全等三角形基本类型

三角形全等的证明方法及基本图形（一） 截长补短型1、如图，A B ∥CD,BE,CE 分别平分∠ABC,∠DCB,求证：AB+CD=BC2、如图，R t △ACB 中，AC=BC,AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，CE ⊥AD 交AD 于F 点，交AB 于E 点，求证：AD=2DF+CE3、如图,R T △CDART ≌△CDB,①、若∠ACD=30°，∠MDN=45°,当∠MDN 绕点D 旋转时，AM 、MN 、BN 三条线段之间的关系式为＿＿＿＿＿＿②、若∠ACD=45°，∠MDN=45°,AM 、MN 、BN 三条线段之间的数量关系式为：＿＿＿＿＿＿③、由①②猜想：在上述条件下，当∠ACD 与∠MDN 满足什么条件时，上述关系式成立，证明你的结论。

(二)、中点线段倍长问题：例：如图△ABC 中，点D 是BC 边中点，过点D 作直线交AB 、CA 延长线于点E 、F 。

当AE=AF 时，求证BE=CF 。

A B C D E A B C DE F B A C D M N ①B D AC M N ② A B CD M N ③ AB C DE F蝴蝶形图案解决定值问题：1、 如图，已知A(4,0).B(0,4)C 为点A 关于y 轴的对称点，连接BC ，Q 是射线OC 上一点，过A 作A H ⊥BQ 于H 点，交直线BO 于E 点，当Ｑ点在射线ＯＣ上（不含ｃ点）上运动时，有以下两个结论：① BE CQ 的值不变，② BEBH 的值不变，有且只有一个是正确的，请选择并证明。

练习：1、如图，在R t △ACB 中，∠ACB=90°,CA=CB,D 是斜边AB 的中点，E 是DA 上一点，过点B 作BH ⊥CE 于点H ，交CD 于点F 。

（1） 求证：DE=DF.（2）若E 是线段BA 的延长线上一点，其它条件不变，DE=DF成立吗？画图说明。

2、 在△ABC 中，AB=AC,AD 和CE 是高，它们所在的直线相交于H 。

(1)如图1,若∠BAC=45°，求证：AH=2BD.(2)如图2，若∠BAC=135°，（1）中的结论是否依然成立？请你在图2中画出图形并加以证明。

3、 如图，等腰直角三角形ABC 中，AB=AC,∠BAC=90°,BE 平分∠ABC 交AC 于E ，过C 作CD ⊥BE 于D.求证BE=2CD.（2） 连接AD ，求证：∠ADB=45°.（3） 过点D 作DM ⊥AB 交BA 的延长线于M.①.求 AB BC BM +的值。

②、求ABBC AM -的值。

A B CD E F HA B C D E H B AC CD B AE D BA E C角平分线与轴对称1、（1）如图①，R t △ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=60°,CD 平分∠ACB ，点E 为AB 上一点，且CE=BE ，PE ⊥AB 交CD 的延长线于P ，求∠PAC+∠PBC 的度数。

（2）如图②，R t △ABC 中，∠ACB=90°，∠BA C ≠45°,CD 平分∠ACB,点E 为AB 上一点，且CE=BE,PE ⊥AB 交CD 的延长线于P 。

（1）中结论是否成立，说明理由。

练习：1：如图，直线AB 交x 轴于A(m,o)，交y 轴于B （o,n ）,其中m,n 满足m 2+4m+4+n -1=0.C 为B 点关于x 轴的对称点，当直线OF 的解析式y=kx ，当k 的值发生改变时（但始终保持k ＜0）。

过C 点作CE ∥AB 交直线于E 点，下列两个结论：①AC CE AF +的值不变。

②AC CE AF -确的，请你找出正确的结论并求其值。

2、（倍角与半角问题）（1）如图，R t △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC,点D 、E 在斜边AB 上，且∠DCE=45°，求证AD+BE ＞DE.A B C D E P A B C D E P A B C D E（2）如图，若将R t △ABC 改为等边三角形，∠DCE=30°,其它条件不变，上述结论成立吗？试证明。

3如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，∠C=2∠B.求证:AB=AC+CD.4、 如图，直线l 1∥l 2，直线m 与直线l 1 、l 2交于A 、B 两点。

AE 、BE 为其同旁内角平分线，过E 点作直线l 1 、l2与交于D 、C 两点，求证AD+BC=AB 。

全等与旋转例：已知三点A(a,b)、B(3,1)、C(6,0)，其中a,b 满足(a-2)2=-1 b .（1） 求A 的坐标。

（2）点P 为x 轴上一动点，当△OAP 与△CBP 的周长和取得最小值时，求P 点坐标；（3）点P 为x 求∠OAP+∠PBC 的度数。

练习：1、 已知△ABC 中，∠BAC=45°,以AB,AC 为边在△ABC 外作等腰△ABD 和△ACE ，AB=AD ，AC=AE ，且∠BAD=∠CAE ，连接CD,BE 并交于F 点，连接AF 。

（1） 如图①，若∠BAD=60°，则∠AFE =＿＿＿＿，如图②，若∠BAD=90°, A B CD E B C D Al 1 l 2 A BC DE m则∠AFE =＿＿＿＿，如图③，若若∠BAD=120°，则∠AFE =＿＿＿＿。

（2） 如图4，若∠BAD=2°，猜想∠AFE 的度数，并证明。

2、 如图，已知锐角三角形ABC ，分别以AB,AC 为边在△ABC 的形外作正方形ACFG 和正方形ABDE ，连接EG ，若S △ABC=5，请求S △AEG 。

3、 如图，A 、D 、B 三点在同一直线上，△ADC, △BDO 为等腰直角三角形。

（1），AO 与BC 有何关系？证明你的结论。

（2）当△ODB 绕顶点D 旋转任一角度到图②的位置，（1）中结论成立吗？请证明。

等腰直角三角形，等边三角形例：如图，G 为线段AB 上一点，A C ⊥AB,BD ⊥AB,GE ⊥AB,且AC=BG ，BD=AG,GE=AB.若∠AEB=50°，求∠CEB 的度数。

练习题：A B C D E F A B C D E F D E F C B A A B C ED F G A B C OE B A CD O A B C D EF G H1、 如图，正方形ABCD 中，作其外角平分线CN,在CN 上截取CE=CB ，作∠DCE 的平分线交BE 于P 点，(1)求证：CP ⊥AP.(2)若CE 不是外角平分线，CE 为正方形外部的一条线段，且CE=CB ，结论成立吗？2、 如图，Rt △ABC 中，AB=AC,BD 平分∠ABC ，过C 点作CD ⊥BD 交BE 的延长线于D 点，连接AD ，求证：∠ADB=45°.3、 如图：在等腰Rt △ABC 中，∠ACB=90°,AD 平分∠BAC 交BC 于D 点，CE ⊥AD 交AB 于E 点。

F 为AC 上一点，且CF=BE ，连接BF 与CE 交于P 点，下列结论：①AC=AE. ②CD=BE. ③DP ⊥B F. ④2∠BDP=135°,其中正确的结论是：＿＿＿＿＿＿＿＿K 型图与全等：1、如图，△ABC ≌△CDE,B 、C 、D 三点共线，连接AE,点M 为AE 中点，连接BM ，DM ，试判断△BMD 的形状。

练习：1、如图①OA=2，OB=4，以A 点为顶点，AB 为腰在第三象限作等腰Rt △D B A E C C B A D E P N B C D E P A N A BC D EF P CA B D E MA B C D EF G H ABC 。

(1)求C 点的坐标。

轴负半轴上一个动点，当轴负半轴向下运动时，若以P 点为顶点，PA 为腰作等腰Rt △APD ，过D 点作DE ⊥x 轴于E 点，求OP-DE 的值。

（3）如图③，已知点F 坐标为(-4，-4)，当G 在y 轴的负半轴上沿负方向运动时，作Rt △FGH ，始终保持∠GFH=90°，FG 与y 轴负半轴交于点G(o,m),FH 与x 轴正半轴交于点H(n,o)，当G 点在y 轴负半轴沿负方向运动时，求m+n 的值。

2、如图，△ABC 中，AB=AC, ∠A=90°,点D 为BC 边的中点，E 、F 分别在AB 、BC 上，且ED ⊥FD ，EG ⊥BC 于G 点，FH ⊥BC 于H 点，下列结论：① DE=DF ②AE+AF=AB③S 四边形AEDF=21S △ABC.④EG+FG=21BC,其中结论正确的是（ ） A 、只有②③. B 、只有①④. C 、只有①②③. D 、只有①②③④.2、如图，在△ACE 中，∠ACB=90°,AC=BC,BC 与y 轴交于D 点，点C 的坐标为(-1，0).点A 的坐标为(-4,2),，则D双重直图案与全等三角形：1、Rt △ABC 中，AB=AC,M 为BC 边上一点，连接AM ，过B 点作BN ⊥AM 交AC 于E 点，交AM 于D 点，在AC 上截取CF=AE,连接MF 并延长交BN 于N 点。

求证：∠AMB=∠CMF.练习：1、已知，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于点D，点E在AC 上，CE=CB，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F，求证：AB=FC.角分线与四点共圆例：如图，O为正方形ABCD的中心，将一个直角的顶点与O重合，直角边与正方形的邻边交于M、N两点，求证：OM=ON 如图，①OC平分∠AOB，②CM=CN ,③∠AOB+∠MCN=180°，若其中两个作为条件，另一个作为结论，成立吗？ABCDEFMNABCDFE。