2012-2013学年海淀区高三第一学期期中练习数学(理科)

2012-2013海淀第一学期其中高三数学（理科）试题 第1页（共6页）海淀区高三年级第一学期期中练习数 学（理科） 2012. 11本试卷共4页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知全集U =R ，集合2{|1}A x x =≥，则U A =ðA ．(,1)-∞B ．(1,1)C ．(1,)+∞D ．(,1)(1,)-∞-+∞U 2．下列函数中，在定义域内是减函数的是 A ．1()f x x=-B．()f x = C ．1()2xf x =D ．()ta n f x x =3．在平面直角坐标系xoy 中，已知(0,0)O ，(0,1)A，B ，则O A A B ⋅uur uuu r的值为A ．1 B1 CD14．已知数列{}n a 的前n 项和122n n S +=-，则3a =A ．1-B ．2-C ．4-D ．8- 5．sin 15co s 15︒+︒的值为 A ．12B．4C．2D．26．“0t ≥”是“函数2()f x x tx t =+-在(,)-∞+∞内存在零点”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 7．已知函数1,0,()1,0,x f x x -<⎧=⎨≥⎩则不等式(1)1x f x -≤的解集为A ．[1,)-+∞B ．(,1]-∞C ．[1,2]D ．[1,1]- 8．已知集合{(,)|()}M x y y f x ==，若对于任意11(,)x y M ∈，存在22(,)x y M ∈，使得12120x x y y +=成立，则称集合M 是“好集合”．给出下列4个集合：①1{(,)|}M x y y x==②{(,)|e 2}xM x y y ==-③{(,)|co s }M x y y x == ④{(,)|ln }M x y y x == 其中所有“好集合”的序号是A ．①②④B ．②③C ．③④D ．①③④ 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．10e d xx =⎰ ．10．设0.5a =π，3lo g 2b =，co s 2c =，则,,a b c 从大到小．．．．的顺序为 ． 11．函数211()(2)2x f x x x +=≤≤的值域为 ． 12．在A B C ∆中，点M 为边A B 的中点，若O P uuu r ∥O M uuur ，且(0)O P xO A y O B x =+≠uu u r uur uu u r，则y x= ．13．已知函数()y g x =的图象由()sin 2f x x =的图象向右平移(0)ϕϕ<<π个单位得到，这两个函数的部分图象 如图所示，则ϕ= ．14．数列{}n a 中，如果存在k a ，使得“1k k a a ->且1k k a a +>”成立（其中2k ≥，k *∈N ），则称k a 为{}n a 的一个峰值．（Ⅰ）若2311n a n n =-+，则{}n a 的峰值为 ；（Ⅱ）若ln n a t n n =-，且{}n a 不存在峰值，则实数t 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且25a =-，520S =-． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；2012-2013海淀第一学期其中高三数学（理科）试题 第2页（共6页）（Ⅱ）求使不等式n n S a >成立的n 的最小值．16．（本小题满分13分）已知函数2()2sin c o s(2)2f x x x π=-+．（Ⅰ）求()8f π的值；（Ⅱ）求函数()f x 的最小正周期及单调递减区间．17．（本小题满分13分）在A B C ∆中，4A π∠=，tan ()7A B +=，A C =（Ⅰ）求sin C 的值； （Ⅱ）求A B C ∆的面积．18．（本小题满分13分）如图所示，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中4A E =米，6C D =米．为了合理利用这块钢板，将在五边形A B C D E 内截取一个矩形块B N P M ，使点P 在边D E 上．（Ⅰ）设M P x =米，P N y =米，将y 表示成x 的函数，求该函数的解析式及定义域； （Ⅱ）求矩形B N P M 面积的最大值．19．（本小题满分14分）已知函数32211()(21)()32f x x a x a a x =-+++．（Ⅰ）若()f x 在1x =处取得极大值，求实数a 的值；（Ⅱ）若m ∀∈R ，直线y k x m =+都不是曲线()y f x =的切线，求k 的取值范围； （Ⅲ）若1a >-，求()f x 在区间[0,1]上的最大值．20．（本小题满分14分）已知数集12{,,A a a =…,}n a 12(1a a =<<…,2)n a n <≥具有性质P ：对任意的(2)k k n ≤≤，,(1)i j i j n ∃≤≤≤，使得k i j a a a =+成立． （Ⅰ）分别判断数集{1,3,4}与{1,2,3,6}是否具有性质P ，并说明理由；（Ⅱ）求证：122n a a a ≤++…1(2)n a n -+≥； （Ⅲ）若72n a =，求数集A 中所有元素的和的最小值．NBMDF CA2012-2013海淀第一学期其中高三数学（理科）试题 第3页（共6页）参考答案及评分标准 2012．11一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）B C B D C A D B二、填空题（本大题共6小题,每小题5分, 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分） 9．e 1- 10．a b c >> 11．5[2,]212．113．π314．10；*11{|,2}1ln 2ln ()N t t t n n n n≤=∈≥+或且三、解答题(本大题共6小题,共80分) 15．（本小题满分13分） 解：（I ）设{}n a 的公差为d ，依题意，有 21515,51020a a d S a d =+=-=+=- ………………2分联立得11551020a d a d +=-⎧⎨+=-⎩解得161a d =-⎧⎨=⎩ ………………5分所以6(1)17n a n n =-+-⋅=- ………………7分 （II ）因为7n a n =-，所以1(13)22nn a a n n S n +-==………………9分令(13)72n n n ->-，即215140n n -+> ………………11分解得1n <或14n >又*N n ∈，所以14n >所以n 的最小值为15 ………………13分16.（本小题满分13分）解：（Ⅰ）因为2π()2c o s c o s(2)2f x x x =-+22c o s sin 2x x =+………………2分1cos 2sin 2x x =++………………4分π(2)14x =++………………6分所以πππ()()11844f =++= ………………7分（Ⅱ）因为π()(2)14f x x =++所以2ππ2T == ………………9分又sin y x =的单调递减区间为π3π2π,2π 22k k ++（），()Z k ∈ ………………10分所以令ππ3π2π22π242k x k +<+<+………………11分解得π5πππ 88k x k +<<+………………12分所以函数()f x 的单调减区间为π5π(π+,π) 88k k +，()Z k ∈ ………………13分17．（本小题满分13分）解：（I ）在ABC ∆中，因为πA B C ++= ………………1分所以ta n ta n [π()]ta n ()C A B A B =-+=-+ ………………3分 因为ta n ()7A B +=，所以tan 7C =- ………………4分2012-2013海淀第一学期其中高三数学（理科）试题 第4页（共6页）又22sin ta n 7c o s sin c o s 1C C C C C ⎧==-⎪⎨⎪+=⎩解得|s in |10C =………………5分因为(0,π),C ∈所以7s in 10C = ………………6分（II ）因为π4A =，所以1ta n ta n ()71ta n B A B B++==-解得3ta n 4B =………………8分因为(0,π),C ∈ 所以3s in 5B =………………9分由正弦定理sin sin b c B C=，代入得到7c = ………………11分所以1sin 2A B C S b c A ∆=1π217sin242=⨯⨯= ………………13分18.（本小题满分13分）解：（I ）作P Q A F ⊥于Q ，所以8,4P Q y E Q x =-=- ………………2分在E D F ∆中，E Q EF P QF D=所以4482x y-=- ………………4分所以1102y x =-+，定义域为|48}{x x ≤≤ ………………6分(II) 设矩形B N P M 的面积为S ，则21()(10)(10)5022x S x xy x x ==-=--+ ………………9分所以()S x 是关于x 的二次函数，且其开口向下，对称轴为10x =所以当(4,8)x ∈，()S x 单调递增 ………………11分 所以当8x =米时，矩形B N P M 面积取得最大值48平方米 ………………13分19.（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因为22()(21)()f x x a x aa '=-+++()[(1)]x a x a =--+ ………………2分令()0f x '=，得1(1)x a =+，2x a=所以()f x '，()f x 随x 的变化情况如下表：………………4分 所以1a = ………………5分2012-2013海淀第一学期其中高三数学（理科）试题 第5页（共6页）（II ）因为2211()()24a f x x +'=--………………6分因为m ∀∈R ，直线y k x m =+都不是曲线)(x f y =的切线 所以2211()()24a f x x k+'=--≠对R x ∈成立 ………………7分只要()f x '的最小值大于k所以 14k<-………………8分(III) 因为1,a >-所以10,a +>当1a ≥时，()0f x '≥对[0,1]x ∈成立 所以当1x=时，()f x 取得最大值21(1)6f a =-………………9分 当01a <<时， 在(0,)x a ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增 在(,1)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减所以当xa=时，()f x 取得最大值3211()32f a a a=+………………10分当0a =时， 在(0,1)x ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减所以当0x=时，()f x 取得最大值(0)0f = ………………11分当10a -<<时，在(0,1)x a ∈+时，()0f x '<，()f x 单调递减 在(1,1)x a∈+时，()0f x '>，()f x 单调递增又21(0)0,(1)6f f a ==-，当16a -<<-时，()f x 在1x=取得最大值21(1)6f a =-当06a -<时，()f x 在0x=取得最大值(0)0f =当6a=-时，()f x 在0x =，1x =处都取得最大值0. ………………14分综上所述， 当1a ≥或16a -<<-时，()f x 取得最大值21(1)6f a =-当01a <<时，()f x 取得最大值3211()32f a a a=+当6a =-时，()f x 在0x=，1x=处都取得最大值0当06a -≤时，()f x 在0x =取得最大值(0)0f =.20.（本小题满分14分）解：(Ⅰ)因为 311≠+， 所以{1,3,4} 不具有性质P .因为 2=12, 3=1+2, 6=33⨯+，所以{1,2,3,6}具有性质P ………………4分 (Ⅱ)因为集合12={,,,}n A a a a ⋅⋅⋅具有性质P ：即对任意的(2),k k n ≤≤ , (1)i j i j n ∃≤≤≤，使得=+k i j a a a 成立， 又因为121<<<, 2n a a a n =⋅⋅⋅≥，所以,i k j k a a a a << 所以11,i k j k a a a a --≤≤，所以1=+2k i j k a a a a -≤即12n n a a -≤，122332212, 2,..., 2, 2n n n n a a a a a a a a ----≤≤≤≤ ………………6分 将上述不等式相加得21121+++2(+++)n n n a a a a a a --⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅所以1212+++n n a a a a -≤⋅⋅⋅………………9分(Ⅲ)最小值为147.首先注意到1=1a ，根据性质P ,得到21=2=2a a 所以易知数集A 的元素都是整数.构造={1,2,3,6,9,18,36,72}A 或者={1,2,4,5,9,18,36,72}A ，这两个集合具有性质P , 此时元素和为147.下面，我们证明147是最小的和假设数集1212={,,,}(<<<,2)n n A a a a a a a n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥，满足=1147ni i S a =≤∑最小（存在性显然，2012-2013海淀第一学期其中高三数学（理科）试题 第6页（共6页）因为满足=1147ni i a ≤∑的数集A 只有有限个）.第一步：首先说明集合1212={,,,}(<<<,2)n n A a a a a a a n ⋅⋅⋅⋅⋅⋅≥中至少有８个元素:由(Ⅱ)可知21322, 2.......a a a a ≤≤又1=1a ，所以2345672, 4, 8, 16, 32, 6472a a a a a a ≤≤≤≤≤≤<， 所以8n ≥第二步：证明12336,18,9n n n a a a ---===：若36A ∈，设=36t a ，因为723636n a ==+，为了使得=1ni i S a =∑最小，在集合A中一定不含有元素k a ，使得36<72k a <，从而136n a -= ；假设36A ∉，根据性质P ，对72n a =，有,i j a a ，使得72n i j a a a ==+ 显然i j a a ≠, 所以144n i j a a a ++=而此时集合A 中至少还有5个不同于,,n i j a a a 的元素， 从而1()5149n i j S a a a a >+++=，矛盾， 所以36A ∈，进而=36t a ，且136n a -=； 同理可证：2318,9n n a a --==（同理可以证明：若18A ∈，则218n a -= 假设18A ∉.因为136,n a -=根据性质P ，有,i j a a ，使得136n i j a a a -==+ 显然i j a a ≠, 所以1144n n i j a a a a -+++=，而此时集合A 中至少还有４个不同于1,,,n n i j a a a a -的元素从而114148n n i j S a a a a a ->++++=，矛盾， 所以18A ∈，且218n a -=同理可以证明：若9A ∈，则39n a -=假设9A ∉因为218,n a -=根据性质P ，有,i j a a ，使得218n i j a a a -==+ 显然i j a a ≠, 所以12144n n n i j a a a a a --++++=而此时集合A 中至少还有３个不同于12,,,,n n n i j a a a a a --的元素从而1213147n n n i j S a a a a a a -->+++++=，矛盾， 所以9A ∈，且39n a -= ）至此，我们得到了12336,18,9n n n a a a ---===. 根据性质P ，有,i j a a ，使得9i j a a =+ 我们需要考虑如下几种情形：①8,1i j a a ==, 此时集合中至少还需要一个大于等于4的元素k a ，才能得到元素8，则148S >；②7,2i j a a ==，此时集合中至少还需要一个大于4的元素k a ，才能得到元素7， 则148S >；③6,3i j a a ==，此时集合={1,2,3,6,9,18,36,72}A 的和最小，为147；④5,4i j a a ==，此时集合={1,2,4,5,9,18,36,72}A 的和最小，为147. ………14分。