大一高数(下)2,大一下学期高数总结归纳

河北科技大学

《高等数学》（下）期末考试2

一、填空题（共12分）

1． （3分） 若{}1,3,2,a =-{}5,1,4b =-,则a b ⋅= . 2. （3分） 曲面x y z 22214++=在点(1,2,3)处的法线方程为

.

3. （3分） 微分方程20y y y '''+-=的通解为 .

4. （3分）设()f x 是以2π为周期的周期函数，则其傅里叶级数的系数表 达式为n a = (0,1,2,),n =n b = (1,2,).n = 二、选择题（共16分） 1. （4分）级数2

11

(1)n

n n ∞

=-∑为( ). (A)发散 (B)条件收敛 (C)绝对收敛 (D)收敛性不确定

2. （4分）设曲面222x y R +=与222x z R +=(0)R >所围成的空间立体的体积为,V 若该立体在第一卦限部分的体积是1,V 则（ ）.

(A)1:4:1V V = (B) 1:6:1V V = (C)1:8:1V V = (D) 1:16:1V V = 3. （4分）二重积分D

f x y d (,)σ⎰⎰在极坐标系下的面积元素为（ ）.

(A)d dxdy σ= (B)d rdrd σθ= (C)d drd σθ= (D)d r drd 2sin σθθ= 4. （4分）若可微函数(,)z f x y =在点00(,)x y 处取得极小值，,则下列结论中正确的是( ).

(A)0(,)f x y 在0y y =处的导数大于零 (B)0(,)f x y 在0y y =处的导数等于零 (C) 0(,)f x y 在0y y =处的导数小于零 (D) 0(,)f x y 在0y y =处的导数不存在 三、计算题（共12分）

1. （6分）设2(,)(1)arctan ,xy f x y e y xy =+-求(,1).x f x

2. （6分）设(,)z f x y =由方程0z e xyz -=所确定，求.dz 四、计算题（共18分）

1.（6分）计算二重积分22(),D

x y x d σ+-⎰⎰其中D 是由直线2,y y x ==及

2y x =所围成的闭区域.

2.（6分）将函数()ln(2)f x x =+展开为麦克劳林级数.

3.（6分）在斜边边长为定数l 的直角三角形中,求有最大周长的直角三角形.

五、计算题（共12分） 1. （6分）计算曲线积分22,L

x y ds +⎰

其中L 为222(0),x y a a y x

+=>=及x 轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界.

2.（6分）求曲面积分2(2),I xdydz ydzdx z z dxdy ∑

=+

+-⎰⎰其中∑为锥面

z z 1)=≤的下侧. 六、计算题（共18分）

1.（6分）计算曲线积分231(2),3c

x y y dx x x dy ⎛⎫

-+- ⎪⎝⎭

⎰其中c 是由直线

1,,2x y x y x ===所围成的三角形的正向边界. 2. （6分）判别级数111

tan n n

n ∞

=∑的敛散性.

3. （6分）求幂级数1

1

(1)(1)

n

n n x n

∞

-=+-∑的收敛半径和收敛区间. 七、计算题（共12分）

1. （6分）求微分方程4x y y xe ''-=在初始条件000,1x x y y =='==下的

特解.

2. （6分）设曲线积分[()]sin ()cos x L

f x e ydx f x ydy --⎰与路径无关,

其中()f x 有一阶连续的导数,且(0)0,f =求()f x .

评分标准

一、 1. 10;- 2.

123

;123

x y z ---== 3.212.x x

y C e C e -=+

4. 1

1

()cos ,()sin ;n n a f x nxdx b f x nxdx π

π

π

ππ

π

-

-

=

=

⎰⎰;

二、 1 C; 2 C; 3 B; 4 B. 三、 1 解

(,1),

x f x e = 2分

(,1).x

x f x e ∴= 4分

2 解 方程两边求微分得0,z

e dz yzdx xzdy xydz ---= 3分 z yzdx xzdy

dz e xy

+=

- 3分

四、 1 解 画图 1分

原式 2

220

2

()y

y dy x y x dx =

+-⎰

⎰ 2分

2320193248y y dy ⎡⎤

=-⎢⎥⎣

⎦⎰ 2分 13

.6

=

1分 2 解

n n

x x x x x x x n 234

1

ln(1)(1)(11),234

1

++=-+-+

+-+

-<≤+

2分

ln(2)ln 21ln 2ln 122x x x ⎛⎫⎛

⎫∴+=+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭ 1分