2018年初中数学教师基本功大赛试题

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2018年教师统一功底测初中数学试卷(含答案)

教师统一功底测初中数学试卷（考试时间：60分钟满分：100分）一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共10小题，每题3分，共30分）1．实数a，b，c在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（）A．|a|＞4 B．c﹣b＞0 C．ac＞0 D．a+c＞02．如果a﹣b=2，那么代数式（﹣b）•的值为（）A．B．2C．3D．43.（2.00分）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系y=ax2+bx+c（a≠0）．如图记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）A．10m B．15m C．20m D．22.5m4．（4.00分）如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC=45°，则∠ACE等于（）A．15°B．30°C．45°D．60°5．（4.00分）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载”绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托“其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设绳索长x尺，竿长y尺，则符合题意的方程组是（）A．B．C．D．6.为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高（单位：cm）的平均数与方差为：==13，==15：s 甲2=s丁2=3.6，s乙2=s丙2=6.3．则麦苗又高又整齐的是（）A．甲B．乙C．丙D．丁7．（3.00分）一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一直角坐标系中的大致图象是（）A．B．C．D．8．（3.00分）在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到A n．则△OA2A2018的面积是（）A．504m2B．m2C．m2D．1009m29．（3.00分）一个几何体由若干个相同的正方体组成，其主视图和俯视图如图所示，则这个几何体中正方体的个数最多是（）A．3 B．4 C．5 D．610．（3.00分）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将弧沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为，AB=4，则BC的长是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分，请把答案填在答題卷相应题号的横线上）11．若二元一次方程组的解为，则a﹣b=．12．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为12米，则大厅两层之间的高度为米．（结果保留两个有效数字）【参考数据；sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601】13．我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，则该三角形的面积为S=．现已知△ABC的三边长分别为1，2，，则△ABC的面积为．14．如图，在正方形ABCD中，AD=2，把边BC绕点B逆时针旋转30°得到线段BP，连接AP并延长交CD于点E，连接PC，则三角形PCE的面积为．15．如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC 的面积是．16．将从1开始的连续自然数按以下规律排列：…则2018在第行．三、解答题：本大题共9小题，满分72分.解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．（7分）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQ∥l．作法：如图，①在直线l上取一点A，作射线P A，以点A为圆心，AP长为半径画弧，交P A的延长线于点B；②在直线l上取一点C（不与点A重合），作射线BC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交BC的延长线于点Q；③作直线PQ．所以直线PQ就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）（2）完成下面的证明．18．（7.00分）计算（m+2﹣）÷．19．（8.00分）如图，在数轴上，点A、B分别表示数1、﹣2x+3．（1）求x的取值范围；（2）数轴上表示数﹣x+2的点应落在B．A．点A的左边B．线段AB上C．点B的右边20．（8.00分）如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y=（n为常数，且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x 轴，垂足为D，若OB=2OA=3OD=12．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）记两函数图象的另一个交点为E，求△CDE的面积；（3）直接写出不等式kx+b≤的解集．21．（8.00分）现今“微信运动”被越来越多的人关注和喜爱，某兴趣小组随机调查了我市50名教师某日“微信运动”中的步数情况进行统计整理，绘制了如下的统计图表（不完整）：请根据以上信息，解答下列问题：（1）写出a，b，c，d的值并补全频数分布直方图；（2）本市约有37800名教师，用调查的样本数据估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有多少名？（3）若在50名被调查的教师中，选取日行走步数超过16000步（包含16000步的两名教师与大家分享心得，求被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率．22．（8分）已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE﹣BE；（2）连接BF，如果=．求证：EF=EP．23．（8.00分）如图，为了测量建筑物AB的高度，在D处树立标杆CD，标杆的高是2m，在DB上选取观测点E、F，从E测得标杆和建筑物的顶部C、A的仰角分别为58°、45°．从F测得C、A的仰角分别为22°、70°．求建筑物AB的高度（精确到0.1m）．（参考数据：tan22°≈0.40，tan58°≈1.60，tan70°≈2.75．）24．（9分）如图，在正方形ABCD中，E是边AB上的一动点（不与点A、B重合），连接DE，点A关于直线DE的对称点为F，连接EF并延长交BC于点G，连接DG，过点E作EH⊥DE交DG的延长线于点H，连接BH．（1）求证：GF=GC；（2）用等式表示线段BH与AE的数量关系，并证明．25.（9分）对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离“，记作d（M，N）．已知点A（﹣2，6），B（﹣2，﹣2），C（6，﹣2）．（1）求d（点O，△ABC）；（2）记函数y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）的图象为图形G．若d（G，△ABC）=1，直接写出k 的取值范围；（3）⊙T的圆心为T（t，0），半径为1．若d（⊙T，△ABC）=1，直接写出t的取值范围．初中数学功底测答题纸姓名成绩1-10：BABAA DAACB11-16：746.2 1 9 12 45三、解答题：本大题共9小题，满分72分.解答时，要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17．（1）解：直线PQ 如图所示；（2）证明：∵AB =AP ，CB =CQ ，∴PQ ∥l （三角形中位线定理）．故答案为：AP ，CQ ，三角形中位线定理；18．解：原式=（﹣）÷ =•=2（m +3）=2m +6．19．解：（1）由数轴上的点表示的数右边的总比左边的大，得﹣2x +3＞1，解得x ＜1；（2）由x ＜1，得﹣x ＞﹣1．﹣x+2＞﹣1+2，解得﹣x+2＞1．数轴上表示数﹣x+2的点在A点的右边；作差，得﹣2x+3﹣（﹣x+2）=﹣x+1，由x＜1，得﹣x＞﹣1，﹣x+1＞0，﹣2x+3﹣（﹣x+2）＞0，∴﹣2x+3＞﹣x+2，数轴上表示数﹣x+2的点在B点的左边．故选：B．20．解：（1）由已知，OA=6，OB=12，OD=4 ∵CD⊥x轴∴OB∥CD∴△ABO∽△ACD∴∴∴CD=20∴点C坐标为（﹣4，20）∴n=xy=﹣80∴反比例函数解析式为：y=﹣把点A（6，0），B（0，12）代入y=kx+b得：解得：∴一次函数解析式为：y=﹣2x+12（2）当﹣=﹣2x+12时，解得x1=10，x2=﹣4当x=10时，y=﹣8∴点E坐标为（10，﹣8）∴S△CDE=S△CDA+S△EDA=（3）不等式kx+b≤，从函数图象上看，表示一次函数图象不低于反比例函数图象∴由图象得，x≥10，或﹣4≤x＜021．解：（1）a=8÷50=0.16，b=12÷50=0.24，c=50×0.2=10，d=50×0.04=2，补全频数分布直方图如下：（2）37800×（0.2+0.06+0.04）=11340，答：估计日行走步数超过12000步（包含12000步）的教师有11340名；（3）设16000≤x＜20000的3名教师分别为A、B、C，20000≤x＜24000的2名教师分别为X、Y，画树状图如下：由树状图可知，被选取的两名教师恰好都在20000步（包含20000步）以上的概率为=．22．证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BEA=∠AFD=90°，∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF，∴BE=AF，∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE；（2）如图，∵=，而AF=BE，∴=，∴=，∴Rt△BEF∽Rt△DF A，∴∠4=∠3，而∠1=∠3，∴∠4=∠1，∵∠5=∠1，∴∠4=∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．23．解：在Rt△CED中，∠CED=58°，∵tan58°=，∴DE=，在Rt△CFD中，∠CFD=22°，∵tan22°=，∴DF=，∴EF=DF﹣DE=，同理：EF=BE﹣BF=，∴，解得：AB≈5.9（米），答：建筑物AB的高度约为5.9米．24．证明：（1）如图1，连接DF，∵四边形ABCD是正方形，∴DA=DC，∠A=∠C=90°，∵点A关于直线DE的对称点为F，∴△ADE≌△FDE，∴DA=DF=DC，∠DFE=∠A=90°，∴∠DFG=90°，在Rt△DFG和Rt△DCG中，∵，∴Rt△DFG≌Rt△DCG（HL），∴GF=GC；（2）BH=AE，理由是：证法一：如图2，在线段AD上截取AM，使AM=AE，∵AD=AB，∴DM=BE，由（1）知：∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠ADC=90°，∴∠1+∠2+∠3+∠4=90°，∴2∠2+2∠3=90°，∴∠2+∠3=45°，即∠EDG=45°，∵EH⊥DE，∴∠DEH=90°，△DEH是等腰直角三角形，∴∠AED+∠BEH=∠AED+∠1=90°，DE=EH，∴∠1=∠BEH，在△DME和△EBH中，∵，∴△DME≌△EBH，∴EM=BH，Rt△AEM中，∠A=90°，AM=AE，∴EM=AE，∴BH=AE；证法二：如图3，过点H作HN⊥AB于N，∴∠ENH=90°，由方法一可知：DE=EH，∠1=∠NEH，在△DAE和△ENH中，∵，∴△DAE≌△ENH，∴AE=HN，AD=EN，∵AD=AB，∴AB=EN=AE+BE=BE+BN，∴AE=BN=HN，∴△BNH是等腰直角三角形，∴BH=HN=AE．25.解：（1）如图所示，点O到△ABC的距离的最小值为2，∴d（点O，△ABC）=2；（2）y=kx（k≠0）经过原点，在﹣1≤x≤1范围内，函数图象为线段，当y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（1，﹣1）时，k=﹣1，此时d（G，△ABC）=1；当y=kx（﹣1≤x≤1，k≠0）经过（﹣1，﹣1）时，k=1，此时d（G，△ABC）=1；∴﹣1≤k≤1，∵k≠0，∴﹣1≤k≤1且k≠0；（3）⊙T与△ABC的位置关系分三种情况：①当⊙T在△ABC的左侧时，由d（⊙T，△ABC）=1知此时t=﹣4；②当⊙T在△ABC内部时，当点T与原点重合时，d（⊙T，△ABC）=1，知此时t=0；当点T位于T3位置时，由d（⊙T，△ABC）=1知T3M=2，∵AB=BC=8、∠ABC=90°，∴∠C=∠T3DM=45°，则T3D===2，∴t=4﹣2，故此时0≤t≤4﹣2；③当⊙T在△ABC右边时，由d（⊙T，△ABC）=1知T4N=2，∵∠T4DC=∠C=45°，∴T4D===2，∴t=4+2；综上，t=﹣4或0≤t≤4﹣2或t=4+2．。

初中数学教师基本功大赛试题

第二届初中数学教师基本功大赛试题一、选择题（2×10=20分）1．某次考试，班长算出了全班40人数学成绩的平均分M，如果把M当成一个同学的成绩与原来的40个分数加在一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M：N为（）.A．40：41 B．41：40 C．2 D．12．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为（）.A. 2，，2 C. 4，2 D. 2，43．某企业产品的成本前两年每年递增20％，引进先进的技术设备之后，后两年产品的成本每年递减20％，那么该企业产品的成本现在的与原来的比较（）Ａ．不增不减Ｂ．约增加8％Ｃ．约减少8％Ｄ．约减少5％4．函数y=x|x|的图象大致是（）5．已知m>2，点(m－1，y1)，(m，y2)，(m+1，y3)都在二次函数y=x2－2x的图像上，则（）.A. y1<y2<y3B. y3<y2<y1C. y1<y3<y2D. y2<y1<y36．数学课程的总目标中有：培养学生具有适应未来社会生活和继续学习所必需的数学基本知识和技能以及基本的（）A．应用能力 B．生活能力 C．学习方法 D．数学思想方法7．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为（）.A．0.5小时B．1小时C．1.5小时D．2小时8．一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签，标签的选取是无放回的，两张标签上的数字为相邻整数的概率（）.A.25B.35C.825925主视图俯视图左视图ABO图 1ABO图2 9．如图，垂直于x 轴的直线EF 经坐标原点O 向右移动. 若E 是EF 与x 轴的交点，设OE =x (0x a ≤≤)，EF 在移动过程中扫过平行四边形OABC 的面积为y (图中阴影部分)，则函数()y f x =的图象大致是（）.10．水平地面上有一个球，现用如下方法测量球的大小，用锐角45°的等腰直角三角板的斜边紧靠球面，P 为切点，一条直角边AC 紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果测得PA =5cm ，则球的半径等于（）A ．5cmB ．52cmC ．5(21)cm +D ．6cm 二、填空题（2×10=20分）11．一幅美丽的图象，在某顶点处有四个边长相等的正多边形镶嵌而成，其中的三个分别为正三角形、正四边形、正六边形，那么另外一个为____________．12．若函数y =x 2+bx +c 的图象的顶点在第四象限，则函数y=2x+b 的图象不经过第_______象限．13．A 、B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且｜PA ｜=｜PB ｜，若直线PA 的方程为x －y +1=0，则直线PB 的方程为．14．如图，水平地面上有一面积为30 ㎝2的灰色扇形OAB ，其中OA 的长度为6㎝，且与地面垂直．若在没有滑动的情况下，将图(1)的扇形向右滚动至OB 垂直地面为止，如图(2)所示，则O 点移动了㎝．15．若不等式组112x x a -≤≤⎧⎨<⎩有解，那么a 必须满足．16．把直线l :y=3x+2平移后得直线l 1:y=3x-5.有下列说法：①是把l 向下平移7个单位；②是把l 向右平移37个单位；③是把l 向上平移5个单位；④是把l 向左平移5个单位．其中正确序号有____________．（把你认为正确的全写上）17．规定记号“⊗”表示一种运算，即2(,)a b ab a b a b ⊗=++为正实数，若13k ⊗=，则k 的值为．18．用一根长为12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)，要使这个P A CxC第9题图OyF ABa Eyyyx Ox Ox Ox Oya a a a窗户通过的阳光最充足，则框架的长与宽之比应为．19．将一张坐标纸折叠一次，使得点M （0，4）与点N （1，3）重合，则与点P （2004，2010）重合的点的坐标是．20．计算机是将信息转换成二进制进行处理的，二进制即“逢2进1”，如(1101)2表示二进制数，将它转换成十进制形式是1×23+1×22+0×21+1×20=13，111)2转换成十进制形式是___________．三、解答题（60分）21．已知方程0632=--x x 的根分别为a,b(a>b),方程0232=--x x 的根分别为c,d(c>d ），求(a-c)(b-d)(b-c)(a-d)的值．22．△ABC 中，BC=a ，AC=b ．（1）以AB 为边向△ABC 外作等边△ABD，当∠ACB 为多少度时，C 、D 两点之间的距离最大，最大值是多少？（2）以AB 为边向△ABC 外作正方形ABDE ，当∠ACB 为多少度时，点C 到正方形ABDE 的中心O 的距离最大，最大值是多少？B23．小华与小红用5张同样规格的硬纸片做拼图游戏，正面如图1所示，背面完全一样，将它们背面朝上搅匀后，同时抽出两张，规则如下：当两张硬纸片上的图形可拼成电灯或小人时，小华得1分，当两张硬纸片上的图形可拼出房子或小山时，小红得1分(如图2)，问题：(1)游戏规则对双方公平吗?请说明理由；(2)若你认为不公平，如何修改游戏规则才能使游戏对双方公平?24．如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点O为圆心，2为半径画⊙O，P是⊙O上一动点，且P在第一象限内，过点P作⊙O的切线与x轴相交于点A，与y轴相交于点B.（1）点P在运动时，线段AB的长度也在发生变化，请写出线段AB长度的最小值，并说明理由；（2）在⊙O上是否存在一点Q，使得以Q、O、A、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．25．案例分析Array案例1：教师讲完一元一次方程解题方法后，讲解方程x+1/3=(1/3)x+1时，学生甲：老师我已看出x=1,教师加以表扬，问能否解出来，学生甲上台演算完．学生乙：老师，我可以只移项不合并，x-1+1/3-(1/3)x=0,(x-1)+1/3(1-x)=0,老师又加以表扬．案例2：课堂上当老师一宣布小组讨论、交流，前排的学生唰地回头，满教室都是嗡嗡的声音，四人小组里，每个人都在张嘴，谁也听不清谁在说什么，一分钟后，老师一喊“停”，学生立即安静下来．26．问题现象（1）．来自中考信息的反馈2007年中考，我们从试卷中随机抽取了100份进行分析：最低分3分，最高分119分，平均分79.01分，合格率为74%，优秀率为26.3%．学生的得分率与人数分布表如下：由上表可知，学生的高分者居多，低分者不少，中间层面的学生数少，平均成绩不高，可见学生两极分化严重．（2）．来自教师的信息反馈在实施新课程中，教师们普遍反映，学生在新的学习方式的学习中，两极分化越来越大，好学生越来越好，后进的学生越来越后进．一份练习，优秀生5分钟可以完成，而后进生15分钟都难以完成．两极分化越来越严重．请你结合自己的教学实际和上面的问题现象，谈一谈造成两极分化的原因是什么？拟采取什么措施缩小两极分化？。

初中数学青年教师基本功大赛笔试试卷(含答案)

你能帮小明在地图上画出藏宝地的位置吗？请你设计出找出藏宝地的方案。（设计找出藏宝地的简要步骤，画出示意图）
A B
5. (本小题 12 分) 从甲地到乙地有 A1、A2 两条路线，从乙地到丙地有 B1、B2、B3 三条路线，从丙地到丁地有 C1、C2 两条路线．一个人任意先了一条从甲地到丁地的路线．求他恰好选到 B2 路线的概率是多少？
22ຫໍສະໝຸດ 要 t 最小，即 CT+TQ 最小，而 CT+TQ 是点 C 到直线 C
′B 的折线长，只有当 CT+TQ 成为点 C 到直线 C′B 的
y C
OK
T
x
B
Q H
垂线段时才最小，故作 CH⊥BC′交 OB 于点 K，则点
C′
K 就是使运动时间最短的点。
∵△CBC′为正三角形，∴∠C′CH=30°∴OK=OC·tan30°=2
P138—139） 5. (本小题 12 分)
A1
甲
乙
A2
如图：从甲到丁有 2×3×2=12 种走
9
A
M
B1
C1
B2
丙
C2
丁
B3
N
D
C
B
E
法，而经过线路
B2
共有
2×1×2=4
种走法，故
P=
4 12

1 3
6. (本小题 12 分 ) 如图：裁剪线 AB 与 CD 长恰好为三棱柱底面周长 30cm，故
BM AB 2 AM 2 30 2 182 24
由△CEB∽△AMB 可知： CB BE ，故 CB 60
AB BM
30 24

2018年广东省中山市初中数学教师解题比赛试卷(PDF版,含解析)

2018年广东省中山市初中数学解题竞赛试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．请将唯一正确的答案代号填在题后括号内）1．（3分）下列各数中，最大的有理数是（）A．0B．﹣1C．﹣3D．2．（3分）把抛物线y＝﹣x2向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y＝﹣（x﹣1）2﹣3B．y＝﹣（x+1）2﹣3C．y＝﹣（x﹣1）2+3D．y＝﹣（x+1）2+33．（3分）下列命题正确的是（）A．对角线相等且互相平分的四边形是菱形B．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形D．对角线相等的四边形是等腰梯形4．（3分）一个袋子里装有2000个红球，1000个黑球，10个黄球，这些球仅颜色不同，要保证摸出的球中有1000个颜色相同，至少应摸出多少个球（）A．1010个B．2000个C．2008个D．2009个5．（3分）如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的动圆与CB，CA分别相交于点E，F，则线段EF长度的最小值是（）A．B．4.75C．5D．4.86．（3分）满足方程|x﹣1|﹣2|x﹣2|+3|x﹣3|＝4的有理数x有多少个（）A．1B．2C．3D．无数7．（3分）在反比例函数y＝的图象中，阴影部分的面积不等于4的是（）A．B．C．D．8．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示．下列结论正确的是（）A．3|a|+|c|＞2|b|B．3|a|+|c|＝2|b|C．3|a|+|c|＜2|b|D．3|a|+|c|≤2|b|二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分．请将最简结果直接填在题后横线上）．9．（4分）函数中，自变量x的取值范围是．10．（4分）已知，则代数式的值为．11．（4分）甲、乙、丙三人同时玩“石头、剪刀、布”的游戏，游戏规则是：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头．则甲获胜（并列不计）的概率是．12．（4分）若实数a，b满足a+b2＝1，则2a2+7b2的最小值是．13．（4分）如图，△ABC内接于⊙O，点P是弧AC上任意一点（不与A、C重合），∠ABC＝55°，则∠POC的取值范围是．14．（4分）若2x2﹣6y2+xy+kx+6能分解为两个一次因式的积，则整数k的值是．15．（4分）关于x的方程（a≠0）的解为．16．（4分）如图，在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1+S2+S3＝．三、解答题（本大题共6小题，满分64分，解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程）17．（10分）已知正实数x、y、z、w满足2007x2＝2008y2＝2009z2＝2010w2，且，求之值．18．（10分）设正方形ABCD的中心为O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，求它们的面积恰好相等的概率．19．（10分）已知a、b、c、d为不同的实数，且a、c是方程x2+ax﹣b＝0的根，b、d是方程x2+cx+d＝0根．求a、b、c、d的值．20．（10分）已知函数y＝k2x2+k（2x﹣3x2）+2x2﹣2x+1的图象不经过第四象限，求常数k的取值范围．21．（12分）如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，点P在矩形ABCD内，若AB＝4，BC＝6，AE＝CG＝3，BF＝DH＝4，四边形AEPH的面积为5，求四边形PFCG的面积．22．（12分）如图，△ABC的外心O关于三边的对称点分别为A′、B′、C′．求证：（1）AA′、BB′、CC′交于一点P；（2）设△ABC三边中点分别为A1、B1、C1，则P为△A1B1C1的外心．参考答案一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分．请将唯一正确的答案代号填在题后括号内）1．解：∵负数都小于0，正数大于一切负数，∴排除B和C；∵是无理数，故四个数0，﹣1，﹣3，有理数最大的是0．故选：A．2．解：当y＝﹣x2向左平移1个单位时，顶点由原来的（0，0）变为（﹣1，0），当向上平移3个单位时，顶点变为（﹣1，3），则平移后抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+3．故选：D．3．解：A、错误，例如等腰梯形；B、错误，例如对角线互相垂的梯形；C、正确；D、错误，例如矩形．故选：C．4．解：最坏情况考虑就行了，摸出10个黄球，摸出另二色中一色的999个球，最后再摸出最后一色的1000个球，这时可以保证至少有1000个颜色相同，即最少要摸：10+999+1000＝2009个球，故选：D．5．解：如图，∵∠ACB＝90°，∴EF是直径，设EF的中点为O，圆O与AB的切点为D，连接OD，CO，CD，则OD⊥AB．∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴∠ACB＝90°，∴EF为直径，OC+OD＝EF，∴CO+OD＞CD＝4.8，∵当点O在直角三角形ABC的斜边AB的高上CD时，EF＝CD有最小值∴由三角形面积公式得：CD＝BC•AC÷AB＝4.8．故选：D．6．解：当x﹣1≥0，x﹣2≥0，x﹣3＜0时，x﹣1﹣2（x﹣2）+3（3﹣x）＝4，x＝2，当x﹣1≥0，x﹣2≥0，x﹣3＞0时，x﹣1﹣2（x﹣2）+3（x﹣3）＝4，x＝5，当x﹣1≥0，x﹣2＜0，x﹣3＜0时，x﹣1﹣2（2﹣x）+3（3﹣x）＝4原方程有无数解，当x﹣1≤0，x﹣2＜0，x﹣3＜0时，1﹣x﹣2（2﹣x）+3（3﹣x）＝4，x＝1，∴满足方程|x﹣1|﹣2|x﹣2|+3|x﹣3|＝4的有理数x有无数个．故选：D．7．解：A、图形面积为|k|＝4；B、阴影是梯形，面积为6；C、D面积均为两个三角形面积之和，为2×（|k|）＝4．故选：B．8．解：由函数图象可知a＜0，c＜0，由对称轴x＝﹣＞0，可知b＞0，∴3|a|+|c|﹣2|b|＝﹣（3a+2b+c），∵当x＝1时，y＝a+b+c＞0，①又对称轴x＝﹣＞1，解得2a+b＞0，②①+②得3a+2b+c＞0，∴﹣（3a+2b+c）＜0，∴3|a|+|c|＜2|b|．故选：C．二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，满分32分．请将最简结果直接填在题后横线上）．9．解：根据题意得，3﹣x≥0且x﹣1≠0，解得x≤3且x≠1．故答案为：x≤3且x≠1．10．解：解法一：∵﹣＝﹣＝3，即x﹣y＝﹣3xy，则原式＝＝＝4．解法二：将原式的分子和分母同时除以xy，＝＝＝4故答案为：4．11．解：甲要获胜，另外两人的出法就确定了，比如甲出石头，乙丙必须都出剪刀．而乙丙的出法共有3×3＝9种，对于任意的甲的出法，只有其中一种满足条件．所以甲获胜的概率就是：．故答案为：．12．解：∵a+b2＝1，∴a＝1﹣b2∴2a2+7b2＝2（1﹣b2）2+7b2＝2b4+3b2+2＝2（b2+）2+2﹣＝2（b2+）2+，∵b2≥0，∴2（b2+）2+＞0，∴当b2＝0，即b＝0时，2a2+7b2的值最小．∴最小值是2．方法二：∵a+b2＝1，∴b2＝1﹣a，∴2a2+7b2＝2a2+7（1﹣a）＝2a2﹣7a+7＝2（a﹣）2+，∵b2≥0，∴1﹣a≥0，∴a≤1，∴当a＝1，即b＝0时，2a2+7b2的值最小．∴最小值是2．13．解：连接AO，则∠AOC＝2∠B＝110°，∴∠POC的取值范围是：0°＜∠POC＜110°．14．解：设2x2﹣6y2+xy+kx+6能分解成：（x+ay+c）（2x+by+d），即2x2+aby2+（2a+b）xy+（2c+d）x+（ad+bc）y+cd，∴cd＝6，∵6＝1×6＝2×3＝（﹣2）（﹣3）＝（﹣1）（﹣6），∴①c＝1，d＝6时，ad+bc＝6a+b＝0，与2a+b＝1联立求解得，，或c＝6，d＝1时，ad+bc＝a+6b＝0与2a+b＝1联立求解得，，②c＝2，d＝3时，ad+bc＝3a+2b＝0，与2a+b＝1联立求解得，，或c＝3，d＝2时，ad+bc＝2a+3b＝0，与2a+b＝1联立求解得，，③c＝﹣2，d＝﹣3时，ad+bc＝﹣3a﹣2b＝0，与2a+b＝1联立求解得，，或c＝﹣3，d＝﹣2，ad+bc＝﹣2a﹣3b＝0，与2a+b＝1联立求解得，，④c＝﹣1，d＝﹣6时，ad+bc＝﹣6a﹣b＝0，与2a+b＝1联立求解得，，或c＝﹣6，d＝﹣1时，ad+bc＝﹣a﹣6b＝0，与2a+b＝1联立求解得，，∴c＝2，d＝3时，c＝﹣2，d＝﹣3时，符合，∴k＝2c+d＝2×2+3＝7，k＝2c+d＝2×（﹣2）+（﹣3）＝﹣7，∴整数k的值是7，﹣7．故答案为：7，﹣7．15．解：方程的两边同乘（x﹣1），得ax2﹣2a（x﹣1）＝（a2+1）（x﹣1），解得x1＝a+1，x 2＝∴原方程的解为：x1＝a+1，x 2＝．故答案为：x1＝a+1，x 2＝．16．解：由题意，可知点P1、P2、P3、P4坐标分别为：（1，2），（2，1），（3，），（4，）．解法一：∵S1＝1×（2﹣1）＝1，S2＝1×（1﹣）＝，S3＝1×（﹣）＝，∴S1+S2+S3＝1++＝．解法二：∵图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点P1向x轴、y轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积，∴1×2﹣×1＝．故答案为：．三、解答题（本大题共6小题，满分64分，解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程）17．解：设2007x2＝2008y2＝2009z2＝2010z2＝A，∴2007x＝，2008y＝，2009z＝，2010w＝，＝，＝，＝，＝，+++＝+++＝1，＝+++∴2007x+2008y+2009z+2010w＝+++，＝A（+++），∵，∴2007x+2008y+2009z+2010w＝A．∴＝＝+++．18．解：如图所示：在正方形ABCD中，O为AC和BD的交点，则所有的三角形分别为：△AOB、△AOD、△BOC、△COD、△ABC、△ACD、△BCD、△ABD，根据正方形的性质，我们知道：△AOB、△AOD、△BOC、△COD的面积相等，△ABC、△ACD、△BCD、△ABD的面积相等，所以从所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为＝＝．19．解：∵a、c是方程x2+ax﹣b＝0的根，b、d是方程x2+cx+d＝0根，∴a+c＝﹣a①，ac＝﹣b②，b+d＝﹣c③，bd＝d④，由④得b＝1，（若d＝0，由③得b＝﹣c，代入②得ac＝c可得c＝0，a＝0这与a、b、c、d为不同的实数不符或a＝1代入①得c＝﹣2，a、c代入②得b＝2，b、c代入③得d＝0，即a＝1，b＝2，c＝﹣2，d＝0）则ac＝﹣1，由①得c＝﹣2a，∴﹣2a2＝﹣1，解得a＝±，∴当a＝时，c＝﹣，d＝﹣c﹣b＝﹣1；当a＝﹣时，c＝，d＝﹣c﹣b＝﹣﹣1；所以a＝，b＝1，c＝﹣，d＝﹣1或a＝﹣，b＝1，c＝，d＝﹣﹣1．20．解：y＝k2x2+k（2x﹣3x2）+2x2﹣2x+1，＝k2x2+2kx﹣3kx2+2x2﹣2x+1，＝（k2﹣3k+2）x2+（2k﹣2）x+1，当k2﹣3k+2＝0，∴（k﹣1）（k﹣2）＝0，∴k＝1或k＝2，当k＝1时，y＝1，是平行于x轴的直线，不经过第四象限，当k＝2时，y＝2x+1，图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，当k2﹣3k+2≠0，∴函数是二次函数，图象经过一、二象限，或一、二、三象限，∴图象对称轴在x轴负半轴，开口向上，a，b同号，∴k2﹣3k+2＞0，（k﹣1）（k﹣2）＞0，∴k﹣1＞0，k﹣2＞0或k﹣1＜0，k﹣2＜0，解得k＞2或k＜1，∴常数k的取值范围是：函数是二次函数时：k＞2或k＜1，函数是一次函数时：k＝1或k＝2．21．解：解法一、连接AP，CP，设△AHP在AH边上的高为x，△AEP在AE边上的高为y．则△CFP在CF边上的高为4﹣x，△CGP在CG边上的高为6﹣y．∵AH＝CF＝2，AE＝CG＝3，∴S四边形AEPH＝S△AHP+S△AEP，＝AH×x+AE×y，＝×2x+×3y＝5，即2x+3y＝10，S四边形PFC G＝S△CGP+S△C FP＝CF×（4﹣x）×+CG×（6﹣y）×，＝2（4﹣x）×+3（6﹣y）×，＝（26﹣2x﹣3y）×，＝（26﹣10）×，＝8．解法二、连接HE、EF、FG、GH，证△DHG≌△BFE，推出HG＝EF，同理：HE＝GF，则四边形EFGH由条件知是平行四边形，面积为4×6﹣×3×2﹣×3×2﹣×4×1﹣×4×1＝14，由平行四边形性质知：S△HEP+S△FGP＝S平行四边形EFGH＝7，∵△AEH的面积为×3×2＝3，△CGF的面积为×3×2＝3，四边形AEPH的面积为5，∴△HEP的面积是5﹣3＝2，△PGF的面积是7﹣2＝5，∴四边形PFCG的面积S＝S△PGF+S△CGF＝5+3＝8．答：四边形PFCG的面积是8．22．证明：（1）设圆O半径为R．由△ABC的外心O关于三边的对称点分别为A′、B′、C′，知：BC′＝B′C＝R，∠C′BA＝∠C′AB＝∠OAB，∠B′CA＝∠B′AC＝∠OAC，∴∠C′BA+∠B′CA＝∠OAB+∠OAC＝∠BAC，∴∠C′BC+∠B′CB＝∠BAC+∠ABC+∠BCA＝180°，∴BC′∥B′C，∴BB′，CC′互相平分，交于中点，同理CC′，AA′互相平分，交于中点，∴AA′、BB′、CC′交于一点P；（2）∵P为CC′中点，A1为BC中点，∴PA1＝B′C＝R，同理PB1＝R，PC1＝R，∴PA1＝PB1＝PC1，∴P是△A1B1C1的外心．。

教师资格认定考试初级中学数学真题2018年下半年

教师资格认定考试初级中学数学真题2018年下半年一、单项选择题1. 与向量a=(2，3，1)垂直的平面是______。

A.x-2y+z=3B.2x+y+3z=3C.2x+3y+z=3D.x-y+z（江南博哥）=3正确答案：C[解析] 在空间直角坐标系中，平面Ax+By+Cz+D=0(A，B，C不同时为零)的一个法向量为n=(A，B，C)。

本题中，向量a=(2，3，1)是平面2x+3y+z=3的一个法向量，故a垂直于平面2x+3y+z=3。

故本题选C。

2. 的值是______。

A.0B.1C.3D.∞正确答案：C[解析] 因为当x→0时，tan3x～3x，所以。

故本题选C。

3. 函数f(x)在[a，b]上黎曼可积的必要条件是f(x)在[a，b]上______。

A.可微B.连续C.不连续点个数有限D.有界正确答案：D[解析] 若函数f(x)在[a，b]上可积，则f(x)在[a，b]上必有界(可积的必要条件)。

故本题选D。

4. 定积分(a＞0，b＞0)的值是______。

A．πabB．C．D．正确答案：B[解析] (方法一)定积分表示被积函数与x轴所围成的图形的面积，即椭圆在x轴上方部分的面积。

因为椭圆的面积为πab，所以(方法二)令x=asint，则dx=acostdt，由于-a≤x≤a，所以，于是。

故本题选B。

5. 与向量α=(1，0，1)，β=(1，1，0)线性相关的向量是______。

A.(3，2，1)B.(1，2，1)C.(1，2，0)D.(3，2，2)正确答案：A[解析] (方法一)一个向量组中，若一个向量可由其余向量线性表出，则这几个向量必线性相关；若任意一个向量都不能被其余向量线性表出，则这几个向量必线性无关。

结合选项可知，只有A项可以由向量α和向量β线性表出，即(3，2，1)=α+2β。

故本题选A。

(方法二)向量组α，β，γ线性相关矩阵A=(αT，βT，γT)的秩小于向量的个数|A|=0。

初中青年教师基本功比赛试题

1.义务教育阶段数学课程的特点是什么？答：突出体现基础性、普及性和发展性，数学教育面向全体学生，实现人人…2.如何认识数学？答：数学是人类的工具；数学是人类用于交流的语言；数学赋予人创造性；数学是一种文化，等等。

3.如何认识数学学习？答：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。

内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。

有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。

由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。

4.如何认识数学教学？答：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。

教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。

学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。

5.如何认识数学的教育评价？答：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。

学生是数学学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。

6.如何认识现代信息技术在数学课程中的作用？（1）树立数学课程与现代信息技术融合的观念。

（2）现代信息技术要致力于改变学生的学习方式。

7．《标准》关于三维目标，其中刻画知识技能目标的主要动词有哪些？你是怎么理解的？答：了解（认识）、理解、掌握、灵活运用。

了解(认识) ：能从具体事例中，知道或能举例说明对象的有关特征(或意义)；能根据对象的特征，从具体情境中辨认出这一对象。

2018年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准精品

2018年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明：评阅试卷时，请依据本评分标准.第一试，选择题和填空题只设7分和0分两档；第二试各题，请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准划分的档次，给予相应的分数.第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分） 1．已知2012，b =，2c =，那么,,a b c 的大小关系是（）A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D.b c a << 【答】C.因为11a =，1b=110a b<<，故b a <.又2)1)c a -=-=1)，而221)30-=->1，故c a >.因此b a c <<.2．方程222334x xy y ++=的整数解(,)x y 的组数为（） A ．3. B ．4. C ．5. D ．6. 【答】B.方程即22()234x y y ++=，显然x y +必须是偶数，所以可设2x y t +=，则原方程变为22217t y +=，它的整数解为2,3,t y =±⎧⎨=±⎩从而可求得原方程的整数解为(,)x y ＝(7,3)-，(1,3)，(7,3)-，(1,3)--，共4组.3．已知正方形ABCD 的边长为1，E 为BC 边的延长线上一点，CE ＝1，连接AE ，与CD 交于点F ，连接BF 并延长与线段DE 交于点G ，则BG 的长为（）ABCD【答】D.过点C 作CP//BG ，交DE 于点P.因为BC ＝CE ＝1，所以CP 是△BEG 的中位线，所以P 为EG 的中点.又因为AD ＝CE ＝1，AD//CE ，所以△ADF ≌△ECF ，所以CF ＝DF ，又CP//FG ，所以FG 是△DCP 的中位线，所以G 为DP 的中点.因此DG ＝GP ＝PE ＝13DE. 连接BD ，易知∠BDC ＝∠EDC ＝45°，所以∠BDE ＝90°. 又BDBG==. 4．已知实数,a b 满足221a b +=，则44a ab b ++的最小值为（）EC AA ．18-. B ．0. C ．1. D ．98. 【答】B.442222222219()2122()48a ab b a b a b ab a b ab ab ++=+-+=-+=--+.因为222||1ab a b ≤+=，所以1122ab -≤≤，从而311444ab -≤-≤，故2190()416ab ≤-≤，因此219902()488ab ≤--+≤，即44908a ab b ≤++≤.因此44a ab b ++的最小值为0，当a b ==a b ==时取得. 5．若方程22320x px p +--=的两个不相等的实数根12,x x 满足232311224()x x x x +=-+，则实数p的所有可能的值之和为（）A ．0.B ．34-.C ．1-.D ．54-. 【答】 B.由一元二次方程的根与系数的关系可得122x x p +=-，1232x x p ⋅=--，所以2222121212()2464x x x x x x p p +=+-⋅=++，332212121212()[()3]2(496)x x x x x x x x p p p +=++-⋅=-++.又由232311224()x x x x +=-+得223312124()x x x x +=-+，所以2246442(496)p p p p p ++=+++，所以(43)(1)0p p p ++=，所以12330,,14p p p ==-=-. 代入检验可知：1230,4p p ==-均满足题意，31p =-不满足题意. 因此，实数p 的所有可能的值之和为12330()44p p +=+-=-.6．由1，2，3，4这四个数字组成四位数abcd （数字可重复使用），要求满足a c b d +=+.这样的四位数共有（）A ．36个.B ．40个.C ．44个.D ．48个. 【答】C.根据使用的不同数字的个数分类考虑：（1）只用1个数字，组成的四位数可以是1111，2222，3333，4444，共有4个.（2）使用2个不同的数字，使用的数字有6种可能（1、2，1、3，1、4，2、3，2、4，3、4）.如果使用的数字是1、2，组成的四位数可以是1122，1221，2112，2211，共有4个；同样地，如果使用的数字是另外5种情况，组成的四位数也各有4个.因此，这样的四位数共有6×4＝24个.（3）使用3个不同的数字，只能是1、2、2、3或2、3、3、4，组成的四位数可以是1232，2123，2321，3212，2343，3234，3432，4323，共有8个.（4）使用4个不同的数字1，2，3，4，组成的四位数可以是1243，1342，2134，2431，3124，3421，4213，4312，共有8个.因此，满足要求的四位数共有4＋24＋8＋8＝44个. 二、填空题：（本题满分28分，每小题7分） 1．已知互不相等的实数,,a b c 满足111a b c t b c a+=+=+=，则t =_________．【答】 1±.由1a t b +=得1b t a =-，代入1b t c +=得11t t a c +=-，整理得2(1)()0ct ac t a c -++-= ① 又由1c t a+=可得1ac at +=，代入①式得22()0ct at a c -+-=，即2()(1)0c a t --=，又c a ≠，所以210t -=，所以1t =±.验证可知：11,1a b c a a -==-时1t =；11,1a b c a a+=-=-+时1t =-.因此，1t =±. 2．使得521m⨯+是完全平方数的整数m 的个数为．【答】 1．设2521mn ⨯+=（其中n 为正整数），则2521(1)(1)m n n n ⨯=-=+-，显然n 为奇数，设21n k =-（其中k 是正整数），则524(1)m k k ⨯=-，即252(1)m k k -⨯=-.显然1k >，此时k 和1k -互质，所以252,11,m k k -⎧=⨯⎨-=⎩或25,12,m k k -=⎧⎨-=⎩或22,15,m k k -⎧=⎨-=⎩解得5,4k m ==. 因此，满足要求的整数m 只有1个.3．在△ABC 中，已知AB ＝AC ，∠A ＝40°，P 为AB 上一点，∠ACP ＝20°，则BCAP＝．【答】设D 为BC 的中点，在△ABC 外作∠CAE ＝20°，则∠BAE ＝60°. 作CE ⊥AE ，PF ⊥AE ，则易证△ACE ≌△ACD ，所以CE ＝CD ＝12BC. 又PF ＝PA sin ∠BAE ＝PA sin 60，PF ＝CE＝12BC ，因此BCAP4．已知实数,,a b c 满足1abc =-，4a b c ++=，22243131319a b c a a b b c c ++=------，则222a b c ++＝．【答】332. 因为22313(3)(1)(1)(1)a a a a abc a bc a a bc b c a b c --=-+=+-=--+=--，所以EB2131(1)(1)a a abc =----. 同理可得2131(1)(1)b b b a c =----，2131(1)(1)c c c a b =----. 结合22243131319a b c a a b b c c ++=------可得1114(1)(1)(1)(1)(1)(1)9b c a c a b ++=------，所以4(1)(1)(1)(1)(1)(1)9a b c a b c ---=-+-+-. 结合1abc =-，4a b c ++=，可得14ab bc ac ++=-. 因此，222233()2()2a b c a b c ab bc ac ++=++-++=.实际上，满足条件的,,a b c 可以分别为11,,422-.第二试（A ）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积. 解设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则30a b c ++=.显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值. 由a b c ≤<及30a b c ++=得303a b c c =++<，所以10c >. 由a b c +>及30a b c ++=得302a b c c =++>，所以15c <.又因为c 为整数，所以1114c ≤≤. ……………………5分根据勾股定理可得222a b c +=，把30c a b =--代入，化简得30()4500ab a b -++=，所以22(30)(30)450235a b --==⨯⨯， ……………………10分因为,a b 均为整数且a b ≤，所以只可能是22305,3023,a b ⎧-=⎪⎨-=⨯⎪⎩解得5,12.a b =⎧⎨=⎩……………………15分所以，直角三角形的斜边长13c =，三角形的外接圆的面积为1694π. ……………………20分二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D .证明：2AD BD CD =⋅.证明：连接OA ，OB ，OC.∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅. ……………………5分又由切割线定理可得2PA PB PC =⋅，∴P B PC PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆，……………………10分∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PB D ∽△COD ， ……………………20分∴PD BD CD OD=，∴2AD PD OD BD CD =⋅=⋅. ……………………25分三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.设M 3(0,)2-，若AM//BC ，求抛物线的解析式.解易求得点P 23(3,)2b bc +，点C (0,)c .设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m . 显然，12,x x 是一元二次方程2106x bx c -++=的两根，所以13x b =，23x b =+AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE……………………5分因为PA 为⊙D 的切线，所以PA ⊥AD ，又A E ⊥PD ，所以由射影定理可得2AE PE DE =⋅，即223)()||2b c m =+⋅，又易知0m <，所以可得6m =-. ……………………10分又由DA ＝DC 得22DA DC =，即2222(30)()m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）. ……………………15分又因为AM//BC ，所以OA OMOB OC =3||2|6|-=-. ……………………20分把6c =-代入解得52b =（另一解52b =-舍去）. 因此，抛物线的解析式为215662y x x =-+-. ……………………25分第二试（B ）一．（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积. 解设直角三角形的三边长分别为,,a b c （a b c ≤<），则60a b c ++=. 显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长c ，下面先求c 的值.由a b c ≤<及60a b c ++=得603a b c c =++<，所以20c >.由a b c +>及60a b c ++=得602a b c c =++>，所以30c <.又因为c 为整数，所以2129c ≤≤. ……………………5分根据勾股定理可得222a b c +=，把60c a b =--代入，化简得60()18000ab a b -++=，所以322(60)(60)1800235a b --==⨯⨯， ……………………10分因为,a b 均为整数且a b ≤，所以只可能是326025,6035,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩或2226025,6023,a b ⎧-=⨯⎪⎨-=⨯⎪⎩ 解得20,15,a b =⎧⎨=⎩或10,24.a b =⎧⎨=⎩……………………15分当20,15a b ==时，25c =，三角形的外接圆的面积为6254π；当10,24a b ==时，26c =，三角形的外接圆的面积为169π. ……………………20分二．（本题满分25分）如图，PA 为⊙O 的切线，PBC 为⊙O 的割线，A D ⊥OP 于点D ，△ADC 的外接圆与BC 的另一个交点为E.证明：∠BAE ＝∠ACB.证明：连接OA ，OB ，OC ，BD.∵OA ⊥AP ，A D ⊥OP ，∴由射影定理可得2PA PD PO =⋅，2AD PD OD =⋅. ……………………5分又由切割线定理可得2PA PB PC =⋅，∴P B PC PD PO ⋅=⋅，∴D 、B 、C 、O 四点共圆，……………………10分∴∠PDB ＝∠PCO ＝∠OBC ＝∠ODC ，∠PBD ＝∠COD ，∴△PB D ∽△COD ， ∴PD BDCD OD=， ……………………15分∴2BD CD PD OD AD ⋅=⋅=，∴BD ADAD CD=. 又∠BDA ＝∠BDP ＋90°＝∠ODC ＋90°＝∠ADC ，∴△BDA ∽△ADC ， ……………………20分 ∴∠BAD ＝∠ACD ，∴AB 是△ADC 的外接圆的切线，∴∠BAE ＝∠ACB. ……………………25分三．（本题满分25分）题目和解答与（A ）卷第三题相同.第二试（C ）一．（本题满分20分）题目和解答与（B ）卷第一题相同. 二．（本题满分25分）题目和解答与（B ）卷第二题相同. 三．（本题满分25分）已知抛物线216y x bx c =-++的顶点为P ，与x 轴的正半轴交于A 1(,0)x 、B 2(,0)x （12x x <）两点，与y 轴交于点C ，PA 是△ABC 的外接圆的切线.将抛物线向左平移1)个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q ，且∠QBO ＝∠OBC.求抛物线的解析式.解抛物线的方程即2213(3)62b y x bc =--++，所以点P 23(3,)2b b c +，点C (0,)c . 设△ABC 的外接圆的圆心为D ，则点P 和点D 都在线段AB 的垂直平分线上，设点D 的坐标为(3,)b m . 显然，12,x x 是一元二次方程2106x bx c -++=的两根，所以13x b =，23x b =+AB 的中点E 的坐标为(3,0)b ，所以AE因为PA 为⊙D 的切线，所以PA ⊥AD ，又A E ⊥PD ，所以由射影定理可得2AE PE DE =⋅，即223)()||2b c m =+⋅，又易知0m <，所以可得6m =-. ……………………5分又由DA ＝DC 得22DA DC =，即2222(30)()m b m c +=-+-，把6m =-代入后可解得6c =-（另一解0c =舍去）. ……………………10分将抛物线2213(3)662b y x b =--+-向左平移1)个单位后，得到的新抛物线为2213(324)662b y x b =--++-.易求得两抛物线的交点为Q 23(312102)2b b +-+. ……………………15分由∠QBO ＝∠OBC 可得tan ∠QBO ＝tan ∠OBC.作QN ⊥AB ，垂足为N ，则N (312b +-，又233(x b b =+=，所以tan ∠QBO ＝QN BN2310212b +=12=111)]22==⋅. ……………………20分又tan ∠OBC ＝OCOB 1(2b ==⋅，所以111)](22b ⋅=⋅-. 解得4b =（另一解45)03b =<，舍去）.因此，抛物线的解析式为21466y x x =-+-. ……………………25分。

2018年广东省中山市初中数学教师解题比赛试卷(PDF版,含解析)_20200216_160257

2018 年广东省中山市初中数学解题竞赛试卷一、选择题（本大题共8 小题，每小题 3 分，满分24 分．请将唯一正确的答案代号填在题后括号内）1．（3 分）下列各数中，最大的有理数是（）A．0 B．﹣1 C．﹣3 D．2．（3 分）把抛物线y＝﹣x2 向左平移1 个单位，然后向上平移3 个单位，则平移后抛物线的解析式为（）A．y＝﹣（x﹣1）2﹣3 B．y＝﹣（x+1）2﹣3C．y＝﹣（x﹣1）2+3 D．y＝﹣（x+1）2+33．（3 分）下列命题正确的是（）A．对角线相等且互相平分的四边形是菱形B．对角线相等且互相垂直的四边形是菱形C．对角线相等且互相平分的四边形是矩形D．对角线相等的四边形是等腰梯形4．（3 分）一个袋子里装有2000 个红球，1000 个黑球，10 个黄球，这些球仅颜色不同，要保证摸出的球中有1000 个颜色相同，至少应摸出多少个球（）A．1010 个B．2000 个C．2008 个D．2009 个5．（3 分）如图，在△ABC 中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB，CA 分别相交于点E，F，则线段EF 长度的最小值是（）A．B．4.75 C．5 D．4.86．（3 分）满足方程|x﹣1|﹣2|x﹣2|+3|x﹣3|＝4 的有理数x 有多少个（）B．2 C．3 D．无数7．（3 分）在反比例函数y＝的图象中，阴影部分的面积不等于4 的是（）A． B．C．D．8．（3 分）二次函数y＝ax2+bx+c 的图象如图所示．下列结论正确的是（）A．3|a|+|c|＞2|b| B．3|a|+|c|＝2|b| C．3|a|+|c|＜2|b| D．3|a|+|c|≤2|b|二、填空题（本大题共8 小题，每小题4 分，满分32 分．请将最简结果直接填在题后横线上）．9．（4 分）函数中，自变量x 的取值范围是．10．（4 分）已知，则代数式的值为．11．（4 分）甲、乙、丙三人同时玩“石头、剪刀、布”的游戏，游戏规则是：石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石头．则甲获胜（并列不计）的概率是．12．（4 分）若实数a，b 满足a+b2＝1，则2a2+7b2 的最小值是．13．（4 分）如图，△ABC 内接于⊙O，点P 是弧AC 上任意一点（不与A、C 重合），∠ABC＝55°，则∠P O C 的取值范围是．14．（4 分）若2x2﹣6y2+xy+kx+6 能分解为两个一次因式的积，则整数k 的值是．15．（4 分）关于x 的方程（a≠0）的解为．16．（4 分）如图，在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，有点P1，P2，P3，P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x 轴与y 轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1，S2，S3，则S1+S2+S3＝．三、解答题（本大题共 6 小题，满分64 分，解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程）17 ．（10 分）已知正实数x 、y 、z 、w 满足2007x2 ＝2008y2 ＝2009z2 ＝2010w2 ，且，求之值．18．（10 分）设正方形ABC D的中心为O，在以五个点A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角形中任意取出两个，求它们的面积恰好相等的概率．19．（10 分）已知a、b、c、d 为不同的实数，且a、c 是方程x2+ax﹣b＝0 的根，b、d 是方程x2+cx+d＝0 根．求a、b、c、d 的值．20．（10 分）已知函数y＝k2x2+k（2x﹣3x2）+2x2﹣2x+1 的图象不经过第四象限，求常数k 的取值范围．21．（12 分）如图，在矩形ABC D中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，点P 在矩形ABC D内，若AB＝4，BC＝6，AE＝CG＝3，BF＝DH＝4，四边形AEPH 的面积为5，求四边形PFCG 的面积．22．（12 分）如图，△ABC 的外心O关于三边的对称点分别为A′、B′、C′．求证：（1）AA′、BB′、CC′交于一点P；（2）设△ABC 三边中点分别为A1、B1、C1，则P 为△A1B1C1 的外心．参考答案一、选择题（本大题共8 小题，每小题 3 分，满分24 分．请将唯一正确的答案代号填在题后括号内）1.解：∵负数都小于0，正数大于一切负数，∴排除B 和C；∵是无理数，故四个数0，﹣1，﹣3，有理数最大的是0．故选：A．2.解：当y＝﹣x2 向左平移1 个单位时，顶点由原来的（0，0）变为（﹣1，0），当向上平移3 个单位时，顶点变为（﹣1，3），则平移后抛物线的解析式为y＝﹣（x+1）2+3．故选：D．3.解：A、错误，例如等腰梯形；B、错误，例如对角线互相垂的梯形；C、正确；D、错误，例如矩形．故选：C．4.解：最坏情况考虑就行了，摸出10 个黄球，摸出另二色中一色的999 个球，最后再摸出最后一色的1000 个球，这时可以保证至少有1000 个颜色相同，即最少要摸：10+999+1000＝2009 个球，故选：D．5．解：如图，∵∠ACB＝90°，∴EF 是直径，设EF 的中点为O，圆O 与AB 的切点为D，连接OD，CO，CD，则OD⊥AB．∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，∴∠ACB＝90°，∴EF 为直径，OC+OD＝EF，∴CO+OD＞CD＝4.8，∵当点O 在直角三角形ABC 的斜边AB 的高上CD 时，EF＝CD 有最小值∴由三角形面积公式得：CD＝BC•AC÷AB＝4.8．故选：D．6．解：当x﹣1≥0，x﹣2≥0，x﹣3＜0 时，x﹣1﹣2（x﹣2）+3（3﹣x）＝4，x＝2，当x﹣1≥0，x﹣2≥0，x﹣3＞0 时，x﹣1﹣2（x﹣2）+3（x﹣3）＝4，x＝5，当x﹣1≥0，x﹣2＜0，x﹣3＜0 时，x﹣1﹣2（2﹣x）+3（3﹣x）＝4原方程有无数解，当x﹣1≤0，x﹣2＜0，x﹣3＜0 时，1﹣x﹣2（2﹣x）+3（3﹣x）＝4，x＝1，∴满足方程|x﹣1|﹣2|x﹣2|+3|x﹣3|＝4 的有理数x 有无数个．故选：D．7.解：A、图形面积为|k|＝4；B、阴影是梯形，面积为6；C、D 面积均为两个三角形面积之和，为2×（|k|）＝4．故选：B．8.解：由函数图象可知a＜0，c＜0，由对称轴x＝﹣＞0，可知b＞0，∴3|a|+|c|﹣2|b|＝﹣（3a+2b+c），∵当x＝1 时，y＝a+b+c＞0，①又对称轴x＝﹣＞1，解得2a+b＞0，②①+②得3a+2b+c＞0，∴﹣（3a+2b+c）＜0，∴3|a|+|c|＜2|b|．故选：C．二、填空题（本大题共8 小题，每小题4 分，满分32 分．请将最简结果直接填在题后横线上）．9．解：根据题意得，3﹣x≥0 且x﹣1≠0，解得x≤3 且x≠1．故答案为：x≤3 且x≠1．10.解：解法一：∵﹣＝﹣＝3，即x﹣y＝﹣3xy，则原式＝＝＝4．解法二：将原式的分子和分母同时除以xy，＝＝＝4故答案为：4．11.解：甲要获胜，另外两人的出法就确定了，比如甲出石头，乙丙必须都出剪刀．而乙丙的出法共有3×3＝9 种，对于任意的甲的出法，只有其中一种满足条件．所以甲获胜的概率就是：．故答案为：．12．解：∵a+b2＝1，∴a＝1﹣b2∴2a2+7b2＝2（1﹣b2）2+7b2＝2b4+3b2+2＝2（b2+ ）2+2﹣＝2（b2+ ）2+ ，∵b2≥0，∴2（b2+ ）2+ ＞0，∴当b2＝0，即b＝0 时，2a2+7b2 的值最小．∴最小值是2．方法二：∵a+b2＝1，∴b2＝1﹣a，∴2a2+7b2＝2a2+7（1﹣a）＝2a2﹣7a+7＝2（a﹣）2+ ，∵b2≥0，∴1﹣a≥0，∴a≤1，∴当a＝1，即b＝0 时，2a2+7b2 的值最小．∴最小值是2．13．解：连接AO，则∠AOC＝2∠B＝110°，∴∠POC 的取值范围是：0°＜∠POC＜110°．14．解：设2x2﹣6y2+xy+kx+6 能分解成：（x+ay+c）（2x+by+d），即2x2+aby2+（2a+b）xy+（2c+d）x+（ad+bc）y+cd，∴cd＝6，∵6＝1×6＝2×3＝（﹣2）（﹣3）＝（﹣1）（﹣6），∴①c＝1，d＝6 时，ad+bc＝6a+b＝0，与2a+b＝1 联立求解得，，或c＝6，d＝1 时，ad+bc＝a+6b＝0与2a+b＝1 联立求解得，，②c＝2，d＝3 时，ad+bc＝3a+2b＝0，与2a+b＝1 联立求解得，，或c＝3，d＝2 时，ad+bc＝2a+3b＝0，与2a+b＝1 联立求解得，，③c＝﹣2，d＝﹣3 时，ad+bc＝﹣3a﹣2b＝0，与2a+b＝1 联立求解得，，或c＝﹣3，d＝﹣2，ad+bc＝﹣2a﹣3b＝0，与2a+b＝1 联立求解得，，④c＝﹣1，d＝﹣6 时，ad+bc＝﹣6a﹣b＝0，与2a+b＝1 联立求解得，，或c＝﹣6，d＝﹣1 时，ad+bc＝﹣a﹣6b＝0，＝，＝， +++与 2a +b ＝1 联立求解得，，∴c ＝2，d ＝3 时，c ＝﹣2，d ＝﹣3 时，符合， ∴k ＝2c +d ＝2×2+3＝7，k ＝2c +d ＝2×（﹣2）+（﹣3）＝﹣7， ∴整数 k 的值是 7，﹣7．故答案为：7，﹣7．15．解：方程的两边同乘（x ﹣1），得 ax 2﹣2a （x ﹣1）＝（a 2+1）（x ﹣1），解得 x 1＝a +1，x 2＝∴原方程的解为：x 1＝a +1，x 2＝．故答案为：x 1＝a +1，x 2＝．16．解：由题意，可知点 P 1、P 2、P 3、P 4 坐标分别为：（1，2），（2，1），（3，），（4，）．解法一：∵S 1＝1×（2﹣1）＝1， S 2＝1×（1﹣ ）＝， S 3＝1×（ ﹣）＝， ∴S 1+S 2+S 3＝1+ +＝．解法二：∵图中所构成的阴影部分的总面积正好是从点 P 1 向 x 轴、y 轴引垂线构成的长方形面积减去最下方的长方形的面积， ∴1×2﹣ ×1＝．故答案为：．三、解答题（本大题共 6 小题，满分 64 分，解答应写出必要文字说明、演算步骤和证明过程） 17．解：设 2007x 2＝2008y 2＝2009z 2＝2010z 2＝A ， ∴2007x ＝，2008y ＝，2009z ＝，2010w ＝，＝，＝，＝ + + + ＝1，＝+++∴2007x+2008y+2009z+2010w＝+++ ，＝A（+++），∵，∴2007x+2008y+2009z+2010w＝A．∴＝＝+++．18.解：如图所示：在正方形ABCD 中，O 为AC 和BD 的交点，则所有的三角形分别为：△AOB、△AOD、△BOC、△COD、△ABC、△ACD、△BCD、△ABD，根据正方形的性质，我们知道：△AOB、△AOD、△BOC、△COD 的面积相等，△ABC、△ACD、△BCD、△ABD 的面积相等，所以从所有三角形中任意取出两个，它们的面积相等的概率为＝＝．19.解：∵a、c 是方程x2+ax﹣b＝0 的根，b、d 是方程x2+cx+d＝0 根，∴a+c＝﹣a①，ac＝﹣b②，b+d＝﹣c③，bd＝d④，由④得b＝1，（若d＝0，由③得b＝﹣c，代入②得ac＝c 可得c＝0，a＝0 这与a、b、c、d 为不同的实数不符或a＝1 代入①得c＝﹣2，a、c 代入②得b＝2，b、c 代入③得d＝0，即a＝1，b＝2，c＝﹣2，d＝0）则ac＝﹣1，由①得c＝﹣2a，∴﹣2a2＝﹣1，解得a＝±，∴当a＝时，c＝﹣，d＝﹣c﹣b＝﹣1；当a＝﹣时，c＝，d＝﹣c﹣b＝﹣﹣1；所以a＝，b＝1，c＝﹣，d＝﹣1 或a＝﹣，b＝1，c＝，d＝﹣﹣1．20．解：y＝k2x2+k（2x﹣3x2）+2x2﹣2x+1，＝k2x2+2kx﹣3kx2+2x2﹣2x+1，＝（k2﹣3k+2）x2+（2k﹣2）x+1，当k2﹣3k+2＝0，∴（k﹣1）（k﹣2）＝0，∴k＝1 或k＝2，当k＝1 时，y＝1，是平行于x 轴的直线，不经过第四象限，当k＝2 时，y＝2x+1，图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，当k2﹣3k+2≠0，∴函数是二次函数，图象经过一、二象限，或一、二、三象限，∴图象对称轴在x 轴负半轴，开口向上，a，b 同号，∴k2﹣3k+2＞0，（k﹣1）（k﹣2）＞0，∴k﹣1＞0，k﹣2＞0 或k﹣1＜0，k﹣2＜0，解得k＞2 或k＜1，∴常数k 的取值范围是：函数是二次函数时：k＞2 或k＜1，函数是一次函数时：k＝1 或k＝2．21.解：解法一、连接AP，CP，设△AHP 在AH 边上的高为x，△AEP 在AE 边上的高为y．则△CFP 在CF 边上的高为4﹣x，△CGP 在CG 边上的高为6﹣y．∵AH＝CF＝2，AE＝CG＝3，∴S 四边形AEPH＝S△AHP+S△AEP，＝AH×x+ AE×y，＝×2x+×3y＝5，即2x+3y＝10，S 四边形PFCG＝S△CGP+S△CFP＝CF×（4﹣x）×+CG×（6﹣y）×，＝2（4﹣x）×+3（6﹣y）×，＝（26﹣2x﹣3y）×，＝（26﹣10）×，＝8．解法二、连接HE、EF、FG、GH，证△DHG≌△BFE，推出HG＝EF，同理：HE＝GF，则四边形EFGH 由条件知是平行四边形，面积为4×6﹣×3×2﹣×3×2﹣×4×1﹣×4×1＝14，由平行四边形性质知：S△HEP+S△FGP＝S 平行四边形EFGH＝7，∵△AEH 的面积为×3×2＝3，△CGF 的面积为×3×2＝3，四边形AEPH 的面积为5，∴△HEP 的面积是5﹣3＝2，△PGF 的面积是7﹣2＝5，∴四边形PFCG 的面积S＝S△PGF+S△CGF＝5+3＝8．答：四边形PFCG 的面积是8．22.证明：（1）设圆O半径为R．由△ABC 的外心O 关于三边的对称点分别为A′、B′、C′，知：BC′＝B′C＝R，∠C′BA＝∠C′AB＝∠OAB，∠B′CA＝∠B′AC＝∠OAC，∴∠C′BA+∠B′CA＝∠OAB+∠OAC＝∠BAC，∴∠C′BC+∠B′CB＝∠BAC+∠ABC+∠BCA＝180°，∴BC′∥B′C，∴BB′，CC′互相平分，交于中点，同理CC′，AA′互相平分，交于中点，∴AA′、BB′、CC′交于一点P；（2）∵P 为CC′中点，A1 为BC 中点，∴PA1＝B′C＝R，同理PB1＝R，PC1＝R，∴PA1＝PB1＝PC1，∴P 是△A1B1C1 的外心．。

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一、填空题（10×2=20分）
1、在初中阶段，《数学课程标准》安排的四个方面课程内容分别是
_______________,___________________,__________________,_______________
2、 .“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实践与综合应用”
3、 3、早在公元前3世纪，我国数学家_______________就用四个全等的直角三
角形拼图，证明了勾股定理，这个图形被称为“弦图”，2002年的世界数学家大
会的会标就是用此图为中央图案，寓意我国古代数学的成就。

赵爽
4、被后人誉为几何之父的杰出数学家是欧几里得，他得最有影响的著作是-
_________________________________。

《几何原本》
5、学生是学习的主人，教师是数学学习的________________、引导者与合作者。

6、有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与
______________是学生学习数学的重要方式。

7、简述《数学课程标准》所提出的初中阶段的数学教学，一般应采取什么样的
教学模式
8、请你叙述并证明直角三角形全等的判定定理（HL ）。

9、方程012=-+x x 所有实数根的和等于_________________________.
10、若梯形上底的长为1，两腰中点连接的线段长为3，那么，连接两条对角线
中点的线段长是_________________________
5
12、已知关于x 的方程019)13(22=-+--m x m mx 有两个实根，那么m 的取值范围
是_________________________
05
1≠≤m m 且 13、把实数表示在数轴上体现了数学思想；
14、已知
t b
a c a c
b
c b a =+=+=+，那么直线t tx x f +=)(一定通过第 2 象限. 10．秦汉时期我国著名的两部著作是_________________________
《周髀算经》、《九章算术》。

11．义务教育阶段的数学课程标准应体现基础性、__________、__________, 使数学教育面
向全体学生，实现：①人人学有价值的数学；②_________________________；
③______________________________。

11．普及性、发展性②人人都获得必需的数学；③不同的人在数学上得到不同的发展
12．新课程理念下教师的角色发生了变化，已有原来的主导者转变成了学生学习活动的________，学生探究发现的________，与学生共同学习的________。

12．组织者，引导者，合作者
16．如图，⊙C 经过原点且与两坐标轴分别交于点A 与点B ，点A 的坐
标为（0，4），M 是圆上一点，∠BMO=120º。

⊙C 的半径和圆心C
的坐标分别是___________，___________．
16．4， C （32-，2）
18．用“⇒”与“⇐”表示一种运算法则：（a ⇒b ）= -b ，（a ⇐b ）= -a ，如（2⇒3）= -3，则
()()2010201120092008⇒⇐⇒= ．
18．2011
三、解答题（5×8+2×10=60分）
21．（5分）先化简，再求值：a
a a a a a a -+-+--22
222139，其中2a =． 16。

若规定两数a ,b 运算得到通过”“⊗,22ab b a ab =⊗即例如1642242=⨯⨯=⊗（1）求57⊗
的值；（2）若不论x 取何值时，总有的值求a x ，x a =⊗.
16、（1）7075275=⨯⨯=⊗…………………………3分
（2）可化为x x a =⊗
0)12(,2=-=x a x ax 即（*）……………5分
∵不论x 取何值，（*）式成立
∴2
1,012==-a a 即…………………………7分 21、（本题满分8分）已知a 、b ，为有理数且b a +、b a -、ab 、
b
a 中恰有三个数相等，求
b a )2(的值.
21、解：∵0≠b
∴b a b a -≠+……………………2分
于是10,±===b a b
a a
b 或解得…………3分若00==b ，a 则必须矛盾………………4分
若则，b 1=
b a b a b
a a
b -+,,,中不可能有三个数相等…………5分当有时，b 1-=
b a b
a a
b b a b a ab -==+==
或………………6分对应的a 值分别为2121-或………………7分 ∴1)1()2(1±=±=-b a ………………8分
25．（5分）将背面完全相同，正面上分别写有数字1、2、3、4的四张卡片混合后，小明从
中随机地抽取一张，把卡片上的数字做为被减数，将形状、大小完全相同，分别标有数字1、2、3的三个小球混合后，小华从中随机地抽取一个，把小球上的数字做为减数，然后计算出这两个数的差．
（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两数差为0的概率；
（2）小明与小华做游戏，规则是：若这两数的差为非负数，则小明赢；否则，小华赢．你认为该游戏公平吗请说明理由．如果不公平，请你修改游戏规则，使游戏公平．
25．（1）P （两数差为0）＝14
（2）因为P （两数差为负数）＝
14，所以小明赢的概率为14
，而小华赢的概率为13144-=，14＜34，所以游戏不公平，可改为：
若这两数的差为负数，小明得3分，否则小华得1分，得分高者赢．（修改方法不唯一）
！。