正比例函数

正比例函数教学目标：1、理解正比例函数与反比例函数的概念，知道函数图像的意义；会在平面直角坐标系中画出正比例函数与反比例函数的图像，理解正比例函数与反比例函数的图像。

2、直观认识正比例函数与反比例函数的性质，并能用数学语言表达，会用待定系数法确定它们的解析式，会解决简单的实际问题。

教学重点：正比例函数与反比例函数的图像与性质。

教学难点：画反比例函数的图像。

例1 已知y是x的正比例函数，它的图像经过点A（2，-4）、B （m，2）.求这个正比例函数的解析式和m的值。

（补充）下列各题两个变量之间的关系中，哪些是正比例关系？哪些是反比例关系？哪些都不是？（1）矩形的长a一定时，它的面积S和宽x。

（2）矩形的面积S一定时，它的长y和宽x。

（3）矩形的周长c一定时，它的长y和宽x。

（4）工程问题中，工作量a一定时，所需工作时间t和工作效率x。

（5）除法中，商Q一定时,被除数A和除数B。

（6）圆面积S和半径R。

（补充）已知函数122)2(-++=m m xm m y ，（1）如果y 是x 的正比例函数，求m 的值，并指出图象经过哪些象限；（2）如果y 是x 的反比例函数，求m 的值，并指出图象在哪些象限。

例2已知一个反比例函数的图像与正比例函数y=3x 的图像有一个公共点A （a ，6）,求这个反比例函数的解析式。

（补充）已知一个正比例函数和反比例函数x y 6-=的图象都经过点A ，且点A 的横坐标为-2，求这个正比例函数的解析式。

例3 已知函数xky =（k 为不等于零的常数），y 随x 的值的增大而减小，点A （3，k-2）在这个函数图像上，求k 的值。

(补充)在反比例函数xy 6=的图象上，到坐标平面原点O的距离等于11的点有多少个？9060x （分钟）O例4 甲乙两辆汽车沿同一公路同时从A 出发前往相距90千米的B 地，行驶过程中所行路程分别用21,y y 表示，它们与行驶时间x （单位：分钟）的函数关系如图所示。

（1）分别求出21,y y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域。

（2）分别求行驶了50分钟及80分钟时，两车之间相距的路程。

（补充）某装修工人要把白色涂料与绿色涂料按照它们的重量之比为2：5混合起来使用。

请设计一个图象，从图中能够由已知白色涂料重量的千克数查得与它混合的绿色涂料需要多少千克，或者由已知绿色涂料重量的千克数查得与它混合的白色涂料需要多少千克。

例5已知21y y y +=，1y 与（x-1）成反比例，2y 是x 的正比例函数，且当x=2时，41=y ，2=y 。

（1） 求y 关于x 的函数解析式；（2） 当3=x 时，求y 的值。

（补充）已知21y y y -=，1y 与x 成反比例，2y 与x-2成正比例，并且当x=1时，1-=y ；当x=3时，5=y 。

求y 关于x 的函数解析式。

例6 如图，已知直角△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=15°，CD 是AB 边上的高，点E 在边AB 或AB 的延长线上，用x 表示边AB 的长。

（1）设CD=y 1,求y 1关于x 的函数解析式，并写出函数定义域。

（2）如果△ACE 的面积为2，设AE=y 2，求y 2关于x 的函数解析式，并写出函数定义域。

（3） 画出（1）（2）两题中所得到的函数的图像。

BC复习目标：1、掌握正反比例函数图像及性质2、理解并会求函数的定义域3、熟练掌握正（反）比例函数的解析式4、会利用正反比例函数的性质解综合题 复习过程 一、课前练习1：1.下列函数中，y 是x 的反比例函数的为………………………………（ ） A y ＝－3x B y ＝2x+1 C y ＝2x1 D y ＝－x42. 函数y=(m-4)x332--m m 的图象是过一、三象限的一条直线，则 m =3．已知正比例函数图像y=kx 的图像经过（-2，-1），则其图像经过 象限4．函数y=kx (k ≠0)的图象经过点( 2 ,3),则k= ,当x>0时，y 随着x 的增大而5.下列函数，y 随x 的增大而减小的是………………………………（ ）A 、y=xB 、y=x 1C 、y=-x1D 、y=-x二、正反比例函数图像及性质1、求下列函数的定义域（1）y=2x －１ （2）y=21-x (3)y=12+x (4)y=31--x x2、已知等腰三角形的周长是16cm,写出底边y(cm)与腰长x(cm)的函数解析式，并写出定义域。

小结、常见函数的定义域（1）函数解析式为整式时，定义域为一切实数（2）函数解析式为分式时，定义域是使分母不等于0的实数；（3）函数解析式是无理式时，偶次根式的被开方数必须是非负数；奇次根式的定义域为一切实数（4）在实际生活中有意义。

三、例题讲解1．已知y-2与x 成正比例，且x=2时,y=4, ⑴求y 与x 之间的函数关系式⑵若点(m,2m+7), 在这个函数的图象上，求m 的值2．已知函数21y y y -=，1y 与x 成反比例，2y 与（2-x ）成正比例，当x =1时，y =1-，当x =3时，y =5，求当x =5时y 的值。

3、如图所示，在反比例函数图像上有一的点A ，A B ⊥X 轴，三角形AOB 的面积为10，求反比例函数的解析式.4、如图所示的双曲线是函数y=)0(≠k xk在第一象限内的图像，A （4，3）是图象上一点。

（1）求这个函数解析式（2）点P 是x 轴上一动点，当OAP ∆是直角三角形时，求P 点的坐标。

课后练习 一、填空题： 131-=x y 的自变1．函数量x 的取值范围是 。

2．如果函数x kx y +=是正比例函数，则k 的 取值范围是 。

3．已知函数2)1(m xm y -=是正比例函数，m = ；函数的图象经过象限；y 随x 的减少而 。

4．函数22-=k kxy 的图象是双曲线，且图象在二、四象限，则k = 。

5．反比例函数xk y 12+=在各自象限内，若y 随x 的减少而增加，那么k 的取值范围是 。

6．已知yyx 211-+=，把它改写成y =)(x f 的形式是 。

7．已知y 与﹣3x 成反比例，x 与z1成正比例，则y 与z 成 比例。

8．如果正比例函数)0(≠=k kx y 的自变量取值增加1，函数值相应地减少4，则k = 。

9．汽车油箱中有油40千克，行驶时每小时耗油4千克，油箱中剩油y （千克）与行驶时间t （小时）之间函数关系式为 ， 函数定义域为 。

10.如图，P 为反比例函数y=kx 的图象上的点，过P 分别向x 轴和y 轴引垂线，它们与两条坐标轴围成的矩形面积为2，这个反比例函数解析式为 。

二、选择题：11．下列函数中，y 随x 的增大而减少的函数是（ ）（A ）y =2x （B ）y =x 1 （C ）y =x1- （D ）y =x 2（x ＞0） 12．如果点A （1x ，1y ）、B （2x ，2y ）在反比例函数y =xk（k ﹤0）的图象上，如果1x ﹥2x ﹥0，则1y 与2y 的大小关系是（A ）1y ﹥2y （B ）1y ﹤2y （C ）1y =2y （D ）不能确定 三、解答题13．已知正比例函数和反比例函数的图象相交于点A （-3，4）和（3，a ）两点，求（1）这两个函数解析式；（2）a 的值14．已知双曲线y=kx 与直线x y 2-=交于A 、B 两点，B 点的纵坐标是4-求⑴双曲线的解析式⑵线段AB 的长这两个函数的解析式。

交点的横坐标是1，求中一个的图像有两个交点，其xk-2kx与反比例函数y y 15、已知正比例函数==16.如图，在直角坐标系中，O 为原点．点A 在第一象限，它的纵坐标是横坐标的3倍，反比例函数xy 12=的图象经过点A ．（1）求点A 的坐标；（2）如果经过点A 的一次函数图象与y 轴的正半轴交于点B ，且OB =AB正比例函数和反比例函数复习（二）复习目标：1、 掌握正反比例函数的应用2、 进一步会利用正反比例函数的性质解综合题 一、精选例题1．如图，在△AOB 中，AB=OB ，点B 在双曲线上，点A 的坐标为（2，0），A B O S =4，求点B 所在双曲线的函数解析式。

2．为了预防“流感”，某学校对教室采用“药熏”消毒法进行消毒．已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y 与x 成反比例（如图所示）．现测得药物4分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8毫克．请根据题中所提供的信息，解答下列问题： （1）求药物燃烧时，y 关于x 的函数解析式及定义域； （2）求药物燃烧完后，y 关于x 的函数解析式及定义域；（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于2毫克时，才能有效地杀灭空气中的病菌，那么此次消毒有效时间有多长？ 解：X3．已知在y= 8x(x>0)反比例函数的图象上有不重合的两点A 、B ，且A 点的纵坐标是2，B 点的横坐标为2，且A B ⊥OB ，CD ⊥OD ，求（1）双曲线的函数解析式；（2）△OAB 的面积；（3）△OAC 的面积。

4、 上海磁悬浮列车在一次运行中速度V （千米/小时）关于时间t （分钟）的函数图像如图，回答下列问题。

（1） 列车共运行了_______分钟（2） 列车开动后，第3分钟的速度是__________千米/小时。

（3） 列车的速度从0千米/小时加速到300千米/小时，共用了_________分钟。

（4） 列车从___________分钟开始减速。

t （分钟）0 1 2 3 4 5 6 7 8课后练习１、下列函数（ｘ是自变量）是反比例函数的是……………………………………（ ）（Ａ）ｙ＝22x（Ｂ）ｙ＝35-x（Ｃ）ｙ＝x23（Ｄ）ｙ＝x 1+1２、下列说法正确的是………………………………………………………………―（ ）（Ａ）等边三角形的面积与边长成反比例；（Ｂ）人的身高与体重成正比例；（Ｃ）车在行驶中，速度与时间成反比例；（Ｄ）面积为8平方厘米的长方形的长与宽成反比例３、下列函数中，ｙ随ｘ增大而增大的是……………………………………（ ）（Ａ）ｙ＝－3ｘ；（Ｂ）ｙ＝－x 2（ｘ＜0）；（Ｃ）ｙ＝x 2（ｘ＞0）；（Ｄ）ｙ＝－x5４、已知反比例函数ｙ＝xk（ｋ＞0）的图像经过点Ａ（x 1,y 1）、 B(x 2,y 2)、Ｃ（ｘ3，ｙ3），且x 1＜x 2＜０＜ｘ3 ，则y 1、、y 2、ｙ3 的大小关系是……………………………（ ） （Ａ）y 1、＜y 2＜ｙ3 ；（Ｂ）y 2、＜y 1＜ｙ3 （C ）y 3、＜y 1＜ｙ2（D ）y 3、＜y 2＜ｙ15．在同一平面内,如果函数x k y 1=与xk y 2=的图象没有交点,那么1k 和2k 的关系是……………………………………………………………………( ) (A) 1k ＞0,2k ＜0 (B ) 1k ＜0, 2k ＞0 (C ) 1k 2k ＞0 (D) 1k 2k ＜06、已知y=2y 1 －y 2 ，y 1与ｘ反比例，y 2与（ｘ－１）成正比例，且当ｘ＝2时，ｙ＝3；ｘ＝－1时，ｙ＝－6，求ｙ与ｘ之间的函数解析式7．已知直线y =kx 过点（-2，1），A 是直线y =kx 图象上的点，若过A 向x 轴作垂线，垂足为B ，且ABO S ∆=9，求点A 的坐标。