积分上限函数的性质及应用

积分上限函数的性质及应用

积分上限函数（即变上限的定积分）揭示了定积分和不定积分之间的联系,是一元函数微积分学中的一个重要概念.

积分上限函数具有很多的性质，既具有普通函数相似的特征，由于它的上限是变化的，因而又有许多与积分有关的特殊性质.本文首先总结归纳出积分上限函数的重要性质，并对这些性质进行详细的证明;其次总结归类出证明积分等式、不等式的方法并进一步给出这些方法的具体应用.

1 积分上限函数

1.1 积分上限函数的定义

)

220](1[P

设函数()f x 在区间[,]a b 上可积，对任何[,]x a b ∈,()f x 在[,]a x 上也可积.于是，由

()(),[,]x

a

F x f t dt x a b =∈⎰,定义了一个以积分上限x 为自变量的函数，称为积分上限函数即变上限

的定积分.

1.2 积分上限函数的几何意义

)

350](2[P

如果[,]x a b ∀∈，有函数()0f x ≥，对区间[,]a b 上任意x ，积分上限函数()F x 是区间[,]a x 上曲边梯形的面积，如下图的阴影部分.

图1.1

1.3 积分上限函数的性质

1.3.1积分上限函数的连续性)221](1[P

若函数()f x 在区间[,]a b 上可积，则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上连续. 证 [,]x a b ∀∈,且[,]x x a b +∆∈，有

()()()()()()x x

x x x

a

a

x

F x F x x F x f t dt f t dt f t dt +∆+∆∆=+∆-=-=⎰

⎰⎰

因为f 在[,]a b 上可积，所以f 在[,]a b 上有界， 即存在正数M ，使得()f x M ≤，[,]x a b ∀∈，

当0x ∆≥时，x M dt t f dt t f x F x

x x x

x x ∆≤≤=∆⎰⎰∆+∆+)()()( 当0x ∆<时，x M dt t f dt t f x F x

x x

x

x x ∆≤≤=

∆⎰

⎰

∆+∆+)()()(

所以0

lim ()0x F x ∆→∆=, 即积分上限函数()F x 在点x 连续，而由x 的任意性，可知函数()F x 在

区间[,]a b 上连续.

1.3.2积分上限函数的可导性

[1](221)

P

若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上可导，且()()F x f x '=. 证 [,]x a b ∀∈，且[,]x x a b +∆∈，(0)x ∆≠有

()()()()()()x x

x x x

a

a

x

F x F x x F x f t dt f t dt f t dt +∆+∆∆=+∆-=-=⎰

⎰⎰

由积分第一中值定理，有

()1()()x x

x F x f t dt f x x x x

θ+∆∆==+∆∆∆⎰ (01)θ≤≤ 因为函数)(x f 在区间],[b a 上连续，所以00()

()lim lim ()()x x F x F x f x x f x x

θ∆→∆→∆'==+∆=∆

即()F x 在点x 可导. 而由x 的任意性，可知函数()F x 在区间[,]a b 上可导.

1.3.3积分上限函数的可积性

若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上可积.

证 已知函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则()f x 在区间[,]a b 上可积，所以由1.3.1可推出积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上连续，则()F x 在区间[,]a b 上可积.

1.3.4积分上限函数的单调性

若函数)(x f 在区间[,]a b 上连续且非负（正），则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上单调递增（减）.

证 因为)(x f 在区间[,]a b 上连续且非负，则()()0F x f x '=≥，所以)(x F 在区间[,]a b 上单调递增.

同理可证另一种情况.

特别地,若()f x 在[,]a b 上非负单调递增（减），则()F x 在[,]a b 上单调递增. 1.3.5积分上限函数的奇偶性[3](140)P

若函数)(x f 在区间[,]a a -上连续且为奇（偶）函数时，则积分上限函数)(x F 为偶（奇）函数. 证 设)(x f 在区间[,]a a -上连续且为奇函数，即)()(x f x f -=-.

()()x

F x f t dt --=⎰

，令t u -=

()()()()()()x

x

x

F x f u d u f u du f t dt F x -=--===⎰⎰⎰，

所以)(x F 为偶函数.

同理 当)(x f 在区间[,]a a -上连续且为偶函数，即)()(x f x f =-.

()()x

F x f t dt --=⎰

，令t u -=

()()()()()()x

x

x

F x f u d u f u du f t dt F x -=--=-=-=-⎰⎰⎰

所以)(x F 为奇函数.

1.3.6积分上限函数的凹凸性

[4](32)

P

若函数)(x f 在区间上[,]a b 单调递增（递减），则积分上限函数()F x 在区间[,]a b 上是凸（凹）函数.

证 因为函数)(x f 在区间[,]a b 上单调递增，取123,,[,]x x x a b ∈，且123x x x <<， 则123()()()f x f x f x <<.

2121

()()

F x F x x x --2

1

21

()()x x a

a

f t dt f t dt

x x -=

-⎰

⎰2

1

21

()x x f t dt

x x =

-⎰2()f x ≤≤

3

2

32

()x x f t dt

x x -⎰

3232

()()

F x F x x x -=

-

所以()F x 在区间[,]a b 上是凸函数.

同理可证明另一种情况.