四川省雅安市2016届中考数学复习题角的平分线的性质
角的平分线的性质
D
C
已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且
BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F.
求证:EB=FC.
证明：Q AD平分BAC, DE AB, DF AC
DE DF
A
在RtVBED和RtVCFD中
BD CD
DE DF
RtVBED≌RtVCFD(HL)
E
F
EB FC
猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
已知：OC平分∠AOB，点P在OC上，PD⊥OA于D， PE⊥OB于E，求证: PD=PE.
证明:∵ ＯC平分∠ＡＯＢ, P是OC上一点（已知）
∴∠DＯP=∠BＯP（角平分线定义）
∵PD⊥OA,PE⊥OB （已知）
A
∴∠ODP=∠OEP=90°（垂直的定义） D 在△OPD和△OPE中
C
D
A
EB
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1. 角平分线的性质：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
2. 它为我们提供了证明什么的方法？ 3. 在应用过程中要注意哪里问题？
则PE的长度为 10 ．
(角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。)
已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且 BD=CD,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E,F. 求证:EB=FC.
A
【解析】根据角平分线的性质得
到DE=DF，再根据HL证
E
F
△BED≌△CFD,从而得到EB=FC. B
∠DOP=∠BOP （已证） ∠ODP=∠OEP （已证） OP=OP （已知）
1 2
O
C P EB
∴ △OPD≌△OPE(AAS)
角的平分线的性质课件()
角平分线与三角形高的关系
总结词
角平分线与三角形的高之间存在密切的联系，主要表现在高与角的两边之间的关系上。
详细描述
在三角形中，如果一个角被角平分线分成两个相等的部分，那么这个角所对应的高也将被角平分线分成两个相等 的部分。这个性质在解决一些几何问题时非常有用，因为它可以帮助我们更好地理解高与角的两边之间的关系。
角的平分线的性质课 件
目录
CONTENTS
• 角的平分线的定义 • 角平分线定理 • 角平分线的性质的应用 • 角平分线的性质与三角形的性质
的关系
01
角的平分线的定义
角的平分线的描述
01
角的平分线是一条射线，它将一 个角分为两个相等的部分。
02
角的平分线上的任意一点到这个 角的两边的距离相等。
角平分线上的点到这个角的两边的距离相等，因此可以利用这一性质来证明角平分 线上的点到这个角的两边的距离相等。
02
角平分线定理
角平分线定理的描述
角平分线定理
从角的顶点出发，将角平分，则 该角的平分线上的任意一点到这 个角的两边的距离相等。
定理的数学表达式
假设O是角AOB的顶点，D和E分 别是角AOB两边OA和OB上的点 ，如果通过O作一条角平分线OC ，则有OD=OE。
在平行四边形中，角平分线可以用来证明对角线互相平分， 从而证明平行四边形是中心对称图形。此外，角平分线还可 以用来证明一些与角度和边长相关的几何定理，如塞瓦定理 和梅涅劳斯定理。
在三角形中的运用
在三角形中，角平分线可以将一个角分为两个相等的角， 从而将三角形分为两个相似的部分。这个性质可以用来证 明一些与三角形相关的定理和性质，如角的平分线定理和 三角形的面积公式。
《角的平分线性质》
《角的平分线性质》汇报人：日期:•复习导入•探索角平分线的性质•深化理解与运用目录•综合练习•小结与反思复习导入01回顾角的概念直角等于90度的角。
锐角大于0度小于90度的角。
钝角大于90度但小于180度的角。
周角等于360度的角。
平角等于180度的角。
角平分线：把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。
角平分线的定义定理1在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
定理2一个角的两边的距离相等的点一定在这个角的平分线上。
角平分线的性质定理探索角平分线的性质02这个性质可以用于证明两个角是否相等，或者用于找到一个点到一条直线的最短距离。
角平分线的性质角平分线上的点到角两边的距离相等。
描述了角平分线的一个基本性质，即角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。
这个性质在几何学中非常重要，因为它提供了测量角度大小的一种方法。
角平分线的性质三角形内心到三角形三边的距离相等。
这个性质是角平分线性质在三角形中的推广，它表明三角形内心到三角形三边的距离相等。
这个性质在解决与三角形内切圆有关的问题时非常有用。
例如，可以利用这个性质来证明一个三角形内切圆的半径等于该三角形三条角平分线的交点到三角形三边的距离之和。
角平分线的性质在同一平面内，如果两条角平分线相等，那么它们所夹的角也相等。
这个性质可以用于证明两个角是否相等，或者用于找到两个相等的角所对应的两条角平分线之间的距离。
例如，可以利用这个性质来证明一个等腰三角形的底边上的高与两条腰上的高相等。
深化理解与运用03总结：角平分线性质是几何学中的重要概念，通过运用角平分线的性质进行证明，可以解决许多几何问题。
角平分线性质定理表明，一个角的平分线将这个角分为两个相等的部分。
这个性质可以用于证明两个角相等、两条线段相等等。
在证明过程中，通常需要借助三角形全等或平行线的性质等其他基本定理。
运用角平分线的性质进行证明总结：角平分线的性质不仅在几何学中有广泛应用，在日常生活中也有很多实际应用。
角平分线性质成稿.ppt
∠C=90° AD是∠BAC的平分
线，DE⊥AB于E，F在AC上，
BD=DF；
求证：CF=EB
C
D
B
分析:要证CF=EB,首先我们想到的是要证它
们所在的两个三角形全等,即Rt△CDF ≌Rt△EDB.
现已有一个条件BD=DF(斜边相等),还需
要我们找什么条件
试试自己写
DC=DE (因为角的平分线的性质) 证明。你一
求证：AC=BD.
O
C
D
A
E
B
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5.已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,
（1）若CD=3，则点D到AB的距离是多少？
（2）若AB=10，则△ABD的面积是多少？
（3）若EB=2,CB=5, 则△DEB的周长是多少？
C D
A
EB
1、会用尺规作角的平分线.
2、角的平分线的性质:
角的平分线上的点到角的两边的距离相等
用数学语言表述：
A
∵ OC是∠AOB的平分线
D
PD⊥OA，PE⊥OB ∴ PD＝PE
1 O2
P C
E
B
练一练
A E
C
B
D
在△ABC中，AC⊥BC，AD为
∠BAC的平分线，DE⊥AB，AB
＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长。
A
如 图 ： 在 △ ABC 中 ， F
E
再用HL证明.
定行！
角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
定理的关键词：
（1）角的平分线上的点；
（2）距离；
（3）相等
O
D
【参考借鉴】角平分线的性质定理和判定(经典).doc
角平分线的性质定理和判定1、角平分线：把一个角平均分为两个相同的角的射线叫该角的平分线；2、角平分线的性质定理：角平分线上的点到角的两边的距离相等：①平分线上的点；②点到边的距离；3、角平分线的判定定理：到角的两边的距离相等的点在角平分线上例2.如图，∠例3.如图，已知△面积是多少？例1、已知：如图所示，CD ⊥AB 于点D ，BE ⊥AC 于点E ，BE 、CD 交于点O ，且AO 平分∠BAC ，求证：OB=OC ． 【变式练习】如图，已知∠1=∠2，P 为BN 上的一点，PF⊥BC 于F ，PA=PC ，求证：∠PCB+∠BAP=180º例2、已知：如图，∠B=∠C=90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠ADC ．（1）若连接AM ，则AM 是否平分∠BAD ？请你证明你的结论； （2）线段DM 与AM 有怎样的位置关系？请说明理由． （3）CD 、AB 、AD 间？直接写出结果【变式练习】如图，△ABC 中，P 是角平分线AD ，BE 的交点．求证：点P 在∠C 的平分线上．21NPF CBA例3.如图，在△ABC中，BD为∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，且DE=2cm，AB=9cm，BC=6cm，求△ABC的面积．【变式练习】如图，D、E、F分别是△ABC的三条边上的点，CE=BF，△DCE和△DBF的面积相等．求证：AD平分∠BAC．例1.已知，如图，CE⊥AB,BD⊥AC,∠B=∠C，BF=CF。
求证：AF为∠BAC的平分线。
（1）有角平分线，通常向角两边引垂线。
（2）证明点在角的平分线上，关键是要证明这个点到角两边的距离相等，即证明线段相等。
常用方法有：使用全等三角形，角平分线的性质和利用面积相等，但特别要注意点到角两边的距离。
（3）注意：许多同学对证明两个三角形全等的问题已经很熟悉了，所以证题时，不习惯直接应用角平分线性质定理和判定定理，仍然去找全等三角形，结果相当于重新证明了一次这两个结论．所以特别提醒大家，能用简单方法的，就不要绕远路．A组一、耐心选一选，你会开心（每题6分，共30分）1．三角形中到三边距离相等的点是（）A、三条边的垂直平分线的交点B、三条高的交点C、三条中线的交点D、三条角平分线的交点2．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ，AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB ，垂足为E ，若AB ＝12cm ，则△DBE 的周长为（）A 、12cmB 、10cmC 、14cmD 、11cmDC EB3．如图2所示，已知PA 、PC 分别是△ABC 的外角∠DAC 、∠ECA 的平分线，PM ⊥BD ，PN ⊥BE ，垂足分别为M 、N ，那么PM 与PN 的关系是（）A.PM ＞PNB.PM ＝PNC.PM ＜PND.无法确定4．如图3所示，△ABC 中，AB=AC ，AD 是∠A下面给出四个结论，其中正确的结论有() ①AD 平分∠EDF ；②AE=AF ；③AD 上的点到B 、C ④到AE 、AF 距离相等的点，到DE 、DF 的距离也相等 A 、1个B 、2个C 、3个D 、4个 5．如图，已知点D 是∠ABC 的平分线上一点，点P 在BD 上，P 垂足分别为A ，C ．下列结论错误的是（）． A ．AD =CP B ．△ABP ≌△CBPC ．△ABD ≌△CBD D ．∠ADB =∠CDB ． 二、解答题6．已知：AD 是△ABC 角平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E 、F ，BD ＝CD ，证：∠B ＝∠C. 7．如图，已知在△ABC 中，90C ∠=，点D 是斜边AB 的中点，2AB BC =，DE AB ⊥交AC 于E ．求证：BE 平分ABC ∠．8、如图，∠B =∠C =90°，M 是BC 的中点，DM 平分∠9.如图，在∠AOB 的两边OA ，OB 上分别取OM=ON ，OD=OE ，DN 和EM 相交于点C ． 求证：点C 在∠AOB 的平分线上．ＡＣDMA B N P E 图2BC一．选择题（共3小题）1．（20RR•衢州）如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA=2，则PQ的最小值为（）的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）F．S△ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）4．（20RR•岳阳）如图，AD∥BC，∠ABC的角平分线BP与∠BAD的角平分线AP相交于点P，作PE ⊥AB于点E．若PE=2，则两平行线AD与BC间的距离为_________．5．（20RR•桂林）求证：角平分线上的点到这个角的两边距离相等．已知：求证：证明：。
中考数学复习题方法技巧专题七角平分线训练(含答案)
方法技巧专题(七) 角平分线训练【方法解读】1.与角平分线有关的判定和性质:(1)角平分线的判定和性质.(2)角平分线的夹角:①三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的和;②三角形两外角的平分线的夹角等于90°与第三角一半的差;③三角形一内角与另一外角的平分线的夹角等于第三角的一半.(3)三角形的内心及其性质.(4)圆中弧、圆心角、圆周角之间的关系.2.与角平分线有关的图形或辅助线:(1)角平分线“加”平行线构成等腰三角形.(2)角平分线“加”垂线构成等腰三角形.(3)过角平分线上的点作边的垂线.1.[2018·黑龙江] 如图F7-1,∠B=∠C=90°,M是BC的中点,DM平分∠ADC,且∠ADC=110°,则∠MAB的度数是 ()图F7-1A.30°B.35°C.45°D.60°2.[2018·陕西] 如图F7-2,在△ABC中,AC=8,∠ABC=60°,∠C=45°,AD⊥BC,垂足为D,∠ABC的平分线交AD于点E,则AE的长为()图F7-2A.B.2C.D.33.[2018·达州] 如图F7-3,△ABC的周长为19,点D,E在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M.若BC=7,则MN的长为()图F7-3A.B.2C.D.34.如图F7-4,在直角梯形ABCD中,DC∥AB,∠DAB=90°,AC⊥BC,AC=BC,∠ABC的平分线分别交AD,AC于点E,F,则的值是()图F7-4A.-1B.2+C.+1D.5.[2017·滨州] 如图F7-5,点P为定角∠AOB的平分线上的一个定点,且∠MPN与∠AOB互补.若∠MPN在绕点P旋转的过程中,其两边分别与OA,OB相交于M,N两点,则以下结论:(1)PM=PN恒成立;(2)OM+ON的值不变;(3)四边形PMON的面积不变;(4)MN的长不变.其中正确的个数为()图F7-5A.4B.3C.2D.16.[2016·宁夏] 如图F7-6,在平行四边形ABCD中,∠BAD的平分线AE交BC于点E,且BE=3,若平行四边形ABCD的周长是16,则EC等于.图F7-67.[2017·十堰] 如图F7-7,△ABC内接于☉O,∠ACB=90°,∠ACB的平分线交☉O于点D,若AC=6,BD=5,则BC的长为.图F7-78.如图F7-8,在矩形ABCD中,∠ABC的平分线BE与AD交于点E,∠BED的平分线EF与DC交于点F,若AB=9,DF=2FC,则BC= .(结果保留根号)图F7-89.如图F7-9,已知☉O的直径AB=5,AC,AE为弦,且AC=4,AC平分∠BAE,求AE的长.图F7-910.[2017·盐城] 如图F7-10,矩形ABCD中,∠ABD,∠CDB的平分线BE,DF分别交边AD,BC于点E,F.(1)求证:四边形BEDF为平行四边形.(2)当∠ABE为多少度时,四边形BEDF是菱形?请说明理由.图F7-1011.[2017·临沂] 如图F7-11,∠BAC的平分线交△ABC的外接圆于点D,∠ABC的平分线交AD于点E.(1)求证:DE=DB;(2)若∠BAC=90°,BD=4,求△ABC外接圆的半径.图F7-1112.如图F7-12,BD是△ABC的角平分线,它的垂直平分线分别交AB,BD,BC于点E,F,G,连结ED,DG.(1)请判断四边形EBGD的形状,并说明理由;(2)若∠ABC=30°,∠C=45°,ED=2,点H是BD上的一个动点,求HG+HC的最小值.图F7-12参考答案1.B2.C[解析] ∵BE平分∠ABD,∠ABC=60°,∴∠ABE=∠EBD=30°.∵AD⊥BC,∴∠BDA=90°.∴DE=BE.∵∠BAD=90°-60°=30°,∴∠BAD=∠ABE=30°,∴AE=BE=2DE,∴AE=AD.在Rt△ACD中,sin C=,∴AD=AC sin C=8×=4,∴AE=×4=.故选C.3.C[解析] ∵△ABC的周长为19,BC=7,∴AB+AC=12.∵∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为N,∴BA=BE,N是AE的中点.∵∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为M,∴AC=DC,M是AD的中点,∴DE=AB+AC-BC=5.∵MN是△ADE的中位线,∴MN=DE=.故选C.4.C[解析] 如图,过点F作FG⊥AD于点G.依题意可知△ABC是等腰直角三角形,∴△AFG也是等腰直角三角形.设FG=1,则AG=1,AF=.∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=22.5°.∴∠AEB=90°-∠ABE=67.5°,∠AFE=∠CAB+∠ABE=67.5°.∴∠AEB=∠AFE,∴AE=AF=,∴EG=-1.∵FG⊥AD,∠DAB=90°,∴FG∥AB.∴===+1.故选C.5.B[解析] 结论(1),如图,过点P分别作OA,OB的垂线段,由于∠PEO=∠PFO=90°,因此∠AOB与∠EPF互补,由已知“∠MPN与∠AOB互补”,可得∠MPN=∠EPF,可得∠MPE=∠NPF.根据“角平分线上一点到角两边距离相等”,可证PE=PF,即可证得Rt△PME≌Rt△PNF,因此对于结论(1),“PM=PN”由全等即可证得是成立的;结论(2),也可以由全等得到ME=NF,即可证得OM+ON=OE+OF,由于OE+OF保持不变,因此OM+ON的值也保持不变;结论(3),由“Rt△PME≌Rt△PNF”可得这两个三角形的面积相等,因此四边形PMON的面积与四边形PEOF的面积始终相等,因此结论(3)是正确的;结论(4),如图,连结EF,对于△PMN与△PEF,这两个三角形都是等腰三角形,且顶角相等,但由于腰长不等,因此这两个三角形不可能全等,所以底边MN与EF不可能相等.所以MN的长是变化的.故选B.6.27.8[解析] 连结DA,因为∠ACB=90°,所以AB为☉O的直径,所以∠ADB=90°.因为CD平分∠ACB,所以BD=AD.在△ABD 中,AB===10.在△ABC中,BC===8.8.6+3[解析] 如图,延长EF和BC,交于点G.矩形ABCD中,∠ABC的平分线BE与AD交于点E,所以∠ABE=∠GBE=45°,所以在Rt△ABE中,∠ABE=∠AEB=45°,所以AB=AE=9.在Rt△ABE中,根据勾股定理,得BE===9.又因为∠BED的平分线EF与DC相交于点F,所以∠BEG=∠DEF.因为AD∥BC,所以∠G=∠DEF,所以∠BEG=∠G,所以BG=BE=9.由∠G=∠DEF,∠EFD=∠GFC,可得△EFD∽△GFC,所以===.设CG=x,DE=2x,则AD=9+2x=BC.因为BG=BC+CG,所以9=9+2x+x,解得x=3-3,所以BC=9+2x=9+2(3-3)=6+3.9.解:如图,连结BC,BE,OC,OC交BE于点G.因为∠BAE=2∠BAC=∠BOC,且∠BAE+∠ABE=90°,所以∠OGB=90°,即OC⊥BE,所以BG=EG,AE=2OG.设OG=x,则CG=-x,BC=3,由勾股定理可得OB2-OG2=BC2-CG2,即-x2=9--x2,解得x=,故AE=2x=.10.解:(1)证明:∵四边形ABCD是矩形,∴AB∥CD,BC∥AD,∴∠ABD=∠CDB.∵BE平分∠ABD,DF平分∠CDB,∴∠EBD=∠ABD,∠FDB=∠CDB.∴∠EBD=∠FDB.∴BE∥DF.又∵BC∥AD,∴四边形BEDF是平行四边形. (2)当∠ABE=30°时,四边形BEDF是菱形.理由如下:∵BE平分∠ABD,∠ABE=30°,∴∠ABD=60°,∠DBE=30°.∵四边形ABCD是矩形,∴∠A=90°,∴∠ADB=90°-∠ABD=90°-60°=30°.∴∠DBE=∠ADB,∴DE=BE.∵四边形BEDF是平行四边形,∴四边形BEDF是菱形.11.解:(1)证明:∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.又∵∠CBD=∠CAD,∴∠BAD=∠CBD.∵BE平分∠ABC,∴∠CBE=∠ABE,∴∠DBE=∠CBE+∠CBD=∠ABE+∠BAD.又∵∠BED=∠ABE+∠BAD,∴∠DBE=∠BED,∴DE=BD.(2)如图,连结CD.∵∠BAC=90°,∴BC是直径,∴∠BDC=90°.∵AD平分∠BAC,BD=4,∴BD=CD=4,∴BC==4,∴△ABC外接圆的半径为2.12.解:(1)四边形EBGD是菱形.理由:∵EG垂直平分BD,∴EB=ED,GB=GD,∴∠EBD=∠EDB.∵BD平分∠ABC,∴∠EBD=∠DBC,∴∠EDF=∠GBF.在△EFD和△GFB中,∴△EFD≌△GFB,∴ED=BG,∴BE=ED=DG=GB,∴四边形EBGD是菱形.(2)如图,分别过点E,D作EM⊥BC于点M,DN⊥BC于点N,连结EC交BD于点H,此时HG+HC最小, 在Rt△EBM中,∵∠EMB=90°,∠EBM=30°,EB=ED=2,∴EM=BE=.∵DE∥BC,EM⊥BC,DN⊥BC,∴EM∥DN,EM=DN=,MN=DE=2.在Rt△DNC中,∵∠DNC=90°,∠DCN=45°,∴∠NDC=∠NCD=45°,∴DN=NC=,∴MC=3.在Rt△EMC中,∵∠EMC=90°,EM=,MC=3,∴EC===10.∵HG+HC=EH+HC=EC,∴HG+HC的最小值为10.。
2025年九年级中考数学二轮复习热点专题突破课件：专题4角平分线的相关问题
∴ ＝ .
应用拓展：
(2)如图3，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是边BC上一点.连接AD，将
△ACD沿AD所在直线折叠，点C恰好落在边AB上的点E处.
①若AC＝1，AB＝2，求DE的长；
②若BC＝m，∠AED＝α，求DE的长.(用含m，α的式子表示)
何证明题中屡见不鲜，同学们除了掌握角平分线的概念和性质定理以
外，还需要对常见的角平分线的模型进行了解，在平行线、三角形、
四边形、圆等知识背景的基础上，结合角平分线得到一些常见的结论
并对此进行分类整理.
典例精讲
类型 1
角平分线和平行线
例 1 (2024·江西) 追本溯源
题(1)来自于课本中的习题，请你完成解答，提炼方法并完成题(2).
例 4 (1)如图1，在△ABC中，BO，CO分别是∠ABC和∠ACB的平分
线，求证：∠BOC＝90°＋ ∠A；
证明：设∠ABO＝∠OBC＝x，∠ACO＝∠BCO＝y.
由△ABC的内角和为180°，得
∠A＋2x＋2y＝180°.①
由△BOC的内角和为180°，得
∠BOC＋x＋y＝180°.②
由②，得x＋y＝180°－∠BOC.③
把③代入①，得∠A＋2(180°－∠BOC)＝180°，
即2∠BOC＝180°＋∠A.∴∠BOC＝90°＋ ∠A.
(2)如图2，△ABC的外角平分线BD和CD相交于点D，求证：∠BDC＝
90°－ ∠A；
证明：∵BD，CD为△ABC的外角平分线，
∴∠BCD＝ (∠A＋∠ABC)，
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角的平分线的性质
一、选择题
1．如图，在边长为
的等边三角形ABC中，过点C垂直于BC的直线交∠ABC的平分线于点P，则
点P到边AB所在直线的距离为（ ）
A．
B．
C．
D．1
2．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BA
和CD的延长线交于点E，若点P使得S△PAB=S△PCD，则满足此条件的点
P（ ）
A．有且只有1个
B．有且只有2个
C．组成∠E的角平分线
D．组成∠E的角平分
线所在的直线（E点除外）
3．如图，已知在△ABC中，CD是AB边上的高线，BE平分∠ABC，交CD于
点E，BC=5，DE=2，则△BCE的面积等于（ ）
A．10 B．7 C．5 D．4
4．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，
DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则
BC=（ ）
A．
B．2 C．3 D．
+2
5．如图，OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA于点D，PD=6，则
点P到边OB的距离为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
6．如图，已知OP平分∠AOB，∠AOB=60°，CP=2，CP∥OA，PD⊥OA于点
D，PE⊥OB于点E．如果点M是OP的中点，则DM的长是（ ）
A．2 B．
C．
D．
7．如图，在R
t△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，AC=3，BC=4，则CD的长
是（ ）
A．1 B．
C．
D．2
8．如图，AD是△ABC的角平分线，则AB：AC等于（ ）
A．BD：CD B．AD：CD C．BC：AD D．BC：AC
9．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△ABD和△ACD的高，得
到下列四个结论：
①OA=OD；
②AD⊥EF；
③当∠A=90°时，四边形AEDF是正方形；
④AE2+DF2=AF2+DE2．
其中正确的是（ ）
A．②③ B．②④ C．①③④ D．②③④
10．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半
径画弧分别交AB、AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于
MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连结AP并延长交BC于点D，则下列说
法中正确的个数是（ ）
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；
④S△DAC：S△ABC=1：3．
A．1 B．2 C．3 D．4
11．如图，三角形ABC中，∠A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，
DF⊥AB，垂足分别为E，F，下面四个结论：
①∠AFE=∠AEF；
②AD垂直平分EF；
③
；
④EF一定平行BC．
其中正确的是（ ）
A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④
12．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC=7，DE
=2，AB=4，则AC长是（ ）
A．3 B．4 C．6 D．5
13．如图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线
上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结
论中不正确的是（ ）
A．∠BAC=70° B．∠DOC=90° C．∠BDC=35° D．
∠DAC=55°
14．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD平分∠BAC交BC于D，则
BD的长为（ ）
A．
B．
C．
D．
二、填空题
15．如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，PE⊥AB于点E．若
PE=3，则点P到AD的距离为 ．
16．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BD是∠ABC的平分线．若
AB=6，则点D到AB的距离是 ．
17．在△ABC中，AB=4，AC=3，AD是△ABC的角平分线，则△ABD与△ACD
的面积之比是 ．
18．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DC=3，则
点D到AB的距离是 ．
19．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，
AD=3，BC=10，则△BD
C的面积是 ．
20．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，且
AB=4，BD
=5，那么点D到BC的距离是 ．
21．如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD是△ABC的一条角平分
线．若CD=3，则△ABD的面积为 ．
22．如图
，∠AOB=70°，QC⊥OA于C，QD⊥OB于D，若QC=QD，则∠AOQ= °．
23．在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，AC=6，BC=8，CD= ．
24．已知OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别
为点D、E，PD=10，则PE的长度为 ．
25．如图，BD是∠ABC的平分线，P为BD上的一点，PE⊥BA于点E，
PE=4cm，则点P到边BC的距离为 cm．
26．如图，在△ABC中，CD
平分∠ACB交AB于点D，DE⊥AC交于点E，DF⊥BC于点F，且BC=4，DE=2，
则△BCD的面积是 ．
27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，
若AD=4，CD=2，则AB的长是 ．
三、解答题
28．如图，四边形ABCD中，AC为∠BAD的角平分线，AB=AD，E、F两点分
别在AB、AD上，且AE=DF．请完整说明为何四边形AECF的面积为四边形
ABCD的一半．
29．如图，在Rt△A
BC中，∠C=90°，BD是△ABC的一条角平分线．点O、E、F分别在BD、
BC、AC上，且四边形OECF是正方形．
（1）求证：点O在∠BAC的平分线上；
（2）若AC=5，BC=12，求OE的长．
30．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若
AC=6，BC=8，CD=3．
（1）求DE的长；
（2）求△ADB的面积．