小学奥数之几何图形计算(B)(武汉家教省城家教网)
小学奥数必学几何五大模型及例题解析
小学奥数必学几何五大模型及例题解析一、等积变换模型一一很重要，小学常考⑴等底等高的两个三角形面积相等；⑵两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比。
如下图右图S i : = a :b⑶夹在一组平行线之间的等积变形，如下图S^ ACD = S^ BCD 反之，如果S A ACD =S A BCD，则可知直线AB平行于CD⑷正方形的面积等于对角线长度平方的一半；⑸三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；经典例题：（第四届”迎春杯欄试题）如图‘三角形A眈的面积为1 ,其中AE = 3AB ,，三角形册肉的面积是多少？解析：连接CE，如图。
AE=3AB,所以S A AEC =3S △ABC=3所以S A BCE =2又因为：BD=2BC,所以S A BDE=2S A BCE=4点评：此题就是三角形等积变换模型的直接应用二、鸟头定理(共角定理)模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。
共角三角形的面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。
如图，在△ ABC中，D，E分别是AB,AC上的点(如图1)或D在BA的延长线上，E 在AC 上( 女口图2) ，则S A ABC：ADE二(AB AC): (AD AE)此模型的结论可以用将来初中学到的正弦定理进行证明！因为S^ABC=AB >ACsinA，S^ADE=AD >AEsinA所以：S A ABC: S A ADE= (AB/CsSA): (AD >AEsinA) = (AB 0C):(AD >AE)经典例题：已知MEF的面积为7平方厘米，BE = CE、AD = 2BD*CF=3AF，求心眈的面积・三、蝴蝶定理模型任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理”:① S i： S 2 = S 4 ： S3 或者S S^ = S2 S 4②AO:OC 二 $ S 2 ： S 4 S 3蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径•通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系 与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应 的对角线的比例关系。
小学奥数必备：10大几何图形解法！数学老师强力推荐！
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小学数学是打基础的阶段，内容还比较简单，学有余力的孩子其实可以参加一下小学数学的奥数竞赛，锻炼一下孩子们的脑力。
没有参加过小学奥数的人生，算不上一个学霸的人生。
老师在课堂上讲的方法，是为了照顾孩子的大多数，不可能讲一些超纲的、课程内容之外的东西。
这对于一些成绩普普通通的孩子来说还无所谓，但对于那些成绩比较好的，还有更进一步的发挥余地的孩子们而言，无疑是一种脑力的浪费。
脑子是越转越灵活的，适当的来一些挑战，会让孩子的大脑越来越优秀！
今天我就给大家整理一篇小学数学10大几何图形的解法，有些比较基础，有些则可能属于奥数的范畴。
几何是非常锻炼孩子的空间想象能力的，通过巧妙的辅助线，往往会让孩子的大脑豁然开朗，对开动孩子们的脑力绝对有所帮助。
小学奥数几何题100道及答案(完整版)
小学奥数几何题100道及答案(完整版)题目1：一个正方形的边长是5 厘米，它的面积是多少平方厘米？解题方法：正方形面积= 边长×边长，即5×5 = 25（平方厘米）答案：25 平方厘米题目2：一个长方形的长是8 分米，宽是6 分米，它的周长是多少分米？解题方法：长方形周长= （长+ 宽）×2，即（8 + 6）×2 = 28（分米）答案：28 分米题目3：一个三角形的底是10 厘米，高是6 厘米，它的面积是多少平方厘米？解题方法：三角形面积= 底×高÷2，即10×6÷2 = 30（平方厘米）答案：30 平方厘米题目4：一个平行四边形的底是12 米，高是8 米，它的面积是多少平方米？解题方法：平行四边形面积= 底×高，即12×8 = 96（平方米）答案：96 平方米题目5：一个梯形的上底是 4 厘米，下底是6 厘米，高是5 厘米，它的面积是多少平方厘米？解题方法：梯形面积= （上底+ 下底）×高÷2，即（4 + 6）×5÷2 = 25（平方厘米）答案：25 平方厘米题目6：一个圆的半径是3 厘米，它的面积是多少平方厘米？解题方法：圆的面积= π×半径²，即3.14×3²= 28.26（平方厘米）答案：28.26 平方厘米题目7：一个半圆的半径是 4 分米，它的周长是多少分米？解题方法：半圆的周长= 圆周长的一半+ 直径，即3.14×4×2÷2 + 4×2 = 20.56（分米）答案：20.56 分米题目8：一个长方体的长、宽、高分别是5 厘米、4 厘米、3 厘米，它的表面积是多少平方厘米？解题方法：长方体表面积= （长×宽+ 长×高+ 宽×高）×2，即（5×4 + 5×3 + 4×3）×2 = 94（平方厘米）答案：94 平方厘米题目9：一个正方体的棱长是6 分米，它的体积是多少立方分米？解题方法：正方体体积= 棱长³，即6³= 216（立方分米）答案：216 立方分米题目10：一个圆柱的底面半径是2 厘米，高是5 厘米，它的侧面积是多少平方厘米？解题方法：圆柱侧面积= 底面周长×高，底面周长= 2×3.14×2，即2×3.14×2×5 = 62.8（平方厘米）答案：62.8 平方厘米题目11：一个圆锥的底面半径是3 厘米，高是4 厘米，它的体积是多少立方厘米？解题方法：圆锥体积= 1/3×底面积×高，底面积= 3.14×3²，即1/3×3.14×3²×4 = 37.68（立方厘米）答案：37.68 立方厘米题目12：两个边长为4 厘米的正方形拼成一个长方形，长方形的长和宽分别是多少？面积是多少？解题方法：长方形的长为8 厘米，宽为4 厘米，面积= 8×4 = 32（平方厘米）答案：长8 厘米，宽4 厘米，面积32 平方厘米题目13：一个三角形的面积是18 平方厘米，底是6 厘米，高是多少厘米？解题方法：高= 面积×2÷底，即18×2÷6 = 6（厘米）答案：6 厘米题目14：一个平行四边形的面积是24 平方米，底是 4 米，高是多少米？解题方法：高= 面积÷底，即24÷4 = 6（米）答案：6 米题目15：一个梯形的面积是30 平方分米，上底是5 分米，下底是7 分米，高是多少分米？解题方法：高= 面积×2÷（上底+ 下底），即30×2÷（5 + 7）= 5（分米）答案：5 分米题目16：一个圆环，外圆半径是5 厘米，内圆半径是 3 厘米，圆环的面积是多少平方厘米？解题方法：圆环面积= 外圆面积-内圆面积，即 3.14×（5²- 3²）= 50.24（平方厘米）答案：50.24 平方厘米题目17：一个长方体的棱长总和是48 厘米，长、宽、高的比是3:2:1，长方体的体积是多少立方厘米？解题方法：一条长、宽、高的和为48÷4 = 12 厘米，长为6 厘米，宽为4 厘米，高为2 厘米，体积= 6×4×2 = 48（立方厘米）答案：48 立方厘米题目18：一个正方体的表面积是54 平方分米，它的一个面的面积是多少平方分米？解题方法：一个面的面积= 表面积÷6，即54÷6 = 9（平方分米）答案：9 平方分米题目19：一个圆柱的底面直径是4 分米，高是3 分米，它的表面积是多少平方分米？解题方法：底面积= 3.14×（4÷2）²= 12.56 平方分米，侧面积= 3.14×4×3 = 37.68 平方分米，表面积= 2×12.56 + 37.68 = 62.8（平方分米）答案：62.8 平方分米题目20：一个圆锥的底面周长是18.84 分米，高是5 分米，它的体积是多少立方分米？解题方法：底面半径= 18.84÷3.14÷2 = 3 分米，体积= 1/3×3.14×3²×5 = 47.1（立方分米）答案：47.1 立方分米题目21：一个长方体的水箱，长 5 分米，宽4 分米，高 3 分米，里面装满水，把水倒入一个棱长为5 分米的正方体水箱，水深多少分米？解题方法：水的体积= 5×4×3 = 60 立方分米，正方体水箱底面积= 5×5 = 25 平方分米，水深= 60÷25 = 2.4 分米答案：2.4 分米题目22：一块长方形的铁皮，长8 分米，宽6 分米，从四个角各切掉一个边长为1 分米的正方形，然后做成一个无盖的盒子，这个盒子的容积是多少立方分米？解题方法：盒子长6 分米，宽4 分米，高1 分米，容积= 6×4×1 = 24（立方分米）答案：24 立方分米题目23：一个圆柱的体积是60 立方厘米，底面积是12 平方厘米，高是多少厘米？解题方法：高= 体积÷底面积，即60÷12 = 5（厘米）答案：5 厘米题目24：一个圆锥和一个圆柱等底等高，圆柱的体积是27 立方分米，圆锥的体积是多少立方分米？解题方法：等底等高的圆锥体积是圆柱体积的1/3，即27×1/3 = 9（立方分米）答案：9 立方分米题目25：把一个棱长为 6 厘米的正方体铁块熔铸成一个底面积为36 平方厘米的圆柱体，这个圆柱体的高是多少厘米？解题方法：正方体体积= 6³= 216 立方厘米，圆柱体的高= 体积÷底面积，即216÷36 = 6（厘米）答案：6 厘米题目26：一个直角三角形的两条直角边分别是3 厘米和4 厘米，斜边是5 厘米，这个三角形的面积是多少平方厘米？解题方法：直角三角形面积= 两条直角边乘积的一半，即3×4÷2 = 6（平方厘米）答案：6 平方厘米题目27：一个等腰三角形的周长是20 厘米，其中一条腰长8 厘米，底边长多少厘米？解题方法：等腰三角形两腰相等，所以底边长= 周长-腰长×2，即20 - 8×2 = 4（厘米）答案：4 厘米题目28：一个扇形的圆心角是90°，半径是6 厘米，这个扇形的面积是多少平方厘米？解题方法：扇形面积= 圆心角÷360°×圆的面积，即90÷360×3.14×6²= 28.26（平方厘米）答案：28.26 平方厘米题目29：一个长方体的底面是边长为5 厘米的正方形，高是8 厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米？解题方法：长方体体积= 底面积×高，底面积= 5×5 = 25 平方厘米，体积= 25×8 = 200（立方厘米）答案：200 立方厘米题目30：一个圆柱的底面周长是18.84 厘米，高是10 厘米，它的体积是多少立方厘米？解题方法：底面半径= 18.84÷3.14÷2 = 3 厘米，体积= 3.14×3²×10 = 282.6（立方厘米）答案：282.6 立方厘米题目31：一个圆锥的底面直径是8 厘米，高是6 厘米，它的体积是多少立方厘米？解题方法：底面半径= 8÷2 = 4 厘米，体积= 1/3×3.14×4²×6 = 100.48（立方厘米）答案：100.48 立方厘米题目32：把一个棱长为8 厘米的正方体木块削成一个最大的圆柱，这个圆柱的体积是多少立方厘米？解题方法：圆柱的底面直径和高都是8 厘米，体积= 3.14×（8÷2）²×8 = 401.92（立方厘米）答案：401.92 立方厘米题目33：一个长方体玻璃缸，从里面量长4 分米，宽 3 分米，高5 分米，缸内水深2.5 分米。
小学奥数几何知识点整理【三篇】
【导语】天⾼鸟飞，海阔鱼跃，学习这舞台，秀出你独特的精彩⽤好分秒时间，积累点滴知识，解决疑难问题，学会举⼀反三。
以下是为⼤家整理的《⼩学奥数⼏何知识点习题与答案【三篇】》供您查阅。
【第⼀篇：⼏何图形的认知】【第⼆篇：常见定理】鸟头定理即共⾓定理。
燕尾定理即共边定理的⼀种。
共⾓定理： 若两三⾓形有⼀组对应⾓相等或互补，则它们的⾯积⽐等于对应⾓两边乘积的⽐。
共边定理： 有⼀条公共边的三⾓形叫做共边三⾓形。
共边定理：设直线AB与PQ交与M则S△PAB/S△QAB=PM/QM 这⼏个定理⼤都利⽤了相似图形的⽅法，但⼩学阶段没有学过相似图形，⽽⼩学奥数中，常常要引⼊这些，实在有点难为孩⼦。
为了避开相似，我们⽤相应的底，⾼的⽐来推出三⾓形⾯积的⽐。
例如燕尾定理，⼀个三⾓形ABC中，D是BC上三等分点，靠近B点。
连接AD，E是AD上⼀点，连接EB和EC，就能得到四个三⾓形。
很显然，三⾓形ABD和ACD⾯积之⽐是1：2 因为共边，所以两个对应⾼之⽐是1：2 ⽽四个⼩三⾓形也会存在类似关系 三⾓形ABE和三⾓形ACE的⾯积⽐是1：2 三⾓形BED和三⾓形CED的⾯积⽐也是1：2 所以三⾓形ABE和三⾓形ACE的⾯积⽐等于三⾓形BED和三⾓形CED的⾯积⽐，这就是传说中的燕尾定理。
以上是根据共边后，⾼之⽐等于三⾓形⾯积之⽐证明所得。
必须要强记，只要理解，到时候如何变形，你都能会做。
⾄于鸟头定理，也不要死记硬背，掌握原理，⽤起来就会得⼼应⼿。
【第三篇：平⾯图形】1、长⽅形 (1)特征 对边相等，4个⾓都是直⾓的四边形。
有两条对称轴。
(2)计算公式 c=2(a+b) s=ab 2、正⽅形 (1)特征： 四条边都相等，四个⾓都是直⾓的四边形。
有4条对称轴。
(2)计算公式 c=4a s=a2 3、三⾓形 (1)特征 由三条线段围成的图形。
内⾓和是180度。
三⾓形具有稳定性。
三⾓形有三条⾼。
(2)计算公式 s=ah/2。
【小学奥数】系列专题二：求周长、面积、体积、表面积典型例题集合
小学奥数-周长、面积
例2：一块正方形的钢板，先截去宽5分米的长 方形，又截去宽8分米的长方形（如图），面 积比原来的正方形减少181平方分米。原正方 形的边长是多少？
小学奥数-周长、面积
小学奥数-周长、面积
分析与解答：
把阴影部分剪下来，并把剪下的两个 小长方形拼起来（如图），再被上长、 宽分别是8分米、5分米的小长方形， 这个拼合成的长方形的面积是 181+8×5=221平方分米，长是原来正 方形的边长，宽是8+5=13分米。所以， 原来正方形的边长是221÷13=17分米。
小学奥数-周长、面积
例1 ： 一个等腰直角三角形，最长 的边是12厘米，这个三角形的面积 是多少平方厘米？
小学奥数-周长、面积
分析与解答 ： 由于此三角形中只知道最长的 边是12厘米，所以，不能用三角形的面积公式 来计算它的面积。我们可以假设有4个这样的 三角形，且拼成了下图正方形。显然，这个正 方形的面积是12×12，那么，一个三角形的 面积就是12×12÷4=36平方厘米。
小学奥数-周长、面积
例题3 ： 两个大小相同的正方形拼成一个 长方形后，周长比原来两个正方形周长的和减 少了6厘米。原来一个正方形的周长是多少厘？
小学奥数-周长、面积
例题4： 将一张边长为36厘米的正方形 纸，剪成4个完全一样的小正方形纸片， 这4个小正方形周长的和比原来的正方 形周长增加了多少厘米？
小学奥数-周长、面积
分析
（1）因为CE=3AE，所以，三角形ADC的面 积是三角形ADE面积的4倍，是20×（1＋3） =80平方厘为；
（2）又因为DC=2BD，所以，三角形ABD 的面积是三角形ADC面积的一半，是 80÷2=40平方厘米。因此，三角形ABC的 面积是80＋40=120平方厘主。
小学奥数几何计数
知识框架图 7 计数综合 7-8 几何计数1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．一、几何计数 在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成21223(2)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n(n-1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n(n-1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n(n-1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关． 二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．教学目标知识要点几何计数数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．例题精讲【例 1】（难度等级※※）下图的两个图形(实线)是分别用10根和16根单位长的小棍围成的．如果按此规律(每一层比上面一层多摆出两个小正方形)围成的图形共用了60多根小棍，那么围成的图形有几层，共用了多少根小棍？【解析】通过观察每增加一层，恰好增加6根小棍，这6根恰好是增加那一层比上一层多摆出的两个正方形多用的，即前1层用4根，前2层用4+6根，前3层用4+6×2根，前n层用4+6×(n-1)根，现在共用了60多根，应减去4是6的倍数，所以共用小棍64根，围成的图形有11层．【例 2】（难度等级※※※）用3根等长的火柴可以摆成一个等边三角形．如图用这样的等边三角形拼合成一个更大的等边三角形.如果这个大等边三角形的每边由20根火柴组成，那么一共要用多少根火柴?【解析】把大的等边三角形分为“20”层分别计算火柴的根数：最上一层只用了3根火柴；从上向下数第二层用了3×2=6根；从上向下数第二层用了3×3=9根；……【巩固】用三根火柴可拼成一个小“△”，若用108根火柴拼成如图所示形状的大三角形，请你数一数共有多少个三角形？【解析】首先，需弄清形状如图的大三角形共有多少层．从上往下，第一层用331=⨯根火柴；第四层用=⨯根火柴；第二层用632=⨯根火柴；第三层用933n n=⨯根火柴；…；第n层用33=⨯根火柴．1234=⨯根火柴；第五层用1535根据题意，有：36912153108++++++=L，所以，8n=，nn++++++=L，故1234536即形状如图的大三角形共有8层，是边长为8根火柴的大正三角形．然后，数出共有多少个三角形．尖朝上的三角形共：+++++++++++++++++++++(12345678)(1234567)(123456)++++++++++++++=(个)；(12345)(1234)(123)(12)1120尖朝下的三角形共：++++++++++++++++=(个)；(1234567)(12345)(123)1050所以，共有三角形：12050170+=(个)．本题小结：尖朝上的三角形：每一种尖朝上的三角形个数都是由1开始的连续自然数的和，其中连续自然数最多的和中最大的加数就是三角形每边被分成的基本线段的条数，依次各个连续自然数的和都比上一次少一个最大的加数，直到1为止．尖朝下的三角形的个数也是从1开始的连续自然数的和，它的第一个和恰是尖朝上的第二个和，依次各个和都比上一个和少最大的两个加数，以此类推直到零为止．【例 3】（难度等级※※※）如图所示，用长短相同的火柴棍摆成3×1996的方格网，其中每个小方格的边都由一根火柴棍组成，那么一共需用多少根火柴棍?【解析】横放需1996×4根，竖放需1997×3根共需1996×4+1997×3=13975根．【例 4】（难度等级【解析】利用长方形的计数公式：横边上共有n条线段，纵边上共有m条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn个．所以有(4+3+2+1)×（4+3+2+1）=100．【例 5】（难度等级※）下面的55⨯图中共有____个正方形．⨯和64【解析】 在55⨯的图中，边长为1的正方形25个；边长为2的正方形24个； 边长为3的正方形23个；边长为4的正方形22个；边长为5的正方形有21，总共有 222225432155++++=(个)正方形．在64⨯的图中边长为1的正方形64⨯个；边长为2的正方形53⨯个； 边长为3的正方形42⨯个；边长为4的正方形31⨯个；总共有 6453423142⨯+⨯+⨯+⨯=(个)．【例 6】 （难度等级 ※※）在图中(单位：厘米)：①一共有几个长方形?②所有这些长方形面积的和是多少?374218125【解析】 ①一共有(4321)(4321)100+++⨯+++=(个)长方形；②所求的和是[][]51281(512)(128)(81)(5128)(1281)(51281)2473(24)(47)(73)(247)(473)(2473)+++++++++++++++++++⨯+++++++++++++++++++ 1448612384=⨯=(平方厘米)．【巩固】（难度等级 ※※）如图，其中的每条线段都是水平的或竖直的，边界上各条线段的长度依次为5厘米、7厘米、9厘米、2厘米和4 厘米、6厘米、5厘米、1厘米．求图中长方形的个数，以及所有长方形面积的和．【解析】 利用长方形的计数公式：横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个，所以有(4+3+2+1)×（4+3+2+1）=100，这些长方形的面积和为：（5+7+9+2+12+16+11+21+18+23）×（4+6+5+1+10+11+6+15+12+16）=124×86=10664．【例 7】 （难度等级 ※）下图中共有____个正方形．【解析】每个44⨯正方形中有：边长为1的正方形有24个；边长为2的正方形有23个；边长为3的正方形有22个；边长为4的正方形有21个；总共有2222+++=(个)正方形．现有5个44432130⨯的正方形，它们重叠部分是4个22⨯-⨯=．⨯的正方形．因此，图中正方形的个数是30554130【巩固】（难度等级※）图中有______个正方形．【解析】55⨯的正方形5个；2⨯2的正方形4个；1⨯1的正方形⨯的正方形1个；44⨯的正方形4个；3313个．共27个．【例 8】（难度等级※※※）如图，其中同时包括两个☆的长方形有个．【解析】先找出同时包括两个☆的最小长方形，然后其余所有满足题目要求的长方形都必须包括该最小长方形．根据乘法原理2×2×2×3=24（种）不同的长方形．【巩固】（难度等级※※※）在下图中，不包含☆的长方形有________个．【解析】根据乘法原理，所有长方形总数为(1+2+3+4+5+6)×(1+2+3+4+5+6)=441(个)，包含☆的长方形有3×3×4×4=144(个)，所以不包含☆的长方形有441-144=297(个)．【例 9】图中含有“※”的长方形总共有________个．※※【解析】根据本题特点，可采用分类的方法计数．按长方形的宽分类，数出含※号的长方形的个数．含有左上※号的长方形有：66618++=个，其中，宽为1(即高度为一层)的含※号的长方形为：6个；宽为2(即高度为两层)的含※号的长方形为：6个；宽为3(即高度为三层)的含※号的长方形为：6个；含有右上※号的长方形有：662624+⨯+=个，其中，宽为1(即高度为一层)的含※号的长方形为：6个；宽为2(即高度为两层)的含※号的长方形为：62⨯个；宽为3(即高度为三层)的含※号的长方形为：6个；同时含有两个※号的重复计算了，应减去，同时含有两个※号的长方形有：448+=个，其中，宽为2(即高度为两层)的含※号的长方形为：4个；宽为3(即高度为三层)的含※号的长方形为：4个；所以，含有※号的长方形总共有：1824834+-=个．【巩固】（难度等级 ※※）由20个边长为1的小正方形拼成一个45⨯长方形中有一格有“☆”图中含有“☆”的所有长方形(含正方形)共有 个，它们的面积总和是 ． (第六届走美决赛试题)【解析】 含☆的一行内所有可能的长方形有：(八种)含☆的一列内所有可能的长方形有：(六种)所以总共长方形有6848⨯=个，面积总和为(12233445)(122334)360+++++++⨯+++++=．【例 10】 （难度等级 ※※）如图是由18个大小相同的小正三角形拼成的四边形．其中某些相邻的小正三角形可以拼成较大的正三角形若干个．那么，图中包含“*”号的大、小正三角形一共有______个．*【解析】 分三类进行计数(设小正三角形边长为1)包含*的三角形中，边长为1的正三角形有1个；边长为2的正三角形有4个；边长为3的正三角形有1个；因此，图中包含“*”的所有大、小正三角形一共有1416++=(个)．【例 11】（难度等级※※※）如图AB，CD，EF，MN互相平行，则图中梯形个数与三角形个数的差是多少?【解析】图中共有三角形（1+2+3+4）×4=40个．梯形（1+2+3+4）×（2+4）=60；所以梯形比三角形多60-40=20个．【例 12】（难度等级※※）图中共有多少个三角形？【解析】显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类，两类中三角形的个数相等．尖向上的三角形又可分为6类（1）最大的三角形1个(即△ABC)，（2）第二大的三角形有3个（3）第三大的三角形有6个（4）第四大的三角形有10个（5）第五大的三角形有15个（6）最小的三角形有24个所以尖向上的三角形共有1+3+6+10+15+24=59（个）图中共有三角形2×59=118（个）．【例 13】（难度等级※※）下图中的正方形被分成9个相同的小正方形，它们一共有16个顶点（共同的顶点算一个），以其中不在一条直线上的3个点为顶点，可以构成三角形．在这些三角形中，与阴影三角形有同样大小面积的有多少个？【解析】1．显然应先求出阴影三角形的面积设原正方形的边长是3，则小正方形的边长是1，阴影三角形的面积是½×2×3=32．思考图中怎样的三角形的面积等于3（1）一边长2，这边上的高是3的三角形的面积等于3（即形如图中阴影三角形）．这时，长为2的边只能在原正方形的边上，这样的三角形有2×4×4=32（个）；（2）一边长3，这边上的高是2的三角形的面积等于3．这时，长为3的边是原正方形的一边或平行于一边的分割线．这样的三角形有8×2=16（个）注意：不能与（1）中的三角形重复，所以这样的三角形共有32+16=48（个）．【例 14】(第十二届全国“华罗庚金杯”少年数学邀请赛)如图，连接一个正六边形的各顶点．问图中共有多少个等腰三角形(包括等边三角形)？①②③【解析】本题需要分类进行讨论．⑴先考虑其中的等边三角形．图①中，六边形的每1个顶点是某个小号等边三角形的顶点，而且，每个小号等边三角形，有且仅有一个顶点是六边形的一个顶点，既然六边形有6个顶点，所以图中有6个小号三角形；图②中，六边形的每一条边是某个中号等边三角形的一条边，而且，每个中号等边三角形有且仅有一条边是六边形的一条边，既然六边形有6条边，所以图中有6个中号等边三角形；图③中，大号等边三角形有2个；⑵再考虑其中非等边的等腰三角形．图中非等边的等腰三角形，按照面积大小分类有3种类型，见图④．④⑤⑥其中小号的等腰三角形有6个，因为这类三角形均以六边形的一条边为其边长，并且，六边形的每一条边只唯一对应一个小号等腰三角形，而正六边形有6条边，所以有6个小号等腰三角形；中号的等腰三角形有12个，因为每个中号等腰三角形的长边都是六边形的一条非直径的弦，并且，以非直径的弦为长边的三角形有2个，如图⑤，这样的弦共有6条，所以有12个中号等腰三角形；大号的等腰三角形有6个，因为每个大号等腰三角形的长边都是六边形的一条直径，每条直径上都对应有2个大号三角形，如图⑥，共有3条直径，所以有6个大号等腰三角形．那么图中共有662612638+++++=个等腰三角形．【例 15】(第十一届“华罗庚金杯赛”)图中有个正方形．【解析】 边线是水平或垂直方向的正方形共有22222265432191+++++=(个)，形如的正方形有4个，所以共有正方形91495+=(个)． (如何保证没有其它的斜正方形了？如右图，擦去横线和竖线，只留下斜线，就一目了然了．)此题也可以计算不同面积的正方形各有多少个，以面积大小数正方形，记最小的正方形面积为1；则面积为1的正方形的个数为36；面积为2的正方形的个数为4；面积为4的正方形的个数为25；面积为9的正方形的个数为16；面积为16的正方形的个数为9；面积为25的正方形的个数为4；面积为36的正方形的个数为1．所以，共有364251694195++++++=(个)正方形．【巩固】这幅图中有 个三角形．【解析】 (法1)以图中的最小的直角三角形为计数基本单位数三角形：只有1个基本图形单位的三角形共66272⨯⨯=个；由2个基本图形单位组成的三角形共37个；由4个基本图形单位组成的三角形共30个；由8个基本图形单位组成的三角形共4个；由9个基本图形单位组成的三角形共10个；由16个基本图形单位组成的三角形共2个；所以图中共有三角形7237304102155+++++=(个)．(法2)依三角形的斜边的长度数三角形：①斜边和水平线成45度角的三角形，记这类三角形最小的斜边的长度为1：长度为1的斜边共有：36条；长度为2的斜边共有：15条；长度为3的斜边共有：5条；长度为4的斜边共有：1条．因为图中这类斜边每条带有2个三角形，所以共有()2361551114⨯+++=(个)．②斜边水平的三角形，从上向下：斜边在第一条线的有2个；斜边在第二条线的有4个；斜边在第三条线的有4个；斜边在第四条线的有5个；斜边在第五条线的有2个；斜边在第六条线的有2个；斜边在第七条线的有2个；所以这种类型的三角形共有21个．③斜边为垂直线的三角形，从左向右：斜边在第一条线的有2个；斜边在第二条线的有2个；斜边在第三条线的有5个；斜边在第四条线的有3个；斜边在第五条线的有3个；斜边在第六条线的有4个；斜边在第七条线的有1个，所以这种类型的三角形共有20个．共有1142120155++=(个)三角形．【例 16】 一张长方形纸片，长是宽的2倍，先对折成正方形，再对折成长方形，再对折成正方形，……，共对折7次，将纸打开展平，数一数用折痕分割成的正方形共有多少个？【解析】 从简单情况入手，从第一次对折开始分析，第一次对折，展平，折痕分割成的正方形共122=个；第二次对折，展平，折痕分割成的长方形共242=个；第三次对折，展平，折痕分割成的正方形共382=个；第四次对折，展平，折痕分割成的长方形共4162=个；第五次对折，展平，折痕分割成的正方形共5322=个；第六次对折，展平，折痕分割成的长方形共6642=个；第七次对折，展平，折痕分割成的正方形共71282=个．观察发现规律，奇数次对折时，展平后的折痕分割成的图形是正方形，所以，对折七次，将纸展平后，用折痕分割成的正方形是72128=个．【巩固】将正方形纸片由下往上对折，再由左向右对折，称为完成一次操作．按上述规则完成五次操作后，剪去所得的小正方形的左下角．问：当展开这张正方形纸后，一共有多少个小洞孔？【解析】 将最后得到的小正方形纸展开两次，中间形成一个菱形的小洞孔，之后每展开一次，孔的数量为原来的2倍，题中一次操作需要对折2次，五次操作对折了10次，所以孔的数量为(102)12256-⨯=个．【例 17】 在一个圆周上有8个点，正好把圆周八等分，以这些点为顶点作三角形，可以作出 个等腰三角形．【解析】 由于8个点正好把圆周八等分，所以以其中的任何3个点作为顶点都不能组成等边三角形．那么任意选取其中的一个点作为顶点，一个顶点上有三个不同的等腰三角形，圆周上有8个顶点，所以一共有3824⨯=个等腰三角形，而且这些等腰三角形互不相同(否则，假设其中有两个等腰三角形相同，这两个等腰三角形不可能是同一个顶点，只能是不同的顶点，这样这个等腰三角形必定是正三角形，与前面的分析不合)，所以可以作出24个等腰三角形．【例 18】 圆周上十个点，任意两点之间连接一条弦，这些弦在圆内有多少个交点？【解析】 圆周上4点构成一个四边形，四边形两条对角线相交可以产生一个交点．问题转化为“圆周上10个点可以组成多少个以他们为定点的四边形？”利用上一讲的知识，去掉重复的部分，可知有：()109874321210⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯=个．所以交点有210个．【例 19】 圆周上有8个点，两点所连的线段叫“弦”，每两点连一条弦，各弦无公共端点，共可连四条弦，各弦互不相交的连法共有________种．【解析】 本题可以利用归纳的方法解决．若圆周上只有2个点，只有1种连法；若圆周上只有4个点，先选中1个点，它可以与相邻的两个点相连，它连好后其它两点只有1种连法，所以此时有122⨯=种连法；若圆周上只有6个点，先选中1个点，此时它可以与相邻的2个点相连，也可以相对的1个点相连，若与相邻的点相连，剩下的4个点有2种连法；若与相对的点相连，剩下的4个点只有1种连法，所以此时有2215⨯+=种连法；若圆周上只有8个点，先选中一个点，此时它可以与相邻的2个点相连，也可以与与它相隔2个点的另外两个点相连．若与相邻的点相连，剩下的6个点有5种连法；若与相隔两个点的点相连，剩下的6个点被分成两边，一边2个点，只有一种连法，一边4个点，有2种连法．所以此时共有522214⨯+⨯=种连法．【例 20】 （难度等级 ※※※※）一个圆上有12个点A 1，A 2，A 3，…，A 11，A 12．以它们为顶点连三角形，使每个点恰好是一个三角形的顶点，且各个三角形的边都不相交．问共有多少种不同的连法?【解析】 我们采用递推的方法．I 如果圆上只有3个点，那么只有一种连法．Ⅱ如果圆上有6个点，除A 1点所在三角形的三顶点外，剩下的三个点一定只能在A 1所在三角形的一条边所对应的圆弧上，表1给出这时有可能的连法．Ⅲ如果圆上有9个点，考虑A1所在的三角形．此时，其余的6个点可能分布在：①A1所在三角形的一个边所对的弧上；②也可能三个点在一个边所对应的弧上，另三个点在另一边所对的弧上．在表2中用“+”号表示它们分布在不同的边所对的弧．如果是情形①，则由Ⅱ，这六个点有三种连法；如果是情形②，则由①，每三个点都只能有一种连法．共有12种连法．Ⅳ最后考虑圆周上有12个点．同样考虑A1所在三角形，剩下9个点的分布有三种可能：①9个点都在同一段弧上：②有6个点是在一段弧上，另三点在另一段弧上；③每三个点在A1所在三角形的一条边对应的弧上．得到表3．共有12×3+3×6+1＝55种．所以当圆周上有12个点时，满足题意的连法有55种．。
小学奥数 几何类 几何图形周长和面积的基本计算 基本图形的面积计算.题库版
小学数学平面图形计算公式：1 、正方形：周长＝边长×4；面积=边长×边长2 、正方体：表面积=棱长×棱长×6；体积=棱长×棱长×棱长3 、长方形：周长=(长+宽)×2；面积=长×宽4 、长方体：表面积(长×宽+长×高+宽×高)×2；体积=长×宽×高 5、 三角形：面积=底×高÷2 6 平行四边形：面积=底×高 7 梯形：面积=(上底+下底)×高÷2模块一、基本公式的应用【例 1】 如图，两个正方形边长分别是5厘米和4厘米，图中阴影部分为重叠部分。
则两个正方形的空白部分的面积相差多少平方厘米？【考点】基本图形的面积计算 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】2007年，第12届，华杯赛，五年级，决赛，第9题，10分【解析】 5×5－4×4=9（平方厘米），两个正方形的空白部分的面积相差9平方厘米。
【答案】9平方厘米【巩固】 如图12，边长为4cm 的正方形将边长为3cm 的正方形遮住了一部分，则空白部分的面积的差等于 2cm 。
【考点】基本图形的面积计算 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】2009年，第7届，希望杯，4年级，初赛，19题【解析】 空白部分的面积差等于两个正方形的面积差，即⨯-⨯=44337（平方厘米）。
【答案】7平方厘米【例 2】 在一个正方形水池的四周，环绕着一条宽2米的路(如图)，这条路的面积是120平方米，那么水池的面积是______ 平方米。
例题精讲知识点拨4-2-1.基本图形的面积计算水池【考点】基本图形的面积计算【难度】2星【题型】填空【关键词】2003年，第1届，希望杯，4年级，初赛，19题【解析】四个边角的面积和为2×2×4=16，则水池的边长为：104÷2÷4=13，所以水池的面积是：13×13=169平方米。
小学奥数题目-一年级-几何-数图形知识点习题
（一）基本概念
数出某种图形的个数是一类有趣的图形问题。
由于图形千变万化，错综 复杂，所以要想准确地数出其中包含的某种图形的个数，还真需要动点 脑筋。
要想有条理、不重复、不遗漏地数出所要图形的个数，最常用的 方法就是分类数。
（二）基本方法
简单的分类计数
如：计算左图由4个小长方形构成的网格中一共有多少个长方形。
个
例1数一数图中 ________ 个三角形 1. 口印田 - 一 一
田 T 2个
一1个
数一数下面有____________
例2数一数，图中有______________
1.
数一数下面有____________
2.
数一数下面有____________
例3数一数，图中有多少个长方形?
1.
数一数图中有
2.
数一数图中有
例4数一数，图中一共有个正方形1.
数一数图中有
数一数图中有____________
个三角形1
2。
小学奥数- 几何计数(一)
7-8-1几何计数（一）教学目标1.掌握计数常用方法；2.熟记一些计数公式及其推导方法；3.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数．本讲主要介绍了计数的常用方法枚举法、标数法、树形图法、插板法、对应法等，并渗透分类计数和用容斥原理的计数思想．知识要点一、几何计数在几何图形中，有许多有趣的计数问题，如计算线段的条数，满足某种条件的三角形的个数，若干个图分平面所成的区域数等等．这类问题看起来似乎没有什么规律可循，但是通过认真分析，还是可以找到一些处理方法的．常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．n 条直线最多将平面分成212232)2n n n ++++=++……个部分；n 个圆最多分平面的部分数为n (n -1)+2；n 个三角形将平面最多分成3n (n -1)+2部分；n 个四边形将平面最多分成4n (n -1)+2部分……在其它计数问题中，也经常用到枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等．解题时需要仔细审题、综合所学知识点逐步求解．排列问题不仅与参加排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关；组合问题与各事物所在的先后顺序无关，只与这两个组合中的元素有关．二、几何计数分类数线段：如果一条线段上有n +1个点(包括两个端点)（或含有n 个“基本线段”），那么这n +1个点把这条线段一共分成的线段总数为n +(n -1)+…+2+1条数角：数角与数线段相似，线段图形中的点类似于角图形中的边．数三角形：可用数线段的方法数如右图所示的三角形（对应法），因为DE 上有15条线段，每条线段的两端点与点A 相连，可构成一个三角形，共有15个三角形，同样一边在BC 上的三角形也有15个，所以图中共有30个三角形．数长方形、平行四边形和正方形：一般的，对于任意长方形（平行四边形），若其横边上共有n 条线段，纵边上共有m 条线段，则图中共有长方形（平行四边形）mn 个．例题精讲模块一、简单的几何计数【例1】七个同样的圆如右图放置，它有_______条对称轴．【例2】下面的表情图片中：，没有对称轴的个数为（）（A ）3(B )4(C )5(D )6【巩固】中心对称图形是：绕某一点旋转180°后能和原来的图形重合的图形，轴对称图形是：沿着一条直线对折后两部分完全重合的图形，图的4个图形中，既是中心对称图形又是的轴对称图形的有个。
小学奥数讲义4上第7讲几何图形计算学生版
几何图形计算如图 1 所示，我们取一个边长为lcm的正方形(当然你也可以选择边长为1mm、ldm、1m 甚至1km的正方形)，它的面积等于lcm2，这个正方形我们就叫单位正方形。
一个图形的面积是用排满它的单位正方形的数目来测量的：上面图2的阴影部分面积刚好由12 个单位正方形组成，所以它的面积是12个平方单位；上面图3的阴影部分面积是14个平方单位，其中12个单位正方形被完整地嵌入这个图形，另有两个单位正方形被分割后又重新排列，占满了这个图形的其余部分(由此可以看出，在测量某些图形的面积时，当你用单位正方形去测量时，有些单位正方形必须隔开，然后再重新排列)。
度量图形的面积是数学中最主要的问题之一。
以前我们学过在方格纸中来度量图形面积的方法。
但度量面积是很困难的，只有一种本领是不够的，你必须知道很多自然规律、图形性质、数学公式。
在这里，你将学会运用几何公式来计算正方形、长方形、平行四边形、三角形、梯形以及它们的组合图形的面积的计算方法。
在解决面积问题时，我们会依据图形的某些性质来计算面积，而你可能在运用这些性质、享受这些性质带来的胜利果实时却没有意识到它的存在!这些性质不仅是对三角形、正方形是正确的，而且它们是任意图形的公共性质。
我们把它们表述如下：①每一平面图形都有形状和大小。
②大小相等、形状相同的图形具有相同的面积。
③如果两个不同的平面图形可以分割成同样的部分，那么这两个图形有相等的面积。
建大厦需要用许多材料，形状最简单的砖、石头、沙子用的最多。
简单的东西往往用处很大!正方形的面积是最容易测量的，所以在计算其他图形面积时，往往都是从正方形的面积公式出发开始推导。
你早就知道“正方形的面积等于边长×边长(或者说边长的平方)”。
有关面积的知识这一条最简单，但这个简单的公式就能帮你解决各式各样的面积计算问题! 下面这张图，以正方形的面积公式为出发点，把小学阶段我们将要学到的各种多边形的面积计算公式的来龙去脉做了一个梳理，你可以借助图中的提示尝试一下推导出各种图形的面积公式。
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几何图形计算( B)
例1、
如图，平行四边形ABCD中，BC=10cm,直角三角形ECB的边EC=8cm，已知阴影部分的总面积
比三角形EFG的面积大10 cm2，求平行四边形ABCD的面积。
E
A F G D
B C
例2、
如图，ABCD是7×4的长方形，DEFG是10×2的长方形，求△BCO与△EFO的面积之差。
A B
D C O E
G F
例3、
大，小两个正方形组成如图所示的组合图形，已知组合图形的周长是52cm,DG=4cm,求阴影部
分的面积。
A D
G F
B C E
例4、
如图所示，甲、乙、丙、丁四个长方形拼成一个正方形EFGH，中间阴影为正方形。已知甲、
乙、丙、丁四个长方形的面积和是32cm2,四边形ABCD的面积是20 cm2.①求正方形EFGH的面积；②
求甲、乙、丙、丁四个长方形周长的总和。
E A H
B
D
F C G
甲
乙
丙
丁
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例5、
如图所示，把一个长方形菜地分成三块，已知第二块比第一块宽10米，第二块面积是1000
平方米；第三块比第一块窄4米，第三块面积是650平方米，那么第一块地的面积是多少平方米？
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1. 如图所示，CA=AB=4cm，△ABE比△CDE的面积大2cm2,求CD的长。
D C
E
A B
2. 如图所示，一个长方形被两条线段分成四个大小不等的长方形，其中三个长方形的面积分别为
20，30，36平方米，则另一个长方形面积是多少？
3. 如图，用四个完全一样的长方形拼成一个面积为100平方厘米的正方形，每个长方形的周长为
多少？
30 20
？ 36
第 一 块 第 二 块 第
三
块
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甲
乙
4. 图中多边形的面积是多少？
6cm
11cm
5. 如图所示，大正方形的边长是12厘米，小正方形的边长是7厘米，求：⑴△ABC的面积是多少？
⑵甲三角形的面积比乙三角形的面积大多少？
E A
D
C F B
6. 下图中的四边形均为正方形，按图中所标数据（单位：厘米），求阴影部分面积。
⑴ ⑵ ⑶
⑷ ⑸ ⑹
⑺ ⑻ ⑼
⑽
6 4
4
6
4
3
12
16
6
10
4
3
8
12
10
6
10
6
12
4
8
6