2 1次函数与正比例函数
函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)
函数知识点总结(掌握函数的定义、性质和图像)（一）正比例函数和一次函数1、正比例函数及性质一般地，形如y=kx(k 是常数，k≠0)的函数叫做正比例函数，其中k 叫做比例系数.注：正比例函数一般形式y=kx(k 不为零)①k 不为零②x 指数为1③b 取零当k>0时，直线y=kx 经过三、一象限，从左向右上升，即随x 的增大y 也增大；当k<0时，•直线y=kx 经它可以看⇔⎩⎨⎧>>00b k 直线经过第一、二、三象限⇔⎩⎨⎧<>00b k 直线经过第一、三、四象限 ⇔⎩⎨⎧><00b k 直线经过第一、二、四象限⇔⎩⎨⎧<<00b k 直线经过第二、三、四象限 注：y ＝kx+b 中的k ，b 的作用：1、k 决定着直线的变化趋势①k>0直线从左向右是向上的②k<0直线从左向右是向下的2、b决定着直线与y轴的交点位置①b>0直线与y轴的正半轴相交②b<0直线与y轴的负半轴相交（4）增减性：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x增大而减小.（5）倾斜度：|k|越大，图象越接近于y轴；|k|越小，图象越接近于x轴.（6）图像的平移：当b>0时，将直线y=kx的图象向上平移b个单位；当b<0时，将直线y=kx的图象向下平移b个单位..轴交点坐标为与（方法：联立方程组求x、y例题：已知两直线y＝x+6与y＝2x-4交于点P，求P点的坐标？7、直线y=k1x+b1与y=k2x+b2的位置关系（1）两条直线平行：k1=k2且b1≠b2（2）两直线相交：k1≠k2（3）两直线重合：k1=k2且b1=b2平行于轴（或重合）的直线记作.特别地，轴记作直线8、正比例函数与一次函数图象之间的关系一次函数y=kx ＋b 的图象是一条直线，它可以看作是由直线y=kx 平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.9、一元一次方程与一次函数的关系任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（a ，b 为常数，a ≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y=ax+b 确定它与x 轴的交点的横坐标的值.. （22b c x +的图（1（2）x 的反比例取值范围： ①k≠0;②在一般的情况下,自变量x 的取值范围可以是不等于0的任意实数;③函数y 的取值范围也是任意非零实数。
正比例函数及一次函数
，下列结论正确的是（ A. 函数图象必经过点（1，2） B．函数图象经过二、四象限 C． y 随 x 的增大而减小 D． y 随 x 的增大而增大
）
问题探究
如图所示，在同一直角坐标系中，正比例函数 y k1 x 、y k2 x、 y k3 x 、y k4 x的图象分别为 l1 、 l2 、 l3 、 l4 ，
待定系数法
待定系数法 y 正比例函数中只有一个待定系数 k ，故只要有一对 x ， 的值或一个非原点的点，就可以求得 k 值. 一次函数中有两个待定系数 k ，b ，需要两个独立条件 确定两个关于 k ，b 的方程，这两个条件通常为两个点或两 y 的值. 对x ，
待定系数法
1、根据函数的图象，求函数的解析式．
22Biblioteka 一次函数的性质3.已知一次函数 y 2m 4 x 3 n ． n 是什么数时，y 随 x 的增大而增大； （1）当m 、 n 是什么数时，函数图象经过原点； （2）当 m 、 （3）若图象经过一、二、三象限，求 m 、 n 的取值范围.
一次函数的性质 4.函数 y kx k (k 0) 在直角坐标系中的图象可能是（
1、为缓解用电紧张的矛盾，某电力公司制定了新的用 电收费标准，每月用电量(度)与应付电费(元)的关系 如图所示．根据图象求出与的函数关系式．
一次函数图像的应用
2.小高从家骑自行车去学校上学，先走上坡路到达点A，再走下 坡路到达点B，最后走平路到达学校C，所用的时间与路程的关 系如图所示.放学后，如果他沿原路返回，且走平路、上坡路、 下坡路的速度分别保持和去上学时一致，那么他从学校到家需 要的时间是( ) A.14分钟 B.17分钟 C.18分钟 D.20分钟
正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数
正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数【教学目标】1．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用；2．整理初中已学过的函数正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数，特别是二次函数；3．学会运用函数图象理解和研究函数的性质。
【教学重点】基础知识整理【教学难点】题型分类解析【教学方法】引导学生自主学习法教学过程：【知识回顾】1．正比例函数的定义是：；图象是：2．反比例函数的定义是：；图象是：3．一次函数的定义: ；图象是：4．二次函数解析式的三种形式：①一般式、②两根式、③顶点式5．二次函数的图象和性质，通常抓住以下三方面：①对称轴②单调性、③最值 .【基础练习】1．函数y=x2+bx+c(x≥0)是单调函数的充要条件是f x=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t ),则f(1)、f(2)、2．若函数()f(4)的大小关系是：3．关于x的不等式－mx2－8mx－21>0的解为：－7<x<－1则m的值为f x的顶点为(4,0)，且过点(0,2)，则4．二次函数()f(x)= ．5．两个不同函数()f x =x 2+ax+1和g(x)=x 2+x+a (a 为常数)定义域都为R ，若()f x 与g(x)的值域相同，则a= . 6．函数()f x =2x 2－mx+3当x∈(－∞,－1)时是减函数，当x∈(－1,＋∞)时是增函数，则f(2)= . 7．实系数方程20(0)ax bx c a ++=≠两实根异号的充要条件是 ，有两正根的充要条件是 ；有两负根的充要条件是 .8．已知二次函数21(0)y ax bx c a =++≠与一次函数2(0)y kx m k =+≠的图象相交于点(2,4),A B -（如图），则能使12y y >成立的x 的取值范围是_______．参考答案： 1． b≥ 02． f(2)<f(1)<f(4) 3． 34． 2)4(81-x5． 5-或16． 197． ;000;02121⎪⎩⎪⎨⎧>>+≥∆<x x x x ac ;0002121⎪⎩⎪⎨⎧><+≥∆x x x x(A （第8题）8． x<-2 ,x>8【典型例题】1．正比例函数、反比例函数、一次函数的图象、性质、应用 例1．已知正比例函数(21)y m x =-的图象上两点11(,)A x y 、22(,)B x y ，当12x x <时，有12y y >，那么m 的取值范围是_______． 答案：12m <例2．（1）已知函数)0()(<+=a xax x f ,请写出它的单调区间，你能画出它的简图吗？（2）请画出函数)0()(>+=a xax x f 的图象,并写出它的单调区间. 答案：（1）在)0,(-∞、),0(+∞上为增函数（2）),[],,(+∞--∞a a 增函数；],0(),0,[a a -减函数2．求二次函数的解析式例1．分别求满足下列条件的二次函数的解析式：①过点（0，2），（1，-1），（-2，20） ②过点（-1，0），（-4，0），（2，-36）③图象的顶点是(1,2)-，且经过原点答案：①2522+-=x x y ；②81022---=x x y ；③x x y 422--=例2．已知二次函数f(x)满足f(2)= -1，f(-1)= -1且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数．思维分析：恰当选择二次函数的解析式法一：利用一般式设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0)，由题意得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=+--=++84411242a bac c b a c b a 解得：⎪⎩⎪⎨⎧==-=744c b a ∴f(x)= - 4x 2+4x+7法二：利用顶点式∵f(2)= f(-1) ∴对称轴212)1(2=-+=x 又最大值是8 ∴可设)0(8)21()(2<+-=a x a x f ，由f(2)= -1可得a= - 47448)21(4)(22++-=+--=∴x x x x f法三：由已知f(x)+1=0的两根为x 1=2,x 2=-1，故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)即f(x)=ax 2-ax-2a-1,又84)12(482max=---=aa a a y 即得a= - 4或a=0(舍)∴f(x)= - 4x 2+4x+7例3．已知二次函数f(x)=ax 2+bx+c 满足下列条件：(1)图象过原点，(2)f(－x+2002)=f(x －2000)，(3)方程f(x)=x 有重根； 试确定此二次函数． 解：由(1)得：c=0,由(2)对称轴1220002002=-++-=x x x 可确定12=-ab， 由(3) f(x)=x 即ax 2+（b-1）x+c=0有重根 .2110)1(:))1(0(02-==∴=-==∆a b b c 从而得由x x x f +-=∴221)(3．二次函数在给定区间上的最值问题 例1．（1）已知f(x)=－x 2+2x+6, x∈［2,3］,求f(x)的最大（小）值；（2）已知f(x)=－x 2+5x+6, x∈［2,3］,求f(x)的最大（小）值． 答案：（1）大6，小3；（2）大449，小12；例2．已知f(x)=－x 2+ax+6, x∈［2,3］,求f(x)的最大值答案：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>-≤≤+<+=).6(,33);64(,424);4(,22)(2maxa a a a a a x f例3．已知y=f(x)=x 2－2x+3,当x ∈[t,t+1]时，求函数的最大值和最小值． 答案：32,2,12min 2max +-=+=>t t y t y t 时2,2,121min 2max =+=≤<y t y t 时 2,32,210min 2max =+-=≤<y t t y t 时2,32,02min 2max +=+-=≤t y t t y t 时例4．已知函数f(x)= －x 2+2ax+1－a 在0≤x ≤1时有最大值2，求a 的值． 思维分析：一般配方后结合二次函数图象对字母参数分类讨论 解：f(x)= -(x-a)2+a 2-a+1(0≤x ≤1),对称轴x=a 10 a<0时，121)0()(max -=∴=-==a a f x f20 0≤a≤1时)(25121)()(2max舍得±==+-==aaaafxf30 a>1时，22)1()(max=∴===aafxf综上所述：a= - 1或a=24．一元二次方程根的分布的讨论例1．已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0(1)若方程有两根，一根在区间（-1，0）内，另一根在区间（1，2）内，求m 的取值范围．(2)若方程两根在区间（0，1）内，求m的范围．思维分析：一般需从三个方面考虑①判别式Δ②区间端点函数值的正负③对称轴abx2-=与区间相对位置．解：设f(x)=x2+2mx+2m+1(1)由题意画出示意图216556)1(2)1(12)0(-<<-⇒⎪⎩⎪⎨⎧>+>=-<+=⇔mmffmf（2）2121100)1(0)0(0-≤<-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<-<>>≥∆⇔m m f f例2．方程k x x =-232在（－1，1）上有实根，求k 的取值范围． 分析：宜采用函数思想，求)11(23)(2<<--=x x x x f 的值域．答案：)25,169[-∈k5．函数应用题：例．某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租的车将会增加一辆，租出的车每辆需要维护费150元，未租的车每辆每月需要维护费50元， （1）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？思维分析：应用问题的数学建模，识模—建模—解模—验模 解：（1）当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为125030003600=-∴租出100-12=88辆。
《正比例函数与一次函数》知识点归纳
《正比例函数与一次函数》知识点归纳《正比例函数》知识点表达式：y=kx （心0的常数）图像：正比例函数y=kx的图像是：一条经过（0,0）和（1,说明：正比例函数y=kx的图像也叫做“直线y=kX'；性质特征：1、图像经过的象限：k>0时，直线过原点，在一、三象限；k<0时，直线过原点，在二、四象限；增减性及图像走向：k>0时，y随x增大而增大k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由高降低;，直线从左往右由低升高;1、y与x成正比例：y=kx （k工0）;2、y 与x+ a 成正比例：y=k（x + a）（k 工0）;3、y + a与x成正比例：y + a=kx （k工0）;4、y + a 与x+ b 成正比例：y + a= k（x + b）（k 工0）;《一次函数》知识点表达式：y=kx+b （心0, k, b为常数）注意：（1）k M0,自变量x的最高次项的系数为1 ；（2）当b=0时，y=kx，y叫x的正比例函数。
四、成正比例关系的几种表达形式：的直线;2、、图像:一次函数y=kx+b （k丰0, b丰0）的图像是：一条经过（」,0）和k （0, b）的直线。
说明：（1）一次函数y=kx+b （k工0, b工0）的图像也叫做“直线y=kx+b” ;（2）直线y=kx+b与x轴的交点坐标是：（-丄，0）；k直线y=kx+b与y轴的交点坐标是：（0，b）.三、性质特征：1、图像经过的象限：（1）、k>0, b>0时，直线经过一、二、三象限；（2）、k>0, b< 0时，直线经过一、三、四象限；（3）、k < 0,b>0时，直线经过一、二、四象限；（4）、k < 0, b < 0时，直线经过二、三、四象限；b/02、增减性及图像走向:k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低；k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高；3、一次函数y=kx+b （k工0, b工0）中“ k和b的作用”：（1）k的作用：k决定函数的增减性和图像的走向k>0时，y随x增大而增大，直线从左往右由高降低;k<0时，y随x增大而减小，直线从左往右由低升高;（2）I k I的作用：l k I决定直线的倾斜程度I k I越大，直线越陡，直线越靠近y轴，与x轴的夹角越大;I k I 越小，直线越平缓，直线越远离 y 轴，与x 轴的夹角越小；(3) b 的作用：b 决定直线与y 轴的交点位置b>0时，直线与y 轴正半轴相交(或与y 轴的交点在x 轴的上方)；b <0时，直线与y 轴负半轴相交(或与y 轴的交点在x 轴的下方)；(4) k 和b 的共同作用：k 和b 共同决定直线所经过的象限四、 直线的平移规律：直线y=kx+b 可以由直线y=kx 平移得到当b>0时，将直线y=kx :向上平移b 个单位得到直线y=kx+b ;当b < 0时，将直线y=kx :向下平移I b I 个单位得到直线y=kx+b ;五、 两条直线平行和垂直： 直线 m y=ax+b;直线n: y=cx+d(1)当a=c ， b M d 时，直线m//直线n,反之也成立；例如：直线y=2x+3与直线y=2x-5都与直线y=2x 平行。
19.2.2一次函数的图像和性质(1)
-3 -5 -7 …
比一比：正比例函数y=－2x与一次函数y=－ 2x+3 、y=－2x－3图象有什么异同点.
y 6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 o 1
y=－2x+3
2 3 4
5
6
x
y=－2x－3
-4
-5 -6
y=－2x
观察：比较上面三个函数的相同点与不同点，根 据你的观察结果回答下列问题： 直线 (1)这三个函数的图象形状都是＿＿＿，并且倾斜程 相同 度＿＿＿；
19.2.2一次函数（2） 一次函数的图像和性质
0
提问复习
1、什么叫正比例函数、一次函 数？它们之间有什么关系？
一般地，形如 y=kx（k是常数，k≠0） 的函数， 叫做正比例函数； 一般地，形如 y=kx+b(k,b是常数，k≠0) 的函数，叫 做一就变成了 y=kx ,所以说正 比例函数是一种特殊的一次函数。 2、正比例函数的图象是什么形状？ 正比例函数的图象是(
经过原点的一条直线
)
3、正比例函数 y=kx（k是常数，k≠0）中， k的正负对函数图象有什么影响?
y=kx 图 象
y
性 质
经过一、三象限 y随x增大而增大
K>0
y
x
K<0
x
经过二、四象限 y随x增大而减小
既然正比例函数是特殊的一次 函数，正比例函数的图象是直线， 那么一次函数的图象也会是一条直 线吗？ 它们图象之间有什么关系? 一次函数又有什么性质呢?
3、已知函数y=(m-2)x+n的图象经过一、二、 三象限． 求 : m、n的取值范围.
课内练习： 1.下列各点中,那些点在函数y=4x+1的图象上? 那些不在函数的图象上? (2, 9) (5,1) (-1,-3) (-0.5,-1) 2.若函数y=2x-3 的图象经过点(1,a) ,(b, 2) 两点, 则a= ,b= . 3.点已知M(-3, 4)在一次函数y=ax+1的 图象上,则a的值是 .
正比例函数及一次函数
解: （1）设B市调往C市x台，调往D市（6 – x）台， A市运往C市（10 – x）台，运往D市（2 + x）台. y = 300x + 500（6 – x） + 400（10 – x） + 800（2 + x） y = 200x + 8600 （0≤x≤6的整数）
解: （2）∵200x + 8600 ≤9000 ∴x≤2，∴x = 0，1，2 答：共有三种调运方案。
（3）∵y = 200x + 8600 （0≤x≤6的整数） ∴x = 0时，总运费最低为8600元。
【例】 某博物馆每周都吸引大量中外游客前来参观.如果 游客过多，对馆中的珍贵文物会产生不利影响.但同时考 虑到文物的修缮和保存费用问题，还要保证一定的门票收 入.因此，博物馆采取了涨浮门票价格的方法来控制参观 人数.在该方法实施过程中发现：每周参观人数与票价之 间存在着如图所示的一次函数关系.在这样的情况下，如 果确保每周4万元的门票收入，那么每周应限定参观人数 是多少?门票价格应是多少元?
2007中考
正比例函数及一次函数
我们把形如 y kx b k , b 是常数，k 0 ） （
的函数叫做一次函数．
当b＝０时，y 叫做 x 的正比例函数.
1、已知 y mx
m2 -8
-n+3则当m、n满足什么条件时：
①是一次函数。 ②是正比例函数，而且对于它的每一组非零的对应 值（x，y）有xy<0。
例、A市和B市分别有库存机器12台和6台，现决定 支援C市和D市分别是10台和8台，已知从A市 调运一台机器到C市和D市的运费分别为400元 和800元，从B市调运到C市和D市的运费分别 为300元和500元。 （1）设B市运往C市机器x台，求总运费y与x的函数解析式；
一次函数与正比例函数
函数教学目标：理解函数的概念，会求函数值本次学案余留的作业，请家长督促学生完成，并于下次课带来给老师检查。
家长签名： 1．函数的概念一般地，在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果给定一个x 值，相应地就确定了一个y 值，那么我们称y 是x 的函数．其中x 是自变量，当自变量取一个值时，另一个变量就有唯一确定的值与它对应，这也是我们判断两个变量是否构成函数关系的依据．辨误区 自变量与另一个变量的对应关系若y 是x 的函数，当x 取不同的值时，y 的值不一定不同．如：y ＝x 2中，当x ＝2，或x ＝－2时，y 的值都是4.【例1－1】 下列关于变量x ，y 的关系式：①x －3y ＝1；②y ＝|x |；③2x －y 2＝9.其中y 是x 的函数的是( )．A ．①②③B ．①②C ．②③D ．①②【例1－2】 已知y ＝2x 2＋4，(1)求x 取12和－12时的函数值；(2)求y 取10时x 的值．谈重点 函数中变量的对应关系 当自变量取一个值时，另一个变量就会有唯一的值与之相对应；当另一个变量取某一数值，则自变量并不一定有唯一的值与之相对应，所以另一个变量与自变量并不是一一对应的关系．2．函数关系式用来表示函数关系的等式叫做函数关系式，也称为函数解析式或关系表达式． 谈重点 函数关系式中的学问①函数关系式是等式．②函数关系式中指明了哪个是自变量，哪个是函数．通常等式右边的代数式中的变量是自变量，等式左边的一个字母表示函数．③函数的解析式在书写时有顺序性．例如，y ＝x ＋1是表示y 是x 的函数．若写成x ＝y －1就表示x 是y 的函数．也就是说：求y 与x 的函数关系式，必须是用只含变量x 的代数式表示y ，即得到的等式(解析式)左边只含一个变量y ，右边是含x 的代数式．3．自变量的取值范围(1)使函数有意义的自变量的全体取值叫做自变量的取值范围． (2)自变量的取值范围的确定方法：首先，要考虑自变量的取值必须使解析式有意义．当解析式是整式时，自变量的取值范围是全体实数；当解析式是二次根式时，自变量的取值范围是使被开方数不小于0的实数；当解析式中含有零整数幂或负整数指数幂时，自变量的取值应使相应的底数不为0；其次，当函数解析式表示实际问题时，自变量的取值还必须使实际问题有意义．【例3】 若等腰三角形的周长为50 cm ，底边长为x cm ，一腰长为y cm ，y 与x 的函数关系式为y ＝12(50－x )，则变量x 的取值范围是__________．4．函数的表示方法函数的表示方法一般有三种：列表法、图象法、解析法，以解析法应用较多．有的函数可以用三种方法中的任何一种来表示，而有的只能用其中的一种或两种来表示．(1)列表法：列一张表，第一行表示自变量取的各个值，第二行表示相应的函数值，这种表示函数关系的方法称为列表法．(2)图象法：通过建立平面直角坐标系，以自变量取的每一个值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出每一个点，由所有这些点组成的图形称为这个函数的图象，这种表示函数关系的方法称为图象法．(3)解析法：用式子表示函数关系的方法称为解析法，这样的式子称为函数的解析式．析规律函数的三种表示方法三种表示方法各有优缺点，应用时要视具体情况，选择适当的表示方法，或将三种方法结合使用．①列表法：优点是能明显地显现出自变量与对应的函数值，缺点是取值有限；②图象法：优点是形象、直观、清晰地呈现出函数的一些性质，缺点是求得的函数值是近似的；③解析法：优点是简明扼要、规范准确，并且可以根据解析式列表、画图象，进而研究函数的性质；缺点是有些函数无法写出解析式，只能列出表格或画出图象来表示．【例4】你一定知道乌鸦喝水的故事吧！一个紧口瓶中盛有一些水，乌鸦想喝，但是嘴够不着瓶中的水，于是乌鸦衔来一些小石子放入瓶中，瓶中水面的高度随石子的增多而上升，乌鸦喝到了水．但是还没解渴，瓶中水面就下降到乌鸦够不着的高度，乌鸦只好再去衔些石子放入瓶中，水面又上升，乌鸦终于喝足了水，哇哇地飞走了．如果设衔入瓶中石子的体积为x，瓶中水面的高度为y，下面能大致表示上面故事情节的图象是()．5.怎样判定函数关系(1)从关系式判定函数由函数的定义知道，在某个变化过程中，有两个变量x和y，对于x每一个确定的值，y都有且只有一个值与之对应，当x取不同的值时，y的值可以相等也可以不相等，但如果一个x 的值对应着两个不同的y 值，那么y 一定不是x 的函数．根据这一点，我们可以判定一个关系式是否表示函数．(2)从表格中判定函数 根据函数的定义知道，从表格中理解函数仍然是先看是否只有两个变量，再看对于变量x 每一个确定的值，y 是否都有唯一的值和它对应，也就是说x 若取相同的值，y 必须是相同的值．(3)从图象上判定函数根据函数的定义知道，每一个x 值只能对应唯一的一个y 值，因此要判断哪些图形表示的是函数，只要在所给的自变量的取值范围内任作一条垂直于x 轴的直线，若直线与所给图形只有一个交点，则说明这个图形表示的是函数，若交点不止一个，则一定不是函数．【例5－2】 下列表示y 是x 的函数图象的是( )．练习：一、选择题1.下列变量之间的关系中，具有函数关系的有（ ）①三角形的面积与底边 ②多边形的内角和与边数 ③圆的面积与半径④y =12-x 中的y 与xA.1个B.2个C.3个D.4个2.对于圆的面积公式S =πR 2,下列说法中，正确的为（ ） A.π是自变量 B.R 2是自变量 C.R 是自变量 D.πR 2是自变量3.下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ）A.y =x -2B.y =21-x C.y =24xD.y =2+x ·2-x4.已知函数y =212+-x x ,当x =a 时的函数值为1，则a 的值为（ ） A.3 B.－1 C.－3 D.15.某人从A 地向B 地打长途电话6分钟，按通话时间收费，3分钟内收2.4元，每加一分钟加收1元.则表示电话费y （元）与通话时间x (分)之间的函数关系正确的是（ ）二、填空题6.轮子每分钟旋转60转，则轮子的转数n与时间t(分)之间的关系是__________.其中______是自变量，______是因变量.7.计划花500元购买篮球，所能购买的总数n(个)与单价a（元）的函数关系式为______，其中______是自变量，______是因变量.8.某种储蓄的月利率是0.2%，存入100元本金后，则本息和y(元)与所存月数x之间的关系式为______.9.已知矩形的周长为24，设它的一边长为x,那么它的面积y与x之间的函数关系式为______.10.已知等腰三角形的周长为20 cm,则腰长y(cm)与底边x(cm)的函数关系式为______，其中自变量x的取值范围是______.三、解答题11.如图所示堆放钢管.(1)填表层数 1 2 3 (x)钢管总数（2）当堆到x层时，钢管总数如何表示？13.某市出租车起步价是7元（路程小于或等于2千米），超过2千米每增加1千米加收1.6元，请写出出租车费y（元）与行程x（千米）之间的函数关系式.14.一个小球由静止开始在一个斜坡上向下滚动，其速度每秒增加2 m/s ，到达坡底时小球的速度达到40 m/s.(1)求小球的速度v (m/s)与时间t (s)之间的函数关系式； （2）求t 的取值范围；（3）求3.5 s 时小球的速度；（4）求n (s)时小球的速度为16 m/s.2一次函数与正比例函数教学目标：理解一次函数与正比例函数的概念及关系，会求函数的解析式本次学案余留的作业，请家长督促学生完成，并于下次课带来给老师检查。
专题2一次函数的图象与性质-重难点题型(举一反三)(浙教版)(原卷版)
专题5.3 一次函数的图象与性质-重难点题型【浙教版】函数图像一次函数变为正比例函数，正比例函数是一次函数的特例。
）A．B．C．D．【变式1-1】函数y＝ax+b﹣2的图象如图所示，则函数y＝﹣ax﹣b的大致图象是（）A．B．C．D．【变式1-2】（2019•杭州）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），函数y1和y2的图象可能是（）A．B．C．D．【变式1-3】函数y＝|x﹣2|的图象大致是（）A．B．C．D．【题型2 正比例函数的图象】【例2】如图，三个正比例函数的图象分别对应函数关系式：①y＝ax，①y＝bx，①y＝cx，将a，b，c从小到大排列并用“＜”连接为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．c＜b＜a D．a＜c＜b【变式2-1】（2020秋•达川区期末）如图，四个一次函数y＝ax，y＝bx，y＝cx+1，y＝dx﹣3的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是（）A．b＞a＞d＞c B．a＞b＞c＞d C．a＞b＞d＞c D．b＞a＞c＞d【变式2-2】（2021秋•茂名期中）直线y＝2kx的图象如图所示，则y＝（k﹣2）x+1﹣k的图象大致是（）A．B．C．D．【变式2-3】（2021春•新田县期末）如图，直线l1①x轴于点（1，0），直线l2①x轴于点（2，0），直线l3①x轴于点（3，0），…直线l n①x轴于点（n，0）．函数y＝x的图象与直线l1，l2，l3，…，l n分别交于点A1，A2，A3，…，A n ；函数y ＝3x 的图象与直线l 1，l 2，l 3，…，l n 分别交于点B 1，B 2，B 3，…，B n ，如果①OA 1B 1的面积记的作S 1，四边形A 1A 2B 2B 1的面积记作S 2，四边形A 2A 3B 3B 2的面积记作S 3，…四边形A n ﹣1A n B n B n ﹣1的面积记作S n ，那么S 2021＝ ．．） C ．第一、三、四象限D ．第二、三、四象限【变式3-1】（2021•黄州区校级自主招生）已知过点（2，3）的直线y ＝ax +b （a ≠0）不经过第四象限，设s ＝a ﹣2b ，则s 的取值范围是（ ） A ．32≤s ＜6B ．﹣3＜s ≤3C ．﹣6＜s ≤32D ．32≤s ≤5【变式3-2】（2021春•忠县期末）已知一次函数y ＝（5﹣a ）x +a +1的图象不经过第四象限，且关于x 的分式方程102−x=2−axx−2有整数解，则满足条件的所有整数a 的和为（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9【变式3-3】（2021•渝中区模拟）若关于x 的一元一次不等式组{23x ＞x −14x +1≥a恰有3个整数解，且一次函数y ＝（a﹣2）x +a +1不经过第三象限，则所有满足条件的整数a 的值之和是（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．1【题型4 一次函数图象与系数的关系】【例4】（2021春•鄢陵县期末）已知A （x 1，y 1）、B （x 2，y 2）是一次函数y ＝（2﹣m ）x +3图象上两点，且（x 1﹣x 2）（y 1﹣y 2）＜0，则m 的取值范围为 ．【变式4-1】如图，平面直角坐标系中，若点A （3，0）、B （4，1）到一次函数y ＝kx +4（k ≠0）图象的距离相等，则k 的值为 ．【变式4-2】（2020•成都模拟）在平面直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝kx ﹣1（k ≠0）与直线x ＝﹣k ，y ＝﹣k 分别交于点A ，B ．直线x ＝﹣k 与y ＝﹣k 交于点C ．记线段AB ，BC ，AC 围成的区域（不含边界）为W ；横，纵坐标都是整数的点叫做整点．（1）当k ＝﹣2时，区域W 内的整点个数为 ； （2）若区域W 内没有整点，则k 的取值范围是 ． 【变式4-3】已知一次函数y ＝（6+3m ）x +（n ﹣2）．求（1）当m ，n 为何值时，y 值随x 的增大而减小，且与y 轴交点在x 轴下方？ （2）当m ，n 为何值时，此一次函数也是正比例函数？（3）当m ＝﹣1，n ＝﹣2时，设此一次函数与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，并求出①AOB 的面积（O 为坐标原点）【题型5 一次函数图象上点的坐标特征】 【例5】已知一次函数y ＝（6+3m ）x +（n ﹣2）．求（1）当m ，n 为何值时，y 值随x 的增大而减小，且与y 轴交点在x 轴下方？ （2）当m ，n 为何值时，此一次函数也是正比例函数？（3）当m ＝﹣1，n ＝﹣2时，设此一次函数与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，并求出①AOB 的面积（O 为坐标原点）【变式5-1】如图，直线y ＝2x +3与x 轴相交于点A ，与y 轴相交于点B ．（1）求①AOB 的面积；（2）过B 点作直线BP 与x 轴相交于P ，①ABP 的面积是92，求点P 的坐标．【变式5-2】如图，直线y ＝kx +6与x 轴y 轴分别相交于点E ，F ．点E 的坐标（8，0），点A 的坐标为（6，0）．点P （x ，y ）是第一象限内的直线上的一个动点（点P 不与点E ，F 重合）． （1）求k 的值；（2）在点P 运动的过程中，求出①OP A 的面积S 与x 的函数关系式． （3）若①OP A 的面积为278，求此时点P 的坐标．【变式5-3】（2021春•青县期末）如图，直线y ＝﹣x +10与x 轴、y 轴分别交于点B ，C ，点A 的坐标为（8，0），P （x ，y ）是直线y ＝﹣x +10在第一象限内一个动点．（1）求①OP A 的面积S 与x 的函数关系式，并写出自变量的x 的取值范围； （2）当①OP A 的面积为10时，求点P 的坐标．【题型6 一次函数图象与几何变换】【例6】已知一次函数y ＝kx +b 的图象过点A （﹣4，﹣2）和点B （2，4） （1）求直线AB 的解析式；（2）将直线AB 平移，使其经过原点O ，则线段AB 扫过的面积为 ．【变式6-1】若直线y＝kx+3与直线y＝2x+b关于直线x＝1对称，则k、b值分别为（）A．k＝2、b＝﹣3B．k＝﹣2、b＝﹣3C．k＝﹣2、b＝1D．k＝﹣2、b＝﹣1【变式6-2】（2018春•沙坪坝区校级期末）如图：一次函数y=13x+2交y轴于A，交y＝3x﹣6于B，y＝3x﹣6交x轴于C，直线BC顺时针旋转45°得到直线CD．（1）求点B的坐标；（2）求四边形ABCO的面积；（3）求直线CD的解析式．【变式6-3】（2018•沙坪坝区模拟）如图，正比例函数y＝kx（k≠0）的图象过点A（2，﹣3）．直线y＝x+b沿y 轴平行移动，与x轴、y轴分别交于点B、C，与直线OA交于点D．（1）若点D在线段OA上（含端点），求b的取值范围；（2）当点A关于直线BC的对称点A'恰好落在y轴上时，求①OBD的面积．。
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解：(1)y甲＝0.5x＋1000，y乙＝0.6x (2)当y甲＝8400时，得0.5x＋1000＝8400，解得x＝14800； 当y乙＝8400时，得0.6x＝8400，解得x＝14000， 所以选择甲印刷厂印刷的作业本本数多一些
10. 某市为了鼓励居民节约用电，采用分段计费的方法按月计算每户家庭的 电费，月用电量不超过200度时，按0.55元/度计费；月用电量超过200度时， 其中的200度仍按0.55元/度计费，超过部分按0.70元/度计费．设每户家庭月用 电量为x度时，应交电费y元．
3. (深圳模拟)若2y＋1与x－5成正比例，则( A) A．y是x的一次函数 B．y与x没有函数关系 C．y是x的函数，但不是一次函数 D．y是x的正比例函数
4. 汽车离开甲站10千米后，以60千米/时的速度匀速前进了t小时， 则汽车离开甲站所走的路程s(千米)与时间t(小时)之间的关系式是(A ) A．s＝10＋60t B．s＝60t C．s＝60t－10 D．s＝10－60t
解：(1)12 cm (2)质量x每增加1 kg，弹簧长度增加0.5 cm (3)y＝12＋0.5x，是一次函数 (4)当x＝10时，y＝12＋0.5×10＝17(cm)
1. 下列函数中，是一次函数的是( C )
A．y＝3x
B．y＝x2＋3
C．y＝3x－1 D．y＝x＋1 1
2. 若 y＝x＋2－b 是正比例函数，则 b 的值是( D) A．－2 B．0.5 C．0 D．2来自北师版第四章 一次函数
2 一次函数与正比例函数
若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数，k≠__0__)的 形式，则称y是x的一次函数．特别地，当_b_＝__0_时，称y是x的正比例函数．
【典例导引】 【例1】 已知函数y＝(m－3)x＋m2－9. (1)当m为何值时，此函数是正比例函数？ (2)当m为何值时，此函数是一次函数？
4
…
50＋20 …
6.
已知一次函数
y＝2x－1，当
x＝0
时，y＝_－__1；当
y＝0
1 时，x＝_2__.
7. (广州期末)已知等腰三角形周长为 20，则底边长 y 关于腰长 x 的函数 关系式是_y_＝__2_0_－__2_x，写出自变量的取值范围_5_<__x_<_1_0_.
8. 下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成：
【变式训练】
1. 下列函数关系式：①y＝－x；②y＝2x＋11；③y＝x2＋x＋1；④y＝－3x， 其中一次函数的个数是( B ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
2. (佛山期末)下列变量之间的变化关系不是一次函数的是( B ) A．圆的周长和它的半径 B．圆的面积和它的半径 C．2x＋y＝5中的y和x D．正方形的周长C和它的边长a
x(kg) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 y(cm) 12 12.5 13 13.5 14 14.5 15 15.5 16
根据上述对应值回答： (1)弹簧不挂物体时的长度是多少？ (2)当所挂物体的质量x每增加1 kg，弹簧长度如何变化？ (3)求弹簧总长y(cm)与所挂物体质量x(kg)的函数关系式，并指出是什么函数？ (4)当所挂物体的质量为10 kg时，弹簧的长度是多少？
【典例导引】 【例2】 一个小球由静止开始从一个斜坡上向下滚动， 其速度每秒增加2 m，到达斜坡底时，小球的速度达到40 m/s，求： (1)小球速度v(m/s)与时间t(s)之间的函数表达式； (2)求t的取值范围； (3)当t＝3.5 s时，小球的速度； (4)几秒时小球的速度为16 m/s? 解：(1)v＝2t (2)0≤t≤20 (3)7 m/s (4)t＝8 s
通过观察可以发现：第4个图形中，火柴棒有_1_3__根，第n个图形中， 火柴棒有__3_n_＋__1__根，若用y表示火柴棒的根数，x表示正方形的个数， 则y与x的函数表达式是y_＝__3_x_＋__1___，y是x的_一__次__函数．
三、解答题 9.某中学要印刷一批作业本，要求作业本的封面设计能体现学科特 点．甲印刷厂提出，每个作业本收0.5元的印刷费，另加1000元的封面设计 费；乙印刷厂提出，每个作业本收0.6元的印刷费，不收封面设计费． (1)分别写出甲、乙两厂的收费y甲(元)，y乙(元)与印刷数量x(本)之间的函 数表达式； (2)如果学校有8400元经费用于印制这批作业本，通过计算说明选择哪家 印刷厂印刷的作业本本数多一些．
5. 一种树苗的高度用h表示，树苗生长的年数用k表示， 测得的有关数据如下表(树苗原高50 cm)： 则用年数k表示树苗高度h的公式是( C) A．h＝50k＋5 B．h＝50＋5(k－1) C．h＝50＋5k D．h＝50(k－1)＋5
年数k 高度h/cm
1 50＋5
2 50＋10
3 50＋15
【方法点拨】 列关系式的步骤：(1)认真分析，理解题意；(2)同列方程解应 用题的思路一样，先找出等量关系；(3)写出关系式；(4)注意自变量的取值 范围．对于实际问题，自变量的取值改变，有时关系式也随之改变．
【变式训练】 3. 弹簧挂上物体后会伸长，测得某一弹簧的长度y(cm)与悬挂物体的质量x(kg) 有下面一组对应值．
(1)分别求出0≤x≤200和x>200时，y与x的函数表达式； (2)小明家5月份交纳电费117元，小明家这个月用电多少度？ 解：(1)当0≤x≤200时，y＝0.55x；当x>200时，y＝0.7x－30 (2)因为200×0.55＝110，而117>110，所以x>200， 由0.7x－30＝117得x＝210，即小明家这个月用电210度