线代19 线性代数试题库

苏州大学《线性代数》课程试卷库（第十九卷）共 4页 学院 专业 成绩 年级 学号 姓名 日期

1、 4阶行列式D 的某一行所有元素及其余子式都等于a ，则 （ ） (a) 0=D (b) 1=D (c) a D 4= (d) 24a D =

2、设A 是m n ⨯阶矩阵，n A r =)(，则 （ ） (a) T AA 为可逆矩阵 (b) A A T 为可逆矩阵

(c) T AA 必与E 相似 (d) A A T 必与E 相似

3、向量组321,,ααα线性无关，向量组432,,ααα线性相关，则 （ ） (a) 4α未必能被321,,ααα线性表示 (b) 4α必能被321,,ααα线性表示 (c) 1α未必能被432,,ααα线性表示 (d) 1α必能被432,,ααα线性表示

4、设A 是n m ⨯阶矩阵，齐次线性方程组0=AX 是b AX =的导出组，则必有

（ ）

(a) 若0=AX 有解，则b AX =有解

(b) 若0=AX 有非零解，则b AX =有无穷多解

(c) 若0=AX 只有零解，则b AX =有唯一解

(d) 若b AX =有无穷多解，则0=AX 有无穷多解 5、设矩阵A 与矩阵B 相似，则必有 （ ） (a) B A ,有相同的特征向量 (b) B A ,有相同的行列式

(c) B A ,相似于同一个对角矩阵 (d) 矩阵A E -λ与B E -λ相等

二、填空题：（每题3分，共15分）

1、设A 是3阶方阵，且3=A ，则=*A A 。

2、若n 阶矩阵A ，满足2≥n ，且1)(*=A r ，则 =)(A r 。

3、设 ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000

003

21A A A A ，其中i A )3,2,1(=i 是可逆矩阵,则=-1A 。

4、若矩阵⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛---2101211211a a 的秩为2，则=a 。 5、设三阶方阵A 的三个特征值为3,2,1 ，则*6A 的三个特征值为 ， ， 。

三、(10分)计算行列式0000

00

00d c h g f e b a

A =

四、（10分）线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=-++=+++745222324321

43214321x x x x x x x x x x x x ，利用其导出组的基础解系求出方程组的全部解。

五、（20分）已知向量⎪⎪⎪

⎭

⎫

⎝⎛

=⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=121,111,11,321βαααa a a a a a a

求（1）a 为何值时，向量组321,,ααα线性无关；

（2）a 为何值时，β可由321,,ααα唯一线性表示；

（3）a 为何值时，β不能由321,,ααα线性表示；

（4）a 为何值时，β可由321,,ααα线性表示且表达式不唯一。

六、（10分） 将二次型2224f x y z xy =+++化为标准型。

七、（10分）矩阵⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛----=222254245A ，求：（1）A 的所有特征值和特征向量 （2）正交矩阵Q ，使得ΛΛ=-(1AQ Q 为对角矩阵）

八、（10分）设A 为m n ⨯矩阵，B 为n m ⨯矩阵，

m n <，且E AB =，证明：n B r =)(