自然对数底e的由来
e，一个常数的传奇！
e，一个常数的传奇！的应用是同样的广泛．e的发现：复利问题在18世纪初，数学大师莱昂哈德．欧拉（Leonard Euler）发现了这个自然常数e（又称欧拉数）。
欧拉：一直这么帅！当时，欧拉试图解决由另一位数学家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）在半个世纪前提出的问题。
伯努利的问题与复利有关。
假设你在银行里存了一笔钱，银行每年以100%的利率兑换这笔钱。
一年后，现在假设银行每六个月结算一次利息，但只能提供利率的一半，即50%。
在这种情况下，一年后的收益为（1+50%）^2=2.25倍。
而假设银行每月提供8.3%（100%的1/12）复利息，或每周1.9%（100%的1/52）复利息。
在这种情况下，一年后你会赚取投资的（1+1/12）^12 = 2.61倍和（1 1/52）^52 = 2.69倍。
根据这个规律，可以得到一条通式。
如果假设n为利息复利的次数，那么利率就是其倒数1/n。
一年后的收益公式为（1+1/n）^n。
例如，如果利息每年复利5次，那收益则为初始投资的（1+1/5）^5 = 2.49倍。
那么，如果n变得很大，会怎样？如果n变得无限大，那（1+1/n）^n是否也会变得无限大？这就是伯努利试图回答的问题，但直到50年后才由欧拉最终获得结果。
原来，当n趋于无穷大时，（1+1/n）^n并非也变得无穷大，而是等于2.718281828459……这是一个类似于圆周率的无限不循环小数（即无理数），用字母e表示，被称为自然常数。
微积分中重要的公式自然常的发明者：约翰．纳皮尔纳皮尔是天文学家、数学家,在计算轨道数据时,也被浩瀚的计算量所折磨。
看起来在数学实践中,最麻烦的莫过于大数字的乘法、除法、开平方和开立方,计算起来特别费事又伤脑筋,于是我开始构思有什么巧妙好用的方法可以解决这些问题。
但纳皮尔不是般人,不想像民工一样苦逼的重复劳动,于是用了20年的时间,进行了数百万次的计算,发明了对数和对数表,堪称学霸中的战斗机。
用细胞分裂说来理解自然常数e到底是什么
在电路设计计算中，有很多公式都有EXP(N)或者ln(N)的计算，而这些都和“e”这个“自然数”有关系。
一直疑惑到底这个“e”为什么称为自然数，而且被冠以最美的数，最自然的数等等美誉。
今天经过仔细看一篇用细胞分裂来解释“e”自然数的文章，终于感到多年的疑惑有了答案！这篇文章来源于：/blog/2011/07/mathematical_constant_e.html作者：阮一峰昨天我读到一篇好文章，它把这个问题解释得非常清楚，而且一看就懂。
它说，什么是e？简单说，e就是增长的极限。
下面就是它的解释。
3.假定有一种单细胞生物，它每过24小时分裂一次。
那么很显然，这种生物的数量，每天都会翻一倍。
今天是1个，明天就是2个，后天就是4个。
我们可以写出一个增长数量的公式：growth=2^x上式中的x就表示天数。
这种生物在x天的总数，就是2的x次方。
这个式子可以被改成下面这样：growth=(1+100%)^x其中，1表示原有数量，100%表示单位时间内的增长率。
4.我们继续假定：每过12个小时，也就是分裂进行到一半的时候，新产生的那半个细胞已经可以再次分裂了。
因此，一天24个小时可以分成两个阶段，每一个阶段都在前一个阶段的基础上增长50%。
当这一天结束的时候，我们一共得到了2.25个细胞。
其中，1个是原有的，1个是新生的，另外的0.25个是新生细胞分裂到一半的。
如果我们继续修改假设，这种细胞每过8小时就具备独立分裂的能力，也就是将1天分成3个阶段。
那么，最后我们就可以得到大约2.37个细胞。
很自然地，如果我们进一步设想，这种分裂是连续不断进行的，新生细胞每分每秒都具备继续分裂的能力，那么一天最多可以得到多少个细胞呢？当n趋向无限时，这个式子的极值等于2.718281828...。
因此，当增长率为100%保持不变时，我们在单位时间内最多只能得到2.71828个细胞。
数学家把这个数就称为e，它的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。
数学中in与e与log的关系
数学中in与e与log的关系全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：在数学中，我们经常会遇到一些看似简单却又复杂的符号和概念，比如in、e以及log。
这三者看似毫无联系，但实际上它们之间存在着深厚的关系。
本文将深入探讨这些符号的意义和它们之间的数学联系。
我们来看一下in这个符号。
在数学中，in通常被用来表示自然对数e的对数运算。
自然对数e是一个非常特别的数，它的近似值大约是2.71828。
而in的作用在于告诉我们e的指数是多少时可以得到某个特定的数。
如果我们说in2的值是3.，这就意味着e的指数是3时我们得到的结果是2。
反之亦然，如果我们知道e的指数是2，我们可以通过in函数得到2这个数值。
接下来，我们来说说e这个数。
e是自然对数的底数，它的重要性在于它可以描述自然增长和衰减的速度。
e最初是由莱昂哈德·欧拉引入的，它在微积分、概率论和统计学中都有着广泛的应用。
e的值非常接近2.71828，因此可以很好地描述自然界中一些现象的规律。
和π一样，e也是一个无理数，它的小数部分是无限不循环的。
我们再来谈谈log。
log是对数的意思，它在数学中有着重要的地位。
对数是一种函数，它可以很好地描述几何级数和算术级数之间的关系。
log函数的底数可以是任意的，常见的有以10为底的常用对数和以e为底的自然对数。
对数的用途非常广泛，比如在解方程、求导数、求积分等方面都有着重要的应用。
通过以上的介绍，我们可以看到in、e和log之间存在着密切的联系。
in是e的对数函数，而log是对数函数的一种表现形式，而e又是一个非常重要的数。
它们三者共同构成了数学中重要而又神秘的一部分。
在学习数学的过程中，我们可以通过深入理解这些符号和概念，更好地掌握数学的奥秘，提高自己的数学水平。
in、e和log是数学中重要的符号和概念，它们之间存在着密切的联系和作用。
通过深入学习和理解这些符号的意义和关系，我们可以更好地掌握数学知识，提高数学水平，为未来的学习和工作打下坚实的基础。
自然常数e详解
自然常数e详解作者：崔艳吴娟来源：《科教导刊·电子版》2018年第08期摘要自然常数e是最重要的数学常数之一，人们对它却知之甚少，通过对自然常数e 的由来、含义、e在实际计算中的应用及含有e的公式为例，详细解释了这个重要的无理数。
关键词自然常数极限欧拉公式中图分类号：TP274 文献标识码：A自然常数e和圆周率，黄金分割数一起被称为“三大数学常数”及“三个最著名无理数”，和圆周率及虚数单位i一样，e是最重要的数学常数之一，自然常数的知名度比圆周率低很多。
e通常用作自然对数的底数，还经常出现在数学和物理学之中，但它从哪里来？它究竟是什么意思？1自然常数e的由来在18世纪初，数学大师莱昂哈德·欧拉（Leonard Euler）发现了这个自然常数e（又称欧拉数）。
当时，欧拉试图解决由另一位数学家雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）在半个世纪前提出的问题。
伯努利的问题与复利有关。
假设你在银行里存了一笔钱，银行每年以100%的利率兑换这笔钱。
一年后，你会得到（1+100%）1=2倍的收益。
现在假设银行每六个月结算一次利息，但只能提供利率的一半，即50%。
在这种情况下，一年后的收益为（1+50%）2=2.25倍。
而假设银行每月提供8.3%（100%的）复利息，或每周1.9%（100%的）复利息。
在这种情况下，一年后你会赚取投资的（1+）12=2.61倍和（1+）52=2.69倍。
根据这个规律，可以得到一条通式。
如果假设n为利息复利的次数，那么利率就是其倒数，一年后的收益公式为（1+）n。
那么，如果n变得很大，会怎样？如果n变得无限大，那（1+）n是否也会变得无限大？这就是伯努利试图回答的问题，但直到50年后才由欧拉最终获得结果。
当n趋于无穷大时，（1+）n并非也变得无穷大，而是等2.718281828459……事实上e就是通过这个极限而发现的，这是一个类似于圆周率的无限不循环小数（即无理数），1727年欧拉首次用小写字母“e”表示这常数，此后遂成标准，被称为自然常数。
自然对数e的数值
自然对数e的数值自然对数e是一个非常重要的数学常数，它的数值约等于2.71828。
它在数学、物理、工程等领域中都有广泛的应用。
本文将介绍自然对数e的概念、性质和应用。
一、概念自然对数e是一个无理数，它的值是一个无限不循环的小数。
它是由瑞士数学家约翰·纳皮尔斯·伯努利在17世纪初提出，并被莱昂哈德·欧拉在18世纪广泛研究和应用的。
e是一个特殊的数，它的数值虽然看起来不起眼，但它却蕴含着许多重要的数学性质。
二、性质1. e是一个无理数，它的小数部分是无限不循环的。
它的十进制表示约等于2.71828，但它的真实值无法用有限的小数表示出来。
2. e是一个超越数，它不能用代数方程式的根来表示。
3. e的逼近性质非常好，它可以用连分数、无穷级数等多种方法来逼近。
4. e的导数和积分都具有特殊的性质，这使得e在微积分中有着重要的应用。
三、应用1. 概率与统计：自然对数e在概率与统计中扮演着重要的角色。
在概率分布函数中，e的底数指数函数经常出现，用于描述连续随机变量的概率分布。
2. 复利计算：自然对数e可以用于计算复利。
当本金以e为底数进行复利计算时，可以获得最大利息。
3. 物理学中的指数衰减：自然对数e在物理学中经常用于描述指数衰减的过程。
例如，放射性衰变、电路中的电流衰减等都可以用e 的指数函数来表示。
4. 美妙的欧拉公式：欧拉公式是数学中最为美妙的公式之一，它将自然对数e、虚数单位i、圆周率π和正弦函数sin、余弦函数cos 联系在了一起。
欧拉公式为数学提供了一种统一的框架，使得看似不同的数学概念之间产生了联系。
5. 常微分方程：自然对数e在常微分方程中有着广泛的应用。
例如，指数增长与衰减、振荡现象等都可以用e的指数函数来描述。
6. 金融工程：自然对数e在金融工程中有着重要的应用，例如在计算连续复利、期权定价等方面都会使用到e的指数函数。
总结：自然对数e是一个重要的数学常数，它的概念、性质和应用都非常广泛。
数分第一章第七节自然对数底e
第一章实数和数列极限第七节自然对数底e与一个重要极限问题在中学里，我们已经知道，，自然对数底e这两圆周率个常数，并知道这两个数不只是在数学里有用，而且是在全部科学技术和生产实际中发挥了重大的作用。
早被用到科学技术和生产实际中了。
（我们以后还将看到它们的作用，我们将长期与它打交道。
）然而对这两个重要的数，我们了解的并不多，说不出什么过多的道理来。
自然对数底e到底是什么东西，它怎么来的，它有什么功能和妙用，等等问题，这可能是我们多年来的疑问。
现在我们就来解决我们这个多年的疑案。
现在就来揭开它的神秘面纱，看到它美妙的面孔。
（数字e 真奇妙，不看不知道。
）本节也是单调有界原理的又一个重大应用，由此可见极限理论的威力。
一 、 一个重要数列的极限同时考察如下的两个数列：（1）n n n e )11(+=，*N n ∈ （2）!1!21!111n s n ++++= ，*N n ∈。
先考察数列}{n s ：显然，}{n s 是严格递增的（1+<n n s s ，一切*N n ∈），并且，由于 1212)1(!-≥⋅-⋅=i i i i ，3)211(212121211112<-+=++++≤-n n n s ， 即}{n s 单调且有界，从而s s n n =∞→lim 存在。
其次，考察数列}{n e ： 利用二项式展开，得n n n e )11(+=k nk k n n C 111∑=+=k nk n k k n n n n 1!)1()2)(1(11∑=+---+= ∑=+---+=n k k n k n n n n k 1)1()2)(1(!11 )11()21)(11(!111n k n n k n k ----+=∑= )21)(11(!31)11(!21!111n n n --+-++= )11()21)(11(!1nn n n n ----++ ，（A ）由此展开表达式，得3!1!21!111<=++++≤n n s n e ， 即得}{n e 有界；再看11)111(++++=n n n e k n k k n n C)1(11111++=∑+=+)121)(111(!31)111(!21!111+-+-++-++=n n n )111()121)(111(!1+--+-+-++n n n n n ， )11()121)(111()!1(1+-+-+-++n n n n n ，（B ）比较n e 与1+n e 的最后表达式（A ）、（B ），注意到)111()11(+-<-n n ，,),121()21( +-<-n n )111()11(+--<--n n n n ， 可得1+<n n e e ，*N n ∈， 于是}{n e 是严格递增且有界的；从而n n e ∞→lim 存在， 将此极限值记为e ，e e n n =∞→lim ， 且e e n <，*N n ∈ 故我们得到重要极限的存在性： e nn n =+∞→)11(lim 。
关于自然对数底e和圆周率π的出处探索及应用
关于自然对数底e和圆周率π的出处探索及应用作者：毛金德来源：《读写算》2012年第08期【摘要】通过本文，可了解数e、π的来龙去脉和在数学等自然科学中的运用。
此文充分阐述了两个重要的数学常数在人类社会以及自然科学的发展中诞生的历程。
使读者能更广泛和深层次地了解两个重要数学常数。
常数e在编制自然对数表、微积分中的应用十分微妙有趣、精彩而广泛。
而微积分对近代力学、天文学以及物理和其他科学技术的运用，都离不开常数e 的应用。
而我们从小学、初中、高中都经常用到的数π，到底是一个什么样的数？而这个数又对数学、自然科学有什么样的作用和特殊之处？通过本文，对π就有了一个更深层次的认识与理解，对提高我们的数学知识和数学在生产、生活以及自然科学中的应用起到了以点带面的作用。
而且使广大读者认识到了数e和数π 的趣味性和美妙性。
【关键词】趣味数学常数e和π出处探讨应用一、常数e和π的探源。
为什么数学家们要用e作自然对数的底，以e为底的对数为什么叫自然对数，e究竟是一个什么样的数？它为什么和怎样与圆周率π一样，在整个科学中大放异彩。
（一）数学5大常数：1，0，i,π,e中的3大常数：e,π,i都与大数学家欧拉有密切的关系，现在数学界通常认为这三大常数是欧拉发明介绍的。
另一种说法是，1600年，英国威廉奥托兰首先使用π表示圆周率，因为π是希腊文之"圆周"的第一个字母。
1706年英国的琼斯使用π表示圆周率，1737年欧拉在其著作中使用π，而琼斯使用π时并未被数学界立刻接受，欧拉予以提倡，则逐渐被数学家广泛接受，沿用至今，全世界通用π表示圆周率。
而欧拉选择e 作为自然对数的底的理由较为人所接受的说法有二：一为a,b,c,d等四个常被使用的字母后面，第一个尚未被经常使用的字母就是e，所以，他很自然地选了这个符号，代表自然对数的底数；一为e 是指数的第一个字母，虽然你或许会怀疑瑞士人欧拉的母语不是英文，可事实上法文、德文的指数都是它。
自然对数的底数e的值
自然对数的底数e的值
e有时被称为自然常数，是一个约等于2.718的无理数。
以e为底的对数称为自然对数，数学中使用自然这个词的还有自然数。
e是自然对数的底数，是一个无限不循环小数，其值是2.71828……，是这样定义的：当n->∞时，(1+1/n)^n的极限。
注：x^y表示x的y次方。
随着n的增大，底数越来越接近1，而指数趋向无穷大，那结果到底是趋向于1还是无穷大呢？其实，是趋向于2.71828……，不信你用计算器计算一下，分别取
n=1,10,100,1000。
但是由于一般计算器只能显示10位左右的数字，所以再多就看不出来了。
e在科学技术中用得非常多，一般不使用以10为底数的对数。
以e 为底数，许多式子都能得到简化，用它是最“自然”的，所以叫“自然对数”。
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自然对数底e的由来
圆周率π生活中很容易被找到或被发现，一个圆的周长与
其直径的比等于圆周率π。可自然对数的底e一直困扰着我们。
高中数学中，有以10为底的对数，即常用对数。教材中曾指出，
如果底数是以e为底的对数，我们称之为自然对数，并且自然
对数的底e=2.71828……是一个无理数。除此之外，我们知道
甚少，e似乎是来自纯数学的一个问题。事实上，对于自然对
数的底e是有其生活原型的。在历史上，自然对数的底e与曾
一个商人借钱的利息有关。
过去，有个商人向财主借钱，财主的条件是每借1元，一
年后利息是1元，即连本带利还2元，年利率100%。利息好多
喔！财主好高兴。财主想，半年的利率为50%，利息是1.5元，
一年后还1.52=2. 25元。半年结一次帐，利息比原来要多。财
主又想，如果一年结3次，4次，……，365次，……，岂不发
财了？
财主算了算，结算3次，利率为31，1元钱一年到期的本利
和是：元37037.23113，
结算4次，1元钱到一年时还元44140.24114。
财主还想，一年结算1000次，其利息是：
1000
1000
1
1
这么大的数，年终肯定发财了。可是，财主算了算，一元钱结
帐1000次，年终还的金额只有：
元71692.21000111000
。
这令财主大失所望。他以为，结帐次数越多，利息也就增长得
越快。财主根本不知道，nn11的值是随n的增大而增大，但
增加的数额极其缓慢；并且，不管结算多少次，连本带利的总
和不可能突破一个上限。数学家欧拉把nn11极限记作e，
e=2.71828…，即自然对数的底。