工程数学-《矢量分析与场论》
矢量分析与场论课后答案
矢量分析与场论课后答案矢量分析与场论习题11（写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。
1 xatybt,, cos, sin,,2 xtytzt,,, 3sin, 4sin, 3cos,,1解：，其图形是平面上之椭圆。
ratibtj, , cossinxOy,,,其图形是平面与圆柱面rtitjtk, , , 3sin4sin3cos430xy,, 2,,222xz, , 3之交线，为一椭圆。
223, , , rtitjtk解：曲线的矢量方程为3dr2, i, 2tj, 2tk则其切向矢量为dtdr2421 |, 1, 4t, 4t, 1, 2t 模为dt2drdri, 2tj, 2tk/H,于是切向单位矢量为2dtdtl, 2t,2t, 6（求曲线在处的一个切向矢量。
xatyatzat,,, sin, sin2, cos, 4 2ratiatjatk, , , sinsin2cos 解：曲线矢量方程为dr,,, , , atiat jatksin22cos2sin 切向矢量为dt,d2rt,在处，,,,,aiak, 4t, 4d2t22t, 27.求曲线在对应于的点M处的切线方程和x,t, l,y, 4t, 3, z, 2t, 6t 法平面方程。
22r, (t, l)i, (4t, 3) j, (2t, 6t)k,M(5, 5,, 4),解:由题意得曲线矢量方程为dr 在的点M 处,切向矢量t,2,,,[2ti, 4j, (4t,6)k],4i, 4j, 2kt, 2dtt, 2y, oy, ox, 5z, 4x, 5z, 4于是切线方程为，，，即，，442221于是法平面方程为，即2(x, 5), 2(y, 5), (z, 4),02x, 2y, z, 16, 0238(求曲线上的这样的点，使该点的切线平行于平面。
xyz, , ,24rtitjtk,,,dr2解：曲线切向矢量为，？，，，，，23itjtkdt平面的法矢量为，山题知nijk, , , 222 ,,, , ,, , niktt, , itjtk2302j, ,,143,,,,得。
矢量分析与场论
(4)标量场的梯度(gradient）
在场的某一点上，场沿不同方向上变化率的大小（方向导数）是 不同的，必然存在一个变化最大的方向。
定义：场变化最大的方向为标量场梯度的方向，其数值为标量场 的梯度值。
| gradu n u i u j u k u
l max x y z
为了书写和运算方便，引入Hamilton算子，它是微分运算符号， 又是矢量，即是矢量微分算子：
r=2,θ=-60°, z=1 任一矢量可以表示为：
16
和直角坐标系的变换关系：
x r cos y rsin
zz
0r
范围： 0 2
A
er Ar
e
A
z
ez AZ
Transport Phenomena, Xu Jian, 2016
1.2.2.2 柱坐标系(Cylindrical Coordinate System)
(1)场的概念
如果场与时间无关，称为静态场，反之为时 变场。静态标量场和矢量场可分别表示为：
ux, y, z ，Fx,y,z
时变标量场和矢量场可分别表示为：
ux, y,z，t ， F x, y,z,t
24
Transport Phenomena, Xu Jian, 2016
(2)标量场的等值面
经常使用场的等值面来直观表示场在空间的变化。 所谓等值面是标量场为同一数值的各点在空间形
标量场的梯度函数建立了标量场与矢量场的联系， 这一联系使得某一类矢量场可以通过标量函数来研 究，或者标量场可以通过矢量场来研究。
32
Transport Phenomena, Xu Jian, 2016
(7) 梯度运算的基本公式
设c为一常数，u和v为标量场
矢量分析与场论
第0章 矢量分析
Vector Analysis
矢 量 分 析
标量场和矢量场 标量场的梯度 矢量场的通量与散度 矢量场的环量与旋度 亥姆霍兹定理
电磁场的特殊形式
Electrical Engineering Department，HFUT
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第 零 章
0.1 标量场和矢量场
Scalar Field and Vector Field
Electrical Engineering Department，HFUT
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第 零 章
矢 量 分 析
0.3.3 高斯散度定理 ( Divergence Theorem )
A lim
1 V 0 V
S A dS
通量元密度
图0.3.4 散度定理
Φ A dS lim
0.3.2 散度 ( Divergence ) 如果包围点 P 的闭合面S 所围区域V 以任意方式
缩小到点 P 时：
V 0
lim
1 V
S
A dS divA
Ax x Ay y Az z
divA A
———散度 (divergence)
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设
g (
, , ), el (cos , cos , cos ) x y z
式中 , , 分别是任一方向 l 与 x, y, z 轴的夹角
g el | g | cos( g , el ) 则有： l 当 ( g, el ) 0 ， 最大 l
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《矢量分析与场论》数量场的方向导数和梯度
u du l ds
l
M
M0
C
2.方向导数
以 s 为参 数的参数方程为： 证：设曲线
x x( s),
C
l
M
y y ( s),
z z ( s)
M0
C
则 沿 曲 线C ， 函 数 ，
u u[ x( s), y( s), z ( s)]
根据复合函数的求导定理，有
du u dx u dy u dz ds x ds y ds z ds
u u lim s s 0 s
2.方向导数 定理 3 ：若在点 M处函数 u 可微、曲线
光滑， C
则有：
u du s ds
u du 存在时，有 s ds
证：
du u 故当 lim s 0 s ds
。
2.方向导数 推论：若在点 M 处函数 u 可微、曲线 C 光滑， 则有：
2 2 2
令：
x y z cos a , cos , cos l l l
分别表示 l 在 x, y, z 轴上的方向余弦，于是得到：
l cosai cos j cosk
2 2 2
cos cos cos 1
2.方向导数
l
与 G 的方向一致时，即 cos(G, l ) 1 时，
的方向导数。
当方向
方向导数取最大值。
3.梯度 最大值为：
u G l
矢量 G 的方向就是函数 u(M变化率最大的方向， )
其模正好是最大变化率的数值。
把 G 叫做函数 u(M )在给定点处的梯度。
《矢量分析与场论》 矢量场的通量及散度
q •o
径为 R 的球面的通量。
x
y
R
解：电位移矢量为
D
qr
4r 3
q
4r 2
r r
q
4r 2
r
r r x2 y2 z2
根据通量的定义，有 球面外法向单位矢量
D • dS
S
n
r
dS
ndS
r
在球面上有
rR
4.通量和源
为 n 个弧长小段，第 i 段有，
li (xi1 xi )2 ( yi1 yi )2 (zi1 zi )2 xi2 yi2 zi2
且 (i ,i , i ) 是在 li 内的一点。
2.曲线积分
如果（1）式的极限存在，则把该极限称之为数
量场u(x, y, z) 在曲L线 上对弧长的曲线积分，记 作
y
o
x
D
( k ) x y (k ,k , k )
3.曲面积分
(i ,i , i ) 是 曲 面 上 的Si 一 点 ，
若式（2）的极限存在，则称
z
S Si
y
为数量场
u(x, y在, z曲) 面上 x o
的面积曲面积分，也称为第I
D
型曲面积分。记作
( k )x y (k ,k , k )
最后得到：
(Axdydz Aydxdz Azdxdy)
为矢量函数
A(
S
x,
y,
z
)
对坐标的曲面积分，也称为
第II型曲面积分。
在上式中，被积函数 Ax , Ay , Az中的 x, y, z 并不独立， 受曲面 S 的约束。
矢量分析与场论义
矢量分析与场论矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、连续、导数、微分、积分等。
而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。
通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。
第一章 矢量分析一 内容概要1 矢量分析是场论的基础，本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。
与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。
2 本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数()t A ，但在后边场论部分所涉及的矢性函数，则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数()y x ,A 或者()z y x ,,A ，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念，完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。
3 本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢()t 'A 的几何意义，即()t 'A 是位于()t A 的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应t 值的点处，且恒指向t 值增大的一方。
如果将自变量取为矢端曲线的弧长s ，即矢性函数成为()s A A =，则()dsd s A A ='不仅是一个恒指向s 增大一方的切向矢量，而且是一个单位切向矢量。
这一点在几何和力学上都很重要。
4 矢量()t A 保持定长的充分必要条件是()t A 与其导矢()t 'A 互相垂直。
因此单位矢量与其导矢互相垂直。
比如圆函数()j i e t t t sin cos +=为单位矢量，故有()()t t 'e e ⊥，此外又由于()()t t 1'e e =，故()()t t 1e e ⊥。
（圆函数还可以用来简化较冗长的公式，注意灵活运用）。
矢量分析与场论第一讲
xa
xa
xa
其中u为数量函数，f，g为向量函数
§2、向量函数的导数与微分 设有向量函数y=f(x),xD,若有m×n常数矩阵A使
f(x)=f(a)+A(x-a)+O(|x-a|)
其中O(|n-a|)={O1(|x-a|),…Om(|x-a|)}每个Oi(|x-a|)都是|x-a| 当x→a时的无穷小，称f在a点可微，A为f在a处的导数，通常
2
上面的积分变换中自然地出现了向量函数
f 1 : R2 D D R2
由假设
det(Df
1 )
det
y x2
y
x y
u v
1
x x
2
y x
2u
得
detDf det1 Df 1 1 2u
例题2
直角坐标与极坐标之间有熟知的关系
x r cos
y
r
sin
这表示有一个向量值函数
f : R2 D R2 , D 0, 0,2
称为jacobian矩阵
称
A
Df (a)
df=Adx
fi x j
(a)m n
为f在a处的微分
链式法则：设有两个向量值函数
Rn f Rm g Rl
则
D(g f ) Dg Df
特别的，如g=f-1，则 g f id D(id)=E
固有 D(f-1)=(Df)-1
易算得
例题1
计算二重积分 I xydxdy
矢量分析与场论
教材《矢量分析与场论》谢树艺 高等教育出版社第三版
第一章 矢量分析
§1、矢性函数
矢性函数在数学里称作向量值函数，他是通常函数概念的推
广 定义：映射f：RnD→Rm,x→y=f(x)
矢量分析与场论讲义全
l
l
称为 A 沿闭曲线l的环量。
定义：若 lim 存在，则
SP S
称此极限为矢量场
n
P
S
A沿l之正向的环量 在点P处沿n方向的 环量面密度。
l
图3 闭合曲线方向与面元的 方向示意图 (P59)
性质：l围成的面元法矢量 旋涡面的方向
重合，最大
夹角，中间值 R
垂直， 0
矢量R
旋度矢量
①在任意面元方向上的投影就给出该方向的环量面密 度
其内某点M 收缩时，若平均发散量的极限值存在，
便记作
A ds
divA lim s V V 0
称为矢量场 A(M ) 在该点的散度(div是divergence的缩写)
散度的重要性在于，可用表征空间各点矢量场发 散的强弱程度，当div A 0，表示该点有散发通量 的正源；当div A 0 ，表示该点有吸收通量的负源；
定义：①线矢量l: 矢量场A中的
一条封闭的有向曲线
z
②环量Г：（图2） A
A dl Acos dl
l
l
性质：① Г是标量
P
dl l
② Г≠ 0，l 内有旋涡源 O
y
③ Г=0，l 内无旋涡源 x
图2 矢量场的环量(P56)
环量的表达式
定义 向量场 A 沿空间有向闭曲线 l 的
线积分 A dl Pdx Qdy Rdz
ds
通过曲面s的通量f即为每一面元通量之和
v ds
s
对于闭合曲面s，通量f为
v ds s
定义 向量场 A沿选定方向的曲面S的面积分
A dS Pdydz Qdzdx Rdxdy
S (定侧)
S