指数函数的性质及其应用_课件
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第三章 第五节 指数函数 课件(共53张PPT)
解析： 函数 y＝|3x－1|的图象是由函数 y＝3x 的图象向下平移一个单位 后，再把位于 x 轴下方的图象沿 x 轴翻折到 x 轴 上方得到的，函数图象如图所示．
由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以 k 的取值范围为(－∞，0].
答案： (－∞，0]
指数函数的性质及应用
角度一 比较指数幂的大小
解析： (1)由函数 y＝kx＋a 的图象可得 k<0，0<a<1.因为函数的图象与 x 轴交点的横坐标大于 1，所以 k>－1，所以－1<k<0.函数 y＝ax＋k 的图象可以 看成把 y＝ax 的图象向右平移－k 个单位长度得到的，且函数 y＝ax＋k 是减函 数，故此函数与 y 轴交点的纵坐标大于 1，结合所给的选项，选 B.
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
n (1)
an
＝(n
a
)n＝a(n∈N＋).(
)
m
(2)分数指数幂 an
可以理解为mn
个 a 相乘．(
)
(3)函数 y＝3·2x 与 y＝2x＋1 都不是指数函数．( )
(4)若 am<an(a>0，且 a≠1)，则 m<n.( )
答案： (1)× (2)× (3)√ (4)×
角度二 解简单的指数方程或不等式
(1)若
，则函数 y＝2x 的值域是( )
1 A．8，2
1 B．8，2
C．－∞，18
D．[2，＋∞)
4x，x≥0， (2)已知实数 a≠1，函数 f(x)＝2a－x，x<0， 若 f(1－a)＝f(a－1)，则 a 的
值为________．
解析： (1)因为
由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以 k 的取值范围为(－∞，0].
答案： (－∞，0]
指数函数的性质及应用
角度一 比较指数幂的大小
解析： (1)由函数 y＝kx＋a 的图象可得 k<0，0<a<1.因为函数的图象与 x 轴交点的横坐标大于 1，所以 k>－1，所以－1<k<0.函数 y＝ax＋k 的图象可以 看成把 y＝ax 的图象向右平移－k 个单位长度得到的，且函数 y＝ax＋k 是减函 数，故此函数与 y 轴交点的纵坐标大于 1，结合所给的选项，选 B.
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
n (1)
an
＝(n
a
)n＝a(n∈N＋).(
)
m
(2)分数指数幂 an
可以理解为mn
个 a 相乘．(
)
(3)函数 y＝3·2x 与 y＝2x＋1 都不是指数函数．( )
(4)若 am<an(a>0，且 a≠1)，则 m<n.( )
答案： (1)× (2)× (3)√ (4)×
角度二 解简单的指数方程或不等式
(1)若
，则函数 y＝2x 的值域是( )
1 A．8，2
1 B．8，2
C．－∞，18
D．[2，＋∞)
4x，x≥0， (2)已知实数 a≠1，函数 f(x)＝2a－x，x<0， 若 f(1－a)＝f(a－1)，则 a 的
值为________．
解析： (1)因为
高一数学指数函数ppt课件
与对数式的转换、对数运算的性质等。
拓展延伸：挑战更高难度题目
复杂指数函数的性质研究
引入更复杂的指数函数形式，如复合指数函 数、分段指数函数等，探讨它们的性质和应 用。
指数函数在实际问题中的应 用
结合实际问题，如复利计算、人口增长等，展示指 数函数的应用价值，并引导学生运用所学知识解决 实际问题。
指数函数与其他数学知识 的综合应用
指数函数图像特征
当a>1时，图像在x轴上方，且随着x 的增大，y值迅速增大；当0<a<1时， 图像在x轴上方，但随着
当a>1时，指数函数在R上是增函数；当0<a<1时，指数函数在R 上是减函数。
指数函数的值域
指数函数的值域为(0, +∞)。
在解题时，要注意判断题目所给 条件是否满足对称性，以便更好
地应用这一性质。
05 复杂问题解决方 法与策略
分段讨论法在处理复杂问题时应用
分段讨论法概念
将复杂问题按照一定条件分成若 干段，每一段内问题相对简单，
易于解决。
分段讨论法应用
在处理指数函数问题时，当自变量 在不同区间内取值时，函数性质可 能发生变化，此时可以采用分段讨 论法。
数形结合思想概念
将数学中的“数”与“形”结合起来，通过图形 直观展示数量关系，帮助理解问题本质。
数形结合思想应用
在处理指数函数问题时，可以通过绘制函数图像 来观察函数性质，如单调性、周期性等。
数形结合思想优势
通过数形结合可以更加直观地理解问题，提高解 题准确性。
06 总结回顾与拓展 延伸
关键知识点总结回顾
幂的乘方规则
$(a^m)^n = a^{m times n}$，幂的乘方，底 数不变，指数相乘。
高一数学必修1：2.1.2《指数函数及其性质的应用》课件
例3 求下列函数的定义域:
1
(1) y 5 x1 ;(2) y 2 x4 .
问题提出 1.什么是指数函数？其定义域是什么？大致 图象如何？
2.任何一类函数都有一些基本性质，那么指 数函数具有那些基本性质呢？
知识探究（一）：函数 y ax (a 1) 的性质
考察函数
y ax (的a图象:1)
一
2
想 共同点？
指数函数定义：
函数 y=ax （a>0,a≠1）叫做指数函数,
其中x是自变量，函数的定义域为R
探究1：为什么要规定a>0,且a 1呢？
①若a=0，则当x≤0时， ax无意义
②若a<0，对于x的某些数值，可能使 ax无意义11来自如：a 2、a 4等等
③若a=1，则对于任何x R，
a x =1，是一个常量，没有研究的必要性.
思考3:上述函数在其结构上有何共同特点？
思考4:我们把形如 y ax的函数叫做指数函
数，其中x是自变量.为了便于研究，底数a的 取值范围应如何规定为宜？
a 0, a 1
思考5:指数函数y＝ax（a＞0，a≠1）的定义 域是什么？
知识探究（二）:指数函数的图象 思考1:研究函数的基本特性，一般先研究其
探究2：函数 y 2 3x是指数函数吗？
不是！指数函数中要求 a x的系数必须是1
思考:下列函数是指数函数吗,为什么?
y 2x2 y 4x2 y x y 2x
指数函数的图象和性质：
在同一坐标系中分别作出如下函数的图像：
y 2x
列表如下：
y
1
x
2
x -3 -2 -1
2 x 0.13 0.25 0.5
《指数函数》PPT课件
商的乘方
商的乘方等于乘方的商。 如：$(a/b)^n = a^n div b^n$。
指数函数的极限与连续
极限性质
当底数大于1时，指数函数随着指 数的增大而趋于无穷大；当底数 在0到1之间时，指数函数随着指 数的增大而趋于0。
连续性
指数函数在其定义域内是连续的， 即对于任意两个相邻的点，函数值 之间的差可以无限小。
。
工程学
在工程学中，指数函数可用于 描述材料疲劳、信号处理等问
题。
计算机科学
在计算机科学中，指数函数可 用于算法分析、图像处理等领
域。
THANKS
感谢观看
02 指数函数的运算 性质
指数函数的四则运算
加法运算
同底数指数相加，指数 不变，底数相乘。如：
$a^m + a^m = 2a^m$。
减法运算
同底数指数相减，指数 不变，底数相除。如： $a^m - a^m = 0$。
乘法运算
同底数指数相乘，指数 相加，底数不变。如：
$a^m times a^n = a^{m+n}$。
级数展开的定义
将指数函数表示为无穷级数的形式，便于分析和 计算。
泰勒级数展开
通过泰勒公式将指数函数展开为幂级数，适用于 函数在某点的局部逼近。
麦克劳林级数展开
特殊形式的泰勒级数，用于在原点处展开指数函 数。
指数函数的傅里叶变换
傅里叶变换的概念
01
将时间域的函数转换为频域的函数，便于分析信号的频率特性
指数函数在生物学中的应用
细菌增长模型
指数函数可以描述细菌在适宜环 境下的增长情况，用于预测细菌
数量。
药物代谢动力学
指数函数可以模拟药物在体内的 代谢过程，用于计算药物浓度随
人教高中数学必修一2.1.2指数函数及其性质(课件)
思考:这两个例子的式子有什么共同特征?
底数是常数,指数是变量
1. 指数函数的定义
系数为1
y＝1 ·ax
自变量
常数
定义：一般地,函数 y ax (a 0, a 1, x R) 叫做指数函数
注意:
(1) 规定a 0, a 1
x 0 a x恒等于零
a 0x 0 无意义
a 0 无意义
…...
2 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年 剩留的质量约是本来的84%.求出这种物质的剩留 量随时间(单位:年)变化的函数关系.
设最初的质量为1,时间变量用x表示,剩留量用y表示
则
经过1年, y 184% 0.841 经过2年, y 1 0.84 0.84 0.842
归纳出:经过x年, y 0.84 x
• (1)
1
y 3x
• (2) y 5 x1
• (3)函数 y a2x3 3 恒过点 ( 3 , 4)
2
小结归纳：
• 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ • 你又掌握了哪些数学思想方法？ • 你能将指数函数的学习与实际生活联系起
来吗？
布置作业：习题2-1A组第5、6、7、8题
A先生从今天开始每天给你10万元,而 你承担如下任务:第一天给A先生1元, 第二天给A先生2元,,第三天给A先生4 元,第四天给A先生8元,依次下去…那 么,A先生要和你签定15天的合同,你同 意吗?又A先生要和你签定30天的合同, 你能签这个合同吗?
(8) y (2a 1)x (a 1 , a 1) 2
答案：（1）（6）（8）是指数函数
2：函数y (a2 3a 3) ax是指数函数，则a 2
3：已知y=f(x)是指数函数，且f(2)=4,求函数
底数是常数,指数是变量
1. 指数函数的定义
系数为1
y＝1 ·ax
自变量
常数
定义：一般地,函数 y ax (a 0, a 1, x R) 叫做指数函数
注意:
(1) 规定a 0, a 1
x 0 a x恒等于零
a 0x 0 无意义
a 0 无意义
…...
2 一种放射性物质不断衰变为其他物质,每经过一年 剩留的质量约是本来的84%.求出这种物质的剩留 量随时间(单位:年)变化的函数关系.
设最初的质量为1,时间变量用x表示,剩留量用y表示
则
经过1年, y 184% 0.841 经过2年, y 1 0.84 0.84 0.842
归纳出:经过x年, y 0.84 x
• (1)
1
y 3x
• (2) y 5 x1
• (3)函数 y a2x3 3 恒过点 ( 3 , 4)
2
小结归纳：
• 通过本节课的学习，你学到了哪些知识？ • 你又掌握了哪些数学思想方法？ • 你能将指数函数的学习与实际生活联系起
来吗？
布置作业：习题2-1A组第5、6、7、8题
A先生从今天开始每天给你10万元,而 你承担如下任务:第一天给A先生1元, 第二天给A先生2元,,第三天给A先生4 元,第四天给A先生8元,依次下去…那 么,A先生要和你签定15天的合同,你同 意吗?又A先生要和你签定30天的合同, 你能签这个合同吗?
(8) y (2a 1)x (a 1 , a 1) 2
答案：（1）（6）（8）是指数函数
2：函数y (a2 3a 3) ax是指数函数，则a 2
3：已知y=f(x)是指数函数，且f(2)=4,求函数
指数函数及其性质PPT课件
05 指数函数与其他函数的比 较
与线性函数的比较
线性函数
y=kx+b，表示的是一种 匀速变化，增加或减少的 趋势。
指数函数
y=a^x，表示的是一种爆 炸式增长或衰减的趋势。
比较
线性函数的变化速率是恒 定的，而指数函数的变化 速率会随着x的增大或减小 而快速增大或减小。
与幂函数的比较
01
幂函数
y=x^n，当n>0时，表示的是一种增长趋势；当n<0时，表示的是一种
包括单调性、奇偶性、周期性等。
指数函数的应用
在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
练习与思考
练习题
根据指数函数的性质，判断下列哪些是指数函数，哪些不是，并说明理由。
思考题
指数函数在生活和生产中有哪些应用？请举例说明。
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感谢您的观看
指数函数的运算性质
01
基本运算性质
02
$a^m times a^n = a^{m+n}$
03
$(a^m)^n = a^{mn}$
04
$frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
05
复合运算性质：如果 $u(x) = b^x$ 且 $b > 0$ 且 $b neq 1$，则 $y = a^{u(x)}$ 也是指数函数。
04
05
指数函数的值域为 $(0, +infty)$。
指数函数的图像
当 $a > 1$ 时，图像位于第一象限和第四象限 ；
绘制方法：选择一个 $a$ 值，例如 $y = 2^x$ 或 $y = frac{1}{2}^x$，然后使用计算器或数学软件绘制图
数学人教A版必修第一册4.2.2指数函数的图像与性质课件
轴且与轴无交点.
(2)所有图像都过(0,1)
之势;y =
1 x
和y
2
=
1 x
呈下降之势.
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
y=
不同点：
y = 2x 和y = 3x 的图像从左到右呈上升
()
1
3
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
思考2：你认为是什么原因造成y = 2x 和y = 3x 的图像从
的大小是否有关？如有，底数的大小是如何影响函
数图像在第一象限内的分布呢？
y=
()
1
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
底数越大，其图像越在上方
y=
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
探
究
新
知
思考4:你能根据对上述四个函数图像及其性质的分
析，填写下表吗？
0<a<1
图像
y
y
4
4
3
3
2
2
1
1
–2 –1 O 1
(2)判断该函数的奇偶性和单调性．
1
解：(1)根据题意，函数 = (2)|| + 的图象过原点，则
有0 = + ，则 = −，
又由 () 的图象无限接近直线 = −2 但又不与该直线相交，
则 = 2，又由 + = 0，则 = −2，
(2)所有图像都过(0,1)
之势;y =
1 x
和y
2
=
1 x
呈下降之势.
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
y=
不同点：
y = 2x 和y = 3x 的图像从左到右呈上升
()
1
3
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
思考2：你认为是什么原因造成y = 2x 和y = 3x 的图像从
的大小是否有关？如有，底数的大小是如何影响函
数图像在第一象限内的分布呢？
y=
()
1
3
x
y
7
6
y = 3x
5
4
底数越大，其图像越在上方
y=
()
1
2
x
3
2
y = 2x
1
–2 –1
O 1
–1
2 x
探
究
新
知
思考4:你能根据对上述四个函数图像及其性质的分
析，填写下表吗？
0<a<1
图像
y
y
4
4
3
3
2
2
1
1
–2 –1 O 1
(2)判断该函数的奇偶性和单调性．
1
解：(1)根据题意，函数 = (2)|| + 的图象过原点，则
有0 = + ，则 = −，
又由 () 的图象无限接近直线 = −2 但又不与该直线相交，
则 = 2，又由 + = 0，则 = −2，
指数函数及其性质的应用 课件
1.明确求定义域的依据
求定义域的依据有：分式的分母不为0，偶次根式的被开方数
非负，0指数幂的底数不为0，如本例中的分母不为0，即
2x-1≠0.
2.重视常用代数变形方法的应用
如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变
形技巧的应用.如本例中对
1 2x
的变1 形用到了通分，对
12
2x 2x
的1变形用到了分子分母同乘以2x.
【解析】1.由32x－1－1≥0得32x－1≥3－2.
9
因为函数y=3x在R上是增函数,
所以2x－1≥－2故x≥－1 .
2
所以函数 y 32x的－1－定1义域为［
9
答案：［－1+, ∞)
2
+∞－).1 ,
2
2.(1)( )5－0.24与
6
(5可)－以14 看作函数y=( )x的5两个函数值.由
1
3.强化定义域优先的意识 解答函数问题始终是在定义域内进行的，如本例中定义域为 {x∈R|x≠0}，所以第(3)问要分别证明x＞0,x＜0时都有 f(x)＞0.
【类题试解】已知函数f(x)=2ax+2(a为常数)， (1)求函数f(x)的定义域． (2)若a＞0，试证明函数f(x)在R上是增函数. (3)当a=1时，求函数y=f(x),x∈(－1,3］的值域．
类型 二 指数函数单调性的综合应用
【典型例题】
1.函数 y 32x－1－1 的定义域为______.
9
2.比较下列各组数的大小：
(1)(
5
)－0.24
与(
5
－1
)4
.
6
6
(2)1.90.3与1.92.3.
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个数(0,1 等)分别与之比较，从而得出结果．
1－1.已知 a＝ 52－1，函数 f(x)＝ax，若实数 m、n 满足 f(m) ＞f(n)，则 m、n 的大小关系为___m_＜_n___.
解析：a＝ 52－1∈(0,1)，函数 f(x)＝ax 在 R 上递减，由 f(m) ＞f(n)得 m＜n.
解：(1)∵y1＝y2，∴a3x+1＝a-2x， ∴3x＋1＝-2x，∴x＝-15. (2)∵y1>y2，∴a3x-1>a-2x. 当 a>1 时，由 3x＋1>－2x，得 x>－15； 当 0<a<1 时，由 3x＋1<－2x，得 x<－15.
指数函数的最值问题
例 3：函数 f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1)在区间[1,2]上的最大值 比最小值大a2，求 a 的值．
思维突破：结合函数单调性，对 a 进行分类讨论求值． 解：(1)若 a＞1，则 f(x)在[1,2]上递增， ∴a2－a＝a2，即 a＝32或 a＝0(舍去)． (2)若 0＜a＜1，则 f(x)在[1,2]上递减， ∴a－a2＝a2，即 a＝12或 a＝0(舍去)． 综上所述，所以 a＝12或 a＝32.
指数函数 y＝ax(a＞1)为单调增函数，在闭 区间[s，t]上存在最大、最小值，当 x＝s 时，函数有最小值 as； 当 x＝t 时，函数有最大值 at.指数函数 y＝ax(0＜a＜1)为单调减 函数，在闭区间[s，t]上存在最大、最小值，当 x＝s 时，函数有 最大值 as；当 x＝t 时，函数有最小值 at.
4 3
0
1，
∴ 0.62
4 3
2
3
.
(3)
1 3
0.3
30.3 ，－0.3<－0.2，
∴30.3 30.2 ，
∴
1 3
0.3
30.2 .
在进行数的大小比较时，①若底数相同，则 可根据指数函数的增减性得出结果；②若底数不相同，则首先 考虑把它们化成同底数；不能化成同底数时，就考虑引进第三
3－1.函数 f(x)＝ax(a＞0，a≠1)在区间[1,2]上的最大值与最 小值之和为 6，则 a 的值为__2__.
解析：∵f(x)＝ax 在区间[1,2]上是单调函数，∴f(x)在 x=1 或 x=2 时取得最值．∴a+a2=6，解得 a=2 或 a=-3，∵a＞0，∴a=2.
例 4：求函数 y＝14x＋12x＋1 的值域． 错因剖析：令 t＝12x 时，易忽略 t＞0 导致出错． 正解：令 t＝12x，则 y＝f(t)＝t2＋t＋1＝t＋122＋34. ∵t＞0，f(t)＝t＋122＋34在(0，＋∞)上为增函数， ∴y∈(1，＋∞)，即函数的值域为(1，＋∞)．
(2)a2＋a＋2＝
a
1 2
2
＋74>1.
∴y＝(a2＋a＋2)x 在 R 上是增函数．
∴x>1－x，解得 x>12. ∴x 的取值范围是 x>12.
利用指数函数的单调性解不等式需将不等
式两边都凑成底数相同的指数式，并判断底数与 1 的大小．
2－1.设 y1＝a3x+1，y2＝a-2x，其中 a＞0，a≠1，确定 x 为何 值时，有：(1)y1＝y2；(2)y1＞y2.
(3)指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数 大小的关系的判断方法：作直线 x＝1，与图象交点纵坐标即为 指数函数的底数值(如图 1)．
图1
利用指数函数的单调性比较大小
例 1：比较下列各组数的大小：
(1)
3 4
1.8
与
3 4
2.6
；
(2)
0.62
与
4 3
2 3
；
(3)
1 3
指数函数的性质及其应用
1．函数 y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质：
a>1
0<a<1
图 象
定义域 R，值域(0，＋∞)
性 质
图象过定点(0,1)
(1)当 x＞0 时，__y_＞__1_； (2)当 x＞0 时，0_＜__y_＜__1_； 当 x＜0 时，_0_＜__y_＜__1__. 当 x＜0 时，__y_＞__1_.
解指数不等式
例
2：(1)解不等式
1 2
x2
≤2；
(2)已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1-x，求 x 的取值范围．
思维突破：利用指数函数的单调性求解．
解：(1)
1 2
x2
(2
1) x2
22x ，
∴原不等式等价于 22-x≤21.
∵y＝2x 是在 R 上的增函数，
∴2－x≤1，解得 x≥1.
0.3
与30.2
.
思维突破：(1)直接利用函数
y
3 4
x
的单调性进行比较；
(2)中引入中间数；(3)化为同底后进行比较．
解：(1)∵0<34<1，
∴
y
3 4
xБайду номын сангаас
在定义域
R
内是减函数．
又∵－1.8>－2.6，
∴
3 4
1.8
3 4
2.6
.
(2)∵0.6-2>0.60＝1，
4 3
2
3
重难点 指数函数 y＝ax(a＞0，a≠1)的性质 (1)当底数 a 大小不定时，必须分“a＞1”和“0＜a＜1”两 种情况讨论．
(2)当 0＜a＜1 时，x→＋∞，y→0； 当 a＞1 时，x→－∞，y→0. 当 a＞1 时，a 的值越大，图象越靠近 y 轴，递增的速度越 快； 当 0＜a＜1 时，a 的值越小，图象越靠近 y 轴，递减的速度 越快(其中“x→＋∞”意义是“x 接近于正无穷大”)不同．
(3)在 R 上是_增__函__数__.
(4)在 R 上是_减__函__数__.
2.(1)若 a＞b＞1，当 x＞0 时，函数 y＝ax 图象在 y＝bx 图象 的_上__方；当 x＜0 时，函数 y＝ax 图象在 y＝bx 图象的_下__方．
(2)若 1＞a＞b＞0，当 x＞0 时，函数 y＝ax 图象在 y＝bx 图 象的_上__方；当 x＜0 时，函数 y＝ax 图象在 y＝bx 图象的_下__方．