基本初等函数的公式及导数的运算法则

例1 假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%,
物价p(单位:元)与时间t(单位:年)有如下函数关系 p(t) = p0(1+5%)t, 其中 P0为t=0时的物价.假定某种商品的 P0 =1,那么在第 10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确 到0.01)? tln1.05, p ( t )=1.05 解: p(10)=1.0510ln1.05≈0.08(元/年). 因此,在第10个年头,这种商品的价格 约以0.08元/年的速度上涨.
思考 如果上式中某中商品的p0=5,那么在第10个年
头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少?
当p0=5时,p(t)=5×1.05t 求p关于t导数可以看成求函数 f(t)=5与g(t)=1.05t乘积的导数. 如何求?
导数运算法则
1. f x g x ' f ' x g ' x ; 2. f x g x' f ' xg x f xg ' x;
许多函数都可看成是同两个函数经过“复合”得到
y=(2x+3)2 y=sin(2x+5)
y =u2 y=sin u
u=2x+3 复合 u=2x+5 复合
对于两个函数y=f (u)和u=g(x)如果通过变量u,y可以表 示成x的函数,那么称这个函数为函数y=f (u)和u=g(x)的 复合函数,记作y=f (g(x))
基本初等函数的公式 及导数的运算法则
乐山市更生学校 童景平
学习目标：
1.理解两函数的和(或差)的导数法则， 会求一些函数的导数． 2.理解两函数的积（或商）的导数法则， 会求一些函数的导数 3.会求一些简单复合函数的导数.
教学重难点
教学重点：
导数公式和导数的四则运算法则。
教学难点：
灵活地运用导数的四则运算法则进 行相关计算
u=2x+3复合函数.根据复合函数求导法则有 yx ' yu 'ux '
u '2x 3' 4u 8 x 12
2

(2)函数 y=e-0.05x+1 可以 看作函数 y=eu 和u= -0.05x+1的复合函数.根 据复合函数求导法则有
(3)函数 y=sin(x+) 可 以看作函数 y=sinu 和 u=x+的复合函数.根 据复合函数求导法则有
知识链接
基本初等函数的导数公式
基本初等函数的导数公式
1.若f x c, 则f ' x 0;
2.若f x xn n N * , 则f ' x nxn1; 3.若f x sin x, 则f ' x cos x; 4.若f x cos x, 则f ' x sin x;
yx ' yu 'ux '
e ' 0.05x 1'
u

yx ' yu 'ux '
sin u 'x ' cosu
0.05e
u
0.05e0.05 x1
cosx
例6 解
设 y = sin2 x，求 y . 这个函数可以看成是 y = sin x ·sin x, 可利
＝3x2பைடு நூலகம்2, 所以，函数y=x3-2x+3的导数是
y=3x2-2.
堂上练习 求下列函数的导数：
1y 2x4 20x2 40x 1
1 4 2 y 3 2 x 4 x 5 x x 6
2 3
3y (2x3 1)(3x2 x)
例3
日常生活中的饮用水通常是经过净化的.随着水纯净度 的提高,所需净化费用不断增加.已知将1吨水净化到纯 净度为x%时所需费用(单位:元)为
且 yx=yuux
y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积
例4 求下列函数的导数:
2
1y 2 x 3 ; 2y e 0.05 x1; 3y sin x 其中 , 均为常数
解: (1)函数 y=(2x+3)2 可以看作函数 y=u2 和

(uvw) uvw uvw uvw
1 u( x ) u( x ) u2 ( x ) .
堂上练习
课本第18页练习2
小结 基本初等函数的导数公式 导数运算法则 复合函数的导数
作业
课本第18页习题1.2A组题4,5,6,8


5.若f x a x , 则f ' x a x ln a;
6.若f x e x , 则f ' x e x ;
1 7.若f x log a x, 则f ' x ; x ln a 1 8.若f x ln x, 则f ' x ; x
用乘法的导数公式，这里， 我们用复合函数求导法. 将 y = sin2 x 看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成. 而
yu (u ) 2u ,
2
u x (sinx ) cos x.
所以
y x yu ux 2u cos x 2 sinx cos x.
5 284 80 x 100 c x 100 x
求净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率.
(1) 90%; (2) 98%.
解： 净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数.
'100 x 5284 100 x ' 5284 5284 c' x ' 2 100 x 100 x 5284 0 100 x 5284 1 100 x 2 100 x 2 1因为c' 90 5284 2 52.84, 100 90
.
达标练习
5. 设 f (x) = sinx2 ，求 f (x).
课堂小结
导数的四则运算法则
(1) (u v) u v (2) (u v) uv uv u uv uv (3) ( ) (v 0). 2 v v
推论 1 推论 2 推论 3
(cu(x)) = cu(x) (c 为常数).

所以,纯净度为90%时,费用的瞬时变化率是52.84元/吨.
2因为c' 98
5284 1321 , 2 100 98
所以,纯净度为98%时,费用的瞬时变化率是1321元/吨.
如何求函数 y=ln(x+2)的导数呢? 令 u=x+2 (x>-2),则y=lnu. y=ln(x+2)就由 y=lnu 和 u=x+2(x>-2)复合得到. y与u的关系记作 y=f (u),u与x的关系记作u=g(x) y=f(u)=f(g(x))=ln(x+2).
例7
设 y 1 x 2 , 求 y .
将中间变量 u = 1 - x2 记在脑子中.
1 2 u 1 2 (1 x 2 ) 也在心中运算 .
解
( u ) yu
这样可以直接写出下式
y x
1 2 (1 x 2 )
(1 x ) x
2
x 1 x2
f x f ' x g x f x g ' x g x 0 3. ' 2 g x g x
例2 根据基本初等函数的导数公式和导数运算 法则,求函数 y=x3-2x+3的导数.
解: y=(x3-2x+3)＝(x3)－(2x)＋(3)