n m 分布12(1)022()((1))()(1)()()()(1)()()n n m n mn m yn m y n mn nP Y y P X X y m myP X y n n n x x dx m m m++--+≤=+≤=<-Γ=+ΓΓ⎰222212211()()()1()(1)()()11(1)(1)(,)n n m n m n mn mn mf y P Y y y y y y y yy B ++----'=≤Γ=+ΓΓ----=∴ 22(1)(,)n m n n Y X X m mβ=+分布1.20 解：∵()Xt n 分布122212()()(()2(1)n n P Y y P X y P X xdxn ++-≤=≤=≤≤Γ=+11111212122()()()(1)()1()(1)()()()n n n n nf y P Y y y yn y y n n n+++--+--'=≤Γ=+Γ=+ΓΓ∴2(1,)2nY XF =分布1.21 解: (1) ∵(8,4)XN 分布∴ 4(8,)25XN 分布，即5(8)(0,1)2X N -∴ 样本均值落在7.88.2分钟之间的概率为：5(7.88)5(8)5(8.28)(7.88.2)()2220.383X P X P ---≤≤=≤≤=(2) 样本均值落在7.58分钟之间的概率为：5(7.58)5(8)5(88)(7.58)()2225(8)(0 1.25)20.3944X P X P X P ---≤≤=≤≤-=≤≤=若取100个样品，样本均值落在7.58分钟之间的概率为：10(7.88)10(8)10(8.28)(7.88.2)()2222*(0.84130.5)0.6826X P X P ---≤≤=≤≤=-=单个样品大于11分钟的概率为：110.77340.2266P =-=25个样品的均值大于9分钟的概率为210.97980.0202P =-= 100个样品的均值大于8.6分钟的概率为310.99870.0013P =-= 所以第一种情况更有可能发生1.23 解：(1) ∵2(0,)XN σ分布∴2(0,)XN nσ分布∴22()(1)χσ∵ 22221()()ni i a X an X an σσ===∑∴21a n σ=同理 21b m σ=(2) ∵2(0,)XN σ分布∴222(1)X χσ分布由2χ分布是可加性得：2221()ni i X n χσ=∑()nic X t m ==∑∴c =(3) 由(2)可知2221()ni i X n χσ=∑2221122211(,)nni ii i n mn mi ii n i n X d Xnn dF n m XmXmσσ==++=+=+=∑∑∑∑∴ md n=1.25 证明：∵211(,)XN μσ分布∴2211()(1)i X μχσ-∴1221111()()n i i X n μχσ=-∑ 同理2222212()()n i i Y n μχσ=-∑1122222112211111222221122112()()(,)()()n n i i i i n n i i i i X n n X F n n Y n Y n μσμσμσμσ====--=--∑∑∑∑第二章参数估计 2.1 (1) ∵ ()XExp λ分布∴ ()1E X λ=令 ˆ1X λ= 解得λ的矩估计为: ˆ1X λ= (2) ∵ (,)XU a b 分布∴ ()2a bE X +=2()()12b a D X -=令 1ˆˆ2ab A X +==22221ˆˆˆˆ()()1124n i i b a a b A X n =-++==∑ （22211n i i X X S n =-=∑）解得a 和b 的矩估计为:ˆˆaX bX ==(3) 110()1E X x x dx θθθθ-=*=+⎰令1ˆˆ1A X θθ==+∴ˆ1X X θ=- (4) 110()(1)!kk x kE X x x e dx k βββ--=*=-⎰令ˆkX β= ∴ ˆk Xβ=(5) 根据密度函数有2221()22()E X a aE X a λλλ=+=++根据矩估计有1222221ˆˆˆ22ˆˆˆa A X a a A S X λλλ+==++==+解得λ和a 的矩估计为: ˆˆaX λ==- (6) ∵ (,)X B m p∴ ()E X mp =令 1ˆmpA X == 解得p 的矩估计为:ˆX pm= 2.3解：∵ X 服从几何分布，其概率分布为：1()(1)k P X k p p -==-故p 的似然函数为： 1()(1)ni i x nnL p p p =-∑=-对数似然函数为：1ln ()ln ()ln(1)ni i L p n p x n p ==+--∑令 1ln ()1()01nii L p n x n p p p=∂=--=∂-∑ ∴ 1ˆpX= 2.4 解：由题知X 应服从离散均匀分布，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==其它011)(N k N k x p2)(NX E =矩估计：令7102=∧N1420=∴∧N 极大似然估计：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它071011)(N N N L要使)(N L 最大，则710=N710=∴∧N2.5 解：由题中等式知：2196.196.196.1)025.01(025.0)(1S X +=+=∴+=+-Φ=∴=-Φ-∧∧∧-σμθσμμσθσμθ2.6 解：（1） 05.009.214.2=-=R0215.005.04299.05=⨯==∴∧d R σ （2）将所有数据分为三组如下所示：0197.005.03946.005.0)05.005.005.0(316=⨯==∴=++=∴∧d R R σ2.7 解：（1）⎩⎨⎧+<<=其它 01x1)(θθx fθθθθθθ≠+==+=++=∴∧21)()(2121)(X E E X E ∴ X =∧θ不是θ的无偏估计，偏差为21=-∧θθ （2） θ=-)21(X E 21-=∴∧X θ是θ的无偏估计（3）22))(()())(()(θθθθ-+=-+=∧∧X E X D E D M S E41121+=n 2.8 证：由例2.24，令2211x a x a +=∧μ，则∧μ 为μ无偏估计应满足121=+a a因此1μ，2μ，3μ都是μ的无偏估计)()()()(21)()(2513)()(95)9491)(()())(()()(1233212221212∧∧∧∧∧∧=∧<<===+=∴+==∑μμμμμμμD D D X D D X D D X D X D D a a X D X D a D i i i2132121X X +=∴∧μ最有效 2.9 证： )(~λp Xλλ==∴)( )(X D X EX 是λ=)(X E 的无偏估计，2*S 是λ=)( X D 的无偏估计 )()1()())1((2*2*S E X E S XE αααα-+=-+∴λλααλ=-+=)1(∴2*)1(SX αα-+是λ的无偏估计2.10 解：因为2222((1))()(1)()(1)()1(1)()11(1)1E X S E X E S na E S n n a E S n n n a n nααααλαλαλαλλ**+-=+-=+--=+---=+-=-所以 2(1)X S αα*+-是λ的无偏估计量2.15 解：因为ˆθ是θ的有效估计量ˆˆˆ()()()E uE a b aE b a b u θθθ=+=+=+= 221ˆˆˆˆ()()()()D u D a b a D a D θθθ=+=≤ （其中,1ˆθ是θ的任意无偏估计量中的一个）所以 ˆu是u 的有效估计量 2．26 解：因为总体服从正态分布，所以)01X U N μσ-=（，）对于给定的1α-，查标准正态分布表可得2u α，使得 2()1P U u αα<=- 即：22()1P X p X ααα<<+=-区间的长度2d L α=<，所以22224u n L ασ>2.28 解：因为总体服从正态分布，所以)01X U N μσ-=（，）， 222(1)nS V n χσ=-由因为U 和V 是相互独立的，所以(1)X T t n =-对于给定的1α-，查标t 分布表可得2t α，使得 2()1P U t αα<=-，即：2()1P X X ααμα<<=- 当30n =，35X =，15S =时，第一家航空公司平均晚点时间μ的95%的置信区间为：(29.3032,40.6968)对于给定的1α-，查标t 分布表可得t α，使得 ()1P U t αα>=-，即：()1P X αμα<+=- 故μ的具有单侧置信上限的单侧置信区间为(,)X α-∞+ 所以经计算可得：第一家航空公司的单侧上限置信区间为(,39.7327)-∞ 第二种航空公司的单侧上限置信区间为(,36.3103)-∞ 所以选择第二家航空公司。

应用数理统计习题答案_西安交大（论文资料）

应用数理统计答案学号：姓名：班级：目录第一章数理统计的基本概念 (2)第二章参数估计 (14)第三章假设检验 (24)第四章方差分析与正交试验设计 (29)第五章回归分析 (32)第六章统计决策与贝叶斯推断 (35)对应书目：《应用数理统计》施雨著西安交通大学出版社第一章数理统计的基本概念1.1 解：∵2(,)X N μσ∼ ∴ 2(,)n X N σμ∼∴)(0,1)X N μσ−∼分布∴(1)0.95P X P μ−<=<=又∵ 查表可得0.025 1.96u = ∴ 221.96n σ=1.2 解：(1) ∵ (0.0015)X Exp ∼∴ 每个元件至800个小时没有失效的概率为：8000.001501.2(800)1(800)10.0015x P X P X e dxe −−>==−<=−=∫∴ 6个元件都没失效的概率为： 1.267.2()P e e −−==(2) ∵ (0.0015)X Exp ∼∴ 每个元件至3000个小时失效的概率为：30000.001504.5(3000)0.00151x P X e dxe−−<===−∫∴ 6个元件没失效的概率为： 4.56(1)P e −=−1.4 解：ini n x n x ex x x P ni i 122)(ln 2121)2(),.....,(122=−−Π∑==πσμσ1.5证：∵21122)(na a x n x a x ni ni ii+−=−∑∑==∑∑∑===−+−=+−+−=ni i ni i ni i a x n x x naa x n x x x x 1222211)()(222a) 证：)(11111+=+++=∑n ni i n x x n x )(11)(1111n n n n n x x n x x x n n −++=++=++])()1(1 ))((12)[(11)](11[11)(11212111121211212112n n n i n n n i n i n i ni n n n i n i n in x x n n x x x x n x x n x x n x x n x x n S −+++−−+−−+=−+−−+=−+=++=+=+=+=++∑∑∑∑] )(11))1()((12)([112111212n n n n n n n n n x x n x n x x n x x n x x nS n −++−+−+−−++=++++])(11S [1 ])(1[nS 11212n 212n n n n n x x n n n x x n n n −+++=−+++=++ 1.6证明 (1) ∵22112211221()()()2()()()()()nni ii i nni i i i ni i X X X X X X X X X n X X X n X μμμμμ=====−=−+−=−+−−+−=−+−∑∑∑∑∑(2) ∵2221112221221()22ii i nn ni i i i i ni ni XX X X X nX X nX nX X nX =====−=−+=−+=−∑∑∑∑∑1.10 解: (1).∑∑====ni i n i i x E n x n E X E 11)(1)1()(p np n=⋅=1np mp x D n x n D X D ni in i i )1()(1)1()(121−===∑∑==))(1()(122∑=−=n i i x x n E S E)1(1)])1(1())1(([1)])()(())()(([1])()([1])([12222212212212p mp nn p m p mp n n p m p mp n n x E x D n x E x D n x nE x E n x x E n ni i i n i i n i i −−=+−−+−=+−+=−=−=∑∑∑=== 同理，（2）. λ===∑∑==ni i n i i x E n x n E X E 11)(1)1()(λnx D n x n D X D ni in i i 1)(1)1()(121===∑∑==λnn x E x D n x E x D n x nE x E n S E ni i i n i i 1)])()(())()(([1])()([1)(2122122−=+−+=−=∑∑==(3). 2)(1)1()(11b a x E n x n E X E ni i n i i +===∑∑==na b x D nx n D X D ni ini i 12)()(1)1()(2121−===∑∑==12)(1)])()(())()(([1])()([1)(22122122a b nn x E x D n x E x D n x nE x E n S E ni i i n i i −⋅−=+−+=−=∑∑==(4). λ===∑∑==ni i n i i x E n x n E X E 11)(1)1()(nx D nx nD X D ni ini i 2121)(1)1()(λ===∑∑==221221221)])()(())()(([1])()([1)(λnn x E x D n x E x D n x nE x E n S E ni i i n i i −=+−+=−=∑∑==(5). μ===∑∑==ni ini i x E nx nE X E 11)(1)1()(nx D nx nD X D ni i ni i 2121)(1)1()(σ===∑∑==221221221)])()(())()(([1])()([1)(σ⋅−=+−+=−=∑∑==nn x E x D n x E x D n x nE x E n S E ni i i n i i1.11 解：由统计量的定义知，1，3，4，5，6，7为统计量，5为顺序统计量 1.17 证：),(~ λαΓX ∵xe x xf λαααλ−−Γ=∴1)()( 令kXY =ke ky k k e ky yf kyky ⋅Γ=⋅Γ=∴−−−−λαααλαααλαλ11)()( )()()(即 ),(~ky Y αΓ1.18 证：),(~ b a X β∵),()1()( 11b a B x xx f b a −−−=∴),(),( ),()1()( 11b a B b k a B b a B x x x X E b a k k +=−=∴∫∞+∞−−−),(),1()( b a B b a B X E +=∴ba a ab a b a b a a a a b a b a a a b b a b a b a +=Γ+Γ++ΓΓ=Γ++Γ+Γ+Γ=ΓΓ+Γ⋅++ΓΓ+Γ=)()()()()()()1()()1()()()()1()()1(),(),2()(2b a B b a B X E +=))(1()1()()()()2()()2(b a b a a a a b b a b a b a ++++=ΓΓ+Γ⋅++ΓΓ+Γ= 22)]([)()( X E X E X D −=∴2))(1())(1()1(b a b a ab ba ab a b a a a +++=+−++++= 1.19 解：∵ (,)X F n m ∼分布2212(1)022()((1))((1)()()()(1)()()n n m n mn m yn m y n mn nP Y y P X X y m myP X y n n n x x dx m mm ++−−+≤=+≤=<−Γ=+ΓΓ∫2222122221122()()()1((1()()11(1)(1)(,)n n m n m n m n m n m f y P Y y y y yy y yy B ++−−−−′=≤Γ=+ΓΓ−−−−=∴ 22(1)(,)n mn n Y X X m mβ=+∼分布1.20 解：∵ ()X t n ∼分布122212()()((2(1n n P Y y P X y P X xdxn ++−≤=≤=≤≤=+112211221212122()()()(1)()1()(1(()()n n n n n f y P Y y y y n y y nn n +++−−+−−′=≤Γ=+Γ=+ΓΓ∴ 2(1,)2nY X F =∼分布1.21 解: (1) ∵ (8,4)X N ∼分布∴ 4(8,)25X N ∼ 分布，即5(8)(0,1)2X N −∼ ∴ 样本均值落在7.88.2∼分钟之间的概率为：5(7.88)5(8)5(8.28)(7.88.2)()2220.383X P X P −−−≤≤=≤≤=(2) 样本均值落在7.58∼分钟之间的概率为：5(7.58)5(8)5(88)(7.58)(2225(8)(0 1.25)20.3944X P X P X P −−−≤≤=≤≤−=≤≤= 若取100个样品，样本均值落在7.58∼分钟之间的概率为：10(7.88)10(8)10(8.28)(7.88.2)(2222*(0.84130.5)0.6826X P X P −−−≤≤=≤≤=−= 单个样品大于11分钟的概率为：110.77340.2266P =−= 25个样品的均值大于9分钟的概率为210.97980.0202P =−= 100个样品的均值大于8.6分钟的概率为310.99870.0013P =−= 所以第一种情况更有可能发生1.23 解：(1) ∵ 2(0,)X N σ∼分布 ∴ 2(0,X N nσ∼分布∴ 22)(1)nXχσ∼∵ 222221()(ni i nXa X an X an σσ===∑∴ 21a n σ=同理 21b m σ=(2) ∵2(0,)X N σ∼分布 ∴222(1)X χσ∼分布由2χ分布是可加性得：2221()ni i X n χσ=∑∼()ninX c X t m ==∑∼ ∴c =(3) 由(2)可知2221()ni i X n χσ=∑∼2221122211(,)nni ii i n mn mi ii n i n X d Xnn dF n m XmXmσσ==++=+=+=∑∑∑∑∼∴ md n=1.25 证明：∵ 211(,)X N μσ∼分布 ∴ 2211((1)i X μχσ−∼∴ 1221111(()n i i X n μχσ=−∑∼同理 2222212(()n i i Y n μχσ=−∑∼ 1122222112211111222221122112()()(,)()()n n i i i i n n i i i i X n n X F n n Y n Y n μσμσμσμσ====−−=−−∑∑∑∑∼ 第二章参数估计2.1 (1) ∵ ()X Exp λ∼分布∴ ()1E X λ=令 ˆ1X λ= 解得λ的矩估计为: ˆ1X λ= (2) ∵ (,)X U a b ∼分布∴ ()2a bE X +=2()()12b a D X −=令 1ˆˆ2ab A X +==22221ˆˆˆˆ()()1124n i i b a a b A X n =−++==∑ （22211n i i X X S n =−=∑）解得a 和b 的矩估计为:ˆˆaX bX =−=(3) 110()1E X x x dx θθθθ−=∗=+∫令 1ˆˆ1A X θθ==+∴ˆ1XXθ=− (4) 110()(1)!kk x kE X x x e dx k βββ−−=∗=−∫令ˆkX β= ∴ ˆkXβ=(5) 根据密度函数有2221()22()E X a aE X a λλλ=+=++根据矩估计有1222221ˆˆˆ22ˆˆˆa A X a a A S X λλλ+==++==+解得λ和a 的矩估计为:ˆˆaX λ==(6) ∵ (,)X B m p ∼ ∴ ()E X mp =令 1ˆmpA X == 解得p 的矩估计为:ˆXpm= 2.3解：∵ X 服从几何分布，其概率分布为：1()(1)k P X k p p −==−故p 的似然函数为： 1()(1)ni i x nnL p p p =−∑=−对数似然函数为：1ln ()ln ()ln(1)ni i L p n p x n p ==+−−∑令 1ln ()1()01nii L p n x n p p p =∂=−−=∂−∑ ∴ 1ˆpX= 2.4 解：由题知X 应服从离散均匀分布，⎪⎩⎪⎨⎧≤≤==其它01 1)(Nk N k x p2)(NX E =矩估计：令 7102=∧N1420=∴∧N 极大似然估计：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤=其它07101 1)(NN N L ∵要使)(N L 最大，则710=N710=∴∧N 2.5 解：由题中等式知：2196.196.196.1)025.01(025.0)(1S X +=+=∴+=+−Φ=∴=−Φ−∧∧∧−σμθσμμσθσμθ2.6 解：（1） 05.009.214.2=−=R ∵0215.005.04299.05=×==∴∧d Rσ（2）将所有数据分为三组如下所示：1x 2x 3x 4x5x 6x i R1 2.14 2.10 2.15 2.13 2.12 2.13 0.05 2 2.10 2.15 2.12 2.14 2.10 2.13 0.05 32.11 2.14 2.10 2.11 2.15 2.10 0.050197.005.03946.005.0)05.005.005.0(316=×==∴=++=∴∧d R R σ 2.7 解：（1）⎩⎨⎧+<<=其它 01x 1)(θθx f ∵ θθθθθθ≠+==+=++=∴∧21)()(2121)(X E E X E ∴ X =∧θ不是θ的无偏估计，偏差为21=−∧θθ（2） θ=−21(X E ∵ 21−=∴∧X θ是θ的无偏估计（3）22))(()())(()(θθθθ−+=−+=∧∧X E X D E D MSE41121+=n 2.8 证：由例2.24，令2211x a x a +=∧μ，则∧μ 为μ无偏估计应满足121=+a a因此1μ，2μ，3μ都是μ的无偏估计)()()()(21)()(2513)()(95)9491)(()())(()()(1233212221212∧∧∧∧∧∧=∧<<===+=∴+==∑μμμμμμμD D D X D D X D D X D X D D a a X D X D a D i i i ∵∵2132121X X +=∴∧μ最有效2.9证： )(~λp X ∵ λλ==∴)( )(X D XEX ∵是λ=)(X E 的无偏估计，2*S 是λ=)( X D 的无偏估计)()1()())1((2*2*S E X E S X E αααα−+=−+∴λλααλ=−+=)1(∴2*)1(SX αα−+是λ的无偏估计2.10 解：因为2222((1))()(1)()(1)()1(1)()11(1)1E X S E X E S na E S n n a E S n n n a n nααααλαλαλαλλ∗∗+−=+−=+−−=+−−−=+−=− 所以 2(1)X S αα∗+−是λ的无偏估计量2.15 解：因为ˆθ是θ的有效估计量ˆˆˆ()()()E uE a b aE b a b u θθθ=+=+=+= 221ˆˆˆˆ()()()()D u D a b a D a D θθθ=+=≤ （其中,1ˆθ是θ的任意无偏估计量中的一个）所以 ˆu是u 的有效估计量 2．26 解：因为总体服从正态分布，所以)01X U N μσ−=∼（，）对于给定的1α−，查标准正态分布表可得2u α，使得2()1P U u αα<=−即：22()1P X p X ααα−<<=−区间的长度2d L α=<，所以 22224u n L ασ>2.28 解：因为总体服从正态分布，所以)01X U N μσ−=∼（，）， 222(1)nS V n χσ=−∼由因为U 和V 是相互独立的，所以(1)X T t n =−∼对于给定的1α−，查标t 分布表可得t α，使得 2()1P U t αα<=−，即：22()1P X X ααμα<<+=− 当30n =，35X =，15S =时，第一家航空公司平均晚点时间μ的95%的置信区间为：(29.3032,40.6968)对于给定的1α−，查标t 分布表可得t α，使得 ()1P U t αα>=−，即：()1P X αμα<+=− 故μ的具有单侧置信上限的单侧置信区间为(,)X α−∞+ 所以经计算可得：第一家航空公司的单侧上限置信区间为(,39.7327)−∞第二种航空公司的单侧上限置信区间为(,36.3103)−∞所以选择第二家航空公司。

西安交大西工大考研备考期末复习概率论与数理统计极大似然估计

在本节课中，结合“捕鱼中的鱼群总数估计”问题，设计了建模环节，恰如其分的教学生如何创造性的运用所学知识解决实际问题。
一、参数点估计问题
设总体 X 的分布函数形式已知, 但它的一个或多个参数为未知, 借助于总体 X 的一个样本来估计总体未知参数的值的问题称为点估计问题.
引例1 元件无故障的工件时间 X 具有负指数分
极大似然法的基本概念
得到样本值 x1, x2 ,, xn时,选取使似然函数L( )
取得最大值的ˆ 作为未知参数的估计值,
即
L(
x1
,
x2
,,
xn
;ˆ
)
max
L(
x1
,
x2
,,
xn
;
).
(其中是可能的取值范围)
这样得到的ˆ 与样本值 x1, x2 ,, xn有关,记为 ˆ( x1, x2 ,, xn ), 参数的最大似然估计值,
t
此时 L(N ) 关于 N 是单调递增的。于是在 N rs 时，
t
L(N ) 取最大值，故
^
N
rs
t
因为待估计量是整数，所以上式取最接近的整数.
模型评析
1、建模理论依据：超几何分布的概率计算，极大似然估计。应用参数估计的思想和方法分析、处理问题。
2、应用与推广：本例可推广到一定区域范围内的生物总数估计等问题。例如，估计一个城市的人口总数，也可以用同样的方法考虑。
模型2：参数点估计模型
设捕出的 s 条鱼中带有标记的个数为随机变量，则服从超几何分布，取值0,1,2, l(l min{ s, r})
分布律
P(
i)
C Ci si r N r

2021年西安交大统计学题库

1.描述动力学和推断记录学区别根据是（对总体数据分析研究办法不同）。

（B）2.记录数据是一种（详细量）。

（A）3.在抽样推断中, 总体参数是一种（未知量）。

（A）4.平均数是对（变量值平均）。

（B）5.如下哪一条不属于方差分析中假设条件（因此样本方差都相等）。

（C）6.要对某公司生产设备实际生产能力进行调查, 则该公司“生产设备”是（调核对象）。

（A）7.当变量之中有一项为零时, 不能计算（几何平均数和调和平均数）。

（D）8.某大学商学院一位教师根据本院职工6月份收入资料计算出该院全体职工六月份平均收入, 并同其她院系进行比较, 该教师运用是（描述记录学）办法。

（A）9.对于持续变量取值普通是采用（计量办法）。

（B）10.要理解上海市居民家庭收支状况, 最适当调查方式是（抽样调查）。

（D）11.记录调核对象是（现象总体）。

（C）12.有关系数取值范畴是（-1≤r≤1）。

（C）13.下列属于时点数列是（某厂各年生产工人占所有职工比重）。

（C）14.下面属于品质标志是（工人性别）。

（B）15.某工厂有100名职工, 把她们工资加总除以100, 这是对100个（变量值）求平均数。

（C）16.当一项科学实验成果尚未得出时, 这种实验将始终进行下去。

此时咱们可以将由这种实验次数构成总体当作（无限总体）。

D17.某单位职工平均年龄为35岁, 这是对（变量值）平均。

（B）18.随机实验所有也许浮现得成果, 称为（样本空间）。

（B）19.1999年全国从业人员比上年增长629万人, 这一指标是（增长量）。

（B）20.下面那个图形不适合描述分类数据（茎叶图）。

（B）21.数据型数据离散限度测度办法中, 受极端变量值影响最大是（极差）。

（A）22.下列指标中, 不属于平均数是（某省人均粮食产量）。

（A）23.加权算术平均数大小（受各组标志值与各组次数共同影响。

）。

（D）24.在变量数列中, 当标志值较大组权数较小时, 加权算术平均数（偏向于标志值较小一方。

西安交通大学数理统计研究生试题

百度文库•让每个人平等地捉升口我2009 (±)《数理统计》考试题(A卷)及参考解答一、填空题(每小题3分，共15分)1.设总体X和丫相互独立，且都服从正态分布N(O, 32),而(X r X2...,X9)和&上…，岭)是分别来自X和Y的样本，则” =［「二％二服从的分布是 ________ 解：”9).2,设玄与&都是总体未知参数&的估讣，且玄比玄有效，则玄与&的期望与方差满足 ________ •解：E(&) = E(瓦),D(a)<Q(瓦)•3,“两个总体相等性检验”的方法有 _________ 与_________ .解：秩和检验、游程总数检验.4,单因素试验方差分析的数学模型含有的三个基本假泄是__________ •解：正态性、方差齐性、独立性.5,多元线性回归模型Y =XB + £中，B的最小二乘估计是A二____________ _■解：金=二、单项选择题(每小题3分，共15分)1,设(X p X2,...,X…)(n>2)为来自总体N(O,1)的一个样本，乂为样本均值，S?为样本方差，则__9_(A) n乂〜N(O,1)：(B) H S2~/2(/O；(D) G_)S〜F(1,“_1).2,若总体X〜N(“，其中b，已知，当置信度1— a保持不变时，如果样本容量〃增大，则“的宜信区间(A)长度变大: (B)长度变小: (C)长度不变: (D)前述都有可能.3,在假设检验中，分别用a, 0表示犯第一类错误和第二类错误的概率，则当样本容量〃一左时，下列说法中正确的是(A) a减小时"也减小: (B) a增大时0也增大;4,对于单因素试验方差分析的数学模型，设»为总离差平方和，»为误差平方和，为效应平方和，则总有」__・（B ）吕〜才（/・一1）:5,在一元回归分析中，判定系数立义为生，则_B.三、（本题10分）设总体X 〜Ngb 冷、Y 〜Ngb 、（XM ，…,XJ 和僅上，…比丿分别是来自X 和丫的样本，且两个样本相互独立，乂、卩和S ；、S ；分别是■它们的样本均值和样本方差，证明f _2）＜其中 s 2 = （q j ）S ； +（“2_1）S ：n } + n 2 _ 2证明：易知由上理可知由独立性和X 1分布的可加性可得由"与V 得独立性和I 分布的宦义可得（C ） 7 0其中一个减小，另一个会增大: （D ）（A ）和（B ）同时成立.（D ） S.*与»相互独立.（A ）接近o 时回归效果显著; （B ） /?'接近1时回归效果显著; （C ）接近s 时回归效果显著:（D ）前述都不对.X - 丫 ~ NQi\—禺、—+ —)»/7i ①=(x-{-(“r)~ “(0, i)(A ) S T = S e + S i ：'X S ：蹬如=护爲厂2) ~心严- 2) •丄4四、(本题io 分)已知总体x 的概率密度函数为fM = \e e '0,数&>0. (X p X 2,...5X n )为取自总体的一个样本,求&的矩估计量,并证明该估计量是无偏估计量.//• W 1 — -1八 1 片 _解：(1) V {=E(X)=\ xf\x)dx = \ -xe °dx = —用 vi=-YX ? = X 代替，所JpJ() 0n以(2) E(6) = E (力= + £f(XJ = E(X) = &,所以该估计疑是无偏估计.五、(本题10分)设总体X 的概率密度函数为f(x^) = (l + ^)x\O<x<l,其中未知参数&>-1,(X£2,…X“)是来自总体X 的一个样本，试求参数0的极大似然估计.解：厶⑹』心(轴’0—V, 其它〃 d In L(3 } n n 当0 v 兀 v 1 时，In 厶(8) = n In(& + 1) + &工In x i ,令 ---------- - = ----- + 工In 兀=0,伺dO &+1伺得6 = _1_ —. fin 召 /-IQ 巳-加 X > 0.六.(本题10分)设总体X 的密度函数为/(x;2)=7 ''未知参数几>0,0,x<0,(乙“2,…)为总体的一个样本，证明斤是丄的一个UMVUE.Ax>°,其中未知参其它证明：由指数分布的总体满足正则条件可得亍的的无偏估计方差的C-R 下界为另一方面E(X) = l/2, Var(X) =即X 得方差达到C-R 下界，故文是丄的UMVUE.A七、（本题10分）合格苹果的重量标准差应小于公斤.在一批苹果中随机取9个苹果称重，得英样本标准差为5 = 0.007公斤，试问：（1）在显著性水平a = 0.05 K 可否认为该批苹果重疑标准差达到要求？（2）如果调整显箸性水平a = 0.025,结果会怎样？参考数据：爲。

西安交通大学概率论与数理统计考试及答案

2(0,)N σ15)X 是来自225122156)X X X ++++服从的分布是___ 机变量X 服从数为λ的]2)1=，则λ= 设两个随机变量X 与Y 的方差分别为共 4 页第 1 页,)X为来自总体n求（1）θ的矩估计；共4 页第4 页西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A ）课时：48 考试时间：2007 年7 月9 日(200,169)N 180200169P -⎧⎨⎩1.54)＝0.93941()x dx =⎰1X θ=+,得1()(nk f θ==∏,),n1,,),n 当0,)nln k x ∑，求导得似然方程0=其唯一解为2，故θ的极大似然估优于第 1 页1(1,F n -(24,19)=0.429,221.507≈∈2的条件下，进一步检验假设：2μ<。

选取检验统计量12(t n n +0.05(43)t =-2.647 1.681-<-)B=)1Y≥=个人在第一层进入十八层楼的电梯，假如每个人以相同的概率从任个人在不同楼层走出电梯的概2=-1Xe-5,,X 都服从参数为分布，若将它们串联成整机，求整机寿命的分布密度。

分）某汽车销售点每天出售的汽车数服从参数为且每天出售的汽车数是相互独立的，西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准课程名称：概率论与数理统计（A）课时：48 考试时间：2008 年7 月9 日三、1exp(),5 X2 (5,)B e-，∴四、设1iX⎧=⎨⎩第,n1n-第 1页1,2,,5min {k X 5,0,x e λ--0,x > exp(5)λ,365,(3652,365iN ⨯⨯3652)3652-⨯=⨯七、()E X dx θθ==+1X θθ=+2⎪⎫； 1)(ni θ==∏()ln nθθ=第 2 页(0,1)N 的样本9,)X 是来自正态总体N1,2,,n.设各部件的状态相互独立，以转中同时需要调整的部件数，求(E X,)X是来自总体的一组样本nˆμ,它是否是的极大似然估计量*μ，它是否是西安交通大学本科生课程考试试题标准答案与评分标准(A)n ，则X ,n X 相互独立，1,2,i n = ()E X =()D X : (1)0x y <<<⎰⎰ 10000,X 独立同分布，1,2,n ，因此当,)n x 中最小值时，的极大似然估计量为 ,}n X 2,}n X X 分布函数是1(1(X F z --，分布密度是((Z x f z μμ>≤ ()n x nxe dx μ--=12min{,,}n X X X 不是统计量X T S -=代入数据()Pλ，且已知{(,)=G x y，X）为来自总体服从参数为…,n，λ>服从以λ(0)求该样本的联合密度函数共2 页第1 页,,X是独立同分布的随机变量，其共同密度函数为：55,,)X 的数学期望和方差。

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第一章共25题，作12题可摘抄任7—8道1.1 解析：X~N(μ,2σ)，则X ~N(μ,2nσ)，所以X －μ~N(0,2nσ)P{X-μ<1}= P{σ}＝0.95N （0,1）,因为：P{Φ—(Φ＝2Φ—1=0.95所以：σΦ=（1+0.95）/2 =0.975，，求得n 最小要取21.96x 2σ1.2解析：至800小时，没有一个元件失效，这个事件等价与P{123456X X X X X X >800}的概率，有已知X 服从指数分布，可求得P{123456X X X X X X >800}＝7.2e-(2)至3000小时，所有六个元件都失效的概率也就等价与P{ 123456X X X X X X <3000}的概率，可求得P{ 123456X X X X X X <3000}= 4.56(1)e --1.5证明：21()nii Xa =-∑＝21[()()]ni i X X X a =-+-∑＝22111()2()()()nn nii i i i XX X a X X X a ===-+--+-∑∑∑因为1()nii XX =-∑＝0＝2211()()nnii i XX X a ==-+-∑∑＝221()ni nS X a =+-∑所以当a ＝X 时，21()nii Xa =-∑有最小值且等于2nS1.6证明：11ni i X X n ==∑1）等式的左边＝22112nnii i i XX n μμ==-+∑∑等式的右边＝22221122nniii i X X X nX nX nX n μμ==-++-+∑∑ ＝222221122nnii i i XnX nX nX X n μμ==-++-+∑∑＝22112nnii i i XX n μμ==-+∑∑左边等于右边，结论得证。

1.9 解析：1）：∵ i i y ax b =+∴ 111111()n n ni i i i i i y y ax b ax b ax b n n n =====+=+=+∑∑∑222111111()()()n n n yi i i i i i S y y ax b ax b ax ax n n n ====-=+--=-∑∑∑22x a S =2）：令179.98y =，……，1479.96y =再令 a=1,b=80 ∴由80i i i y ax b x =+=+得：i x 为：-0.02，0.04，0.02，0.04，0.03，0.03，0.04，-0.03，0.05，0.03，0.02，0.00，0.02，-0.04∴ 14110.016414i i x x ===∑14142221111()(0.0164)0.00071414xi i i i S x x x ===-=-=∑∑∴ 0.01648080.0164y ax b =+=+=2220.0007y x S a S ==2）等式的左边＝22112n n ii i i X X X nX ==-+∑∑＝221nii X nX =-∑＝等式的右边结论得证。

1.20证明：已知~()X t n ，则存在Y~N(0,1), 2~()Z n χ使得X =则22/Y X Z n= 这里22~(1)Y χ所以2~(1,)X F n 结论得证。

1.22解析：X~N(2.5,36) ，222~(1)nS n χσ-~(0,1)N1) 2222555{3044}{}69nS P S P σ≤≤=≤≤=15522925622(/2)n x n xedx n --Γ⎰＝552925262(4/2)xx edx -Γ⎰＝0.19294 2) 2{3044 1.3 3.5}P S X ≤≤≤≤I =2{3044}P S ≤≤{1.3 3.5}P X ≤≤=222555{}69nS P σ≤≤ 2.5){}66X P --≤ ＝0.19294*0.638=0.123 1.23解析：1) 将21()nii X =∑和21()n mii nX +=+∑各看成一个整体，可得，a=21n σ,b=21m σ原式服从2(2)χ2)原式服从t(m) 3) d= mn原式服从(,)F n m1.7 证明:(1): 由11n n i i X X n ==∑,2211()n n i n i S X X n ==-∑∴1111111111()1111n nnn n i i n ii i i X X X X X X n n n n ++++=====+=+++++∑∑∑ 111()111n n n n n nX X X X X n n n ++=+=+-+++ (2): 1221111()1n n i n i SX X n +++==-+∑ 121111[()]11n i nn n i X X X X n n ++==---++∑ 121111[()()]11n i nn n i X X X X n n ++==---++∑ 1221121121[()()()()]11(1)n i n i n n n n n i X X X X X X X X n n n +++==----+-+++∑ 2221121111()()()]11(1)n i n n n n n i X X X X X X n n n ++==-+---+++∑ 2212()1(1)n n n nS nX X n n +=+-++ 2211[()]11n n n n S X X n n +=+-++ 1.9 解：（1）：∵ i i y ax b =+∴ 111111()n n ni i i i i i y y ax b ax b ax b n n n =====+=+=+∑∑∑222111111()()()n n n yi i i i i i S y y ax b ax b ax ax n n n ====-=+--=-∑∑∑22x a S =（2）：令179.98y =，……，1479.96y = 再令 a=1,b=80 ∴由80ii i y ax b x =+=+得：i x 为：-0.02，0.04，0.02，0.04，0.03，0.03，0.04，-0.03，0.05，0.03，0.02，0.00，0.02，-0.04∴14110.016414i i x x ===∑14142221111()(0.0164)0.00071414xi i i i S x x x ===-=-=∑∑∴ 0.01648080.0164y ax b =+=+= 2220.0007y x S a S == 1.10 解：11n i i X X n ==∑ 2211()n i i S X X n ==-∑∴ 1111()()()()n ni i i i E X E X E X E X n n =====∑∑211111()()()()n ni i i i D X D X D X D X n n n =====∑∑()222211111[()][(2)()n n i i i i i n E S E X X E X X X X D X n n n==-=-=-+=∑∑ （1）：()E X mp = ()(1)D X mp p =- ∴ ()()E X E X mp ==1(1)()()mp p D X D X n n -==211()()(1)n n E S D X mp p n n--==-（2）：()E X λ= ()D X λ= ∴ ()()E X E X λ==1()()D X D X n n λ== 211()()n n E S D X n nλ--==（3）：()2a bE X += 2()()12b a D X -=∴ ()()2a b E X E X +==2()1()()12b a D X D X n n -==22()11()()12b a n n E S D X n n ---== （4）：1()E X λ=21()D X λ=∴ 1()()E X E X λ==211()()D X D X n n λ== 2211()()n n E S D X n n λ--== （5）：()E X μ= 2()D X σ=∴ ()()E X E X μ==21()()D X D X n nσ==2211()()n n E S D X n nσ--== 1.11 解：统计量有：（1），（3），（4），（5），（6），（7）。

顺序统计量有：（5）1.12 解：顺序统计量为：-4，-2.1，-2.1，-0.1，-0.1，0，0，1.2，1.2，2.01，2.22，3.2，3.21 ∴ 1317()20e m XX +===131 3.21(4)7.21r X X =-=--= 添加2.7后：顺序统计量为：-4，-2.1，-2.1，-0.1，-0.1，0，0，1.2，1.2，2.01，2.22，2.7，3.2，3.21 ∴ 781()0.62e m X X =+= 1.16解：∵ 2(,)X N μσ:∴ (0,1)X Z N μσ-=:∴ 由定理1.2.1知： 222221111()()()nnni iii i i X Y ZXn μμχσσ===-===-∑∑∑:1.25：证明：令11X Z μσ-=，22Y Q μσ-=∵ 211(,)X N μσ: ，222(,)Y N μσ:∴ (0,1)Z N : ，(0,1)Q N :∴12211()n ii Zn χ=∑: ，22221()n i i Q n χ=∑:∴由定理1.2.3知：1221112212(,)n ii n ii Zn F n n Qn ==∑∑:即：1222221112221121()(,)()n ii n i i n XF n n n Y σμσμ==--∑∑:第二章共35题，作18题可摘抄任11—12道2.2解：（1）~()X Exp λ,则X 的概率密度为,0(;)0,0x e x f x x λλλ-⎧>=⎨≤⎩故λ的似然函数为11()(),(0,1,2,,)niii nx x ni i L eex i n λλλλλ=--=∑==>=∏L对数似然函数为1ln ()ln ni i L n x λλλ==-∑令1ln ()0ni i L x n λλλ=∂=-=∂∑ 解得11nii nxxλ∧===∑ 所以，λ的极大似然估计量1Xλ∧=（2）~(,)X U a b ，X 的概率密度为1,(;,)0,a x b f x a b b a ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他由于12,,,n a x x x b ≤≤L ，等价于(1)(),n a x x b ≤≤。