大学物理习题册及解答(第二版)第四章-刚体的定轴转动

2
2
pB mB LB pA mA LA
3．一静止的均匀细棒,长为l、质量为M,可绕通过棒的端点且垂直
于棒长的光滑固定轴O在水平面内转动,转动惯量为Ml2/3.一质量为
m、速率为的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射出并穿出棒的
自由端,设穿过棒后子弹的速率为/2 ,则此时棒的角速度应为
(A) m (B) 3m
2
式中 J 1 ml2 3
m,l FN θ
得 a 3g sin
mg O
2l
2．一长为l、质量可以忽略的直杆，两端分别固定有质量为2m和
m的小球，杆可绕通过其中心O且与杆垂直的水平光滑固定轴在
铅直平面内转动．开始杆与水平方向成某一角度，处于静止状 态，如图所示．释放后，杆绕O轴转动．则当杆转到水平位时， 该系统所受到的合外力矩的大小M＝___，此时该系统角加速度
2.力矩的定义式为_M_____r___F．
在力矩作用下，一个绕轴转动的物体作_变__角__动_量_运动． 若系统所受的合外力矩为零，则系统的____角__动_量_____守恒．
3 质量为20 kg、边长为1.0 m的均匀立方物体，放在水平地面 上．有一拉力F作用在该物体一顶边的中点，且与包含该顶边的 物体侧面垂直，如图所示．地面极粗糙，物体不可能滑动．若 要使该立方体翻转90°，则拉力F不能小于___
解：选人、滑轮、与重物为系统，系统所受对滑轮轴的
外力矩为
1 MgR
人
物2
设u为人相对绳的匀速度，为重物上升的
速度。则该系统对滑轮轴的角动量为
L M R M (u )R (1 M R2 ) 13 MR MRu
2
24
8
据转动定律
du 0 dt
dL dt
a
即 1 MgR d (13 MR MRu)
m2 T2
转动定律得：
f
a T1
mg T ma
1
1
1
(1)
因绳与滑轮不打滑
ma1
T m g m a (2)
2
k2
2
(T T )r 1 mr a2 (3)
a a / r (4)
1
2
2
联解上四式，得： a
m m
1
k2
g
m m m/2
1
2
T
(1 )m
k
2
m/2m g
(1 )m m / 2
解：要使该立方体翻转90o,则拉力F对转轴的力矩 F
不能小于重力对转轴的力矩，即：
mg
aF 1 amg 2
F
1 mg 2
98N
4.定轴转动刚体的角动量(动量矩)定理的内容是定轴转动刚体所受外 力对轴的冲量矩等于转动刚体对轴的角动量（动量矩）的增量．
其数学表达式可写成
t2 t1
M
ex z
dt
J
J0
第四章 刚体定轴转动(一)
一．选择题
1．几个力同时作用在一个具有光滑固定转轴的刚体上，如果这几 个力的矢量和为零，则此刚体 (A) 必然不会转动． (B) 转速必然不变． (C) 转速必然改变． (D) 转速可能不变，也可能改变．
2.关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是 （A）只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位
上环可以自由在纸面内外摆动。求此时圆环摆的转动惯量。 O
(*)（3）求两种小摆动的周期。哪种摆动的周期较长？
R C
解：（1）圆环放在刀口上O，以环中 心的平衡位置C点的为坐标原点。Z轴
J zc MR2
O
P
ŷ
P΄
x
指向读者。圆环绕Z轴的转动惯量为
Z
R
由平行轴定理，关于刀口的转动惯量为 J zo J zc MR 2 2MR 2
(A) pB 2 pA 2
(B) pB 3 pA 4
(C) pB 2 pA 4
(D) pB 1 pA 2
分析：细杆在下落过程中只有重力做功，系统机械 能守恒，以地面为重力势能0点，则有：
mg L 1 J2
22
mgL J
mgL mL2 / 3
3g L
落地时动量 p mC m L m 1 3gL
Ml
2Ml
(C) 5m (D) 7m
3Ml
4Ml
二 填空题
1. 如图所示，一质量为m的均匀细杆长为l，且一端固定，使其能
在竖直平面内转动．支点处摩擦力不计．将该杆从支点上方几乎
竖直处释放，当杆与竖直方向成 角时的角加速度为
．
解 细杆受重力和铰链对细杆的约束力 作用，
由转动定律得
1 mgl sin Ja
m(l a) J
杆摆动过程机械能守恒
J 1 Ml2 3
1 J 2 Mg l (1 cos )
2
2
解得小球碰前速率为 Ml
2gl sin
m(l a) 3 2
5．一轻绳绕过一半径R，质量为M/4的滑轮。质量为M的人抓住绳 子的一端，而绳子另一端系一质量为M/2的重物，如图。求当人相 对于绳匀速上爬时，重物上升的加速度是多少？
d
2
4
g
dt 8
dt 13
该题也可在地面参考系中分别对人和物体利用牛顿第二定 律，对滑轮应用转动定律求解。
一选择题
第四章 刚体定轴转动(二)
1. 如图所示的刚性哑铃，设长为2l的杆质量与两个小球的质量相
等，均为m．哑铃杆中点O与定轴连接，杆与轴保持夹角不变，
哑铃绕定轴旋转，角速度为．系统对定轴的角动量为
30
30
(C) 3 0
(D) 3 0
8．光滑的水平桌面上，有一长为2l、质量为m的匀质细杆，可绕过
其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴O自由转动，其转动惯量为
ml2/3，起初杆静止．桌面上有两个质量均为m的小球各自在垂直于
杆的方向上正对着杆的一端，以相同速率v相向运动，当两小球同
时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后，就与杆粘在一起转动，
的大小 ＝___．
解：杆转到水平位时
M l 2mg l mg 1 mgl
2
2
2
M Jβ β M
mgl/2
2g
J 2m(l/2)2 m(l/2)2 3l
3. 在一水平放置的质量为m、长度为l的均匀细杆上，套着一质量
也为m的套管B(可看作质点)，套管用细线拉住，它到竖直的光滑
固定轴OO‘的距离为l/2 ，杆和套管所组成的系统以角速度0绕 OO’ 轴 转 动 。 若 在 转 动 过 程 中 细 线 被 拉 断 ， 套 管 将 沿 着 杆 滑
置无关． （B）取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置
无关． （C）取决于刚体的质量、质量的空间分布和轴的位置． （D）只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间
分布无关．
3. 一根绳子绕在半径为30 cm的轮子上．当轮子由初速度2.0 rad/s 匀减速到静止，绳子在轮上的长度为25 m．轮子的加速度和轮子 转过的周数为
．
动量矩守恒的条件是 刚体所受对轴的合外力矩等于零． ．
5．一均匀细直棒，可绕通过其一端的光滑固定轴在竖直平面内转 动．使棒从水平位置自由下摆，棒是否作匀角加速转动？ __否__．理由是在棒的自由下摆过程中，转动惯量不变，但使棒下摆
的力矩随棒的下摆而减小．由转动定律知棒摆动的角加速度也要 随之变小.
(A) 处处相等．
(B) 左边大于右边．
(C) 右边大于左边． (D) 哪边大无法判断．
5．将细绳绕在一个具有水平光滑轴的飞轮边缘上，在绳端挂一质 量为m的重物，飞轮的角加速度为．如果以拉力2mg代替重物拉 绳时，飞轮的角加速度将
(A) 小于 （B）大于,小于2 （C）大于2, （D）等于2.
6．一水平圆盘可绕通过其中心的固定竖直轴转动，盘上站着一个 人.把人和圆盘取作系统，当此人在盘上随意走动时，若忽略轴的 摩擦，此系统
J 2m l 2 / 3 m (3b2 4lb 2l 2 )
2
1
3. 物体质量为m1和m2，定滑轮的质量为m，半径为r，可视作均匀
圆盘。已知m2与桌面间的滑动摩擦系数为k，求m1下落的加速度
和两段绳张力各是多少？设绳子和滑轮间无相对滑动，滑轮轴受
的摩擦力忽略不计。 解：对两物体应用牛顿第二定律，对滑轮利用
则这一系统碰撞后的转动角速度应为
(A) 2
(B) 4
3L
5L
(D) 8
(E) 12
9L
7L
(C) 6
7L
v
v
O
1-2 题俯视图 图
二．填空题
1．如图所示，P、Q、R和S是附于刚性轻质细杆上的质量分别为
4m、3m、2m和m的四个质点，PQ＝QR＝RS＝l，则系统对 OO
轴的转动惯量为：_5__0_m_l 2
T
k
1
k
mg
1 m m m/2 1
2 m m m/2 2
1
2
1
2
4．质量为M，长为l的均匀细杆，可绕A端的水平轴自由转动，当 杆自由下垂时，有一质量为m的小球，在离杆下端的距离为a处垂 直击中细杆，并于碰撞后自由下落，而细杆在碰撞后的最大偏角
为，试求小球击中细杆前的速度。
解：球与杆碰撞瞬间，系统所受合外力矩为零，系 统碰撞前后角动量守恒
(A) 动量守恒．
(B) 机械能守恒．
(C) 对转轴的角动量守恒．
(D) 动量、机械能和角动量都守恒．
(E) 动量、机械能和角动量都不守恒．
7．花样滑冰运动员绕通过自身的竖直轴转动，开始时两臂伸开，
转动惯量为J0，角速度为0，然后她将两臂收回，使转动惯量减少
为J0
/3,这时她转动的角速度变为
(A) 1 (B) 1
6. 一飞轮以角速度0绕光滑固定轴旋转，飞轮对轴的转动惯 量为J1；另一静止飞轮突然和上述转动的飞轮啮合，绕同一转 轴转动，该飞轮对轴的转动惯量为前者的二倍．啮合后整个系
统的角速度 / 3 0
7．一长为l，质量可以忽略的直杆，可绕通过其一端的 水平光滑轴在竖直平面内作定轴转动，在杆的另一端固 定着一质量为m的小球，如图所示．现将杆由水平位置 无初转速地释放．则杆刚被释放时的角加速度a0 _ ， 杆与水平方向夹角为60°时的角加速度a_
解： J J J m [b l]2
rod
C ,disk
1
F m1g
m2g
m l 2 / 3 m b2 / 2 m (l 2 2lb b2 )
2
1
1
M (m gl sin ) / 2 m g(l b)sin
2
1
M Jα
α M
g sin[m l 2m (l b)]
2
1
弹射入以后水瞬平间速杆度的0角射速入度杆上=A点，并嵌在杆中6，0OA＝2l/3，则子弹
4 3M / ml
分析：系统对转轴的角动量守恒
三．计算题
1．（1）一个质量为M，半径为R的环放在刀口上，环可以在自
身平面内摆动，形成一个物理摆。求此时圆环摆的转动惯量。
（2）假设一个相同的环固定在与其共面且与圆周相切的轴PP΄
(A) - 0.942rad/s 2,13.3 (B) - 0.884rad/s 2,13.3
(C) - 0.942rad/s 2,2.67
(D) - 0.884rad/s 2,2.67
分析：
2as
2 0
2 02
a r
0 r0
s
r
N
2
13.3圈
02 0.024rad / s2 2
4．一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M的定滑轮，绳的两端 分别悬有质量为m1和m2的物体(m1 >m2）．绳与轮之间无相对滑 动．若某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳中的张力
（2）由垂直轴定理有： J J 1 J MR2
由平行轴定理有：
xC
yC
2
zC
3
2
J J MR2 MR2
PP
xC
（3）复摆的摆动周期为 T 2π J
2
mgl
T 2 2R T 2 3R
T1 4 1.1547
1
g
2
2g
T2 3
2 长为l质量为m2的均匀细杆一端固定。另一端连有 质量为m1、半径为b的均匀圆盘。求该系统从图中 位置释放时的角加速度。
l
2 l3 sin 2 2 ml2 sin2
3
3
杆和两球对转轴的总转动惯量
J总
J 球1
ຫໍສະໝຸດ Baidu
J球2
J杆
2m(l
s in
)2
2 3
ml 2
s in 2
8 3
ml 2
s in 2
系统对定轴的角动量 L J总
2. 细棒A的长度是细棒B的长度的2倍，两根匀质细棒密度相等， 二棒的下端分别都由铰链连于地面，将两棒竖立，释放后，两棒 落地时动量大小之比为
(A) 2ml 2 sin 2 (B) 7 ml 2 sin2
(C) 8 ml 2 sin2
3
(D) 2ml 2 sin 2
m
dl
l
3
分析：距离坐标原点为l，长为dl dJ (dl)(l sin )2 O
的一段杆对转轴的转动惯量为：
l
积分上得杆对转轴的转动惯量
m
J杆
l sin 2 l 2dl
mg
解：将小球和刚作为一系统,因杆质量可忽略,所以系统在转动时受 到的对转轴的力矩为小球的重力矩，对系统应用转动定律有：
lmg sin θ ml 2α
α g sin θ / l
杆刚被释放时=0, α g/l 0
杆与水平方向夹角为60°时， =30o， α g/2l
8 长为l、质量为M的匀质杆可绕通过杆一端O的水平光滑固定轴 转动，转动惯量为Ml2/3,开始时杆竖直下垂．有一质量为m的子