高中数学人教B版必修四第一章《基本初等函数Ⅱ》word综合检测
山东省2020届高三数学第一章《基本初等函数(Ⅱ)》单元测试文新人教B版必修4
山东省新人教B版2020届高三单元测试9必修4第一章《基本初等函数（H）》（本卷共150分，考试时间120分钟）1、函数y 3si n( —x2)4的周期与初相分别是（）A. 2 ,B. 4 ,C. , D4 4 2 42、函数y sin x, x J4 5的值域为（）4、选择题（每小题5分，共60 分）4，4 A. B. I/ ,13、求值sin（43）的结果为（）6A. 12 B . 12C24、已知tan -且为第二象限角，则cos的值等于（3 )A 3 10 D帀cA. B . C D10 10 10 3 10 105、要得到函数y sin (2x )3'的图象,只需要把函数y sin 2x的图象A. 向左平移—个单位长度 B .向右平移个单位长度3 3C. 向左平移个单位长度 D .向右平移_个单位长度6 66、下列函数中偶函数的个数为（)y cos2x, y sin x ，y sinA. 1 B .27、计算cos—tan —3 tan 23 4 4 61 1A. B2 2 x cosx, y cos(x ) , y tan x 1 3C .3D .4. 2 sin cos6—的结果为（6 )C.0D3.2xA . y 2sin(2 x —)6C. y 2sin(2 x —)6二、填空题（每小题 4分，共16分） 13、 若角 为第二象限角且sin （ 14、 满足条件sin tan 0的角） 1，则cos （2 ）的值等于所在的象限为 ___________________15、函数y 11 sin 2x的定义域为16、函数y sin （2x—）的单调递减区间是48、计算 arcsi n 2 arctan( 1) arccos( f）的值为（） A. 5 5函数69、 F 列函数中，以 为最小正周期，且在区间 （—,）上为减函数的是（ 2 A. y cosx B. y 2 sinx C. x y COS — 2D. y tanx 10、y 2cosx 的图象经过怎样的变换能变成函数 y 2cos （2x 3）的图象（） A. 向左平移 个单位长度，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的 3 B. 向左平移 个单位长度，再将图象上各点的横坐标缩短到原来的 6 2倍，纵坐标不变 1，纵坐标不变2 C.将图象上各点的横坐标缩短到原来的 1 1，纵坐标不变，再向左平移 —个单位长度 2 6D.将图象上各点的横坐标伸长到原来的 11、如图所示（见本页底部的图）是函数 部分，则此函数的解析式为 （） 2倍，纵坐标不变，再向左平移 个单位长度 6 y Asin( x ), (A 0, 0, | -）图象的一 12、若 21 sin1 sin1 sin 1 sin的结果是 A. 2 tan B . 2ta n2cot)D . 2cot2sin(2 x )3 1.y 2sin(—x2三、解答题：（共74分） 17、已知 tanx(1)2cosx3cosx2，求下列各式的值sin x(2)sinsin xcoscos() cot(5 )sin( 2 )18、化简（1）（2）sin1 cot2 （为第三象限角）19、已知sin1 cos-- —8 42 求cossin 的值.20、求下列函数的最大值以及取得最大值的 x 的集合21、已知函数 y 2sin(3x ),x R :3(1) 用五点法作该函数在长度为一个周期上的图象简图;(2) 说明由正弦曲线 y si nx 经过怎样的变换，可以得到该函数的图像⑴y 2 S "(2X6)2(2) y sin x sin x11 4参考答案：BBADDB,CDBCBA13. 3 3 7_14.二、三15. x | x k ,k Z 16. [k ——,k ]2 4 8 8三、17. (1) 4 ,(2)218. (1) 2cot (2) -1 19.■i3 5 220. (1)x= k时，y max 3(2)(1) x=2k 时，ymax3 3 2 421. 略。
2021年高中数学 第一章 基本初等函数(II)过关测试卷 新人教B版必修4
2021年高中数学第一章基本初等函数（II）过关测试卷新人教B版必修4（100分，60分钟）一、选择题（每题5分，共45分）1.若sinα=,α∈,则α可以表示成（）A. +arcsinB. -arcsinC.π-arcsinD.π+arcsin2.sinα·cosα=，且＜α＜,则cosα-sinα的值为（）A. B.- C. D.-3.〈山东泰安月考〉函数y=-3cos(2x+ )的图象可由y=-3cos(-2x)的图象（）A.向右平移π3个单位长度得到B.向右平移π6个单位长度得到C.向左平移π6个单位长度得到D.向左平移π3个单位长度得到4.〈潍坊模拟〉已知sinθ=-,θ∈(-,) ,则sin(θ-5π)sin(π-θ)的值是（）A. B.- C.- D.5.设点P是函数f(x)=sinωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是π4，则f(x)的最小正周期是（）A.2πB.πC.D.6.函数y=cos2x-3cosx+2的最小值为（）A.2B.0C.D.67.若 =2,则sinθcosθ的值为（）A.-B.C.±D.8.函数y=f(x)的图象如图1所示，则y=f(x)的解析式为（）图1A.y=sin2x-2B.y=2cos3x-1C.y=sin(2x-) -1D.y=1-sin(2x-)9.已知函数y=cos(sinx),则下列结论中正确的是（）A.是奇函数B.不是周期函数C.定义域为［-1，1］D.值域是［cos1,1］二、填空题（每题5分，共25分）10.若f(x)=，则f(2 010)+f(2 011)+f(2 012)+f(2 013)=___________-11.已知f(x)=ax3+bsinx+1且f(1)=5,则f(-1)=__________.12.函数y=lg(cosx-sinx)的定义域为______________.13.已知方程sin（x+） -k=0，在0≤x≤π上有两解，则k的取值范围是_________.14.设函数y=sin(ωx+φ)（ω＞0,φ∈（-,））的最小正周期为π，且其图象关于直线x=对称，则在下面四个结论中：①图象关于点（,0）对称；②图象关于点（,0）对称；③在上是增函数；④在上是增函数.所有正确结论的编号为__________.三、解答题（每题10分，共30分）15.已知tan(π-α)=2,计算：()()()() 2222322?12sin cos sin cossin cosπαπαπαπααα+--+-+++16.〈吉林四平统考〉函数f1(x)=Asin(ωx+φ)（A＞0,ω＞0,｜φ｜＜）的一段图象过点（0，1），如图2所示.（1）求函数f1(x)的表达式；（2）将函数y=个单位，得函数y=f2（x）的图象，求y=f2(x)的最大值，并求出此时自变量x 的集合.图217.已知x∈，若方程mcosx-1=cosx+m有解，求参数m的取值范围.第一章过关测试卷一、1.C 点拨：∵α∈,∴π-α∈,∴sin(π-α)=sinα=,π-α=arcsin,α=π-arcsin.2.B点拨：∵（cosα-sinα）2=1-2sinαcosα=,又＜α＜,∴sinα＞cosα.则cosα-sinα＜0.∴cosα-sinα=-.3.C 点拨：y=-3cos=-3cos,y=-3cos(-2x)=-3cos2x,∴y=-3cos的图象可以由y=-3cos(-2x)的图象向左平移个单位长度得到.4.B点拨：由sinθ=-,θ∈知cosθ=,sin(θ-5π)sin =(-sinθ)·（-cosθ）=sinθcos θ=-.5.B 点拨：易知=.故选B.6.B 点拨：∵y=cos2x-3cosx+2= 2-,显然当cosx=1时，ymin= 2-=0.7.B 点拨：由=2得=2，所以tanθ=3,∴sinθcosθ= = = .8.D 点拨：由图象过点, 代入验证知只有D成立.9.D 点拨：∵-1≤sinx≤1且y=cosx在［0,π］上是减函数，在［-π,0］上为增函数，∴值域为［cos1,1］.故选D.二、10.0 点拨：f(2 010)=sin=sin=sin =-sin =-，f(2 011)=sin=sin=sin=-cos =-，f(2 012)=f(2 008)=sin=sin = ，f(2 013)=f(2 009)=sin=sin =cos =，∴f(2 010)+f(2 011)+f(2 012)+f(2 013)=0.11.-3 点拨：∵f(1)=a+bsin1+1=5,∴a+bsin1=4,∴f(-1)=-a-bsin1+1=-4+1=-3.12.点拨：由cosx-sinx＞0得cosx＞sinx,利用三角函数线可得2kπ- π＜x＜2kπ+,k∈Z.13.［1，2）点拨：令y1= sin,y2=k,当0≤x≤π时，≤x+≤π,令t=x+ ,则π4≤t≤π.即y1=sint.因为y2=k与y1=sint有两个解，即直线y2=k和y1=sint图象交于两个点，则画出图象得1≤k ＜.则k的取值范围是［1，2）.14.②④点拨：由=π得ω=2.由2×+φ=kπ+,得φ=π.又φ∈,则得k=0,φ=,∴y=sin,可判断②④正确.三、15.解：∵tan(π-α)=2,∴-tanα=2,tanα=-2.原式= ==.16.解：（1）由图知，T=π,于是ω= =2.将y=Asin2x的图象向左平移个单位,得y=Asin(2x+φ)的图象，于是φ=2·=.将（0，1）代入y=Asin,得A=2.故f1(x)=2sin.(2)依题意，f2(x)=2sin=-2cos,当2x+ =2kπ+π,即x=kπ+ (k∈Z)时，f2(x)max=2.x的取值集合为.17.解：由mcosx-1=cosx+m得cosx=,因为x∈,所以cosx∈.所以∈,即≤≤1,解得m≤-3.39296 9980 馀i|36979 9073 遳37595 92DB 鋛40189 9CFD 鳽25986 6582 斂29111 71B7 熷20990 51FE 凾24646 6046 恆t940636 9EBC 麼。
人教B版高中数学必修四第一章基本初等函数(II)+(人教实验B版)
第一章基本初等函数（II）x9. 如图是函数y = 2sin(ωx + φ)，|φ|＜2π的图象，那么（ ） A.ω=1110，φ=6π B. ω=1011，φ=-6πC. ω=2，φ=6πD. ω=2，φ=-6π10. 若cos α＝－ 45，α是第三象限的角，则 1＋tan α21－tan α2＝( )A.－ 12B. 12C.2D.－211.函数y ＝ 12 sin 2x ＋ √3 cos 2x － √32 的最小正周期等于( )A.πB.2πC. π4D. π212.化简sin 235°− 12 cos 10°cos 80°＝( )A.－2B.－ 12C.－1D.1 二、填空题（每小题5分，共20分）13. 若扇形的半径为R ，所对圆心角为α，扇形的周长为定值c ，则这个扇形的最大面积为 . 14. 函数y =2sin(2x +6π)(x ∈[-π,0］)的单调递减区间是 . 15. 若 cos(75° + α)=31，其中α为第三象限角，则cos(105° - α)+ sin(α - 105°)= .16. 关于函数f (x )=4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π2x (x ∈R )，有下列命题： ①函数 y = f (x )的表达式可改写为y = 4cos(2x - π6 )；②函数 y = f (x )是以2π为最小正周期的周期 函数； ③函数 y = f (x )的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0 6π，对称； ④函数 y = f (x )的图象关于直线x = - π6对称.其中正确的是 .三、解答题（共70分）17. （10分）设函数f （x ）＝sin （2x ＋φ）（－π＜φ＜0），y ＝f （x ）图象的一个对称中心是（ π8 ，0）.（1）求φ；（2）求函数y ＝f （x ）的单调增区间.18.（10分）(1)已知角α的终边经过点P (4，- 3)，求2sin α + cos α的值；(2)已知角α的终边经过点P (4a ，- 3a )(a ≠0)，求 2sin α + cos α的值；(3)已知角α终边上一点P 到x 轴的距离与到y 轴的距离之比为3 : 4，求2sin α + cos α的值.19.（10分）已知函数y ＝3sin( 12x - π4).(1)用五点法作出函数的图象；(2)说明此图象是由y ＝sin x 的图象经过怎样的变化得到的；(3)求此函数的振幅、最小正周期和初相； (4)求此函数图象的对称轴方程、对称中心.20.（10分）已知0≤x ≤2π，求函数y = cos 2x - 2a cos x 的最大值M (a )与最小值m (a ).21. （15分）已知α是第三象限的角，且f (α)＝sin(π−α)cos(2π−α)tan(−α+32π)·tan(−α−π)sin(−α−π).（1）化简f (α)；（2）若cos （α－32π）＝15，求f (α)；（3）若α＝－313π，求f (α).22. （15分）已知函数f（x）=cos 2x+sin 2x. （1）求f（x）的最大值和最小正周期；（2）设α，β∈[0，π2]，f(α2+π8)=√52，f( β2+π)=√2 ，求sin（α+β）的值.第一章基本初等函数（II）答题纸得分：一、选择题二、填空题13. 14. 15. 16.三、计算题17.18.19.20.21.22.第一章 基本初等函数（II ） 答案一、选择题1. A 解析：⎪⎭⎫ ⎝⎛-π623sin =sin(−23π6+4π)=sin π6=12. 2. B 解析：与 330° 终边相同的角为{α|α = 330° + k ∙ 360°，k ∈Z }.当 k = - 1时，α = - 30°.3. D 解析：将x 分为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限角四种情况分别讨论，可知值域为{- 1，3}.4. D 解析：∵ sin α - 2cos α = - 5(3sin α + 5cos α)，∴ 16sin α = - 23cos α，∴ tan α = -1623. 5. C 解析：由已知易得 sin α cos α = -327. ∴ |sin 3 α - cos 3 α| = |(sin α- cos α)(sin 2 α + cos 2α + sin α cos α)|=ααcos sin 21- ∙ |1 + sin α cos α| = 1282325. ∴ sin 3α - cos 3α = ±1282325. 6. B 解析：f (x )= 1 - sin 2 x + 2a sin x - 1= - sin 2x + 2a sin x .令sin x = t ，∴ t ∈[-1，1].∴ f (t )= - t 2 + 2at = -(t - a )2 + a 2，t ∈[-1，1]. ∵a >1,∴ 当t = 1时，函数 f (t )取最大值为2a - 1.7.D 解析：∵ y = sin(4π- 2x )= - sin(2x -4π)，∴ 2π+ 2k π ≤ 2x -4π≤23π+ 2k π，k ∈Z ，∴ 83π+ k π ≤ x ≤87π+ k π，k ∈Z .8.B 解析：根据图象的平移规律可得选项B 正确.9.C 解析：因为函数图象过点（0，1），所以1=2sin φ，所以sin φ=12.因为|φ|＜π2，所以φ=π6.故函数y =2sin （ωx +π6）.又函数图象过点（11π12，0），所以0=2sin （ω•11π12+π6）.由五点法作图的过程知，ω•11π12+π6=2π，所以ω=2.综上，φ=π6，ω=2. 故选C ．10. A 解析：∵ cos α＝－ 45 且α是第三象限的角，∴ sin α＝－ 35 ，∴1+tan α21−tan α2=cos α2+sin α2cos α2 cos α2−sin α2cos α2=cos α2+sin α2cos α2−sinα2=(cos α2+sin α2)2(cos α2−sinα2)(cos α2+sin α2)= 1+sin αcos 2 α2−sin 2 α2＝1＋sin αcos α＝1−35−45=− 12 .11.A 解析：y ＝ 12 sin 2x ＋ √32(1＋cos 2x )－ √32＝ 12 sin 2x ＋ √32cos 2x ＝sin(2x + π3)，所以T ＝π.12.C 解析：sin 235°−12cos 10°cos 80°= 1−cos 70°2−12cos 10°sin 10°=−12cos 70°12sin 20° =-1.二、填空题13. 162c 解析：设扇形面积为S ，弧长为l .∴ S = 21lR = 21(c -2R )· R = -R 2+21cR . c - 2R ＞0， R ＞0，∵∴ 0＜R ＜2c . 当 R = 4c 时，S max =162c .14. ［56π-,3π-］15.3122- 解析：cos(105°-α)+ sin(α -105°) = - cos(75°+α)- sin(α+75°). ∵ 180°＜α＜270°，∴ 255°＜α+75°＜345°.又cos(α+75°)=31，∴ sin(α+75°)= -232. ∴ 原式 =312223231-=+-. 16. ①③ 解析：① f (x )=4sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+3π2x = 4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛--3π22πx = 4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-6π2x = 4cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6π2x .② T =22π= π，最小正周期为π.③ 令2x +3π= k π，当 k = 0时，x =6π-，∴ 函数 f (x )的图象关于点⎪⎭⎫⎝⎛-0 6π，对称. ④ 令2x +3π= k π+2π，当 x = -6π时，k =21-，与 k ∈Z 矛盾.∴ ①③正确.三、解答题17. 解：（1）∵（ π8 ，0）是函数y ＝f （x ）的图象的对称中心，∴ sin （2× π8＋φ）＝0，∴ π4＋φ＝k π（k ∈Z ），∴φ＝k π－ π4（k ∈Z ）.∵－π<φ<0，∴φ＝－π4.（2）由（1）知φ＝－ π4，因此y ＝sin （2x － π4），由题意得2k π－ π2≤2x －π4≤2k π＋ π2，k ∈Z ，即k π－ π8≤x ≤k π＋3π8，k ∈Z ，∴函数y ＝sin （2x － π4）的单调增区间为[k π－π8，k π＋ 3π8]，k ∈Z .18.解：(1)∵ 22y x r += = 5，∴ sin α =53-=r y ，cos α =54=r x ，∴ 2sin α + cos α =525456-=+-.(2)∵ a y x r 522=+=， ∴ 当 a ＞0时， r = 5a ，sin α =5353-=-a a ，cos α =54. ∴ 2sin α + cos α =52-； 当 a ＜0时， r = -5a ，sin α =5353=--a a ，cos α = -54， ∴ 2sin α + cos α =52. (3)当点P 在第一象限时， sin α =53，cos α =54，2sin α + cos α = 2； 当点P 在第二象限时， sin α =53，cos α =54-，2sin α + cos α =52；当点P 在第三象限时，sin α =53-，cos α =54-，2sin α + cos α = - 2；当点P 在第四象限时，sin α =53-，cos α =54，2sin α + cos α =52-.19. 解：(1)列表：描点、连线，如图所示：(2)“先平移，后伸缩”.先把y ＝sin x 的图象上所有点向右平移 π4个单位长度，得到y ＝sin(x - π4)的图象；再把y ＝sin(x -π4)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝sin( 12x - π4)的图象；最后将y ＝sin( 12 x - π4)的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y ＝3sin( 12 x -π4)的图象.(3) 振幅A ＝3，最小正周期T ＝2πω＝2π12＝4π，初相是- π4.(4)令 12x － π4＝ π2＋k π(k ∈Z )，得x ＝2k π＋ 32π(k ∈Z )，此为对称轴方程. 令 12x - π4＝k π(k ∈Z )，得x ＝ π2＋2k π(k ∈Z )，对称中心为(2k π+ π2，0)(k ∈Z ).20.解：y = cos 2x - 2a cos x = (cos x -a )2 - a 2，令 cos x = t ，∵ 0≤x ≤2π，∴ t ∈[0，1].∴ 原函数可化为f (t ) = (t - a )2 - a 2，t ∈[0，1].①当 a ＜0 时，M (a ) = f (1) = 1 – 2a ，m (a ) = f (0) = 0.②当 0≤a ＜21 时，M (a ) = f (1) = 1 – 2a ，m (a ) = f (a ) = –a 2. ③当21≤a ≤1 时，M (a ) = f (0) = 0，m (a ) = f (a ) = –a 2. ④当 a ＞1 时，M (a ) = f (0) = 0，m (a ) = f (1) = 1–2a .21. 解：（1）f （α）＝sin （π−α）cos （2π−α）tan[π+（ π2−α）]tan[−(α+π)]sin[−（π+α）]＝sin α·cos α·tan(π2−α)[−tan(π+α)]−sin(π+α)＝sin α·cos α·sin(π2−α)(−tan α)sin α·cos(π2−α)=−sin α·cos α·cos α·tan αsin α·sin α=-cos α.（2）由cos （α－ 32π）＝ 15，得cos[－2π＋（α＋π2）]＝cos （ π2＋α）＝－sin α＝15.∴ sin α＝－15.∵α是第三象限的角，∴ cos α<0.∴ f （α）＝－cos α＝ √1−sin 2α= √1−125= 2 √65.（3）∵－313π＝－5×2π－π3，∴ cos （－ 313π）＝cos （－5×2π－π3）＝cos （－ π3）＝cos π3＝12.∴ f （α）＝－cos （－313π）＝－12.22. 解：（1）∵ f （x ）=cos 2x +sin 2x = √2( √22cos 2x + √22sin 2x)= √2sin (2x +π4)，∴ f （x ）的最大值为 √2， 最小正周期T ＝2π2＝π.（2）∵ f ( α2+π8)= √2sin [2( α2+π8)+π4]=√2sin (α+π2)= √2cos α=√52，∴ cos α=√104.又∵α∈[0，π2]，∴ sin α= √64.∵ f （ β2 +π）= √2sin [2（ β2+π）+ π4]= √2 sin （β+π4+2π）= √2sin (β+π4)= √2 ，∴ sin （β+ π4）=1.又∵β∈[0， π2]，∴β+ π4∈[ π4，3π4]，∴β+ π4=π2，∴β= π4.∴ sin （α+β）=sin （α+ π4）=sin α·cos π4+cos α·sin π4=√3+ √54.。
2017-2018学年高中数学人教B版必修4课时作业：第一章
10．y＝2sin 的单调递增区间为()
A. ，k∈Z
B. ，k∈Z
C. ，k∈Z
D. ，k∈Z
解析：∵y＝2sin ＝－2sin .
∴令 ＋2kπ≤2x－ ≤ ＋2kπ，k∈Z，
解得 ＋kπ≤x≤ ＋kπ，k∈Z.
答案：B
11．若sinx＝ ，x∈ ，则角x为()
A．arcsin B．π－arcsin
答案：①②④
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．已知tan(π＋α)＝3，求：
(1) ；
(2)sin2α＋2sinαcosα.
解析：tan(π＋α)＝tanα＝3.
(1)原式＝ ＝ ＝ ＝7.
(2)原式＝ ＝ ＝ ＝ .
18．当x∈ 时，求函数y＝3－sinx－2cos2x的最值．
A．y＝cos2xB．y＝sin2x
C．y＝|cosx| D．y＝|sinx|
解析：∵函数在 上是增函数，∴选D.
答案：D
8．已知θ是第三象限角，且sin4θ＋cos4θ＝ ，则sinθ·cosθ＝()
A. B．－
C. D．－
解析：sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θ·cos2θ＝1－2sin2θcos2θ＝ ，∴sin2θcos2θ＝ .
又m＞0，∴m的最小值为 .
答案：
15．如图是函数y＝Asin(ωx＋φ)(A，ω＞0,0＜φ＜π)的图象的一段，它的解析式为__________．
解析：由图象知A＝ ，T＝2 ＝π，∴ω＝ ＝2，由五点作图知－ ×2＋φ＝ ，∴φ＝ ，∴y＝ sin .
答案：y＝ sin
16．关于函数f(x)＝4sin (x∈R)，有下列命题：
人教B高中数学必修四课时跟踪检测：第1章 基本初等函数2 2 第1课时 含解析
第一章 1.3 1.3.2 第一课时 余弦函数的图象与性质课时跟踪检测[A 组 基础过关]1．函数y ＝2cos x －3的值域是( ) A ．[－1,1] B.[－5，－1] C ．[－5，＋∞)D.(－∞，＋∞)解析：由|cos x |≤1，得2cos x －3∈[－5，－1]，故选B. 答案：B2．函数y ＝cos2x 的图象( ) A ．关于直线x ＝－π4对称 B ．关于直线x ＝－π2对称 C ．关于直线x ＝π8对称 D ．关于直线x ＝5π4对称解析：由2x ＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2，k ∈Z ，∴当k ＝－1时，x ＝－π2是函数y ＝cos2x 的一条对称轴，故选B. 答案：B3．设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称 C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6 D ．f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减解析：f (x )的周期为2k π，当k ＝－1时，T ＝－2π，A 正确；当x ＝8π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8π3＝cos3π＝－1，∴x ＝8π3是f (x )的一条对称轴，B 正确；f (x ＋π)＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π＋π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4π3，当x ＝π6时，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋4π3＝cos 3π2＝0，C 正确；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，x ＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6，4π3， ∴f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π不单调，故选D.答案：D4．给出下列四个不等式，其中正确的是( )①sin1＜cos1；②sin2＜cos2；③sin190°＞cos250°；④sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π8＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π8.A ．①和② B.①和③ C ．②和④D.③和④解析：∵π4＜1＜π2＜2＜π，利用三角函数线比较知①②错误． 又∵sin190°＝－sin10°，cos250°＝－sin20°， ∴sin190°＞cos250°，∴③正确． 而cos 3π8＝sin π8，∴0＜cos 3π8＜sin 3π8＜1，而y ＝sin x 在(0,1)上递增， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π8＜sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫sin 3π8. ∴④正确，故选D. 答案：D5．在(0,2π)内，使|sin x |≥cos x 成立的x 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，7π4 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，5π4C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，5π4 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤7π4，2π 解析：在同一坐标系内作出y ＝|sin x |与y ＝cos x 的图象，如图示：故选A. 答案：A6．方程3sin x ＝1＋cos2x 在区间[0,2π]上的解有________个．解析：在同一坐标系中作出y ＝3sin x 与y ＝1＋cos2x 的图象，如图所示：从图象可知有两个交点， ∴方程有两个解． 答案：27．若函数y ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－ωx 的最小正周期是4π，则ω＝________.解析：∵2π|－ω|＝4π，∴ω＝±12. 答案：±128．已知函数f (x )＝2cos －2x ＋π4，x ∈R. (1)求函数f (x )的单调减区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2上的最小值和最大值，并求出取得最值时x 的值．解：f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＋π4＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4.(1)2k π≤2x －π4≤2k π＋π，k ∈Z ， ∴k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z.∴f (x )的单调减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z.(2)∵－π8≤x ≤π2， ∴－π2≤2x －π4≤3π4， ∴－22≤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4≤1.∴－1≤f (x )≤ 2，当2x －π4＝3π4，即x ＝π2时，f (x )min ＝－1， 当2x －π4＝0，即x ＝π8时，f (x )max ＝ 2.[B 组 技能提升]1．在同一坐标系中，函数y ＝sin x 与y ＝cos x 的图象不具有下述哪种性质( )A ．y ＝sin x 的图象向左平移π2个单位后，与y ＝cos x 的图象重合 B ．y ＝sin x 与y ＝cos x 的图象各自都是中心对称曲线 C ．y ＝sin x 与y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π4互相对称 D ．y ＝sin x 与y ＝cos x 在某个区间[x 0，x 0＋π]上都为增函数 解析：y ＝sin x 与y ＝cos x 的图象如图示．由图可知y ＝sin x 与y ＝cos x 不存在在某个区间[x 0，x 0＋π]上都为增函数，故选D.答案：D2．如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π2解析：由题意得3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4π3＋φ＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＋2π＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋φ＝0，∴2π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z)，φ＝k π－π6(k ∈Z)， 取k ＝0，得|φ|的最小值为π6，故选A. 答案：A3．已知函数f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx －π6(ω＞0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是________．解析：∵f (x )与g (x )的图象的对称轴完全相同， ∴f (x )与g (x )的周期相同，g (x )的周期为π， ∴2πω＝π， ∴ω＝2，∴f (x )＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2时，2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，56π，f (x )的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，34．(2018·全国卷Ⅲ)函数f (x )＝cos3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________． 解析：∵0≤x ≤π，∴π6≤3x ＋π6≤19π6，由题可知3x ＋π6＝π2，3x ＋π6＝3π2或3x ＋π6＝5π2，解得x ＝π9，4π9或7π9，故有3个零点．答案：35．已知函数f (x )＝2cos2x －π4，x ∈R. (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；(2)当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π8，π2时，方程f (x )＝k 恰有两个不同的实数根，求实数k 的取值范围．解：(1)f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4，T ＝2π2＝π，由2k π－π≤2x －π4≤2k π，k ∈Z ， ∴k π－3π8≤x ≤k π＋π8，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－3π8，k π＋π8，k ∈Z.(2)作出f (x )＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4的图象，如图所示，若方程f (x )＝k 恰有两个不同的实数根，则0≤k < 2.6．已知x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，求函数y ＝cos 2x －2a cos x 的最大值M (a )和最小值m (a )．解：设cos x ＝t ，则t ∈[0,1]， y ＝t 2－2at ＝(t －a )2－a 2.∴当a ＜0时，m (a )＝0，M (a )＝1－2a ；当0≤a ＜12时，m (a )＝－a 2，M (a )＝1－2a ； 当12≤a ＜1时，m (a )＝－a 2，M (a )＝0； 当a ≥1时，m (a )＝1－2a ，M (a )＝0. ∴M (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－2a ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＜12，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫a ≥12，m (a )＝⎩⎨⎧0(a ＜0)，－a 2 (0≤a ＜1)，1－2a (a ≥1).。
高中数学第一章基本初等函数Ⅱ章末测试B新人教B版必修4
第一章基本初等函数Ⅱ测评B(时间：90分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2010大纲全国Ⅰ高考)记cos(－80°)＝k ，那么tan 100°等于( )A ．k B ．－k C D2．(2013江西临川5月模拟)已知α是第二象限的角，其终边上一点P (x ，且cos αsin 2a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝( )A ．－4 B ．－4 C ．4．43．(大纲全国Ⅱ高考)已知△ABC 中，cot A ＝－125，则cos A ＝( ) A ．1213 B ．513 C ．－513 D ．－12134．(2013山东高考)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移8π个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( ) A ．34π B ．4π C ．0 D ．－4π 5．(2009四川高考)已知函数f (x )＝sin 2x π⎛⎫-⎪⎝⎭(x ∈R )，下面结论错误．．的是( ) A ．函数f (x )的最小正周期为2π B ．函数f (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 C ．函数f (x )的图象关于直线x ＝0对称 D ．函数f (x )是奇函数6．(2011陕西高考)函数f (x )cos x 在[0，＋∞)内( ) A ．没有零点 B ．有且仅有一个零点 C ．有且仅有两个零点 D ．有无穷多个零点 7．(2009重庆高考)下列关系式中正确的是( )A ．sin 11°<cos 10°<sin 168°B ．sin 168°<sin 11°<cos 10°C ．sin 11°<sin 168°<cos 10°D ．sin 168°<cos 10°<sin 11°8．(2009辽宁高考)已知tan θ＝2，则sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ等于( ) A ．－43 B ．54 C ．－34 D ．459．(2013山东高考)函数y ＝x cos x ＋sin x 的图象大致为( )10．(2010安徽高考)动点A (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t ＝0时，点A 的坐标是12⎛ ⎝⎭，则当0≤t ≤12时，动点A的纵坐标y 关于t (单位：秒)的函数的单调递增区间是( )A ．[0,1]B ．[1,7]C ．[7,12]D ．[0,1]和[7,12] 二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上) 11．(2013大纲全国高考)已知α是第三象限角，sin α＝－13，则cot α＝__________． 12．(2010江苏高考)定义在区间0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的函数y ＝6cos x 的图象与y ＝5tan x 的图象的交点为P ，过点P 作x 轴的垂线，垂足为P 1，直线PP 1与函数y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为__________．13．(2011辽宁高考)已知函数f (x )＝A tan (ωx ＋φ)0,2πωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭，y ＝f (x )的部分图象如图，则f 24π⎛⎫⎪⎝⎭＝________．14．(2010福建高考)已知函数f (x )＝3sin 6x πω⎛⎫-⎪⎝⎭(ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则f (x )的取值范围是__________． 15．(2009上海高考)当 0≤x ≤1时，不等式sin2xπ≥kx 成立，则实数k 的取值范围是__________．三、解答题(本大题共4小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题6分)(2013宁夏石嘴山二模)已知－2π<x <0，sin x ＋cos x ＝15．(1)求sin x －cos x 的值； (2)求221cos sin x x-的值．17．(本小题6分)(2012陕西高考)函数f (x )＝A sin 6x πω⎛⎫-⎪⎝⎭＋1(A ＞0，ω＞0)的最大值为3，其图象相邻两条对称轴之间的距离为2π． (1)求函数f (x )的解析式； (2)设α∈0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭，且f 2a ⎛⎫⎪⎝⎭＝2，求α的值． 18．(本小题6分)(2013上海高考)已知函数f (x )＝2sin(ωx )，其中常数ω>0． (1)若y ＝f (x )在2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，求ω的取值范围； (2)令ω＝2，将函数y ＝f (x )的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g (x )的图象．区间[a ，b ](a ，b ∈R ，且a <b )满足：y ＝g (x )在[a ，b ]上至少含有30个零点．在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b －a 的最小值．19．(本小题7分)(2010山东高考改编)已知函数f (x )＝12sin(2x ＋φ)(0<φ<π)，其图象过点162π⎛⎫+⎪⎝⎭． (1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．参考答案一、选择题1．解析：因为cos(－80°)＝cos 80°＝k ，所以．所以tan 100°＝－tan 80°＝－sin80cos80︒︒．答案：B2．解析：根据题意得cos α4，解得x x 或x ＝0)．又α是第二象限角，所以x 即cos α＝－4sin 2a π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝cos α＝－4 答案：B3．解析：因为cot A ＝－125<0，所以A 为钝角． 又因为cot A ＝cos sin A A ＝－125， 所以sin A ＝－512cos A ． 代入sin 2A ＋cos 2A ＝1，求得 cos A ＝－1213． 故选D ． 答案：D4．解析：函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象向左平移8π个单位后变为函数y ＝sin 28x πϕ⎡⎤⎛⎫++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝sin 24x πϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的图象，又y ＝sin 24x πϕ⎛⎫++ ⎪⎝⎭为偶函数，故4π＋φ＝2π＋k π，k ∈Z ，所以φ＝4π＋k π，k ∈Z ． 若k ＝0，则φ＝4π．故选B ． 答案：B5．解析：f (x )＝sin 2x π⎛⎫-⎪⎝⎭＝－cos x (x ∈R )，函数f (x )是偶函数．所以选D ．6．解析：令f (x )＝0cos x ， 因为x ≥0，所以在同一坐标系内画出两个函数y y ＝cos x 的图象如图所示，由图象知，两cos x 只有一个解．所以函数f (x )只有一个零点．答案：B7．解析：因为sin 168°＝sin(180°－168°)＝sin 12°，y ＝sin x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递增函数， 所以sin 11°<sin 168°． 又当0<x <4π时，sin x <cos x ， 则sin 168°<cos 12°， 又y ＝cos x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上是单调递减函数， 所以cos 12°<cos 10°．所以sin 11°<sin 168°<cos 10°． 答案：C8．解析：sin 2θ＋sin θcos θ－2cos 2θ＝2222sin sin cos 2cos sin cos θθθθθθ+-+＝22tan tan 21tan θθθ+-+＝45．答案：D9．解析：因f (－x )＝－x ·cos(－x )＋sin(－x )＝－(x cos x ＋sin x )＝－f (x )，故该函数为奇函数，排除B ，又x ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，y >0，排除C ，而x ＝π时，y ＝－π，排除A ，故选D ．10．解析：由已知可得该函数的周期为T ＝12，ω＝2T π＝6π，又当t ＝0时，A 1,22⎛ ⎝⎭，所以y ＝sin 63t ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，t ∈[0,12]，可解得函数的单调递增区间是[0,1]和[7,12]．答案：D 二、填空题11．解析：由题意知cos α故cot α＝cos sin aa＝答案：12．解析：如图，由题意得：6cos x=5tan x ，即6cos x=,6cos2x=5sin x ，6(1-sin2x)=5sin x ，6sin 2x ＋5sin x －6＝0， 得sin x ＝23，或sin x ＝－32(舍去)． 结合图象得：sin x ＝P 1P 2＝23． 答案：2313．解析：由图知，2T ＝38π－8π＝4π，所以T ＝2π，所以ω＝2，所以f (x )＝A tan (2x ＋φ)，将3,08π⎛⎫⎪⎝⎭代入得， A tan 328πϕ⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭＝0，即tan 34πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝0， 又|φ|<2π， 所以φ＝4π，所以f (x )＝A tan 24x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭． 又f (0)＝1，所以A tan4π＝1，所以A ＝1．所以f 24π⎛⎫⎪⎝⎭＝1·tan 2244ππ⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭＝tan 3π14．解析：因为f (x )和g (x )的对称轴完全相同， 所以二者的周期相同， 即ω＝2，f (x )＝3sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭． 因为x ∈0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以2x －6π∈5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭∈1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 所以f (x )∈3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦． 答案：3,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦15．解析：因为0≤x ≤1时，不等式sin2xπ≥kx 成立， 设y ＝sin2xπ，y ＝kx ，作出两函数的图象，所以由图象可知，当k ≤1时，sin 2xπ≥kx ． 答案：k ≤1三、解答题16．解：(1)221sin cos 5sin cos 1x x x x ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩①② 由①得sin x ＝15－cos x ，将其代入②，整理得 25cos 2x －5cos x －12＝0．因为－2π<x <0，所以3sin 54cos 5x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以sin x －cos x ＝－75． (2)由(1)可得tan x ＝－34． 又因为221cos sin x x -＝2222sin cos cos sin x xx x+-＝222222sin cos cos cos sin cos x xx x x x+-＝22tan 11tan x x+-，所以221cos sin x x -＝257．17．解：(1)因为函数f (x )的最大值为3， 所以A ＋1＝3，即A ＝2．因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π， 所以最小正周期为T ＝π．所以ω＝2． 故函数f (x )的解析式为y ＝2sin 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋1． (2)因为f 2a ⎛⎫⎪⎝⎭＝2sin 6a π⎛⎫- ⎪⎝⎭＋1＝2，即sin 6a π⎛⎫-⎪⎝⎭＝12， 又因为0＜α＜2π，所以－6π＜α－6π＜3π． 所以α－6π＝6π．故α＝3π． 18．解：(1)因为函数y ＝f (x )在2,43ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，且ω>0， 所以2πω≥23π，且－2πω≤－4π， 所以0<ω≤34． (2)f (x )＝2sin 2x ， 将y ＝f (x )的图象向左平移6π个单位，再向上平移1个单位后得到y ＝2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋1的图象，所以g (x )＝2sin 26x π⎛⎫+⎪⎝⎭＋1． 令g (x )＝0，得x ＝k π＋512π或x ＝k π＋34π (k ∈Z )， 所以两个相邻零点之间的距离为3π或23π．若b －a 最小，则a 和b 都是零点，此时在区间[a ，π＋a ]，[a,2π＋a ]，…，[a ，m π＋a ](m ∈N ＋)上分别恰有3,5，…，2m ＋1个零点，所以在区间[a,14π＋a ]上恰有29个零点， 从而在区间(14π＋a ，b ]上至少有一个零点，所以b －a －14π≥3π． 因此，b －a 的最小值为14π＋3π＝433π． 19．解：(1)因为已知函数图象过点162π⎛⎫+⎪⎝⎭， 所以有12＝12sin 26πϕ⎛⎫⨯+ ⎪⎝⎭， 所以φ＋3π＝2π＋2k π，k ∈Z ． 又0<φ<π，解得φ＝6π． (2)由(1)知φ＝6π，所以f (x )＝12sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 所以g (x )＝12sin 46x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭，因为x ∈0,4π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以4x ＋6π∈7,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以当4x ＋6π＝2π时， g (x )取最大值12； 当4x ＋6π＝76π时，g (x )取最小值－14．。
2017_2018学年高中数学第一章基本初等函数Ⅱ检测B新人教B版必修420171016236
第一章基本初等函数（Ⅱ）检测(B)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.-cos250°-sin250°的值等于()A.0B.1C.-1D.cos250°-sin250°=-(sin250°+cos250°)=-1.2.已知sin θ=-,θ∈,则sin(θ-5π)²sin的值是()A.B.-C.-D.sin θ=-,θ∈知cos θ=.又sin(θ-5π)=sin(θ-π)=-sin θ,sin=-cos θ,故sin(θ-5π)sin=sin θcos θ=-=-.3.若cos θ=-,且θ∈(2π,3π),则θ等于()A.arccosB.arccosC.2π+arccosD.π-arccoscos θ=-,所以arccos∈(0,π),而cos(2π+θ)=cos θ=-,所以当θ∈(2π,3π)时,θ=2π+arccos.4.函数y=-x cos x的部分图象是()y=-x cos x的图象上取点,排除A,B;又取点,排除C,故选D.5.cos,sin,-cos的大小关系是()A.cos>sin>-cosB.cos>-cos>sinC.cos<sin<-cosD.-cos<cos<sin=cos,-cos=cos,0<π-<π,又y=cos x在区间[0,π]上是减函数,故cos<sin<-cos.6.已知cos=-,且角φ的终边上有一点(2,a),则a等于()A.-B.2C.±2D.cos=-,得sin φ=,则,解得a=2.7.已知函数f(x)=sin x在区间[a,b]上是增函数,且f(a)=-1,f(b)=1,则cos等于()A.0B.C.-1D.1a=-,b=,则cos=cos 0=1,故选D.8.已知函数y=sin ωx(ω>0)在区间上为增函数,且图象关于点(3π,0)对称,则ω的取值集合为()A.B.C.D.,其中k∈Z,则ω=或ω=或ω=1.9.函数f(x)=sin(ωx+φ)的最小正周期为π,若将其图象向左平移个单位长度后,得到函数g(x)的图象,且g(x)为奇函数,则函数f(x)的图象()A.关于点对称B.关于点对称C.关于直线x=对称D.关于直线x=对称T==π,则ω=2,所以f(x)=sin(2x+φ),所以g(x)=sin=sin.又g(x)为奇函数,则+φ=kπ(k∈Z),则φ=-,即f(x)=sin.把x=代入得sin=1,所以直线x=为f(x)图象的对称轴.故选C.10.为得到函数y=sin的图象,可将函数y=sin x的图象向左平移m个单位长度,或向右平移n个单位长度(m,n均为正数),则|m-n|的最小值是()A.B.C.D.2πm=2k1π+,n=2k2π+(k1,k2∈N),|m-n|=,易知当k1-k2=1时,|m-n|min=.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.点P(sin 2 017°,tan 2 017°)位于平面直角坐标系的第象限.017°=5³360°+217°,因此2 017°是第三象限的角,sin 2 017°<0,tan 2 017°>0,故点P在第二象限.12.函数y=的最小正周期是.=|cos 2x|,其周期为y=cos 2x周期的一半,等于.13.设函数f(x)=a sin(πx+α)+b cos(πx+β),其中a,b,α,β∈R.若f(2 016)=5,则f(2017)=.f(2 016)=a sin(2 016π+α)+b cos(2 016π+β)=a sin α+b cos β=5, 所以f(2 017)=a sin(2 017π+α)+b cos(2 017π+β)=-a sin α-b cos β=-(a sin α+b cos β)=-5.514.若函数f(x)=tan ωx(ω>0)的图象中相邻的两支截直线y=所得线段的长为,则f的值为.T=.因为T=,所以,即ω=4,所以f(x)=tan 4x,所以f=tan=tan=tan.15.已知函数f(x)=A sin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则关于函数f(x)的性质的结论正确的有(填序号).①f(x)的图象关于点对称;②f(x)的图象关于直线x=对称;③f(x)在区间上为增函数;④把f (x )的图象向右平移个单位长度,得到一个偶函数的图象.A=2,,故T=2,则ω=π.又ω+φ=+2k π(k ∈Z ), 由|φ|<,解得φ=,∴f (x )=2sin .∵f =0,∴f (x )的图象关于点对称,①正确;∵f =-2,∴f (x )的图象关于直线x=对称,②正确;由-≤x ≤,得-≤πx+,∴f (x )在区间上为增函数,③正确;f =2sin =2sin =-2cos πx 是偶函数,④正确.故答案为①②③④.三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)在△ABC 中,sin A+cos A=,求tan A 的值.sin A+cos A=,① ①式两边平方,得2sin A cos A=-,知cos A<0,A ∈,∴sin A-cos A=.②由①②,可得sin A=,cos A=,∴tan A=-2-.17.(8分)(1)已知cos(π+α)=-,计算sin(2π-α)-tan(α-3π)的值;(2)求的值.∵cos(π+α)=-,∴cos α=,sin α=±,∴sin(2π-α)-tan(α-3π)=-sin α-tan α=(2)原式===tan α²=1.18.(9分)已知函数f(x)=A sin(3x+φ)(A>0,x∈(-∞,+∞),0<φ<π)在x=时取得最大值4.(1)求f(x)的最小正周期;(2)若g(x)=f(-x),求函数g(x)的单调区间.由已知得即A=4,φ=2kπ+(k∈Z).因为φ∈(0,π),所以φ=,于是f(x)=4sin,最小正周期T=.(2)由(1)知g(x)=4sin=-4sin,由2kπ-≤3x-≤2kπ+,k∈Z,解得≤x≤,k∈Z,故g(x)的减区间是(k∈Z);由2kπ+≤3x-≤2kπ+,k∈Z,解得≤x≤,k∈Z, 故g(x)的增区间是(k∈Z).19.(10分)已知函数f(x)=1+2sin(0<ω<10)的图象过点.(1)求f(x)的解析式;(2)若y=t在x∈上与f(x)恒有交点,求实数t的取值范围.∵函数f(x)=1+2sin的图象过点,∴f=-1, ∴1+2sin=-1,∴sin=-1,∴-ω-=2kπ-(k∈Z),解得ω=-24k+2(k∈Z).∵0<ω<10,∴ω=2,∴f(x)=1+2sin.(2)∵x∈,∴≤2x-,∴1-≤1+2sin≤3,即1-≤f(x)≤3.由题意可知1-≤t≤3,即实数t的取值范围为[1-,3].20.(10分)设x∈R,函数f(x)=cos(ωx+φ)的最小正周期为π,且f.(1)求ω和φ的值;(2)在给定坐标系中作出函数f(x)在[0,π]上的图象;(3)若f(x)>,求x的取值范围.∵函数f(x)的最小正周期T==π,∴ω=2.∵f=cos=cos=-sin φ=,且-<φ<0, ∴φ=-.(2)由(1)知f(x)=cos,列表如下:作图象如图所示.(3)∵f(x)>,即cos,∴2kπ-<2x-<2kπ+(k∈Z),即kπ+<x<kπ+(k∈Z).∴x的取值范围是.。
2017-2018学年人教B版数学必修四检测：第一章 基本初
答案：A
4．若cos ＋sin(π＋θ)＝－m，则cos ＋2sin(6π－θ)的值为()
A. B．－
C．－ D.
解析：由已知，得－sinθ－sinθ＝－m，即sinθ＝ .
∴cos ＋2sin(6π－θ)＝－sinθ－2sinθ＝－3sinθ＝－ .
答案：B
5．计算sin21°＋sin22°＋sin23°＋…＋sin289°＝()
答案：－
10．(1)求值sin2120°＋cos180°＋tan135°－cos2(－330°)＋sin(－210°)．
(2)已知tanα＝2，求 ＋sin2α－3sinα·cosα的值．
解析：(1)原式＝ －1－1－ ＋ ＝－ .
(2)原式＝ ＋ ＝tanα＋ ，
因为tanα＝2，所以原式＝ .
11．已知f(α)＝ .
C. D．－
解析： ＝tan210°＝tan(180°＋30°)＝tan30°＝ .
答案：C
3．已知cos ＝ ，则sin 的值为()
A. B．－
C. D．－
解析：sin ＝sin ＝cos ＝ .
答案：A
4．如果cos(π＋α)＝－ ，那么sin ＝________.
解析：∵cos(π＋α)＝－ ，∴cosα＝ ，
A．89 B．90
C. D．45
解析：原式＝(sin21°＋sin289°)＋(sin22°＋sin288°)＋…＋(sin244°＋sin246°)＋sin245°＝44＋ ＝ .
答案：C
6．已知cos(π＋α)＝－ ，且α是第四象限角，则sin(－2π＋α)的值为()
A. B．－
C．－ D.
解析：∵cos(π＋α)＝－ ，∴cosα＝ .
高中数学新人教B版必修4课堂测试 基本初等函数(Ⅱ)
阶段质量检测（一） 基本初等函数（Ⅱ）(时间120分钟 满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．y ＝sin x3是( )A ．周期为6π的奇函数B ．周期为π3的奇函数C ．周期为6π的偶函数D ．周期为3π的偶函数解析：选A y ＝sin x 3为奇函数，T ＝2π13＝6π，故选A.2．1弧度的圆心角所对的弧长为6，则这个圆心角所夹的扇形的面积是( ) A ．3 B ．6 C ．18D ．36解析：选C ∵l ＝αr ，∴6＝1r . ∴r ＝6.∴S ＝12lr ＝1266＝18.3．若－π2＜α＜0，则点P (tan α，cos α)位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 解析：选B ∵－π2＜α＜0，∴tan α<0，cos α＞0，∴点P (tan α，cos α)位于第二象限．4．已知角θ的终边过点(4，－3)，则cos(π－θ)＝( ) A.45 B ．－45C.35D ．－35解析：选B ∵角θ的终边过(4，－3)，∴cos θ＝45.∴cos(π－θ)＝－cos θ＝－45.5．把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是( )解析：选A 把函数y ＝cos 2x ＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得y ＝cos x ＋1的图象，向左平移1个单位长度，得y ＝cos(x ＋1)＋1的图象，再向下平移1个单位长度得y ＝cos(x ＋1)的图象．则得到的函数为y ＝cos(x ＋1)，令x ＝0，得y ＝cos 1>0，排除C 、D ；又令x ＝π2－1，得y ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－1＋1＝0，排除B.故选A. 6．已知sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，则sin 2α－sin αcos α的值是( )A.25 B ．－25C ．－2D ．2解析：选A 由sin α＋3cos α3cos α－sin α＝5，得12cos α＝6sin α，即tan α＝2，所以sin 2α－sin αcos α＝sin 2α－sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝tan 2α－tan αtan 2α＋1＝25.7．函数y ＝tan ⎝⎛⎭⎫π2－x ⎝⎛⎭⎫x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4且x ≠0的值域为( ) A ．[－1,1] B ．(－∞，－1]∪[1，＋∞) C ．(－∞，1]D ．[－1，＋∞)解析：选B ∵x ∈⎣⎡⎦⎤－π4，π4且x ≠0， ∴π2－x ∈⎣⎡⎦⎤π4，3π4且π2－x ≠π2， 即π2－x ∈⎣⎡⎭⎫π4，π2∪⎝⎛⎦⎤π2，3π4， 当π2－x ∈⎣⎡⎭⎫π4，π2时，y ≥1； 当π2－x ∈⎝⎛⎦⎤π2，3π4时，y ≤－1， ∴函数的值域是(－∞，－1]∪[1，＋∞)．8．将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得的图象向左平移π3个单位，得到的图象对应的解析式为( )A ．y ＝sin 12xB ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π2 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 解析：选C 将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，即将x 变为12x ，即可得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3，然后将其图象向左平移π3个单位，即将x 变为x ＋π3.∴y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6.9.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋BA ＞0，ω＞0，|φ|＜π2的周期为T ，在一个周期内的图象如图所示，则正确的结论是( )A ．A ＝3，T ＝2πB ．B ＝－1，ω＝2C ．T ＝4π，φ＝－π6D ．A ＝3，φ＝π6解析：选C 由题图可知T ＝2⎝⎛⎭⎫4π3＋2π3＝4π， A ＝12(2＋4)＝3，B ＝－1.∵T ＝4π，∴ω＝12.令124π3＋φ＝π2，得φ＝－π6. 10．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( ) A ．f (x )的一个周期为－2πB ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C ．f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D ．f (x )在⎝⎛⎭⎫π2，π单调递减解析：选D 根据函数解析式可知函数f (x )的最小正周期为2π， 所以函数的一个周期为－2π，A 正确；当x ＝8π3时，x ＋π3＝3π，所以cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＝－1，所以B 正确； f (x ＋π)＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋4π3，当x ＝π6时，x ＋4π3＝3π2， 所以f (x ＋π)＝0，所以C 正确；函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3在⎝⎛⎭⎫π2，2π3上单调递减，在⎝⎛⎭⎫2π3，π上单调递增，故D 不正确． 11.已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫ω＞0，|φ|＜π2的部分图象如图所示，则函数f (x )的一个单调递增区间是( )A.⎣⎡⎦⎤－7π12，5π12 B.⎣⎡⎦⎤－7π12，－π12 C.⎣⎡⎦⎤－π4，π6 D.⎣⎡⎦⎤11π12，17π12解析：选D 由图象可得14T ＝23π－512π，∴T ＝π，则ω＝2.又图象过点⎝⎛⎭⎫512π，2，∴2sin ⎝⎛⎭⎫2×512π＋φ＝2，∴φ＝－π3， ∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，其单调递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋512π(k ∈Z)， 取k ＝1，即得选项D.12．中国最高的摩天轮是“南昌之星”，它的最高点离地面160米，直径为156米，并以每30分钟一周的速度匀速旋转，若从最低点开始计时，则摩天轮运行5分钟后离地面的高度为( )A ．41米B ．43米C ．78米D ．118米解析：选B 摩天轮转轴离地面高160－1562＝82(米)，ω＝2πT ＝π15，摩天轮上某个点P离地面的高度h (米)与时间t (分钟)的函数关系是h ＝82－78cos π15t ，当摩天轮运行5分钟时，其离地面高度为h ＝82－78cos π15t ＝82－7812＝43(米)．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上) 13．arctan33＋arcsin ⎝⎛⎭⎫－12＝________. 解析：∵arctan 33＝π6，arcsin ⎝⎛⎭⎫－12＝－π6， ∴arctan 33＋arcsin ⎝⎛⎭⎫－12＝0. 答案：014．已知sin(π－α)＝－23，且α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，则tan(2π－α)＝________. 解析：sin(π－α)＝sin α＝－23，∵α∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， ∴cos α＝1－sin 2α＝53， tan(2π－α)＝－tan α＝－sin αcos α＝255. 答案：25515．已知函数y ＝tan ωx (ω＞0)的图象的相邻两支截直线y ＝1和y ＝2所得的线段长分别为m ，n ，则m ，n 的大小关系是________．解析：∵两条直线所截得的线段长都为y ＝tan ωx (ω＞0)的最小正周期，∴m ＝n ＝πω.答案：m ＝n16．将函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3(ω＞0)的图象向左平移π3ω个单位得到函数y ＝g (x )的图象．若y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，π4上为增函数，则ω的最大值为______． 解析：根据题意得g (x )＝2sin ωx ，又y ＝g (x )在⎣⎡⎦⎤－π6，π4上为增函数，所以T 4≥π4，即ω≤2， 所以ω的最大值为2. 答案：2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)已知cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝12， 求cos (3π＋θ)cos θ[cos (π＋θ)－1]＋cos (θ－4π)cos (θ＋2π)cos (3π＋θ)＋cos (－θ)的值．解：因为cos ⎝⎛⎭⎫π2＋θ＝－sin θ，所以sin θ＝－12.原式＝－cos θcos θ(－cos θ－1)＋cos θcos θ(－cos θ)＋cos θ＝11＋cos θ＋11－cos θ＝21－cos 2θ＝2sin 2θ＝8. 18．(本小题满分12分)设函数f (x )＝sin(2x ＋φ)(－π＜φ＜0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8.(1)求φ；(2)求函数y ＝f (x )的单调增区间．解：(1)∵x ＝π8是函数y ＝f (x )的图象的对称轴，∴sin ⎝⎛⎭⎫2×π8＋φ＝±1. ∴π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z. ∵－π＜φ＜0，∴φ＝－3π4. (2)由(1)知φ＝－3π4，因此y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4. 由题意得2k π－π2≤2x －3π4≤2k π＋π2，k ∈Z.∴k π＋π8≤x ≤k π＋5π8，k ∈Z.∴函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4的单调增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π8，k π＋5π8，k ∈Z. 19．(本小题满分12分)函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的部分图象如图所示．(1)写出f (x )的最小正周期及图中x 0，y 0的值． (2)求f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π2，－π12上的最大值和最小值．解：(1)f (x )的最小正周期为π，x 0＝7π6，y 0＝3.(2)因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，－π12， 所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－5π6，0， 于是当2x ＋π6＝0，即x ＝－π12时，f (x )取得最大值0；当2x ＋π6＝－π2，即x ＝－π3时，f (x )取得最小值－3.20．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π6＋1(其中0＜ω＜1)，若点⎝⎛⎭⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心．(1)试求ω的值．(2)先列表，再作出函数f (x )在区间x ∈[－π，π]上的图象．解：(1)因为点⎝⎛⎭⎫－π6，1是函数f (x )图象的一个对称中心， 所以－ωπ3＋π6＝k π，k ∈Z ， 所以ω＝－3k ＋12，k ∈Z.因为0＜ω＜1，所以k ＝0，ω＝12.(2)由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6＋1，x ∈[－π，π]． 列表如下，则函数f (21．(本小题满分12分)已知f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－1. (1)f (x )的图象是由y ＝sin x 的图象如何变换而来？(2)求f (x )的最小正周期、图象的对称轴方程、最大值及其对应的x 的值．解：(1)将函数y ＝sin x 图象上每一点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的3倍得到函数y ＝3sin x 的图象，再把所得函数图象上每一点的横坐标缩短为原来的12倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝3sin 2x 的图象，再把所得函数的图象向左平移π8个单位长度，得到函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象，再把所得函数的图象向下平移一个单位长度，得到函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4－1的图象． (2)最小正周期T ＝π，由2x ＋π4＝π2＋k π(k ∈Z)，得对称轴方程为x ＝π8＋k π2(k ∈Z)．当2x ＋π4＝π2＋2k π(k ∈Z)，即x ＝π8＋k π(k ∈Z)时，f (x )取得最大值2.22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|＜π2 在一个周期内的图象如图所示． (1)求函数f (x )的解析式；(2)设0＜x ＜π，且方程f (x )＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和．解：(1)观察图象，得A ＝2，T ＝⎝⎛⎭⎫11π12－π643＝π. ∴ω＝2πT ＝2，∴f (x )＝2sin(2x ＋φ)． ∵函数f (x )的图象经过点⎝⎛⎭⎫π6，2， ∴2sin ⎝⎛⎭⎫2×π6＋φ＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1. 又|φ|<π2，∴φ＝π6，∴函数f (x )的解析式为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6. (2)方程f (x )＝m 的根的情况，等价于f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6的图象与g (x )＝m 的图象的交点个数情况．又0＜x ＜π，∴在同一坐标系中画出f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6(0＜x ＜π)和g (x )＝m (m ∈R)的图象如图所示．由图可知当－2<m<1或1＜m＜2时，直线g(x)＝m与曲线f(x)有两个不同的交点，即方程f(x)＝m有两个不同的实数根，∴实数m的取值范围为(－2,1)∪(1,2)．当－2＜m＜1时，此时两交点关于直线x＝2π3对称，两根和为4π3；当1＜m＜2时，此时两交点关于直线x＝π6对称，两根和为π3.。
数学人教B版必修4章末测试：第一章基本初等函数ⅡA 含
第一章测评A(基础过关卷)(时间：90分钟 满分：100分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．扇形的中心角为120°( )A ．πB ．54π C D 22．点P 从(1,0)出发，沿单位圆逆时针方向运动23π弧长到达Q 点，则Q 点的坐标为( )A ．12⎛- ⎝⎭B ．122⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭C ．1,22⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭D ．12⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭3．若sin(π＋A )＝－12，则cos 2A π⎛⎫- ⎪⎝⎭＝( )A ．－12 B ．12 C D 4．若sin 1cos a a +＝12，则sin α＋cos α的值是( )A ．75B ．85C ．1D ．29155．若将y ＝tan 2x 的图象向左平移4π个单位，则所得图象的解析式是( ) A ．y ＝tan 24x π⎛⎫+⎪⎝⎭B ．y ＝tan 24x π⎛⎫-⎪⎝⎭C ．y ＝－1tan 2xD ．y ＝－tan 2x6．下列函数中是奇函数的为( )A ．y ＝22cos cos x xx x+- B ．y ＝sin cos sin cos x x x x +- C ．y ＝2cos x D ．y ＝lg(sin x 7．给出下列等式：①arcsin2π＝1；②arcsin 12⎛⎫- ⎪⎝⎭＝－6π；③arcsin sin 3π⎛⎫ ⎪⎝⎭＝3π；④sin 1sin2arc ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝12，其中正确等式的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的解析式为( )A ．y ＝sin(2x －2)B ．y ＝2cos 3x －1C ．y ＝sin 425x π⎛⎫-⎪⎝⎭－1 D ．y ＝1＋sin 425x π⎛⎫+⎪⎝⎭9．函数y ＝log12cos 322x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的单调递增区间是( ) A ．,44k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z ) B ．,4k k πππ⎡⎫-+⎪⎢⎣⎭(k ∈Z )C ．3,44k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ (k ∈Z ) D ．3,44k k ππππ⎡⎫++⎪⎢⎣⎭(k ∈Z )10．若偶函数f (x )在[－1,0]上为减函数，α，β为任意一个锐角三角形的两个内角，则有( )A ．f (sin α)>f (cos β)B ．f (sin α)>f (sin β)C ．f (cos α)>f (cos β)D ．f (cos α)>f (sin β)二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在题中的横线上)11．如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s (单位：cm)和时间t (单位：s)的函数关系为s ＝6sin 26t ππ⎛⎫+⎪⎝⎭，那么单摆来回摆动一次所需的时间为________．12．若f (x )＝2sin ωx (0<ω<1)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦ω＝________． 13．M ，N 是曲线y ＝πsin x 与曲线y ＝πcos x 的两个不同的交点，则|MN |的最小值为________．14．函数y ＝2sin 2x －2cos x ＋5的最大值为________． 15．已知f (x )＝sin 24x π⎛⎫-⎪⎝⎭，g (x )＝sin 2x ，有如下说法： ①f (x )的最小正周期是2π；②f (x )的图象可由g (x )的图象向左平移8π个单位长度得到； ③直线x ＝－8π是函数f (x )图象的一条对称轴． 其中正确说法的序号是________．(把你认为正确结论的序号都填上)三、解答题(本大题共4小题，共25分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(本小题6分)已知tan α＝－34， (1)求2＋sin αcos α－cos 2α的值；(2)求()()()()()15sin 4cos 3cos cos 2213cos sin 3sin sin 2a a a a a a a a ππππππππ⎛⎫⎛⎫-++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫----+ ⎪⎝⎭的值．17．(本小题6分)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 0,0,02A πωϕ⎛⎫>><< ⎪⎝⎭其中的周期为π，且图象上一个最低点为M 2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭． (1)求f (x )的解析式； (2)当x ∈0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦时，求f (x )的最值． 18．(本小题6分)如果关于x 的方程sin 2x －(2＋a )sin x ＋2a ＝0在x ∈5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个实数根，求实数a 的取值范围．19．(本小题7分)已知y ＝f (x )＝2sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭． (1)用五点法画出函数f (x )的大致图象，并写出f (x )的最小正周期；(2)求函数f (x )在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内的值域； (3)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin x 的图象经过怎样的变换得到？参考答案一、选择题 1．答案：A2．解析：由三角函数定义可知Q 点的坐标(x ，y )满足x ＝cos 23π＝－12，y ＝sin 23π． 答案：A 3．答案：A 4．答案：A 5．答案：C6．解析：当x ∈R 时，均有sin x ，且lg[sin(－x )＝sin x )＝lg(sin x －1＝－lg(sin x ，所以该函数为奇函数． 答案：D 7．答案：C 8．答案：D9．解析：原函数变形为y ＝log12 (－sin 2x )，定义域为,2k k πππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭(k ∈Z )．要求y ＝log12 (－sin 2x )的单调增区间，只要求y ＝sin 2x 的单调增区间即可，所以－2π＋2k π≤2x <2k π，解得－4π＋k π≤x <k π(k ∈Z )．故选B ． 答案：B 10．答案：A 二、填空题 11．解析：T ＝2πω＝22ππ＝1(s)． 答案：1 s12．解析：因为ω∈(0,1)，x ∈0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 所以ωx ∈0,3π⎡⎫⎪⎢⎣⎭0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以f (x )max ＝2sin3ωπ所以sin3ωπ＝2，又因为ω∈(0,1)， 所以3ωπ＝4π，所以ω＝34． 答案：3413．解析：两函数的图象如图所示，则图中|MN|最小，设M(1x ，1y )，N(2x ，2y )， 则1x =4π，2x =54π，12x x -=π，12y y -=12sin cos x x ππ-，所以=．14．解析：y ＝2sin 2x －2cos x ＋5＝2(1－cos 2x )－2cos x ＋5＝－221cos 2x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＋152，当cos x ＝－12时，y max ＝152． 答案：15215．解析：f (x )的最小正周期T ＝22π＝π，所以①不正确； f (x )＝sin 28x π⎡⎤⎛⎫-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，则f (x )的图象可由g (x )＝sin 2x 的图象向右平移8π个单位长度得到，所以②不正确；当x ＝－8π时，f (x )＝sin 284ππ⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝－1，即函数f (x )取得最小值－1，于是x ＝－8π是函数f (x )图象的一条对称轴，所以③正确． 答案：③ 三、解答题16．解：(1)2＋sin αcos α－cos 2α＝()222222sin cos sin cos cos sin cos a a a a aa a++-+＝22222sin sin cos cos sin cos a a a a a a +++＝222tan tan 11tan a a a+++ ＝22332144314⎛⎫⎛⎫⨯-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+- ⎪⎝⎭＝2225． (2)原式＝()()()()()()sin cos sin cos 72cos sin sin sin 62a a a a a a a a ππππππ⎡⎤⎛⎫---+-⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎡⎤⎛⎫---+++⎡⎤ ⎪⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ＝()()2sin cos cos 2cos sin sin sin 2a a a a a a a ππ⎡⎤⎛⎫--- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫---+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭＝22sin cos sin cos sin cos a a aa a a-＝－sin cos a a ＝－tan α＝34． 17．解：(1)由最低点为M 2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭，得A ＝2． 由T ＝π，得ω＝2T π＝2ππ＝2． 由点M 2,23π⎛⎫- ⎪⎝⎭在图象上，得2sin 43πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－2，即sin 43πϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－1， 所以43π＋φ＝2k π－2π，k ∈Z ， 所以φ＝2k π－116π，k ∈Z ． 又φ∈0,2π⎛⎫⎪⎝⎭，所以φ＝6π． 所以f (x )＝2sin 26x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭． (2)因为x ∈0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以2x ＋6π∈,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 所以当2x ＋6π＝6π，即x ＝0时，f (x )取得最小值1；当2x ＋6π＝3π，即x ＝12π时，f (x ) 18．解：由sin 2x －(2＋a )sin x ＋2a ＝0， 则(sin x －2)(sin x －a )＝0． 因为sin x －2≠0，所以sin x ＝a ． 即求当x ∈5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦时，方程sin x ＝a 有两个实数根时a 的范围． 由y ＝sin x ，x ∈5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦与y ＝a 的图象(图略)知12≤a <1，故实数a 的取值范围是1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭． 19．解：(1)列表画图如下：f (x )的最小正周期T ＝π． (2)当－4π≤x ≤4π时，2x ＋3π∈5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， 所以－1≤2sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭≤2． 所以函数f (x )在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内的值域为[－1,2]． (3)把y ＝sin x 的图象上所有的点的横坐标向左平移3π个单位长度，得到y ＝sin 3x π⎛⎫+⎪⎝⎭的图象，再把所得图象的横坐标缩短为原来的12(纵坐标不变)，得到y ＝sin 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭的图象，然后把所得图象的纵坐标伸长为原来的2倍(横坐标不变)，即得到f (x )＝2sin 23x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的图象．。
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综合检测(一)第一章基本初等函数(Ⅱ)(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共计50分，请把答案填在题中的横线上)1．在“①160°；②480°；③－960°；④1 530°”这四个角中，属于第二象限角的是()A．①B．①②C．①②③D．①②③④【解析】∵480°＝360°＋120°，－960°＝－3×360°＋120°，∴①②③均是第二象限角．又1 530°＝4×360°＋90°，④不是第二象限角．【答案】 C2．点P从(1,0)点出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动π3弧长到达Q点，则Q点坐标为()A．(12，32) B．(－32，－12)C．(－12，－32) D．(－32，12)【解析】设∠POQ＝θ，则θ＝π3.又设Q(x，y)，则x＝cos π3＝12，y＝sinπ3＝32.【答案】 A3．已知角α的终边经过点(3a，－4a)(a<0)，则sin α＋cos α等于()A.15 B.75C．－15D．－75【解析】r＝(3a)2＋(－4a)2＝－5a.∴sin α＝－4a－5a＝45，cos α＝3a－5a＝－35，∴sin α＋cos α＝45－35＝15.【答案】 A4．(2013·郑州高一检测)对于函数y＝sin(132π－x)，下列说法中正确的是()A．函数是最小正周期为π的奇函数B．函数是最小正周期为π的偶函数C．函数是最小正周期为2π的奇函数D．函数是最小正周期为2π的偶函数【解析】y＝sin(132π－x)＝sin(π2－x)＝cos x，故D项正确．【答案】 D5．(2012·天津高考)设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若φ＝0，则f(x)＝cos x是偶函数，但是若f(x)＝cos(x＋φ)是偶函数，则φ＝π也成立．故“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的充分而不必要条件．【答案】 A6.图1(2013·陕西师大附中高一检测)已知函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图1所示，则( )A ．ω＝2，φ＝π6 B ．ω＝1，φ＝－π6 C ．ω＝1，φ＝π6 D ．ω＝2，φ＝－π6【解析】 由图可知T ＝4(712π－π3)＝π. 又T ＝2πω，ω＝2ππ＝2，∴y ＝sin(2x ＋φ)， 代入点(π3，1)，得sin(23π＋φ)＝1，又|φ|＜π2， ∴φ＝－π6. 【答案】 D7．函数y ＝2cos(2x －π3)＋1在区间[－π4，π4]上的值域为( ) A ．[1－3，1＋3] B ．[1－3，3] C ．[－1,3]D ．[－1,1＋3]【解析】 ∵－π4≤x ≤π4，∴－5π6≤2x －π3≤π6， ∴－32≤cos(2x －π3)≤1，∴1－3≤2cos(2x －π3)＋1≤3，故选B. 【答案】 B8．已知sin(α＋π2)＝13，α∈(－π2，0)，则tan α等于( ) A ．－2 2 B ．2 2 C ．－24D.24【解析】 由sin(α＋π2)＝13，得cos α＝13，又α∈(－π2，0)． ∴sin α＝－1－cos 2α＝－223. 故tan α＝sin αcos α＝－2 2. 【答案】 A9．下列函数中，以π为周期且在区间(0，π2)上为增函数的函数是( ) A ．y ＝sin x2B ．y ＝sin xC ．y ＝－tan xD ．y ＝－cos 2x【解析】 C 、D 中周期为π，A 、B 不满足T ＝π. 又y ＝－tan x 在(0，π2)为减函数，C 错． y ＝－cos 2x 在(0，π2)为增函数． ∴y ＝－cos 2x 满足条件． 【答案】 D10．(2013·福建高考)将函数f (x )＝sin(2x ＋θ)⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＜θ＜π2的图象向右平移φ(φ＞0)个单位长度后得到函数g (x )的图象，若f (x )，g (x )的图象都经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32，则φ的值可以是( )A.5π3 B.5π6 C.π2D.π6【解析】 ∵P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，32在f (x )的图象上，∴f (0)＝sin θ＝32. ∵θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴θ＝π3，∴f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，∴g (x )＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2(x －φ)＋π3.∵g (0)＝32， ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2φ＝32. 验证，φ＝56π时，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2φ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－53π＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43π＝32成立． 【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)11．函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的最小正周期为________．【解析】 由题意知，ω＝2，所以f (x )＝sin(2x ＋π4)的最小正周期为T ＝2π2＝π.【答案】 π12．sin(－120°)cos 1 290°＋cos (－1 020°)sin (－1 050°)＝______. 【解析】 原式＝－sin 120°cos 210°＋cos 60°sin 30° ＝－32×(－32)＋12×12＝1. 【答案】 113．(2013·玉溪高一检测)若θ是△ABC 的一个内角，且sin θcos θ＝－18，则sin θ－cos θ的值为________．【解析】 由sin θcos θ＝－18＜0知π2＜θ＜π，∴sin θ＞0，cos θ＜0，(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝1－2×(－18)＝54.又sin θ－cos θ＞0，∴sin θ－cos θ＝52. 【答案】 5214．设f(x)＝2sin ωx，(0<ω<1)在闭区间[0，π3]上的最大值为2，则ω的值为__________．【解析】∵0<ω<1，∴T＝2πω，∴T4＝π2ω>π2.∴f(x)＝2sin ωx在[0，π3]上为增函数．∴f(x)max＝f(π3)＝2sinπ3ω＝ 2.∴sin π3ω＝22，即π3ω＝π4，∴ω＝34.【答案】3 4三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)已知角x的终边过点P(1，3)．(1)求：sin(π－x)－sin(π2＋x)的值；(2)写出角x的集合S.【解】∵x的终边过点P(1，3)，∴r＝|OP|＝12＋(3)2＝2.∴sin x＝32，cos x＝12.(1)原式＝sin x－cos x＝3－1 2.(2)由sin x＝32，cos x＝12.若x∈[0,2π]，则x＝π3，由终边相同角定义，∴S＝{x|x＝2kπ＋π3，k∈Z}.16．(本小题满分12分)(2013·邯郸高一检测)(1)已知cos α＝－45，且α为第三象限角，求sin α的值；(2)已知tan α＝3，计算4sin α－2cos α5cos α＋3sin α的值．【解】 (1)∵cos 2α＋sin 2α＝1，α为第三象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－ 1－(－45)2＝－35.(2)显然cos α≠0，∴4sin α－2cos α5cos α＋3sin α＝4sin α－2cos αcos α5cos α＋3sin αcos α＝4tan α－25＋3tan α＝4×3－25＋3×3＝57. 17．(本小题满分12分)已知f (x )＝sin(2x ＋π6)＋32，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期和单调增区间．(2)函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？ 【解】 (1)T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，知k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．所以所求函数的最小正周期为π，所求的函数的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z )．(2)变换情况如下：18．(本小题满分14分)(2013·徐州高一检测)在已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R (其中A >0，ω>0,0<φ<π2)的图象与x 轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为π2，且图象上一个最低点为M (2π3，－2)．(1)求f (x )的解析式；(2)当x ∈[π12，π2]时，求f (x )的值域．【解】(1)由最低点为M(2π3，－2)，得A＝2.由x轴上相邻两个交点之间的距离为π2，得T2＝π2，即T＝π，∴ω＝2πT＝2ππ＝2.由点M(2π3，－2)在图象上得2sin(2×2π3＋φ)＝－2，即sin(4π3＋φ)＝－1，故4π3＋φ＝2kπ－π2(k∈Z)，∴φ＝2kπ－11π6(k∈Z)．又φ∈(0，π2)，∴φ＝π6，故f(x)＝2sin(2x＋π6)．(2)∵x∈[π12，π2]，∴2x＋π6∈[π3，7π6]，当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)取得最大值2；当2x＋π6＝7π6，即x＝π2时，f(x)取得最小值－1.故f(x)的值域为[－1,2]．。