2020年四川省雅安市中考数学试卷 (解析版)
2020年四川省雅安市中考数学试题及参考答案(word解析版)
2020年四川省雅安市初中毕业、升学考试数学试卷（全卷满分120分，考试时间120分钟）一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．1．实数2020的相反数是（）A．2020 B．C．﹣2020 D．﹣2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．3．一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（）A．4 B．5 C．6 D．74．下列式子运算正确的是（）A．2x+3x＝5x2B．﹣（x+y）＝x﹣y C．x2•x3＝x5D．x4+x＝x45．下列四个选项中不是命题的是（）A．对顶角相等B．过直线外一点作直线的平行线C．三角形任意两边之和大于第三边D．如果a＝b，a＝c，那么b＝c6．已知+|b﹣2a|＝0，则a+2b的值是（）A．4 B．6 C．8 D．107．分式＝0，则x的值是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．08．在课外活动中，有10名同学进行了投篮比赛，限每人投10次，投中次数与人数如下表：投中次数 5 7 8 9 10人数 2 3 3 1 1则这10人投中次数的平均数和中位数分别是（）A．3.9，7 B．6.4，7.5 C．7.4，8 D．7.4，7.59．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，sinB＝0.5，若AC＝6，则BC的长为（）A．8 B．12 C．6D．1210．如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（）A．k B．k且k≠0 C．k且k≠0 D．k11．如图，△ABC内接于圆，∠ACB＝90°，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P＝28°．则∠CAB＝（）A．62°B．31°C．28°D．56°12．已知，等边三角形ABC和正方形DEFG的边长相等，按如图所示的位置摆放（C点与E点重合），点B、C、F共线，△ABC沿BF方向匀速运动，直到B点与F点重合．设运动时间为t，运动过程中两图形重叠部分的面积为S，则下面能大致反映s与t之间关系的函数图象是（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．不需写出解答过程．13．如图，a∥b，c与a，b都相交，∠1＝50°，则∠2＝．14．如果用+3℃表示温度升高3摄氏度，那么温度降低2摄氏度可表示为．15．从﹣，﹣1，1，2，5中任取一数作为a，使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率为．16．若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6＝0，则x2+y2＝．17．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝．三、解答题（本大题共7个小题，共69分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．18．（12分）（1）计算：（﹣1）2020+（π﹣1）0×（）﹣2；（2）先化简（﹣x+1）÷，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．19．（8分）从某校初三年级中随机抽查若干名学生摸底检测的数学成绩（满分为120分），制成如图的统计直方图，已知成绩在80～90分（含80分，不含90分）的学生为抽查人数的15%，且规定成绩大于或等于100分为优秀．（1）求被抽查学生人数及成绩在100～110分的学生人数m；（2）在被抽查的学生中任意抽取1名学生，则这名学生成绩为优秀的概率；（3）若该校初三年级共有300名学生，请你估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数．20．（8分）某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种3棵，则剩86棵；如果每人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵．请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？（请用一元一次不等式组解答）21．（9分）如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG．（1）求证：△ABE∽△EGF；（2）若EC＝2，求△CEF的面积；（3）请直接写出EC为何值时，△CEF的面积最大．22．（9分）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝（m为常数且m≠0）的图象在第二象限交于点C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝6．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求两个函数图象的另一个交点E的坐标；（3）请观察图象，直接写出不等式kx+b≤的解集．23．（10分）如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．24．（13分）已知二次函数y＝x2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），（1）求二次函数的表达式及A点坐标；（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标；（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N．使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．答案与解析一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．1．实数2020的相反数是（）A．2020 B．C．﹣2020 D．﹣【知识考点】相反数．【思路分析】直接利用相反数的定义得出答案．【解题过程】解：2020的相反数是：﹣2020．故选：C．【总结归纳】此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题的关键．2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．【知识考点】在数轴上表示不等式的解集．【思路分析】根据不等式的解集即可在数轴上表示出来．【解题过程】解：不等式组的解集在数轴上表示正确的是A选项．故选：A．【总结归纳】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解决本题的关键是用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．3．一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（）A．4 B．5 C．6 D．7【知识考点】由三视图判断几何体．【思路分析】在“俯视打地基”的前提下，结合左视图知俯视图最上面一行三个小正方体的上方（第2层）至少还有1个正方体，据此可得答案．【解题过程】解：由俯视图与左视图知，该几何体所需小正方体个数最少分布情况如下图所示：所以组成该几何体所需小正方体的个数最少为5，故选：B．【总结归纳】本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握口诀“俯视打地基，主视疯狂盖，左视拆违章”．4．下列式子运算正确的是（）A．2x+3x＝5x2B．﹣（x+y）＝x﹣y C．x2•x3＝x5D．x4+x＝x4【知识考点】整式的加减；同底数幂的乘法．【思路分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则分别化简得出答案．【解题过程】解：A、2x+3x＝5x，故此选项错误；B、﹣（x+y）＝﹣x﹣y，故此选项错误；C、x2•x3＝x5，正确；D、x4+x，无法合并，故此选项错误．故选：C．【总结归纳】此题主要考查了同底数幂的乘法以及整式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．下列四个选项中不是命题的是（）A．对顶角相等B．过直线外一点作直线的平行线C．三角形任意两边之和大于第三边D．如果a＝b，a＝c，那么b＝c【知识考点】命题与定理．【思路分析】判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可．【解题过程】解：由题意可知，A、C、D都是命题，B不是命题．故选：B．【总结归纳】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．注意：疑问句与作图语句都不是命题．6．已知+|b﹣2a|＝0，则a+2b的值是（）A．4 B．6 C．8 D．10【知识考点】非负数的性质：绝对值；非负数的性质：算术平方根．【思路分析】直接利用绝对值和二次根式的性质分别化简得出答案．【解题过程】解：∵+|b﹣2a|＝0，∴a﹣2＝0，b﹣2a＝0，解得：a＝2，b＝4，故a+2b＝10．故选：D．【总结归纳】此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．7．分式＝0，则x的值是（）A．1 B．﹣1 C．±1 D．0【知识考点】分式的值为零的条件．【思路分析】直接利用分式为零则分子为零，分母不为零进而得出答案．【解题过程】解：∵分式＝0，∴x2﹣1＝0且x+1≠0，解得：x＝1．故选：A．【总结归纳】此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式为零的条件是解题关键．8．在课外活动中，有10名同学进行了投篮比赛，限每人投10次，投中次数与人数如下表：投中次数 5 7 8 9 10人数 2 3 3 1 1 则这10人投中次数的平均数和中位数分别是（）A．3.9，7 B．6.4，7.5 C．7.4，8 D．7.4，7.5【知识考点】加权平均数；中位数．【思路分析】直接根据加权平均数和中位数的定义求解即可得．【解题过程】解：这10人投中次数的平均数为＝7.4，中位数为＝7.5，故选：D．【总结归纳】本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数和加权平均数的定义．9．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，sinB＝0.5，若AC＝6，则BC的长为（）A．8 B．12 C．6D．12【知识考点】锐角三角函数的定义．【思路分析】根据锐角三角函数的边角间关系，先求出AB，再利用勾股定理求出BC．【解题过程】解：法一、在Rt△ACB中，∵sinB＝＝＝0.5，∴AB＝12．∴BC＝＝＝6．故选：C．法二、在Rt△ACB中，∵sinB＝0.5，∴∠B＝30°．∵tanB＝＝＝，∴BC＝6．故选：C．【总结归纳】本题考查了解直角三角形．掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．10．如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（）A．k B．k且k≠0 C．k且k≠0 D．k【知识考点】一元二次方程的定义；根的判别式．【思路分析】根据关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，知△＝（﹣3）2﹣4×k ×1≥0且k≠0，解之可得．【解题过程】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0且k≠0，解得k≤且k≠0，故选：C．【总结归纳】本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．11．如图，△ABC内接于圆，∠ACB＝90°，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P＝28°．则∠CAB＝（）A．62°B．31°C．28°D．56°【知识考点】三角形的外接圆与外心；切线的性质．【思路分析】连接OC，如图，根据切线的性质得到∠PCO＝90°，则利用互余计算出∠POC＝62°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠A的度数．【解题过程】解：连接OC，如图，∵PC为切线，∴OC⊥PC，∴∠PCO＝90°，∴∠POC＝90°﹣∠P＝90°﹣28°＝62°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，而∠POC＝∠A+∠OCA，∴∠A＝×62°＝31°．故选：B．【总结归纳】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．12．已知，等边三角形ABC和正方形DEFG的边长相等，按如图所示的位置摆放（C点与E点重合），点B、C、F共线，△ABC沿BF方向匀速运动，直到B点与F点重合．设运动时间为t，运动过程中两图形重叠部分的面积为S，则下面能大致反映s与t之间关系的函数图象是（）A．B．C．D．【知识考点】动点问题的函数图象．【思路分析】分点A在D点的左侧、点A在DG上、点A在G点的右侧三种情况，分别求出函数的表达式即可求解．【解题过程】解：设等边三角形ABC和正方形DEFG的边长都为a，当点A在D点的左侧时，设AC交DE于点H，则CE＝t，HE＝ETtanACB＝t×＝t，则S＝S△CEH＝×CE×HE＝×t×t＝t2，图象为开口向上的二次函数；当点A在DG上时，同理可得：S＝a2﹣（a﹣t）2＝（﹣t2+2at），图象为开口向下的二次函数；点C在EF的中点右侧时，同理可得：S＝S△BFH＝×BF×HF＝×（2a﹣t）×（2a﹣t）＝（2a﹣t）2，图象为开口向上的二次函数．故选：A．【总结归纳】本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．二．填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．不需写出解答过程．13．如图，a∥b，c与a，b都相交，∠1＝50°，则∠2＝．【知识考点】平行线的性质．【思路分析】根据平行线的性质得出∠3＝∠1＝50°，再根据邻补角互补求出∠2即可．【解题过程】解：∵a∥b，∠1＝50°，∴∠1＝∠3＝50°，∴∠2＝180°﹣∠3＝130°，故答案为：130°．【总结归纳】本题考查了平行线的性质和邻补角，能根据平行线的性质求出∠3的度数是解此题的关键．14．如果用+3℃表示温度升高3摄氏度，那么温度降低2摄氏度可表示为．【知识考点】正数和负数．【思路分析】直接利用正负数的意义分析得出答案．【解题过程】解：如果用+3℃表示温度升高3摄氏度，那么温度降低2摄氏度可表示为：﹣2℃．故答案为：﹣2℃．【总结归纳】此题主要考查了正数和负数，正确理解正负数的意义是解题关键．15．从﹣，﹣1，1，2，5中任取一数作为a，使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率为．【知识考点】二次函数的性质；概率公式．【思路分析】使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的条件是a＞0，据此从所列5个数中找到符合此条件的结果，再利用概率公式求解可得．【解题过程】解：在所列的5个数中任取一个数有5种等可能结果，其中使抛物线y＝ax2+bx+c 的开口向上的有3种结果，∴使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率为，故答案为：．【总结归纳】本题考查概率公式的计算，根据题意正确列出概率公式是解题的关键．16．若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6＝0，则x2+y2＝．【知识考点】换元法解一元二次方程．【思路分析】设x2+y2＝z，则原方程转化为关于z的一元二次方程．解一元二次方程即可．【解题过程】解：设x2+y2＝z，则原方程转化为z2﹣5z﹣6＝0，（z﹣6）（z+1）＝0，解得z1＝6，z2＝﹣1，∵x2+y2不小于0，∴x2+y2＝6，故答案为6．【总结归纳】本题主要考查了换元法解一元二次方程，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．17．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝．【知识考点】勾股定理．【思路分析】根据垂直的定义和勾股定理解答即可．【解题过程】解：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2，∵AD＝2，BC＝4，∴AB2+CD2＝22+42＝20．故答案为：20．【总结归纳】本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．三、解答题（本大题共7个小题，共69分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．18．（12分）（1）计算：（﹣1）2020+（π﹣1）0×（）﹣2；（2）先化简（﹣x+1）÷，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．【知识考点】实数的运算；分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂．【思路分析】（1）先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加法即可得；（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．【解题过程】解：（1）原式＝1+1×＝1+＝；（2）原式＝（﹣）÷＝•＝，∵x≠±1，∴取x＝0，则原式＝﹣1．【总结归纳】本题主要考查实数的混合运算与分式的化简求值，解题的关键是掌握零指数幂和负整数指数幂的规定及分式的混合运算顺序和运算法则．19．（8分）从某校初三年级中随机抽查若干名学生摸底检测的数学成绩（满分为120分），制成如图的统计直方图，已知成绩在80～90分（含80分，不含90分）的学生为抽查人数的15%，且规定成绩大于或等于100分为优秀．（1）求被抽查学生人数及成绩在100～110分的学生人数m；（2）在被抽查的学生中任意抽取1名学生，则这名学生成绩为优秀的概率；（3）若该校初三年级共有300名学生，请你估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数．【知识考点】用样本估计总体；频数（率）分布直方图；概率公式．【思路分析】（1）用成绩在80～90分（含80分，不含90分）的学生有人数除以抽查人数的百分比可得被调查的总人数，再根据各分数段人数之和等于总人数可得m的值；（2）用成绩为优秀的人数除以被调查的总人数即可得；（3）用总人数乘以样本中数学成绩为优秀的人数所占比例即可得．【解题过程】解：（1）∵成绩在80～90分（含80分，不含90分）的学生有3人，占抽查人数的15%，∴被抽查的学生人数为3÷15%＝20（人），则成绩在100～110分的学生人数m＝20﹣（2+3+7+3）＝5；（2）这名学生成绩为优秀的概率为＝；（3）估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数为300×＝120（人）．【总结归纳】本题主要考查概率公式，解题的关键是根据80～90分的学生人数及其所占百分比求出总人数、概率公式及样本估计总体思想的运用．20．（8分）某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种3棵，则剩86棵；如果每人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵．请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？（请用一元一次不等式组解答）【知识考点】一元一次不等式组的应用．【思路分析】设该班有x名学生，则本次一共种植（3x+86）棵树，根据“如果每人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵”，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出结论．【解题过程】解：设该班有x名学生，则本次一共种植（3x+86）棵树，依题意，得：，解得：44＜x＜45，又∵x为正整数，∴x＝45，3x+86＝221．答：该班有45名学生，本次一共种植221棵树．【总结归纳】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．21．（9分）如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG．（1）求证：△ABE∽△EGF；（2）若EC＝2，求△CEF的面积；（3）请直接写出EC为何值时，△CEF的面积最大．【知识考点】相似形综合题．【思路分析】（1）先判断出CG＝FG，再利用同角的余角相等，判断出∠BAE＝∠FEG，进而得出△ABE∽△EGF，即可得出结论；（2）先求出BE＝8，进而表示出EG＝2+FG，由△BAE∽△GEF，得出＝，求出FG，最后用三角形面积公式即可得出结论；（3）同（2）的方法，即可得出S△ECF＝﹣（x﹣5）2+，即可得出结论．【解题过程】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCG＝90°，∵CF平分∠DCG，∴∠FCG＝∠DCG＝45°，∵∠G＝90°，∴∠GCF＝∠CFG＝45°，∴FG＝CG，∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，∴∠B＝∠G＝∠AEF＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEG＝90°，∴∠BAE＝∠FEG，∵∠B＝∠G＝90°，∴△BAE∽△GEF；（2）∵AB＝BC＝10，CE＝2，∴BE＝8，∴FG＝CG，∴EG＝CE+CG＝2+FG，由（1）知，△BAE∽△GEF，∴＝，∴，∴FG＝8，∴S△ECF＝CE•FG＝×2×8＝8；（3）设CE＝x，则BE＝10﹣x，∴EG＝CE+CG＝x+FG，由（1）知，△BAE∽△GEF，∴＝，∴，∴FG＝10﹣x，∴S△ECF＝×CE×FG＝×x•（10﹣x）＝﹣（x2﹣10x）＝﹣（x﹣5）2+，当x＝5时，S△ECF最大＝．【总结归纳】此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，判断出△BAE∽△GEF是解本题的关键．22．（9分）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝（m为常数且m≠0）的图象在第二象限交于点C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝6．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求两个函数图象的另一个交点E的坐标；（3）请观察图象，直接写出不等式kx+b≤的解集．【知识考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【思路分析】（1）先求出A、B、C坐标，再利用待定系数法确定函数解析式．（2）两个函数的解析式作为方程组，解方程组即可解决问题．（3）根据图象一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即可解决问题．【解题过程】解：（1）∵OB＝2OA＝3OD＝6，∴OB＝6，OA＝3，OD＝2，∵CD⊥OA，∴DC∥OB，∴＝，∴＝，∴CD＝10，∴点C坐标是（﹣2，10），∵B（0，6），A（3，0），∴，解得，∴一次函数为y＝﹣2x+6．∵反比例函数y＝经过点C（﹣2，10），∴m＝﹣20，∴反比例函数解析式为y＝﹣．（2）由解得或，∴E的坐标为（5，﹣4）．（3）由图象可知kx+b≤的解集是：﹣2≤x＜0或x≥5．【总结归纳】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是学会利用待定系数法确定函数解析式，知道两个函数图象的交点坐标可以利用解方程组解决，学会利用图象确定自变量取值范围，属于中考常考题型．23．（10分）如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．【知识考点】角平分线的性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质．【思路分析】（1）根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断；（2）过点A作AE⊥CD，垂足为点E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F．根据S四边形ABCD＝S△ABC+S ，分别求出△ABC，△ACD的面积，即可求得四边形ABCD的面积，然后通过证得△EAB △ACD≌△DCB（AAS），即可求得△BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝．【解题过程】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O．∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝60°，∴∠ADC＝120°，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB＝60°，∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°，∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，∴△ABC是等边三角形（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．∴∠AMD＝90°∵∠ADC＝120°，∴∠ADM＝60°，∴∠DAM＝30°，∴DM＝AD＝1，AM＝＝＝，∵CD＝3，∴CM＝CD+DE＝1+3＝4，∴S△ACD＝CD•AM＝×＝，Rt△AMC中，∠AMD＝90°，∴AC＝＝＝，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝，∴BN＝BC＝，∴S△ABC＝×＝，∴四边形ABCD的面积＝+＝，∵BE∥CD，∴∠E+∠ADC＝180°，∵∠ADC＝120°，∴∠E＝60°，∴∠E＝BDC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EAB＝∠BCD，在△EAB和△DCB中，∴△EAB≌△DCB（AAS），∴△BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝．【总结归纳】本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．24．（13分）已知二次函数y＝x2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），（1）求二次函数的表达式及A点坐标；（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标；（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N．使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．【知识考点】二次函数综合题．【思路分析】（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）如图1中连接AD，CD．由题意点D到直线AC的距离取得最大，推出此时△DAC的面积最大．过点D作x轴的垂线交AC于点G，设点D的坐标为（x，x2+2x﹣3），则G（x，﹣x﹣3），推出DG＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x，利用二次函数的性质求解即可．（3）分两种情形：OB是平行四边形的边或对角线分别求解即可．【解题过程】解：（1）把B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c则有，解得∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3，令y＝0，得到x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，∴A（﹣3，0）．（2）如图1中连接AD，CD．∵点D到直线AC的距离取得最大，∴此时△DAC的面积最大设直线AC解析式为：y＝kx+b，∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），∴，解得，，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，过点D作x轴的垂线交AC于点G，设点D的坐标为（x，x2+2x﹣3），则G（x，﹣x﹣3），∵点D在第三象限，∴DG＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x，∴S△ACD＝•DG•OA＝（﹣x2﹣3x）×3＝﹣x2﹣＝﹣（x+）2+，∴当x＝﹣时，S最大＝，点D（﹣，﹣），∴点D到直线AC的距离取得最大时，D（﹣，﹣）．（3）如图2中，当OB是平行四边形的边时，OB＝MN＝1，OB∥MN，可得N（﹣2，﹣3）或N′（0，﹣3），当OB为对角线时，点N″的横坐标为2，x＝2时，y＝4+4﹣3＝5，∴N″（2，5）．综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣2，﹣3）或（0，﹣3）或（2，5）．【总结归纳】本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．。
四川省雅安市2020年中考数学试卷
四川省雅安市2020年中考数学试卷一、单选题（共12题；共24分）1.2020的相反数是（）A. 2020B. ﹣2020C.D.2.不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A.B.C.D.3.一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（）A. 4B. 5C. 6D. 74.下列式子运算正确的是（）A. B. C. D.5.下列四个选项中不是命题的是（）A. 对顶角相等B. 过直线外一点作直线的平行线C. 三角形任意两边之和大于第三边D. 如果，那么6.已知，则a+2b的值是（）A. 4B. 6C. 8D. 107.若分式的值为0，则x的值为（）A. 0B. 1C. ﹣1D. ±18.在课外活动中，有10名同学进行了投篮比赛，限每人投10次，投中次数与人数如下表：则这10人投中次数的平均数和中位数分别是（）A. B. C. D.9.如图，在中，，若，则的长为（）A. 8B. 12C.D.10.如果关于x的一元二次方程有两个实数根，那么的取值范围是（）A. B. 且 C. 且 D.11.如图，内接于圆，，过点C的切线交的延长线于点．则（）A. B. C. D.12.已知，等边三角形和正方形的边长相等，按如图所示的位置摆放（C点与E点重合），点共线，沿方向匀速运动，直到B点与F点重合．设运动时间为，运动过程中两图形重叠部分的面积为，则下面能大致反映与之间关系的函数图象是（）A. B. C. D.二、填空题（共5题；共5分）13.如图，与都相交，，则________．14.如果用表示温度升高3摄氏度，那么温度降低2摄氏度可表示为________．15.从中任取一数作为，使抛物线的开口向上的概率为________．16.若，则________．17.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点O．若，则________．三、解答题（共7题；共72分）18.（1）计算：；（2）先化简，再从中选择合适的值代入求值．19.从某校初三年级中随机抽查若干名学生摸底检测的数学成绩（满分为120分），制成如图的统计直方图，已知成绩在80～90分（含80分，不含90分）的学生为抽查人数的，且规定成绩大于或等于100分为优秀．（1）求被抽查学生人数及成绩在100～110分的学生人数；（2）在被抽查的学生中任意抽取1名学生，则这名学生成绩为优秀的概率；（3）若该校初三年级共有300名学生，请你估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数．20.某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种3棵，则剩86棵；如果每人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵．请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？（请用一元一次不等式组解答）21.如图，已知边长为10的正方形是边上一动点（与不重合），连结是延长线上的点，过点E作的垂线交的角平分线于点F，若．（1）求证：；（2）若，求的面积；（3）请直接写出为何值时，的面积最大．22.已知，如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y= （n为常数且n≠0）的图象在第二象限交于点C．CD⊥x轴，垂直为D，若OB=2OA=3OD=6．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求两函数图象的另一个交点坐标；（3）直接写出不等式；kx+b≤ 的解集．23.如图，四边形内接于圆，，对角线平分．（1）求证：是等边三角形；（2）过点作交的延长线于点，若，求的面积．24.已知二次函数的图象与x轴交于两点，与y轴交于点，（1）求二次函数的表达式及A点坐标；（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线的距离取得最大值时点D的坐标；（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N．使以为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．答案解析部分一、单选题1.【解析】【解答】解：2020的相反数是：﹣2020.【分析】只有符号不同的两个数是互为相反数，据此判断即可.2.【解析】【解答】解：由题意可得：不等式组的解集为：-2≤x＜1，在数轴上表示为：故答案为：A.【分析】先得出不等式组的解集，再找到对应的数轴表示即可．3.【解析】【解答】解：由俯视图与左视图知，该几何体所需小正方体个数最少分布情况如下图所示：所以组成该几何体所需小正方体的个数最少为5，故答案为：B．【分析】在“俯视打地基”的前提下，结合左视图知俯视图上一行三个小正方体的上方（第2层）至少还有1个正方体，据此可得答案.4.【解析】【解答】解：A、，不符合题意；B、，不符合题意；C 、，符合题意；D 、和x不是同类项，不能合并，不符合题意；故答案为：C.【分析】根据合并同类项、去括号、同底数幂的乘法进行计算即可求解．5.【解析】【解答】解：由题意可知，A、对顶角相等，是命题；B、过直线外一点作直线的平行线，是一个动作，不是命题；C、三角形任意两边之和大于第三边，是命题；D 、如果，那么，是命题；故答案为：B．【分析】判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可．6.【解析】【解答】解：∵，∴a-2=0，b-2a=0，解得：a=2，b=4，故a+2b=10．故答案为：D．【分析】直接利用绝对值和二次根式的性质分别化简得出答案．7.【解析】【解答】解：∵分式的值为零，∴，解得x=1．故答案为：B【分析】分式的值为0,的条件：分母≠0且分子=0，建立方程和不等式，求解即可。
2020年四川省雅安市中考数学试题及答案
∴将C代入，得：c=-3，则 ，
∴方程 对应的两根之积为-3，
又B（1，0），
可得A（-3，0），将A，B两点代入二次函数，得：
，
解得： ，
∴二次函数表达式为： ；
（2）当点 到直线 的距离取得最大值时，
∵A（-3，0）， ，
A. B.
C. D.
二．填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．
13.如图， 与 都相交， ，则 _________．
14.如果用 表示温度升高3摄氏度，那么温度降低2摄氏度可表示为___________．
15.从 中任取一数作为 ，使抛物线 的开口向上的概率为__________．
1-5 BABCB6-10DBDCC11-12BA
二．填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．
13.【答案】130°1Fra bibliotek.【答案】-2℃
15.【答案】
16.【答案】6
17.【答案】20
三、解答题（本大题共7个小题，共69分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．
设直线AC的表达式为：y=kx+n，，将A和C代入，
，解得： ，
∴直线AC的表达式为y=-x-3，将直线AC向下平移m（m＞0）个单位，得到直线l，
当直线l与二次函数图像只有一个交点时，该交点为点D，此时点D到直线AC的距离最大，
此时直线l的表达式为y=-x-3-m，
联立： ，得： ，
令△= ，解得：m= ，
A B. 且 C. 且 D.
2020年四川省中考数学试卷(含答案)
四川省中考数学试卷 A 卷(共100分)第Ⅰ卷(选择题，共30分)一、选择题 （每小题3分，共30分） 1、4的算术平方根是（ ）A ．4B ．2C ．2±D ．4± 2、下面四个几何体中，俯视图为四边形的是（ ）3、钓鱼岛是中国的固有领土，位于中国东海，面积约4400000平方米，数据4400000用科学记数法表示为（ ） A ．44×105 B ．0.44×105 C ．4.4×106 D ．4.4×1054、下列运算中正确的是（ ）A ．3a －a =3B ．a 2 + a 3 = a 5C ．(—2a )3 = —6a 3D ．ab 2÷a = b 2 5、等腰三角形的一条边长为6，另一边长为13，则它的周长为（ ） A ．25 B ．25或32 C ．32 D ．19 6、函数1-=x y 自变量x 取值范围是（ ）A. 1>xB.1x ≥C.1-≥xD.1≤x 7、如图，已知OP 平分∠AOB ，∠AOB=60°，CP=2，CP ∥OA ，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ．如果点M 是OP 的中点，则DM 的长是（ ）A ．2B ．2C ．3 D ．328、如图，菱形ABCD 的两条对角线相交于O ，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD 的周长是（ ） A ．24 B ．16 C ．134 D ．329、已知二次函数1)3(2+-=x y .下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线3=x ；③其图象顶点坐标为（3，－1）；④当x ＜3时，y 随x 的增大而减小.则其中说法正确的有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个10、如图，在平面直角坐标系中，⊙P 的圆心坐标是（3，a ）(a >3),半径为3，函数y=x 的图象被⊙PA B C D第7题图 第8题图第10题图截得的弦AB 的长为24，则a 的值是（ ）A ．4B ．23+C ．23D ．33+第Ⅱ卷(非选择题，共70分)二、填空题：(每小题4分，共16分) 11、不等式423>-x 的解集是__________.12、如图，直线l 1∥l 2∥l 3，点A 、B 、C 分别在直线l 1、l 2、l 3上．若∠1=70°，∠2=50°，则∠ABC = 度13、如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝2BC ，则sinB 的值为________ 14、如图，已知⊙O 是△ABD 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD =58°，则∠BCD 等于_______ 三、解答题：(本大题共6个小题，共54分) 15、（本小题满分12分，每小题6分）（1）计算：1845sin 6)2(2022-+--- （2）解不等式组⎩⎨⎧+<+>-②① . , 7)2(2513x x x16、（本小题满分6分） 先化简，再求值：2)441(2-÷-+a aa ，其中5=a17、（本小题满分8分）如图,山顶有一铁塔AB 的高度为20米，为测量山的高度BC ,在山脚点D 处测得塔顶A 和塔基B 的仰角分别为60º和45º，求山的高度BC.（结果保留根号）第12题图第14题图CB A图2第13题图yxODCBA18、（本小题满分8分）我市某中学艺术节期间，向学校学生征集书画作品。
2020年四川省雅安市中考数学试题和答案
2020年四川省雅安市中考数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．1．（3分）实数2020的相反数是（）A．2020B．C．﹣2020D．﹣2．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．3．（3分）一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（）A．4B．5C．6D．74．（3分）下列式子运算正确的是（）A．2x+3x＝5x2B．﹣（x+y）＝x﹣y C．x2•x3＝x5D．x4+x＝x45．（3分）下列四个选项中不是命题的是（）A．对顶角相等B．过直线外一点作直线的平行线C．三角形任意两边之和大于第三边D．如果a＝b，a＝c，那么b＝c6．（3分）已知+|b﹣2a|＝0，则a+2b的值是（）A．4B．6C．8D．107．（3分）分式＝0，则x的值是（）A．1B．﹣1C．±1D．08．（3分）在课外活动中，有10名同学进行了投篮比赛，限每人投10次，投中次数与人数如下表：投中次数578910人数23311则这10人投中次数的平均数和中位数分别是（）A．3.9，7B．6.4，7.5C．7.4，8D．7.4，7.5 9．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，sinB＝0.5，若AC＝6，则BC的长为（）A．8B．12C．6D．12 10．（3分）如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（）A．k B．k且k≠0C．k且k≠0D．k11．（3分）如图，△ABC内接于圆，∠ACB＝90°，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P＝28°．则∠CAB＝（）A．62°B．31°C．28°D．56°12．（3分）已知，等边三角形ABC和正方形DEFG的边长相等，按如图所示的位置摆放（C点与E点重合），点B、C、F共线，△ABC沿BF方向匀速运动，直到B点与F点重合．设运动时间为t，运动过程中两图形重叠部分的面积为S，则下面能大致反映s 与t之间关系的函数图象是（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．13．（3分）如图，a∥b，c与a，b都相交，∠1＝50°，则∠2＝．14．（3分）如果用+3℃表示温度升高3摄氏度，那么温度降低2摄氏度可表示为．15．（3分）从﹣，﹣1，1，2，5中任取一数作为a，使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率为．16．（3分）若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6＝0，则x2+y2＝．17．（3分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝．三、解答题（本大题共7个小题，共69分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．18．（12分）（1）计算：（﹣1）2020+（π﹣1）0×（）﹣2；（2）先化简（﹣x+1）÷，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．19．（8分）从某校初三年级中随机抽查若干名学生摸底检测的数学成绩（满分为120分），制成如图的统计直方图，已知成绩在80～90分（含80分，不含90分）的学生为抽查人数的15%，且规定成绩大于或等于100分为优秀．（1）求被抽查学生人数及成绩在100～110分的学生人数m；（2）在被抽查的学生中任意抽取1名学生，则这名学生成绩为优秀的概率；（3）若该校初三年级共有300名学生，请你估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数．20．（8分）某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种3棵，则剩86棵；如果每人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵．请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？（请用一元一次不等式组解答）21．（9分）如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG．（1）求证：△ABE∽△EGF；（2）若EC＝2，求△CEF的面积；（3）请直接写出EC为何值时，△CEF的面积最大．22．（9分）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝（m为常数且m≠0）的图象在第二象限交于点C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝6．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求两个函数图象的另一个交点E的坐标；（3）请观察图象，直接写出不等式kx+b≤的解集．23．（10分）如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC ＝3，求△BDE的面积．24．（13分）已知二次函数y＝x2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），（1）求二次函数的表达式及A点坐标；（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC 的距离取得最大值时点D的坐标；（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N．使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．答案一．选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．1．参考答案：：解：2020的相反数是：﹣2020．故选：C．2．参考答案：：解：不等式组的解集在数轴上表示正确的是A 选项．故选：A．3．参考答案：：解：由俯视图与左视图知，该几何体所需小正方体个数最少分布情况如下图所示：所以组成该几何体所需小正方体的个数最少为5，故选：B．4．参考答案：：解：A、2x+3x＝5x，故此选项错误；B、﹣（x+y）＝﹣x﹣y，故此选项错误；C、x2•x3＝x5，正确；D、x4+x，无法合并，故此选项错误．故选：C．5．参考答案：：解：由题意可知，A、C、D都是命题，B不是命题．故选：B．6．参考答案：：解：∵+|b﹣2a|＝0，∴a﹣2＝0，b﹣2a＝0，解得：a＝2，b＝4，故a+2b＝10．故选：D．7．参考答案：：解：∵分式＝0，∴x2﹣1＝0且x+1≠0，解得：x＝1．故选：A．8．参考答案：：解：这10人投中次数的平均数为＝7.4，中位数为＝7.5，故选：D．9．参考答案：：解：法一、在Rt△ACB中，∵sinB＝＝＝0.5，∴AB＝12．∴BC＝＝＝6．故选：C．法二、在Rt△ACB中，∵sinB＝0.5，∴∠B＝30°．∵tanB＝＝＝，∴BC＝6．故选：C．10．参考答案：：解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0且k≠0，解得k≤且k≠0，故选：C．11．参考答案：：解：连接OC，如图，∵PC为切线，∴OC⊥PC，∴∠PCO＝90°，∴∠POC＝90°﹣∠P＝90°﹣28°＝62°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，而∠POC＝∠A+∠OCA，∴∠A＝×62°＝31°．故选：B．12．参考答案：：解：设等边三角形ABC和正方形DEFG的边长都为a，当点A在D点的左侧时，设AC交DE于点H，则CE＝t，HE＝ETtanACB＝t×＝t，则S＝S △CEH＝×CE×HE＝×t×t＝t2，图象为开口向上的二次函数；当点A在DG上时，同理可得：S＝a2﹣（a﹣t）2＝（﹣t2+2at），图象为开口向下的二次函数；点C在EF的中点右侧时，同理可得：S＝S △BFH＝×BF×HF＝×（2a﹣t）×（2a﹣t）＝（2a﹣t）2，图象为开口向上的二次函数．故选：A．二．填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．13．参考答案：：解：∵a∥b，∠1＝50°，∴∠1＝∠3＝50°，∴∠2＝180°﹣∠3＝130°，故答案为：130°．14．参考答案：：解：如果用+3℃表示温度升高3摄氏度，那么温度降低2摄氏度可表示为：﹣2℃．故答案为：﹣2℃．15．参考答案：：解：在所列的5个数中任取一个数有5种等可能结果，其中使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的有3种结果，∴使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率为，故答案为：．16．参考答案：：解：设x2+y2＝z，则原方程转化为z2﹣5z﹣6＝0，（z﹣6）（z+1）＝0，解得z1＝6，z2＝﹣1，∵x2+y2不小于0，∴x2+y2＝6，故答案为6．17．参考答案：：解：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2，∵AD＝2，BC＝4，∴AB2+CD2＝22+42＝20．故答案为：20．三、解答题（本大题共7个小题，共69分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．18．参考答案：：解：（1）原式＝1+1×＝1+＝；（2）原式＝（﹣）÷＝•＝，∵x≠±1，∴取x＝0，则原式＝﹣1．19．参考答案：：解：（1）∵成绩在80～90分（含80分，不含90分）的学生有3人，占抽查人数的15%，∴被抽查的学生人数为3÷15%＝20（人），则成绩在100～110分的学生人数m＝20﹣（2+3+7+3）＝5；（2）这名学生成绩为优秀的概率为＝；（3）估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数为300×＝120（人）．20．参考答案：：解：设该班有x名学生，则本次一共种植（3x+86）棵树，依题意，得：，解得：44＜x＜45，又∵x为正整数，∴x＝45，3x+86＝221．答：该班有45名学生，本次一共种植221棵树．21．参考答案：：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCG＝90°，∵CF平分∠DCG，∴∠FCG＝∠DCG＝45°，∵∠G＝90°，∴∠GCF＝∠CFG＝45°，∴FG＝CG，∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，∴∠B＝∠G＝∠AEF＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEG＝90°，∴∠BAE＝∠FEG，∵∠B＝∠G＝90°，∴△BAE∽△GEF；（2）∵AB＝BC＝10，CE＝2，∴BE＝8，∴FG＝CG，∴EG＝CE+CG＝2+FG，由（1）知，△BAE∽△GEF，∴＝，∴，∴FG＝8，∴S△ECF＝CE•FG＝×2×8＝8；（3）设CE＝x，则BE＝10﹣x，∴EG＝CE+CG＝x+FG，由（1）知，△BAE∽△GEF，∴＝，∴，∴FG＝10﹣x，∴S△ECF＝×CE×FG＝×x•（10﹣x）＝﹣（x2﹣10x）＝﹣（x ﹣5）2+，当x＝5时，S△ECF最大＝．22．参考答案：：解：（1）∵OB＝2OA＝3OD＝6，∴OB＝6，OA＝3，OD＝2，∵CD⊥OA，∴DC∥OB，∴＝，∴＝，∴CD＝10，∴点C坐标是（﹣2，10），∵B（0，6），A（3，0），∴，解得，∴一次函数为y＝﹣2x+6．∵反比例函数y＝经过点C（﹣2，10），∴m＝﹣20，∴反比例函数解析式为y＝﹣．（2）由解得或，∴E的坐标为（5，﹣4）．（3）由图象可知kx+b≤的解集是：﹣2≤x＜0或x≥5．23．参考答案：：（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O．∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝60°，∴∠ADC＝120°，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB＝60°，∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°，∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，∴△ABC是等边三角形（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．∴∠AMD＝90°∵∠ADC＝120°，∴∠ADM＝60°，∴∠DAM＝30°，∴DM＝AD＝1，AM＝＝＝，∵CD＝3，∴CM＝CD+DE＝1+3＝4，∴S △ACD＝CD•AM＝×＝，Rt△AMC中，∠AMD＝90°，∴AC＝＝＝，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝，∴BN＝BC＝，∴S△ABC＝×＝，∴四边形ABCD的面积＝+＝，∵BE∥CD，∴∠E+∠ADC＝180°，∵∠ADC＝120°，∴∠E＝60°，∴∠E＝BDC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EAB＝∠BCD，在△EAB和△DCB中，∴△EAB≌△DCB（AAS），∴△BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝．24．参考答案：：解：（1）把B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c 则有，解得∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3，令y＝0，得到x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，∴A（﹣3，0）．（2）如图1中连接AD，CD．∵点D到直线AC的距离取得最大，∴此时△DAC的面积最大设直线AC解析式为：y＝kx+b，∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），∴，解得，，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，过点D作x轴的垂线交AC于点G，设点D的坐标为（x，x2+2x ﹣3），则G（x，﹣x﹣3），∵点D在第三象限，∴DG＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x，∴S△ACD＝•DG•OA＝（﹣x2﹣3x）×3＝﹣x2﹣＝﹣（x+）2+，∴当x＝﹣时，S最大＝，点D（﹣，﹣），∴点D到直线AC的距离取得最大时，D（﹣，﹣）．（3）如图2中，当OB是平行四边形的边时，OB＝MN＝1，OB ∥MN，可得N（﹣2，﹣3）或N′（0，﹣3），当OB为对角线时，点N″的横坐标为2，x＝2时，y＝4+4﹣3＝5，∴N″（2，5）．综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣2，﹣3）或（0，﹣3）或（2，5）．第21页（共21页）。
(中考精品)四川省雅安市中考数学真题(解析版)
2022年四川省雅安市中考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，共36分）每小题的四个选项中，有且仅有一个是正确的．1. 1，12，3中，比0小的数是（ ）A. B. 1 C. 12D. 3【答案】A【解析】【分析】根据实数的大小比较法则（正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数）及无理数的估算进行分析求解．12<1<31，12，3中，比0故选：A．【点睛】此题考查了实数大小的比较，解题的关键是理解实数的概念．2. 下列几何体的三种视图都是圆形的是（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．找到几何体的三视图即可作出判断：【详解】A、主视图和左视图为矩形，俯视图为圆形，故选项错误，不符合题意；B、主视图、俯视图和左视图都为圆形，故选项正确，符合题意；C、主视图和左视图为等腰三角形，俯视图为带圆心的圆，故选项错误，不符合题意；D、主视图和左视图为等腰梯形，俯视图为圆环，故选项错误，不符合题意；故选：B．【点睛】此题考查了几何体的三视图，解题的关键是掌握一些常见几何体的三视图．3. 如图，已知直线a∥b，直线c与a，b分别交于点A，B，若∠1＝120°，则∠2＝（ ）A. 60°B. 120°C. 30°D. 15° 【答案】A【解析】【分析】先根据对顶角相等求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．【详解】解：∵∠1=120°，∠1与∠3是对顶角，∴∠1=∠3=120°，∵直线a∥b，2=180360,\а-Ð=°故选：A．【点睛】本题考查的是对顶角的性质，平行线的性质，掌握“两直线平行，同旁内角互补”是解本题的关键．4. 下列计算正确的是（ ）A. 32＝6B. （﹣25）3＝﹣85C. （﹣2a2）2＝2a4＝【答案】D【解析】【分析】由有理数的乘方运算可判断A，B，由积的乘方运算与幂的乘方运算可判断C，由二次根式的加法运算可判断D，从而可得答案．【详解】解：239，故A不符合题意；328,5125æöç÷-=-ç÷èø 故B 不符合题意； ()22424,a a -= 故C 不符合题意；= 故D 符合题意；故选D【点睛】本题考查的是有理数的乘方运算，积的乘方与幂的乘方运算，二次根式的加法运算，掌握以上基础运算是解本题的关键．5. x 的取值范围在数轴上表示为（ ）A. B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件可得20x -≥，求出不等式的解集，然后进行判断即可．【详解】解：由题意知，20x -≥，解得2x ≥，∴解集在数轴上表示如图，故选B ．【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件以及在数轴上表示解集．解题的关键在于熟练掌握二次根式有意义的条件．6. 一辆公共汽车从车站开出，加速行驶一段时间后开始匀速行驶．过了一段时间，汽车到达下一车站．乘客上、下车后汽车开始加速，一段时间后又开始匀速行驶．下图中近似地刻画出汽车在这段时间内的速度变化情况的是（ ）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】横轴表示时间，纵轴表示速度，根据加速、匀速、减速时，速度的变化情况，进行选择．【详解】解： 公共汽车经历：加速，匀速，减速到站，加速，匀速，加速：速度增加， 匀速：速度保持不变，减速：速度下降， 到站：速度为0．观察四个选项的图象：只有选项B 符合题意；故选：B ．【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力和函数与实际问题结合的应用．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．7. 如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB 和AC 上的点，DE ∥BC ，若AD BD ＝21，那么DE BC＝（ ）A. 49B. 12C. 13D. 23【答案】D【解析】 【分析】先求解2,3AD AB =再证明,ADE ABC ∽可得2.3DE AD BC AB == 【详解】解： AD BD ＝21， 2,3AD AB \= DE ∥BC ，,ADE ABC ∴ ∽2,3DE AD BC AB \== 故选D【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，证明ADE ABC △△∽是解本题的关键．8. 在平面直角坐标系中，点（a +2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b ），则ab 的值为（ ）A. ﹣4B. 4C. 12D. ﹣12【答案】D【解析】【分析】首先根据关于原点对称的点的坐标特点可得240,20a b ++=-=，可得a ，b 的值，再代入求解即可得到答案．【详解】解： 点（a +2，2）关于原点的对称点为（4，﹣b ）， ∴ 240,20a b ++=-=，解得：6,2,a b =-=12,ab \=-故选D【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标都互为相反数．9. 在射击训练中，某队员的10次射击成绩如图，则这10次成绩的中位数和众数分别是（ ）A. 9.3，9.6B. 9.5，9.4C. 9.5，9.6D. 9.6，9.8【答案】C【解析】【分析】根据折线图将成绩从小到大依次排列，然后求中位数与众数即可．【详解】解：由图可知，10次的成绩由小到大依次排列为8.8、9.0、9.2、9.4、9.4、9.6、9.6、9.6、9.8、9.8，∴10次成绩中位数为9.49.69.52+=，众数为9.6，故C 正确． 故选：C ．【点睛】本题考查了中位数、众数．解题的关键在于熟练掌握中位数与众数的定义与求解方法．10. 若关于x 的一元二次方程x 2+6x +c ＝0配方后得到方程（x +3）2＝2c ，则c 的值为（ ）A. ﹣3B. 0C. 3D. 9 【答案】C【解析】【分析】先移项把方程化为26,x x c +=-再配方可得()239,x c +=-结合已知条件构建关于c 的一元一次方程，从而可得答案．【详解】解：x 2+6x +c ＝0，移项得：26,x x c +=-配方得：()239,x c +=- 而（x +3）2＝2c ，92,c c \-=解得：3,c =故选C【点睛】本题考查的是配方法，掌握“配方法解一元二次方程的步骤”是解本题的关键． 11. 如图，已知⊙O 的周长等于6π，则该圆内接正六边形ABCDEF 的边心距OG 为（ ）A.B. 32D. 3【答案】C的【解析】【分析】利用圆的周长先求出圆的半径，正六边形的边长等于圆的半径，正六边形一条边与圆心构成等边三角形，根据边心距即为等边三角形的高用勾股定理求出OG ．【详解】∵圆O 的周长为6π，设圆的半径为R ，∴26R ππ=∴R =3连接OC 和OD ，则OC=OD=3∵六边形ABCDEF 正六边形，∴∠COD =360606︒=︒， ∴△OCD 是等边三角形，OG 垂直平分CD ，∴OC =OD =CD ，1322CG CD ==∴OG === 故选 C【点睛】本题考查了正多边形，熟练掌握圆内接正多边形的相关概念是解题的关键．12. 抛物线的函数表达式为y ＝（x ﹣2）2﹣9，则下列结论中，正确的序号为（ ） ①当x ＝2时，y 取得最小值﹣9；②若点（3，y 1），（4，y 2）在其图象上，则y 2＞y 1；③将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y ＝（x ﹣5）2﹣5；④函数图象与x 轴有两个交点，且两交点的距离为6．A. ②③④B. ①②④C. ①③D. ①②③④【答案】B【解析】【分析】由二次函数的开口向上，函数有最小值，可判断①，由二次函数的增减性可判断②，由二次函数图象的平移可判断③，由二次函数与x 轴的交点坐标可判断④，从而可得答案．是【详解】解： y ＝（x ﹣2）2﹣9，图象的开口向上，∴当x ＝2时，y 取得最小值﹣9；故①符合题意；y ＝（x ﹣2）2﹣9的对称轴为2x =，而3242,-<-21,y y \> 故②符合题意；将其函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度所得抛物线的函数表达式为y ＝（x +1）2﹣5，故③不符合题意；当0y =时，则()2290,x --=解得：125,1,x x ==-而()516,--=故④符合题意；故选B【点睛】本题考查的是二次函数的图象与性质，二次函数与x 轴的交点问题，掌握“二次函数的图象与性质”是解本题的关键． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案直接填写在答题卡相应的横线上．13. = .【答案】２【解析】【分析】根据算术平方根的定义，求数a 的算术平方根，也就是求一个正数x ，使得x 2=a ，则x 就是a 的算术平方根， 特别地，规定0的算术平方根是0.【详解】∵22=4，=2.【点睛】本题考查求算术平方根，熟记定义是关键.14. 从﹣1，0，2中任取两个不同的数求和，则和为正的概率为 _____． 【答案】23 【解析】【分析】根据题意求出任取两个不同的数求和的所有可能的结果，以及其中和为正的可能的结果数，然后根据概率公式求解即可．【详解】解：由题意知，任取两个不同的数求和有1-，1，2，共三种可能的结果，其中和为正有1，2，共两种可能得到结果， ∴和为正的概率为23，故答案为：23． 【点睛】本题考查了概率．解题的关键在于明确熟练掌握概率的计算公式．15. 如图，∠DCE 是⊙O 内接四边形ABCD 的一个外角，若∠DCE ＝72°，那么∠BOD 的度数为 _____．【答案】144︒##144度【解析】【分析】先求解,BCD ∠ 再利用圆的内接四边形的性质求解,A ∠ 再利用圆周角定理可得BOD ∠的大小.【详解】解： ∠DCE ＝72°，18072108,BCD \Ð=°-°=°四边形ABCD 是⊙O 内接四边形，18072,A BCD \Ð=°-Ð=°2144,BOD A \Ð=Ð=°故答案为：144.°【点睛】本题考查的是邻补角的含义，圆的内接四边形的性质，圆周角定理的应用，熟练掌握圆中的圆周角定理与圆的内接四边形的性质是解本题的关键.16. 已知12x y =⎧⎨=⎩是方程ax +by ＝3的解，则代数式2a +4b ﹣5的值为 _____． 【答案】1【解析】【分析】把12x y =⎧⎨=⎩代入ax +by ＝3可得23a b +=，而2a +4b ﹣5()225a b =+-，再整体代入求值即可．【详解】解：把12x y =⎧⎨=⎩代入ax +by ＝3可得： 23a b +=，∴ 2a +4b ﹣5()225a b =+-2351=´-=．故答案为：1【点睛】本题考查的是二元一次方程的解，利用整体代入法求解代数式的值，掌握“方程的解的含义及整体代入的方法”是解本题的关键．17. 如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，若BC ＝9，CD ＝3，那么阴影部分的面积为 _____．【答案】7.5【解析】【分析】利用矩形与轴对称的性质先证明,FB FD = 再利用勾股定理求解5,FB = 再利用三角形的面积公式可得答案．【详解】解： 把一张矩形纸片沿对角线折叠，BC ＝9，CD ＝3，9,,3,90,,AD BC AD BC AB CD A EBD CBD \====Ð=°Ð=Ð∥,ADB CBD ∴∠=∠,FDB FBD \Ð=Ð,FB FD ∴=9,AF AD FD FB \=-=-()22239,FB FB \=+- 解得：5,FB FD ==11=537.5.22S FD AB \´=´´=阴影 故答案为：7.5【点睛】本题考查的是矩形的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，证明FB FD =是解本题的关键．三、解答题（本大题共7个小题，共69分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．18. （1）计算：2+|﹣4|﹣（12）﹣1；（2）化简：（1+2a a -）÷22444a a a --+，并在﹣2，0，2中选择一个合适的a 值代入求值．【答案】（1）5；（2）2,2a + 当0a =时，分式的值为1． 【解析】【分析】（1）先计算二次根式的乘方运算，求解绝对值，负整数指数幂的运算，再合并即可；（2）先计算括号内分式的加法运算，同步把除法转化为乘法运算，再约分可得化简后的结果，再结合分式有意义的条件可得0,a = 从而可得分式的值． 【详解】解（1）2+|﹣4|﹣（12）﹣1342=+-5=（2）（1+2a a -）÷22444a a a --+ ()()()222222a a aa a a --+=--+-g ()()2222a a a -=---+g22a =+ 2a ≠ 且2,a ≠-当0a =时，原式21.2== 【点睛】本题考查的是实数的混合运算，二次根式的乘法运算，分式的化简求值，负整数指数幂的含义，掌握以上基础运算是解本题的关键．19. 为了倡导保护资源节约用水，从某小区随机抽取了50户家庭，调查了他们5月的用水量情况，结果如图所示．的（1）这50户家庭中5月用水量在20～30t的有多少户？（2）把图中每组用水量的值用该组的中间值（如0～10的中间值为5）来代替，估计该小区平均每户用水量；（3）从该50户用水量在20～40t的家庭中，任抽取2户，用树状图或表格法求至少有1户用水量在30～40t的概率．【答案】（1）3 （2）12.4（3）7 10【解析】【分析】（1）由统计图可知，用50减去其他各组用水量的户数即可；（2）根据题意找出各组的中间值，再用各组的中间值乘以各组的户数然后把它们的总和除以总户数即可．（3）先列表展示所有20种等可能结果数，再找出至少有1户用水量在30～40t的结果数，然后根据概率公式计算．【小问1详解】解：50-20-25-2=3(户)答：这50户家庭中5月用水量在20～30t的有3户．【小问2详解】解：∵0～10的中间值为5；10～20的中间值为15；20～30的中间值为25；30～40的中间值为35；∴（5×20+15×25+25×3+35×2）÷50=12.4（t）．答：估计该小区平均每户用水量为12.4t．【小问3详解】解：用水量在20～30t的家庭用A表示，有2户，用水量在30～40t的家庭用B表示，有3户，任意抽取2户列表如下：A1A2A3B1B2的A 1 A 1A 2 A 1A 3 A 1B 1 A 1B 2 A 2 A 2A 1 A 2A 3 A 2B 1 A 2B 2 A 3 A 3A 1 A 3A 2 A 3B 1 A 3B 2 B 1 B 1A 1 B 1A 2 B 1A 3 B 1B 2 B 2B 2A 1B 2A 2B 2A 3B 2B 1∵共有20种等可能结果，其中至少有1户用水量在30～40t 的结果有14种， ∴P (至少有1户用水量在30～40t)=1420=710． 答：从该50户用水量在20～40t 的家庭中，任抽取2户，至少有1户用水量在30～40t 的概率是710． 【点睛】此题考查了数据分析和画树状图（或列表）求概率，解题的关键是分析统计图，根据题意画出表格，注意列举出所有的等可能结果．20. 如图，E ，F 是正方形ABCD 的对角线BD 上的两点，且BE ＝DF ．（1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）若AB ＝，BE ＝2，求四边形AECF 的面积． 【答案】（1）证明见解析（2）6 【解析】【分析】（1）利用正方形的性质证明,45,AB CD ABE CDF =Ð=Ð=°再结合BE ＝DF ，从而可得结论；（2）先利用正方形的性质证明6,,AC BD AC BD ==^ 再求解EF 的长，再利用四边形AECF 的面积12AEF CEF S S EF AC =+=V V g ，即可得到答案． 【小问1详解】证明： 正方形ABCD ，,45,AB CD ABE CDF \=Ð=Ð=°,BE DF =Q.ABE CDF ∴ ≌【小问2详解】 如图，连结AC ，正方形ABCD ，AB=6,,AC BD AC BD \==^2,BE DF ==6222,EF \=--=∴四边形AECF 的面积12AEF CEF S S EF AC =+=V V g 126 6.2=´´= 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，掌握“正方形的对角线相等且互相垂直平分”是解本题的关键． 21. 某商场购进A ，B 两种商品，已知购进3件A 商品和5件B 商品费用相同，购进3件A 商品和1件B 商品总费用为360元．（1）求A ，B 两种商品每件进价各为多少元？（列方程或方程组求解）（2）若该商场计划购进A ，B 两种商品共80件，其中A 商品m 件．若A 商品按每件150元销售，B 商品按每件80元销售，求销售完A ，B 两种商品后获得总利润w （元）与m （件）的函数关系式．【答案】（1）A ，B 两种商品每件进价分别为每件100元，每件60元．（2）利润w （元）与m （件）的函数关系式为：301600.w m =+ 【解析】【分析】（1）设A ，B 两种商品每件进价分别为每件x 元，每件y 元，则根据购进3件A 商品和5件B 商品费用相同，购进3件A 商品和1件B 商品总费用为360元，列方程组，再解方程组即可；（2）由总利润等于销售A ，B 两种商品的利润之和列函数关系式即可． 【小问1详解】解：设A ，B 两种商品每件进价分别为每件x 元，每件y 元，则35,3360x yx y ì=ïí+=ïî 解得：10060=⎧⎨=⎩x y ，答：A ，B 两种商品每件进价分别为每件100元，每件60元． 【小问2详解】 解：由题意可得：()()()150100806080w m m =-+--50160020301600,m m m =+-=+即总利润w （元）与m （件）的函数关系式为：301600.w m =+【点睛】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，确定相等关系列方程或函数关系是解本题的关键．22. 如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO 的直角顶点A 的坐标为（m ，2），点B 在x 轴上，将△ABO 向右平移得到△DEF ，使点D 恰好在反比例函数y ＝8x（x ＞0）的图象上．（1）求m 的值和点D 的坐标； （2）求DF 所在直线表达式；（3）若该反比例函数图象与直线DF 的另一交点为点G ，求S △EFG ． 【答案】（1）()2,4,2m D =-（2）直线DF 的解析式为： 6.y x =-+（3）8.EFG S =V的【解析】【分析】（1）如图，过A 作AH BO ⊥于,H 利用等腰直角三角形的性质可得2,AH BH OH ===从而可得m 的值，再由平移的性质可得D 的纵坐标，利用反比例函数的性质可得D 的坐标；（2）由()()2,2,4,2,A D - 可得等腰直角三角形向右平移了6个单位，则()6,0,F 再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；（3）先联立两个函数解析式求解G 的坐标，再利用三角形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】解：如图，过A 作AH BO ⊥于,HABO 为等腰直角三角形，(),2,A m2,AH BH OH \=== ()2,2,A \- 即2,m =-由平移的性质可得：2,D A y y ==84,2D x \== 即()4,2,D 【小问2详解】 由()()2,2,4,2,A D -∴ 等腰直角三角形向右平移了6个单位，()6,0,F \设DF 为,y kx b =+42,60k b k b ì+=ï\í+=ïî解得：1,6k b ì=-ïí=ïî ∴直线DF 的解析式为： 6.y x =-+ 【小问3详解】如图，延长FD 交反比例函数于G ，连结,EG68y x y x =-+⎧⎪⎨=⎪⎩， 解得：24,,42x x y y ìì==ïïíí==ïïîî 经检验符合题意； ()2,4,G \4,EF BO ==Q11448.22EFG G S EF y \=´´=´´=V【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，坐标与图形，反比例函数的图象与性质，函数的交点坐标问题，一元二次方程的解法，直角三角形斜边上的中线的性质，熟练是求解G 的坐标是解本题的关键．23. 如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AO 是△ABC 的角平分线，以O 为圆心，OC 为半径作⊙O 与直线AO 交于点E 和点D ．（1）求证：AB 是⊙O 的切线； （2）连接CE ，求证：△ACE ∽△ADC ； （3）若AE AC ＝12，⊙O 的半径为6，求tan ∠OAC ． 【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析 （3）tan ∠OAC 34=【解析】【分析】（1）如图，过O 作OH AB ⊥于,H 证明,OC OH = 即可得到结论； （2）证明,ACE OCD ODC Ð=Ð=Ð 再结合,CAE DAC Ð=Ð 从而可得结论； （3）由相似三角形的性质可得1,2AE AC AC AD == 设,AE x = 则2,4,AC x AD x == 而12,AD AE DE x =+=+ 从而建立方程求解x ，从而可得答案．【小问1详解】证明：如图，过O 作OH AB ⊥于,H∠ACB ＝90°，AO 是△ABC 的角平分线，,OC OH \=O 为圆心，OC 为半径，AB ∴是⊙O 的切线．【小问2详解】 如图，连结CE ，DE 为O 的直径，90,DCE DCO OCE \Ð=°=Ð+Ð 90,ACB ACE BCE Ð=°=Ð+ÐQ ,DCO ACE \Ð=Ð ,OD OC =,ODC OCD ∴∠=∠,ACE ADC \Ð=Ð ,CAE DAC Ð=ÐQ.ACE ADC \V V ∽【小问3详解】,ACE ADC QV V ∽1,2AE AC = 1,2AE AC AC AD \== 设,AE x = 则2,4,AC x AD x == 而12,AD AE DE x =+=+412,x x \=+ 解得4,x = 4,8,16,AE AC AD \===∴ tan ∠OAC 63=.84OC AC == 【点睛】本题考查的是切线的判定，相似三角形的判定与性质，求解锐角的正切，证明ACE ADC ∽，利用相似三角形的性质求解8AC =是解本题的关键．24. 已知二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （﹣1，0），B （3，0），且与y 轴交于点C （0，﹣3）．（1）求此二次函数的表达式及图象顶点D 的坐标；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点E ，使△ACE 为Rt △，若存在，试求点E 的坐标，若不存在，请说明理由；（3）在平面直角坐标系中，存在点P ，满足PA ⊥PD ，求线段PB 的最小值． 【答案】（1）()223,1,4y x x D =---（2）E 的坐标为：21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或81,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或()1,1-或()1,2.-（3）BP【解析】【分析】（1）根据题意可设抛物线为()()13,y a x x =+-再代入C 的坐标可得函数解析式，化为顶点式可得顶点坐标； （2）如图，由()()()22132314,y x x x x x =+-=--=--可得抛物线的对称轴为：1,x =设()1,,E n 而A （﹣1，0），C （0，-3），再利用勾股定理分别表示210,AC =224,AE n =+ 22610,CE n n =++ 再分三种情况讨论即可；（3）如图，连结AD ，记AD 的中点为H ，由,PA PD ⊥ 则P 在以H 为圆心，HA 为半径的圆H 上，不与A ，D 重合，连结BH ，交圆H 于P ，则PB 最短，再求解H 的坐标，结合勾股定理可得答案． 【小问1详解】解： 二次函数y ＝ax 2+bx +c 的图象过点A （﹣1，0），B （3，0）， ∴设二次函数为：()()13,y a x x =+-把C （0，﹣3）代入抛物线可得：33,a -=- 解得：1,a = ∴抛物线为：()()()2213231 4.y x x x x x =+-=--=--()1,4.D \-【小问2详解】 如图，由()()()22132314,y x x x x x =+-=--=--可得抛物线的对称轴为：1,x =设()1,,E n 而A （﹣1，0），C （0，-3），()()222100310,AC \=--++=()2222114,AE n n =++=+()()2222103610,CE n n n =-++=++ 当90EAC ∠=︒时，22610410n n n ++=++， 解得2,3n = 即21,,3E æöç÷ç÷èø当90ACE ∠=︒时，22410610,n n n +=+++ 解得：8,3n =- 即81,,3E æöç÷-ç÷èø当90AEC ∠=︒时，22461010,n n n ++++=整理得：2320,n n ++=解得：121,2,n n =-=-()()1,1,1,2,E E \--综上：E 的坐标为：21,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或81,3⎛⎫- ⎪⎝⎭或()1,1-或()1,2.- 【小问3详解】如图，连结AD ，记AD 的中点为H ，由,PA PD ⊥则P 在以H 为圆心，HA 为半径的圆H 上，不与A ，D 重合，连结BH ，交圆H 于P ，则PB 最短，()()1,0,1,4,A D --Q()0,2,H AD HP \-= ()3,0,BBH \=\BP即BP【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解抛物线的解析式，二次函数的性质，勾股定理的应用，二次函数与圆的综合，判断PB最小时，P的位置是解本题的关键。
2020年四川省雅安市中考数学试卷及答案解析
2020年四川省雅安市中考数学试卷一．选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．1．（3分）实数2020的相反数是（）A．2020B．C．﹣2020D．﹣2．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．3．（3分）一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（）A．4B．5C．6D．74．（3分）下列式子运算正确的是（）A．2x+3x＝5x2B．﹣（x+y）＝x﹣y C．x2•x3＝x5D．x4+x＝x45．（3分）下列四个选项中不是命题的是（）A．对顶角相等B．过直线外一点作直线的平行线C．三角形任意两边之和大于第三边D．如果a＝b，a＝c，那么b＝c6．（3分）已知+|b﹣2a|＝0，则a+2b的值是（）A．4B．6C．8D．107．（3分）分式＝0，则x的值是（）A．1B．﹣1C．±1D．08．（3分）在课外活动中，有10名同学进行了投篮比赛，限每人投10次，投中次数与人数如下表：投中次数578910人数23311则这10人投中次数的平均数和中位数分别是（）A．3.9，7B．6.4，7.5C．7.4，8D．7.4，7.59．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，sin B＝0.5，若AC＝6，则BC的长为（）A．8B．12C．6D．1210．（3分）如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（）A．k B．k且k≠0C．k且k≠0D．k11．（3分）如图，△ABC内接于圆，∠ACB＝90°，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P＝28°．则∠CAB＝（）A．62°B．31°C．28°D．56°12．（3分）已知，等边三角形ABC和正方形DEFG的边长相等，按如图所示的位置摆放（C 点与E点重合），点B、C、F共线，△ABC沿BF方向匀速运动，直到B点与F点重合．设运动时间为t，运动过程中两图形重叠部分的面积为S，则下面能大致反映s与t之间关系的函数图象是（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．13．（3分）如图，a∥b，c与a，b都相交，∠1＝50°，则∠2＝．14．（3分）如果用+3℃表示温度升高3摄氏度，那么温度降低2摄氏度可表示为．15．（3分）从﹣，﹣1，1，2，5中任取一数作为a，使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率为．16．（3分）若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6＝0，则x2+y2＝．17．（3分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝．三、解答题（本大题共7个小题，共69分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．18．（12分）（1）计算：（﹣1）2020+（π﹣1）0×（）﹣2；（2）先化简（﹣x+1）÷，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．19．（8分）从某校初三年级中随机抽查若干名学生摸底检测的数学成绩（满分为120分），制成如图的统计直方图，已知成绩在80～90分（含80分，不含90分）的学生为抽查人数的15%，且规定成绩大于或等于100分为优秀．（1）求被抽查学生人数及成绩在100～110分的学生人数m；（2）在被抽查的学生中任意抽取1名学生，则这名学生成绩为优秀的概率；（3）若该校初三年级共有300名学生，请你估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数．20．（8分）某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种3棵，则剩86棵；如果每人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵．请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？（请用一元一次不等式组解答）21．（9分）如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG．（1）求证：△ABE∽△EGF；（2）若EC＝2，求△CEF的面积；（3）请直接写出EC为何值时，△CEF的面积最大．22．（9分）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝（m为常数且m≠0）的图象在第二象限交于点C，CD⊥x 轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝6．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求两个函数图象的另一个交点E的坐标；（3）请观察图象，直接写出不等式kx+b≤的解集．23．（10分）如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC＝3，求△BDE的面积．24．（13分）已知二次函数y＝x2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），（1）求二次函数的表达式及A点坐标；（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC的距离取得最大值时点D的坐标；（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N．使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．2020年四川省雅安市中考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．1．【解答】解：2020的相反数是：﹣2020．故选：C．2．【解答】解：不等式组的解集在数轴上表示正确的是A选项．故选：A．3．【解答】解：由俯视图与左视图知，该几何体所需小正方体个数最少分布情况如下图所示：所以组成该几何体所需小正方体的个数最少为5，故选：B．4．【解答】解：A、2x+3x＝5x，故此选项错误；B、﹣（x+y）＝﹣x﹣y，故此选项错误；C、x2•x3＝x5，正确；D、x4+x，无法合并，故此选项错误．故选：C．5．【解答】解：由题意可知，A、C、D都是命题，B不是命题．故选：B．6．【解答】解：∵+|b﹣2a|＝0，∴a﹣2＝0，b﹣2a＝0，解得：a＝2，b＝4，故a+2b＝10．故选：D．7．【解答】解：∵分式＝0，∴x2﹣1＝0且x+1≠0，解得：x＝1．故选：A．8．【解答】解：这10人投中次数的平均数为＝7.4，中位数为＝7.5，故选：D．9．【解答】解：法一、在Rt△ACB中，∵sin B＝＝＝0.5，∴AB＝12．∴BC＝＝＝6．故选：C．法二、在Rt△ACB中，∵sin B＝0.5，∴∠B＝30°．∵tan B＝＝＝，∴BC＝6．故选：C．10．【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0且k≠0，解得k≤且k≠0，故选：C．11．【解答】解：连接OC，如图，∵PC为切线，∴OC⊥PC，∴∠PCO＝90°，∴∠POC＝90°﹣∠P＝90°﹣28°＝62°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，而∠POC＝∠A+∠OCA，∴∠A＝×62°＝31°．故选：B．12．【解答】解：设等边三角形ABC和正方形DEFG的边长都为a，当点C在EF的中点左侧时，设AC交DE于点H，则CE＝t，HE＝ET tan ACB＝t×＝t，则S＝S△CEH＝×CE×HE＝×t×t＝t2，图象为开口向上的二次函数；当点C在EF的中点右侧时，同理可得：S＝a2﹣（a﹣t）2＝（﹣t2+2at），图象为开口向下的二次函数；故选：A．二．填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．13．【解答】解：∵a∥b，∠1＝50°，∴∠1＝∠3＝50°，∴∠2＝180°﹣∠3＝130°，故答案为：130°．14．【解答】解：如果用+3℃表示温度升高3摄氏度，那么温度降低2摄氏度可表示为：﹣2℃．故答案为：﹣2℃．15．【解答】解：在所列的5个数中任取一个数有5种等可能结果，其中使抛物线y＝ax2+bx+c 的开口向上的有3种结果，∴使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率为，故答案为：．16．【解答】解：设x2+y2＝z，则原方程转化为z2﹣5z﹣6＝0，（z﹣6）（z+1）＝0，解得z1＝6，z2＝﹣1，∵x2+y2不小于0，∴x2+y2＝6，故答案为6．17．【解答】解：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2，∵AD＝2，BC＝4，∴AB2+CD2＝22+42＝20．故答案为：20．三、解答题（本大题共7个小题，共69分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．18．【解答】解：（1）原式＝1+1×＝1+＝；（2）原式＝（﹣）÷＝•＝，∵x≠±1，∴取x＝0，则原式＝﹣1．19．【解答】解：（1）∵成绩在80～90分（含80分，不含90分）的学生有3人，占抽查人数的15%，∴被抽查的学生人数为3÷15%＝20（人），则成绩在100～110分的学生人数m＝20﹣（2+3+7+3）＝5；（2）这名学生成绩为优秀的概率为＝；（3）估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数为300×＝120（人）．20．【解答】解：设该班有x名学生，则本次一共种植（3x+86）棵树，依题意，得：，解得：44＜x＜45，又∵x为正整数，∴x＝45，3x+86＝221．答：该班有45名学生，本次一共种植221棵树．21．【解答】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCG＝90°，∵CF平分∠DCG，∴∠FCG＝∠DCG＝45°，∵∠G＝90°，∴∠GCF＝∠CFG＝45°，∴FG＝CG，∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，∴∠B＝∠G＝∠AEF＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEG＝90°，∴∠BAE＝∠FEG，∵∠B＝∠G＝90°，∴△BAE∽△GEF；（2）∵AB＝BC＝10，CE＝2，∴BE＝8，∴FG＝CG，∴EG＝CE+CG＝2+FG，由（1）知，△BAE∽△GEF，∴＝，∴，∴FG＝8，∴S△ECF＝CE•FG＝×2×8＝8；（3）设CE＝x，则BE＝10﹣x，∴EG＝CE+CG＝x+FG，由（1）知，△BAE∽△GEF，∴＝，∴，∴FG＝10﹣x，∴S△ECF＝×CE×FG＝×x•（10﹣x）＝﹣（x2﹣10x）＝﹣（x﹣5）2+，当x＝5时，S△ECF最大＝．22．【解答】解：（1）∵OB＝2OA＝3OD＝6，∴OB＝6，OA＝3，OD＝2，∵CD⊥OA，∴DC∥OB，∴＝，∴＝，∴CD＝10，∴点C坐标是（﹣2，10），∵B（0，6），A（3，0），∴，解得，∴一次函数为y＝﹣2x+6．∵反比例函数y＝经过点C（﹣2，10），∴m＝﹣20，∴反比例函数解析式为y＝﹣．（2）由解得或，∴E的坐标为（5，﹣4）．（3）由图象可知kx+b≤的解集是：﹣2≤x＜0或x≥5．23．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O．∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝60°，∴∠ADC＝120°，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB＝60°，∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°，∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，∴△ABC是等边三角形（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．∴∠AMD＝90°∵∠ADC＝120°，∴∠ADM＝60°，∴∠DAM＝30°，∴DM＝AD＝1，AM＝＝＝，∵CD＝3，∴CM＝CD+DE＝1+3＝4，∴S△ACD＝CD•AM＝×＝，Rt△AMC中，∠AMD＝90°，∴AC＝＝＝，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝，∴BN＝BC＝，∴S△ABC＝×＝，∴四边形ABCD的面积＝+＝，∵BE∥CD，∴∠E+∠ADC＝180°，∵∠ADC＝120°，∴∠E＝60°，∴∠E＝BDC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EAB＝∠BCD，在△EAB和△DCB中，∴△EAB≌△DCB（AAS），∴△BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝．24．【解答】解：（1）把B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c 则有，解得∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3，令y＝0，得到x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，∴A（﹣3，0）．（2）如图1中连接AD，CD．∵点D到直线AC的距离取得最大，∴此时△DAC的面积最大设直线AC解析式为：y＝kx+b，∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），∴，解得，，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，过点D作x轴的垂线交AC于点G，设点D的坐标为（x，x2+2x﹣3），则G（x，﹣x﹣3），∵点D在第三象限，∴DG＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x，∴S△ACD＝•DG•OA＝（﹣x2﹣3x）×3＝﹣x2﹣＝﹣（x+）2+，∴当x＝﹣时，S最大＝，点D（﹣，﹣），∴点D到直线AC的距离取得最大时，D（﹣，﹣）．（3）如图2中，当OB是平行四边形的边时，OB＝MN＝1，OB∥MN，可得N（﹣2，﹣3）或N′（0，﹣3），当OB为对角线时，点N″的横坐标为，x＝时，y＝+3﹣2＝，∴N″（，）．综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣2，﹣3）或（0，﹣3）或（，）．。
2020年四川省雅安市中考数学试卷和答案解析
2020年四川省雅安市中考数学试卷和答案解析一．选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．1．（3分）实数2020的相反数是（）A．2020B．C．﹣2020D．﹣解析：直接利用相反数的定义得出答案．参考答案：解：2020的相反数是：﹣2020．故选：C．点拨：此题主要考查了相反数，正确把握相反数的定义是解题的关键．2．（3分）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．解析：根据不等式的解集即可在数轴上表示出来．参考答案：解：不等式组的解集在数轴上表示正确的是A选项．故选：A．点拨：本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解决本题的关键是用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”：一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点；二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”．3．（3分）一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为（）A．4B．5C．6D．7解析：在“俯视打地基”的前提下，结合左视图知俯视图最上面一行三个小正方体的上方（第2层）至少还有1个正方体，据此可得答案．参考答案：解：由俯视图与左视图知，该几何体所需小正方体个数最少分布情况如下图所示：所以组成该几何体所需小正方体的个数最少为5，故选：B．点拨：本题主要考查由三视图判断几何体，解题的关键是掌握口诀“俯视打地基，主视疯狂盖，左视拆违章”．4．（3分）下列式子运算正确的是（）A．2x+3x＝5x2B．﹣（x+y）＝x﹣y C．x2•x3＝x5D．x4+x＝x4解析：直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘法运算法则分别化简得出答案．参考答案：解：A、2x+3x＝5x，故此选项错误；B、﹣（x+y）＝﹣x﹣y，故此选项错误；C、x2•x3＝x5，正确；D、x4+x，无法合并，故此选项错误．故选：C．点拨：此题主要考查了同底数幂的乘法以及整式的加减，正确掌握相关运算法则是解题关键．5．（3分）下列四个选项中不是命题的是（）A．对顶角相等B．过直线外一点作直线的平行线C．三角形任意两边之和大于第三边D．如果a＝b，a＝c，那么b＝c解析：判断一件事情的语句，叫做命题．根据定义判断即可．参考答案：解：由题意可知，A、C、D都是命题，B不是命题．故选：B．点拨：本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．注意：疑问句与作图语句都不是命题．6．（3分）已知+|b﹣2a|＝0，则a+2b的值是（）A．4B．6C．8D．10解析：直接利用绝对值和二次根式的性质分别化简得出答案．参考答案：解：∵+|b﹣2a|＝0，∴a﹣2＝0，b﹣2a＝0，解得：a＝2，b＝4，故a+2b＝10．故选：D．点拨：此题主要考查了非负数的性质，正确得出a，b的值是解题关键．7．（3分）分式＝0，则x的值是（）A．1B．﹣1C．±1D．0解析：直接利用分式为零则分子为零，分母不为零进而得出答案．参考答案：解：∵分式＝0，∴x2﹣1＝0且x+1≠0，解得：x＝1．故选：A．点拨：此题主要考查了分式的值为零的条件，正确把握分式为零的条件是解题关键．8．（3分）在课外活动中，有10名同学进行了投篮比赛，限每人投10次，投中次数与人数如下表：投中次数578910人数23311则这10人投中次数的平均数和中位数分别是（）A．3.9，7B．6.4，7.5C．7.4，8D．7.4，7.5解析：直接根据加权平均数和中位数的定义求解即可得．参考答案：解：这10人投中次数的平均数为＝7.4，中位数为＝7.5，故选：D．点拨：本题主要考查中位数，解题的关键是掌握中位数和加权平均数的定义．9．（3分）如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，sinB＝0.5，若AC＝6，则BC的长为（）A．8B．12C．6D．12解析：根据锐角三角函数的边角间关系，先求出AB，再利用勾股定理求出BC．参考答案：解：法一、在Rt△ACB中，∵sinB＝＝＝0.5，∴AB＝12．∴BC＝＝＝6．故选：C．法二、在Rt△ACB中，∵sinB＝0.5，∴∠B＝30°．∵tanB＝＝＝，∴BC＝6．故选：C．点拨：本题考查了解直角三角形．掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．10．（3分）如果关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，那么k的取值范围是（）A．k B．k且k≠0C．k且k≠0D．k解析：根据关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，知△＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0且k≠0，解之可得．参考答案：解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣3x+1＝0有两个实数根，∴△＝（﹣3）2﹣4×k×1≥0且k≠0，解得k≤且k≠0，故选：C．点拨：本题主要考查根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．11．（3分）如图，△ABC内接于圆，∠ACB＝90°，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠P＝28°．则∠CAB＝（）A．62°B．31°C．28°D．56°解析：连接OC，如图，根据切线的性质得到∠PCO＝90°，则利用互余计算出∠POC＝62°，然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算∠A的度数．参考答案：解：连接OC，如图，∵PC为切线，∴OC⊥PC，∴∠PCO＝90°，∴∠POC＝90°﹣∠P＝90°﹣28°＝62°，∵OA＝OC，∴∠A＝∠OCA，而∠POC＝∠A+∠OCA，∴∠A＝×62°＝31°．故选：B．点拨：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．12．（3分）已知，等边三角形ABC和正方形DEFG的边长相等，按如图所示的位置摆放（C点与E点重合），点B、C、F共线，△ABC沿BF方向匀速运动，直到B点与F点重合．设运动时间为t，运动过程中两图形重叠部分的面积为S，则下面能大致反映s 与t之间关系的函数图象是（）A．B．C．D．解析：分点A在D点的左侧、点A在DG上、点A在G点的右侧三种情况，分别求出函数的表达式即可求解．参考答案：解：设等边三角形ABC和正方形DEFG的边长都为a，当点A在D点的左侧时，设AC交DE于点H，则CE＝t，HE＝ETtanACB＝t×＝t，则S＝S △CEH＝×CE×HE＝×t×t＝t2，图象为开口向上的二次函数；当点A在DG上时，同理可得：S＝a2﹣（a﹣t）2＝（﹣t2+2at），图象为开口向下的二次函数；点C在EF的中点右侧时，同理可得：S＝S △BFH＝×BF×HF＝×（2a﹣t）×（2a﹣t）＝（2a﹣t）2，图象为开口向上的二次函数．故选：A．点拨：本题考查的是动点图象问题，此类问题关键是：弄清楚不同时间段，图象和图形的对应关系，进而求解．二．填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．13．（3分）如图，a∥b，c与a，b都相交，∠1＝50°，则∠2＝130°．解析：根据平行线的性质得出∠3＝∠1＝50°，再根据邻补角互补求出∠2即可．参考答案：解：∵a∥b，∠1＝50°，∴∠1＝∠3＝50°，∴∠2＝180°﹣∠3＝130°，故答案为：130°．点拨：本题考查了平行线的性质和邻补角，能根据平行线的性质求出∠3的度数是解此题的关键．14．（3分）如果用+3℃表示温度升高3摄氏度，那么温度降低2摄氏度可表示为﹣2℃．解析：直接利用正负数的意义分析得出答案．参考答案：解：如果用+3℃表示温度升高3摄氏度，那么温度降低2摄氏度可表示为：﹣2℃．故答案为：﹣2℃．点拨：此题主要考查了正数和负数，正确理解正负数的意义是解题关键．15．（3分）从﹣，﹣1，1，2，5中任取一数作为a，使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率为．解析：使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的条件是a＞0，据此从所列5个数中找到符合此条件的结果，再利用概率公式求解可得．参考答案：解：在所列的5个数中任取一个数有5种等可能结果，其中使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的有3种结果，∴使抛物线y＝ax2+bx+c的开口向上的概率为，故答案为：．点拨：本题考查概率公式的计算，根据题意正确列出概率公式是解题的关键．16．（3分）若（x2+y2）2﹣5（x2+y2）﹣6＝0，则x2+y2＝6．解析：设x2+y2＝z，则原方程转化为关于z的一元二次方程．解一元二次方程即可．参考答案：解：设x2+y2＝z，则原方程转化为z2﹣5z﹣6＝0，（z﹣6）（z+1）＝0，解得z1＝6，z2＝﹣1，∵x2+y2不小于0，∴x2+y2＝6，故答案为6．点拨：本题主要考查了换元法解一元二次方程，把某个式子看作一个整体，用一个字母去代替它，实行等量替换．17．（3分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC、BD交于点O．若AD＝2，BC＝4，则AB2+CD2＝20．解析：根据垂直的定义和勾股定理解答即可．参考答案：解：∵AC⊥BD，∴∠AOD＝∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝90°，由勾股定理得，AB2+CD2＝AO2+BO2+CO2+DO2，AD2+BC2＝AO2+DO2+BO2+CO2，∴AB2+CD2＝AD2+BC2，∵AD＝2，BC＝4，∴AB2+CD2＝22+42＝20．故答案为：20．点拨：本题考查的是垂直的定义，勾股定理的应用，正确理解“垂美”四边形的定义、灵活运用勾股定理是解题的关键．三、解答题（本大题共7个小题，共69分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．18．（12分）（1）计算：（﹣1）2020+（π﹣1）0×（）﹣2；（2）先化简（﹣x+1）÷，再从﹣1，0，1中选择合适的x值代入求值．解析：（1）先计算乘方、零指数幂、负整数指数幂，再计算乘法，最后计算加法即可得；（2）先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的x的值代入计算可得．参考答案：解：（1）原式＝1+1×＝1+＝；（2）原式＝（﹣）÷＝•＝，∵x≠±1，∴取x＝0，则原式＝﹣1．点拨：本题主要考查实数的混合运算与分式的化简求值，解题的关键是掌握零指数幂和负整数指数幂的规定及分式的混合运算顺序和运算法则．19．（8分）从某校初三年级中随机抽查若干名学生摸底检测的数学成绩（满分为120分），制成如图的统计直方图，已知成绩在80～90分（含80分，不含90分）的学生为抽查人数的15%，且规定成绩大于或等于100分为优秀．（1）求被抽查学生人数及成绩在100～110分的学生人数m；（2）在被抽查的学生中任意抽取1名学生，则这名学生成绩为优秀的概率；（3）若该校初三年级共有300名学生，请你估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数．解析：（1）用成绩在80～90分（含80分，不含90分）的学生有人数除以抽查人数的百分比可得被调查的总人数，再根据各分数段人数之和等于总人数可得m的值；（2）用成绩为优秀的人数除以被调查的总人数即可得；（3）用总人数乘以样本中数学成绩为优秀的人数所占比例即可得．参考答案：解：（1）∵成绩在80～90分（含80分，不含90分）的学生有3人，占抽查人数的15%，∴被抽查的学生人数为3÷15%＝20（人），则成绩在100～110分的学生人数m＝20﹣（2+3+7+3）＝5；（2）这名学生成绩为优秀的概率为＝；（3）估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数为300×＝120（人）．点拨：本题主要考查概率公式，解题的关键是根据80～90分的学生人数及其所占百分比求出总人数、概率公式及样本估计总体思想的运用．20．（8分）某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种3棵，则剩86棵；如果每人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵．请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？（请用一元一次不等式组解答）解析：设该班有x名学生，则本次一共种植（3x+86）棵树，根据“如果每人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵”，即可得出关于x的一元一次不等式，解之即可得出x的取值范围，再结合x为正整数即可得出结论．参考答案：解：设该班有x名学生，则本次一共种植（3x+86）棵树，依题意，得：，解得：44＜x＜45，又∵x为正整数，∴x＝45，3x+86＝221．答：该班有45名学生，本次一共种植221棵树．点拨：本题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．21．（9分）如图，已知边长为10的正方形ABCD，E是BC边上一动点（与B、C不重合），连结AE，G是BC延长线上的点，过点E作AE的垂线交∠DCG的角平分线于点F，若FG⊥BG．（1）求证：△ABE∽△EGF；（2）若EC＝2，求△CEF的面积；（3）请直接写出EC为何值时，△CEF的面积最大．解析：（1）先判断出CG＝FG，再利用同角的余角相等，判断出∠BAE＝∠FEG，进而得出△ABE∽△EGF，即可得出结论；（2）先求出BE＝8，进而表示出EG＝2+FG，由△BAE∽△GEF，得出＝，求出FG，最后用三角形面积公式即可得出结论；（3）同（2）的方法，即可得出S△ECF＝﹣（x﹣5）2+，即可得出结论．参考答案：解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCG＝90°，∵CF平分∠DCG，∴∠FCG＝∠DCG＝45°，∵∠G＝90°，∴∠GCF＝∠CFG＝45°，∴FG＝CG，∵四边形ABCD是正方形，EF⊥AE，∴∠B＝∠G＝∠AEF＝90°，∴∠BAE+∠AEB＝90°，∠AEB+∠FEG＝90°，∴∠BAE＝∠FEG，∵∠B＝∠G＝90°，∴△BAE∽△GEF；（2）∵AB＝BC＝10，CE＝2，∴BE＝8，∴FG＝CG，∴EG＝CE+CG＝2+FG，由（1）知，△BAE∽△GEF，∴＝，∴，∴FG＝8，∴S△ECF＝CE•FG＝×2×8＝8；（3）设CE＝x，则BE＝10﹣x，∴EG＝CE+CG＝x+FG，由（1）知，△BAE∽△GEF，∴＝，∴，∴FG＝10﹣x，∴S△ECF＝×CE×FG＝×x•（10﹣x）＝﹣（x2﹣10x）＝﹣（x ﹣5）2+，当x＝5时，S△ECF最大＝．点拨：此题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，角平分线，相似三角形的判定和性质，三角形的面积公式，判断出△BAE∽△GEF是解本题的关键．22．（9分）如图，一次函数y＝kx+b（k、b为常数，k≠0）的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，且与反比例函数y＝（m为常数且m≠0）的图象在第二象限交于点C，CD⊥x轴，垂足为D，若OB＝2OA＝3OD＝6．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求两个函数图象的另一个交点E的坐标；（3）请观察图象，直接写出不等式kx+b≤的解集．解析：（1）先求出A、B、C坐标，再利用待定系数法确定函数解析式．（2）两个函数的解析式作为方程组，解方程组即可解决问题．（3）根据图象一次函数的图象在反比例函数图象的下方，即可解决问题．参考答案：解：（1）∵OB＝2OA＝3OD＝6，∴OB＝6，OA＝3，OD＝2，∵CD⊥OA，∴DC∥OB，∴＝，∴＝，∴CD＝10，∴点C坐标是（﹣2，10），∵B（0，6），A（3，0），∴，解得，∴一次函数为y＝﹣2x+6．∵反比例函数y＝经过点C（﹣2，10），∴m＝﹣20，∴反比例函数解析式为y＝﹣．（2）由解得或，∴E的坐标为（5，﹣4）．（3）由图象可知kx+b≤的解集是：﹣2≤x＜0或x≥5．点拨：本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，解题的关键是学会利用待定系数法确定函数解析式，知道两个函数图象的交点坐标可以利用解方程组解决，学会利用图象确定自变量取值范围，属于中考常考题型．23．（10分）如图，四边形ABCD内接于圆，∠ABC＝60°，对角线BD平分∠ADC．（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）过点B作BE∥CD交DA的延长线于点E，若AD＝2，DC ＝3，求△BDE的面积．解析：（1）根据三个内角相等的三角形是等边三角形即可判断；（2）过点A作AE⊥CD，垂足为点E，过点B作BF⊥AC，垂足为点F．根据S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD，分别求出△ABC，△ACD 的面积，即可求得四边形ABCD的面积，然后通过证得△EAB≌△DCB（AAS），即可求得△BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝．参考答案：（1）证明：∵四边形ABCD内接于⊙O．∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ABC＝60°，∴∠ADC＝120°，∵DB平分∠ADC，∴∠ADB＝∠CDB＝60°，∴∠ACB＝∠ADB＝60°，∠BAC＝∠CDB＝60°，∴∠ABC＝∠BCA＝∠BAC，∴△ABC是等边三角形（2）过点A作AM⊥CD，垂足为点M，过点B作BN⊥AC，垂足为点N．∴∠AMD＝90°∵∠ADC＝120°，∴∠ADM＝60°，∴∠DAM＝30°，∴DM＝AD＝1，AM＝＝＝，∵CD＝3，∴CM＝CD+DE＝1+3＝4，∴S △ACD＝CD•AM＝×＝，Rt△AMC中，∠AMD＝90°，∴AC＝＝＝，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC＝，∴BN＝BC＝，∴S△ABC＝×＝，∴四边形ABCD的面积＝+＝，∵BE∥CD，∴∠E+∠ADC＝180°，∵∠ADC＝120°，∴∠E＝60°，∴∠E＝BDC，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠EAB＝∠BCD，在△EAB和△DCB中，∴△EAB≌△DCB（AAS），∴△BDE的面积＝四边形ABCD的面积＝．点拨：本题考查圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．24．（13分）已知二次函数y＝x2+bx+c（a≠0）的图象与x轴的交于A、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，﹣3），（1）求二次函数的表达式及A点坐标；（2）D是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D到直线AC 的距离取得最大值时点D的坐标；（3）M是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N．使以M、N、B、O为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N的坐标（不写求解过程）．解析：（1）利用待定系数法解决问题即可．（2）如图1中连接AD，CD．由题意点D到直线AC的距离取得最大，推出此时△DAC的面积最大．过点D作x轴的垂线交AC 于点G，设点D的坐标为（x，x2+2x﹣3），则G（x，﹣x﹣3），推出DG＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x，利用二次函数的性质求解即可．（3）分两种情形：OB是平行四边形的边或对角线分别求解即可．参考答案：解：（1）把B（1，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c则有，解得∴二次函数的解析式为y＝x2+2x﹣3，令y＝0，得到x2+2x﹣3＝0，解得x＝﹣3或1，∴A（﹣3，0）．（2）如图1中连接AD，CD．∵点D到直线AC的距离取得最大，∴此时△DAC的面积最大设直线AC解析式为：y＝kx+b，∵A（﹣3，0），C（0，﹣3），∴，解得，，∴直线AC的解析式为y＝﹣x﹣3，过点D作x轴的垂线交AC于点G，设点D的坐标为（x，x2+2x ﹣3），则G（x，﹣x﹣3），∵点D在第三象限，∴DG＝﹣x﹣3﹣（x2+2x﹣3）＝﹣x﹣3﹣x2﹣2x+3＝﹣x2﹣3x，∴S△ACD＝•DG•OA＝（﹣x2﹣3x）×3＝﹣x2﹣＝﹣（x+）2+，∴当x＝﹣时，S最大＝，点D（﹣，﹣），∴点D到直线AC的距离取得最大时，D（﹣，﹣）．（3）如图2中，当OB是平行四边形的边时，OB＝MN＝1，OB ∥MN，可得N（﹣2，﹣3）或N′（0，﹣3），当OB为对角线时，点N″的横坐标为2，x＝2时，y＝4+4﹣3＝5，∴N″（2，5）．综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣2，﹣3）或（0，﹣3）或（2，5）．点拨：本题考查待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．。
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2020年四川省雅安市中考数学试卷一．选择题（共12小题）.1．（3分）实数2020的相反数是( )A ．2020B ．12020C ．2020-D ．12020- 2．（3分）不等式组21x x -⎧⎨<⎩的解集在数轴上表示正确的是( ) A ． B ．C ．D ．3．（3分）一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为( )A ．4B ．5C ．6D ．74．（3分）下列式子运算正确的是( )A ．2235x x x +=B ．()x y x y -+=-C ．235x x x =D ．44x x x +=5．（3分）下列四个选项中不是命题的是( )A ．对顶角相等B ．过直线外一点作直线的平行线C ．三角形任意两边之和大于第三边D ．如果a b =，a c =，那么b c =6．（32|2|0a b a --=，则2a b +的值是( )A ．4B ．6C ．8D ．107．（3分）分式2101x x -=+，则x 的值是( ) A ．1 B ．1- C ．1± D ．08．（3分）在课外活动中，有10名同学进行了投篮比赛，限每人投10次，投中次数与人数如下表： 投中次数 5 7 8 9 10 人数 2 3 3 1 1则这10人投中次数的平均数和中位数分别是( )A ．3.9，7B ．6.4，7.5C ．7.4，8D ．7.4，7.59．（3分）如图，在Rt ACB ∆中，90C ∠=︒，sin 0.5B =，若6AC =，则BC 的长为( )A ．8B ．12C ．63D ．12310．（3分）如果关于x 的一元二次方程2310kx x -+=有两个实数根，那么k 的取值范围是( )A ．94kB ．94k -且0k ≠C ．94k 且0k ≠D ．94k - 11．（3分）如图，ABC ∆内接于圆，90ACB ∠=︒，过点C 的切线交AB 的延长线于点P ，28P ∠=︒．则(CAB ∠= )A ．62︒B ．31︒C ．28︒D ．56︒12．（3分）已知，等边三角形ABC 和正方形DEFG 的边长相等，按如图所示的位置摆放(C 点与E 点重合），点B 、C 、F 共线，ABC ∆沿BF 方向匀速运动，直到B 点与F 点重合．设运动时间为t ，运动过程中两图形重叠部分的面积为S ，则下面能大致反映s 与t 之间关系的函数图象是( )A ．B ．C ．D ．二．填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．13．（3分）如图，//a b ，c 与a ，b 都相交，150∠=︒，则2∠= ．14．（3分）如果用3C ︒+表示温度升高3摄氏度，那么温度降低2摄氏度可表示为 ．15．（3分）从12-，1-，1，2，5中任取一数作为a ，使抛物线2y ax bx c =++的开口向上的概率为 ．16．（3分）若22222()5()60x y x y +-+-=，则22x y += ．17．（3分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD ，对角线AC 、BD 交于点O ．若2AD =，4BC =，则22AB CD += ．三、解答题（本大题共7个小题，共69分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．18．（12分）（1）计算：2020022(1)(1)()3π--+-⨯；（2）先化简2221(1)121x x x x x x --+÷+++，再从1-，0，1中选择合适的x 值代入求值． 19．（8分）从某校初三年级中随机抽查若干名学生摸底检测的数学成绩（满分为120分），制成如图的统计直方图，已知成绩在80~90分（含80分，不含90分）的学生为抽查人数的15%，且规定成绩大于或等于100分为优秀．（1）求被抽查学生人数及成绩在100~110分的学生人数m ；（2）在被抽查的学生中任意抽取1名学生，则这名学生成绩为优秀的概率；（3）若该校初三年级共有300名学生，请你估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数．20．（8分）某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种3棵，则剩86棵；如果每人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵．请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？（请用一元一次不等式组解答）21．（9分）如图，已知边长为10的正方形ABCD ，E 是BC 边上一动点（与B 、C 不重合），连结AE ，G 是BC 延长线上的点，过点E 作AE 的垂线交DCG ∠的角平分线于点F ，若FG BG ⊥．（1）求证：ABE EGF ∆∆∽；（2）若2EC =，求CEF ∆的面积；（3）请直接写出EC 为何值时，CEF ∆的面积最大．22．（9分）如图，一次函数(y kx b k =+、b 为常数，0)k ≠的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且与反比例函数(m y m x=为常数且0)m ≠的图象在第二象限交于点C ，CD x ⊥轴，垂足为D ，若236OB OA OD ===．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求两个函数图象的另一个交点E 的坐标；（3）请观察图象，直接写出不等式m kx b x +的解集．23．（10分）如图，四边形ABCD 内接于圆，60ABC ∠=︒，对角线BD 平分ADC ∠．（1）求证：ABC ∆是等边三角形；（2）过点B 作//BE CD 交DA 的延长线于点E ，若2AD =，3DC =，求BDE ∆的面积．24．（13分）已知二次函数2(0)y x bx c a =++≠的图象与x 轴的交于A 、(1,0)B 两点，与y 轴交于点(0,3)C -，（1）求二次函数的表达式及A 点坐标；（2）D 是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D 到直线AC 的距离取得最大值时点D 的坐标；（3）M 是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N ．使以M 、N 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N 的坐标（不写求解过程）．参考答案一．选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题后括号内．1．（3分）实数2020的相反数是()A．2020B．12020C．2020-D．12020-解：2020的相反数是：2020-．故选：C．2．（3分）不等式组21xx-⎧⎨<⎩的解集在数轴上表示正确的是()A．B．C．D．解：不等式组21xx-⎧⎨<⎩的解集在数轴上表示正确的是A选项．故选：A．3．（3分）一个几何体由若干大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为()A．4B．5C．6D．7解：由俯视图与左视图知，该几何体所需小正方体个数最少分布情况如下图所示：所以组成该几何体所需小正方体的个数最少为5，故选：B ．4．（3分）下列式子运算正确的是( )A ．2235x x x +=B ．()x y x y -+=-C ．235x x x =D ．44x x x += 解：A 、235x x x +=，故此选项错误；B 、()x y x y -+=--，故此选项错误；C 、235x x x =，正确；D 、4x x +，无法合并，故此选项错误．故选：C ．5．（3分）下列四个选项中不是命题的是( )A ．对顶角相等B ．过直线外一点作直线的平行线C ．三角形任意两边之和大于第三边D ．如果a b =，a c =，那么b c =解：由题意可知，A 、C 、D 都是命题，B 不是命题．故选：B ．6．（3|2|0b a -=，则2a b +的值是() A ．4 B ．6 C ．8D ．10解：|2|0b a -=，20a ∴-=，20b a -=，解得：2a =，4b =，故210a b +=．故选：D ．7．（3分）分式2101x x -=+，则x 的值是( )A ．1B ．1-C ．1±D ．0 解：分式2101x x -=+，210x ∴-=且10x +≠，解得：1x =．故选：A ．8．（3分）在课外活动中，有10名同学进行了投篮比赛，限每人投10次，投中次数与人数如下表： 投中次数 5 7 8 9 10人数 2 3 3 1 1则这10人投中次数的平均数和中位数分别是( )A ．3.9，7B ．6.4，7.5C ．7.4，8D ．7.4，7.5 解：这10人投中次数的平均数为5273839107.410⨯+⨯+⨯++=，中位数为787.52+=，故选：D ．9．（3分）如图，在Rt ACB ∆中，90C ∠=︒，sin 0.5B =，若6AC =，则BC 的长为()A ．8B ．12C ．3D ．123解：法一、在Rt ACB ∆中，6sin 0.5ACB AB AB ===，12AB ∴=．22BC AB AC ∴=-14436=-63=．故选：C ．法二、在Rt ACB ∆中，sin 0.5B =，30B ∴∠=︒．63tan AC B BC BC ===63BC ∴=．故选：C ．10．（3分）如果关于x 的一元二次方程2310kx x -+=有两个实数根，那么k 的取值范围是( )A ．94kB ．94k -且0k ≠C ．94k 且0k ≠D ．94k - 解：关于x 的一元二次方程2310kx x -+=有两个实数根， ∴△2(3)410k =--⨯⨯且0k ≠， 解得94k 且0k ≠， 故选：C ．11．（3分）如图，ABC ∆内接于圆，90ACB ∠=︒，过点C 的切线交AB 的延长线于点P ，28P ∠=︒．则(CAB ∠= )A ．62︒B ．31︒C ．28︒D ．56︒解：连接OC ，如图，PC 为切线，OC PC ∴⊥，90PCO ∴∠=︒，90902862POC P ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒，OA OC =，A OCA ∴∠=∠， 而POC A OCA ∠=∠+∠，162312A ∴∠=⨯︒=︒． 故选：B ．12．（3分）已知，等边三角形ABC 和正方形DEFG 的边长相等，按如图所示的位置摆放(C 点与E 点重合），点B 、C 、F 共线，ABC ∆沿BF 方向匀速运动，直到B 点与F 点重合．设运动时间为t ，运动过程中两图形重叠部分的面积为S ，则下面能大致反映s 与t 之间关系的函数图象是( )A ．B ．C ．D ． 解：设等边三角形ABC 和正方形DEFG 的边长都为a ， 当点C 在EF 的中点左侧时，设AC 交DE 于点H ，则CE t =，tan 33HE ET ACB t t ===， 则2113322CEH S S CE HE t t ∆==⨯⨯=⨯=，图象为开口向上的二次函数； 当点C 在EF 的中点右侧时，同理可得：222333()(2)222S a a t t at =--=-+，图象为开口向下的二次函数； 故选：A ． 二．填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．不需写出解答过程，请把最后结果填在题中横线上．13．（3分）如图，//a b ，c 与a ，b 都相交，150∠=︒，则2∠= 130︒ ．解：//a b ，150∠=︒，1350∴∠=∠=︒， 21803130∴∠=︒-∠=︒，故答案为：130︒．14．（3分）如果用3C ︒+表示温度升高3摄氏度，那么温度降低2摄氏度可表示为 2C ︒- ． 解：如果用3C ︒+表示温度升高3摄氏度，那么温度降低2摄氏度可表示为：2C ︒-．故答案为：2C ︒-．15．（3分）从12-，1-，1，2，5中任取一数作为a ，使抛物线2y ax bx c =++的开口向上的概率为 5． 解：在所列的5个数中任取一个数有5种等可能结果，其中使抛物线2y ax bx c =++的开口向上的有3种结果，∴使抛物线2y ax bx c =++的开口向上的概率为35， 故答案为：35．16．（3分）若22222()5()60x y x y +-+-=，则22x y += 6 ．解：设22x y z +=，则原方程转化为2560z z --=，(6)(1)0z z -+=，解得16z =，21z =-，22x y +不小于0，226x y ∴+=，故答案为6．17．（3分）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD ，对角线AC 、BD 交于点O ．若2AD =，4BC =，则22AB CD += 20 ．解：AC BD ⊥，90AOD AOB BOC COD ∴∠=∠=∠=∠=︒，由勾股定理得，222222AB CD AO BO CO DO +=+++，222222AD BC AO DO BO CO +=+++，2222AB CD AD BC ∴+=+，2AD =，4BC =，22222420AB CD ∴+=+=．故答案为：20．三、解答题（本大题共7个小题，共69分）解答要求写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程．18．（12分）（1）计算：2020022(1)(1)()3π--+-⨯； （2）先化简2221(1)121x x x x x x --+÷+++，再从1-，0，1中选择合适的x 值代入求值．解：（1）原式9114=+⨯ 914=+ 134=；（2）原式2221(1)(1)()11(1)x x x x x x x -+-=-÷+++ 1111x x x +=+- 11x =-， 1x ≠±，∴取0x =，则原式1=-．19．（8分）从某校初三年级中随机抽查若干名学生摸底检测的数学成绩（满分为120分），制成如图的统计直方图，已知成绩在80~90分（含80分，不含90分）的学生为抽查人数的15%，且规定成绩大于或等于100分为优秀．（1）求被抽查学生人数及成绩在100~110分的学生人数m ；（2）在被抽查的学生中任意抽取1名学生，则这名学生成绩为优秀的概率；（3）若该校初三年级共有300名学生，请你估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数．解：（1）成绩在80~90分（含80分，不含90分）的学生有3人，占抽查人数的15%， ∴被抽查的学生人数为315%20÷=（人)，则成绩在100~110分的学生人数20(2373)5m =-+++=；（2）这名学生成绩为优秀的概率为532205+=； （3）估计本次检测中该校初三年级数学成绩为优秀的人数为23001205⨯=（人)． 20．（8分）某班级为践行“绿水青山就是金山银山”的理念，开展植树活动．如果每人种3棵，则剩86棵；如果每人种5棵，则最后一人有树种但不足3棵．请问该班有多少学生？本次一共种植多少棵树？（请用一元一次不等式组解答）解：设该班有x 名学生，则本次一共种植(386)x +棵树，依题意，得：3865(1)3865(1)3x x x x +>-⎧⎨+<-+⎩， 解得：144452x <<， 又x 为正整数，45x ∴=，386221x +=．答：该班有45名学生，本次一共种植221棵树．21．（9分）如图，已知边长为10的正方形ABCD ，E 是BC 边上一动点（与B 、C 不重合），连结AE ，G 是BC 延长线上的点，过点E 作AE 的垂线交DCG ∠的角平分线于点F ，若FG BG ⊥．（1）求证：ABE EGF ∆∆∽；（2）若2EC =，求CEF ∆的面积；（3）请直接写出EC 为何值时，CEF ∆的面积最大．解：（1）四边形ABCD 是正方形，90DCG ∴∠=︒，CF 平分DCG ∠，1452FCG DCG ∴∠=∠=︒， 90G ∠=︒，45GCF CFG ∴∠=∠=︒，FG CG ∴=，四边形ABCD 是正方形，EF AE ⊥，90B G AEF ∴∠=∠=∠=︒，90BAE AEB ∴∠+∠=︒，90AEB FEG ∠+∠=︒，BAE FEG ∴∠=∠，90B G ∠=∠=︒，BAE GEF ∴∆∆∽；（2）10AB BC ==，2CE =，8BE ∴=，FG CG ∴=，2EG CE CG FG ∴=+=+，由（1）知，BAE GEF ∆∆∽， ∴AB BE EG FG =， ∴1082FG FG=+， 8FG ∴=，1128822ECF S CE FG ∆∴==⨯⨯=；（3）设CE x =，则10BE x =-，EG CE CG x FG ∴=+=+，由（1）知，BAE GEF ∆∆∽，∴AB BE EG FG =， ∴1010x x FG FG -=+， 10FG x ∴=-，22111125(10)(10)(5)22222ECF S CE FG x x x x x ∆∴=⨯⨯=⨯-=--=--+， 当5x =时，252ECF S ∆=最大． 22．（9分）如图，一次函数(y kx b k =+、b 为常数，0)k ≠的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，且与反比例函数(m y m x=为常数且0)m ≠的图象在第二象限交于点C ，CD x ⊥轴，垂足为D ，若236OB OA OD ===．（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）求两个函数图象的另一个交点E的坐标；（3）请观察图象，直接写出不等式m kx bx+的解集．解：（1）236OB OA OD===，6OB∴=，3OA=，2OD =，CD OA⊥，//DC OB∴，∴OB AOCD AD=，∴635CD=，10CD∴=，∴点C坐标是(2,10)-，(0,6)B，(3,0)A，∴630bk b=⎧⎨+=⎩，解得26kb=-⎧⎨=⎩，∴一次函数为26y x=-+．反比例函数myx=经过点(2,10)C-，20m∴=-，∴反比例函数解析式为20yx=-．（2）由2620y xyx=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩解得210xy=-⎧⎨=⎩或54xy=⎧⎨=-⎩，E∴的坐标为(5,4)-．（3）由图象可知mkx bx+的解集是：20x-<或5x．23．（10分）如图，四边形ABCD 内接于圆，60ABC ∠=︒，对角线BD 平分ADC ∠．（1）求证：ABC ∆是等边三角形；（2）过点B 作//BE CD 交DA 的延长线于点E ，若2AD =，3DC =，求BDE ∆的面积．【解答】（1）证明：四边形ABCD 内接于O ． 180ABC ADC ∴∠+∠=︒，60ABC ∠=︒，120ADC ∴∠=︒， DB 平分ADC ∠，60ADB CDB ∴∠=∠=︒，60ACB ADB ∴∠=∠=︒，60BAC CDB ∠=∠=︒， ABC BCA BAC ∴∠=∠=∠，ABC ∴∆是等边三角形（2）过点A 作AM CD ⊥，垂足为点M ，过点B 作BN AC ⊥，垂足为点N ． 90AMD ∴∠=︒120ADC ∠=︒，60ADM ∴∠=︒，30DAM ∴∠=︒，112DM AD ∴==，AM === 3CD =，134CM CD DE ∴=+=+=，11322ACD S CD AM ∆∴==⨯=Rt AMC ∆中，90AMD ∠=︒，AC ∴===，ABC ∆是等边三角形，AB BC AC ∴===，BN ∴==， 12ABC S ∆∴== ∴四边形ABCD 的面积==， //BE CD ，180E ADC ∴∠+∠=︒，120ADC ∠=︒，60E ∴∠=︒，E BDC ∴∠=，四边形ABCD 内接于O ，EAB BCD ∴∠=∠，在EAB ∆和DCB ∆中E BDC EAB DCB AB BC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()EABDCB AAS ∴∆≅∆，BDE ∴∆的面积=四边形ABCD 的面积=．24．（13分）已知二次函数2(0)y x bx c a =++≠的图象与x 轴的交于A 、(1,0)B 两点，与y 轴交于点(0,3)C -，（1）求二次函数的表达式及A 点坐标；（2）D 是二次函数图象上位于第三象限内的点，求点D 到直线AC 的距离取得最大值时点D 的坐标；（3）M 是二次函数图象对称轴上的点，在二次函数图象上是否存在点N ．使以M 、N 、B 、O 为顶点的四边形是平行四边形？若有，请写出点N 的坐标（不写求解过程）．解：（1）把(1,0)B ，(0,3)C -代入2y x bx c =++则有310c b c =-⎧⎨++=⎩， 解得23b c =⎧⎨=-⎩∴二次函数的解析式为223y x x =+-，令0y =，得到2230x x +-=，解得3x =-或1， (3,0)A ∴-．（2）如图1中连接AD ，CD ．点D 到直线AC 的距离取得最大，∴此时DAC ∆的面积最大设直线AC 解析式为：y kx b =+，(3,0)A -，(0,3)C -，∴330b k b =-⎧⎨-+=⎩， 解得，13k b =-⎧⎨=-⎩， ∴直线AC 的解析式为3y x =--，过点D 作x 轴的垂线交AC 于点G ，设点D 的坐标为2(,23)x x x +-， 则(,3)G x x --，点D 在第三象限，2223(23)3233DG x x x x x x x x ∴=---+-=----+=--， 22211393327(3)3()2222228ACD S DG OA x x x x ∆∴==--⨯=--=-++， ∴当32x =-时，278S =最大，点3(2D -，15)4-， ∴点D 到直线AC 的距离取得最大时，3(2D -，15)4-．（3）如图2中，当OB 是平行四边形的边时，1OB MN ==，//OB MN ，可得(2,3)N --或(0,3)N '-，当OB 为对角线时，点N ''的横坐标为32， 32x =时，993244y =+-=， 3(2N ∴''，9)4． 综上所述，满足条件的点N 的坐标为(2,3)--或(0,3)-或3(2，9)4．。