全等三角形几种类型总结

全等三角形与角平分线

全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形． 全等多边形： 能够完全重合的多边形就是全等多边形．

相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角． 全等多边形的对应边、对应角分别相等．

如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE ≌五边形'''''A B C D E ． 这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”．

A'

B'C'

D'

E'

E

D

C

B

A

全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形．

全等三角形的对应边相等，对应角分别相等；

反之，如果两个三角形的边和角分别对应相等，那么这两个三角形全等． 全等三角形对应的中线、高线、角平分线及周长面积均相等．

全等三角形的概念与表示：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形．能够相互重合的顶点、边、角分别叫作对应顶点、对应边、对应角．全等符号为“≌”．

全等三角形的性质：对应角相等，对应边相等，对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等，面积相等．

寻找对应边和对应角，常用到以下方法：

(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角． (5)有对顶角的，对顶角常是对应角． 全等三角形的判定方法：

(1) 边角边定理(SAS )：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等． (2) 角边角定理(ASA )：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等． (3) 边边边定理(SSS )：三边对应相等的两个三角形全等．

(4) 角角边定理(AAS )：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等． (5) 斜边、直角边定理(HL )：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等．

判定三角形全等的基本思路：

SAS HL SSS →⎧⎪

→⎨⎪→⎩

找夹角已知两边 找直角 找另一边

ASA AAS SAS AAS ⎧⎪

⎧⎪

⎨⎪

⎨⎪

⎪⎪

⎩⎩ 边为角的对边→找任意一角→ 找这条边上的另一角→已知一边一角 边就是角的一条边 找这条边上的对角→ 找该角的另一边→ ASA

AAS →⎧⎨→⎩

找两角的夹边已知两角 找任意一边

全等三角形的图形归纳起来有以下几种典型形式：⑴平移全等型

⑵对称全等型

⑶旋转全等型

由全等可得到的相关定理：

⑴角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

⑵到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上．

⑶等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)．

⑷等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合．

⑸等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等⑹线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等．

⑺和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

与角平分线相关的问题

角平分线的两个性质：

⑴角平分线上的点到角的两边的距离相等；

⑵到角的两边距离相等的点在角的平分线上．

它们具有互逆性．

角平分线是天然的、涉及对称的模型，一般情况下，有下列三种作辅助线的方式：

1．由角平分线上的一点向角的两边作垂线，

2．过角平分线上的一点作角平分线的垂线，从而形成等腰三角形，

3．OA OB

，这种对称的图形应用得也较为普遍，

A

B

O

P P

O

B

A A

B

O P

三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线

三角形中线的相关定理：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半

等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)

三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．

中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．

中线中位线相关问题(涉及中点的问题)

见到中线(中点)，我们可以联想的内容无非是倍长中线以及中位线定理(以后还要学习中线长公式)，尤其是在涉及线段的等量关系时，倍长中线的应用更是较为常见．

板块一、全等三角形的认识与性质

【例1】 在AB 、AC 上各取一点E 、D ，使AE AD =，连接BD 、CE 相交于O 再连结AO 、BC ，

若12∠=∠，则图中全等三角形共有哪几对？并简单说明理由．

2

1E O

D

C

B

A

【巩固】如图所示，AB AD =，BC DC =，E F 、在AC 上，AC 与BD 相交于P ．图中有几对全等三

角形？请一一找出来，并简述全等的理由．

板块二、三角形全等的判定与应用

【例2】 (2008年巴中市高中阶段教育学校招生考试)如图，AC DE ∥，BC EF ∥，AC DE =．求证：

AF BD =．

F

E

D

C

B

A

【例3】 (2008年宜宾市)已知：如图，AD BC =，AC BD =，求证：C D ∠=∠．

例题精讲

F

A

E P D

C

B