指数函数及其性质 课件PPT
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指数函数的图象及性质 完整课件PPT
(2)若0<a<1，则函数y=ax在区间［-1，2］上是递减的，
当x=-1时，f(x)取得最大值f(-1)=2a-1-4=10,∴a=1 .
7
综上所述，a的值为
7或
1 7
.
答案：
7或
1 7
【误区警示】
【防范措施】 1.加强分类讨论的意识 在解含字母的指数函数的有关问题时，(x)=ax在a＞1和0＜a ＜1两种情况下，最大值和最小值的取值情况是不同的. 2.重视指数函数单调性的应用 对一些常用的指数函数的性质要记准、记牢，的大小，确定 指数函数的单调性，就可以得到最大值、最小值，进而列方 程求解.
10 5 3 4 , 3, 1 , 3. 3 10 5
＞0且a≠1时，总有 f(2)=a2－2－3=a0－3=1－3=－2， 所以函数f(x)=ax－2－3必过定点(2，-2). 答案：(2，-2)
【互动探究】若题1中的“a＞1”改为“a＞0,且a≠1”， “y=(a－1)x2”改为“ y=x+a”，则图象可能是( )
22
2
【易错误区】指数函数中忽视分类讨论致误 【典例】(2013·淮安高一检测)函数f(x)=ax(a＞0,且a≠1)在 ［0,1］上的最大值与最小值的差为 1，则a=______.
2
【解析】(1)当a＞1时，函数f(x)=ax在［0,1］上是增函数.所以
当x=1时，函数f(x)取最大值；当x=0时，函数f(x)取最小值.
【解析】＞1时，函数y=ax的图象过点(0,1)，分布在第一、 二象限，且从左到右是上升的. 直线y=x+a过第一、二、三象 限，与y轴的交点为(0,a),在点(0,1)的上方. A，B，C，D四 项均不符合此要求.当0＜a＜1时，函数y=ax的图象过点 (0,1)，分布在第一、二象限，且从左到右是下降的. 直线 y=x+a过第一、二、三象限, 与y轴的交点为(0,a)，在点(0,1) 和点(0,0)项符合此要求.
指数函数图像和性质_完整ppt课件
-1.5
-1
-0.5
-0.2
-0.4
0.5
1
1.5
2
2.5
3.2
3
2.8
2.6
2.4
2.2
2 1.8
f x = 0.9 x
1.6
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
-0.5 -0.2
-0.4
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
13
练习： 1、已知下列不等式，试比较m、n的大小：
(2)m (2)n
ppt精选版
1
y y=x3
y=x
y=x2
1
y=x1/2
0
1
X
a>0
y y=x-2
y=x-1
1
y=x-1/2
0
1
X
a<0
（1）图象都过（0，0）点和 （1，1）点；
（2）在第一象限内，函数值 随x 的增大而增大，即
在（0，+∞)上是增函
数。
（1）图象都过（1，1）点；
（2）在第一象限内，函数值随 x 的增大而减小，即在
解 ：根据指数函数的性质， 由图像得，
1.70.3 1 且 0.93.1 1 从而有
1.70.3 > 0.93.1
或者
1.70.3 > 1.7 0 > 0.90 > 0.93.1
ppt精选版
f x = 1.7
3.2
3
2.8
2.6
2.4
2.2
2
1.8
x
1.6
高中数学必修一《指数函数及其性质》PPT课件
由题可得m2—m+1=1，解得m=0或1满足题意。
②若函数f(x)=(2a-1)x是指数函数，则实数a 的取值范围是什么?
1
由题可得2a-1>0且2a-1≠1， 解得a> 2 且a≠1满足题意。
③已知指数函数f(x)的图象经过点（2，9）， 则f(0)、 f(1)、 f(-2)的值分别为多少？
设这f种(x)求=a解x（析a式>0方且法a≠叫1)做,由待f(定2)=系9得数a法2=。9,解得a=3
例2.在同一直角坐标系中，观察函数 y 2 x , y 3x ,
y
(1)x 2
,
y
(1)x 3
y
的图象。
y
1
x
yy
3
3x
y
1 2
x
4
3
y 2x
2
1
-3 -2 -1
01
23
x
-1
指数函数图象的性质
y=ax 图象
a >1
y
0<a<1
y
定义域 值域 定点
o
x
ox
(--∞，+∞) （左右无限延伸）
-1 2 2、若函数 y (k 2)a x 2 b(a 0,且a 1) 是指数函数，则 k
，b
。
3、若指数函数的图象经过点 (4, 1 ), 则 f (3)
8
16
（3,4） 4、函数 y a x3 3(a 0,且a 1) 的图象恒经过定点
。
课堂小结
1.说说指数函数的概念。 2.记住指数函数图象和性质。
特别提醒：
(1) 有些函数貌似指数函数，实际上却不是， 如 y 3x 1
②若函数f(x)=(2a-1)x是指数函数，则实数a 的取值范围是什么?
1
由题可得2a-1>0且2a-1≠1， 解得a> 2 且a≠1满足题意。
③已知指数函数f(x)的图象经过点（2，9）， 则f(0)、 f(1)、 f(-2)的值分别为多少？
设这f种(x)求=a解x（析a式>0方且法a≠叫1)做,由待f(定2)=系9得数a法2=。9,解得a=3
例2.在同一直角坐标系中，观察函数 y 2 x , y 3x ,
y
(1)x 2
,
y
(1)x 3
y
的图象。
y
1
x
yy
3
3x
y
1 2
x
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y 2x
2
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-3 -2 -1
01
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x
-1
指数函数图象的性质
y=ax 图象
a >1
y
0<a<1
y
定义域 值域 定点
o
x
ox
(--∞，+∞) （左右无限延伸）
-1 2 2、若函数 y (k 2)a x 2 b(a 0,且a 1) 是指数函数，则 k
，b
。
3、若指数函数的图象经过点 (4, 1 ), 则 f (3)
8
16
（3,4） 4、函数 y a x3 3(a 0,且a 1) 的图象恒经过定点
。
课堂小结
1.说说指数函数的概念。 2.记住指数函数图象和性质。
特别提醒：
(1) 有些函数貌似指数函数，实际上却不是， 如 y 3x 1
指数函数及其性质课件
指数函数及其性 质ppt课件
目录
• 指数函数简介 • 指数函数性质 • 指数函数与其他数学知识的结合 • 指数函数在实际问题中的应用 • 指数函数的扩展与深化理解
01
指数函数简介
定义与特性
定义
指数函数是一种数学函数，其形 式为 y = a^x，其中 a > 0 且 a ≠ 1，x 是自变量，y 是因变量。
3
应用
复合指数函数在数学、物理、工程等领域有广泛 应用，如计算复利、解决物理问题等。
自然指数函数与欧拉数
定义
自然指数函数是指数函数 (e^x) 的反函数，也称 为欧拉数。
性质
自然指数函数具有连续、可导、可微等性质，且 (e^x) 的导数等于自然指数函数。
应用
自然指数函数在数学、物理、工程等领域有广泛 应用，如计算复利、解决物理问题等。
指数函数的周期性
根据周期函数的定义，判断指数函 数的周期性，并举例说明。
周期性的应用
介绍周期性在数学、物理等领域的 应用，如三角函数的周期性等。
有界性
有界函数的定义
如果存在两个常数M和m，使得对于定义域内的每一个x，都有m≤f(x)≤M，则称 f(x)为有界函数。
指数函数的有界性
根据有界函数的定义，判断指数函数的有界性，并举例说明。
特性
指数函数具有非线性特性，随着 x 的增大或减小，y 的值会以指数 速度增长或减小。
历史背景与发展
历史背景
指数函数的概念可以追溯到古代数学 ，但直到17世纪科学革命时期，数 学家们才开始深入研究指数的性质和 应用。
发展
随着微积分和复数理论的发展，指数 函数的理论基础不断完善，应用领域 也得到了极大的拓展。
04
目录
• 指数函数简介 • 指数函数性质 • 指数函数与其他数学知识的结合 • 指数函数在实际问题中的应用 • 指数函数的扩展与深化理解
01
指数函数简介
定义与特性
定义
指数函数是一种数学函数，其形 式为 y = a^x，其中 a > 0 且 a ≠ 1，x 是自变量，y 是因变量。
3
应用
复合指数函数在数学、物理、工程等领域有广泛 应用，如计算复利、解决物理问题等。
自然指数函数与欧拉数
定义
自然指数函数是指数函数 (e^x) 的反函数，也称 为欧拉数。
性质
自然指数函数具有连续、可导、可微等性质，且 (e^x) 的导数等于自然指数函数。
应用
自然指数函数在数学、物理、工程等领域有广泛 应用，如计算复利、解决物理问题等。
指数函数的周期性
根据周期函数的定义，判断指数函 数的周期性，并举例说明。
周期性的应用
介绍周期性在数学、物理等领域的 应用，如三角函数的周期性等。
有界性
有界函数的定义
如果存在两个常数M和m，使得对于定义域内的每一个x，都有m≤f(x)≤M，则称 f(x)为有界函数。
指数函数的有界性
根据有界函数的定义，判断指数函数的有界性，并举例说明。
特性
指数函数具有非线性特性，随着 x 的增大或减小，y 的值会以指数 速度增长或减小。
历史背景与发展
历史背景
指数函数的概念可以追溯到古代数学 ，但直到17世纪科学革命时期，数 学家们才开始深入研究指数的性质和 应用。
发展
随着微积分和复数理论的发展，指数 函数的理论基础不断完善，应用领域 也得到了极大的拓展。
04
《指数函数》PPT课件
商的乘方
商的乘方等于乘方的商。 如：$(a/b)^n = a^n div b^n$。
指数函数的极限与连续
极限性质
当底数大于1时，指数函数随着指 数的增大而趋于无穷大；当底数 在0到1之间时，指数函数随着指 数的增大而趋于0。
连续性
指数函数在其定义域内是连续的， 即对于任意两个相邻的点，函数值 之间的差可以无限小。
。
工程学
在工程学中，指数函数可用于 描述材料疲劳、信号处理等问
题。
计算机科学
在计算机科学中，指数函数可 用于算法分析、图像处理等领
域。
THANKS
感谢观看
02 指数函数的运算 性质
指数函数的四则运算
加法运算
同底数指数相加，指数 不变，底数相乘。如：
$a^m + a^m = 2a^m$。
减法运算
同底数指数相减，指数 不变，底数相除。如： $a^m - a^m = 0$。
乘法运算
同底数指数相乘，指数 相加，底数不变。如：
$a^m times a^n = a^{m+n}$。
级数展开的定义
将指数函数表示为无穷级数的形式，便于分析和 计算。
泰勒级数展开
通过泰勒公式将指数函数展开为幂级数，适用于 函数在某点的局部逼近。
麦克劳林级数展开
特殊形式的泰勒级数，用于在原点处展开指数函 数。
指数函数的傅里叶变换
傅里叶变换的概念
01
将时间域的函数转换为频域的函数，便于分析信号的频率特性
指数函数在生物学中的应用
细菌增长模型
指数函数可以描述细菌在适宜环 境下的增长情况，用于预测细菌
数量。
药物代谢动力学
指数函数可以模拟药物在体内的 代谢过程，用于计算药物浓度随
指数函数的概念图象及性质PPT课件
栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
(4)y＝(a2＋2)－x＝a2＋1 2x，底数a2＋1 2∈0，12，前面系数为 1， 指数为自变量 x，故它是指数函数． (5)y＝2×3x＋a(a≠0)，3x 前面系数为 2≠1，故它不是指数函 数． 故(1)(3)(4)为指数函数．
栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
指数式的比较大小问题 比较下列各组数的大小． (1)1.8－π，1.8－3；(2)1.7－0.3，1.9－0.3； (3)0.80.6，0.60.8.
栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
【解】 (1)构造函数 f(x)＝1.8x. 因为 a＝1.8＞1，所以 f(x)＝1.8x 在 R 上是增函数． 因为－π＜－3，所以 1.8－π＜1.8－3. (2)因为 y＝11..79x在 R 上是减函数， 所以11..79－－00..33＝11..79－0.3＞11..790＝1. 又因为 1.7－0.3 与 1.9－0.3 都大于 0， 所以 1.7－0.3＞1.9－0.3.
栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
(3)取中间值 0.80.8. 因为 y＝0.8x 在 R 上单调递减，而 0.6＜0.8， 所以 0.80.6＞0.80.8. 又因为00..6800..88＝00..860.8＞00..680＝1，且 0.60.8＞0， 0．80.8>0，所以 0.80.8＞0.60.8.所以 0.80.6＞0.60.8.
x＝0 时，__y_＝__1___； 质 y值
x<0 时__0_<_y_<_1__
x>0 时，_0_<__y_<_1__； x＝0 时，_y_＝__1____；
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
(4)y＝(a2＋2)－x＝a2＋1 2x，底数a2＋1 2∈0，12，前面系数为 1， 指数为自变量 x，故它是指数函数． (5)y＝2×3x＋a(a≠0)，3x 前面系数为 2≠1，故它不是指数函 数． 故(1)(3)(4)为指数函数．
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第4章 指数函数、对数函数和幂函数
指数式的比较大小问题 比较下列各组数的大小． (1)1.8－π，1.8－3；(2)1.7－0.3，1.9－0.3； (3)0.80.6，0.60.8.
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第4章 指数函数、对数函数和幂函数
【解】 (1)构造函数 f(x)＝1.8x. 因为 a＝1.8＞1，所以 f(x)＝1.8x 在 R 上是增函数． 因为－π＜－3，所以 1.8－π＜1.8－3. (2)因为 y＝11..79x在 R 上是减函数， 所以11..79－－00..33＝11..79－0.3＞11..790＝1. 又因为 1.7－0.3 与 1.9－0.3 都大于 0， 所以 1.7－0.3＞1.9－0.3.
栏目 导引
第4章 指数函数、对数函数和幂函数
(3)取中间值 0.80.8. 因为 y＝0.8x 在 R 上单调递减，而 0.6＜0.8， 所以 0.80.6＞0.80.8. 又因为00..6800..88＝00..860.8＞00..680＝1，且 0.60.8＞0， 0．80.8>0，所以 0.80.8＞0.60.8.所以 0.80.6＞0.60.8.
x＝0 时，__y_＝__1___； 质 y值
x<0 时__0_<_y_<_1__
x>0 时，_0_<__y_<_1__； x＝0 时，_y_＝__1____；
指数函数及其性质PPT课件
05 指数函数与其他函数的比 较
与线性函数的比较
线性函数
y=kx+b，表示的是一种 匀速变化，增加或减少的 趋势。
指数函数
y=a^x，表示的是一种爆 炸式增长或衰减的趋势。
比较
线性函数的变化速率是恒 定的，而指数函数的变化 速率会随着x的增大或减小 而快速增大或减小。
与幂函数的比较
01
幂函数
y=x^n，当n>0时，表示的是一种增长趋势；当n<0时，表示的是一种
包括单调性、奇偶性、周期性等。
指数函数的应用
在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
练习与思考
练习题
根据指数函数的性质，判断下列哪些是指数函数，哪些不是，并说明理由。
思考题
指数函数在生活和生产中有哪些应用？请举例说明。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
指数函数的运算性质
01
基本运算性质
02
$a^m times a^n = a^{m+n}$
03
$(a^m)^n = a^{mn}$
04
$frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$
05
复合运算性质：如果 $u(x) = b^x$ 且 $b > 0$ 且 $b neq 1$，则 $y = a^{u(x)}$ 也是指数函数。
04
05
指数函数的值域为 $(0, +infty)$。
指数函数的图像
当 $a > 1$ 时，图像位于第一象限和第四象限 ；
绘制方法：选择一个 $a$ 值，例如 $y = 2^x$ 或 $y = frac{1}{2}^x$，然后使用计算器或数学软件绘制图
指数函数及其性质ppt
指数函数的定义域和值域
定义域为实数集，值域为(0, +∞)。
指数函数的单调性
当a>1时，函数在定义域上单调递增；当0<a<1时，函数在定义域上单调递减。
应用案例展示
人口增长
人口增长可以用指数函数来描述，例如人口数量随时间的变 化。
复利计算
复利计算也可以用指数函数来表示，例如银行利息、投资回 报等。
学习目标
理解指数函数的定义和概念。 能够应用指数函数的性质解决实际问题。
熟悉指数函数的图像和性质。 了解指数函数与其他数学知识的联系。
02
指数函数的定义与性质
定义
01
02
03
定义
一般地，形如y=ax(a>0 且a≠1)的函数叫做指数 函数。
解释
指数函数以x的n次幂作为 被解释变量，系数a(a>0 且a≠1)为常数。
物理学
02
在物理学中，积分的应用可以解决各种问题，例如计算物体的
质量、能量、动量等。
工程学
03
在工程学中，积分的应用可以帮助我们解决各种实际问题，例
如计算电路中的电流、电压等。
05
指数函数的实际应用
经济领域中的应用
投资回报
指数函数常用于描述投资回报，如股票、债券等 金融产品的价格变化。
经济增长
在经济学中，指数函数也被用于描述经济增长， 如国内生产总值(GDP)的变化。
供需关系
在商品市场中，价格与需求量之间的关系往往可 以用指数函数来描述。
物理领域中的应用
放射性衰变
放射性衰变是一个典型的 指数函数过程，放射性物 质的数量随时间而减少。
电路中的电阻
在电路中，电流与电阻之 间的关系可以用指数函数 描述。
定义域为实数集，值域为(0, +∞)。
指数函数的单调性
当a>1时，函数在定义域上单调递增；当0<a<1时，函数在定义域上单调递减。
应用案例展示
人口增长
人口增长可以用指数函数来描述，例如人口数量随时间的变 化。
复利计算
复利计算也可以用指数函数来表示，例如银行利息、投资回 报等。
学习目标
理解指数函数的定义和概念。 能够应用指数函数的性质解决实际问题。
熟悉指数函数的图像和性质。 了解指数函数与其他数学知识的联系。
02
指数函数的定义与性质
定义
01
02
03
定义
一般地，形如y=ax(a>0 且a≠1)的函数叫做指数 函数。
解释
指数函数以x的n次幂作为 被解释变量，系数a(a>0 且a≠1)为常数。
物理学
02
在物理学中，积分的应用可以解决各种问题，例如计算物体的
质量、能量、动量等。
工程学
03
在工程学中，积分的应用可以帮助我们解决各种实际问题，例
如计算电路中的电流、电压等。
05
指数函数的实际应用
经济领域中的应用
投资回报
指数函数常用于描述投资回报，如股票、债券等 金融产品的价格变化。
经济增长
在经济学中，指数函数也被用于描述经济增长， 如国内生产总值(GDP)的变化。
供需关系
在商品市场中，价格与需求量之间的关系往往可 以用指数函数来描述。
物理领域中的应用
放射性衰变
放射性衰变是一个典型的 指数函数过程，放射性物 质的数量随时间而减少。
电路中的电阻
在电路中，电流与电阻之 间的关系可以用指数函数 描述。
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问题3：指数函数y 2 x在R上为增函数；
而指数函数 y 1 x 在R上位减函数。
2
归纳 指数函数在底数
0 a及1
情况下的图象和性质：
这a两种1
0 a 1
a 1
y=ax y
y y=ax
图
(0<a<1) (0,1)
(a>1)
象
y=1y=1 (0,1)
0x
（1）定义域：R
0xຫໍສະໝຸດ 性 （2）值域：（0，+∞） 质 （3）过点（0，1）即x=0时，y=1
当 a=1时， ax =1 x =1，常量
当 a=0时， ax =0 或 ax 无意义
当 a<0时， 对某些x， ax 无意义
02 1 ; 1 02
(3)2 3;
y 1• ax
指数：自变量x
系数为1
底数 a 0, a 1;
练习1.下列函数中指数函数的个数是：
（1）y 3x （2）y 3x1
数 什么关系？
2
（2）两个函数图象有什么共同点？
（3）两个函数的图象有何不同之处？
x -3 -2 -1 0 y8 4 2 1
gx = 0.5x
1
x -1 0 1 2 3
1
8
y1
1
2
4
8
2
2
7
fx = 2x
6
5
4
3
2
1
-6
-4
-2
2
4
6
问题1：这两个函数图像关于y轴对称，
问题2：1.图像都在x轴的上方； 2.都过定点（0，1）
（3）y (3)x （4）y x3
（5）y 2x （6）y 23x
答案：2个
已知函数的解析式，怎么得到函数的图 象，一般用什么方法？
列表、描点、连线作图
在直角坐标系画出 y 2x
的图象。
，y
1 2
x
并观察：两个函数的图象有什么关系？
（1）函 y 2 x 的图象与函数 y 1 x 有
学习目标：
1、理解指数函数的概念及意义
2、能画出指数函数的图象
3、初步掌握指数函数的性质与指数 函数图象的特点，并会简单应用
问题 引入
问题1、某种细胞分裂时，由1个分裂成 2个，2个分裂成4个，1个这样的细胞分 裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数 关系式是什么？
研究
分裂 次数
1次
2次
3次
4次
③底数不同，指数不同——桥梁法（常用1）
课堂小结
1.指数函数概念
函数y = ax(a0，且a 1)叫做指数函数，其中x 是自变量 函数的定义域是R .
2.指数函数图象与性质
◆方法指导 研究指数函数时，将a分为a>1和0<a<1分别讨论研究. 3.数学思想方法
数形结合，分类讨论，构建函数模型
作业： 1、课本p59第7、8题
y 0.8x
y
1
x 0
例1.比较下列各题中两个值的大小:
(3) 1.70.3 , 0.93.1;
解:(3)由指数函数的性质知：, 1.70.3>1.7 0 =1, 0.93.1<0.90=1, 故 1.70.3>0.93.1.
指数幂比较大小
①底数相同，指数不同 ——单调性（构造函数）
②底数不同，指数不同 ——桥梁法（常用1）
x次
y 2x
……
细胞 2个 4个 8个 16个 总数 21 22 23 24
2x
问题 引入
问题2、《庄子·天下篇》中写道：“一尺 之棰，日取其半，万世不竭。”请你写出 截取x次后，木棰剩余量y关于x的函数关 系式？
研究
截取 次数
1次 2次 3次 4次
x次
y (1)x 2
木棰 1 尺 1 尺 1 尺 1 尺
2
4
8
16
剩余
(1)x尺 2
思考
我们从以上两个引例中，抽象得到两个函数:
解析式
共同特征
y 2x
y (1)x 2
指数幂形式 自变量x在指数位置
底数是正的常数
1.指数函数的概念 一般地,形如 y a x (a>0且a≠1)叫做指数函数,
其中x是自变量. 函数的定义域是R.
为注何意规:定规a定0，且a1?0, a 1
①
y
6
②
5.5 5
③
4.5
4
3.5
3
④
C .1 a b c d D .a b 1 d c
2.5 2
1.5 1
0.5
-4
-3
-2
-1
o
-0.5
c
d
a
b
1
2
3
4
x5
2、比较下列各题中两个值的大小：
(
2
)
1
3和
(
1
)
1 3
3
2
指数幂比较大小
①底数相同，指数不同 ——单调性（构造函数）
②底数不同，指数相同 ——图象
例2：已知下列不等
式 , 比较 m,n 的大小 :
（1） 2m 2n
（2） 0.2m 0.2n
（3）am an (a 0且a 1)
巩固练习 1.如图是指数函数 ① y=ax ② y=bx
③ y=cx ④ y=dx 的图象，则 a,yb,c,d 的大小关
系（ B ） A .a b 1 c d B .b a 1 d c
（4）在R上是减函数 （4）在R上是增函数
范例
例1．比较下列各题中两个值的大小:
(1)1.72.5 ,1.73;
(2)0.80.1 ,0.80.2 ;
(3) 1.70.3, 0.93.1；
解： (1)
1.7 2.5 ,1.73可看作函数
y 1.7x的两个函数
值,由于底数1.7＞1,所以指数函数 y 1.7x 在y R1.7x y
上是增函数.
因为 2.5＜3 ，所以 1.72.5 .1.73
1
x
范例 例1．比较下列各题中两个值的大小:
(2)0.80.1,0.80.2 ; 解：(2) 0.80.1,0.80.2可看作函数 y 0.8x 的两个函
数值,由于底数0＜0.8＜1,所以指数函数 y 0.8x
在R上是减函数.
因为 -0.1＞-0.2 ，所以 0.80.1 0.8.0.2
而指数函数 y 1 x 在R上位减函数。
2
归纳 指数函数在底数
0 a及1
情况下的图象和性质：
这a两种1
0 a 1
a 1
y=ax y
y y=ax
图
(0<a<1) (0,1)
(a>1)
象
y=1y=1 (0,1)
0x
（1）定义域：R
0xຫໍສະໝຸດ 性 （2）值域：（0，+∞） 质 （3）过点（0，1）即x=0时，y=1
当 a=1时， ax =1 x =1，常量
当 a=0时， ax =0 或 ax 无意义
当 a<0时， 对某些x， ax 无意义
02 1 ; 1 02
(3)2 3;
y 1• ax
指数：自变量x
系数为1
底数 a 0, a 1;
练习1.下列函数中指数函数的个数是：
（1）y 3x （2）y 3x1
数 什么关系？
2
（2）两个函数图象有什么共同点？
（3）两个函数的图象有何不同之处？
x -3 -2 -1 0 y8 4 2 1
gx = 0.5x
1
x -1 0 1 2 3
1
8
y1
1
2
4
8
2
2
7
fx = 2x
6
5
4
3
2
1
-6
-4
-2
2
4
6
问题1：这两个函数图像关于y轴对称，
问题2：1.图像都在x轴的上方； 2.都过定点（0，1）
（3）y (3)x （4）y x3
（5）y 2x （6）y 23x
答案：2个
已知函数的解析式，怎么得到函数的图 象，一般用什么方法？
列表、描点、连线作图
在直角坐标系画出 y 2x
的图象。
，y
1 2
x
并观察：两个函数的图象有什么关系？
（1）函 y 2 x 的图象与函数 y 1 x 有
学习目标：
1、理解指数函数的概念及意义
2、能画出指数函数的图象
3、初步掌握指数函数的性质与指数 函数图象的特点，并会简单应用
问题 引入
问题1、某种细胞分裂时，由1个分裂成 2个，2个分裂成4个，1个这样的细胞分 裂x次后，得到的细胞个数y与x的函数 关系式是什么？
研究
分裂 次数
1次
2次
3次
4次
③底数不同，指数不同——桥梁法（常用1）
课堂小结
1.指数函数概念
函数y = ax(a0，且a 1)叫做指数函数，其中x 是自变量 函数的定义域是R .
2.指数函数图象与性质
◆方法指导 研究指数函数时，将a分为a>1和0<a<1分别讨论研究. 3.数学思想方法
数形结合，分类讨论，构建函数模型
作业： 1、课本p59第7、8题
y 0.8x
y
1
x 0
例1.比较下列各题中两个值的大小:
(3) 1.70.3 , 0.93.1;
解:(3)由指数函数的性质知：, 1.70.3>1.7 0 =1, 0.93.1<0.90=1, 故 1.70.3>0.93.1.
指数幂比较大小
①底数相同，指数不同 ——单调性（构造函数）
②底数不同，指数不同 ——桥梁法（常用1）
x次
y 2x
……
细胞 2个 4个 8个 16个 总数 21 22 23 24
2x
问题 引入
问题2、《庄子·天下篇》中写道：“一尺 之棰，日取其半，万世不竭。”请你写出 截取x次后，木棰剩余量y关于x的函数关 系式？
研究
截取 次数
1次 2次 3次 4次
x次
y (1)x 2
木棰 1 尺 1 尺 1 尺 1 尺
2
4
8
16
剩余
(1)x尺 2
思考
我们从以上两个引例中，抽象得到两个函数:
解析式
共同特征
y 2x
y (1)x 2
指数幂形式 自变量x在指数位置
底数是正的常数
1.指数函数的概念 一般地,形如 y a x (a>0且a≠1)叫做指数函数,
其中x是自变量. 函数的定义域是R.
为注何意规:定规a定0，且a1?0, a 1
①
y
6
②
5.5 5
③
4.5
4
3.5
3
④
C .1 a b c d D .a b 1 d c
2.5 2
1.5 1
0.5
-4
-3
-2
-1
o
-0.5
c
d
a
b
1
2
3
4
x5
2、比较下列各题中两个值的大小：
(
2
)
1
3和
(
1
)
1 3
3
2
指数幂比较大小
①底数相同，指数不同 ——单调性（构造函数）
②底数不同，指数相同 ——图象
例2：已知下列不等
式 , 比较 m,n 的大小 :
（1） 2m 2n
（2） 0.2m 0.2n
（3）am an (a 0且a 1)
巩固练习 1.如图是指数函数 ① y=ax ② y=bx
③ y=cx ④ y=dx 的图象，则 a,yb,c,d 的大小关
系（ B ） A .a b 1 c d B .b a 1 d c
（4）在R上是减函数 （4）在R上是增函数
范例
例1．比较下列各题中两个值的大小:
(1)1.72.5 ,1.73;
(2)0.80.1 ,0.80.2 ;
(3) 1.70.3, 0.93.1；
解： (1)
1.7 2.5 ,1.73可看作函数
y 1.7x的两个函数
值,由于底数1.7＞1,所以指数函数 y 1.7x 在y R1.7x y
上是增函数.
因为 2.5＜3 ，所以 1.72.5 .1.73
1
x
范例 例1．比较下列各题中两个值的大小:
(2)0.80.1,0.80.2 ; 解：(2) 0.80.1,0.80.2可看作函数 y 0.8x 的两个函
数值,由于底数0＜0.8＜1,所以指数函数 y 0.8x
在R上是减函数.
因为 -0.1＞-0.2 ，所以 0.80.1 0.8.0.2