北京市陈经纶中学2019_2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)
2019-2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)_33
2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1.下列四个关系中，正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据集合与元素的关系和集合与集合的关系可以选出正确答案.【详解】元素与集合是属于关系，故A对，C、D错误，而之间是包含关系，所以B错误，故本题选A.【点睛】本题考查了元素与集合之间以及集合与集合之间的关系，掌握属于关系和包含关系是解题的关键.2.已知集合A＝{1，3，5}，B＝{3，5，7}，则A∩B＝（）A. {1，3，5，7}B. {1，7）C. {3，5}D. {5}【答案】C求集合A，B的公共元素即可.【详解】因为集合，，所以集合A，B的公共元素有3和5，根据集合的交集运算，则，故选C.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，较简单.3.已知，则（）A. 2B. 1C. 0D.【答案】A【解析】【分析】直接代入x=0求解函数值即可．【详解】f（x+1）＝x2﹣2x+2，令x=0，∴f（0+1）＝f（1）=02﹣0+2=2．∴f（1）=2．故选A．【点睛】本题考查函数值的求法，考查计算能力．4.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A. B.C. D.【答案】A【分析】比较两个函数的定义域和对应法则是否相同后可得正确的选项.【详解】对于A，两个函数的定义域均为，且，故为同一函数；对于B，两个函数的对应法则不一样，所以两个函数不是同一函数；对于C，的定义域为，而的定义域为，故两个函数不是相同的函数；对于D，的定义域为，而的定义域为，故两个函数不是相同的函数；综上，选A.【点睛】判断两个函数是否为同一函数，一般先比较它们的定义域，再比较它们的对应法则，这两者都相同，它们才是同一函数.5.已知幂函数y=f(x)的图像经过点（4，2），则这个函数的解析式是()A. y=x2B.C.D. y=2x【答案】C【解析】【分析】根据幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，2），求得幂函数的解析式即可．【详解】设幂函数y＝f（x）＝xα∵幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，2），∴2＝4α∴α，∴幂函数f（x）＝xα，故选C．【点睛】本题考查幂函数解析式的求解，考查求函数值，解题的关键是认清幂函数的表达式．6.下列函数中，值域为的是（）A. ，B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出各选项中函数的值域，可得出正确选项.【详解】对于A选项，函数，的值域为，不合乎题意；对于B选项，，该函数的值域为，不合乎题意；对于C选项，且，即，该函数的值域为，合乎题意；对于D选项，当时，由基本不等式得，该函数的值域为，不合乎题意.故选C.【点睛】本题考查函数值域的求解，在求解函数值域时，可结合函数解析式的结构选择合适的方法来求解，考查运算求解能力，属于中等题.7.用分数指数幂表示其结果是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据根式与分数指数幂运算的互化原则直接化简即可得到结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查根式与分数指数幂的互化，属于基础题》8.已知函数的图象如图所示，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由图可得：函数图象过点，即可求得：，同理可得：，问题得解.【详解】由图像可知，，得，故选A..【点睛】本题主要考查了幂函数及指数函数的图象，还考查了读图能力及观察能力、转化能力，属于中档题．9.设，则，，的大小关系是（）A. B.C. D.【解析】【分析】先根据来分段，然后根据指数函数性质，比较出的大小关系.【详解】由于，而，故，所以选A.【点睛】本小题主要考查指数函数的单调性，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于基础题.10.在同一直角坐标系中，函数，（，且）的图象大致为（）A. B. C.D.【答案】A【解析】【详解】由题意，当，函数为单调递减函数，若时，函数的零点，且函数在上为单调递减函数；若时，函数与的零点，且函数在上为单调递增函数.综上得，正确答案为A.11.已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据偶函数定义域的对称关系可求得，从而得到的单调性；利用单调性和定义域可构造不等式组求得结果.【详解】为上的偶函数，解得：在上为增函数，在上为减函数由得：，解得：的解集为故选：【点睛】本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，涉及到利用利用奇偶性求解参数值和单调性的问题；关键是能够利用单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系；易错点是忽略定义域的限制，造成求解错误.12.已知，设函数的最大值为，最小值为，那么（）A. 2020B. 2019C. 4040D. 4039【答案】D【解析】【分析】通过分离分子可得，计算可得，利用函数的单调性计算可得结果．【详解】解：，又是上的增函数，，故选D．【点睛】本题考查函数的单调性的判断和运用，注意解题方法的积累，考查运算能力，属于中档题．第II卷（非选择题共90分）二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.集合的真子集的个数为______.【答案】7【解析】集合的真子集是指属于集合的部分组成的集合，包括空集.【详解】集合的真子集为，，，，，，.共有7个.故答案为7.【点睛】本题考查集合的子集的概念，属于基础题．14.已知，则函数的单调递增区间是_______.【答案】【解析】【分析】画出函数的图象，根据图象可得结果．【详解】由题意得，画出函数图象如下图所示．由图象可得，函数的单调递增区间为．（填也可）．【点睛】求函数的单调区间时，首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．常用方法：根据定义，利用图象和单调函数的性质．15.设偶函数的定义域，若当时，的图像如图所示，则满足不等式的的范围是______________【答案】【解析】【分析】根据奇偶性以及函数图象得到的正负分布，根据正负分布得到的解集.【详解】因为，，又因为是偶函数，所以，；当，当，当，当；所以的解集为：.【点睛】对于给定函数部分图象以及奇偶性讨论函数值的正负，此时也可以根据奇偶性将图象补充完整，直接根据图象分析也可以.16.函数满足对任意都有成立，则的取值范围是__________________【答案】.【解析】【分析】先由不等式得到函数单调性，然后再利用单调性分析参数取值范围，注意分段函数分段点处的函数值大小比较.【详解】因为对任意都有成立，所以在上增函数，则有：且，解得：.【点睛】本题考查利用分段函数单调性求解参数范围，难度一般.考虑分段函数单调性时，除了需要考虑每一段函数的单调性外，每段函数在分段点处的函数值大小关系也要确定出来.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.计算下列各式的值．（1）；（2）【答案】（1）；（2）0.【解析】【分析】进行分数指数幂和根式的运算即可；进行对数的运算即可．【详解】原式；原式．【点睛】本题考查分数指数幂、根式和对数的运算，以及对数的换底公式，属于基础题．18.已知集合，，.求的值及集合．【答案】a=1；A∪B=｛0，1，2，3，7｝【解析】【分析】由A∩B＝{3，7}知，3，7既是集合A的元素，也是集合B的元素，从而建立关于a的方程，然后利用集合元素的特征检验即可．【详解】由题意可知3,7∈A，3,7∈B，∵A=∴a2+4a +2=7即a 2+4a－5=0解得a =－5或a =1当a=－5时，A=｛23,7｝，B=｛0,7,7,3｝不合题意，舍去．当a=1时，A=｛2,3,7｝，B=｛0,7,1,3｝∴A∪B=｛0，1，2，3，7｝【点睛】本题考查集合间的相互关系，解题时要熟练掌握基本概念．注意集合元素的互异性，属于基础题．19.已知集合，，.（1）求，;（2）若A是C的子集，求实数的取值范围.【答案】（1）；或；（2）【解析】【分析】（1）解一元二次不等式求得集合，根据交集定义求得；根据并集和补集定义求得；（2）解不等式求得集合，根据包含关系可得到关于的不等式，解不等式求得的范围.【详解】（1），或（2）是的子集，解得：实数的取值范围为【点睛】本题考查集合运算中的交集、并集和补集运算、根据集合的包含关系求解参数范围的问题，属于基础题.20.已知函数为奇函数．（1）求的值；（2）判断函数的单调性，并加以证明；（3）若为偶函数，且当时，，求的解析式.【答案】（1）；（2）在上单调递增，证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据定义在上奇函数满足可构造方程求得；（2）设，可证得，进而得到函数的单调性；（3）当时，，得到；根据偶函数可求得时的解析式，整理可得的解析式.【详解】（1）为奇函数且定义域为，解得：（2）由（1）知：设任意的，则，即又，，即在定义域上单调递增（3）当时，当时，为偶函数综上所述：【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解参数值和函数解析式、函数单调性的判断与证明；本题是对函数奇偶性和单调性的基础题型的考查.21.已知函数（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性并给予证明；（3）求关于x的不等式的解集．【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，由函数的分析式分析可得，解可得x 的取值范围，即可得答案；（2）根据题意，由函数的分析式分析可得，结合函数的奇偶性的定义分析可得结论；（3）根据题意，分与两种情况讨论，求出不等式的解集，综合即可得答案．【详解】解：（1）根据题意，函数，则有，解可得，即函数的定义域为；（2）首先，定义域关于原点对称，函数，则则函数为奇函数，（3）根据题意，即，当时，有，解可得，此时不等式的解集为；当时，有，解可得，此时不等式的解集为；故当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定以及性质，注意分析函数的定义域，属于基础题．研究函数问题时，首先要确定函数的定义域，主要依据有：（1）分式的分母不为零；（2）偶次被开方式不小于零；（3）对数的真数大于零等.解决复杂的函数不等式问题时，可以把复杂的函数分解成熟悉的函数，再利用函数的单调性奇偶性等解决相关问题.22.已知函数(为实常数)．（1）当时，作出的图象，并写出它的单调递增区间；（2）设在区间的最小值为，求的表达式；（3）已知函数在的情况下：其在区间单调递减，在区间单调递增.设，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）图象见解析；单调递增区间；（2）；（3）【解析】【分析】（1）将二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方即可得到所求函数的图象，结合图象可写出单调递增区间；（2）根据二次函数对称轴为，分别讨论，和三种情况，结合二次函数性质可得到三种情况下的最小值，进而得到；（3）当时，可知为增函数，满足题意；当时，由已知所给函数的单调性可得单调性，进而构造不等式求得的范围；综合两种情况可得最终结果.【详解】（1）当时，，则图象如下图所示：由图象可知：的单调递增区间为（2）当，即时，当，即时，当，即时，综上所述：（3）由题意得：当，即时，在上单调递增，符合题意；当，即时，在单调递减，在单调递增，解得：综上所述：实数的取值范围为【点睛】本题考查函数图象翻折变换、函数单调区间的求解和根据单调性求解参数范围、含参数的二次函数最值的讨论等知识；讨论含参数的二次函数最值时，需要讨论对称轴的位置，根据对称轴所处不同位置得到函数的单调性，进而确定最值点.2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）第I卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的）1.下列四个关系中，正确的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据集合与元素的关系和集合与集合的关系可以选出正确答案.【详解】元素与集合是属于关系，故A对，C、D错误，而之间是包含关系，所以B错误，故本题选A.【点睛】本题考查了元素与集合之间以及集合与集合之间的关系，掌握属于关系和包含关系是解题的关键.2.已知集合A＝{1，3，5}，B＝{3，5，7}，则A∩B＝（）A. {1，3，5，7}B. {1，7）C. {3，5}D. {5}【答案】C【解析】【分析】求集合A，B的公共元素即可.【详解】因为集合，，所以集合A，B的公共元素有3和5，根据集合的交集运算，则，故选C.【点睛】本题主要考查集合的交集运算，较简单.3.已知，则（）A. 2B. 1C. 0D.【答案】A【解析】【分析】直接代入x=0求解函数值即可．【详解】f（x+1）＝x2﹣2x+2，令x=0，∴f（0+1）＝f（1）=02﹣0+2=2．∴f（1）=2．故选A．【点睛】本题考查函数值的求法，考查计算能力．4.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】比较两个函数的定义域和对应法则是否相同后可得正确的选项.【详解】对于A，两个函数的定义域均为，且，故为同一函数；对于B，两个函数的对应法则不一样，所以两个函数不是同一函数；对于C，的定义域为，而的定义域为，故两个函数不是相同的函数；对于D，的定义域为，而的定义域为，故两个函数不是相同的函数；综上，选A.【点睛】判断两个函数是否为同一函数，一般先比较它们的定义域，再比较它们的对应法则，这两者都相同，它们才是同一函数.5.已知幂函数y=f(x)的图像经过点（4，2），则这个函数的解析式是()A. y=x2B.C.D. y=2x【答案】C【解析】【分析】根据幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，2），求得幂函数的解析式即可．【详解】设幂函数y＝f（x）＝xα∵幂函数y＝f（x）的图象经过点（4，2），∴2＝4α∴α，∴幂函数f（x）＝xα，故选C．【点睛】本题考查幂函数解析式的求解，考查求函数值，解题的关键是认清幂函数的表达式．6.下列函数中，值域为的是（）A. ，B.C. D.【答案】C【解析】【分析】求出各选项中函数的值域，可得出正确选项.【详解】对于A选项，函数，的值域为，不合乎题意；对于B选项，，该函数的值域为，不合乎题意；对于C选项，且，即，该函数的值域为，合乎题意；对于D选项，当时，由基本不等式得，该函数的值域为，不合乎题意.故选C.【点睛】本题考查函数值域的求解，在求解函数值域时，可结合函数解析式的结构选择合适的方法来求解，考查运算求解能力，属于中等题.7.用分数指数幂表示其结果是( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据根式与分数指数幂运算的互化原则直接化简即可得到结果.【详解】本题正确选项：【点睛】本题考查根式与分数指数幂的互化，属于基础题》8.已知函数的图象如图所示，则的大小关系为（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由图可得：函数图象过点，即可求得：，同理可得：，问题得解.【详解】由图像可知，，得，故选A..【点睛】本题主要考查了幂函数及指数函数的图象，还考查了读图能力及观察能力、转化能力，属于中档题．9.设，则，，的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先根据来分段，然后根据指数函数性质，比较出的大小关系.【详解】由于，而，故，所以选A.【点睛】本小题主要考查指数函数的单调性，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于基础题.10.在同一直角坐标系中，函数，（，且）的图象大致为（）A. B. C.D.【答案】A【解析】【详解】由题意，当，函数为单调递减函数，若时，函数的零点，且函数在上为单调递减函数；若时，函数与的零点，且函数在上为单调递增函数.综上得，正确答案为A.11.已知是定义在上的偶函数，且在上为增函数，则的解集为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据偶函数定义域的对称关系可求得，从而得到的单调性；利用单调性和定义域可构造不等式组求得结果.【详解】为上的偶函数，解得：在上为增函数，在上为减函数由得：，解得：的解集为故选：【点睛】本题考查利用函数单调性和奇偶性求解函数不等式的问题，涉及到利用利用奇偶性求解参数值和单调性的问题；关键是能够利用单调性将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系；易错点是忽略定义域的限制，造成求解错误.12.已知，设函数的最大值为，最小值为，那么（）A. 2020B. 2019C. 4040D. 4039【答案】D【解析】【分析】通过分离分子可得，计算可得，利用函数的单调性计算可得结果．【详解】解：，又是上的增函数，，故选D．【点睛】本题考查函数的单调性的判断和运用，注意解题方法的积累，考查运算能力，属于中档题．第II卷（非选择题共90分）二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.集合的真子集的个数为______.【答案】7【解析】【分析】集合的真子集是指属于集合的部分组成的集合，包括空集.【详解】集合的真子集为，，，，，，.共有7个.故答案为7.【点睛】本题考查集合的子集的概念，属于基础题．14.已知，则函数的单调递增区间是_______.【答案】【解析】【分析】画出函数的图象，根据图象可得结果．【详解】由题意得，画出函数图象如下图所示．由图象可得，函数的单调递增区间为．（填也可）．【点睛】求函数的单调区间时，首先应注意函数的定义域，函数的单调区间都是其定义域的子集；其次掌握一次函数、二次函数等基本初等函数的单调区间．常用方法：根据定义，利用图象和单调函数的性质．15.设偶函数的定义域，若当时，的图像如图所示，则满足不等式的的范围是______________【答案】【解析】【分析】根据奇偶性以及函数图象得到的正负分布，根据正负分布得到的解集.【详解】因为，，又因为是偶函数，所以，；当，当，当，当；所以的解集为：.【点睛】对于给定函数部分图象以及奇偶性讨论函数值的正负，此时也可以根据奇偶性将图象补充完整，直接根据图象分析也可以.16.函数满足对任意都有成立，则的取值范围是__________________【答案】.【解析】【分析】先由不等式得到函数单调性，然后再利用单调性分析参数取值范围，注意分段函数分段点处的函数值大小比较.【详解】因为对任意都有成立，所以在上增函数，则有：且，解得：.【点睛】本题考查利用分段函数单调性求解参数范围，难度一般.考虑分段函数单调性时，除了需要考虑每一段函数的单调性外，每段函数在分段点处的函数值大小关系也要确定出来.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.计算下列各式的值．（1）；（2）【答案】（1）；（2）0.【解析】【分析】进行分数指数幂和根式的运算即可；进行对数的运算即可．【详解】原式；原式．【点睛】本题考查分数指数幂、根式和对数的运算，以及对数的换底公式，属于基础题．18.已知集合，，.求的值及集合．【答案】a=1；A∪B=｛0，1，2，3，7｝【解析】【分析】由A∩B＝{3，7}知，3，7既是集合A的元素，也是集合B的元素，从而建立关于a的方程，然后利用集合元素的特征检验即可．【详解】由题意可知3,7∈A，3,7∈B，∵A=∴a2+4a +2=7即a 2+4a－5=0解得a =－5或a =1当a=－5时，A=｛23,7｝，B=｛0,7,7,3｝不合题意，舍去．当a=1时，A=｛2,3,7｝，B=｛0,7,1,3｝∴A∪B=｛0，1，2，3，7｝【点睛】本题考查集合间的相互关系，解题时要熟练掌握基本概念．注意集合元素的互异性，属于基础题．19.已知集合，，.（1）求，;（2）若A是C的子集，求实数的取值范围.【答案】（1）；或；（2）【解析】【分析】（1）解一元二次不等式求得集合，根据交集定义求得；根据并集和补集定义求得；（2）解不等式求得集合，根据包含关系可得到关于的不等式，解不等式求得的范围.【详解】（1），或（2）是的子集，解得：实数的取值范围为【点睛】本题考查集合运算中的交集、并集和补集运算、根据集合的包含关系求解参数范围的问题，属于基础题.20.已知函数为奇函数．（1）求的值；（2）判断函数的单调性，并加以证明；（3）若为偶函数，且当时，，求的解析式.【答案】（1）；（2）在上单调递增，证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据定义在上奇函数满足可构造方程求得；（2）设，可证得，进而得到函数的单调性；（3）当时，，得到；根据偶函数可求得时的解析式，整理可得的解析式.【详解】（1）为奇函数且定义域为，解得：（2）由（1）知：设任意的，则，即又，，即在定义域上单调递增（3）当时，当时，为偶函数综上所述：【点睛】本题考查利用函数奇偶性求解参数值和函数解析式、函数单调性的判断与证明；本题是对函数奇偶性和单调性的基础题型的考查.21.已知函数（1）求的定义域；（2）判断的奇偶性并给予证明；（3）求关于x的不等式的解集．【答案】（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）根据题意，由函数的分析式分析可得，解可得x的取值范围，即可得答案；（2）根据题意，由函数的分析式分析可得，结合函数的奇偶性的定义分析可得结论；（3）根据题意，分与两种情况讨论，求出不等式的解集，综合即可得答案．【详解】解：（1）根据题意，函数，则有，解可得，即函数的定义域为；（2）首先，定义域关于原点对称，函数，则则函数为奇函数，（3）根据题意，即，当时，有，解可得，此时不等式的解集为；当时，有，解可得，此时不等式的解集为；故当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．【点睛】本题考查函数的奇偶性与单调性的判定以及性质，注意分析函数的定义域，属于基础题．研究函数问题时，首先要确定函数的定义域，主要依据有：（1）分式的分母不为零；（2）偶次被开方式不小于零；（3）对数的真数大于零等.解决复杂的函数不等式问题时，可以把复杂的函数分解成熟悉的函数，再利用函数的单调性奇偶性等解决相关问题.22.已知函数(为实常数)．（1）当时，作出的图象，并写出它的单调递增区间；（2）设在区间的最小值为，求的表达式；（3）已知函数在的情况下：其在区间单调递减，在区间单调递增.设，若函数在区间上是增函数，求实数的取值范围.【答案】（1）图象见解析；单调递增区间；（2）；（3）【解析】【分析】（1）将二次函数图象在轴下方的部分沿轴翻折到轴上方即可得到所求函数的图象，结合图象可写出单调递增区间；（2）根据二次函数对称轴为，分别讨论，和三种情况，结合二次函数性质可得到三种情况下的最小值，进而得到；（3）当时，可知为增函数，满足题意；当时，由已知所给函数的单调性可得单调性，进而构造不等式求得的范围；综合两种情况可得最终结果.【详解】（1）当时，，则图象如下图所示：由图象可知：的单调递增区间为（2）当，即时，当，即时，当，即时，综上所述：（3）由题意得：当，即时，在上单调递增，符合题意；当，即时，在单调递减，在单调递增，解得：综上所述：实数的取值范围为【点睛】本题考查函数图象翻折变换、函数单调区间的求解和根据单调性求解参数范围、含参数的二次函数最值的讨论等知识；讨论含参数的二次函数最值时，需要讨论对称轴的位置，根据对称轴所处不同位置得到函数的单调性，进而确定最值点.。
2019-2020学年中学高一上学期期中数学试题(解析版)高一期末数学试卷2019
《2019-2020学年中学高一上学期期中数学试题（解析版）|高一期末数学试卷2019》摘要：、单选题．设集合则下列关系正确是( ) ． B．．．【答案，【析，（）由（）可知上增函数且得【睛0900学年学高上学期期数学试题、单选题．设集合则下列关系正确是( ) ． B．．．【答案】B 【析】元二次方程出集合元素即可得出选项【详】因得所以即故选B 【睛】题考元素与集合关系属基础题．已知集合三元素分别是三边长则定不是（）．．锐角三角形 B．直角三角形．钝角三角形．等腰三角形【答案】【析】根据集合元素异性即可得到答案．【详】因集合元素是异所以不相等即不可能是等腰三角形．故选．【睛】题主要考了集合表示方法以及元素基特征其答熟记集合元素异性是答关键着重考了分析问题和答问题能力属基础题． 3．集合真子集数是( ) ．8 B．7 ．．3 【答案】B 【析】首先由得即可得真子集数【详】由得所以集合真子集数故选B 【睛】题考集合真子集数题关键是出集合元素若集合元素数则真子集数．函数定义域( ) ． B．．．【答案】【析】使函数表达式有义即即可【详】函数有义即得故函数定义域故选【睛】题考函数定义域属基础题 5．设函数则( ) ． B．．．【答案】【析】首先出再即可【详】由函数则所以故选【睛】题考分段函数值属基础题 6．下列函数偶函数是（）． B．．．【答案】【析】试题分析因不是奇函数也不是偶函数所以选项不正确；因不是奇函数也不是偶函数所以选项B不正确；由所以是奇函数选项不正确由所以是偶函数选项正确故选【考】函数奇偶性判断 7．已知是定义上奇函数且单调递增,若,则取值围是( ) ． B．．．【答案】【析】根据是定义上奇函数且单调递增则不等式即可【详】因是定义上奇函数且单调递增所以上增函数又所以得故取值围故选【睛】题考函数性质根据函数性质不等式属基础题 8．设则关系是（）． B．．．【答案】【析】由区是单调减函数可知又故选【考】指数函数性质；函数值比较 9．已知集合按照对应关系不能构成从到B映射是( ) ． B．．．【答案】B 【析】根据映射定义对、、、各项逐加以判断可得、、对应都能构成到映射只有项对应不能构成到映射由可得题答案【详】对应法则是对任元素函数值函数值集合恰是集合且对任元素函数值唯确定由可得该对应能构成到映射故不选； B对应法则是对任元素函数值又显然对应法则不能构成到映射对应法则是对任元素函数值且对任元素函数值唯确定由可得该对应能构成到映射故不选；对应法则是对任元素函数值且对任元素函数值唯确定由可得该对应能构成到映射故不选；综上所述只有对应不能构成到映射故选B 【睛】题给出集合、出不能构成到映射着重考了映射定义以及其判断属基础题 0．如图曲线是幂函数象限图像已知分别取四值与曲线、、、相应依次（）． B．．．【答案】【析】根据幂函数图像判断出正确选项【详】依题可知四条曲线分别表示图像当幂函数图像随着变而变高故、、、相应依次故选【睛】题主要考幂函数图像与性质考函数图像识别属基础题．已知函数是定义域R上减函数则实数取值围是( ) ． B．．．【答案】B 【析】根据分段函数单调性性质建立不等式关系进行【详】若（x）是定义域（∞+∞）上减函数则满足即整理得故选B 【睛】题考了分段函数单调性应用根据分段函数性质建立不等式是题关键．函数区上值则函数单调递增区是( ) ． B．．．【答案】【析】首先区上值出再根据复合函数单调性定义域能出单调递增区即可【详】因开口向上对称轴所以函数上单调递增故即故增函数令开口向上对称轴又得或所以增函数由复合函数单调性可知单调递增区故选【睛】题考复合函数单调性复合函数单调性法则“增异减”定义域单调区属档题二、填空题 3．下图反应是“学作品”、“散”、“说”、“叙事散”这四学概念关系请下面空格上填入适当容_______,B_______,______,_______ 【答案】说学作品叙事散散【析】首先由图可知、、、围四种学概念学作品是其余三统称据可知容；由、存关系包含可知应“叙事散”“散”；剩下“说” 【详】由图可得围可知“学作品”由、存关系包含可知“叙事散”“散”；剩下“说” 故答案 () 说 () 学作品 (3) 叙事散 () 散【睛】题考集合包含关系属基础题．已知幂函数图象则析式________ 【答案】【析】先设出幂函数析式,把代入析式即可【详】设幂函数, 因幂函数图象, ,得故答案【睛】题主要考幂函数析式熟练掌握幂函数定义是题关键 5．已知定义域则函数定义域_______ 【答案】【析】根据抽象函数定义域定义域得即可得到函数定义域【详】因函数定义域定义域即所以所以定义域故答案【睛】题考抽象函数定义域属基础题 6．已知定义上奇函数,当,,那么当,析式________ 【答案】【析】设则代入析式得；再由定义上奇函数即可得答案【详】不妨设则所以又因定义上奇函数所以所以即故答案【睛】题考了利用函数奇偶性析式属基础题三、答题 7．化简与值（）；（）．【答案】（）；（）；【析】（）由对数运算性质即可（）由指数、对数运算性质即可【详】（）＝3﹣3；（）【睛】题考指数、对数运算性质熟记运算法则属基础题 8．已知集合． ()分别； ()已知集合若实数取值集合．【答案】() () 【析】()根据题干不等式得到再由集合交并补运算得到结；（）由()知若分空集和非空两种情况得到结即可【详】 ()因即所以所以因即所以所以所以．所以． ()由()知若当空集当非空集合可得综上所述【睛】这题目考了集合交集以及补集运算涉及到指数不等式运算也涉及已知两集合包含关系参问题；其已知两集合包含关系参问题首先要考虑其集合空集情况 9．已知函数（）用函数单调性定义证明上是增函数；（）若上值域是值【答案】（）证明见析；（）【析】（）根据单调性定义设xx∈（0+∞）且x＜x然通作差证明（x）＜（x）即可；（）由单调性列方程即可【详】（）证明任取则即上是增函数（）由（）可知上增函数且得【睛】考单调增函数定义考函数值域是基础题． 0．已知幂函数偶函数．（）析式；（）若函数区（3）上单调函数实数取值围．【答案】();()或【析】【详】（）由幂函数知得或又因函数偶函数所以函数不合舍当合题； ()由（）得即函数对称轴由题知（3）上单调函数所以或即或．已知（）若上恒成立取值围；（）区上值与值【答案】（）；（）当；当；当；当；【析】（）上恒成立只不等式即可（）首先出二次函数对称轴讨论对称轴所区根据开口方向与距对称轴远近即可出值【详】（）由若即上恒成立所以即所以取值围（）对称轴当即区上单调递增所以；当即区上单调递减上单调递增所以；当即区上单调递减上单调递增所以；当即区上单调递减所以；【睛】题考二次函数性质二次函数含有参数讨论对称轴所区属二次函数综合题目．函数是定义上减函数且对任都有且()值；()不等式．【答案】（）3；（）；【析】（）对任都有且令代入即可（）由出再由得出根据函数是定义上减函数得到即可【详】（）对任都有∵ 令∴ ∴ （）由可得是定义上减函数故不等式集【睛】题考了抽象函数函数值、根据单调性不等式属档题。
2019-2020学年高一数学上学期期中试卷(含解析) (III)
h2019-2020 学年高一数学上学期期中试卷(含解析) (III)一、选择题：（共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合，集合，则（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先化简集合 B 得，根据交集运算定义可得结果。
【详解】集合 B 可化简为，所以，答案选 B。
【点睛】本题考查了集合的化简，以及交集运算，属于基础题。
2.集合，，下图中能表示从集合 到集合 的映射的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】在 A 中，当时，，所以集合 到集合 不成映射，故选项 A 不成立；在 B 中，时，，所以集合 到集合 不成映射，故选项 B 不成立；在C中时，任取一个 值，在内，有两个 值与之相对应，所以构不成映射，故选 C 不成立；h在 D 中，h时，任取一个 值，在内，总有唯一确定的一个hh值与之相对应，故选项 D 成立． 故选 D3.方程的解所在区间是（ ）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】令函数，则函数 是上的单调增函数，且是连续函数，根据，可得函数的零点所在的区间为 ，由此可得方程的解所在区间．【详解】令函数∵，∴∴故函数，则函数 是上的单调增函数，且是连续函数.的零点所在的区间为∴方程的解所在区间是故选 C. 【点睛】零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间 上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质（如单调性、奇偶性）才能确定函数有多少个 零点. 4.由于被墨水污染,一道数学题仅能见到如下文字：已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象过点 (1,0)…求证：这个二次函数的图象关于直线 x=2 对称。
根据现有信息,题中的二次函数不一 定具有的性质是( ) A. 在 x 轴上截得的线段的长度是 2 B. 与 y 轴交于点（0,3） C. 顶点是(−2,−2) D. 过点(3,0) 【答案】Chh 【解析】hh【分析】本题是条件开放题，根据已知点（1，0）和对称轴 x=2，根据抛物线的对称性，探求二次函数的性质．【详解】A、抛物线与 x 轴两交点为（1，0），（3，0），故在 x 轴上截得的线段长是 2，正确；B、图象过点（1，0），且对称轴是直线 x=2 时，图象必过（3，0）点，代入求得解析式即可得出与 y 轴的交点可以是（0，3），正确．C、顶点的横坐标应为对称轴，本题的顶点坐标与已知对称轴矛盾，错误；D、因为图象过点（1，0），且对称轴是直线 x=2，另一个对称点为（3，0），正确；故答案为：C．【点睛】本题主要考查了二次函数的对称，函数图象上的点关于对称轴的对称点一定也在同一图象上．5.若偶函数 f(x)在(－∞，0)内单调递减，则不等式 f(－1)＜f(lg x)的解集是()A.B.C.D.【答案】D 【解析】 ∵偶函数 在 则不等式内单调递减，∴ 在等价于，∴内单调递增， 或∴或，∴不等式的解集是，故选 D.点睛：本题考查了函数的单调性与奇偶性的综合应用，在解对数不等式时注意对数的真数大于 0，是个基础题；由于偶函数 在内单调递减故 在内单调递增，利用函数的性质可得等价于，从而解得 的范围.6.若，则的大小关系为（ ）A.B.C.D.【答案】D 【解析】 分析：利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．hh详解：∵0＜a＜b＜1，ab∈（0，1），logba＞logbb=1，z=logb＜0，则的大小关系为．故选：D． 点睛：利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实 数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当 都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值 的 应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．7.函数的零点个数为（ ）A. 0 B. 1 【答案】B 【解析】 【分析】C. 2D. 3令 f(x)=0 得=0，所以，再作出函数的图像得解.【详解】令 f(x)=0 得=0，所以，再作出函数由于两个函数的图像只有一个交点，所以零点的个数为 1.故答案为：B的图像,【点睛】(1)本题主要考查函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)零点问题的处理常用的方法有方程法、图 像法、方程+图像法.8.已知定义在 上的奇函数 满足，当时，则（ ）A.B.C.D.【答案】B hh【解析】由题意得，因为，则，所以函数 表示以 为周期的周期函数，又因为 为奇函数，所以，所以，，，所以，故选 B.9.已知函数当时，，则的取值范围是（ ）A.B.【答案】A 【解析】∵当 x1≠x2 时，C.D.＜0，∴f（x）是 R 上的单调减函数，∵f（x）=，∴，∴0＜a≤，故选：A．10.定义在 上的奇函数 ，当 时，A.B.【答案】C 【解析】的所有零点之和为（ ）C.D.，则关于 的函数hh当 时，又 是奇函数，画出函数 的图象，由函数图象可知： ，有 个零点，其中有两个零点关于对称，还有两个零点关于 对称，所以这四个零点的和为零，第五个零点是直线 与函数，交点的横坐标，即方程的解，，故选 C.【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质、函数的零点以及数形结合思想的应用，属于 难题. 数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题 的一种重要思想方法，.函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为 研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、 确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质． 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）11.设，且，则.【答案】【解析】试题分析：． 考点：指数式与对数式的综合运算．12.若集合，且 ，则实数 a 的可能取值组成的集合是___________.【答案】【解析】 【分析】 应先将集合 P 化简，又 S⊆ P，进而分别讨论满足题意的集合 S，从而获得问题的解答. 【详解】由已知 P={﹣3，2}．当 a=0 时，S=∅，符合 S⊆ P；hh 当 a≠0 时，方程 ax+1=0 的解为 x=﹣ ．hh为满足 S⊆ P，可使﹣ =﹣3 或﹣ =2，即：a= ，或 a=﹣ ．故所求的集合为{0， ，﹣ }．故答案为：【点睛】本题考查的是集合的包含关系判断以及应用问题．在解答的过程当中充分体现了集合元素的特性、分类讨论的思想．13.已知 是定义域为的奇函数，满足，若，则_______.【答案】2【解析】【分析】由题意可得 f（0）=0，f（x）为周期为 4 的函数，分别求得一个周期内的函数值，计算可得所求和．【详解】f（x）是定义域为（﹣∞，+∞）的奇函数，可得 f（﹣x）=﹣f（x），f（1﹣x）=f（1+x）即有 f（x+2）=f（﹣x），即 f（x+2）=﹣f（x），进而得到 f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），所以 f（x）为周期为 4 的函数，若 f（1）=2，可得 f（3）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，f（2）=f（0）=0，f（4）=f（0）=0，则 f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+0﹣2+0=0，可得 f（1）+f（2）+f（3）+…+f（xx）=504×0+2+0=2．故答案为：2【点睛】本题考查抽象函数的函数值的求和，注意运用函数的周期性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．h14.若函数在区间（0，）内恒有，则的单调递增区间为_________.【答案】(－∞，－)【解析】因为函数f(x)＝(a>0，a≠1)在区间(0，)内恒有f(x)>0，则f(x)的单调递增区间为(－∞，－)三、解答题：（本大题共5小题，共44分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知集合.（1）分别求，；（2）已知集合求实数a的取值范围.【答案】（1）；.（2）【解析】【分析】（1）先化简集合A和B,再求，. (2)由得，可得,解不等式即得.【详解】(1)由3⩽3x⩽27,即3⩽3x⩽33,∴1⩽x⩽3,∴A=[1,3].由log2x<1,可得0<x<2,∴B=(0,2).∴A∩B=[1,2).所以=.（2）由得，可得解得.综上所述：a的取值范围是 .【点睛】本题主要考查集合的化简与运算，考查集合的关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.16.计算：（1）．（2）．【答案】（1）；（2）2.【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可得出；（2）利用对数的运算性质即可得出．【详解】（1）．（2）．【点睛】本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．17.已知函数是定义在R上的奇函数.（1）判断并证明在上的单调性.（2）若对任意实数t,不等式恒成立，求实数k的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先利用函数的奇偶性求出，判断f(x)在(−∞,+∞)上是减函数，再利用函数单调性的定义证明函数在上的单调递减.（2）先化简不等式为f(kt2−kt)<−f(2−kt)=f(kt−2)，再利用函数的单调性得kt2−kt>kt−2，再分析得解.【详解】(1)由于定义域为R的函数是奇函数，则,解得，经检验成立；判断函数f(x)在(−∞,+∞)上是减函数。
2019-2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)_14
2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.集合{直线}, 集合{抛物线}, 则集合元素的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 0个、1个或2个【答案】A【解析】【分析】先求出，由此能求出集合元素的个数．【详解】解：∵集合M＝{直线}，集合N＝{抛物线}，，∴集合元素的个数为0．故选：A．【点睛】本题考查交集中元素个数的求法，考查交集定义等基础知识，是基础题．2.给定映射，其中则时不同的映射的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】给每一个原象找到对应的象，即为一个映射，通过列举法可求出当的象为1时映射个数．【详解】解：依题意，当的象为1时，若的象为1，则的象为1或2；若的象为2，则的象为1或2，故则时不同的映射的个数是4个，故选：C．【点睛】本题考查了映射的概念，考查了映射的个数的计算，主要考查分析解决问题的能力，属于基础题．3.函数的单调增区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意利用复合函数的单调性可得，本题即求函数在时的增区间，从而得出结论．【详解】解：函数的单调增区间，即在时的增区间，再根据一次函数的性质可得，在时的增区间为，故选：B．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、一次函数的性质，属于基础题．4.已知，则的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果.【详解】，，，，故选B.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.5.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知函数定义域，可得，求解分式不等式得答案．【详解】解：∵函数的定义域为，∴由，得，则．∴函数的定义域为．故选：C．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．6.函数的值域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，，当时，，当时，，函数值域是，选B.7.已知函数，（其中），则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可得，然后依次代入分段函数解析式求得答案．【详解】解：∵，∴，，则，故选：A．【点睛】本题考查了分段函数的函数值的求法，考查了对数的运算性质，是基础题．8.已知函数，且过点，则函数的图像必过点（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由题意求出的值，代入对数函数，进而可得其必过的点．【详解】解：∵函数，且过点，，则函数，令，求得，可得函数的图象必过，故选：D．【点睛】本题主要考查指数运算和对数运算，属于基础题．9.已知函数（其中），若的图像如右图所示，则函数的图像大致为（）A. B. C.D.【答案】A【解析】【分析】根据的图像，得到，，进而可得出结果.【详解】由的图像可知，，，观察图像可知，答案选A．【点睛】本题主要考查二次函数图像，指数函数图像，熟记函数性质即可，属于常考题型.10.函数的定义域为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义域是，转化为恒成立，利用判别式进行求解即可．【详解】解：∵的定义域为，∴恒成立，即判别式，得，即实数的取值范围是，故选：C．【点睛】本题主要考查函数定义域的应用，结合对数函数成立的条件转化为一元二次不等式恒成立是解决本题的关键．比较基础．11.已知函数，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得，进而可得，据此结合对数的运算性质分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数，则，则，则有，若，则，故选：C．【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．12.已知函数，且，，集合，则（）A. ，都有B. ，都有C. ，使得D. ，使得【答案】A【解析】试题分析：∵函数，且，，故有且，∴，即，且，即，∴，又，∴为的一个零点，由根与系数的关系可得，另一个零点为，∴有，∴，∴恒成立．考点：函数的零点、函数的性质．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.已知，则______________；【答案】【解析】【分析】利用配凑法可求的解析，从而得到的解析式.【详解】因为，故，所以，故，填.【点睛】函数解析式的求法有换元法、配凑法、函数方程法等，注意根据复合函数的形式选择合适的方法.14.已知函数是偶函数，则实数的值为________.【答案】.【解析】【分析】由题意可得函数的定义域为，且有，运用对数的运算性质，化简可得的值．【详解】解：函数偶函数，的定义域为，即有，，可得，即有恒成立，所以恒成立，解得．故答案为：．【点睛】本题考查函数的奇偶性的定义和应用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．15.已知是R上增函数，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得，解可得的取值范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，是R上的增函数，则有，解可得，即的取值范围为；故答案为：．【点睛】本题考查分段函数性质，涉及函数单调性的定义，属于基础题．16.某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以教材第97页B组第3题的函数为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下：①同学甲发现：函数是偶函数；②同学乙发现：对于任意的都有；③同学丙发现：对于任意的，都有；④同学丁发现：对于函数定义域中任意的两个不同实数，总满足.其中所有正确研究成果的序号是__________．【答案】②③.【解析】【分析】①利用奇偶函数的定义判断；②只需要计算等式两端验证即可；③只需要计算等式两端验证即可；④根据复合函数单调性判断单调性即可．【详解】解：①定义域关于原点对称，，是奇函数，①错误；②，②正确；③由于，且，则③正确；④，由于单调递减，单调递增，所以单调递减，，④错误；故答案为②③．【点睛】本题主要考查函数的基本性质，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知全集集合，或，，（1）求;（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根据条件直接由交集运算求出；（2）在（1）的基础上，由补集定义求出，再由，分和，两种情况求出实数的取值范围．【详解】（1），或，，（2）由已知或，则，当，时，，满足，当时，只需，即 ,综上可知.【点睛】本题考查交集、补集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集、补集、并集、子集等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．18.计算：（1）；（2）.【答案】（1）17；（2）12.【解析】【分析】（1）直接利用指数运算性质即可求解；（2）结合对数的运算性质及换底公式即可求解．【详解】解：（1）；（2）【点睛】本题考查的知识点是对数的运算性质，换底公式，熟练掌握对数的运算性质及换底公式及其推论是解答对数化简求值类问题的关键．19.已知幂函数在上单调递增.（1）求实数k的值，并写出相应的函数的解析式；（2）对于（1）中的函数，试判断是否存在正数m，使得函数在区间[0,1]上的最大值为5, 若存在, 求出m的值; 若不存在, 请说明理由.【答案】（1）k=1,（2）【解析】试题分析：（1）由幂函数定义得，再根据单调性得，解得k=1，即得函数的解析式；（2）化简函数，为一个二次函数，根据对称轴与定义区间位置关系讨论最大值取法，再根据最大值为5解得m的值试题解析：(1)∵∴k=1∴(2)①，即∴又(舍)②∴20.进入21世纪以来，南康区家具产业快速发展，为广大市民提供了数十万就业岗位，提高了广大市民的收入，也带动南康和周边县市的经济快速发展.同时，由于生产设备相对落后，生产过程中产生大量粉尘、废气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究发现，工业废气、粉尘等污染物排放是雾霾形成和持续的重要原因，治理污染刻不容缓.为此，某工厂新购置并安装了先进的废气、粉尘处理设备，使产生的废气、粉尘经过过滤后再排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气粉尘污染物的数量（单位：）与过滤时间 (单位：)间的关系为(均为非零常数，为自然对数的底数)其中为时的污染物数量.若过滤后还剩余的污染物.（1）求常数的值.（2）试计算污染物减少到至少需要多长时间（精确到.参考数据：）【答案】（1）（或）；（2）42小时.【解析】【分析】（1）由题意可得，两边取对数可得的值；（2）令，即，两边取对数即可求出的值．【详解】解：（1）由题意可知，故，两边取对数可得：，即．（2）令，故，即，，．∴污染物减少到40%至少需要42小时．【点睛】本题考查了函数值的计算，考查对数的运算性质，属于中档题．21.已知函数（）在区间上有最大值和最小值，设．（1）求、的值；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据二次函数的性质判断的单调性，根据最值列出方程组解出，；（2）化简不等式，分离参数得在上恒成立，设，利用换元法得出在上的最小值即可得出的范围.试题解析：（1），因为，所以在区间上是增函数，故，解得．（2）由已知可得，所以可化为，化为，令，则，因，故，记，因为，故，所以的取值范围是．点睛：本题考查了二次函数的性质，函数最值的计算，函数恒成立问题研究，属于中档题；恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程. 22.定义对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”.（1）已知二次函数,试判断是否为定义域上的“局部奇函数”若是，求出满足的的值；若不是，请说明理由；（2）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围.【答案】（1），“局部奇函数；（2）.【解析】试题分析：（1）若为“局部奇函数”，则根据定义验证条件是否成立即可；（2）利用局部奇函数的定义，求出使方程有解的实数的取值范围，可得答案.试题解析：（1）当，方程即，有解，所以为“局部奇函数”.（2）当时，可化为，因为的定义域为，所以方程在上有解.令,则，设，则在上为减函数，在上为增函数，（要证明），所以当时，，所以，即.考点：二次函数的性质.【方法点睛】本题主要考查新定义的应用，利用新定义，建立方程关系，然后利用函数性质进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力.在该种题型中主要考查两个方面一是新定义判定的考查；二是新定义性质的考查，理解局部奇函数的定义，对按定义验证即可；在（2）中考查了局部奇函数的性质，将题意转化为在上有解的问题.2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.集合{直线}, 集合{抛物线}, 则集合元素的个数为（）A. 0个B. 1个C. 2个D. 0个、1个或2个【答案】A【解析】【分析】先求出，由此能求出集合元素的个数．【详解】解：∵集合M＝{直线}，集合N＝{抛物线}，，∴集合元素的个数为0．故选：A．【点睛】本题考查交集中元素个数的求法，考查交集定义等基础知识，是基础题．2.给定映射，其中则时不同的映射的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】给每一个原象找到对应的象，即为一个映射，通过列举法可求出当的象为1时映射个数．【详解】解：依题意，当的象为1时，若的象为1，则的象为1或2；若的象为2，则的象为1或2，故则时不同的映射的个数是4个，故选：C．【点睛】本题考查了映射的概念，考查了映射的个数的计算，主要考查分析解决问题的能力，属于基础题．3.函数的单调增区间是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由题意利用复合函数的单调性可得，本题即求函数在时的增区间，从而得出结论．【详解】解：函数的单调增区间，即在时的增区间，再根据一次函数的性质可得，在时的增区间为，故选：B．【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，对数函数、一次函数的性质，属于基础题．4.已知，则的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根据指数函数的单调性以及对数函数的单调性分别判断出的取值范围，从而可得结果.【详解】，，，，故选B.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.5.已知函数的定义域为，则函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知函数定义域，可得，求解分式不等式得答案．【详解】解：∵函数的定义域为，∴由，得，则．∴函数的定义域为．故选：C．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．6.函数的值域是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】设，，当时，，当时，，函数值域是，选B.7.已知函数，（其中），则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由可得，然后依次代入分段函数解析式求得答案．【详解】解：∵，∴，，则，故选：A．【点睛】本题考查了分段函数的函数值的求法，考查了对数的运算性质，是基础题．8.已知函数，且过点，则函数的图像必过点（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先由题意求出的值，代入对数函数，进而可得其必过的点．【详解】解：∵函数，且过点，，则函数，令，求得，可得函数的图象必过，故选：D．【点睛】本题主要考查指数运算和对数运算，属于基础题．9.已知函数（其中），若的图像如右图所示，则函数的图像大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据的图像，得到，，进而可得出结果.【详解】由的图像可知，，，观察图像可知，答案选A．【点睛】本题主要考查二次函数图像，指数函数图像，熟记函数性质即可，属于常考题型.10.函数的定义域为，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义域是，转化为恒成立，利用判别式进行求解即可．【详解】解：∵的定义域为，∴恒成立，即判别式，得，即实数的取值范围是，故选：C．【点睛】本题主要考查函数定义域的应用，结合对数函数成立的条件转化为一元二次不等式恒成立是解决本题的关键．比较基础．11.已知函数，且，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得，进而可得，据此结合对数的运算性质分析可得答案．【详解】解：根据题意，函数，则，则，则有，若，则，故选：C．【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数值的计算，属于基础题．12.已知函数，且，，集合，则（）A. ，都有B. ，都有C. ，使得D. ，使得【答案】A【解析】试题分析：∵函数，且，，故有且，∴，即，且，即，∴，又，∴为的一个零点，由根与系数的关系可得，另一个零点为，∴有，∴，∴恒成立．考点：函数的零点、函数的性质．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.已知，则______________；【答案】【解析】【分析】利用配凑法可求的解析，从而得到的解析式.【详解】因为，故，所以，故，填.【点睛】函数解析式的求法有换元法、配凑法、函数方程法等，注意根据复合函数的形式选择合适的方法.14.已知函数是偶函数，则实数的值为________.【答案】.【解析】【分析】由题意可得函数的定义域为，且有，运用对数的运算性质，化简可得的值．【详解】解：函数偶函数，的定义域为，即有，，可得，即有恒成立，所以恒成立，解得．故答案为：．【点睛】本题考查函数的奇偶性的定义和应用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．15.已知是R上增函数，则的取值范围是______.【答案】【解析】【分析】根据题意，由函数单调性的定义可得，解可得的取值范围，即可得答案．【详解】解：根据题意，是R上的增函数，则有，解可得，即的取值范围为；故答案为：．【点睛】本题考查分段函数性质，涉及函数单调性的定义，属于基础题．16.某学校为了加强学生数学核心素养的培养，锻炼学生自主探究学习的能力，他们以教材第97页B组第3题的函数为基本素材，研究该函数的相关性质，取得部分研究成果如下：①同学甲发现：函数是偶函数；②同学乙发现：对于任意的都有；③同学丙发现：对于任意的，都有；④同学丁发现：对于函数定义域中任意的两个不同实数，总满足.其中所有正确研究成果的序号是__________．【答案】②③.【分析】①利用奇偶函数的定义判断；②只需要计算等式两端验证即可；③只需要计算等式两端验证即可；④根据复合函数单调性判断单调性即可．【详解】解：①定义域关于原点对称，，是奇函数，①错误；②，②正确；③由于，且，则③正确；④，由于单调递减，单调递增，所以单调递减，，④错误；故答案为②③．【点睛】本题主要考查函数的基本性质，属于中档题．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17.已知全集集合，或，，（1）求;（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据条件直接由交集运算求出；（2）在（1）的基础上，由补集定义求出，再由，分和，两种情况求出实数的取值范围．【详解】（1），或，，（2）由已知或，则，当，时，，满足，当时，只需，即 ,综上可知.【点睛】本题考查交集、补集的求法，考查实数的取值范围的求法，考查交集、补集、并集、子集等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．18.计算：（1）；（2）.【答案】（1）17；（2）12.【解析】【分析】（1）直接利用指数运算性质即可求解；（2）结合对数的运算性质及换底公式即可求解．【详解】解：（1）；（2）【点睛】本题考查的知识点是对数的运算性质，换底公式，熟练掌握对数的运算性质及换底公式及其推论是解答对数化简求值类问题的关键．19.已知幂函数在上单调递增.（1）求实数k的值，并写出相应的函数的解析式；（2）对于（1）中的函数，试判断是否存在正数m，使得函数在区间[0,1]上的最大值为5, 若存在, 求出m的值; 若不存在, 请说明理由.【答案】（1）k=1,（2）【解析】试题分析：（1）由幂函数定义得，再根据单调性得，解得k=1，即得函数的解析式；（2）化简函数，为一个二次函数，根据对称轴与定义区间位置关系讨论最大值取法，再根据最大值为5解得m的值试题解析：(1)∵∴k=1∴(2)①，即∴又(舍)②∴20.进入21世纪以来，南康区家具产业快速发展，为广大市民提供了数十万就业岗位，提高了广大市民的收入，也带动南康和周边县市的经济快速发展.同时，由于生产设备相对落后，生产过程中产生大量粉尘、废气，给人们的健康、交通安全等带来了严重影响.经研究发现，工业废气、粉尘等污染物排放是雾霾形成和持续的重要原因，治理污染刻不容缓.为此，某工厂新购置并安装了先进的废气、粉尘处理设备，使产生的废气、粉尘经过过滤后再排放，以降低对空气的污染.已知过滤过程中废气粉尘污染物的数量（单位：）与过滤时间 (单位：)间的关系为(均为非零常数，为自然对数的底数)其中为时的污染物数量.若过滤后还剩余的污染物.（1）求常数的值.（2）试计算污染物减少到至少需要多长时间（精确到.参考数据：）【答案】（1）（或）；（2）42小时.【解析】【分析】（1）由题意可得，两边取对数可得的值；（2）令，即，两边取对数即可求出的值．【详解】解：（1）由题意可知，故，两边取对数可得：，即．（2）令，故，即，，．∴污染物减少到40%至少需要42小时．【点睛】本题考查了函数值的计算，考查对数的运算性质，属于中档题．21.已知函数（）在区间上有最大值和最小值，设．（1）求、的值；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围；【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）根据二次函数的性质判断的单调性，根据最值列出方程组解出，；（2）化简不等式，分离参数得在上恒成立，设，利用换元法得出在上的最小值即可得出的范围.试题解析：（1），因为，所以在区间上是增函数，故，解得．（2）由已知可得，所以可化为，化为，令，则，因，故，记，因为，故，所以的取值范围是．点睛：本题考查了二次函数的性质，函数最值的计算，函数恒成立问题研究，属于中档题；恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程.22.定义对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”.（1）已知二次函数,试判断是否为定义域上的“局部奇函数”若是，求出满足的的值；若不是，请说明理由；（2）若是定义在区间上的“局部奇函数”，求实数的取值范围.【答案】（1），“局部奇函数；（2）.【解析】试题分析：（1）若为“局部奇函数”，则根据定义验证条件是否成立即可；（2）利用局部奇函数的定义，求出使方程有解的实数的取值范围，可得答案.试题解析：（1）当，方程即，有解，所以为“局部奇函数”.（2）当时，可化为，因为的定义域为，所以方程在上有解.令,则，设，则在上为减函数，在上为增函数，（要证明），所以当时，，所以，即.考点：二次函数的性质.【方法点睛】本题主要考查新定义的应用，利用新定义，建立方程关系，然后利用函数性质进行求解是解决本题的关键，考查学生的运算能力.在该种题型中主要考查两个方面一是新定义判定的考查；二是新定义性质的考查，理解局部奇函数的定义，对按定义验证即可；在（2）中考查了局部奇函数的性质，将题意转化为在上有解的问题.。
2019-2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)_1
2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据题意先求出集合N，然后根据交集的定义求解即可.【详解】解：，又，所以.故选：C.【点睛】本题考查集合交集的运算，指数不等式求解，属于基础题.2.对于，下列说法中，正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则【答案】B【解析】【分析】对数函数真数大于0，所以A不成立；平方相等，M、N不一定相等，所以C不成立；当时，没有意义，所以D 不对；指数函数单调且定义域为R，则B成立，从而得出结果.【详解】解：A：当时，对数无意义，故A不正确；B：因为指数函数单调且定义域为R，所以若，则成立，故B正确；C：比如当时，有，但；故C 不正确；D：当时，没有意义，故D不正确.故选：B.【点睛】本题考查指对函数的定义域和运算性质，解题的关键是熟练掌握指对函数的基础知识，属于基础题.3.下列函数中，在区间上为增函数的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指对函数的性质可排除A、B，根据二次函数的性质可排除C，从而得出结果.【详解】解：A：在R上单调递减，故A不正确；B：定义域为且单调递减，故B不正确；C：对称轴为，且开口向下，在上单调递减，故C不正确；D：在上单调递增，故D正确.故选：D.【点睛】本题考查函数单调性的判断，解题的关键是牢记基本初等函数的单调性，属于基础题.4.若函数的图象恒过定点，则定点的坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】因为对数函数恒过定点，所以函数可以看成由函数向右平移一个单位得到，故而得到答案.【详解】解：因为函数的图像恒过定点，所以函数可以看成由函数向右平移一个单位得到，所以函数的图像恒过定点.故选：B.【点睛】本题考查了对数函数的图像与性质，以及函数图像间的平移变换，属于基础题.5.已知，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】容易得出，再根据对数函数性质将b化为与c同底的对数，即可比较出大小.【详解】解：，，，所以.故选：A.【点睛】本题考查指数与对数大小的比较，考查对数换底公式以及对数函数的单调性，属于基础题.6.函数的单调递增区间是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先考虑对数的真数取值大于；其次将函数拆成外层函数和内层函数，根据求复合函数单调性的法则：同増异减，判断出单调增区间；最后即可求得的单调增区间.【详解】由可得或∵在单调递增，而是增函数，由复合函数的同增异减的法则可得，函数的单调递增区间是，故选D.【点睛】复合函数单调性的判断方法：同増异减.（同：内外层函数单调性相同时，整个函数为增函数；异：内外层函数单调性不同时，整个函数为减函数）.7.已知函数g(x)＝1－2x，f[g(x)]＝(x≠0)，则f()等于( )A. 1B. 3C. 15D. 30【答案】C【解析】令1－2x＝，得x＝，∴f()＝＝15，故选C.8.已知函数、分别是定义在上的奇函数、偶函数，且满足，则（）A. B. C.D.【答案】D【解析】【分析】函数、分别是定义在上的奇函数、偶函数，且满足，可得，即，与联立求解即可解出.【详解】解：因为函数、分别是定义在上奇函数、偶函数，所以，即：，解得： .故选：D.【点睛】本题考查了函数的奇偶性，考查了学生的推理能力与计算能力，属于中档题.9.若函数是定义在上的偶函数，在上是减函数，且，则的解集为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意，由函数是定义在上的偶函数，又在上是减函数可得在上是增函数，因为，所以，结合函数的单调性可知的解为；的解为，等价于或，结合分析可得出结果.【详解】解：函数是定义在上的偶函数，又在上是减函数，则在上是增函数，且，所以有，所以的解为；的解为.等价于，等价于或所以不等式的解集为：.故选：D.【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，解题的关键是利用函数的单调性和奇偶性分析出函数的符号，属于中档题.10.函数的图象是( )A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根据对数函数的性质，求出函数的定义域，再很据复合函数的单调性求出f（x）的单调性，问题得以解决．【详解】因为x﹣＞0，解得x＞1或﹣1＜x＜0，所以函数f（x）=ln（x﹣）的定义域为：（﹣1，0）∪（1，+∞）．所以选项A、D不正确．当x∈（﹣1，0）时，g（x）=x﹣是增函数，因为y=lnx是增函数，所以函数f（x）=ln（x+）是增函数．故选：B．【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：（1）从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；（2）从函数的单调性，判断图象的变化趋势；（3）从函数的奇偶性，判断图象的对称性；（4）从函数的特征点，排除不合要求的图象.11.函数的定义域为，则实数k的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】函数的定义域为，等价于恒成立.该函数为二次型的函数，考虑和两种情况，，分情况求解即可求出结果.【详解】解：因为函数的定义域为，所以恒成立.令，当时，恒成立，符合题意.当时，，即解得：.故选：D.【点睛】本题考查函数定义域为R的问题，考查分类讨论的思想和二次函数的性质，属于基础题.12.已知函数,则方程的实数根的个数是（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】D【解析】【分析】函数,则方程等价于，或.再根据分析函数的单调性和值域，分析每一段上的解的个数，进而得出结果.【详解】解：因为函数,当时，，即不符合，舍去；当时，方程等价于，解得：或，，，又在上单调递减，且；在上单调递增，且.若，则无解，有两个解；若，则有一解，有两解，所以共有5解.故选：D.【点睛】本题考查函数与方程的应用，考查学生的分析与计算求解能力，解题的关键是对函数分段讨论求解，属于中档题.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若不等式的解集为则 ___________．【答案】【解析】对不等式移项、通分、化简、得到，求解不等式然后对解集求补集即可得到答案.【详解】解：等价于，即，解得：或，则.故答案为：.【点睛】本题考查分式不等式求解集，以及补集的运算，解题的关键是对不等式进行正确的变形，属于基础题.14.若，则．【答案】【解析】【详解】∵，∴，∴.考点：对数的计算15.幂函数在上为减函数，则的值为_______．【答案】【解析】根据幂函数的定义可知，又函数在上为减函数，可知，对求解即可.【详解】解：因为函数为幂函数，所以，解得：或.又在上为减函数，所以，即，所以.故答案为：0.【点睛】本题考查根据幂函数的定义和单调性求参数，解题的关键是熟记幂函数的定义和单调性，属于基础题.16.已知函数，．若对任意，总存在，使得成立，则实数的值为____．【答案】【解析】【分析】将问题转化为，根据二次函数和分式的单调性可求得在上的最小值和最大值及在上的最大值；分别讨论最大值小于零、最小值小于零且最大值大于零、最小值大于零三种情况，得到每种情况下的最大值，从而得到不等式，解不等式求得结果.【详解】不等式恒成立可转化为：当时，，当时，①若，即时，，解得：（舍）②若，即时，又，当，即时，，解得：（舍）当，即时，，解得：③若，即时，，解得：（舍）综上所述：本题正确结果：【点睛】本题考查恒成立和能成立综合应用的问题，关键是能够将不等式转化为两个函数最值之间的大小关系，从而根据函数的单调性求得函数的最值，通过最值的比较构造不等式求得结果.三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知集合.（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）求满足的集合的个数．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）16个.【解析】【分析】（Ⅰ），逐个分析集合B中的元素求解，然后代入检验即可. （Ⅱ）因为，，，所以集合M中必有-3，只需考虑剩余4个元素即可得到答案.【详解】（Ⅰ）显然,若则，，不符合题意,若则，，满足题意,所以 .（Ⅱ），，因为，所以集合M中必有-3，剩余4个元素：-4,0,1,2都有在与不在两种情况，所以个数为16个.【点睛】本题考查了交集、并集的定义和运算，元素与集合的关系，考查了子集的定义，子集个数的求法，属于基础题.18.计算：（Ⅰ）；（Ⅱ）.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .【解析】【分析】（Ⅰ）根据对数和指数的运算性质和运算律化简计算即可.（Ⅱ）根据指数运算性质和运算律化简即可得出结果.【详解】解：（Ⅰ）=== .（Ⅱ）.====【点睛】本题考查指数、对数的运算性质和运算律，考查学生的计算能力，属于基础题.19.已知函数 .（Ⅰ）求满足的实数的值；（Ⅱ）求时函数的值域．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .【解析】【分析】（Ⅰ）将看成一个整体，对进行化简得到先求解的值，再根据对数的运算解x即可.（Ⅱ），可知，化简可得，然后配方即可求出在的最大最小值，进而求得值域.【详解】（Ⅰ）,，,或（舍）,.（Ⅱ）令，.则当时，；当时，,所以的值域为 .【点睛】本题考查二次型函数已知值求自变量，以及二次函数已知自变量的范围求值域，考查了换元法的应用以及二次函数配方法求值域，考查了学生的计算能力，属于基础题.20.已知，函数.（1）求的定义域；（2）若在上的最小值为，求的值.【答案】（1）；（2） .【解析】【分析】（1）由题意，函数的解析式有意义，列出不等式组，即可求解函数的定义域；（2）由题意，化简得，设，根据复合函数的性质，分类讨论得到函数的单调性，得出函数最值的表达式，即可求解。
2019-2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)_41
2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）一、选择题（本大题共12小题）1.已知集合，，则A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】分别解出集合和集合，根据交集定义求得结果.【详解】，本题正确选项：【点睛】本题考查集合运算中的交集运算，属于基础题.2.命题“∀x∈Z，x∈R”的否定是（）.A. ,B. ,C. ,D. ,【答案】D【解析】【分析】直接利用全称命题的否定是特称命题写出结果即可．【详解】因为全称命题的否定是特称命题，所以命题：∀x∈Z，x∈R的否定是命题：∃x∈Z，x∉R．故选：D．【点睛】本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，属于基础题．3.若a＞b，则下列不等式一定成立的是（）.A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函数的单调性、不等式的基本性质即可判断出结论．【详解】a＞b，则与的大小关系不确定；由函数y=x5在R 上单调递增，∴a5＞b5；c=0时，ac2=bc2；取a=-1，b=-2，|a|＞|b|不成立．因此只有B成立．故选：B．【点睛】本题考查了函数的单调性、不等式的基本性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4.函数f（x）=的定义域为（）.A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数f（x）的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．【详解】函数f（x）=，满足，解得x≤3且x≠-1；所以函数f（x）的定义域为（-∞，-1）∪（-1，3]．故选：A．【点睛】本题考查了利用函数解析式求定义域的问题，是基础题．5.已知函数f（x+1）=x2-x+3，则f（x）=（）.A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令x+1=t，则x=t-1，然后代入可得f（t）=（t-1）2-（t-1）+3=t2-3t+5，即可求解．【详解】∵f（x+1）=x2-x+3，令x+1=t，则x=t-1，∴f（t）=（t-1）2-（t-1）+3=t2-2t+1-t+1+3=t2-3t+5，则f（x）=x2-3x+5．故选：C．【点睛】本题主要考查了利用换元法求解函数解析式，属于基础试题．6.设甲为“”，乙为“”，那么甲是乙的（）条件A. 充分非必要B. 必要非充分C. 充要D. 既非充分又非必要【答案】A【解析】【分析】对命题乙进行化简，然后由命题甲和命题乙的范围大小关系，得到答案.【详解】命题乙：，解得；命题甲：；显然命题甲的范围比命题乙的范围要小，故由命题甲可以推出命题乙，而由命题乙不能推出命题甲，所以甲是乙的充分非必要条件，故选：A.【点睛】本题考查解绝对值不等式，充分非必要条件，属于简单题.7.函数f（x）=2x2-5x-6有两个零点x1，x2（x1＜x2），则（）.A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用函数的零点判断定理，求解f（0），f（1），f （2），f（3），f（4），f（5）的函数值，即可推出结果．【详解】函数f（x）=2x2-5x-6，函数的对称轴为x=，函数f（x）=2x2-5x-6有两个零点x1，x2，可知x1＜＜x2，∴函数是连续函数，∵f（0）=-6＜0，f（1）=-9＜0，f（2）=-8＜0，f（3）=-3＜0，f（4）=12＞0，f（5）=19＞0，∴f（3）•f（4）＜0，根据函数的零点的判定定理可得：函数f（x）=2x2-5x-6的零点x2所在的区间是（ 3，4），故选：C．【点睛】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，二次函数的性质的应用，属于基础题．8.函数的部分图象大致为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先求得函数的定义域，然后判断出函数为奇函数，再用特殊值确定正确选项.【详解】首先函数的定义域为，且，所以函数为奇函数，图象应该关于原点对称，排除C和D，当时，，故A正确【点睛】本题考查函数的图象与性质，考查推理论证能力，属于基础题.9.已知集合A={x|-3≤x-1＜1}，B={-3，-2，-1，0，1，2}，若C⊆A∩B，则满足条件的集合C的个数是（）.A. 7B. 8C. 15D. 16【答案】D【解析】【分析】推导出C⊆A∩B={-2，-1，0，1}，由此能求出满足条件的集合C的个数．【详解】∵集合A={x|-3≤x-1＜1}={x|-2≤x＜2}，B={-3，-2，-1，0，1，2}，C⊆A∩B={-2，-1，0，1}，∴满足条件的集合C的个数是：24=16．故选：D．【点睛】本题考查满足条件的集合C的个数的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.已知函数f（x）=是R上的单调函数，则a的取值范围是（）.A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题利用分段函数单调性的性质求解，保证每一段的单调性及端点的大小满足要求．【详解】∵f（x）=是R上的单调函数，又y=-x2-1在（-∞，0）单调递增，∴f（x）在R上单调递增．∴a＞0且-02-1≤-a，∴0＜a≤1．故选：A．【点睛】本题考查了数形结合思想，及分段函数单调性的性质．属于基础题．11.设a＞2，b＞0，若a+b=3，则的最小值为（）.A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】根据题意，分析可得（a-2）+b=1，进而可得=（）×[（a-2）+b]=2+（+），结合基本不等式的性质分析可得答案．【详解】根据题意，若a+b=3，则（a-2）+b=1，则=（）×[（a-2）+b]=2+（+），又由a＞2，b＞0，则+≥2×=2，则=2+（+）≥4，即最小值为4；当，即时，等号成立。
2022-2023北京陈经纶中学高一(上)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年北京市陈经纶中学高一（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝{1，2，3，4，5}，若集合M 满足∁U M ＝{1，2}．则（ ）A ．2∈MB ．3∈MC ．4∉MD ．5∉M2．若实数a ，b ，c ∈R 且a ＞b ，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．a 2＞b 2B ．ac ＞bcC ．a b ＞1D ．a ﹣c ＞b ﹣c 3．全称命题“∀x ∈R ，x 2﹣x +14≥0”的否定是（ ）A ．∀x ∉R ，x 2﹣x +14＜0B ．∃x ∈R ，x 2﹣x +14＜0C ．∃x ∈R ，x 2﹣x +14≥0D ．∀x ∈R ，x 2﹣x +14＜0 4．下列函数中，是奇函数且在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ）A ．y ＝﹣x 2B ．y =x 12C ．y ＝x ﹣1D ．y ＝x 3 5．设函数f （x ）={−x ，x ≤0x 2，x ＞0．若f （a ）＝4，则实数a ＝（ ） A ．﹣4或﹣2 B ．﹣4或2C ．﹣2或4D ．﹣2或2 6．已知f （x ）是定义在[0，1]上的函数，那么“函数f （x ）在[0，1]上单调递增”是“函数f （x ）在[0，1]上的最大值为f （1）”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．如图是函数y ＝f （x ）的图象，f （f （2））的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．68．函数f （x ）=1−x 2x 3的图象可能是（ ）A．B．C．D．9．德国著名数学家、解析数论的创始人狄利克雷，对函数论、三角级数论等都有重要贡献．狄利克雷函数就是以其名字命名的函数，其解析式为D(x)={1，x为有理数0，x为无理数，则下列关于狄利克雷函数D（x）的判断错误的是（）A．对任意有理数t，D（x+t）＝D（x）B．对任意实数x，D（D（x））＝1C．D（x）既不是奇函数也不是偶函数D．存在实数x，y，D（x+y）＝D（x）+D（y）10．已知f（x）是定义域为R的单调函数，且对任意实数x，都有f[f（x）﹣x]＝4，则f（3）的值为（）A．3B．5C．7D．9二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．11．计算：64−23的值是．12．函数f（x）=√xx−1的定义域为．13．已知集合A＝{x|x﹣a≤0}，B＝{1，2，3}，若A∩B≠∅，则a的取值范围为．14．若函数f（x）＝x2+ax+1在区间[1，+∞）上单调递增，则f（﹣1）的取值范围是．15．若x＞1，则4x+1x−1的最小值是．16．设集合X是实数集R的子集，如果实数x0满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x﹣x0|＜a，称x0为集合X的聚点，则在下列集合中：①{x|x∈R，x≠0}；②{x∈Z|x≠0}；③{x|x=1n，n∈N∗}；④{x|x=nn+1，n∈N∗}，以0为聚点的集合有．三、解答题：本大题共5个小题，共70分．17．（12分）设全集U＝R，集合A＝{x|﹣1≤x＜3}，B＝{x|2x﹣4≥x﹣2}．（1）求∁U（A∩B）；（2）若集合C＝{x|2x+a＞0}，满足B∪C＝C，求实数a的取值范围．18．（14分）已知函数f（x）＝（ax﹣2）（x+1）．（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）在[0，2]上的最值；（Ⅱ）当a≤0时，求关于x的不等式f（x）＞0的解集．19．（14分）经观测，某公路段在某时段内的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千/小时）之间有函数关系：y=920vv2+3v+1600(v＞0)．（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？（精确到0.01千辆）；（2）为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？20．（15分）已知定义在[﹣1，1]上的奇函数f(x)=ax+bx2+1，且f(1)=12．（1）求a，b的值；（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并用定义证明之；（3）解关于实数t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．21．（15分）已知集合S＝{1，2，3，⋯，1000}，设A是S的至少含有两个元素的子集，对于A中的任意两个不同的元素x，y（x＞y），若x﹣y都不能整除x+y，则称集合A是S的“好子集”．（1）分别判断数集P＝{2，4，6，8}与Q＝{1，4，7}是否是集合S的“好子集”，并说明理由；（2）证明：若A是S的“好子集”，则对于A中的任意两个不同的元素x，y（x＞y），都有x﹣y≥3；（3）求集合S的“好子集”A所含元素个数的最大值．2022-2023学年北京市陈经纶中学高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的．1．设全集U ＝{1，2，3，4，5}，若集合M 满足∁U M ＝{1，2}．则（ ）A ．2∈MB ．3∈MC ．4∉MD ．5∉M解：∵全集U ＝{1，2，3，4，5}，又∁U M ＝{1，2}，∴M ＝{3，4，5}，故选：B ．2．若实数a ，b ，c ∈R 且a ＞b ，则下列不等式恒成立的是（ ）A ．a 2＞b 2B ．ac ＞bcC ．a b ＞1D ．a ﹣c ＞b ﹣c解：因为a ，b ，c 为实数，且a ＞b ，则a ﹣c ＞b ﹣c ，故D 正确，当a ＝﹣1，b ＝﹣2时，a 2＜b 2，a b =12＜1，故A ，C 错误，当c ＝0时，ac ＝bc ，故B 错误，故选：D ．3．全称命题“∀x ∈R ，x 2﹣x +14≥0”的否定是（ ）A ．∀x ∉R ，x 2﹣x +14＜0B ．∃x ∈R ，x 2﹣x +14＜0C ．∃x ∈R ，x 2﹣x +14≥0D ．∀x ∈R ，x 2﹣x +14＜0解：命题为全称命题，则全称命题“∀x ∈R ，x 2﹣x +14≥0”的否定是∃x ∈R ，x 2﹣x +14＜0，故选：B ．4．下列函数中，是奇函数且在区间（0，+∞）上单调递减的是（ ）A ．y ＝﹣x 2B ．y =x 12C ．y ＝x ﹣1D ．y ＝x 3解：A ．函数为偶函数，不满足条件．B ．函数的定义域为[0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件．C ．函数为奇函数，且当x ＞0时，y =1x 为减函数，满足条件．D ．函数为奇函数，当x ＞0时为增函数，不满足条件．故选：C ．5．设函数f（x）={−x，x≤0x2，x＞0．若f（a）＝4，则实数a＝（）A．﹣4或﹣2B．﹣4或2C．﹣2或4D．﹣2或2解：∵f（x）={−x，x≤0x2，x＞0，f（a）＝4，∴当a＞0时，f（a）＝a2＝4，解得a＝2或a＝﹣2（舍）；当a≤0时，f（a）＝﹣a＝4，解得a＝﹣4．∴a＝﹣4或a＝2．故选：B．6．已知f（x）是定义在[0，1]上的函数，那么“函数f（x）在[0，1]上单调递增”是“函数f（x）在[0，1]上的最大值为f（1）”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解：若函数函数f（x）在[0，1]上单调递增，由单调性的定义可知，此时函数f（x）在[0，1]上的最大值为f（1），即充分性成立；若函数f（x）在[0，1]上的最大值为f（1），则函数f（x）在[0，1]上不一定单调递增，比如函数f(x)=(x−14)2，故必要性不成立．综上，“函数f（x）在[0，1]上单调递增”是“函数f（x）在[0，1]上的最大值为f（1）”的充分不必要条件．故选：A．7．如图是函数y＝f（x）的图象，f（f（2））的值为（）A．3B．4C．5D．6解：由图象可得，当0≤x≤3时，y＝f（x）＝2x，∴f（2）＝4．当3＜x≤9时，由y﹣0=6−03−9（x﹣9），可得y＝f（x）＝9﹣x，故f（f（2））＝f（4）＝9﹣4＝5，故选：C ．8．函数f （x ）=1−x 2x 3的图象可能是（ ） A ． B ．C ．D ．解：函数f （x ）的定义域为{x |x ≠0}，又f （﹣x ）=1−(−x)2(−x)3=−1−x 2x 3=−f(x)，∴f （x ）为奇函数，排除B ，C ； 又f （12）=1−1418=6＞0，f （1）＝0，∴排除D ．故选：A ．9．德国著名数学家、解析数论的创始人狄利克雷，对函数论、三角级数论等都有重要贡献．狄利克雷函数就是以其名字命名的函数，其解析式为D(x)={1，x 为有理数0，x 为无理数，则下列关于狄利克雷函数D （x ）的判断错误的是（ ）A ．对任意有理数t ，D （x +t ）＝D （x ）B ．对任意实数x ，D （D （x ））＝1C ．D （x ）既不是奇函数也不是偶函数D ．存在实数x ，y ，D （x +y ）＝D （x ）+D （y ）解：A ：若x 为有理数，则x +t 为有理数，D （x ）＝D （x +t ）＝1，D （D （x ））＝D （1）＝1， 若x 为无理数，则x +t 为无理数，D （x ）＝D （x +t ）＝0，D （D （x ））＝D （0）＝1，AB 正确；若x 为有理数，则﹣x 为有理数，D （x ）＝D （﹣x ），若x 为无理数，﹣x 为无理数，D （x ）＝D （﹣x ），即D （x ）为偶函数，C 错误；当x ，y 无无理数且x +y 也为无理数时，D （x +y ）＝0，D （x ）+D （y ）＝0+0＝0，D 正确．故选：C ．10．已知f （x ）是定义域为R 的单调函数，且对任意实数x ，都有f [f （x ）﹣x ]＝4，则f （3）的值为（ ）A ．3B ．5C ．7D ．9解：由f [f （x ）﹣x ]＝4，且f （x ）是单调函数可知f （x ）﹣x 必是常数，设f （x ）﹣x ＝k （k 为常数），得f （x ）＝x +k ，且f （k ）＝k +k ＝4，解得k ＝2，∴f （x ）＝x +2，f （3）＝5．故选：B ．二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．11．计算：64−23的值是116 ． 解：原式=(26)−23=2﹣4=116． 故答案为116．12．函数f （x ）=√x x−1的定义域为 {x |x ≥0且x ≠1} ．解：要使函数有意义，则{x ≥0x −1≠0， 得{x ≥0x ≠1，即x ≥0且x ≠1， 即函数的定义域为{x |x ≥0且x ≠1}，故答案为：{x |x ≥0且x ≠1}．13．已知集合A ＝{x |x ﹣a ≤0}，B ＝{1，2，3}，若A ∩B ≠∅，则a 的取值范围为 [1，+∞） ． 解：∵集合A ＝{x |x ﹣a ≤0}＝{x |x ≤a }，B ＝{1，2，3}，A ∩B ≠∅，∴a ≥1，∴a 的取值范围为[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．14．若函数f （x ）＝x 2+ax +1在区间[1，+∞）上单调递增，则f （﹣1）的取值范围是 （﹣∞，4] ． 解：函数f （x ）＝x 2+ax +1对称轴为x =−a 2，∵函数f （x ）＝x 2+ax +1在区间[1，+∞）上单调递增，图象开口向上，∴−a 2≤1，解得a ≥﹣2，∵f （﹣1）＝2﹣a ，∴2﹣a ≤4，故f （﹣1）的取值范围是（﹣∞，4]．故答案为：（﹣∞，4]．15．若x ＞1，则4x +1x−1的最小值是 8 ．解：x ＞1，则4x +1x−1=4（x ﹣1）+1x−1+4≥2√4(x −1)⋅1x−1+4＝8，当且仅当4（x ﹣1）=1x−1即x =32时取等号，此时取得最小值8．故答案为：8．16．设集合X 是实数集R 的子集，如果实数x 0满足：对任意a ＞0，都存在x ∈X ，使得0＜|x ﹣x 0|＜a ，称x 0为集合X 的聚点，则在下列集合中：①{x |x ∈R ，x ≠0}；②{x ∈Z |x ≠0}；③{x|x =1n ，n ∈N ∗}；④{x|x =n n+1，n ∈N ∗}，以0为聚点的集合有 ①③ ．解：对于①，集合{x |x ∈R ，x ≠0}，对任意的a ＞0，都存在x =a 2（实际上任意比a 小的数都可以）， 使得0＜|x ﹣0|=a 2＜a ，∴0是集合{x |x ∈R ，x ≠0}的聚点；对于②，{x |x ∈Z ，x ≠0}，对于某个实数a ＞0，比如a ＝0.5，此时对任意的x ∈{x |x ∈Z ，x ≠0}，都有|x ﹣0|≥1，也就是说不可能0＜|x ﹣0|＜0.5，从而0不是{x |x ∈Z ，x ≠0}的聚点；对于③，{x |x =1n ，n ∈N *}，对任意的a ＞0，都存在n ＞1a ，即1n ＜a ， 使0＜|x ﹣0|=1n ＜a ，∴0是集合{x |x =1n ，n ∈N *}的聚点；对于④，{x |x =n n+1，n ∈N *}，n n+1=1−1n+1， ∴n n+1随着n 增大而增大， ∴n n+1的最小值为11+1=12，故当a ＜12时，即不存在x ，使得0＜|x ﹣0|＜a ， ∴0为聚点的集合有①③．故答案为：①③．三、解答题：本大题共5个小题，共70分．17．（12分）设全集U ＝R ，集合A ＝{x |﹣1≤x ＜3}，B ＝{x |2x ﹣4≥x ﹣2}．（1）求∁U （A ∩B ）；（2）若集合C ＝{x |2x +a ＞0}，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围．解：（1）由集合B中的不等式2x﹣4≥x﹣2，解得x≥2，∴B＝{x|x≥2}，又A＝{x|﹣1≤x＜3}，∴A∩B＝{x|2≤x＜3}，又全集U＝R，∴∁U（A∩B）＝{x|x＜2或x≥3}；（2）由集合C中的不等式2x+a＞0，解得x＞−12 a，∴C＝{x|x＞−12 a}，∵B∪C＝C，∴B⊆C，∴−12a＜2，解得a＞﹣4；故a的取值范围为（﹣4，+∞）．18．（14分）已知函数f（x）＝（ax﹣2）（x+1）．（Ⅰ）当a＝1时，求f（x）在[0，2]上的最值；（Ⅱ）当a≤0时，求关于x的不等式f（x）＞0的解集．解：（Ⅰ）当a＝1时，f(x)=(x−2)(x+1)=x2−x−2=(x−12)2−94，x∈[0，2]．在区间[0，12]上，f（x）单调递减；在(12，2]上，f（x）单调递增．所以，当x=12时，f(x)min=f(12)=−94；又f（0）＝﹣2，f（2）＝0＞﹣2，所以当x＝2时，f（x）max＝0；（Ⅱ）f（x）＞0，即（ax﹣2）（x+1）＞0，当a＝0时，得﹣2（x+1）＞0，x＜﹣1，解集为（﹣∞，﹣1）；当a≠0时，由（ax﹣2）（x+1）＝0，得x1=2a，x2＝﹣1，①a＜﹣2时，2a ＞−1，解集为(−1，2a)，②﹣2＜a＜0时，2a ＜−1，解集为(2a，−1)，③a＝﹣2时，2a=−1，解集为∅．19．（14分）经观测，某公路段在某时段内的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千/小时）之间有函数关系：y=920vv2+3v+1600(v＞0)．（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时车流量y最大？最大车流量为多少？（精确到0.01千辆）；（2）为保证在该时段内车流量至少为10千辆/小时，则汽车的平均速度应控制在什么范围内？解：（1）函数可化为y=920v+1600v+3≤92080+3=92083当且仅当v＝40时，取“＝”，即y max=92083≈11.08千辆，等式成立；（2）要使该时段内车流量至少为10千辆/小时，即使920vv2+3v+1600≥10，即v2﹣89v+1600≤0⇒v∈[25，64]20．（15分）已知定义在[﹣1，1]上的奇函数f(x)=ax+bx2+1，且f(1)=12．（1）求a，b的值；（2）判断f（x）在（0，1）上的单调性，并用定义证明之；（3）解关于实数t的不等式f（t﹣1）+f（t）＜0．解：（1）因为f（x）为奇函数，所以f(−x)=−ax+b(−x)2+1=−f(x)=−ax+bx2+1，整理得﹣ax+b＝﹣ax﹣b，解得b＝0，又因为f(1)=a1+1=12，解得a＝1，综上所述，a＝1，b＝0；（2）f（x）在（0，1）上单调递增，证明如下：∀x1＜x2∈（0，1），则f(x1)−f(x2)=x1x12+1−x2x22+1=x1(x22+1)−x2(x12+1)(x12+1)(x22+1)=(x1−x2)+x1x2(x2−x1)(x12+1)(x22+1)=(x1−x2)(1−x1x2)(x12+1)(x22+1)，∵x1＜x2，∴x1﹣x2＜0，又∵∀x1，x2∈（0，1），∴0＜x1x2＜1，即1﹣x1x2＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0∴f（x）在（0，1）上单调递增；（3）由f（x）是奇函数，不等式f（t﹣1）+f（t）＜0，即f（t﹣1）＜﹣f（t）＝f（﹣t），又f（x）在[﹣1，1]上是增函数，则﹣1≤t﹣1＜﹣t≤1，解得0≤t＜1 2．所以t的取值范围是[0，12 )．21．（15分）已知集合S＝{1，2，3，⋯，1000}，设A是S的至少含有两个元素的子集，对于A中的任意两个不同的元素x，y（x＞y），若x﹣y都不能整除x+y，则称集合A是S的“好子集”．（1）分别判断数集P＝{2，4，6，8}与Q＝{1，4，7}是否是集合S的“好子集”，并说明理由；（2）证明：若A是S的“好子集”，则对于A中的任意两个不同的元素x，y（x＞y），都有x﹣y≥3；（3）求集合S的“好子集”A所含元素个数的最大值．解（1）由于4﹣2＝2整除4+2＝6，所以集合P不是集合S的“好子集”；由于4﹣1＝3不能整除4+1＝5，7﹣1＝6不能整除7+1＝8，7﹣4＝3不能整除7+4＝11，所以集合Q是集合S的“好子集”；（2）（反证）首先，由于A是S“好子集”，所以x﹣y≠1，假设存在A中的任意两个不同的元素x，y（x＞y），使得x﹣y＝2，则x与y同为奇数或同为偶数，从而x+y是偶数，此时，x﹣y＝2能整除x+y，与A是S“好子集”矛盾，故若A是S的“好子集”，则对于A中的任意两个不同的元素x，y（x＞y），都有x﹣y≥3；（3）设集合A＝{a1，a2，a3，⋯，a n}（a1＜a2＜a3＜⋯＜a n）是集合S的一个“好子集”，令：a i+1﹣a i＝b i，（i＝1，2，3，…n﹣1），由（2）知b i≥3，（i＝1，2，3，…n﹣1）于是：a n﹣a1＝b1+b2+⋯+b n﹣1≥3（n﹣1）．从而：3（n﹣1）≤a n﹣a1≤1000﹣1＝999所以：n≤334．另一方面：取A＝{1，4，7，⋯，997，1000}（证明是好子集），此时集合A有334个元素，且是集合S的一个“好子集”，故集合S的“好子集”A所含元素个数的最大值为334．。
2019-2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)_2
2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）
一、选择题（共10个小题，每小题5分，合计50分，每题只有一个正确的选项。） 1.已知集合A=，B=|，则A∩B=（ ） A. B. {4,5} C. (-2,7) D. [4,6) 【答案】D 【解析】 分析】 利用集合的交集运算求解即可 【详解】解得集合A=，则A∩B=[4,6) 故答案选：D 【点睛】本题考查集合的交集运算，是基础题 2.若全集，则集合非空真子集共有 （ ） A. 16个 B. 14个 C. 32个 D. 30个 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出全集，再求出集合，根据定义求出的非空真子集个数即可 【详解】由题知，，又，所以集合，集合的非空真子集共有个 故答案选：B 【点睛】本题考查根据集合的补集求解具体集合，集合中非空真子集的个数的求法，若一个集合中元素个数有个，则子集的个数共有个，真子集个数共有个，非空真子集个数共有个 3.函数的定义域是（ ） A. (2,) B. (-∞,2)∪(2,3） C. (2,3）∪(3,+∞) D. (3,+∞) 【答案】C 【解析】 【分析】 先分别求出每个式子满足的限定条件，再求交集即可
【详解】由题知，解得的定义域是(2,3）∪(3,+∞) 故答案选：C 【点睛】本题考查具体函数定义域的求法，是基础题 4.已知函数在区间(2,6)上的值域是（ ） A. (6,8) B. [6,8] C. (6,9] D. (8,9] 【答案】C 【解析】 【分析】 根据定义域，先求出取值范围，再求出的取值范围即可 【详解】因为，所以，，，则 故答案选：C 【点睛】本题考查复合函数值域的求法，应采用由内至外的顺序，如，应先求的值域，再求的值域
5.已知函数，若，则 =（ ） A. -3,-1,1,3 B. -1,3 C. -3,1 D. -1,1 【答案】D 【解析】 【分析】 分区间讨论，令函数值为2算出的x进行检验即可 【详解】当时，若，解得或，则满足 当时，若，解得或，则满足 综上所述，若f(x)=2，则 x=-1，1 故答案选：D 【点睛】本题考查分段函数已知函数值求x得问题，是基础题型，需注意求解答案需满足在定义域内，避免错解 6.已知函数的图象过（1，0）与（5，0），则此函数的单调减区间为（ ） A. (-∞,3) B. (0,3) C. (3,5) D. (3,+∞) 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意将（1，0）与（5，0）代入函数表达式，求出解析式，再由二次函数的单调性和定义域求单减区间 【详解】将（1，0）与（5，0）代入函数得，函数的对称轴为，所以时，函数单调递减 故答案选：B 【点睛】本题考查二次函数待定系数法求解析式，给定区间内函数单调区间的求法，是基础题 7.已知定义在R上的偶函数，当时，，则当时，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 当时，，将代入的区间对应的表达式，表示出表达式，再利用偶函数性质化简即可 【详解】当时，，则，因为为偶函数，所以，所以当时， 故答案选：D 【点睛】本题考查分段函数解析式的求法，偶函数的性质，是基础题
2019-2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)_42
2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I（选择题）一、选择题（本题共计12小题，每题5分，共计60分）1.下列集合的表示法正确的是（）A. 实数集可表示为B. 第二、四象限内的点集可表示为C. 集合D. 不等式的解集为【答案】A【解析】【分析】根据集合的表示方法,一一分析选项正误即可.【详解】A.实数集是用R表示,所以A正确;B.第二､四象限内的点集可表示为,所以B错误;C.根据集合元素的互异性可知,不能有2个元素2,所以C错误;D.不等式的解集为,所以D错误;故选:A.【点睛】本题考查集合的含义与表示,属于基础题.2.若一个集合中的三个元素是的三边长，则一定不是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形【答案】D【解析】【分析】根据集合的互异性可知，进而可判定三角形不可能是等腰三角形．【详解】由集合的性质互异性可知：，所以一定不是等腰三角形.故选：D.【点睛】本题主要考查了三角形的形状判断以及集合的性质，解题的关键是对集合的性质互异性的熟练掌握, 属于基础题.3.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意知，故选B.【考点定位】本题考查集合的基本运算，属于容易题.4.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先分别化简集合,再求其并集.【详解】∵集合,,∴,故选:C.【点睛】本题考查集合的并集运算,涉及解不等式,属于简单题.5.下列各图中，可表示函数y＝f（x）的图象的只可能是（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的定义，依次分析选项中的图象是否存在一对多的情况，即可得答案．【详解】根据题意，对于A、C两图，可以找到一个x与两个y对应的情形；对于B图，当x=0时，有两个y值对应；对于D图，每个x都有唯一的y值对应．因此，D图可以表示函数y=f（x），故选D．【点睛】本题考查函数的定义，关键是理解函数的定义“每个x 都有唯一的y值对应”．6.设函数，则的值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】因为时，所以；又时，，所以故选A.本题考查分段函数的意义,函数值的运算.7.已知函数，则A. 是奇函数，且在R上是增函数B. 是偶函数，且在R上是增函数C. 是奇函数，且在R上是减函数D. 是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】分析：讨论函数的性质，可得答案.详解：函数的定义域为，且即函数是奇函数，又在都是单调递增函数，故函数在R上是增函数．故选A.点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.8.若函数是指数函数,则的值为( )A. 2B. -2C.D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数定义可得a﹣3＝1，a＞0，a≠1，先求出函数解析式，将x代入可得答案．【详解】解：∵函数f（x）＝（a﹣3）•ax是指数函数，∴a﹣3＝1，a＞0，a≠1，解得a＝8，∴f（x）＝8x，∴f（）2，故选D．【点睛】本题主要考查了指数函数的定义：形如y＝ax（a＞0，a≠1）的函数叫指数函数，属于考查基本概念．9.若函数满足,则的解析式是( )A. B.C D. 或【答案】B【解析】【详解】试题分析：设,故选B.考点：换元法求解析式10.函数的图象关于（）A. 轴对称B. 直线对称C. 坐标原点对称D. 直线对称【答案】C【解析】【分析】先判断出为奇函数,再根据奇函数的图象性质得出结论.【详解】∵为奇函数,且也为奇函数,故由函数奇偶性的性质:奇-奇奇,可知函数为奇函数,由奇函数图象的性质可得:函数的图象关于坐标原点对称,故选:C.【点睛】本题考查奇函数性质的应用,考查奇偶函数图象的对称性,属于基础题.11.设偶函数的定义域为R，当时，是增函数，则，，的大小关系是（）A. <<B. <<C. D.【答案】C【解析】【分析】由题可得在上为减函数,则有,再结合偶函数的性质,即可得出结论.【详解】∵偶函数的定义域为R,当时,是增函数,∴x∈(-∞,0)时,是减函数,∵为偶函数,∴.∵在上为减函数,且,∴,即,故选:C.【点睛】本题考查函数奇偶性及单调性的综合应用,难度不大.12.是定义在上是减函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意可知,在每一段区间上都要单调递减,并且在分段处,应有,据此列式求解即可.【详解】因为是定义在上是减函数,所以,求得,故选:A.【点睛】本题考查已知函数的单调性求参数问题,在分段函数中,除了每一段区间上都要单调递减外,在分段处也应满足递减的条件.卷II（非选择题）二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.已知，则 .【答案】24【解析】试题分析：令，；令，，令，令，考点：赋值法求抽象函数的函数值14.已知函数y＝f(x)是R上的增函数，且f(m＋3)≤f(5)，则实数m的取值范围是________．【答案】m≤2【解析】∵函数y＝f(x)是R上增函数，且f(m＋3)≤f(5)，∴m＋3≤5，∴m≤2故答案为m≤215.已知的定义域为，则的定义域为______.【答案】【解析】【分析】令,根据的定义域为,可得,即,解此不等式可得的定义域.【详解】的定义域为，.故答案为.【点睛】本题考查了复合函数定义域的求法,属于基础题.一般地,已知的定义域为 ,求的定义域,只需解不等式即可得.已知的定义域为,求的定义域,只需求在上的值域即可得.16.给出下列四个命题：①函数与函数表示同一个函数；②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；③函数的图象可由的图象向右平移1个单位得到；④若函数的定义域为，则函数的定义域为；⑤设函数是在区间上图象连续的函数，且，则方程在区间上至少有一实根．其中正确命题的序号是________．（填上所有正确命题的序号）【答案】③⑤【解析】【分析】根据函数的性质,一一分析命题正误即可.【详解】①函数的定义域为R,函数的定义域为,两函数的定义域不同,不是同一函数,故错误;②函数为奇函数,但其图象不过坐标原点,故错误;③将的图象向右平移1个单位得到的图象,故正确;④∵函数的定义域为,要使函数有意义,需,即,故函数的定义域为,故错误;⑤函数是在区间上图象连续的函数,,则方程在区间上至少有一实根,故正确;故答案为:③⑤.【点睛】本题考查函数的各项性质,涉及抽象函数以及函数的概念,图象变化,奇偶性判断等知识,需要学生牢固掌握基础知识并灵活运用.三、解答题（本题共计 6 小题，共计70分）17.求下列各式的值：（1）．（2）设，求的值．【答案】（1）89 （2）7【解析】【分析】(1)根据指数运算法则求解;(2)将变形为,即可得解.【详解】(1)原式; (2),.【点睛】本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算,难度不大.18. 已知A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|m≤x<1＋3m}．（1）当m＝1时，求A∪B；（2）若，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）或【解析】【详解】试题分析：（1）当时，得到集合，然后画数轴，得到;（2）第一步，求出，第二步，根据，讨论和两种情况，得到的取值范围．试题解析：（1）m＝1，B＝{x|1≤x<4}，A∪B＝{x|－1<x<4}．（2）＝{x|x≤－1或x>3}．当B＝，即m≥1＋3m时得，满足，当B≠时，要使成立，则解之得m>3．综上可知，实数m的取值范围是m>3或．考点：集合的关系与运算19.已知函数（1）求函数的定义域；（2）求的值；（3）求的值（其中且）.【答案】（1）且；（2）；（3）【解析】【分析】（1）要使函数有意义，则，由此能求出函数的定义域（2）由函数，能求出的值（3）由函数，能求出的值.【详解】（1）要使函数有意义则即且，∴函数的定义域为且（区间表示也可以）（2）∵函数，∴∴（3）∵函数，且，∴.【点睛】本题考查函数的定义域及函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用.20.已知函数（1）求的值；（2）求方程的解．【答案】（1）-2 （2）或【解析】【分析】(1)根据分段函数解析式求解;(2)分和两种情况解方程,最后取其并集.【详解】(1)函数∴,∴;(2)∵函数,∴当时,有,解得;当时,有,解得或(舍),∴的解为或.【点睛】本题考查分段函数的求值及应用,难度不大,答题注意检验.21.已知函数是定义在（-1，1）上的奇函数，且．（1）试求出函数的解析式；（2）证明函数在定义域内是单调增函数．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）由得，由得；（2）任取，，作差，分解因式，判断符号，得结论【详解】（1）由得，由得，所以（2）任取，即所以定义域内递增【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及函数的单调性，属于中档题.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），可得在已知区间上是增函数，可得在已知区间上是减函数.22.已知函数，（且）过点．（1）求实数a；（2）若函数，求函数的解析式；（3）在（2）的条件下，若函数，求在的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）将代入解析式，可构造方程求得的值；（2）根据解析式的变化原则可直接求得结果；（3）由（2）可得，采用换元法，可将函数化为，；分别在，和三种情况下，由二次函数性质得到函数单调性，进而确定最小值点，求得最小值，从而得到结果.【详解】（1）过点，即，解得：（2）由（1）知：，即（3）由（2）得：令，则①当时，在上单调递增②当时，在上单调递减，在上单调递增③当时，在上单调递减综上所述：【点睛】本题考查函数解析式的求解、与指数函数有关的二次函数型的最值的求解问题，关键是能够通过换元法将问题转化为二次函数最值的求解问题，从而根据对称轴的不同位置得到所求的最值；易错点是换元时忽略新变量的取值范围.2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息;2．请将答案正确填写在答题卡上;卷I（选择题）一、选择题（本题共计12小题，每题5分，共计60分）1.下列集合的表示法正确的是（）A. 实数集可表示为B. 第二、四象限内的点集可表示为C. 集合D. 不等式的解集为【答案】A【解析】【分析】根据集合的表示方法,一一分析选项正误即可.【详解】A.实数集是用R表示,所以A正确;B.第二､四象限内的点集可表示为,所以B错误;C.根据集合元素的互异性可知,不能有2个元素2,所以C错误;D.不等式的解集为,所以D错误;故选:A.【点睛】本题考查集合的含义与表示,属于基础题.2.若一个集合中的三个元素是的三边长，则一定不是（）A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰三角形【答案】D【解析】【分析】根据集合的互异性可知，进而可判定三角形不可能是等腰三角形．【详解】由集合的性质互异性可知：，所以一定不是等腰三角形.故选：D.【点睛】本题主要考查了三角形的形状判断以及集合的性质，解题的关键是对集合的性质互异性的熟练掌握, 属于基础题.3.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：由题意知，故选B.【考点定位】本题考查集合的基本运算，属于容易题.4.设集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先分别化简集合,再求其并集.【详解】∵集合,,∴,故选:C.【点睛】本题考查集合的并集运算,涉及解不等式,属于简单题.5.下列各图中，可表示函数y＝f（x）的图象的只可能是（）A. B.C D.【答案】D【解析】【分析】根据函数的定义，依次分析选项中的图象是否存在一对多的情况，即可得答案．【详解】根据题意，对于A、C两图，可以找到一个x与两个y对应的情形；对于B图，当x=0时，有两个y值对应；对于D图，每个x都有唯一的y值对应．因此，D图可以表示函数y=f（x），故选D．【点睛】本题考查函数的定义，关键是理解函数的定义“每个x都有唯一的y值对应”．6.设函数，则的值为( )A. B. C. D.【答案】A【解析】【详解】因为时，所以；又时，，所以故选A.本题考查分段函数的意义,函数值的运算.7.已知函数，则A. 是奇函数，且在R上是增函数B. 是偶函数，且在R上是增函数C. 是奇函数，且在R上是减函数D. 是偶函数，且在R上是减函数【答案】A【解析】分析：讨论函数的性质，可得答案.详解：函数的定义域为，且即函数是奇函数，又在都是单调递增函数，故函数在R上是增函数．故选A.点睛：本题考查函数的奇偶性单调性，属基础题.8.若函数是指数函数,则的值为( )A. 2B. -2C.D.【解析】【分析】根据指数函数定义可得a﹣3＝1，a＞0，a≠1，先求出函数解析式，将x代入可得答案．【详解】解：∵函数f（x）＝（a﹣3）•ax是指数函数，∴a﹣3＝1，a＞0，a≠1，解得a＝8，∴f（x）＝8x，∴f（）2，故选D．【点睛】本题主要考查了指数函数的定义：形如y＝ax（a＞0，a≠1）的函数叫指数函数，属于考查基本概念．9.若函数满足,则的解析式是( )A. B.C D. 或【答案】B【解析】【详解】试题分析：设,故选B.考点：换元法求解析式10.函数的图象关于（）A. 轴对称B. 直线对称C. 坐标原点对称D. 直线对称【答案】C【解析】先判断出为奇函数,再根据奇函数的图象性质得出结论.【详解】∵为奇函数,且也为奇函数,故由函数奇偶性的性质:奇-奇奇,可知函数为奇函数,由奇函数图象的性质可得:函数的图象关于坐标原点对称,故选:C.【点睛】本题考查奇函数性质的应用,考查奇偶函数图象的对称性,属于基础题.11.设偶函数的定义域为R，当时，是增函数，则，，的大小关系是（）A. <<B. <<C. D.【答案】C【解析】【分析】由题可得在上为减函数,则有,再结合偶函数的性质,即可得出结论.【详解】∵偶函数的定义域为R,当时,是增函数,∴x∈(-∞,0)时,是减函数,∵为偶函数,∴.∵在上为减函数,且,∴,即,故选:C.【点睛】本题考查函数奇偶性及单调性的综合应用,难度不大.12.是定义在上是减函数，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据题意可知,在每一段区间上都要单调递减,并且在分段处,应有,据此列式求解即可.【详解】因为是定义在上是减函数,所以,求得,故选:A.【点睛】本题考查已知函数的单调性求参数问题,在分段函数中,除了每一段区间上都要单调递减外,在分段处也应满足递减的条件.卷II（非选择题）二、填空题（本题共计 4 小题，每题 5 分，共计20分）13.已知，则 .【答案】24【解析】试题分析：令，；令，，令，令，考点：赋值法求抽象函数的函数值14.已知函数y＝f(x)是R上的增函数，且f(m＋3)≤f(5)，则实数m的取值范围是________．【答案】m≤2【解析】∵函数y＝f(x)是R上增函数，且f(m＋3)≤f(5)，∴m＋3≤5，∴m≤2故答案为m≤215.已知的定义域为，则的定义域为______.【答案】【解析】【分析】令,根据的定义域为,可得,即,解此不等式可得的定义域.【详解】的定义域为，.故答案为.【点睛】本题考查了复合函数定义域的求法,属于基础题.一般地,已知的定义域为 ,求的定义域,只需解不等式即可得.已知的定义域为,求的定义域,只需求在上的值域即可得.16.给出下列四个命题：①函数与函数表示同一个函数；②奇函数的图象一定通过直角坐标系的原点；③函数的图象可由的图象向右平移1个单位得到；④若函数的定义域为，则函数的定义域为；⑤设函数是在区间上图象连续的函数，且，则方程在区间上至少有一实根．其中正确命题的序号是________．（填上所有正确命题的序号）【答案】③⑤【解析】【分析】根据函数的性质,一一分析命题正误即可.【详解】①函数的定义域为R,函数的定义域为,两函数的定义域不同,不是同一函数,故错误;②函数为奇函数,但其图象不过坐标原点,故错误;③将的图象向右平移1个单位得到的图象,故正确;④∵函数的定义域为,要使函数有意义,需,即,故函数的定义域为,故错误;⑤函数是在区间上图象连续的函数,,则方程在区间上至少有一实根,故正确;故答案为:③⑤.【点睛】本题考查函数的各项性质,涉及抽象函数以及函数的概念,图象变化,奇偶性判断等知识,需要学生牢固掌握基础知识并灵活运用.三、解答题（本题共计 6 小题，共计70分）17.求下列各式的值：（1）．（2）设，求的值．【答案】（1）89 （2）7【解析】【分析】(1)根据指数运算法则求解;(2)将变形为,即可得解.【详解】(1)原式;(2),.【点睛】本题考查根式与分数指数幂的互化及其化简运算,难度不大.18. 已知A＝{x|－1<x≤3}，B＝{x|m≤x<1＋3m}．（1）当m＝1时，求A∪B；（2）若，求实数m的取值范围．【答案】（1）；（2）或【解析】【详解】试题分析：（1）当时，得到集合，然后画数轴，得到;（2）第一步，求出，第二步，根据，讨论和两种情况，得到的取值范围．试题解析：（1）m＝1，B＝{x|1≤x<4}，A∪B＝{x|－1<x<4}．（2）＝{x|x≤－1或x>3}．当B＝，即m≥1＋3m时得，满足，当B≠时，要使成立，则解之得m>3．综上可知，实数m的取值范围是m>3或．考点：集合的关系与运算19.已知函数（1）求函数的定义域；（2）求的值；（3）求的值（其中且）.【答案】（1）且；（2）；（3）【解析】【分析】（1）要使函数有意义，则，由此能求出函数的定义域（2）由函数，能求出的值（3）由函数，能求出的值.【详解】（1）要使函数有意义则即且，∴函数的定义域为且（区间表示也可以）（2）∵函数，∴∴（3）∵函数，且，∴.【点睛】本题考查函数的定义域及函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用.20.已知函数（1）求的值；（2）求方程的解．【答案】（1）-2 （2）或【解析】【分析】(1)根据分段函数解析式求解;(2)分和两种情况解方程,最后取其并集.【详解】(1)函数∴,∴;(2)∵函数,∴当时,有,解得;当时,有,解得或(舍),∴的解为或.【点睛】本题考查分段函数的求值及应用,难度不大,答题注意检验.21.已知函数是定义在（-1，1）上的奇函数，且．（1）试求出函数的解析式；（2）证明函数在定义域内是单调增函数．【答案】（1）（2）见解析【解析】【分析】（1）由得，由得；（2）任取，，作差，分解因式，判断符号，得结论【详解】（1）由得，由得，所以（2）任取，即所以定义域内递增【点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及函数的单调性，属于中档题.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号），可得在已知区间上是增函数，可得在已知区间上是减函数.22.已知函数，（且）过点．（1）求实数a；（2）若函数，求函数的解析式；（3）在（2）的条件下，若函数，求在的最小值．【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【分析】（1）将代入解析式，可构造方程求得的值；（2）根据解析式的变化原则可直接求得结果；（3）由（2）可得，采用换元法，可将函数化为，；分别在，和三种情况下，由二次函数性质得到函数单调性，进而确定最小值点，求得最小值，从而得到结果.【详解】（1）过点，即，解得：（2）由（1）知：，即（3）由（2）得：令，则①当时，在上单调递增②当时，在上单调递减，在上单调递增③当时，在上单调递减综上所述：【点睛】本题考查函数解析式的求解、与指数函数有关的二次函数型的最值的求解问题，关键是能够通过换元法将问题转化为二次函数最值的求解问题，从而根据对称轴的不同位置得到所求的最值；易错点是换元时忽略新变量的取值范围.。
2019-2020学年高一数学上学期期中试题(含解析)_26
2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题有四个选项，只有一个是正确的．1.已知集合则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用二次不等式解法求出集合A即可．【详解】A＝{x|（x﹣2）（x+1）＞0}＝{x|x＞2或x＜﹣1}，故选：B．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．2.下列函数在上是减函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二次函数，对数函数、反比例函数，一次函数的性质即可判断每个函数在（0，∞）上的单调性，从而找出正确选项．【详解】二次函数y＝x2+1在（0，+∞）上为增函数；对数函数在（0，+∞）上为增函数；反比例函数y在（0，+∞）上为减函数；一次函数y＝x+1在（0，+∞）上为增函数，；∴C正确．故选：C．【点睛】本题考查一次函数、二次函数、反比例函数的单调性，以及根据单调性的定义判断函数的单调性．3.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据函数的定义域就是使得式子有意义的x的取值所构成的集合，结合分式、偶次根式以及对数式的要求，列出相应的不等式组，最后求得结果.【详解】要使函数有意义，需要，解得，所以函数的定义域为，故选A.【点睛】该题考查的是有关函数定义域的问题，这里需要注意的是一定要把握好对应式子的要求，偶次根式要求被开方式大于等于零，分式要求分母不等于零，对数式要求真数大于零，属于简单题目.4.已知函数，那么的值为（）A. 9B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先判断自变量是属于哪个区间，再代入相应的解析式，进而求出答案．【详解】∵，∴2，而﹣2＜0，∴f（﹣2）＝3﹣2．∴．故选：B．【点睛】本题考查分段函数求值，正确理解分段函数在定义域的不同区间的解析式不同是解题的关键．5.若函数为R上奇函数，当时，，则的值为（）A. -1B. 2C. 3D. 1【答案】D【解析】【分析】由当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x．可得f（1），再由函数f（x）是R上的奇函数，可得f（﹣1）的值；【详解】解：∵当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x．∴f（1）＝12﹣2×1＝﹣1∵f（x）为R上的奇函数，∴f（﹣1）＝﹣f（1）＝1．故选：D【点睛】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，难度不大，属于基础题．6.函数（且）的图象经过的定点坐标是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由指数函数的定义可知，当指数为0时，指数式的值为1，故令指数x+2＝0，解得x＝-2，y＝1，故得定点（﹣2，1）．【详解】令x+2＝0，解得x＝﹣2，此时y＝a0＝1，故得（﹣2，1）此点与底数a的取值无关，故函数y＝ax+2（a＞0，且a≠1）的图象必经过定点（﹣2，1）故选：A．【点睛】本题考点是指数型函数，考查指数型函数过定点的问题．解决此类题通常是令指数为0取得定点的坐标．属于指数函数性质考查题．7.已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数与对数函数单调性得到a，b，c的取值范围，即得到它们的大小关系．【详解】解：由对数和指数的性质可知，故选D．【点睛】本题考查对数的性质，考查指数的性质，考查比较大小，在比较大小时，若所给的数字不具有相同的底数，需要找一个中间量，把要比较大小的数字用不等号连接起来．8.已知函数，则的解析式为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】将f（x+1）的解析式变成f（x+1）＝3（x+1）﹣2，这样便可得出f（x）的解析式．【详解】f（x+1）＝3x+1＝3（x+1）﹣2；∴f（x）＝3x﹣2．故选：C．【点睛】本题考查函数解析式的概念，将f[g（x）]中的x变成g（x）从而求f（x）解析式的方法，还可用换元法求解析式．9.已知，则函数和在同一坐标系中的图象只可能是图中的（）A. B. C.D.【答案】D【解析】试题分析:根据题意，由，函数在上为减函数，可排除选项A、C，又，则函数的图象是开口向下.故选D.考点：函数的解析式与图象.10.已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，若f（2）=﹣2，则满足f（x﹣1）≥﹣2的x的取值范围是（）A. （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B. （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C. [﹣1，﹣3]D. （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得若，即有，可得，解可得的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，偶函数在单调递增，且，可得，若，即有，可得，解可得：即的取值范围是；故选B．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是利用函数的奇偶性与单调性转化原不等式．11.已知函数在上是增函数，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据复合函数的单调性确定内层函数g（x）＝x2﹣ax-a的单调性及外层函数的单调性，列不等式求解即可【详解】已知函数在上是增函数，单调递减，则t＝x2﹣ax-a在单调递减，又t＝x2﹣ax-a>0在恒成立，故解得故选：C【点睛】本题考查对数复合函数的单调性，考查二次函数的单调性，注意“同增异减”法则的应用及定义域，是易错题12.若直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数的图像上；②P，Q关于原点对称，则称P，Q是函数的一对“友好点对”（点对P，Q与Q，P看作同一对“友好点对”）.已知函数若此函数的“友好点对”有且只有一对，则a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据原点对称的性质，求出当﹣4≤x＜0时函数关于原点对称的函数，条件转化函数f（x）＝logax，（x＞0）与y＝﹣|x﹣3|，（0＜x≤4），只有一个交点，作出两个函数的图象，利用数形结合结合对数函数的性质进行求解即可．【详解】当﹣4≤x＜0时，函数y＝|x+3|关于原点对称的函数为﹣y ＝|﹣x+3|，即y＝﹣|x﹣3|，（0＜x≤4），若此函数的“友好点对”有且只有一对，则等价为函数f（x）＝logax，（x＞0）与y＝﹣|x﹣3|，（0＜x≤4），只有一个交点，作出两个函数的图象如图：若a＞1，则f（x）＝logax，（x＞0）与y＝﹣|x﹣3|，（0＜x≤4），只有一个交点，满足条件，当x＝4时，y＝﹣|4﹣3|＝﹣1，若0＜a＜1，要使两个函数只有一个交点，则满足f（4）＜﹣1，即loga4＜﹣1，得a＜1，综上a＜1或a＞1，即实数a的取值范围是，故选：A．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，结合函数的对称性，转化为对称函数的相交问题是解决本题的关键．综合性较强第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用2B铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，在试题卷上作答无效．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13.已知集合，集合，若，则实数m＝ ___【答案】 -2【解析】【分析】推导出或，再利用集合中元素的互异性，即可求解.【详解】因为集合，且，所以或，截得或，当时，集合，满足题意；当时，集合，不满足集合元素的互异性，舍去，综上可知，.【点睛】本题主要考查了集合与集合的包含关系，以及集合中元素的性质，其中解答中根据集合之间的关系，列出相应的方程，求解的值，在根据集合中元素的互异性作出判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.14.函数在区间上的值域是______.【答案】【解析】【分析】根据函数单调性，从而求出函数的值域即可．【详解】在区间单调递减，则当时，当时，故值域为故答案为：【点睛】本题考查了函数的单调性应用，考查求函数的值域问题，是一道基础题．15.函数的单调增区间为．【答案】【解析】试题分析：，或，在时递减，在时递增，又单调递减，所以原函数的单调减区间是．考点：函数的单调性．【名师点晴】本题考查复合函数单调性，函数，，的值域为，且，则复合函数的单调性与的关系是：同增或同减时，是单调递增，当的单调性相反时，是单调递减．求函数的单调区间必先求函数的定义域，象本题由得或，然后在区间和上分别研究其单调性即可．16.已知常数，函数的图象经过点，．若，则______．【答案】6【解析】【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【详解】函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案为6【点睛】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，不能答在试卷上，请答在答题卡相应的方框内．17.计算：(1)(2)【答案】（1）；（2）1【解析】【分析】（1）利用分数指数幂运算求解（2）利用对数运算性质即可得出．【详解】（1）原式=（2）原式＝﹣3+log24＝﹣3+2＝﹣1+2＝1．【点睛】本题考查了指数与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，（1）用定义法证明在上是减函数；（2）求函数的解析式.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）在（0，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，利用定义法能证明（x）在（0，+∞）上是减函数．（2）当x＜0时，，由此能求出函数解析式．【详解】（1）当x＞0时，f（x）1，在（0，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝（1）﹣（1），∵0＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．（2）∵f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f（x）1∴当x＜0时，f（x）．故函数的解析式为点睛】本题考查减函数的证明，考查函数奇偶性的应用，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.设全集，已知集合，集合.（1）求；（2）若且,求实数的取值范围.【答案】（1）=；（2）（﹣∞，]．【解析】【分析】（1）由题意，利用补集的定义求；（2）利用集合的包含关系，讨论C是否是空集，从而求实数a的取值范围．【详解】（1）=（2）由（1）知，，又∵C⊆B；①当2a﹣1＜a，即a＜1时，C＝∅，成立；①当2a﹣1≥a，即a≥1时，解得1≤a，综上所述，a∈（﹣∞，]．【点睛】本题考查了集合的运算，同时考查了集合的包含关系的应用，注意空集的讨论与端点值，属于基础题．20.设函数,．（1）若,求取值范围；（2）求的最值，并给出最值时对应的的值.【答案】（1）；（2）当时，；当时，.【解析】【详解】试题分析：（1）由，利用对数函数单调性可得的取值范围；（2）由（1）可得，利用二次函数的单调性即可得出.试题解析：（1）.（2）由（1）可得，，可得，解得时，，当即时，.21.已知是奇函数.（1）求a的值；（2）试判断函数的单调性（不需证明）；（3）若对任意的,不等式恒成立，求实数k的取值范围.【答案】（1）a＝（2）单调递增；（3）k<-2．【解析】【分析】（1）由题意：是定义域为R的奇函数，则f（0）＝0即，求出a的值，再进一步验证；（2）函数f（x）是单调递增函数；（3）由（2）得，再分离参数求最值则可得答案．【详解】（1）由题意：是定义域为R的奇函数，∴f（0）＝0即，∴a＝．当a＝时，，，故a＝满足题意；（2）单调递增函数；（3）由（2）得等价于<﹣即令∴t2+t+k<0对任意t∈恒成立，则k >t2+t= ,解得：k>2即k<2．【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，函数恒成立问题，考查了函数的单调性，考查了分离参数解决恒成立问题，是中档题．22.已知函数，（且）（1）当m=2时，解不等式；（2）若0＜m＜1，是否存在，使在的值域为？若存在，求出此时m的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据对数的运算解不等式即可．（2）判断函数的单调性，得转化为在上有两个不等的根，分离参数求值域即可【详解】（1）当m=2时，，则，得则不等式解集为（2），单调递增，故当0＜m＜1，单调递减，若在的值域为，则且即在上有两个不等的根，即在上有两个不等的根，又令又，当且仅当等号成立，因与有两个不同交点，则故存在【点睛】本题考查了对数的性质及其运算以及不等式恒成立的问题，考查函数与方程的应用，熟练利用基本不等式求最值是关键，是中档题．2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．每小题有四个选项，只有一个是正确的．1.已知集合则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】利用二次不等式解法求出集合A即可．【详解】A＝{x|（x﹣2）（x+1）＞0}＝{x|x＞2或x＜﹣1}，故选：B．【点睛】本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件是解决本题的关键．2.下列函数在上是减函数的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据二次函数，对数函数、反比例函数，一次函数的性质即可判断每个函数在（0，∞）上的单调性，从而找出正确选项．【详解】二次函数y＝x2+1在（0，+∞）上为增函数；对数函数在（0，+∞）上为增函数；反比例函数y在（0，+∞）上为减函数；一次函数y＝x+1在（0，+∞）上为增函数，；∴C正确．故选：C．【点睛】本题考查一次函数、二次函数、反比例函数的单调性，以及根据单调性的定义判断函数的单调性．3.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】首先根据函数的定义域就是使得式子有意义的x的取值所构成的集合，结合分式、偶次根式以及对数式的要求，列出相应的不等式组，最后求得结果.【详解】要使函数有意义，需要，解得，所以函数的定义域为，故选A.【点睛】该题考查的是有关函数定义域的问题，这里需要注意的是一定要把握好对应式子的要求，偶次根式要求被开方式大于等于零，分式要求分母不等于零，对数式要求真数大于零，属于简单题目.4.已知函数，那么的值为（）A. 9B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先判断自变量是属于哪个区间，再代入相应的解析式，进而求出答案．【详解】∵，∴2，而﹣2＜0，∴f（﹣2）＝3﹣2．∴．故选：B．【点睛】本题考查分段函数求值，正确理解分段函数在定义域的不同区间的解析式不同是解题的关键．5.若函数为R上奇函数，当时，，则的值为（）A. -1B. 2C. 3D. 1【答案】D【解析】【分析】由当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x．可得f（1），再由函数f（x）是R上的奇函数，可得f（﹣1）的值；【详解】解：∵当x≥0时，f（x）＝x2﹣2x．∴f（1）＝12﹣2×1＝﹣1∵f（x）为R上的奇函数，∴f（﹣1）＝﹣f（1）＝1．故选：D【点睛】本题考查的知识点是函数奇偶性的性质，函数求值，难度不大，属于基础题．6.函数（且）的图象经过的定点坐标是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由指数函数的定义可知，当指数为0时，指数式的值为1，故令指数x+2＝0，解得x＝-2，y＝1，故得定点（﹣2，1）．【详解】令x+2＝0，解得x＝﹣2，此时y＝a0＝1，故得（﹣2，1）此点与底数a的取值无关，故函数y＝ax+2（a＞0，且a≠1）的图象必经过定点（﹣2，1）故选：A．【点睛】本题考点是指数型函数，考查指数型函数过定点的问题．解决此类题通常是令指数为0取得定点的坐标．属于指数函数性质考查题．7.已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据指数函数与对数函数单调性得到a，b，c的取值范围，即得到它们的大小关系．【详解】解：由对数和指数的性质可知，故选D．【点睛】本题考查对数的性质，考查指数的性质，考查比较大小，在比较大小时，若所给的数字不具有相同的底数，需要找一个中间量，把要比较大小的数字用不等号连接起来．8.已知函数，则的解析式为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】将f（x+1）的解析式变成f（x+1）＝3（x+1）﹣2，这样便可得出f（x）的解析式．【详解】f（x+1）＝3x+1＝3（x+1）﹣2；∴f（x）＝3x﹣2．【点睛】本题考查函数解析式的概念，将f[g（x）]中的x变成g（x）从而求f（x）解析式的方法，还可用换元法求解析式．9.已知，则函数和在同一坐标系中的图象只可能是图中的（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析:根据题意，由，函数在上为减函数，可排除选项A、C，又，则函数的图象是开口向下.故选D.考点：函数的解析式与图象.10.已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递增，若f（2）=﹣2，则满足f（x﹣1）≥﹣2的x的取值范围是（）A. （﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）B. （﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）C. [﹣1，﹣3]D. （﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）【答案】B【解析】【分析】根据题意，结合函数的奇偶性与单调性分析可得若，即有，可得，解可得的取值范围，即可得答案．【详解】根据题意，偶函数在单调递增，且，可得，若，即有，可得，解可得：即的取值范围是；故选B．【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性的综合应用，关键是利用函数的奇偶性与单调性转化11.已知函数在上是增函数，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先根据复合函数的单调性确定内层函数g（x）＝x2﹣ax-a的单调性及外层函数的单调性，列不等式求解即可【详解】已知函数在上是增函数，单调递减，则t ＝x2﹣ax-a在单调递减，又t＝x2﹣ax-a>0在恒成立，故解得故选：C【点睛】本题考查对数复合函数的单调性，考查二次函数的单调性，注意“同增异减”法则的应用及定义域，是易错题12.若直角坐标平面内的两点P，Q满足条件：①P，Q都在函数的图像上；②P，Q 关于原点对称，则称P，Q是函数的一对“友好点对”（点对P，Q与Q，P看作同一对“友好点对”）.已知函数若此函数的“友好点对”有且只有一对，则a的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据原点对称的性质，求出当﹣4≤x＜0时函数关于原点对称的函数，条件转化函数f（x）＝logax，（x＞0）与y＝﹣|x﹣3|，（0＜x≤4），只有一个交点，作出两个函数的图象，利用数形结合结合对数函数的性质进行求解即可．【详解】当﹣4≤x＜0时，函数y＝|x+3|关于原点对称的函数为﹣y＝|﹣x+3|，即y＝﹣|x﹣3|，（0＜x≤4），若此函数的“友好点对”有且只有一对，则等价为函数f（x）＝logax，（x＞0）与y＝﹣|x﹣3|，（0＜x≤4），只有一个交点，作出两个函数的图象如图：若a＞1，则f（x）＝logax，（x＞0）与y＝﹣|x﹣3|，（0＜x≤4），只有一个交点，满足条件，当x＝4时，y＝﹣|4﹣3|＝﹣1，若0＜a＜1，要使两个函数只有一个交点，则满足f（4）＜﹣1，即loga4＜﹣1，得a＜1，综上a＜1或a＞1，即实数a的取值范围是，故选：A．【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，结合函数的对称性，转化为对称函数的相交问题是解决本题的关键．综合性较强第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答．作图题可先用2B铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚，在试题卷上作答无效．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13.已知集合，集合，若，则实数m＝ ___【答案】 -2【解析】【分析】推导出或，再利用集合中元素的互异性，即可求解.【详解】因为集合，且，所以或，截得或，当时，集合，满足题意；当时，集合，不满足集合元素的互异性，舍去，综上可知，.【点睛】本题主要考查了集合与集合的包含关系，以及集合中元素的性质，其中解答中根据集合之间的关系，列出相应的方程，求解的值，在根据集合中元素的互异性作出判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.14.函数在区间上的值域是______.【答案】【解析】【分析】根据函数单调性，从而求出函数的值域即可．【详解】在区间单调递减，则当时，当时，故值域为故答案为：【点睛】本题考查了函数的单调性应用，考查求函数的值域问题，是一道基础题．15.函数的单调增区间为．【答案】【解析】试题分析：，或，在时递减，在时递增，又单调递减，所以原函数的单调减区间是．考点：函数的单调性．【名师点晴】本题考查复合函数单调性，函数，，的值域为，且，则复合函数的单调性与的关系是：同增或同减时，是单调递增，当的单调性相反时，是单调递减．求函数的单调区间必先求函数的定义域，象本题由得或，然后在区间和上分别研究其单调性即可．16.已知常数，函数的图象经过点，．若，则______．【答案】6【解析】【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a值．【详解】函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．则：，整理得：=1，解得：2p+q=a2pq，由于：2p+q=36pq，所以：a2=36，由于a＞0，故：a=6．故答案为6【点睛】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，不能答在试卷上，请答在答题卡相应的方框内．17.计算：(1)(2)【答案】（1）；（2）1【解析】【分析】（1）利用分数指数幂运算求解（2）利用对数运算性质即可得出．【详解】（1）原式=（2）原式＝﹣3+log24＝﹣3+2＝﹣1+2＝1．【点睛】本题考查了指数与对数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．18.已知函数是定义在上的偶函数，且当时，（1）用定义法证明在上是减函数；（2）求函数的解析式.【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）在（0，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，利用定义法能证明（x）在（0，+∞）上是减函数．（2）当x＜0时，，由此能求出函数解析式．【详解】（1）当x＞0时，f（x）1，在（0，+∞）上任取x1，x2，且x1＜x2，f（x1）﹣f（x2）＝（1）﹣（1），∵0＜x1＜x2，∴x2﹣x1＞0，x1x2＞0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．（2）∵f（x）是定义在R上的偶函数，且当x＞0时，f（x）1∴当x＜0时，f（x）．故函数的解析式为点睛】本题考查减函数的证明，考查函数奇偶性的应用，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.设全集，已知集合，集合.（1）求；（2）若且,求实数的取值范围.【答案】（1）=；（2）（﹣∞，]．【解析】【分析】（1）由题意，利用补集的定义求；（2）利用集合的包含关系，讨论C是否是空集，从而求实数a的取值范围．【详解】（1）=（2）由（1）知，，又∵C⊆B；①当2a﹣1＜a，即a＜1时，C＝∅，成立；①当2a﹣1≥a，即a≥1时，解得1≤a，综上所述，a∈（﹣∞，]．【点睛】本题考查了集合的运算，同时考查了集合的包含关系的应用，注意空集的讨论与端点值，属于基础题．20.设函数,．（1）若,求取值范围；（2）求的最值，并给出最值时对应的的值.【答案】（1）；（2）当时，；当时，.【解析】【详解】试题分析：（1）由，利用对数函数单调性可得的取值范围；（2）由（1）可得，利用二次函数的单调性即可得出.试题解析：（1）.（2）由（1）可得，，可得，解得时，，当即时，.21.已知是奇函数.（1）求a的值；（2）试判断函数的单调性（不需证明）；（3）若对任意的,不等式恒成立，求实数k的取值范围.【答案】（1）a＝（2）单调递增；（3）k<-2．【解析】【分析】（1）由题意：是定义域为R的奇函数，则f（0）＝0即，求出a的值，再进一步验证；（2）函数f（x）是单调递增函数；（3）由（2）得，再分离参数求最值则可得答案．【详解】（1）由题意：是定义域为R的奇函数，∴f（0）＝0即，∴a＝．当a＝时，，，故a＝满足题意；（2）单调递增函数；（3）由（2）得等价于<﹣即令∴t2+t+k<0对任意t∈恒成立，则k >t2+t= ,解得：k>2即k<2．【点睛】本题考查了函数奇偶性的应用，函数恒成立问题，考查了函数的单调性，考查了分离参数解决恒成立问题，是中档题．22.已知函数，（且）（1）当m=2时，解不等式；（2）若0＜m＜1，是否存在，使在的值域为？若存在，求出此时m的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据对数的运算解不等式即可．（2）判断函数的单调性，得转化为在上有两个不等的根，分离参数求值域即可【详解】（1）当m=2时，，则，得则不等式解集为（2），单调递增，故当0＜m＜1，单调递减，若在的值域为，则且即在上有两个不等的根，即在上有两个不等的根，又令又，当且仅当等号成立，因与有两个不同交点，则故存在【点睛】本题考查了对数的性质及其运算以及不等式恒成立的问题，考查函数与方程的应用，熟练利用基本不等式求最值是关键，是中档题．。
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1
状元考前提醒
拿到试卷：熟悉试卷
刚拿到试卷一般心情比较紧张，建议拿到卷子以后看看考卷一共
几页，有多少道题，了解试卷结构，通览全卷是克服“前面难题做不
出，后面易题没时间做”的有效措施，也从根本上防止了“漏做题”。
答题策略
答题策略一共有三点：1. 先易后难、先熟后生。先做简单的、
熟悉的题，再做综合题、难题。2. 先小后大。先做容易拿分的小题，
再做耗时又复杂的大题。3. 先局部后整体。把疑难问题划分成一系
列的步骤，一步一步的解决，每解决一步就能得到一步的分数。
立足中下题目，力争高水平
考试时，因为时间和个别题目的难度，多数学生很难做完、做对全部
题目，所以在答卷中要立足中下题目。中下题目通常占全卷的80%以上，
是试题的主要构成，学生能拿下这些题目，实际上就是有了胜利在握的心
理，对攻克高档题会更放得开。
确保运算正确，立足一次性成功
在答卷时，要在以快为上的前提下，稳扎稳打，步步准确，尽量
一次性成功。不能为追求速度而丢掉准确度，甚至丢掉重要的得分步
骤。试题做完后要认真做好解后检查，看是否有空题，答卷是否准确，
格式是否规范。
要学会“挤”分
考试试题大多分步给分，所以理科要把主要方程式和计算结果写在显
要位置，文科尽量把要点写清晰，作文尤其要注意开头和结尾。考试时，
每一道题都认真思考，能做几步就做几步，对于考生来说就是能做几分是
几分，这是考试中最好的策略。
检查后的涂改方式要讲究
发现错误后要划掉重新写，忌原地用涂黑的方式改，这会使阅卷老师看不
清。如果对现有的题解不满意想重新写，要先写出正确的，再划去错误的。有
的同学先把原来写的题解涂抹了，写新题解的时间又不够，本来可能得的分数
被自己涂掉了。考试期间遇到这些事，莫慌乱！
2
北京市陈经纶中学2019-2020学年高一数学上学期期中试题（含解
析）
(考试时间100分钟满分120分)
本试卷分为选择题（共50分）和非选择题（共70分）两部分
第一部分（选择题共40分）
一、选择题:本大题共10小题,每小题4分，共50分.在每小题列出的四个选项中,选出符
合题目要求的一项.
1.已知全集UR，能正确表示集合
1Mxx和02Nxx
关系的Venn图是
（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
判断两集合的包含关系，可得出正确选项.
【详解】Q集合
1Mxx，02Nxx
，MN，但
01MNxx
.
因此，能正确表示集合M、N关系Venn图为A选项.
故选：A.
【点睛】本题考查利用韦恩图表示集合，关键就是要判断出集合的包含关系，考查推理能力，
属于基础题.
2.命题“xR，
2
0x
”的否定是（）
3
A. xR，
20xB. xR，2
0x
C. xR，
20xD. xR，2
0x
【答案】B
【解析】
【分析】
由全称命题的否定可得出原命题的否定.
【详解】由全称命题的否定可知，命题“xR，
2
0x”的否定是“xR，20x
”.
故选：B.
【点睛】本题考查全称命题否定的改写，熟悉全称命题的否定是判断的关键，属于基础题.
3.函数lg1fxxx的定义域为（）
A. 0,1B. 0,1C. 0,1D.
0,1
【答案】B
【解析】
【分析】
根据偶次根式被开方数非负，对数的真数大于零，列出关于实数x的不等式组，解出即可得
出函数yfx的定义域.
【详解】由题意可得010xx，解得01x，因此，函数lg1fxxx的定义域
为0,1.
故选：B.
【点睛】本题考查函数定义域的求解，熟悉一些常见函数定义域的求解原则是解题的关键，
考查运算求解能力，属于基础题.
4.下列函数中，在1,1上单调递增的是（）
A. lnyxB.
1
y
x
C. xyeD.
3
yx
【答案】D
【解析】
【分析】
4
求出各选项中函数的定义域，并判断各选项中函数在1,1上的单调性，可得出正确选项.
【详解】对于A选项，函数lnyx的定义域为0,，不合乎题意；
对于B选项，函数
1
y
x
的定义域为0xx，不合乎题意；
对于C选项，函数xye在1,1上为减函数；
对于D选项，函数3yx在1,1上为增函数.
故选：D.
【点睛】本题考查函数单调性的判断，在判断时，还应求出函数的定义域，考查推理能力，
属于基础题.
5.已知a、b、Rc，ab，则下列不等式正确的是（）
A. acbcB.
2
0abc
C. 11abD.
22
ab
【答案】B
【解析】
【分析】
利用不等式的基本性质、特殊值法对各选项中不等式的正误进行判断.
【详解】对于A选项，当0c且ab，由不等式的性质可得acbc，A选项中的不等式
不正确；
对于B选项，当ab时，0ab，又
2
0cQ
，由不等式的性质可得20abc，B
选项中的不等式正确；
对于C选项，取1a，1b，则
11
ab
，C选项中的不等式不正确；
对于D选项，取1a，2b，则
22
ab
，D选项中的不等式不正确.
故选：B.
【点睛】本题考查不等式正误的判断，一般利用不等式的性质、比较法、函数单调性以及特
殊值法进行判断，考查推理能力，属于中等题.
6.若2313a，1323b，2323c，则（）
5
A. cabB. cbaC. acbD.
bac
【答案】C
【解析】
【分析】
利用指数函数23xy的单调性可得出b、c的大小关系，利用幂函数23yx在区间
0,上的单调性可得出a、c的大小关系，从而可得出a、b
、c的大小关系.
【详解】指数函数23xy减函数，所以，12332233，即bc，
幂函数23yx在区间0,上为增函数，所以，22331233，即ac.
因此，acb.
故选：C.
【点睛】本题考查指数幂大小的比较，考查了指数函数与幂函数单调性的应用，考查推理能
力，属于中等题.
7.设,abR且0ab，则1ab是
1
a
b
的（）
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意看命题“ab＞1”与“1ab＞”能否互推，然后根据必要条件、充分条件和充要条件
定义进行判断．
【详解】若“ab＞1”当a＝﹣2，b＝﹣1时，不能得到“1ab＞”，
若“1ab＞”，例如当a＝1，b＝﹣1时，不能得到“ab＞1“，
故“ab＞1”是“1ab＞”的既不充分也不必要条件，
故选D．