[教案精品]新课标高中数学人教A版必修四全册教案1.4.3正切函数的性质与图象

1
1.4.3正切函数的性质与图象
教学目的：
知识目标：1.用单位圆中的正切线作正切函数的图象；2.用正切函数图象解决函数有
关的性质；
能力目标：1.理解并掌握作正切函数图象的方法；2.理解用函数图象解决有关性质问
题的方法；
教学重点：用单位圆中的正切线作正切函数图象；
教学难点：正切函数的性质。
教学过程：
一、复习引入：
问题：1、正弦曲线是怎样画的？ 2、练习：画出下列各角的正切线：

．
下面我们来作正切函数的图象．
二、讲解新课：

1．正切函数tanyx的定义域是什么？




zkkxx,

2
|





2．正切函数是不是周期函数？


tantan,,2xxxRxkkz





Q且
，

∴是tan,,2yxxRxkkz且的一个周期。
是不是正切函数的最小正周期？下面作出正切函数图象来判断。
3．作tanyx，x2,2的图
象

说明：（1）正切函数的最小正周期不能比小，正切函数的最小正周期是；
（2）根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数
2

Rxxytan，且zkkx


2
的图象，称“正切曲线”。

（3）正切曲线是由被相互平行的直线2xkkZ所隔开的无穷多支曲线组
成的。
4．正切函数的性质 引导学生观察，共同获得：

（1）定义域：zkkxx,2|；

（2）值域：R 观察：当x从小于zkk2，2kx时，
tanx
当x从大于zkk2，kx2时，
xtan
。

（3）周期性：T；
（4）奇偶性：由xxtantan知，正切函数是奇函数；

（5）单调性：在开区间zkkk2,2内，函数单调递增。
5.讲解范例：
例1比较413tan与517tan的大小

解：tan413tanQ4，52tan517tan，




2,0tan,5240在xy
内单调递增，




O

0

2

3



2




2



2

3

y
y

x
x
3










517tan413tan,52tan4tan,52tan4
tan即

例2：求下列函数的周期：
（1）3tan5yx 答：T。 （2）tan36yx 答：

3
T


。

说明：函数tan0,0yAxA的周期T．

例3：求函数






3
3tanxy

的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，

解：1、由233kx得
1853



k

x
，所求定义域为




zkkxRxx,1853,|且

2、值域为R，周期3T，
3、在区间zkkk1853,183上是增函数。
思考1：你能判断它的奇偶性吗？ （是非奇非偶函数），
练习1：求函数






32
tanxy

的定义域、周期性、奇偶性、单调性。

略解：定义域：




zkkxRxx,4|且

值域：R 奇偶性：非奇非偶函数
单调性：在)4,43(kk上是增函数
练习2：教材P45面2、3、4、5、6题
解：画出y＝tanx在(－2，2)上的图象，在此区间上满足tanx＞0的x的范围为：

0＜x＜
2



结合周期性，可知在x∈ R，且x≠kπ＋2上满足的x的取值范围为(kπ，kπ＋2)
(k∈Z)
思考2：你能用图象求函数tan3yx的定义域吗？

解：由tan30x 得 tan3x，利用图象知，所求定义域为
y
T
3
y

3
4


,32kkkZ






，

亦可利用单位圆求解。

四、小结：本节课学习了以下内容：
1.因为正切函数xytan的定义域是},2,|{ZkkxRxx，所以它的图象被

,......23,
2



x
等相互平行的直线所隔开，而在相邻平行线间的图象是连续的。

2.作出正切函数的图象，也是先作出长度为一个周期（-π/2，π/2）的区间内的函数的
图象，然后再将它沿x轴向左或向右移动，每次移动的距离是π个单位，就可以得到整个
正切函数的图象。
五、作业《习案》作业十一。