考研高数：利用对称性求定积分
高等数学A(1)复习资料精选全文
可编辑修改精选全文完整版高数A （1）复习资料一、极限计算：常用方法包括等价无穷小替换，洛必达法则，两个重要极限。
解题思路：首先判断是否为未定式，否则化成未定式类型（特别注意幂指函数情形利用对数函数性质转化；加减法类型一般通分；如果无穷多项相加则要先求和，如果不能直接求和可能需要利用夹逼准则放缩后后再求和；），对于未定式类型先考虑利用等价无穷小替换后再利用洛必达法则。
注意：函数中如果出现幂指函数类型也可以考虑直接利用第二个重要极限处理，注意处理技巧。
如果出现变上限函数类型，注意变上限函数的导数如何计算，特别是上限为x 的函数，也就是积分上限函数为复合函数时求导要利用链式法则；如果积分上限函数被积函数不是积分变量的一元函数，则将其他变量提出到积分号外面，或者利用换元法化到积分限上。
常用等价无穷小：2~cos 1~arctan ,~arcsin ,~tan ,~sin 2x x x x x x x x x x -，，x x x e x x x αα~1)1(,~1,~)1ln(-+-+（0→x ）练习题：1． 设822lim =⎪⎭⎫⎝⎛-+∞→xx a x a x ，则___________=a ； 2． ____________________arctan lim 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛∞→x x x x ；3．=+→xx x sin 2)31(lim .4. 0tan sin lim sin x x x x x→-- 5. 0ln sin 5lim ln sin 2x x x →+ 6. 2013sin coslim(1cos )ln(1)x x x x x x →+++ 7. 2220(1)limxtx x t e dtx-→+∞+⎰2220(1)1[lim]2xt xx t e dt xe →+∞+==⎰二、无穷小比较：高阶，同阶，等价的定义处理思路：转化为求极限问题，特别是同阶无穷小；注意如果分式极限存在，分母为无穷小量，则分子也一定为无穷小量。
高数课件第六章定积分的应用：第二节定积分的几何应用
y
c
b O
x
bx
x
x x 1 sh dx ch dx c c b x xb s 2 ch dx 2c sh 0 c c 0 x b 1 x 2c sh ( c ch ) c sh c c c c
2
e e ch x 2 x x e e sh x 2 (ch x) sh x
Hale Waihona Puke 2 (t ) 2 (t ) d t
因此所求弧长
s
2 (t ) 2 (t ) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
令 x r ( ) cos , y r ( ) sin , 则得
dx [r ( ) cos r ( ) sin ]d dy [r ( ) sin r ( ) cos ]d
2
选 x 为积分变量 (1) x [2, 0], dA1 ( x 3 6 x x 2 )dx 于是所求面积 A A1 A2
特别注意:
各积分区间 A ( x 3 6 x x 2 )dx 0 (x x 6 x)dx 上被积函数的 2 253 形式不同． . 12
0
3
2
3
x2 1 练习：1.求曲线 y , y 与直线 x 3 2 1 x 2
x 3 所围成的图形的面积。
2.求曲线 xy 1 与直线
x y 0 y 2
x y 2
P1
2
所围成的图形的面积。 2014考研题
提示：1
P2
y
1
32 1 0 2 1 1 3 x 1 x 1 1 s 2[ ( )d x ( ( 3 3 2) ) d x ] 2 0 1 x 1 3 2 2 1 x2
高数 第五单元 定积分
第五单元 定积分5-1 定积分概念，性质和微积分基本公式[教学基本要求]高等数学 1．理解定积分的概念和几何意义，了解定积分的性质和积分中值定理.2．理解变上限的积分作为其上限的函数及其求导定理.3．掌握牛顿-莱布尼兹公式.微积分 1.了解定积分的概念和几何性质；了解定积分的基本性质和积分中值定理. 2.了解变上限定积分；会求变上限定积分的导数； 3.熟练运用牛顿一莱布尼兹公式计算定积分.[知识要点]1. 定积分的意义中要点可概括为以下五点：（1）()f x 在闭区间[,]a b 上有意义；（2）把区间[,]a b 任意分割成n 个小区间；（3）作乘积()i i f x ξ⋅∆,i ξ1[,]i i x x -∈且取和1()nn iii S f x ξ==∆∑；（4）求和式nS ，当0λ→时的极限，这个极限不仅存在且与区间[,]a b 的分法和点i ξ的取法无关；（5）这个极限值就称为函数()f x 在[,]a b 上的定积分。
由此可以看出，第一点是条件；第二、三、四是作法，第五点是结论。
再概括就是：“分割取近似，求和取极限”。
提示注意：①定义中所说的极限存在是指对于区间的任意分法，i ξ的任意取法，只要当0λ→时，则积分和∑=∆ni i i x f 1)(ξ都趋于一个共同的数值。
因此有:② 定积分⎰badx x f )(是一个数，这个数仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变量的记 法无关，即⎰ba dx x f )(=⎰b adt t f )(=⎰b adu u f )(. ③a b =时，⎰b adx x f )(=⎰aadx x f )(=0. ④ 当a b >时，⎰badx x f )(()abf x dx =-⎰如果函数()f x 在区间[,]a b 上可积，称()f x 在[,]a b 上的定积分存在。
2．可积函数类：下列函数均可积：①()f x 在[,]a b 上连续；②()f x 在[,]a b 上单调有界；③()f x 在[,]a b 上有界且至多有有限个第一类间断点3. 定积分的几何意义： 在[,]a b 上，若()0f x ≥，则()baf x dx ⎰在几何上表示由曲线()y f x =，两条直线,x a x b ==与x 轴所围成的曲边梯形的面积.一般情形下⎰badx x f )(的几何意义为：这是介于x 轴，函数()f x 的图形及两条直线x a =，x b =之间各部分面积的代数和（规定对x 轴下方图形的面积赋予负号）.4. 定积分的性质以下均设()f x ，()g x 在[,]a b 上可积① (线性性质)定积分对被积函数具有线性质性，即⎰±badx x g x f )]()([=⎰badx x f )(±⎰badx x f )(，⎰b adx x kf )(=⎰badx x f k )(（k 为常数）②(定积分对积分区间的可加性)设a b c <<，如果将区间[,]a b 分为[,]a c ， [,]c b 则：⎰badx x f )(=⎰c adx x f )(+⎰bcdx x f )(③如果()f x ()g x ≤（[,]x a b ∀∈）则⎰badx x f )(⎰≤badx x g )(特别地注意：当()0f x ≥，（[,]x ab ∀∈），则⎰≥bax f 0)(；若()f x 在[,]a b 上可积，则|()|f x 在[,]a b 上也可积,且⎰badx x f )(⎰≤badx x f )(④(积分估计)，设,M m 分别是函数()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值，则()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰⑤若()f x 与()g x 在[,]a b 上仅在有限个点处的值不相等，则有⎰badx x f )( =⎰badx x g )(.⑥（积分第一中值定理）设()f x 在[,]a b 上连续，则在[,]a b 上至少有一个数ξ，使得()()()baf x dx f b a ξ=-⎰成立.提示注意：通常称dx x f a b ba⎰-)(1为函数()f x 在[,]a b 上的平均值.5. 变上限定积分 定积分⎰xadt t f )(是上限变量x 的函数，记作()()xax f t dt Φ=⎰，称为变上限定积分.注：①如果()f x 在[,]a b 上可积，则()()xax f t dt Φ=⎰在[,]a b 上连续.②如果()f x 在[,]a b 上连续，则()()xax f t dt Φ=⎰在[,]a b 上可导，且有[])()(/x f x x =Φ.③如果函数()f x 在[,]a b 上连续，()x ϕ可微，则()()[()]()x a d f t dt f x x dxϕϕϕ'=⎰. ④如果函数()f x 在[,]a b 上连续，()x ϕ，)(x ψ均可微，则[]()//()()()()[()]()x x d f t dt f x x f x x dx ψϕψψϕϕ=-⎰ ①②两式合起来就是通常所说的原函数存在定理,它揭示了“连续函数必有原函数”这一基本结论.6．牛顿——莱布尼兹公式若函数()f x 在[,]a b 上连续，()F x 为()f x 的一个原函数，即()()F x f x '=，则)()()()(a F b F x F dx x f ba ba-==⎰，通常把这一公式又叫做微积分基本公式。
2016年与2015年考研数学(一、二、三)真题高数知识点考查对比
2016年与2015年考研数学（一、二、三）真题高数知识点考查对比为了让考生对今年数二有一个整体的把握以及对比去年有何改变，跨考教育数学教研室佟庆英老师将今年和去年的考研数学（一、二、三）真题中涉及到的高数知识点作如下对比，帮助考生自己心里有一个对比。
一、数学一
考题
序号
考查知识点解题思路点睛考查知识点解题思路点睛
1 反常积分敛散性利用反常积分的
性质
导数应用（拐点）
利用拐点的充分条
件
2 原函数存在性连续函数必有原
函数
二阶常系数微分
方程解的性质
利用二阶微分方程
解的性质计算
二、数学二
2 原函数存在性利用连续函数必
有原函数
间断点
首先计算出
f(x)的表达式，
在找出可疑间断
点，计算左右极
限即可
三、数学三。
二重积分的对称性
在函数上的对称性
偶函数对称
如果函数满足f(-x) = f(x)，则它关于y轴对称。
奇函数对称
如果函数满足f(-x) = -f(x)，则它关于原点对称。
周期函数对称
如果函数满足f(x+T) = f(x)，其中T是一个常数，则它具有周期性对称。
通过对称性简化计算
1
步骤1: 判断对称性
观察被积函数的图像或表达式，判断是否存在对称性。
二重积分的对称性
在数学中，对称性是一个重要的概念。对称性可以帮助我们简化计算，并发 现隐藏在数学问题中的美。
对称性的定义
对称性是指一个对象或系统在某种变换下保持不变的性质。在数学中，我们 经常研究的是几何和函数的对称性。
二重积分的对称性定理
在二重积分中，我们可以利用图像的对称性来简化计算。对称性定理告诉我 们，如果被积函数具有一定的对称性，我们可以利用这种对称性来减少计算 量。
对称性在二重积分中的应用
通过利用图形的对称性，我们可以将复杂的积分问题转化为简单的计算。例如，如果图形具有轴对称性或中心 对称性，我们可以将积分范围缩小一半。
在平面图形上的对称性
圆形对称
圆形具有中心对称性，可以简化 计算。
矩形对称
矩形具有轴对称性，可以简化计 算。
六边形对称
六边形具有多条对称轴，可以利 用对称性将复杂图形划分为简单 部分。
2
步骤2: 将积分范围缩小
Байду номын сангаас
利用对称性将积分范围缩小至对称轴附近的部分。
3
步骤3: 简化被积函数
利用对称性简化被积函数，如利用偶函数的对称性将积分双倍。
结论和要点
1 利用对称性可以简化二重积分的计算。
考研数学高数必考题型总结
考研数学高数必考题型总结考研数学高数必考6类题型总结第一：求极限。
无论数学一、数学二还是数学三，求极限是高等数学的基本要求，所以也是每年必考的内容。
区别在于有时以4分小题形式出现，题目简单;有时以大题出现，需要使用的方法综合性强。
比如大题可能需要用到等价无穷小代换、泰勒展开式、洛比达法则、分离因子、重要极限等中的几种方法，有时考生需要选择其中简单易行的组合完成题目。
另外，分段函数个别点处的导数，函数图形的渐近线，以极限形式定义的函数的连续性、可导性的研究等也需要使用极限手段达到目的，须引起注意!第二：利用中值定理证明等式或不等式，利用函数单调性证明不等式。
证明题虽不能说每年一定考，但也基本上十年有九年都会涉及。
等式的证明包括使用4个微分中值定理，1个积分中值定理;不等式的证明有时既可使用中值定理，也可使用函数单调性。
这里泰勒中值定理的使用是一个难点，但考查的概率不大。
第三：一元函数求导数，多元函数求偏导数。
求导数问题主要考查基本公式及运算能力，当然也包括对函数关系的处理能力。
一元函数求导可能会以参数方程求导、变限积分求导或应用问题中涉及求导，甚或高阶导数;多元函数(主要为二元函数)的偏导数基本上每年都会考查，给出的函数可能是较为复杂的显函数，也可能是隐函数(包括方程组确定的隐函数)。
另外，二元函数的极值与条件极值与实际问题联系极其紧密，是一个考查重点。
极值的充分条件、必要条件均涉及二元函数的偏导数。
第四：级数问题。
常数项级数(特别是正项级数、交错级数)敛散性的判别，条件收敛与绝对收敛的本质含义均是考查的重点，但常常以小题形式出现。
函数项级数(幂级数，对数一来说还有傅里叶级数，但考查的频率不高)的收敛半径、收敛区间、收敛域、和函数等及函数在一点的幂级数展开在考试中常占有较高的分值。
第五：积分的计算。
积分的计算包括不定积分、定积分、反常积分的计算，以及二重积分的计算，对数学考生来说常主要是三重积分、曲线积分、曲面积分的计算。
对称区间上奇偶函数的定积分性质的推广
对成人本科高等数学教学中奇偶函数的主要分析性质进行了分析,并对其进行了较系统的论证.
9.期刊论文 李守英.李建华 对称区域上奇偶函数的二重积分公式及推广 -重庆职业技术学院学报2007,16(3)
讨论并推广了二元奇偶函数在对称区域上的定义及积分公式,且给出证明,以简化积分计算.
探讨奇函数和偶函数在无限区间上的积分问题.
5.期刊论文 涂光明 奇、偶函数概念的拓广 -株洲师范高等专科学校学报2001,6(5)
指出了传统奇、偶函数概念的不足,并给出了奇、偶函数新概念,消除了一些不合理的现象,从而拓广了奇、偶函数的范围.同时,证明了新旧概念下的 奇、偶函数在对称性、导数和积分等方面具有相同的性质.
6.期刊论文 张青娥.郝新生.ZHANG Qing-e.HAO Xin-sheng 二元奇偶函数在对称区域上的积分公式及其证明 -数学
的实践与认识2005,35(5)
将一元奇偶函数及其在对称区间上的积分公式进行了推广,得到了二元奇偶函数在对称区域上的定义及其积分公式,并给出了积分公式的证明,以简化 某些积分的计算.
Ｉ：ｆ（ｘ）ｄｘ＝｛２Ｊ：，。＋ｃ）ｄｘ，，ｏ＋ｃ）为偶数（３）
【
ｏ，厂（ｚ＋ｃ）为奇数
证明：作变量代换，令ｘ＝ｆ＋ｃ，则ｒ，（ｊ）ｄｘ＝￡，（ｆ＋ｃ）ｄｆ
＝Ｌｆ（ｘ＋ｃ）ｄ工，积分区间卜＾，明是关于原点对称的，由公式（１）
得：ｆ·／（ｘ）ｄ工：｛２ｊ：厂（Ｊ＋ｃ）ｄｘ，ｆ（ｘ＋ｃ）为偶数 【０，／ｑ＋ｃ）为前敢 这里把对称区间推广到任意区间【口，６】，利用定理（２）可以简 化非对称区间上定积分的计算。
一
【 ｏ，，Ｏ）为奇函数
在此，不妨称之为对称区问上奇偶函数的定积分性质，通过这
大学高数下--二重积分的计算
(C ) 4 ( xy cos x sin y)dxdy ; (D) 0
D1
例 2：I | xy | dxdy , 其中 D : x y 1
D
D1、D2关于原点对称，| xy | 关于 x, y 为偶函数
D3D4关于原点对称，| xy | 关于x, y为偶函数
D3D1关于y轴对称，| xy | 关于x为偶函数
, ,
D1
D2 D3
D4 D1
D3
I＝4
xydxdy 4
1
dx
1 x
xydy
1
0
0
6
D1
D3 D1 D2 D4
例3 计算 xydxdy , 其中 D 为由下列
D
双纽线所围成： (1) ( x2 y2 )2 2( x2 y2 ) ;
2、极点O在D的边界上 区域特征如图
()
D
,
0 ( ).
o
A
f ( cos , sin )dd
D
( )
d 0 f ( cos , sin )d .
二重积分化为二次积分的公式（３）
3、极点O在D的内部 区域特征如图
1
dy
y x2e y2 dx
00
D
e1 y2 y3dy e1 y2 y2dy2 1 (1 2).
0
3
0
6
6e
例 8 求 ( x 2 y)dxdy，其中 D 是由抛物线
D
y 2 x2及 y 1 x2 所围成的闭区域.
例9 求 xydxdy，其中 D 是由直线 y x 1及
高等数学 积分 (5.5.1)--定积分的计算
一个重要的结论
a a
f (x)dx
2
a 0
0, f (x)dx ,
f (x)为奇函数 f (x)为偶函数
例 求下列积分
(1)
I
2
2
(a
cos
x
b
sin
x)
2
dx
(2) I
2
dx
2 1 cos x
习题 5
30 （ 1 ）（ 3 ）（ 5 ） （ 6）
0
0
从几何上考虑，这两个公式都是自然的
例 试求积分
0
1
xsinx cos2
x
dx
能否利用 对称性？
习题 5 31 （ 3 ）－（ 7 ） (10) 37(1) 38* 想一想作怎样的变换？
■ 分部积分法 ( 定积分 )
u, v C[a,b]
b a
uvdx
uv
b a
b uvdx
a
b a
udv
uv
b a
b vdu
a
例 计算下列定积分
(1)
e1 e1 1
ln(
x
1)
dx
(2) 2 sinn xdx 0
2 sin n xdx
0
2 0
cosn
xdx
(n(nn!n1!!)1!!!)!!2，，
n为奇数 n为偶数
a
0
例 试求积分
2 0
sin 4
sin 4 x x cos4
x
dx
2 f (sin x)dx 2 f (cos x)dx
2016考研高数中六种常见题型归纳
2016考研高数中六种常见题型归纳俗话说知己知彼百战不殆，我们要想在考研数学上取得好的成绩，就必须首先熟悉考研题型，这样我们才能够针对不同的题型掌握不同的答题技巧，下面是跨考教育数学教研室为大家带来2016考研高数中六种常见题型归纳。
第一：求极限无论数学一、数学二还是数学三，求极限是高等数学的基本要求，所以也是每年必考的内容。
区别在于有时以4分小题形式出现，题目简单;有时以大题出现，需要使用的方法综合性强。
比如大题可能需要用到等价无穷小代换、泰勒展开式、洛比达法则、分离因式、重要极限等几种方法，有时考生需要选择多种方法综合完成题目。
另外，分段函数在个别点处的导数，函数图形的渐近线，以极限形式定义的函数的连续性、可导性的研究等也需要使用极限手段达到目的，须引起注意!第二：利用中值定理证明等式或不等式，利用函数单调性证明不等式证明题虽不能说每年一定考，但也基本上十年有九年都会涉及。
等式的证明包括使用4个常见的微分中值定理(即罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、泰勒中值定理)，1个定积分中值定理;不等式的证明有时既可使用中值定理，也可使用函数单调性。
这里泰勒中值定理的使用时的一个难点，但考查的概率不大。
第三：一元函数求导数，多元函数求偏导数求导数问题主要考查基本公式及运算能力，当然也包括对函数关系的处理能力。
一元函数求导可能会以参数方程求导、变限积分求导或应用问题中涉及求导，甚或高阶导数;多元函数(主要为二元函数)的偏导数基本上每年都会考查，给出的函数可能是较为复杂的显函数，也可能是隐函数(包括方程组确定的隐函数)。
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极值的充分条件、必要条件均涉及二元函数的偏导数。
第四：级数问题常数项级数(特别是正项级数、交错级数)敛散性的判别，条件收敛与绝对收敛的本质含义均是考查的重点，但常常以小题形式出现。
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2016考研高数：利用对称性求定积分
定积分的计算是考试常考的一个知识点，由牛顿—莱布尼茨公式我们知道，要计算定积
分实际上从方法上而言可以归结到计算不定积分，只需要找一个原函数再把积分上下限代入
进去即可，所以所有计算不定积分的方法我们可以平移到计算定积分上来。但是对于定积分
而言，也有一种方法对于我们计算定积分是很有帮助的，也就是利用函数的奇偶性求解对称
区间上的定积分。
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大家以后再做对称区间上的定积分时需要优先考虑的是被积函数的奇偶性，如果被积函
数不具有奇偶性就可以利用积分区间的可加性把积分区间拆分成两个小区间去计算，在计算
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