(完整word版)巴特沃斯数字低通滤波器的设计—双线性变换法

课程设计任务书2010—2011学年第一学期专业： 通信工程 学号： 080110509 姓名： 郭威课程设计名称： 数字信号处理课程设计设计题目： 巴特沃斯数字低通滤波器的设计—双线性变换法完成期限：自 2011 年 1 月 3 日至 2011 年 1 月 9 日共 1 周一．设计目的1．巩固所学的理论知识。

2．提高综合运用所学理论知识独立分析和解决问题的能力。

3．更好地将理论与实践相结合。

4．掌握信号分析与处理的基本方法与实现。

5．熟练使用MATLAB 语言进行编程实现。

二．设计内容已知四阶归一化低通巴特沃斯模拟滤波器系统函数为()16131.24142.36131.21234++++=s s s s s H a ，编写MATLAB 程序实现从()s H a 设计3dB 截止频率为2π=c w 的四阶低通巴特沃斯数字滤波器。

三．设计要求1、设采样周期为s T 1=，用双线性变换法进行设计；2、绘出滤波器的的幅频响应曲线并分析所得结果是否满足技术指标；3、和同组另一同学采用的脉冲响应不变法设计的结果进行比较分析。

四．设计条件计算机、MATLAB 语言环境五、参考资料[1] 丁玉美，高西全.数字信号处理.西安：电子科技大学出版社，2006.[2] 陈怀琛，吴大正，高西全. MATLAB 及在电子信息课程中的应用.北京：电子科技大学出版社，2003.[3] 楼顺天，李博苗.基于MATLAB的系统分析与设计一信号处理西安：西安电子科技大学出版社，1998.指导教师（签字）：教研室主任（签字）：批准日期：年月日数字滤波器是一种用来过滤时间离散信号的数字系统，通过对抽样数据进行数字处理来达到频域滤波的目的。

本文是设计一个数字低通滤波器。

根据滤波器的设计思想，通过双线性变换法将巴特沃斯模拟低通滤波器变换到数字低通滤波器，利用MATLAB绘制出数字低通滤波器的系统幅频函数曲线。

关键词：数字滤波器；双线性变换法；巴特沃斯；MATLAB1课题描述 (1)2设计原理 (1)2.1 IIR数字滤波器设计原理 (1)2.2巴特沃斯低通滤波器的原理 (2)2.3双线性变换法 (3)3设计过程 (6)4结果分析 (8)总结 (11)参考文献 (12)1课题描述数字滤波器是一种用来过滤时间离散信号的数字系统，通过对抽样数据进行数学处理来达到频域滤波的目的。

可以设计系统的频率响应，让它满足一定的要求，从而对通过该系统的信号的某些特定的频率成分进行过滤，这就是滤波器的基本原理。

如果系统是一个连续系统，则滤波器称为模拟滤波器。

如果系统是一个离散系统，则滤波器称为数字滤波器。

数字滤波实质上是一种运算过程，实现对信号的运算处理。

输入数字信号（数字序列）通过特定的运算转变为输出的数字序列，因此，数字滤波器本质上是一个完成特定运算的数字计算过程，也可以理解为是一台计算机。

描述离散系统输出与输入关系的卷积和差分方程只是给数字信号滤波器提供运算规则，使其按照这个规则完成对输入数据的处理。

时域离散系统的频域特性:()()()ωωjωj ejeY=XeH其中()ωj e Y、()ωj e X分别是数字滤波器的输出序列和输入序列的频域特性（或称为频谱特性）, ()ωj e H是数字滤波器的单位取样响应的频谱，又称为数字滤波器的频域响应。

输入序列的频谱()ωj e X经过滤波后()ωj e X()ωj e H,因此，只要按照输入信号频谱的特点和处理信号的目的，适当选择()ωj e H，使得滤波后的()ωj e X()ωj e H满足设计的要求，这就是数字滤波器的滤波原理。

2设计原理2.1 IIR数字滤波器设计原理IIR数字滤波器的设计一般是利用目前已经很成熟的模拟滤波器的设计方法来进行设计，通常采用模拟滤波器原型有butterworth函数、chebyshev函数、bessel函数、椭圆滤波器函数等。

IIR 数字滤波器的设计步骤：① 按照一定规则把给定的滤波器技术指标转换为模拟低通滤波器的技术指标；② 根据模拟滤波器技术指标设计为响应的模拟低通滤波器；③ 跟据脉冲响应不变法和双线性不变法把模拟滤波器转换为数字滤波器；④ 如果要设计的滤波器是高通、带通或带阻滤波器，则首先把它们的技术指标转化为模拟低通滤波器的技术指标，设计为数字低通滤波器，最后通过频率转换的方法来得到所要的滤波器。

在MATLAB 中，经典法设计IIR 数字滤波器主要采用以下步骤：图2.1 IIR 数字滤波器设计步骤2.2巴特沃斯低通滤波器的原理巴特沃斯滤波器的特点是同频带内的频率响应曲线最为平坦，没有起伏，而在组频带则逐渐下降为零。

在振幅的对数对角频率的波特图上，从某一边界见频率开始，振幅随着角频率的增加而逐渐减少，趋向于负无穷大。

一阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频20分贝，二阶巴特沃斯滤波器的衰减率为每倍频12分贝，三阶的衰减率为每分贝18分贝，如此类推，巴特沃斯滤波器的振幅对角频率单调下降，并且滤波器的结束越高，在组频带振幅衰减速度越快，其他滤波器高阶的振幅对角频率图和低阶数的振幅对角频率有不同的形状。

N c s s H s H )(11)()(22Ω-+=- 上述函数的特点是等距离分布在半径为Ω的圆上。

因此，极点用下式表示为N k j j c k e e s )12(2+∏Ω=1,2,1,0-=N k)(s H a 的表示式：∏-=-Ω=10)()(N k k n ca ss s H 为了使设计公式和图表统一，将频率归一化。

巴特沃斯滤波器采用3dB 截止频率c Ω归一化，归一化后的系统函数为∏-=Ω-Ω=Ω10)(1)(N k c k c c a s s s G 令c c s j p ΩΩ=Ω=+=λλη,,λ称为归一化频率，p 称为归一化复变量，这样巴特沃斯滤波器的归一化低通原型系统函数为∏-=-=10)(1N k k a p p G 式中，c k s p Ω=，为归一化极点，用下式表示:)21221(N k j k e p ++=π 1,2,1,0-=N k2.3双线性变换法双线性变换法是将s 平面压缩变换到某一中介1s 平面的一条横带里，再通过标准变换关系)*1exp(T s z =将此带变换到整个z 平面上去，这样就使s 平面与z 平面之间建立一一对应的单值关系，消除了多值变换性。

为了将s 平面的Ωj 轴压缩到1s 平面的1Ωj 轴上的pi -到T pi 一段上，可以通过以下的正切变换来实现：)21tan(21T T Ω=Ω 这样当1Ω由T pi -经0变化到T pi 时，Ω由∞-经过0变化到∞+，也映射到了整个Ωj 轴。

将这个关系延拓到整个s 平面和1s 平面，则可以得到Ts Ts e e T T s T s ⋅-⋅-+-=⋅=11112)21tan(2 再将1s 平面通过标准变换关系映射到z 平面，即令)*1exp(T s z =得到11112--+-=zz T s 同样对z 求解，得到s TsTz -+=22 这样的变换叫做双线性变换。

为了验证这种映射具有s 平面的虚轴映射到z 平面单位圆上的特性，考虑 Ω=j s ,ωj e z =，得ωωj j ee T j --+-=Ω112 ω21tan 2T =Ω 除了使s 平面的虚轴映射到单位圆上之外，s 平面的左半部分映射到单位圆的内部，s 平面的右半部分映射到单位圆的外部。

如图所示图2.2 双线性变化映射关系示意图 观察式子s T s T z -+=22，发现s 的实部为负时，因子s Ts T -+22的幅度小于1，相当于单位圆的内部。

反之，当s 的实部为负时，该比值的幅度大于1，相当于单位圆的外部。

这样就可以看出使用双线性变换可从稳定的模拟滤波器得到稳定的数字滤波器。

双线性变换法还避免了使用脉冲响应不变法所遇到的混叠问题，因为它把s 平面的这个虚轴映射到z 平面的单位圆上。

然而，付出的代价是在频率轴上引入了失真。

因此，只有当能容忍或补偿这种失真时，使用双线性变换法设计数字滤波器的方法才是实用的。

仅在零频率附近时Ω与ω之间的频率变换关系接近于线性关系，所产生的数字滤波器的幅频响应相对于原模拟滤波器的幅频响应有畸变。

对于分段常数的滤波器，双线性变换后，仍得到幅频特性为分段常数的滤波器，但是各分段边缘的临界频率点产生了畸变，这种频率的畸变，可以通过频率的预畸变来加以校正，也就是将临界频率事先加以畸变，然后经变换后正好映射到所需要的频率上。

通过ω21tan 2T =Ω的关系变换成一组模拟频率。

图2.3 双线性变化法的频率关系为了克服冲击响应不变法产生的频率混叠现象，我们需要使s 平面与z 平面建立一一对应的单值关系，即求出)(z f s =，然后将其代入)(s G 就可以求得)(z H ，即)()()(z f s s G z H ==3设计过程已知四阶归一化低通巴特沃斯模拟滤波器系统函数为()16131.24142.36131.21234++++=s s s s s H a ，编写MATLAB 程序实现从()s H a 设计3dB 截止频率为2π=c w 的四阶低通巴特沃斯数字滤波器。

步骤一：将设计内容题所给归一化巴特沃斯低通滤波器以3dB 截止频率为2π=c w 进行去归一化。

0000.169048,206568.132262.50000.16)(234++++=s s s s s H a 步骤二：用双线性变化法将低通模拟滤波器)(s H a 变换为低通数字滤波器)(z H421210177.04860.010940.03759.05639.03759.00940.0)(-----++++++=z z z z z z H 设计程序如下：clear all; clc; close allT=1; fs=1/T; N=4;wc=pi/2; omegach=2*tan(wc/2)/T;M=1; N=[1,2.6131,3.4142,2.6131,1][h,w]=freqs(M,N,512); %模拟滤波器的幅频响应subplot(2,1,1);plot(w,20*log10(abs(h)));grid; axis([0,10,-90,0])xlabel('Hz');ylabel('幅度'); title('归一化模拟低通滤波器');[Ms,Ns]=lp2lp(M,N,omegach); %对低通滤波器进行频率变换[hs,ws]=freqs(Ms,Ns,512); %模拟滤波器的幅频响应subplot(2,1,2);plot(ws,20*log10(abs(hs)));grid;axis([0,10,-90,0])xlabel('Hz');ylabel('幅度'); title('去归一化模拟低通滤波器');[Mz,Nz]=bilinear(Ms,Ns,1/T); %对模拟滤波器双线性变换[h1,w1]=freqz(Mz,Nz); %数字滤波器的幅频响应figureplot(w1/pi,20*log10(abs(h1))); grid;xlabel('ω/π');ylabel('幅度(dB)'); title('数字低通滤波器');axis([0,1,-160,0])运行结果如下图所示：图3.1模拟滤波器的幅频响应图形图3.2低通数字滤波器的幅频响应图形4结果分析比较脉冲响应不变法设计的低通滤波器和双线性法设计的低通滤波器进行比较：优点：是频率坐标变换是线性的，即T Ω=ω，如果不考虑频率混叠现象，用这种方法设计的数字滤波器会很好的重现原模拟滤波器的频率特性。