指数函数及其性质课件
合集下载
高一数学指数函数ppt课件
与对数式的转换、对数运算的性质等。
拓展延伸：挑战更高难度题目
复杂指数函数的性质研究
引入更复杂的指数函数形式，如复合指数函 数、分段指数函数等，探讨它们的性质和应 用。
指数函数在实际问题中的应 用
结合实际问题，如复利计算、人口增长等，展示指 数函数的应用价值，并引导学生运用所学知识解决 实际问题。
指数函数与其他数学知识 的综合应用
指数函数图像特征
当a>1时，图像在x轴上方，且随着x 的增大，y值迅速增大；当0<a<1时， 图像在x轴上方，但随着
当a>1时，指数函数在R上是增函数；当0<a<1时，指数函数在R 上是减函数。
指数函数的值域
指数函数的值域为(0, +∞)。
在解题时，要注意判断题目所给 条件是否满足对称性，以便更好
地应用这一性质。
05 复杂问题解决方 法与策略
分段讨论法在处理复杂问题时应用
分段讨论法概念
将复杂问题按照一定条件分成若 干段，每一段内问题相对简单，
易于解决。
分段讨论法应用
在处理指数函数问题时，当自变量 在不同区间内取值时，函数性质可 能发生变化，此时可以采用分段讨 论法。
数形结合思想概念
将数学中的“数”与“形”结合起来，通过图形 直观展示数量关系，帮助理解问题本质。
数形结合思想应用
在处理指数函数问题时，可以通过绘制函数图像 来观察函数性质，如单调性、周期性等。
数形结合思想优势
通过数形结合可以更加直观地理解问题，提高解 题准确性。
06 总结回顾与拓展 延伸
关键知识点总结回顾
幂的乘方规则
$(a^m)^n = a^{m times n}$，幂的乘方，底 数不变，指数相乘。
指数函数及其性质(课件)
4
2
x
指数函数定义：
函数 y=ax
（a>0,a≠1）叫做指数函数,
系数为1
y＝ a
x
自变量
常数
探究1：为什么要规定a>0,且a
①若a=0，则当x≤0时， a 无意义
x
x
1呢？
②若a<0，对于x的某些数值，可能使 a 无意义
如：a 、a 等等
③若a=1，则对于任何x R，
1 2
1 4
a =1，是一个常量，没有研究的必要性.
x
答案：（8）是指数函数
1：指出下列函数那些是指数函数：
(1) y a ;
x
(2) y x ;
4
(3) y 7 x ;
(4) y (4) ;
x
(5) y ;
x
x
(7) y x ;
x
1 (8) y (2a 1) (a , a 1) 2
1 (6) y
y2
x
引例：2 生物学细胞分裂时,第一次由1 个分裂成2个，第2次由2个分 裂成4个，如此下去，如果第x 次分裂得到y个细胞，那么细胞 个数y与分裂次数x的函数关系 是什么？
分裂
次数
x
第 一 次
第 二 次
第 三 次
第 四 次
第x次
一 个 细 胞
…...
表达式
y=2
细胞 总数
x
y 2
1
2
2
2
3
2 …...
指数函数及其性质
• 传说古代印度有一个国王喜爱象棋,中国智 者云游到此,国王得知智者棋艺高超,于是派 人请来智者与其对弈,并且傲慢地说:“如果 你赢了,我将答应你任何要求.”智者心想:我 应治一治国王的傲慢,当国王输棋后,智者说: 陛下只须派人用麦粒填满象棋上所有空格, 第1格2粒,第2格4粒,第3格8粒, ……，以后 每格是前一格粒数的2倍。国王说,这太简单 了,吩咐手下马上去办,过了好多天，手下惊 慌报告说：不好了。你猜怎样？
2
x
指数函数定义：
函数 y=ax
（a>0,a≠1）叫做指数函数,
系数为1
y＝ a
x
自变量
常数
探究1：为什么要规定a>0,且a
①若a=0，则当x≤0时， a 无意义
x
x
1呢？
②若a<0，对于x的某些数值，可能使 a 无意义
如：a 、a 等等
③若a=1，则对于任何x R，
1 2
1 4
a =1，是一个常量，没有研究的必要性.
x
答案：（8）是指数函数
1：指出下列函数那些是指数函数：
(1) y a ;
x
(2) y x ;
4
(3) y 7 x ;
(4) y (4) ;
x
(5) y ;
x
x
(7) y x ;
x
1 (8) y (2a 1) (a , a 1) 2
1 (6) y
y2
x
引例：2 生物学细胞分裂时,第一次由1 个分裂成2个，第2次由2个分 裂成4个，如此下去，如果第x 次分裂得到y个细胞，那么细胞 个数y与分裂次数x的函数关系 是什么？
分裂
次数
x
第 一 次
第 二 次
第 三 次
第 四 次
第x次
一 个 细 胞
…...
表达式
y=2
细胞 总数
x
y 2
1
2
2
2
3
2 …...
指数函数及其性质
• 传说古代印度有一个国王喜爱象棋,中国智 者云游到此,国王得知智者棋艺高超,于是派 人请来智者与其对弈,并且傲慢地说:“如果 你赢了,我将答应你任何要求.”智者心想:我 应治一治国王的傲慢,当国王输棋后,智者说: 陛下只须派人用麦粒填满象棋上所有空格, 第1格2粒,第2格4粒,第3格8粒, ……，以后 每格是前一格粒数的2倍。国王说,这太简单 了,吩咐手下马上去办,过了好多天，手下惊 慌报告说：不好了。你猜怎样？
高中数学必修一《指数函数及其性质》PPT课件
由题可得m2—m+1=1，解得m=0或1满足题意。
②若函数f(x)=(2a-1)x是指数函数，则实数a 的取值范围是什么?
1
由题可得2a-1>0且2a-1≠1， 解得a> 2 且a≠1满足题意。
③已知指数函数f(x)的图象经过点（2，9）， 则f(0)、 f(1)、 f(-2)的值分别为多少？
设这f种(x)求=a解x（析a式>0方且法a≠叫1)做,由待f(定2)=系9得数a法2=。9,解得a=3
例2.在同一直角坐标系中，观察函数 y 2 x , y 3x ,
y
(1)x 2
,
y
(1)x 3
y
的图象。
y
1
x
yy
3
3x
y
1 2
x
4
3
y 2x
2
1
-3 -2 -1
01
23
x
-1
指数函数图象的性质
y=ax 图象
a >1
y
0<a<1
y
定义域 值域 定点
o
x
ox
(--∞，+∞) （左右无限延伸）
-1 2 2、若函数 y (k 2)a x 2 b(a 0,且a 1) 是指数函数，则 k
，b
。
3、若指数函数的图象经过点 (4, 1 ), 则 f (3)
8
16
（3,4） 4、函数 y a x3 3(a 0,且a 1) 的图象恒经过定点
。
课堂小结
1.说说指数函数的概念。 2.记住指数函数图象和性质。
特别提醒：
(1) 有些函数貌似指数函数，实际上却不是， 如 y 3x 1
②若函数f(x)=(2a-1)x是指数函数，则实数a 的取值范围是什么?
1
由题可得2a-1>0且2a-1≠1， 解得a> 2 且a≠1满足题意。
③已知指数函数f(x)的图象经过点（2，9）， 则f(0)、 f(1)、 f(-2)的值分别为多少？
设这f种(x)求=a解x（析a式>0方且法a≠叫1)做,由待f(定2)=系9得数a法2=。9,解得a=3
例2.在同一直角坐标系中，观察函数 y 2 x , y 3x ,
y
(1)x 2
,
y
(1)x 3
y
的图象。
y
1
x
yy
3
3x
y
1 2
x
4
3
y 2x
2
1
-3 -2 -1
01
23
x
-1
指数函数图象的性质
y=ax 图象
a >1
y
0<a<1
y
定义域 值域 定点
o
x
ox
(--∞，+∞) （左右无限延伸）
-1 2 2、若函数 y (k 2)a x 2 b(a 0,且a 1) 是指数函数，则 k
，b
。
3、若指数函数的图象经过点 (4, 1 ), 则 f (3)
8
16
（3,4） 4、函数 y a x3 3(a 0,且a 1) 的图象恒经过定点
。
课堂小结
1.说说指数函数的概念。 2.记住指数函数图象和性质。
特别提醒：
(1) 有些函数貌似指数函数，实际上却不是， 如 y 3x 1
指数函数图像和性质_课件
2.2
2
1.8
fx = 1.7x
1.6
1.4
1.2
1
1.7
0.3
1 且
0.9
3.1
1
-2 -1.5 -1 -0.5
0.8
0.6
0.4
0.2
0.5 -0.2
1
1.5
2
2.5
从而有
-0.4
1.7
或者
0.3
> 0 .9
3.1
利用函数图像或 中间变量（一般 为0或1）进行比 较
3.2
3
2.8
2.6
2.4
x
4.5
同底指数幂比大 小，构造指数函数， 利用函数单调性解决
4
3.5
fx = 1.7x
2.5 2 1.5 1
3
1 .7
2 .5
< 1.7
3
-2 -1
0.5
1
2
3
4
5
6
-0.5
②
0.8
0.1
0.80.2 ，
同底比较大小
解：利用函数单调性
0.8
0.1
与
0.8
0.2
的底数是0.8，它们可以看成函数 y= 0.8 x 当x=-0.1和-0.2时的函数值； 因为0<0.8<1，所以函数y= 0.8 x 在R是减函数，
2.2
2
1.8
fx = 0.9x
1.6
1.4
1.2
1.7
0.3
>
1.7
0
=
0.9
0
>
0 .9
3.1
-0.5
高中数学指数函数图像及其性质优秀课件
例4、求下列函数的定义域和值域：
（1）y 1 2；x （2） y 2；1x
（3）y ( 1 )3；2x（x2 4）
4
（5）y=4x+2x+1-3.
y ； 2 x 1
2x 1
总结：
求函数y a f (x)的定义域：即求函数 y=f(x) 的定义域。 求函数y a f (x)的值域：先求 y=f(x) 的值域，再令f (x) t， 由指数函数y at的 单调性 确定y a f (x)的值域。
a 1 y 1x 1 无研究意义
定义: 函数 y a x (a 0，且a 1)
叫指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R.
问以下函数是指数函数吗？ (1) y 4x ; (2) y x4 ; (3) y 4x ; (4) y (4)x ;
(5) y x ; (6) y 4x2 ; (7) y xx ; (8) y (1)x 1 ;
两个的共同形式： y a x
思考：对于怎样的 a , y a x 是一个函数,且定义域R.
问题1： 某种细胞分裂时,由1个分裂为2个,2个分为4 个,……, 一个这样的细胞分裂x次后，得到的细胞的个 数y与x的函数关系式是什么？
y 2x
y ax
说明：x 1 2
a0
a 0
x 1 a 0
(3) ( 7 )0.81 ，(10)0.92 ；(4) 1.70.3 ，0.93.1 .
10
7
解：(1) 1.7 1， y 1.7x 是增函数，
又 2.5 3 1.72.5 1.73 .
(2) 0 0.8 1， y 0.8x 是减函数，
又 0.2 0.1 0.80.1 0.80.2
y (1) x26x17的单调递增区间是- ，3，单调递减区间是3，
《指数函数》PPT课件
商的乘方
商的乘方等于乘方的商。 如：$(a/b)^n = a^n div b^n$。
指数函数的极限与连续
极限性质
当底数大于1时，指数函数随着指 数的增大而趋于无穷大；当底数 在0到1之间时，指数函数随着指 数的增大而趋于0。
连续性
指数函数在其定义域内是连续的， 即对于任意两个相邻的点，函数值 之间的差可以无限小。
。
工程学
在工程学中，指数函数可用于 描述材料疲劳、信号处理等问
题。
计算机科学
在计算机科学中，指数函数可 用于算法分析、图像处理等领
域。
THANKS
感谢观看
02 指数函数的运算 性质
指数函数的四则运算
加法运算
同底数指数相加，指数 不变，底数相乘。如：
$a^m + a^m = 2a^m$。
减法运算
同底数指数相减，指数 不变，底数相除。如： $a^m - a^m = 0$。
乘法运算
同底数指数相乘，指数 相加，底数不变。如：
$a^m times a^n = a^{m+n}$。
级数展开的定义
将指数函数表示为无穷级数的形式，便于分析和 计算。
泰勒级数展开
通过泰勒公式将指数函数展开为幂级数，适用于 函数在某点的局部逼近。
麦克劳林级数展开
特殊形式的泰勒级数，用于在原点处展开指数函 数。
指数函数的傅里叶变换
傅里叶变换的概念
01
将时间域的函数转换为频域的函数，便于分析信号的频率特性
指数函数在生物学中的应用
细菌增长模型
指数函数可以描述细菌在适宜环 境下的增长情况，用于预测细菌
数量。
药物代谢动力学
指数函数可以模拟药物在体内的 代谢过程，用于计算药物浓度随
指数函数的概念图象及性质PPT课件
栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
(4)y＝(a2＋2)－x＝a2＋1 2x，底数a2＋1 2∈0，12，前面系数为 1， 指数为自变量 x，故它是指数函数． (5)y＝2×3x＋a(a≠0)，3x 前面系数为 2≠1，故它不是指数函 数． 故(1)(3)(4)为指数函数．
栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
指数式的比较大小问题 比较下列各组数的大小． (1)1.8－π，1.8－3；(2)1.7－0.3，1.9－0.3； (3)0.80.6，0.60.8.
栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
【解】 (1)构造函数 f(x)＝1.8x. 因为 a＝1.8＞1，所以 f(x)＝1.8x 在 R 上是增函数． 因为－π＜－3，所以 1.8－π＜1.8－3. (2)因为 y＝11..79x在 R 上是减函数， 所以11..79－－00..33＝11..79－0.3＞11..790＝1. 又因为 1.7－0.3 与 1.9－0.3 都大于 0， 所以 1.7－0.3＞1.9－0.3.
栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
(3)取中间值 0.80.8. 因为 y＝0.8x 在 R 上单调递减，而 0.6＜0.8， 所以 0.80.6＞0.80.8. 又因为00..6800..88＝00..860.8＞00..680＝1，且 0.60.8＞0， 0．80.8>0，所以 0.80.8＞0.60.8.所以 0.80.6＞0.60.8.
x＝0 时，__y_＝__1___； 质 y值
x<0 时__0_<_y_<_1__
x>0 时，_0_<__y_<_1__； x＝0 时，_y_＝__1____；
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
(4)y＝(a2＋2)－x＝a2＋1 2x，底数a2＋1 2∈0，12，前面系数为 1， 指数为自变量 x，故它是指数函数． (5)y＝2×3x＋a(a≠0)，3x 前面系数为 2≠1，故它不是指数函 数． 故(1)(3)(4)为指数函数．
栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
指数式的比较大小问题 比较下列各组数的大小． (1)1.8－π，1.8－3；(2)1.7－0.3，1.9－0.3； (3)0.80.6，0.60.8.
栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
【解】 (1)构造函数 f(x)＝1.8x. 因为 a＝1.8＞1，所以 f(x)＝1.8x 在 R 上是增函数． 因为－π＜－3，所以 1.8－π＜1.8－3. (2)因为 y＝11..79x在 R 上是减函数， 所以11..79－－00..33＝11..79－0.3＞11..790＝1. 又因为 1.7－0.3 与 1.9－0.3 都大于 0， 所以 1.7－0.3＞1.9－0.3.
栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
(3)取中间值 0.80.8. 因为 y＝0.8x 在 R 上单调递减，而 0.6＜0.8， 所以 0.80.6＞0.80.8. 又因为00..6800..88＝00..860.8＞00..680＝1，且 0.60.8＞0， 0．80.8>0，所以 0.80.8＞0.60.8.所以 0.80.6＞0.60.8.
x＝0 时，__y_＝__1___； 质 y值
x<0 时__0_<_y_<_1__
x>0 时，_0_<__y_<_1__； x＝0 时，_y_＝__1____；
指数函数及其性质PPT课件
05 指数函数与其他函数的比 较
与线性函数的比较
线性函数
y=kx+b，表示的是一种 匀速变化，增加或减少的 趋势。
指数函数
y=a^x，表示的是一种爆 炸式增长或衰减的趋势。
比较
线性函数的变化速率是恒 定的，而指数函数的变化 速率会随着x的增大或减小 而快速增大或减小。
与幂函数的比较
01
幂函数
y=x^n，当n>0时，表示的是一种增长趋势；当n<0时，表示的是一种
包括单调性、奇偶性、周期性等。
指数函数的应用
在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
练习与思考
练习题
根据指数函数的性质，判断下列哪些是指数函数，哪些不是，并说明理由。
思考题
指数函数在生活和生产中有哪些应用？请举例说明。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
指数函数的运算性质
01
基本运算性质
02
$a^m times a^n = a^{m+n}$
03
$(a^m)^n = a^{mn}$
04
$frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
05
复合运算性质：如果 $u(x) = b^x$ 且 $b > 0$ 且 $b neq 1$，则 $y = a^{u(x)}$ 也是指数函数。
04
05
指数函数的值域为 $(0, +infty)$。
指数函数的图像
当 $a > 1$ 时，图像位于第一象限和第四象限 ；
绘制方法：选择一个 $a$ 值，例如 $y = 2^x$ 或 $y = frac{1}{2}^x$，然后使用计算器或数学软件绘制图
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y
1 y 2
x
1 y 3
x
ห้องสมุดไป่ตู้
y 3x y 2x
1 0
1 y 3
x
1 y 2
x
x
当a 1时，a越大越靠近y轴， 当0<a 1时，a越小越靠近y轴.
比较 a, b, c, d
的大小
yc yd
x
x
Y
yb
x
ya
x
O
X
π0
f ( x) a x (a 0，且a 1)
（1，）
所以
f (0), f (3), f (1)
解：因为 f ( x) a x的图象经过点 （1，） ，
f (1) ，
解得 a ，于是
f ( x) ，
x
所以，f (0) 1，
0
f 3 3
.
解:（1）由 x 2 有意义，得x-2≥0即x ≥2，
∴原函数定义域为{x | x ≥2 } .
1 （2）由 2 x 1有意义，得2x-1≠0，则
∴原函数定义域为： x / x
1 x 2
1 2
用描点法画出函数 y 2 x 和
表1：
x
y =2x
1 y 2
1
f 1
1
比较下列各题中两个值的大小：
2.1 和2.1
1.3
1.7
3.1
0.3 和0.3
0.4
0.1
1.9 和1.7
1.9
2.11.3 ,2.13.1 可看作函数 y 2.1x的两个函数 解（1） 值，由于地底数 2.1 1，所以指数函数在R上是
2.11.3 2.13.1 （2） .30.4 ,0.30.1 可看作函数 y 0.3x的两个函数 0 值，由于底数 0 0.8 1 ，所以指数函数 y 0.3x
x
有
什么关系？ （2）两个函数图象有什么共同点？ （3）两个函数的图象有何不同之处？
问题1：这两个函数图像关于y轴对称，
问题2：这两个函数图像都过定点（0.1）
问题3：y 2 的函数图像 随着自变量x的增 y 2 x在R 大函数值y也在增大，则指数函数 上为增函数； x 1 而 y 的图像随自变量x的增大而函数 x 2 1 值y在减小，所以指数函数 y 在R上 2 位减函数。
1.本节课学了哪些知识?
（1）指数函数的定义， （2）指数函数的图象和性质.
2.记住两个基本图形:
1 y ( )x 2
y
y 2x
1
y=1
o
x
1.P58练习1 2.P45 三维设计 题型一、题型二
x
的图象.
…
… …
x
-3
-2
-1
0
1
2
3
… …
表2：
x
1 y 2
-3
-2
-1
0
1
2
3
… …
…
x y
-3 8
-2
-1 2
0 1
1
1 2
8
x
y
-1
1 2
0
1
1
2
2
4
3
8
4
7
fx =
x 2
6
5
gx = 0.5x
4
3
2
1
-6
-4
-2
2
4
6
（1）函数
y 2 的图象与函数
x
1 y 2
所以 在R 上为减函数。 又因为 0.1 0.4，所以 0.30.1 0.30.4
增函数。 因为 1.3 3.1
1.91.7 和1.71.9不能看作同一个函数的两个函 （3）
数值 ，则有指数函数的性质知：
1.91.7 1.91.9 1 1.71.9 1.71.7 1
所以： 1.91.7 1.71.9
x
通过作图，我们发现y=ax的图象大致分
两种类型，即0＜a＜1和a＞1，图象如下：
y =a x (0＜a ＜1) (0,1) y=1 0 x 0 y=1 (0,1) x y y y=ax (a＞ 1)
指数函数的性质
0<a<1
a>1
图 象
定义域 值域
性 质
R （0，+∞） 过定点（0，1），即x=0时，y=1 在 R上是减函数 在R上是增函数
x 1
y 4
x
1 x y ya ya 2 判断一个函数是否为指数函数的依据:
2x
是否是形如 y a (a 0, 且a 1) 的函 数,其中系数为1,底数满足a 0且a 1,指数位 置上是自变量x.
x
（1） y 3
x 2
；
（2） y 8
1 2 x 1
y a (a 0，且a 1)
x
为什么规定
a 0，且 a 1？
注意: (1) 规定
x 0 a 0 x 0
a 0, a 1
a x 恒等于零
无意义
a 0 无意义
a 1 是一个常值函数，无研究必要
系数为1
y＝1 · a
x
自变量
常数
y4
x
yx
4