用Mathematica研究自然对数的底数e
Mathematica的常用函数
Mathematica的内部常数Pi , 或π(从基本输入工具栏输入, 或“Esc”+“p”+“Esc”）圆周率πE (从基本输入工具栏输入, 或“Esc”+“ee”+“Esc”）自然对数的底数eI (从基本输入工具栏输入, 或“Esc”+“ii”+“Esc”）虚数单位iInfinity, 或∞(从基本输入工具栏输入, 或“Esc”+“inf”+“Esc”）无穷大∞Degree 或°(从基本输入工具栏输入,或“Esc”+“deg”+“Esc”）度Mathematica的常用内部数学函数指数函数Exp[x]以e为底数对数函数Log[x]自然对数，即以e为底数的对数Log[a，x]以a为底数的x的对数开方函数Sqrt[x]表示x的算术平方根绝对值函数Abs[x]表示x的绝对值三角函数（自变量的单位为弧度）Sin[x]正弦函数Cos[x]余弦函数Tan[x]正切函数Cot[x]余切函数Sec[x]正割函数Csc[x]余割函数反三角函数ArcSin[x]反正弦函数ArcCos[x]反余弦函数ArcTan[x]反正切函数ArcCot[x]反余切函数ArcSec[x]反正割函数ArcCsc[x]反余割函数双曲函数Sinh[x]双曲正弦函数Cosh[x]双曲余弦函数Tanh[x]双曲正切函数Coth[x]双曲余切函数Sech[x]双曲正割函数Csch[x]双曲余割函数反双曲函数ArcSinh[x]反双曲正弦函数ArcCosh[x]反双曲余弦函数ArcTanh[x]反双曲正切函数ArcCoth[x]反双曲余切函数ArcSech[x]反双曲正割函数ArcCsch[x]反双曲余割函数求角度函数ArcTan[x，y]以坐标原点为顶点，x轴正半轴为始边，从原点到点（x，y）的射线为终边的角，其单位为弧度数论函数GCD[a,b,c,．．．]最大公约数函数LCM[a,b,c,．．．]最小公倍数函数Mod[m,n]求余函数(表示m除以n的余数)Quotient[m，n]求商函数（表示m除以n的商）Divisors[n]求所有可以整除n的整数FactorInteger[n]因数分解，即把整数分解成质数的乘积Prime[n]求第n个质数PrimeQ[n]判断整数n是否为质数，若是，则结果为True，否则结果为FalseRandom[Integer，{m，n}]随机产生m到n之间的整数排列组合函数Factorial[n]或n！阶乘函数，表示n的阶乘复数函数Re[z]实部函数Im[z]虚部函数Arg(z)辐角函数Abs[z]求复数的模Conjugate[z]求复数的共轭复数Exp[z]复数指数函数求整函数与截尾函数Ceiling[x]表示大于或等于实数x的最小整数Floor[x]表示小于或等于实数x的最大整数Round[x]表示最接近x的整数IntegerPart[x]表示实数x的整数部分FractionalPart[x]表示实数x的小数部分分数与浮点数运算函数N[num]或num//N把精确数num化成浮点数（默认16位有效数字）N[num，n]把精确数num化成具有n个有效数字的浮点数NumberForm[num，n]以n个有效数字表示numRationalize[float]将浮点数float转换成与其相等的分数Rationalize[float，dx]将浮点数float转换成与其近似相等的分数，误差小于dx最大、最小函数Max[a，b，c，．．．]求最大数Min[a，b，c，．．．]求最小数符号函数Sign[x]Mathematica中的数学运算符a+b 加法a-b减法a*b (可用空格键代替*)乘法a/b (输入方法为：“ Ctrl ” + “ / ” ) 除法a^b (输入方法为：“ Ctrl ” + “ ^ ” )乘方-a 负号Mathematica的关系运算符==等于<小于>大于<=小于或等于>=大于或等于!=不等于注：上面的关系运算符也可从基本输入工具栏输入。
Mathematica语句基本命令
Mathematica的内部常数Pi , 或π(从基本输入工具栏输入, 或“Esc”+“p”+“Esc”）圆周率π E (从基本输入工具栏输入, 或“Esc”+“ee”+“Esc”）自然对数的底数e I (从基本输入工具栏输入, 或“Esc”+“ii”+“Esc”）虚数单位iInfinity, 或∞(从基本输入工具栏输入 , 或“Esc”+“inf”+“Esc”）无穷大∞Degree 或°(从基本输入工具栏输入,或“Esc”+“deg”+“Esc”）度Mathematica的常用内部数学函数指数函数Exp[x]以e为底数对数函数Log[x]自然对数，即以e为底数的对数Log[a，x]以a为底数的x的对数开方函数Sqrt[x]表示x的算术平方根绝对值函数Abs[x]表示x的绝对值三角函数（自变量的单位为弧度）Sin[x]正弦函数Cos[x]余弦函数Tan[x]正切函数Cot[x]余切函数Sec[x]正割函数Csc[x]余割函数反三角函数ArcSin[x]反正弦函数ArcCos[x]反余弦函数ArcTan[x]反正切函数ArcCot[x]反余切函数ArcSec[x]反正割函数ArcCsc[x]反余割函数双曲函数Sinh[x]双曲正弦函数Cosh[x]双曲余弦函数Tanh[x]双曲正切函数Coth[x]双曲余切函数Sech[x]双曲正割函数Csch[x]双曲余割函数反双曲函数ArcSinh[x]反双曲正弦函数ArcCosh[x]反双曲余弦函数ArcTanh[x]反双曲正切函数ArcCoth[x]反双曲余切函数ArcSech[x]反双曲正割函数ArcCsch[x]反双曲余割函数求角度函数ArcTan[x，y]以坐标原点为顶点，x轴正半轴为始边，从原点到点（x，y）的射线为终边的角，其单位为弧度数论函数GCD[a,b,c,．．．]最大公约数函数LCM[a,b,c,．．．]最小公倍数函数Mod[m,n]求余函数(表示m除以n的余数)Quotient[m，n]求商函数（表示m除以n的商）Divisors[n]求所有可以整除n的整数FactorInteger[n]因数分解，即把整数分解成质数的乘积Prime[n]求第n个质数PrimeQ[n]判断整数n是否为质数，若是，则结果为True，否则结果为False Random[Integer，{m，n}]随机产生m到n之间的整数排列组合函数Factorial[n]或n！阶乘函数，表示n的阶乘复数函数Re[z]实部函数Im[z]虚部函数Arg(z)辐角函数Abs[z]求复数的模Conjugate[z]求复数的共轭复数Exp[z]复数指数函数求整函数与截尾函数Ceiling[x]表示大于或等于实数x的最小整数Floor[x]表示小于或等于实数x的最大整数Round[x]表示最接近x的整数IntegerPart[x]表示实数x的整数部分FractionalPart[x]表示实数x的小数部分分数与浮点数运算函数N[num]或num//N把精确数num化成浮点数（默认16位有效数字）N[num，n]把精确数num化成具有n个有效数字的浮点数NumberForm[num，n]以n个有效数字表示numRationalize[float]将浮点数float转换成与其相等的分数Rationalize[float，dx]将浮点数float转换成与其近似相等的分数，误差小于dx最大、最小函数Max[a，b，c，．．．]求最大数Min[a，b，c，．．．]求最小数符号函数Sign[x]Mathematica中的数学运算符a+b 加法a-b减法a*b (可用空格键代替*)乘法a/b (输入方法为：“ Ctrl ” + “ / ” ) 除法a^b (输入方法为：“ Ctrl ” + “ ^ ” )乘方-a 负号Mathematica的关系运算符==等于<小于>大于<=小于或等于>=大于或等于!=不等于注：上面的关系运算符也可从基本输入工具栏输入。
整理mathematica数学常用命令大全
Mathematica的里里常数之阳早格格创做Mathematica的时常使用里里数教函数Mathematica中的数教运算符Mathematica的闭系运算符注：上头的闭系运算符也可从基础输进工具栏输进.怎么样用mathematica供多项式的最大公果式战最小公倍式怎么样用mathematica供整数的最大契约数战最小公倍数怎么样用mathematica举止整数的量果数领会怎么样用mathematica供整数的正约数怎么样用mathematica推断一个整数是可为量数怎么样用mathematica供第n个量数怎么样用mathematica供阶乘怎么样用mathematica配圆Mathematica不提供博门的配圆下令,然而是咱们不妨非常沉快天自定义一个函数举止配圆.怎么样用mathematica举止多项式运算怎么样用mathematica举止分式运算怎么样用Mathematica举止果式领会怎么样用Mathematica展启怎么样用Mathematica举止化简怎么样用Mathematica合并共类项怎么样用Mathematica举止数教式的变更怎么样用Mathematica举止变量替换怎么样用mathematica举止复数运算怎么样正在mathematica中表示集中与数教中表示集中的要领相共，要领如下：下列下令不妨死成特殊的集中：怎么样用Mathematica供集中的接集、并集、好集战补集怎么样mathematica用排序怎么样正在Mathematica中解圆程注：圆程的等号必须用： = =怎么样正在Mathematica中解圆程组Solve[{圆程组}，{变元组}]注：圆程的等号必须用： = =怎么样正在Mathematica中解不等式先加载：Algebra`InequalitySolve` ，加载要领为：<<Algebra `InequalitySolve`而后真止解不等式的下令InequalitySolve，此下令的使用要领如下：<--mstheme-->怎么样正在Mathematica中解不等式组先加载：Algebra`InequalitySolve` ，加载要领为：<<Algebra `InequalitySolve`而后真止解不等式组的下令InequalitySolve，此下令的使用要领如下：<--mstheme-->怎么样正在Mathematica中解不等式组先加载：Algebra`InequalitySolve` ，加载要领为：<<Algebra`InequalitySolve`而后真止解不等式组的下令InequalitySolve，此下令的使用要领如下：<--mstheme-->怎么样用mathematica表示分段函数怎么样用mathematica供反函数对于系统里里的函数死效，然而对于自定义的函数不起所有效率，也许是要领分歧过失.怎么样用Mathematica画图<--mstheme-->怎么样用mathematica画造2D隐函数图象最先要加载Graphics`ImplicitPlot`函数库，加载要领为：<<Graphics`ImplicitPlot`怎么样用mathematica举止2D参数画图怎么样用mathematica举止极坐标画图最先要加载Graphics`Graphics`函数库，加载要领为：<< Graphics`Graphics`怎么样用mathematica画造二维集面图Mathematica的2D画图选项选项必须搁正在末尾里，其要领为：option->valueAutomatic, None, All, True, False是Mathematica画图下令时常使用的选项，它们所代表的意思如下：下列选项不妨要领化图形里的笔墨：下列选项不妨定义画图的颜色与线条的细细：怎么样用mathematica画造3D隐函数的图形怎么样用mathematica画造3D隐函数图象最先要加载Graphics`ContourPlot3D`函数库，加载要领为：<<Graphics` ContourPlot3D `怎么样用mathematica举止3D参数画图(空间直线、直里的参数画图)怎么样用mathematica画造三维集面图mathematica的3D画图选项基础要领：option->valueViewPoint 不妨定义从分歧的角度瞅瞅三维的函数图，下表提供了一些典型值：如果设Lighting为False，则函数图形的上色是根据函数值的大小举止.其余，Mathematica还提供了其余一种要领，不妨根据指定的颜色函数(color function)上色.怎么样用Mathematica供极限(1) 极限：<--mstheme--><--mstheme-->Limit[函数的表黑式f(x)，x->a]<--mstheme--><--mstheme-->(2) 单侧极限：左极限：<--mstheme--><--mstheme-->Limit[函数的表黑式f(x)，x->a,Direction->1]<--mstheme--><--mstheme-->左极限：<--mstheme-->Limit[函数的表黑式f(x)，x->a, Direction-> -1]怎么样用Mathematica供导数D[f(x),x]怎么样用Mathematica供下阶导数正在Mathematica中不间接供隐函数导数的下令，然而是咱们不妨根据数教中供隐函数导数的要领，正在Mathematica 中一步一步天举止推导.也不妨自己编一个供隐函数导数的小步调.正在Mathematica中，不间接供参数圆程决定的函数的导数的下令，只可根据参数圆程决定的函数的供导公式一步一步天举止推导；大概者，搞坚自己编一个小步调，应用起去会越收便当.怎么样用Mathematica供大概积分<--mstheme-->怎么样用Mathematica供定积分、广义积分<--mstheme-->怎么样用Mathematica对于数列战级数举止供战怎么样用Mathematica举止连乘怎么样用Mathematica展启级数怎么样正在Mathematica中举止积分变更怎么样用Mathematica解微分圆程怎么样用Mathematica解微分圆程组怎么样用mathematica供多变量函数的极限以二个变量为例证明，多于二个变量的函数极限不妨依次类推.怎么样用mathematica供多元函数的偏偏导数怎么样用mathematica供多变量函数的泰勒展启式怎么样用mathematica供沉积分也可利用功具栏上的积分标记的推拢去完毕怎么样用mathematica供梯度、集度、旋度最先要加载Calculus`VectorAnalysis`函数库，加载要领为：<<Calculus`VectorAnalysis`以直角坐标系战三元函数为例证明注:若把上头的Cartesian换为Cylindrical大概Spherical,则表示正在圆柱坐标系大概球里坐标系中举止估计.怎么样用Mathematica供函数的最大值战最小值Maximize[f, {x, y, …}]供函数f闭于变量x, y, …的最大值Maximize[{f, conds}, {x, y, …}]正在条件conds下，供函数f闭于变量x, y, …的最大值Minimize[f, {x, y, …}]供函数f闭于变量x, y, …的最小值Minimize [{f, conds}, {x, y, …}]正在条件conds下，供函数f闭于变量x, y, …的最小值怎么样用mathematica表示背量下列下令不妨死成特殊的背量：Table[f，{n}] 死成由n个f组成的背量{f，f，f，．．．，f} Table[f[n],{n，nmax}] n从1到nmax，隔断为1，死成背量{f[1], f[2], f[3],…, f[nmax]}Table[f[n],{n，nmin, nmax}] n从nmin到nmax，隔断为1，死成背量{f[nmin], f[nmin+1], f[nmin+2],…, f[nmax]} Table[f[n],{n，nmin, nmax, dn}] n从nmin到nmax，隔断为dn，死成背量{f[nmin], f[nmin+dn], f[nmin+2*dn],…, f[nm ax]}怎么样用mathematica举止背量的加减运算及数乘运算怎么样用mathematica供背量的面积怎么样用mathematica供背量的叉积怎么样用mathematica供背量的模与夹角Mathematica 4不提供博门的下令供背量的模，然而Mathem atica 5 却提供了博门的下令供背量的模.其要领如下：mathematica不提供供二个背量夹角的下令.不过根据背量的夹角公式咱们不妨自己编写一个函数举止估计.怎么样用mathematica修坐矩阵怎么样用mathematica供止列式的值怎么样用mathematica供顺矩阵怎么样用mathematica供转置矩阵怎么样用mathematica供矩阵的秩mathematica 4不提供那一下令，然而mathematica 5 提供了那一下令，要领如下：怎么样用Mathematica供矩阵的迹怎么样用mathematica供特性值战特性背量怎么样用mathematica解线性圆程组怎么样用mathematica供仄衡值最先要加载Statistics`DescriptiveStatistics`函数库，加载要领为：<< Statistics`DescriptiveStatistics`大概者加载所有统计函数库，加载要领为：<<Statistics`Mean[data] 供数据data的算术仄衡数.数据data的要领为：{a1,a2,…} HarmonicMean[data] 供数据data的调战仄衡数.数据data的要领为：{a1,a2,…} GeometricMean[data] 供数据data的几许仄衡数.数据data的要领为：{a1,a2,…}怎么样用mathematica供中位数最先要加载Statistics`DescriptiveStatistics`函数库，加载要领为：<< Statistics`DescriptiveStatistics`大概者加载所有统计函数库，加载要领为：<<Statistics`Median[data] 供数据data的中位数.数据data的要领为：{ a1,a2,…}怎么样用mathematica供寡数最先要加载Statistics`DescriptiveStatistics`函数库，加载要领为：<< Statistics`DescriptiveStatistics`大概者加载所有统计函数库，加载要领为：<<Statistics`Mode[data] 供数据data的寡数.数据data的要领为：{ a1,a2,…}怎么样用mathematica供圆好战尺度好最先要加载Statistics`DescriptiveStatistics`函数库，加载要领为：<< Statistics`DescriptiveStatistics`大概者加载所有统计函数库，加载要领为：<<Statistics`Variance[data] 供数据data的样本圆好.数据data的要领为：{ a1,a2,…} VarianceMLE[data] 供数据data的母体圆好.数据data的要领为：{ a1,a2,…} StandardDeviation[data] 供数据data的样本尺度好.数据data的要领为：{a1,a2,…} StandardDeviationMLE[data] 供数据data的母体尺度好.数据data的要领为：{ a1,a2,…}怎么样用mathematica供协圆好战相闭系数最先要加载Statistics`MultiDescriptiveStatistics`函数库，加载要领为：<< Statistics`MultiDescriptiveStatistics`大概者加载所有统计函数库，加载要领为：<<Statistics`Covariance[data1,data2] 供数据data1战data2的样本协圆好.数据的要领为：{a1,a2,…} CovarianceMLE[data1,data2] 供数据data1战data2的母体协圆好.数据的要领为：{a1,a2,…} Correlation[data1,data2] 供数据data1战data2的线性相闭系数.数据的要领为：{a1,a2,…}怎么样用mathematica举止直线拟合Fit[data,funs,vars] data表示待拟合的数据的集中，funs为变量vars的函数的集中，它们的要领如下：data={{x1,y1},{x2,y2},…} （也不妨是三维大概三维以上空间的数据面）data也可写成{y1,y2,…}的形式，此时，数据面是{{1,y1},{2,y2},…}funs={f1,f2,f3,…}该函数返回funs的一个线性推拢.。
mathematica 欧拉公式
mathematica 欧拉公式Mathematica是一款强大的数学计算软件，它可以用来进行各种数学计算和图形绘制。
在数学领域中，有一个著名的公式被称为欧拉公式，它是以数学家欧拉的名字命名的。
欧拉公式被认为是数学中最美丽的公式之一，它将五个基本数学常数联系在一起，形成了一个简洁而优雅的等式。
欧拉公式的表达方式是e^ix = cos(x) + i*sin(x)，其中e是自然对数的底数，i是虚数单位，x是任意实数。
这个等式展示了指数函数、三角函数和虚数的关系，它将这些数学概念融合在一起，形成了一种深刻的数学关联。
欧拉公式的美妙之处在于它将看似不相关的数学概念联系在了一起。
指数函数e^ix是一种增长非常快速的函数，而三角函数cos(x)和sin(x)则是周期性的函数。
通过欧拉公式，我们可以看到指数函数与三角函数之间存在着密切的联系。
欧拉公式的一个重要应用是用于解决微分方程。
微分方程是数学中一类重要的方程，它描述了物理系统和自然现象中的变化规律。
欧拉公式可以将复杂的指数函数转化为简单的三角函数，从而简化了微分方程的求解过程，提供了一种更加便捷的方法。
除了微分方程，欧拉公式还在数学分析、信号处理、量子力学等领域中发挥着重要作用。
它在数学中具有重要的地位，被广泛应用于各个领域的研究中。
欧拉公式的证明过程涉及到复分析和级数的理论，属于高级数学领域的内容。
在这里，我们不会详细介绍欧拉公式的证明过程，但我们可以简单说明一下它的思路。
欧拉公式的证明过程基于泰勒级数展开，即将函数用无穷级数的形式表示出来。
通过将指数函数和三角函数的泰勒级数展开进行比较，可以得到欧拉公式。
这个证明过程涉及到复数的运算、级数的收敛性等数学知识，需要一定的数学基础才能理解。
欧拉公式是数学中的一颗明珠，它展示了数学的美妙和深刻之处。
它将看似不相关的数学概念联系在了一起，为数学研究和应用提供了新的思路和方法。
欧拉公式的发现和证明过程是数学领域中的伟大成就，它深刻地影响着数学的发展和应用。
mathematica对数运算
mathematica对数运算【原创版】目录1.Mathematica 简介2.对数运算的概念和分类3.Mathematica 中的对数函数4.Mathematica 中对数运算的应用示例5.结论正文【1.Mathematica 简介】Mathematica 是一款功能强大的数学软件，广泛应用于科学研究、工程设计以及数学教育等领域。
它具有丰富的函数库和强大的计算能力，可以方便地处理各种复杂的数学问题。
【2.对数运算的概念和分类】对数运算是数学中一种重要的运算方式，主要包括自然对数、常用对数和复数对数三种类型。
（1）自然对数：以自然常数 e 为底的对数，通常用 ln 表示。
（2）常用对数：以 10 为底的对数，通常用 log 表示。
（3）复数对数：以复数为底的对数，通常用 L 表示。
【3.Mathematica 中的对数函数】在 Mathematica 中，对数函数主要包括自然对数函数 Ln、常用对数函数 Log 和复数对数函数 L。
（1）自然对数函数 Ln[x]：求 x 的自然对数。
（2）常用对数函数 Log[x, a]：求 x 以 a 为底的对数。
（3）复数对数函数 L[z, a]：求复数 z 以 a 为底的对数。
【4.Mathematica 中对数运算的应用示例】以下是一些 Mathematica 中对数运算的应用示例：（1）计算自然对数：Ln[e]，结果为 1。
（2）计算常用对数：Log[100, 10]，结果为 2。
（3）计算复数对数：L[E^(2 I π), 2]，结果为π。
（4）对数运算在微积分中的应用：求函数 f(x)=e^x 的导数，利用对数运算法则，可以得到 f"(x)=e^x。
【5.结论】Mathematica 作为一款强大的数学软件，在对数运算方面具有丰富的函数库和便捷的操作方式，可以帮助用户轻松地处理各种对数运算问题。
数学软件Mathematica的应用
数学软件Mathematica的应用一、数学软件Mathematica简介★Mathematica是由美国Wolfram公司研究开发的一款著名的数学软件；★Mathematica能够完成符号运算、数学图形的绘制等，功能非常强大；★Mathematica能够做精确计算；★Mathematica的界面操作非常友好；★Mathematica是数学建模常用的数学软件之一。
二、利用模板进行微积分运算File（文件）→Palettes（模板）→BasicInput（基本输入）File（文件）→Palettes（模板）→BasicCalculations（基本计算）三、Mathematica中一些常用的函数（1（2（3（（5（6（8）数值分析函数在Mathematica 中，一个逻辑表达式的值有三个：真（True ）、假（False ）和“非真非假”。
条件控制函数If（1） If 语句的结构与一般的程序设计语言中的If 的结构类似。
它有三种情况：If[逻辑表达式，表达式1]当逻辑表达式的值为真时则计算表达式1，表达式1的值就是整个If 结构的值；If[逻辑表达式，表达式1，表达式2]当逻辑表达式的值为真时则计算表达式1，为假时则计算表达式2； If[逻辑表达式，表达式1，表达式2，表达式3]当逻辑表达式的值为真时则计算表达式1，为假时则计算表达式2，其它情况则计算表达式3。
循环控制语句Mathematica 中有3种描述循环的语句，它们是Do,While 和For 语句。
下面是其一般形式：For[初值，条件，修正，循环体] While[条件，循环体] Do[循环体，{循环围}]四、结合图形进行分析1．作出函数xx f y 1sin )(==在区间]1,1[-上的图像，观察当0→x 时函数的变化情况；作出函数xx x f y 1sin)(==在区间]1,1[-上的图像，观察当0→x 时函数的变化情况；2．作出双曲抛物面xy z =的图形； 3．作weierstracs 函数)13cos(21)(1x x f n n nπ∑∞==（处处连续但处处不可导）的图像；4．x ∈(-5,5), y ∈(-5,5)的所有根；五、验证与探索1．x sin 的泰勒级数2．x sin 的无穷乘积猜想六、算法与程序1．分形图（迭代）2．将矩阵化为行最简形（步骤）七、实际问题的Mathematica 求解1．椭圆弧长的计算问题计算椭圆βα≤≤⎩⎨⎧==t t b y ta x ,sin cos 的弧长及近似值。
Mathematica常用命令
Mathem atica常用命令软件学习2010-10-1921:02:15 阅读127评论0 字号：大中小订阅 .M athem atica的内部常数Pi ,或π(从基本输入工具栏输入,或“Es c”+“p”+“Es c”）圆周率πE(从基本输入工具栏输入, 或“Esc”+“ee”+“Esc”）自然对数的底数eI (从基本输入工具栏输入,或“Esc”+“ii”+“Es c”）虚数单位iI nfini ty, 或∞(从基本输入工具栏输入 ,或“Esc”+“in f”+“E sc”）无穷大∞D egree或°(从基本输入工具栏输入,或“Esc”+“de g”+“E sc”）度Math emati ca的常用内部数学函数指数函数Exp[x]以e为底数对数函数Log[x]自然对数，即以e为底数的对数Lo g[a，x]以a为底数的x的对数开方函数Sqrt[x]表示x的算术平方根绝对值函数Ab s[x]表示x的绝对值三角函数（自变量的单位为弧度）Si n[x]正弦函数C os[x]余弦函数Tan[x]正切函数Cot[x]余切函数Sec[x]正割函数Cs c[x]余割函数反三角函数A rcSin[x]反正弦函数A rcCos[x]反余弦函数A rcTan[x]反正切函数A rcCot[x]反余切函数A rcSec[x]反正割函数A rcCsc[x]反余割函数双曲函数Si nh[x]双曲正弦函数Cos h[x]双曲余弦函数Tanh[x]双曲正切函数Coth[x]双曲余切函数S ech[x]双曲正割函数Cs ch[x]双曲余割函数反双曲函数Arc Sinh[x]反双曲正弦函数ArcCo sh[x]反双曲余弦函数Ar cTanh[x]反双曲正切函数ArcC oth[x]反双曲余切函数A rcSec h[x]反双曲正割函数Arc Csch[x]反双曲余割函数求角度函数ArcTa n[x，y]以坐标原点为顶点，x轴正半轴为始边，从原点到点（x，y）的射线为终边的角，其单位为弧度数论函数G CD[a,b,c,．．．]最大公约数函数LCM[a,b,c,．．．]最小公倍数函数Mo d[m,n]求余函数(表示m除以n的余数)Quo tient[m，n]求商函数（表示m除以n的商）Divis ors[n]求所有可以整除n的整数Fa ctorI ntege r[n]因数分解，即把整数分解成质数的乘积Pri me[n]求第n个质数Pri meQ[n]判断整数n是否为质数，若是，则结果为T rue，否则结果为F alseRando m[Int eger，{m，n}]随机产生m到n之间的整数排列组合函数Facto rial[n]或n！阶乘函数，表示n的阶乘复数函数Re[z]实部函数Im[z]虚部函数Arg(z)辐角函数Abs[z]求复数的模C onjug ate[z]求复数的共轭复数Exp[z]复数指数函数求整函数与截尾函数Cei ling[x]表示大于或等于实数x的最小整数Fl oor[x]表示小于或等于实数x的最大整数Rou nd[x]表示最接近x的整数Integ erPar t[x]表示实数x的整数部分Fract ional Part[x]表示实数x的小数部分分数与浮点数运算函数N[num]或num//N把精确数num化成浮点数（默认16位有效数字）N[num，n]把精确数num化成具有n个有效数字的浮点数Numbe rForm[num，n]以n个有效数字表示numRatio naliz e[flo at]将浮点数flo at转换成与其相等的分数Ra tiona lize[float，dx]将浮点数fl oat转换成与其近似相等的分数，误差小于dx最大、最小函数Max[a，b，c，．．．]求最大数M in[a，b，c，．．．]求最小数符号函数Sig n[x]Mathe matic a中的数学运算符a+b 加法a-b减法a*b (可用空格键代替*)乘法a/b (输入方法为：“ Ctr l ” + “ /” ) 除法a^b (输入方法为：“Ctrl” + “ ^ ”)乘方-a 负号Mathe matic a的关系运算符==等于<小于>大于<=小于或等于>=大于或等于!=不等于注：上面的关系运算符也可从基本输入工具栏输入。
用Mathematica研究自然对数底数e
用Mathematica 研究自然对数的底数e作 者：陈 龙摘要：e 是一个奇妙有趣的无理数，它取自瑞士数学家欧拉的英文字头。
e 与π被认为是数学中最重要的两个超越数，e 、π及i （i 为虚数单位）三者间存在1-=ieπ的关系。
本文利用Mathematica 软件研究了自然对数的底数e ，介绍了e 的一些相关知识、e 与自然对数的关系以及e 的值的计算方法等。
关键词：Mathematica ，e ，自然对数 一、引言远在公元前，圆周率π就被定义为“周长与直径之比”。
自古以来，π的近似值一直取为 3.14或722()742851.3 =。
通过许多数学家的努力，π的近似值位数不断增加。
目前用电脑计算圆周率。
由于电脑速度等功能不断改进，今后π的近似值位数会越来越多。
另外一个奇妙有趣的无理数是e ，它取自瑞士数学家欧拉（Euler ，1707-1783）的英文字头。
欧拉首先发现此数并称之为自然数e 。
但是，这种所谓的自然数与常见正整数1，2，3，……截然不同。
确切地讲，e 应称为“自然对数a e log 的底数”。
e 与π被认为是数学中最重要的两个超越数（transcendental number ，若一数为()0=xf 之根，其中f 为某一至少一次的整系数多项式，则此数称为代数数（algebraic number ），否则称为超越数）。
e 、π及i （i 为虚数单位）三者间存在1-=ie π的关系。
本文主要介绍e 的一些知识以及用Mathematica软件来计算e 。
二、欧拉数e考虑数列{}n a ，n a =∑=ni i 0!1=!1!21!111n ++++ ，1≥n ，其中!n =()1231⋅⋅⋅⋅- n n ，1≥n ，1!0=，应用下述关于级数收敛的基本定理之一可证明出其极限存在。
定理1.设数列{}n a 为单调且有界，则当∞→n 时，a a n →（a 为一有限数）。
首先，对n a =∑=ni i 0!1，显然{}n a 为单调递增数列。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
用Mathematica 研究自然对数的底数e作 者：陈 龙摘要：e 是一个奇妙有趣的无理数，它取自瑞士数学家欧拉的英文字头。
e 与π被认为是数学中最重要的两个超越数，e 、π及i （i 为虚数单位）三者间存在1-=i e π的关系。
本文利用Mathematica 软件研究了自然对数的底数e ，介绍了e 的一些相关知识、e 与自然对数的关系以及e 的值的计算方法等。
关键词：Mathematica ，e ，自然对数一、引言远在公元前，圆周率π就被定义为“周长与直径之比”。
自古以来，π的近似值一直取为 3.14或722()742851.3 =。
通过许多数学家的努力，π的近似值位数不断增加。
目前用电脑计算圆周率。
由于电脑速度等功能不断改进，今后π的近似值位数会越来越多。
另外一个奇妙有趣的无理数是e ，它取自瑞士数学家欧拉（Euler ，1707-1783）的英文字头。
欧拉首先发现此数并称之为自然数e 。
但是，这种所谓的自然数与常见正整数1，2，3，……截然不同。
确切地讲，e 应称为“自然对数a e log 的底数”。
e 与π被认为是数学中最重要的两个超越数（transcendental number ，若一数为()0=xf 之根，其中f 为某一至少一次的整系数多项式，则此数称为代数数（algebraic number ），否则称为超越数）。
e 、π及i （i 为虚数单位）三者间存在1-=ie π的关系。
本文主要介绍e 的一些知识以及用Mathematica软件来计算e 。
二、欧拉数e考虑数列{}n a ，n a =∑=ni i 0!1=!1!21!111n ++++ ，1≥n ，其中!n =()1231⋅⋅⋅⋅- n n ，1≥n ，1!0=，应用下述关于级数收敛的基本定理之一可证明出其极限存在。
定理1.设数列{}n a 为单调且有界，则当∞→n 时，a a n →（a 为一有限数）。
首先，对n a =∑=ni i 0!1，显然{}na 为单调递增数列。
其次，1a =2，2a =25，而3≥n 时， n a =1+1+n ⋅⋅⋅++⋅⋅+⋅+ 321432132121 <1+1+13221212121-++++n= 1+211211-⎪⎭⎫ ⎝⎛-n<3， 即数列{}a 以3为一上界。
故有定理1知，数列{}a 收敛至一实数，由于此极限值与圆周率π一样在许多数学的公式中出现，所以不可避免的需要给它一个特别的符号。
欧拉似乎是第一个体会到此数之重要性的数学家，他并以e 来表示此数。
后来符号e 就被广为采用，后人并称e 为欧拉数（Euler ’s number ）以纪念他。
由于e 为∞→n 时n a 之极限，故e 可表示为 （1） e =∑∞=0!1i i 。
以下说明如何以n a 来求e 之近似值，事实上n a 收敛至e 的速度极快。
这里借助一几何级数，对任意m n >，n a = m a +()()!1!21!11n m m +++++< m a +()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++--121111111!11m n m m m m < m a +()1111!11+-+m m= m a +!1m m ⋅ 故对∀m n >，（2） m a <n a <m a +!1m m ⋅ 。
若令∞→n ，则上式为（3） m a < e <m a +!1m m ⋅ ∀1≥m 。
即对∀1≥m ，m a 与e 之差最多为!1m m ⋅。
由于!m 随着m 增长速度极快，故m a 为e 的一个很好的估计值。
例如，若m =10，则10a 与e 之差小于710-，因此经由计算10a ，得到e =2.718281…。
01[_]!ni a n i ==∑N[a[10],50]2.7182818011463844797178130511463844797178130511464 N[E,50]2.7182818284590452353602874713526624977572470937000 N[a[10]-E,50]82.731266075564247442020627801803943404255357509524910--⨯ 7[10]10a E --<True当然若m 取大一些便可再更精确些，如e =2.71828182845904523536028…。
这是欧拉用笔算得到的e 之小数前23位。
欧拉22岁时，在一篇论文中写着“这个数的对数是1，以e 命名之，它的值为2.71828…，它的常用对数为0.4342944…”。
e 是无理数的证明（这是欧拉在1737年所证出），可利用前述（3）对e 的估计式。
设e =q p /为一有理数，其中p ，q 为二互质正整数。
易见2≥q ，此因e 介于2与3之间，故e 不可能为整数。
现由（3）式知q a < q p<q a +!1q q ⋅ 。
将上式每项各乘以!q 得!q q a < ()1-q p ! < !q q a +q1<!q q a +1。
而由q a 之定义知，!q q a 为一整数，如此则得整数()1-q p !介于两相邻整数!q q a 及!q q a +1之间的矛盾结果。
故e 不是有理数。
下面我们来看另一种常见的引进e 的方法。
考虑数列n b =nn ⎪⎭⎫⎝⎛+11 ，1≥n 。
则由二项式定理（Binomial Theorem ）可得n b = knk n k n ⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∑=10=()()∑=+--nk kn k n n n k 011!1 = 1+1+⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n n n n n 112111!111!21 <∑=nk k 0!1 = n a < 3 。
又由上面第三个等号的右侧可看出，n b 的每一项对n 递增，且1+n b 比n b 多一正的项，故{}n b 为一单调递增且有界数列必有极限。
故得证b b n n =∞→lim 存在。
接着证明e b =。
对n l >，仍由前述第三个等号之右侧可得 ⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-++>l l n l n l b l 111!111!2111 。
若先固定n ，而令∞→l ，则上式左侧趋近于b ，而右侧趋近于n a 。
即此时有n a b ≥，而又有n n a b ≤，因此b a b n n ≤≤， ∀1≥n 。
令∞→n ，由夹逼定理，便得e b b n n ==∞→lim 。
也就是我们得到下述重要的极限结果：（4） 1lim 1nn e n →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭。
定理2.（夹逼定理）若三个数列{}n x ，{}n y ，{}n z 从某项开始成立 n n n z y x ≤≤，0n n > 且a z x n n n n ==∞→∞→lim lim ，则a y n n =∞→lim 。
我们发现e 这个奇妙的数居然可用两种完全不同的方式来导出，事实上尚有许多方式皆可导出e 。
三、e 与自然对数中学学的对数以10为底，称为常用对数，记作N lg 。
但科学上常用的对数却以一个无理数e =2.71828…为底，称为自然对数，记作N ln 或N log 。
早在公元17世纪纳皮尔（J. Napier ）发明对数时，其目的是简化天文数据的计算，将乘法转化为加法来计算。
他希望将每个正实数N 表示为某个给定的正实数a 的幂：N =na 。
如果N =na ，M =ma ，则N M ⋅=n m a +，M ，N 的乘法变成了m ，n 的加法。
根据这种思想可编制出相应的对数表，列出幂（即真数）N 与指数（即对数）n 之间的对应关系。
但要使得表中相邻两个真数比较接近，就应当取低a 接近1。
比如取=1.001。
还可以取更接近1的1.0001来代替1.001。
一般地，可以考虑n a =nn ⎪⎭⎫⎝⎛+11作为对数的底，n 越大越好。
应用Mathematica 软件：观察当n 趋于无穷大时数列n a =n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11和n A =111+⎪⎭⎫⎝⎛+n n 的变化趋势：Do[Print[N[(1+10^(-m))^(10^m)]],{m,1,7}]//求n a ，其中mn 10= Out[1]：=2.593742.70481 2.71692 2.718152.718272.71828Do[Print[N[(1+10^(-m))^(10^m+1)]],{m,1,7}]//求n A ，其中mn 10 Out[2]：=2.85312 2.73186 2.71964 2.71842 2.7183 2.71828 2.71828由Out[1]和Out[2]观察出它们的变化趋势：n a 随着n 的增大而增大，n A 随着n 的增大而减小。
pic1=Plot[(1+10^(-x))^(10^x),{x,1,4},PlotStyle {RGBColor[0,0,1]}]Graphicspic2=Plot[(1+10^(-x))^(10^x+1),{x,1,4},PlotStyle {RGBColor[1,0,0]}]Graphicspic3=Plot[E,{x,1,4},PlotStyle{RGBColor[0,0,1]}]Show[pic1,pic2,pic3]Graphics通过观察可以看到，当n 增大时n a =n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛+11递增，n A =111+⎪⎭⎫⎝⎛+n n 增减。
随着n 的无穷增大，n a ，nA 无限接近，趋于共同的极限e =2.71828…，以这个e 为底的对数称为自然对数。
上面是通过对数表的编制来说明自然对数是怎样自然产生的。
虽然当初纳皮尔编制对数表的时候还没有这样明确地提出自然对数，但他一开始编制的决不是以10为底的常用对数表，他以0.99999为底编制的对数表从本质上接近于自然对数表。
只是到后来，为了使用的方便，才采用换底公式将已编成的对数表改成了以10为底的常用对数表。
在科学中广泛应用以e 为底的自然对数的更直接的理由是：它使涉及到对数的微分和积分公式变得最为简单。
下面来研究与e 有关的极限。
①计算当nx -=10，7,6,5,4,3,2,1=n 时，()()()x x x /1lg +=λ的值。
Do[Print[Log[10,1.0+10.0^(-n)]/(10^(-n))],{n,1,7}] 0.413927 0.432137 0.434077 0.434273 0.434292 0.4342940.434294通过观察可以看到，当()∞→n x 趋于0时，()x λ趋近于某一个极限值λ。