线性规划问题及单纯形法概述

§2 线性规划问题的图解法
定义1 在LP 问题中，凡满足约束条件(2)、(3)的
解 x = (x1,x2,…,xn)T 称为LP 问题的可行解， 所有可行解的集合称为可行解集（或可行域）。
记作 D={ x | Ax = b ,x≥0 }。 定义2 设LP问题的可行域为D，若存在x*∈D，使得
对任意的x∈D 都有c x*≥c x，则称x*为LP 问题
线性规划问题的标准形式：
max z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn s.t. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = b2 …… am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
xj ≥ 0 （j = 1,2,…,n） bi ≥ 0 （i = 1,2,…,m）
(1) 如果 p1, p2,…, pk 线性无关，即 x 的非零分量对应的列向量线
性无关，则由定理1知，它是LP 的一个基本可行解，定理成立。 (2) 如果p1,p2,…,pk线性相关，则必存在一组不全为零的数
δ1,δ2, …,δk 使得
第一章 线性规划及单纯形法
假定有δi≠0， 取
作 由（6）式知，必有
自由变量 （独立变量）
令
称（4）为相应于基 B 的基本解
第一章
线性规划及单纯形法
是可行解吗？
max z’= x1-2x2+3x4- 3x5 s.t. x1+x2+x4-x5+x6=7
x1-x2+x4-x5-x7=2 3x1-x2-2x4+2x5=5 x1,x2,x4,x5,x6,x7≥0
令 x1=x2=x4=0
三个基本要素：
1、决策变量 xj≥0 2、约束条件 —— 一组决策变量的线性等式或不等式 3、目标函数 —— 决策变量的线性函数
第一章 线性规划及单纯形法
线性规划问题的一般形式：
max（min）z = c1x1 + c2x2 + … + cnxn s.t. a11x1 + a12x2 + … + a1nxn ≤（或=，≥）b1
的最优解，相应的目标函数值称为最优值，
记作 z*=c x*。
§2 线性规划问题的图解法 目标函数变形：
max z = 15x1 +25x2 s.t. x1 + 3x2 ≤ 60
x2=-3/5 x1+z/2B5点是使z达到最
大的唯一可行点
x2
x1 + x2 ≤ 40 x1，x2 ≥ 0
A (0,20)
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn ≤（或=，≥）b2
……
am1x1 + am2x2 + … + amnxn ≤（或=，≥）bm xj ≥ 0 （j = 1,2,…,n）
其中aij、bi、cj（i = 1,2,…,m；j = 1,2,…,n）为已知
常数
§1 线性规划问题及其数学模型
x1
第一章 线性规划及单纯形法
可行域为无界 区域一定无最 优解吗？
x2
▪max ▪ s.t. ▪ ▪
z = 2x1 + 2x2 2x1 – x2 ≥ 2 -x1 + 4x2≤ 4 x1，x2 ≥ 0
(１
O
,0) A
Note:
可行域为无界区域， 目标函数值可无限 增大，即解无界。 称为无最优解。 x1
设x = (x1, x2,…, xn)T 是LP 问题的一个可行解，如果 x = 0，
则由定理 1知，它是LP 问题的一个基可行解，定理成立。
如果x≠0，不妨设 x 的前 k 个分量为非零分量。 则有 x1p1 + x2p2 +…+xkpk = b，及 x1>0, x2>0,…, xk > 0，
分两种情况讨论：
第一章 线性规划及单纯形法
e.g. 3 试将 LP 问题
min z = -x1+2x2-3x3 s.t. x1+x2+x3 ≤7
x1-x2+x3 ≥2 -3x1+x2+2x3 = -5
max z’= x1-2x2+3x4- 3x5 s.t. x1+x2+x4-x5+x6=7
x1-x2+x4-x5-x7=2 3x1-x2-2x4+2x5=5 x1,x2,x4,x5,x6,x7≥0
图解法优点： 直观、易掌握。有助于了解解的结构。
图解法缺点： 只能解决低维问题，对高维无能为力。
§3 线性规划问题解的基本性质
讨论如下 LP 问题：
假设 A 的秩为 m ,
且只讨论 m < n 的情
其中
形。
系数矩阵
决策向量
什么意思？ 为什么？
第一章 线性规划及单纯形法
定义 3 在上述 LP 问题中，约束方程组（2）的系数 矩阵 A 的任意一个 m×m 阶的非奇异的子方阵 B （即 |B|≠0），称为 LP 问题的一个基阵或基。
如果 B-1b ≥ 0，则称（4）为相应于基 B 的基可行
解，此时的基 B 称为可行基。
§3 线性规划问题解的基本性质
基本解唯一吗？ 最多有多少？
Rn
非可行解
定义 4 在LP问题的一个 基可行解中，如果它的所
基 可行解 可 基解
行 解
有的基变量都取正值，则
称它是非退化的解；反之，如果有一个基变量也取
量所对LP应问的题列是一向个量线性无关。
组合优化问题
定理2 证明
定理 2 如果一个 LP 问题有可行解，则它必有基可行解。
定理 3 如果一个 LP 问题有最优解，则必存在一个基可
行解是它的最优解。
定理3 证明
定理 2、定理 3 称为 LP 问题的基本定理
向前
§3 线性规划问题解的基本性质
定理 2 证明
(0,0) O
B (30,10)
C (40,0)
Z=250
L2
最优解：
x1=30 x2 =10
最优值：zmax=700
x1
L1
第一章 线性规划及单纯形法
LP问题图解法的基本步骤：
1、在平面上建立直角坐标系； 2、图示约束条件，确定可行域和顶点坐标； 3、图示目标函数（等值线）和移动方向； 4、寻找最优解。
xn+1 ≥ 0
松弛变量
如何处理？
§1 线性规划问题及其数学模型
３、右端项bi < 0时，只需将等式两端同乘（-1）
则右端项必大于零
4、决策变量无非负约束 设 xj 没有非负约束，若 xj ≤0，可令 xj = - xj’ ， 则 xj’ ≥0； 又若 xj 为自由变量，即 xj 可为任意实数， 可令 xj = xj’ - xj’’，且 xj’ , xj’’ ≥0
问润如：表如何1。安排生产计划，
产品
资源
甲
乙 库存量
使得既能充分利用现有资
A
13
60
源又使总利润最大？
B
11
40
单件利润 15 25
第一章 线性规划及单纯形法
解 ： 设 x1，x2 为下一个生
产周期产品甲和乙的产量；
表1 产品
决策变量
约束条件：
x1 + 3x2 ≤ 60 x1 + x2 ≤ 40
资源
一个新的可行解
，使它的非零分量的个数继续减
少。这样经过有限次重复之后，必可找到一个可行解
使它的非零分量对应的列向量线性无关，故可行解
必为基可行解。证毕。
假定在市场上可买到 B1,B2,…Bn n 种食品，第 i 种
食品的单价是 ci , 另外有 m 种营养 A1,A2,…Am。设 Bj
内含有 Ai 种营养数量为 aij (i=1~m,j=1~n)，又知人们每
天对 Ai 营养的最少
表2
需要量为 bi。见表2：
食品
最少
试在满足营养要 求的前提下，确定食 品的购买量，使食品 的总价格最低。
记：
称 pi (i=1,2,…,m) 为基向量; xi (i=1,2,…,m) 为基变量；
pj (j= m+1,…,n) 为非基向量; 则
xj (j= m+1,…,n) 为非基变量
A = ( B, N )
§3 线性规划问题解的基本性质
A = ( B, N )
则
,
xB= (x1,…,xm)T , xN =(xm+1,…,xn)T 代入约束方程（2），得
营养
A1 A…2 Am 单价
B1 B2 … Bn 需要量
a11 a12 … a1n
b1
…a21
…a22
… …
…a2n
…b2
am1 am2 … amn
bm
c1 c2 … cn
第一章 线性规划及单纯形法
解：
设 xj 为购买食 品 Bj 的数量 ( j=1,2, …,n )
表2
食品
最少
营养
A1 A…2 Am 单价
特点：
1、目标函数为极 大化； 2、除决策变量的 非负约束外，所有 的约束条件都是等 式，且右端常数均 为非负；
3、所有决策变量 均非负。
第一章 线性规划及单纯形法
如何转化为标准形式？
1、目标函数为求极小值，即为：
。
因为求 min z 等价于求 max (-z)，令 z’ = - z，
即化为： 2、约束条件为不等式，
线性规划问题及单纯形法概 述
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第一章 线性规划及单纯形法
线性规划（Linear Programming，简称LP） 运筹学的一个重要分支，是运筹学中研究较早、发展较 快、理论上较成熟和应用上极为广泛的一个分支。
1947年G.B. Dantying提出了一般线性规划问题求解 的方法——单纯形法之后，线性规划的理论与应用都得 到了极大的发展。
60年来，随着计算机的发展，线性规划已广泛应用 于工业、农业、商业、交通运输、经济管理和国防等各 个领域，成为现代化管理的有力工具之一。
§1 线性规划问题及其数学模型
e.g. 1 资源的合理利用问题
某工厂在下一个生产周期内生产甲、乙两种产品，
要消耗A、B 两种资源，已知每件产品对这两种资源
的
消耗，这两种资源的现有数量和每件产品可获得的利 表1
§2 线性规划问题的图解法
由以上两例分析可得如下重要结论：
1、LP 问题从解的角度可分为：
⑴ 有可行解 ⑵ 无可行解
a. 有唯一最优解 b. 有无穷多最优解 C. 无最优解
2、LP 问题若有最优解，必在可行域的某个顶点上取
到；若有两个顶点上同时取到，则这两点的连线上
任一点都是最优解。
§2 线性规划问题的图解法
即
其中 又因为由（5）式知
故有，
，即
也是LP的两个可行解。
§3 线性规划问题解的基本性质
e 再由 的取法知，在式 (7) 的诸式中，
至少有一个等于零，于是所作的可行解
中，它的
非零分量的个数至少比 x 的减少1，如果这些非零分量所对应
的列向量线性无关，则
为基可行解，定理成立。
否则，可以从
出发，重复上述步骤，再构造
甲
A
1
B
1
单件利润 15
乙 库存量
3
60
1
40
25
x1，x2 ≥ 0 目标函数：
z = 15 x1 +25 x2
Subject to
max z = 15x1 +25x2 s.t. x1 + 3x2 ≤ 60
x1 + x2 ≤ 40 x1，x2 ≥ 0
§1 线性规划问题及其数学模型
e.g. 2 营养问题
x1 - 1.9x2 ≥ -3.8

x1 ，x2 ≥ 0
x1 - 1.9 x2 = -3.8
(0,2)
D可行域
（7.6,2）
max Z
min Z o
(3.8,0)
x1 + 1.9 x2= 3.8 0=3 x1 +5.7 x2
x1 - 1.9 x2 = 3.8 34.2 = 3 x1 +5.7 x2
x1,x2 ≥0 化为标准形式。
解： 令 x3= x4 - x5 其中x4、x5 ≥0；
对第一个约束条件加上松弛变量 x6 ；
对第二个约束条件减去松弛变量 x7 ；
对第三个约束条件两边乘以“-1” ；
令 z’=-z 把求 min z 改为求 max z’
§1 线性规划问题及其数学模型
LP的几种表示形式：
§2 线性规划问题的图解法
绿色线段上的所有点 都是最优解,即有无穷多 最优解。Zman=34.2
x1 + 1.9 x2 = 11.4
x2
（3.8,4）
max z =3x1 + 5.7x2
s.t. x1 + 1.9x2 ≥ 3.8
x1 - 1.9x2≤ 3.8
x1 + 1.9x2 ≤11.4
零值，则称它是退化的解。一个LP问题，如果它的
所有基可行解都是非退化的就称该是非退化的，否
则就称它是退化的。
第一章 线性规划及单纯形法
LP 问题解的基本性质
Ax=0
定理 1 设 x 是 LP 问题的可行解
(1) 若 x = 0，则它Baidu Nhomakorabea定是基可行解；
(2) 若 x≠0，则 x 是基可行解的充要条件是它的非零分
B1 B2 … Bn 需要量
a11 a12 … a1n
b1
…a21
…a22
… …
…a2n
…b2
am1 am2 … amn
bm
c1 c2 … cn
（i = 1,2,…,m） xj≥0 （j = 1,2,…,n）
0≤ xj ≤lj
§1 线性规划问题及其数学模型
Note：
1、善于抓住关键因素，忽略对系统影响不大的因素； 2、可以把一个大系统合理地分解成 n 个子系统处理。