微分几何陈维桓习题答案4
极小曲面
极小曲面 设 2D R ⊂是有界开区域，边界为D ∂。
函数(,)x y ϕ在D ∂上有定义。
设2(,)()u u x y C D =∈，则曲面(,)zu x y =的面积为()DI u =⎰⎰。
设2{(,):(,)(),|}D W u x y u x y C D u ϕ∂=∈=， 考虑泛函I 在W 上的极小值是否存在的问题。
几何意义，以空间封闭曲线Γ为边界的曲面中，寻找其面积最小者。
这里{(,,):(,),(,)}x y z x y D z x y ϕΓ=∈∂= 。
这样的问题称为极小曲面问题。
假若泛函I 在u W ∈处达到最小值，我们考查其必要条件。
记20{(,):(,)(),|0}D W v x y v x y C D v ∂=∈=，显然，若I 在u W ∈处达到最小值， 则对任意0v W ∈，()I u tv +在0t =处达到最小值，所以0()|0t d I u tv dt =+=，而()DI u tv +=⎰⎰，()dI u tv dt +22Du v tv u v tv +++=⎰⎰，于是有x x y y Du v u v +=⎰⎰，设在xz平面上有一条显式曲线=≤≤≤。
z u x a x b(),(0)如果固定z轴不动，让xz平面绕着z 轴旋转360，那么这一条曲线就扫出一张旋转曲面，这个旋转曲面∑的方程为2222:)z u D a x y b=≤+≤。
r=。
我们寻找旋转的极小曲面。
历史资料极小曲面面积在法向变分下达到临界值的曲面，也即平均曲率（见曲面）为零的曲面。
目录简介研究同名图书简介研究同名图书展开小的曲面就是所谓极小曲面，从数学上求这膜曲面的问题称为普拉托问题。
这个问题可以用变分法来解。
从变分学观点看，可以考虑以已知闭曲线Γ为固定边界的曲面的法向变分。
由欧拉-拉格朗日方程(见变分法)，对于任何这样的变分,曲面面积达到临界值的充要条件是曲面的平均曲率h=0。
因此，通常就用这个几何条件来定义极小曲面。
微分几何
第二章曲线的概念4学时
第三章空间曲线12学时
第四章曲面的概念4学时
第五章曲面的第一基本形式8学时
第六章曲面的第二基本形式12学时
第七章直纹面和可展曲面6学时
第八章曲面论的基本定理8学时
第九章曲面上的测地线10学时
第十章常高斯曲率的曲面4学时
如果总课时数少于70，可以只讲授第一至第八章。
第八节高斯曲率的几何意义
教学要求
领会：理解曲面第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率等的意义。
掌握：曲面的第二基本形式，曲面上曲线的曲率、曲面的渐进（线）方向、共扼方向、主方向和曲率线，主曲率、Gauss曲率和平均曲率，曲面的局部结构等基本概念及它们的相关运算。
第一章向量函数4学时第二章曲线的概念4学时第三章空间曲线12学时第四章曲面的概念4学时第五章曲面的第一基本形式8学时第六章曲面的第二基本形式12学时第七章直纹面和可展曲面6学时第八章曲面论的基本定理8学时第九章曲面上的测地线10学时第十章常高斯曲率的曲面4学时如果总课时数少于70可以只讲授第一至第八章
教学目的
引入正则参数曲面，曲面的切平面，切向量，法线，单位法向量等概念，为进一步学习曲面论作好铺垫。
主要内容
第一节简单曲面及其参数表示
第二节光滑曲面曲面的切平面和法线
第三节曲面上的曲线族和曲线网
教学要求
掌握：简单曲面的参数表示；简单曲面及其上面曲线族（网）的特征；曲面的法线、切面的求法。
第五章曲面的第一基本形式
第二节空间曲线的基本三棱形
第三节空间曲线的曲率、挠率和伏雷内(Frenet)公式
第四节空间曲线在一点邻近的结构
微分几何彭家贵课后题答案
习题一（P13）2.设()a t 是向量值函数，证明：（1）a =常数当且仅当(),()0a t a t '=； （2）()a t 的方向不变当且仅当()()0a t a t '∧=。
（1）证明：a =常数⇔2a =常数⇔(),()a t a t <>=常数⇔(),()(),()0a t a t a t a t ''<>+<>=⇔2(),()0a t a t '<>=⇔(),()0a t a t '<>=。
（2）注意到：()0a t ≠，所以()a t 的方向不变⇔单位向量()()()a t e t a t ==常向量。
若单位向量()()()a t e t a t ==常向量，则()0()()0e t e t e t ''=⇒∧=。
反之，设()e t 为单位向量，若()()0e t e t '∧=，则()//()e t e t '。
由()e t 为单位向量⇒(),()1(),()0e t e t e t e t '<>=⇒<>=⇒()()e t e t '⊥。
从而，由()//()()0()()()e t e t e t e t e t e t '⎫'⇒=⇒=⎬'⊥⎭常向量。
所以，()a t 的方向不变⇔单位向量()()()a t e t a t ==常向量 ⇔()()1()()0()()0()()()a t a t d e t e t a t a t a t dt a t ⎛⎫''∧=⇔∧+= ⎪ ⎪⎝⎭()()2111()()()()()0()()()d a t a t a t a t dt a t a t a t '⇔∧+∧= ()()0a t a t '⇔∧=。
[整理]微分几何 陈维桓 第五章讲稿
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目录第五章曲面论基本定理 (67)§ 5.1 自然标架的运动公式 (67)§ 5.2 曲面的唯一性定理 (69)§ 5.3 曲面论基本方程 (71)§ 5.4 曲面的存在性定理 (75)§ 5.5 Gauss定理 (76)第五章 曲面论基本定理本章内容：曲面上的自然标架，运动公式，Gauss 公式和Weingarten 公式，曲面论唯一性定理，Riemann 曲率张量，Gauss-Codazzi 方程，曲面论存在性定理，Gauss 定理计划学时：9学时，含习题课2学时.难点：Riemann 曲率张量，曲面论存在性定理，Gauss 定理§ 5.1 自然标架的运动公式设:(,)S r r u v =为正则曲面，(,)n n u v =是单位法向量. 第一、第二基本形式I dr dr =⋅和2II d r n dr dn =⋅=-⋅是曲面S 的两个不变二次形式，与3E 中直角坐标的选取无关.曲面论唯一性问题：这两个基本形式是否足以确定曲面的形状？即若:(,)S r r u v =和:S *(,)r r u v **=有相同的第一、第二基本形式，是否这两个曲面仅相差一个3E 中的刚体运动σ？3S E ⊂Ω σ (见定理2.1)3S E *⊂答案是肯定的. 为了证明这件事情，需要先做一些准备工作.为了公式的书写方便，从现在起记1u u =，2u v =. 注意12,u u 的上标不是乘幂的指数. 如果要表示乘幂，则使用括号写成()()23,uu αα，……，(1,2α=).这样，S 的参数方程为12(,)r r u u =. 从现在起，用r α表示向量函数12(,)r u u 对变量u α的偏导数. 采用Einstein 求和约定，将和式212121dr r du r du r du ααα===+∑简记为 dr r du αα=. (1.4)就是说，如果一个单项式中在上标和下标中出现了相同的指标，则表示这是一个和式，对该指标要从1到2求和. 如果出现了多对这样的上下指标，那么这些指标都要从1到2求和. 例如，21112212211122122,1S TS T S T S T S T S T αβγαβγγγγγαβαβαβ===+++∑，212121P P P P ααααα===+∑.注意在和式中求和指标本身并没有实质性意义，它们是所谓的“哑”指标，可以换成别的字母： S TS T S T αβγαεγδβγαβαεδβ==. (γ不能换成别的字母)在本书中，求和指标用希腊字母,,,αβγ表示，它们的取值范围为,,1,2αβγ=.类似地，采用Einstein 求和约定，向量函数12(,)r u u 的二阶微分可写成22d r r d u r du du ααβααβ=+.采用Einstein 求和约定，S 的第一、第二基本形式分别可以写成I ()()dr dr r du r du g du du αβαβαβαβ=⋅=⋅=，2II d r n b du du αβαβ=⋅=， (1.6)其中g r r αβαβ=⋅，b r n αβαβ=⋅， (1.5)即1111g r r E =⋅=，1221g g F ==，22g G =，11b L =，1221b b M ==，22b N =. rr r σ*=记()()22112212112212det (),det ()g g g g g b b b b b αβαβ==-==-. (1.7-8)用()g αβ表示度量矩阵()g αβ的逆矩阵，则有1,,0,.g g αγαγββαβδαβ=⎧==⎨≠⎩(1.9)实际上，1112221222122121111g g g g G F g g F E g EG F g g ⎛⎫--⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. (1.10) 采用现在的记号，曲面S 上每一点()12,p u u 有一个自然标架{}12;,,r r r n . 下面来导出自然标架的运动方程.由于12,,r r n 线性无关，可将它们的偏导数再用12,,r r n 表示出来. 设,r r b n n b r γβαβαβγαβααβ=Γ+=-， (1.18)其中γαβΓ称为Christoffel 记号(第二类克氏符号). 令:r r ξαβξαβΓ=⋅， (1.22)称为第一类克氏符号. 由r r αββα=可知两类克氏符号关于指标,αβ都是对称的：γαβγβαΓ=Γ，γγαββαΓ=Γ.用r ξ与(1.18)中的第1个式子作内积，得()r r r r b n g γγξαβξαβξαβγαβξγαβΓ=⋅=⋅Γ+=Γ. (1.20) 用g ξη乘(1.20)两边，再对指标ξ求和，由(1.9)可得g g g ξηξηγηγηξαβξγαβγαβαβδΓ=Γ=Γ=Γ，即g γγξαβξαβΓ=Γ. (1.21)(1.20)和(1.21)说明αβγΓ是用()g λμ将αβγΓ降标而得的；而αβγΓ则是用()gλμ将αβγΓ升标而得的.类似地，用r ξ-与(1.18)中的第2个式子作内积，得()b r n r b r g b γγξαξαξαγξγα=-⋅==， (1.14) 从而b b g βγβααγ=. (1.15)于是我们有自然标架{}12;,,r r r n 的运动公式r u r αα∂∂=， (1.11)r u r b n αβγαβγαβ∂∂=Γ+，n u b r αβαβ∂∂=-， (1.18)其中b αβ是第二类基本量，b b gβγβααγ=，被第一类基本量和第二类基本量所确定.我们断言Christoffel 记号γαβΓ被第一类基本量g αβ唯一确定. 事实上，由g r r αβαβ=⋅得g u r r r r αγβαβγβαγαβγαβγ∂∂=⋅+⋅=Γ+Γ. 返回 (1.23) 由γαβγβαΓ=Γ可得 2g g g u u u αγβγαββγαγβααβγβαγγαβαγβγαβαγβ∂∂∂∂∂∂+-=Γ+Γ+Γ+Γ-Γ-Γ=Γ，即有()12g g g u u u γαβαγβγαβαγβ∂∂∂∂∂∂Γ=+-. 返回 (1.24)于是由(1.21)，()12g g g u u u g gγγξγξαβξαβαξβξαβαβξ∂∂∂∂∂∂Γ=Γ=+-. (1.25)通常把(1.18)的第一式称为Gauss 公式，(1.18)的第二式称为Weingarten 公式.Gauss 公式的几何意义：r αβ的切向部分是r γαβγΓ，法向部分是b n αβ. 当曲面的参数方程给出时，利用Gauss 公式的几何意义可以更简单地求出Christoffel 记号γαβΓ，而不需要用公式(1.22)来求.Weingarten 公式的几何意义；矩阵()b βα正好是Weingarten 变换W 在切空间的自然基12{,}r r 下的矩阵：()W r n b r βαααβ=-=.在正交参数网中，Christoffel 记号γαβΓ的计算公式(1.28). 例 求曲面(,)z f x y =的Christoffel 记号.解 曲面的参数方程为(),,(,)r x y f x y =. 因此1u x =，2u y =，()111,0,r f =，()220,1,r f =，)12,,1n f f =--.其中1x f f =，2y f f =. 因为()()0,0,0,0,1r f f αβαβαβ==，所以 ()()()()()1222120,0,1,,11f r r r n n f f f f f αβγαβγαβαβαβΓ=-⋅=---++()()()()()2212122212,,1f f f f f f f αβ=+++.另一方面()1212121212,,r r r f f γαβγαβαβαβαβαβαβΓ=Γ+Γ=ΓΓΓ+Γ.所以()()1122121f f f f αβαβΓ=++，()()2222121f f f f αβαβΓ=++，即有()()111221x xxx y f f f f Γ=++，()()112221x xyx y f f f f Γ=++，()()122221x yyx y f f f f Γ=++，()()211221y xxx y f f f f Γ=++，()()212221y xyx y f f f f Γ=++，()()222221y yyx y f f f f Γ=++.课外作业：习题4，5§ 5.2 曲面的唯一性定理利用上一节得到的自然标架的运动方程，可以来解决上一节所提出的问题，即若:(,)S r r u v =和:(,)S r r u v ***=有相同的第一、第二基本形式，则这两个曲面仅相差一个3E 中的刚体运动σ.定理2.1若12:(,)S r r u u =，12:(,)S r r u u ***=(12(,)u u ∈Ω)有相同的第一、第二基本形式，且区域Ω是连通的，则有3E 中的刚体运动σ使得()S S σ*=.证明 因为()S r =Ω，()S r **=Ω，只需证明存在3E 中的刚体运动σ使得3:r r E σ*=Ω→. (1)不妨设0(0,0)=∈Ω. 设在该点两个曲面的自然标架分别为{}12(0);(0),(0),(0)r r r n 和{}12(0);(0),(0),(0)r r r n ****. 选取3E中的刚体运动σ使得在1200(,)u u 点成立1122(0)((0)),(0)((0)),(0)((0)),(0)((0))r r r r r r n n σσσσ****====. (2)[事实上，令3(0)e n =，11(0)e =，231e e e =⨯. 则由(0)21(0)(0)F E r e ⋅=，()()2(0)(0)(0)12223121(0)(0)(0),,(0),(0),(0)E G F E r er e e r n r -⋅===可知11(0)(0)r E e =，2(0)(0)(0)(0)212(0)E G F F r e e -=+，3(0)n e =. (3)同样，令3(0)e n **=，11(0)e **=，231e e e ***=⨯. 则由,S S *有相同的第一基本形式，有 11(0)(0)r E e**=，2(0)(0)(0)212(0)(0)(0)E G F E E r e -***=+，3(0)n e **=. (4)根据第一章定理1.1，存在刚体运动33::()()()E E p Op p O p a Op σσσ→≡≡=+A将正交标架{}123(0);,,r e e e 变成{}123(0);,,r e e e ****，其中()(0)(0)a r r *=-A ，而 33123::()(,,)vv vA v v v A →==R R A A是保持3E 定向的正交变换，即(3)A SO ∈. 由定义，σ将向量PQ 变成向量()()()()()()()()()PQ P Q O Q O P OQ OP OQ OP PQ σσσσσ==-=-=-=A A A A . 所以刚体运动σ将向量1(0)r 变成向量()111111((0))(0)()(0)()(0)(0)(0)r E e E e E e r r σσ**=====A A .同理，22((0))(0)r r σ*=. 又33((0))()(0)n e e n σσ**===. ]设()S S σ=是将S 经过刚体运动σ后得到的曲面，则S 的参数方程为()()121212(,)(,)(,)r u u a r u u r u u σ==+A .于是()()()()()()()()()r du dr d r d rA dr A r du A r A du r du dr αααααααα========A A A ，从而11()r r =A ，22()r r =A .由于保持定向的正交变换保持外积不变，有121212()()()r r r r r r ⨯=⨯=⨯A A A ，()1212121211()||||||r r r r r r n n r r r r r r ⎛⎫⨯⨯⨯==== ⎪⨯⨯⨯⎝⎭A A A .由于保持定向的正交变换保持内积不变，所以S 的第一、第二基本形式分别为()()I ()()I I dr dr dr dr dr dr *=⋅=⋅=⋅==A A ， ()()II ()()II II dr dn dr dn dr dn *=-⋅=-⋅=-⋅==A A .于是S 与S *有相同的第一、第二基本形式，它们的自然标架满足同样的齐次线性偏微分方程组(1.11)，(1.18)，即有,(),(1,2),dr r du dr r b n du dn b r du αγββααααβγαβαβα==Γ+==-；,(),(1,2),dr r du dr r b n du dn b r du αγββααααβγαβαβα*******==Γ+==-.由(2)可知它们的自然标架满足同样的初始条件：()(0)(0)(0)r r r σ*==，()111(0)(0)(0)r r r σ*==，()222(0)(0)(0)r r r σ*==，(0)(0)n n *=.设1200(,)u u ∈Ω是任意一点. 因为区域Ω是连通的，可取一条Ω中的连续可微曲线1122:(),()C u u t u u t ==，[0,1]t ∈，使得()()1212120(0),(0)(0,0),(1),(1)(,)u u u u u u ==.则限制在C 上{}12;,,r r r n 和{}12;,,r r r n ****满足同样的常微分方程组初值问题111222,(),(),.dr du r dt dtdr du r b n dtdt dr du r b n dt dtdn du b r dtdtααβγβγββγβγβαβαβ**********⎧=⎪⎪⎪=Γ+⎪⎪⎨⎪=Γ+⎪⎪⎪=-⎪⎩ 由常微分方程组解的唯一性得()121212000000(,)(,)(,)r u u r u u r u u σ*==.由1200(,)u u ∈Ω的任意性可知r r σ*=. □定理2.2 设12:(,)S r r u u =，12:(,)S r r u u ***=是2个曲面，它们的第一、第二基本形式分别为I,II 和I ,II **. 如果存在光滑映射:S S ϕ*→使得(I )I ϕ**=，(II )II ϕ**=，则存在3E 中的刚体运动σ使得|S ϕσ=. (选取适用参数系) □课外作业：无§ 5.3 曲面论基本方程曲面论存在性问题：设g du du αβαβϕ=和b du du αβαβψ=是区域 2()Ω⊂上的2个给定的二次微分形式，是否存在3E 中的三次以上连续可微的曲面:(,)S r r u v =，使得ϕ，ψ正好是曲面S 的第一、第二基本形式？如果这样的曲面存在，则首先ϕ和ψ必须是对称的：g g αββα=，b b αββα=；并且二次型ϕ必须是正定的. 除此之外，在本节中我们还要导出,g b αβαβ所应该满足的必要条件.假设有曲面:(,)S r r u v =使得它的第一、第二基本形式为I g du du αβαβ=， II b du du αβαβ=. (3.2)在第一节中已经得到自然标架{}12;,,r r r n 的运动公式,,rr u r r b n u n b r uααγααβγαβββαβα∂⎧=⎪∂⎪∂⎪=Γ+⎨∂⎪∂⎪=-⎪∂⎩ 返回 (3.3) 其中()12g g g u u u g g γγξγξαβξαβαξβξαβαβξ∂∂∂∂∂∂Γ=Γ=+-，b b g βγβααγ=. (3.4)因为S 是三次以上连续可微的，必须有22r r u u u u ααβγγβ∂∂=∂∂∂∂， 22n nu u u u αββα∂∂=∂∂∂∂，,,αβγ∀. (3.5)将(3.3)代入(3.5)第1式，得()()r b n r b n u uδδαγδαγαβδαββγ∂∂Γ+=Γ+∂∂. (3.6) 将上式展开，并利用(3.3)， 左边()b r r b n n b b r u u δαγαγδηδδαγδβηδβαγβδββ∂Γ∂=+ΓΓ++-∂∂b b b r b n u u δαγαγηδδδαγηβαγβδαγδβββ⎛⎫∂Γ∂⎛⎫=+ΓΓ-++Γ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭. 右边b b b r b n u u δαβαβηδδδαβηγαβγδαβδγγγ⎛⎫∂Γ∂⎛⎫=+ΓΓ-++Γ ⎪ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭. 比较两边,r n δ的系数，得b b b b u uδδαβαγηδηδδδαβηγαγηβαβγαγβγβ∂Γ∂Γ-+ΓΓ-ΓΓ=-∂∂，,,,αβγδ∀， (3.8)b b b b b b u uαβαγδδδδαγδβαβδγβδαγγδαβγβ∂∂-=Γ-Γ=Γ-Γ∂∂，,,αβγ∀. (3.9) 注意(3.8)左边的量是被第一类基本量唯一确定的，将它记为:Ru u δδαβαγδηδηδαβγαβηγαγηβγβ∂Γ∂Γ=-+ΓΓ-ΓΓ∂∂， (3.10)称为曲面S 的Riemann 记号. 再记R g R ηαδβγδηαβγ=， (3.11)则自然就有R g R δδηαβγαηβγ=. (3.11)’与R δαβγ一样，R δαβγ也是被第一类基本量唯一确定的. R δαβγ和R δαβγ都称为曲面S 的Riemann 曲率张量. 采用这些符号，由曲面三阶连续可微得到的相容性条件(3.8)可以改写成R b b b b δδδαβγγαββαγ=-， (3.12)或等价地，R b b b b δαβγδβαγδγαβ=-. (3.13)相容性条件即方程(3.8)，或(3.12)，或(3.13)，称为Gauss 方程. 方程(3.9)称为Codazzi 方程. 注1. Gauss 方程(3.13)看上去似乎有16个等式，实际上只有一个独立的方程：()()2221212112212R b b b LN M K EG F =-=-=-. 返回 (3.18)Codazzi 方程(3.9)中只有2个独立的方程111211212121212221222121,.b b b b u ub b b b u u δδδδδδδδ∂∂⎧-=-Γ+Γ⎪⎪∂∂⎨∂∂⎪-=-Γ+Γ⎪∂∂⎩(3.20)这是因为有R R R R δαβγβγδααδβγδαγβ==-=-. (3.17)从而当1αδ==或2αδ==时得到8个恒等式00=；当αδ≠而βγ=时得到4个恒等式00=. 剩下的4个方程是相互等价的：1212212112212112R R R R ==-=-.[事实上，R g R g u u ηηηαβαγξηξηαδβγδηαβγδηαβξγαγξβγβ⎛⎫∂Γ∂Γ==-+ΓΓ-ΓΓ ⎪∂∂⎝⎭g g u u u u δαβδαγδηδηηηξξαβαγαβδξγαγδξβγβγβ∂Γ∂Γ∂∂=--Γ+Γ+ΓΓ-ΓΓ∂∂∂∂ ()()u u δαβδαγηηηηαβηδγδηγαγηδβδηβαβδηγαγδηβγβ∂Γ∂Γ=--ΓΓ+Γ+ΓΓ+Γ+ΓΓ-ΓΓ∂∂ δαβδαγηηαγηδβαβηδγγβ∂Γ∂Γ=-+ΓΓ-ΓΓ. 利用(1.23)：将(1.24)：2项，并注意()12g g ηξηηηαγηδβξαγηδβξαγηδβξαγδβδβηαγαγηδβδβηαγΓΓ=ΓΓ=ΓΓ=ΓΓ=ΓΓ=ΓΓ+ΓΓ，可得()()2222221122g g g g g g u u u u u u u u u u u u R ηηαδβγαγηδβαβηδγβδαβγδαγαδαδγαγγβδβγββαδ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+--+-+ΓΓ-ΓΓ()222212g g g g u u u u u u u u δβαβδγαγγαγδββαδ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=-+-()12ηηηηαγηδβαβηδγδβηαγδγηαβ+ΓΓ-ΓΓ+ΓΓ-ΓΓ]注2. 将(3.3)看作以12,,,r r r n 的12个分量为未知函数的一阶线性偏微分方程组，其中g αβ，b αβ是已知的函数，从而gαβ以及由(3.4)给出的,b γβαβαΓ也都是已知的. (3.3)的可积性条件是22r r u u u u αββα∂∂=∂∂∂∂， 22r r u u u u ααβγγβ∂∂=∂∂∂∂， 22n nu u u u αββα∂∂=∂∂∂∂. (C)由(3.3)可知可积性条件(C)的第一式自动成立. 第二式就是Gauss-Codazzi 方程(3.8)和(3.9)，也就是(3.18)和(3.20). 因为()()2b b n b r r b r b n b r b b n u u u u u γγγγδδγγαααγγαγβδγβαδβγαγββαβββ⎛⎫∂∂∂∂==+Γ+=+Γ+ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭， 所以可积性条件(C)的第三式为b b b b u u γγβδγδγααδββδαβα∂∂+Γ=+Γ∂∂，b b b b γγαγββγα=. (3.14) 上面第二式自动成立，因为b b g b b b g b b b b b γγδγδδηαγβαδγβαδγβαδββηα====.以g γδ乘(3.14)第一式的两边，再对γ求和，可知它等价于g b g b b b b b u u u uγδδβγδγγγγδαααδγβββδγαββαα∂∂∂∂-+Γ=-+Γ∂∂∂∂. 将(1.23)g u βαγαβγαβγ∂∂=Γ+Γ代入上式得b b b b u uδβγγδααγδββγδαβα∂∂-Γ=-Γ∂∂， 即b b b b b b u uδβγγγγδααγδββγδααγδββγδαβα∂∂-=Γ-Γ=Γ-Γ∂∂. 这就是(3.8). 所以(3.14)第一式与(3.9)是等价的.在正交参数网中，111222,0,g E g g G ===. 因此11122211,0,E Gg g g ===. 因此 111111112122222111211212222222,,,,,.u v u v u v E E G E G G Γ=Γ=Γ=-Γ=-Γ=Γ=111111222222111222,,,222,,.222u v u v u vE E G E E EE G G G G GΓ=Γ=Γ=-Γ=-Γ=Γ=由此得22212221222111212122112112111211221211122122222222222224444224444v u u u v v v u v u vv v v uu u u u v v v u R g R GRG v u E G E G E G E G G G G EG G EG G GE E G GG G E G E G E G G G G EG G EG G αα⎡⎤∂Γ∂Γ===-+ΓΓ+ΓΓ-ΓΓ-ΓΓ⎢⎥∂∂⎣⎦⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎡--=--+-+-⎤⎢⎥⎣⎦22244244vv v v v uu u u u E E E G G E G G E G E G=-++-++ (见课本) 222424()()2424vv v v v uu u u u vv v v uu u u E E G E EG G E GG EG EG EGE E EG G G EG EG EG ++=-+-+⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭=+-2222v u v u v u v u E G E G ⎫⎛⎫⎛⎫=++⎬⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎭v u v u ⎫⎫⎪=+=+⎬⎬⎪⎭⎭.返回(3.22) 如果参数曲线网是正交的曲率线网，则0F M ==，Codazzi 方程(3.20)可简化为21112212112121222211,22.22v v v v u u u u LE NE L b b HE E G NG LG N b b HG G E ⎧=-Γ+Γ=+=⎪⎪⎨⎪=Γ-Γ=+=⎪⎩返回 (3.23)课外作业：习题4，5§ 5.4 曲面的存在性定理本节证明Gauss-Codazzi 方程也是曲面存在的充分条件. 设g du du αβαβϕ=和b du du αβαβψ=是区域 2()Ω⊂上的2个给定的二次微分式，其中ϕ和ψ是对称的：g g αββα=，b b αββα=；并且二次型ϕ是正定的. 令()g αβ为矩阵()g αβ的逆矩阵，()1,2g g g u u u g γγδγαβαβδαβαγβγαβαγβ∂∂∂∂∂∂Γ=+-Γ=Γ， (4.2-3) Ru uδδαβαγδηδηδαβγαβηγαγηβγβ∂Γ∂Γ=-+ΓΓ-ΓΓ∂∂， R g R ηδαβγδηαβγ=. (4.4-5) 定理4.1 如果上面给定的二次微分式ϕ，ψ满足()21122121212111211212121212221222121,,,b b b R b b b b u u b b b b uu δδδδδδδδ⎧-=-⎪∂∂⎪⎪-=-Γ+Γ⎨∂∂⎪∂∂⎪-=-Γ+Γ⎪∂∂⎩ (4.6) 则对任意一点()1200,u u ∈Ω，必有()1200,u u 的(连通)邻域U ⊂Ω，以及定义在U 上的正则曲面:S 12(,)r r u u =，使得ϕ和ψ分别是S 的第一、第二基本形式. 在相差一个3E 中的刚体运动的情况下，这样的曲面是唯一的. 如果Ω是连通且单连通区域，则曲面S 可以定义在整个Ω上.证明 唯一性由定理2.1可得. 只需证明存在性. 构造一阶线性偏微分方程组,,,rr u r r b n u n b r u ααγααβγαβββαβα∂⎧=⎪∂⎪∂⎪=Γ+⎨∂⎪∂⎪=-⎪∂⎩(4.7) 其中12,,,r r r n 是未知向量，从而共有12个未知函数，自变量是12,u u . 根据一阶偏微分方程组理论，(4.6)有解的充分必要条件是由(4.7)可推得22r r u u u u αββα∂∂=∂∂∂∂，22r r u u u u ααβγγβ∂∂=∂∂∂∂， 22n nu u u u αββα∂∂=∂∂∂∂. (C)从§3的讨论我们知道当Gauss-Codazzi 方程(4.6)成立时，可积条件(C)也成立，从而(4.7)是可积的，即对任意一点()1200,u u ∈Ω，有()1200,u u 的邻域U ⊂Ω，以及定义在U 上的向量函数 1212121212(,),(,),(,),(,)r u u r u u r u u n u u ， (4.8)它们满足(4.7)及任给的初始条件120120120120001001200200(,),(,),(,),(,)r u u r r u u r r u u r n u u n ====. (4.9)现在选取初始标架{}000012;,,r r r n使得()0120000000012(,),0,1,,,0r r g u u r n n n r r n αβαβα⋅=⋅=⋅=>. (4.10)下面我们证明(4.8)中的函数31212::(,)(,)r U E u u r u u →定义了一个正则曲面S =()r U ，以ϕ和ψ分别为S 的第一、第二基本形式.为此，考虑函数组f r rg αβαβαβ=⋅-， f r n αα=⋅， 1f n n =⋅-. (4.11)其中12121212(,),(,),(,)r u u r u u n u u 是方程组(4.7)的解. 因此6个函数,,f f f αβα满足一阶齐次线性偏微分方程组Cauchy 问题111111000000,,2,(,)0,(,)0,(,)0.f f f b f b f u f b f f b f u f b f uf u u f u u f u u αβδδαγδββγδαγαβγβαγγγαβγααβγαβββαβααβα∂⎧=Γ+Γ++⎪∂⎪∂⎪=-+Γ+⎪∂⎨⎪∂=-⎪∂⎪⎪===⎩ (4.12-13)事实上，()()f r g r r r u u u u r b n r r b n r αββαβαβαγγγγδδαγδαγββγδβγααβγβαγ∂∂∂∂=⋅+⋅-∂∂∂∂=Γ+⋅+Γ+⋅-Γ-Γ ()()f g b f f g b f δδαγδβδβαγββγδαδαβγααβγβαγ=Γ+++Γ++-Γ-Γf f b f b f δδαγδββγδαγαβγβα=Γ+Γ++.()f r n n r r b n n b r r u u uγγααααβγαββγαβββ∂∂∂=⋅+⋅=Γ+⋅-⋅∂∂∂ ()()1f b f b f g b f f b f γγγγαβγαββγαγαβγααβγαβ=Γ++-+=-+Γ+.222f n n b r n b f u uββαβαβαα∂∂=⋅=-⋅=-∂∂. 根据Cauchy 问题解的唯一性，得到0f αβ=，0f α=，0f =，即有r r g αβαβ⋅=， 0r n α⋅=， 1n n ⋅=. (4.14)由上式得()212det 0r r g αβ⨯=>，这说明S 是正则曲面. 又()120n r r ⨯⨯=，即n 与12r r ⨯共线，从而 ()()()222121212,,det 0r r n r r n r r g αβ=⨯⋅=⨯=>⎡⎤⎣⎦.因为在()1200,u u 点()()0001212,,,,0r r n r r n =>，由连续性得到在U 上()12,,0r r n >. 因此1212/n r r r r =⨯⨯.因为12(,)r u u 满足方程组(4.7)第1式，故{}12,,,r r r n 是曲面S 的自然标架. 由(4.14)第1式和(4.7)第2式可知S 的第一、第二基本形式分别是ϕ和ψ.当Ω连通且单连通时，方程组(4.7)有定义在整个Ω上的解. □ 课外作业：习题2，4§ 5.5 Gauss 定理由(3.18)得到2121222LN M R K EG F EG F-==--. (5.3) 所以Gauss 曲率K 被曲面的第一基本形式唯一确定，而与曲面的第二基本形式无关，是曲面的内蕴几何量. 于是有下面的Gauss 绝妙定理(Egregium Theorem ).定理5.1 曲面的Gauss 曲率是曲面在保长变换下的不变量. 由(3.22)得到正交参数网(0F =)时，v u K ⎧⎫⎪⎪=+⎨⎬⎪⎪⎩⎭. (5.4)特别，取等温参数网时，2:E G λ==，其中(,)0u v λλ=>. 此时21ln K λλ=-∆， (5.5)其中2222u v ∂∂∆=+∂∂是关于变量,u v 的Laplace 算子. 引理 直纹面:(,)()()S r u v a u vl u =+是可展曲面的充要条件是0K =. 证明. 设S 是直纹面，参数方程为(,)()()r u v a u vl u =+. 则u r a vl ''=+，v r l =，()2()u vu vr r n a vl l r r EG F⨯''==+⨯⨯-，uu r a vl ''''=+，uv r l '=，0vv r =.从而0N =，())11(),,uv M r n a vl l l a l l '''''=⋅=+⨯⋅=.因此()()22222,,a l l LN MK EG F EG F ''-==---.根据第三章定理6.1即得引理. □定理5.2 一个曲面S 是可展曲面的充要条件是S 的Gauss 曲率0K ≡. 证明 必要性由上面的引理可得.充分性. 根据引理，只须证明S 是直纹面. 设S 的主曲率为12,κκ. 由条件可知120κκ=. 1. 如果S 上的点都是脐点，则S 是平面，从而是直纹面.2. 假设S 上没有脐点，则可取正交的曲率线网为参数曲线网，使得0F M ==，且120,0L N E G κκ=≠==. 那么120H κ=≠. 由Codazzi 方程(3.23)得 0u u N HG ==，即有0,()u G G G v ==. (5.6)于是111122122221222211022u G g g g g E u u u E∂∂∂⎛⎫Γ=Γ=+-=-= ⎪∂∂∂⎝⎭， ()1222122222220vv v r r r r b n r N n r ⨯=Γ+Γ+⨯=⨯=. (5.8)根据第一章定理2.2，(5.7)说明v -曲线()0,r u v 的切向量()0,v r u v 具有固定方向. 因此v -曲线是直线，从而S 是直纹面.事实上，令1||v v r l r=，则()vv r r l G v l ==. 于是由(5.8)，()0vv v v v vr r G l G l G l G l l ⎡⎤⎡⎤=⨯=+⨯=⨯⎣⎦⎣⎦， 即有0v l l ⨯=，从而0v l =. 这样()l l u =，()()v r G v l u =.令()()v v G v dv =⎰. 则()(,)()()0vr u v v v l u -=，故有(,)()()()r u v v v l u a u -=，也就是(,)()()()r u v a u v v l u =+.作参数变换,()u u v v v ==，则S 是直纹面：(,)()()r u v a u v l u =+. □定理5.3 曲面S 是可展曲面的充要条件是S (局部地)可以与平面建立保长对应.证明 根据第三章定理6.3，可展曲面S 局部地可以与平面建立保长对应. 反之，若曲面S 局部可以与平面建立保长对应，则由Gauss 绝妙定理，S 的Gauss 曲率0K ≡，从而是可展曲面. □注 根据后面第六章的定理4.1，具有相同常数Gauss 曲率K 的曲面之间局部可以建立保长对应. 下面的例子说明两个具有相同的非常数Gauss 曲率的曲面之间未必能建立保长对应. 例 设常数,,,a b a b 满足0ab ab =≠. 证明曲面()2212:,,()S r a u bv a u bv =+与()2212:,,()S r a u b v a u b v =+ 之间在对应,u u v v ==下有相同的Gauss 曲率. 但是当2222(,)(,)a b a b ≠且22(,)a b ≠22(,)b a 时，曲面S 与S 之间不存在保长对应.证明 对于曲面S ,(),0,u r a au =，()0,,v r b bv =，()0,0,uu r a =，0uv r =，()0,0,vv r b =.(),,1u v r r ab u v ⨯=--，)2..1n u v v=--.因此S 的第一、第二基本形式分别为222222I (1)2(1)a u du abuv dudv b v dv =++++，22II =.曲面S 的Gauss 曲率为2221(1)K ab u v =++. (5.9)同理，曲面S 的第一基本形式为222222I (1)2(1)a u du abu v dudv b v dv =++++， Gauss 曲率为2221(1)K ab u v =++. (5.10)因为ab ab =，所以在对应,u u v v ==下它们有相同的Gauss 曲率.设有保长对应():(,)(,)(,)(,),(,)u v u v u v u u v v uv ϕϕ==. (5.11) 则在对应点有相同的Gauss 曲率. 故由(5.9)和(5.10)得[][]2222(,)(,)u u v v u v u v +=+. (5.12)因此(0,0)0,(0,0)0u v ==. (5.13)将(5.12)两边对,u v 求偏导数，得,u u v v uu v v u uu v v v +=+=.再对,u v 求偏导数，得()()221uu u uu u uu u v v v +++=，0uv u v uv u v uu u u v v v v +++=，()()221vv v vv v uu u v v v +++=.在0u v ==处取值，可得()()221u u u v +=，0u v u v u u v v +=，()()221v v u v +=. (5.14)这说明()(0,0),(0,0)u u u v 和()(0,0),(0,0)v v u v 是相互正交的单位向量. 可设()()(0,0),(0,0)cos ,sin u u u v θθ=，()()(0,0),(0,0)sin ,cos v v u v θθ=±-.另一方面，将0u v ==代入S 和S 的第一基本形式得()[][]22222222I(0,0,,)I u v u v du dv a du b dv a u du u dv b v du v dv ϕ*=+==+++()()()()2222222222222u u u v u v v v a u b v du a u u b v v dudv a u b v dv ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+++++⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 因此在0u v ==处成立22222cos sin a b a θθ+=，22()cos sin 0a b θθ-=，22222sin cos a b b θθ+=.如果22a b =，则有2222a b a b ===，与已知条件矛盾.如果22a b ≠，则有sin 0θ=或cos 0θ=. 当sin 0θ=时，有()()2222,,a b a b=；当cos 0θ=时，有()22,b a ()22,a b =，同样导致矛盾. □下面的定理说明在某些情况下曲面的法曲率的确包含了曲面形状的全部信息.定理5.4 设:S S ϕ*→是连续可微映射，其中S 上没有脐点，且Gauss 曲率K 处处不为0. 若在每一点p S ∈处，():p p T S T S ϕϕ**→保持所有方向的法曲率不变，则有3E 中的刚体运动σ使得|S ϕσ=.证明 由条件，可在S 上取正交的曲率线网为参数曲线网，使得0F M ==，且120,0L NE Gκκ=≠=≠. 不妨设12κκ<.设S *的参数方程为(,)r u v *，映射ϕ的参数表示为()(,)(,),(,)u v u u v v u v ϕ=. 对于S 的两个主方向,u v r r ，对应的方向是()u r ϕ*和()v r ϕ*. 则()0u r ϕ*≠，()0v r ϕ*≠，且()u r ϕ*与()v r ϕ*线性无关，因为沿()u r ϕ*和()v r ϕ*方向的法曲率不等(法曲率仅依赖于方向).因此在每一点p S ∈处():p p T S T S ϕϕ**→是线性同构. 由第三章定理5.1，可在S *上选取适用参数系,u v 使得S *的参数方程为(,)r u v *，映射ϕ的参数表示为()(,),u v u v ϕ=.下面证明在相同参数的对应下，S 和S *有相同的第一、第二基本形式. 由于沿着切方向u r *，:1:0du dv =，法曲率/n L E κ=达到最小值1κ，因此u r *是S *的主方向. 同理，v r *也是S *的主方向. 又由12κκ<可知u r *与v r *正交. 因此在S *上参数曲线网也是正交的曲率线网.于是在S *上也有0F M ==，并且12L L N N E E G Gκκ==<==. (5.22) 另外，沿着切方向:1:1du dv =，也有n L N L NE G E Gκ++==++.将(5.22)代入可得1212E G E GE G E Gκκκκ++=++，即()()()()1212E G E G E G E G κκκκ++=++，也就是12()()EG GE EG GE κκ-=-. (5.24)所以E GE Gλ==，11E L L E κλκ==，22G N N G κλκ==. (5.26-27)剩下的只要证明1λ=.由Codazzi 方程(3.23)得,v v u u L HE N HG ==. (5.28) ,v v u u L HE N HG ==. (5.29)其中1122()H κκ=+. 将(5.26-27)代入(5.29)，得(),()v v v v u u u u L L H E E N N H G G λλλλλλλλ+=++=+.再与(5.28)比较，得12,v v u u E H E G H G λκλλκλ==.于是0u v λλ==，λ是一常数.最后由(5.4)，(5.26)，有1v u K K λ⎧⎫⎪=+=⎬⎪⎭.但120K K κκ==≠，只有1λ=.于是在适用参数系下，S 和S *有相同的第一、第二基本形式. 根据定理2.2，有3E 中的刚体运动σ使得|S ϕσ=. □课外作业：习题1(2,4,6)，2。
对曲面上参数曲线二等分角轨线微分方程的理解
对曲面上参数曲线二等分角轨线微分方程的理解摘要：对曲面上参数曲线二等分角轨线微分方程进行求解，解释u-曲线和v-曲线的切向量的表示方法，即以在某点张成二维向量切空间tps的两个切向量和为基底，以在自然基底下的分量（ u，v）为其切向量，并对参数曲线的二等分角 1和 2关系的两种情况1= 2和 1+ 2= 进行讨论，利用曲面的第一基本形式求解，使得曲面上参数曲线二等分角轨线微分方程更加易于理解，有助于初学者对微分几何课程更好地学习。
关键词：正则参数曲面二等分角轨线第一基本形式中图分类号：o185.2 文献标识码：a 文章编号：1007-3973（2013）007-100-021 预备知识（1）正则参数曲面：设s是e3的一个子集。
如果对于任意一点p∈s，必存在点p在e3中的一个邻域v e3，以及e2中的一个区域u，使得在u和v∩s之间能够建立一一的、双向都是连续的对应，并且该对应（u，v）=（x（u，v），y（u，v），z（u，v）），（u，v）∈u，则称s是e3中的一张正则曲面，简称为曲面。
（2）切向量：设有正则参数曲面s：=（u，v），曲面s在每一点p∈s处的切空间tps是由切向量（u，v），（u，v）张成的二维向量空间。
曲面s在任意一点（u，v）的任意一个切向量是d（u，v）=（u，v）du+（u，v）dv，其中（du，dv）是切向量d（u，v）在自然基底{（u，v），（u，v）}下的分量。
（3）曲面s的第一基本形式：令e（u，v）=（u，v）·（u，v），f（u，v）=（u，v）·（u，v），g（u，v）=（u，v）·（u，v），称它们为曲面s的第一类基本量，称i=e（du）2+2fdudv+g（dv）2为曲面s的第一基本形式。
（4）假设在点（u，v）有两个切向量d（u，v）=（u，v）du+（u，v）dv，（u，v）=（u，v） u+（u，v） v，则有：或（1）（5）u-曲线、v-曲线：在曲面s取定一点p0，=（u0，v0），如果让参数u固定，u=u0，而让参数v变化，则动点描出一条落在曲面s上的曲线（u0，v），称为曲面s上过点p0的v-曲线。
一种快速低振运动装置设计
（ ２ ） 当０ ＋ ０ ２ ＝ ｒ ｔ 时， 即参数 曲面 上的二等分角轨线分别与 ｕ ．
． 曲线的夹 角互补时 ， 我 们有 ｃ ｏ ｓ ０ 产一 ｃ ｏ ｓ ０ ２ ， 则 由（ ２ ） 和 值， ￣Ｓ ｕ ＝ｌ ， ６ ｖ ＝ ０ ， 其 中６ ｕ为 ｕ 对 自身求 导， ６ ｖ为 ｖ 。 对ｖ 求导 。 曲线和 ｖ ３ ） 式可得： 所 以， ｕ ． 曲线 的方 向向量 为（ ６ ｕ ， ８ ｖ ） ＝ （ １ ， ０ ） 。同理， 当 Ｖ为变量 ， （ ［ １ － ４ － １ １ ， 。 为定值时 ， ｖ ． 曲线 ／ （ ｕ ｏ ， ｖ ） 的方 向向量为（ ６ ｕ ， ８ ０＝ （ ０ ， １ ） 。 假 设参数 曲线 的二等 分角轨线 的方 向向量是 （ ｄ ｕ ， ｄ ｖ ） ， 二 等 分角轨线与 ｕ ． 曲线的夹角为０ ． ，与 ｖ － 曲线的夹角为 ，将６ ｕ ＝ｌ ，ｖ ＝ ０代入（ Ｉ ） 式， 得到二等分角轨线与 Ｕ ． 曲线 的央角余弦
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斟协论 坛 ・２ ０ １ ３年第 ７ 期（ 下 ）——
一
种快速低振运动装置设计
口 唐振华 付志健 刘 超 周 忆
（ 重庆 大学 机械 工程 学院 重庆 摘
４ ０ ０ ０ ４ ４）
要： 针对某 些特殊场合 需要 的快速低振的工作需求， 设计 出一种利用 蜗轮蜗杆驱动 的快速运动装置 ， 进行 装
置 结构设计 、 参数计算。利用 Ｓ ｏ ｌ ｉ ｄ ｗ ｏ ｒ ｋ ｓ 软件建立三维模型 ， 并进行实验样机制造和实验。实验结果表明 ： 装置
由于０ ． 与ｅ 分别 为参数 曲线 ， 与ｕ ． 曲线 、ｖ ． 曲线的夹角 ，
单 位 切 向 量 是 老， 而 ｖ － 曲 线 的 单 位 切 向 量 是 ， 所 以 它 们 的 夹 角 的 平 分 线 的 方 向 向 量 是 干 嘉’ 即 （ ） ＝ （ 去， 千 ） ，
微分几何课程教案
微分几何课程教案【篇一：微分几何教学大纲】陕西广播电视大学开放教育本科数学与应用数学专业《微分几何》课程教学大纲一、本课程目的与任务微分几何课程是陕西广播电视大学数学与应用数学专业的一门专业基础课，其内容应为三维欧氏空间中的曲线，曲面的局部理论，其方法应以向量分析作为主要工具，同时也应注意到外微分形式及活动标架法的介绍、讨论和使用。
该课程的重点是曲面论，讲授时应自始至终把曲线、曲面上的附属标架场放在中心的地位，这样做在实践和理论上都有重要的意义。
本课程的开设应使学生掌握古典微分几何的基本思想,方法和内容，并能将其运用于其它学科及工程实际中去，同时，通过本课程的学习亦应为对微分几何有兴趣的学生，进一步学习近代微分几何打下一个坚实的基础和一个良好的开端。
建议本课程在三年级开设，周学时宜为4，共72学时（含习题课时间）。
二、课程内容与学时分配建议（不含习题课时间）（一）三维欧氏空间的曲线论（12学时）1. 空间曲线的表示式；2.向量函数；3.空间曲线的弧长、曲率、挠率；4.frenet标架, frenet公式；5.曲线在一点邻近的结构；6.空间曲线论的基本定理；7.特殊曲线。
（二）三维欧氏空间中的曲面论（36学时）1. 曲面的概念；1.1曲面的定义1.2切向量切平面1.3法向量1.4曲面的参数变换1.5例2.曲面的第一基本形式：2.1曲面的第一基本形式、曲面上曲线的弧长2.2曲面上两方向的交角2.3正交曲线族和正交轨线2.4曲面域的面积2.5等距对应、共形对应3.曲面的第二基本形式3.1第二基本形式3.2法曲率3.3杜班(dupin)标形3.4渐近方向共轭方向3.5主方向和主曲率的计算、曲率线3.6 gauss曲率和平均曲率3.7曲面在一点邻近的结构3.8某些特殊的曲面4.直纹面和可展曲面4.1直纹面4.2曲面族的包络4.3可展曲面4.4直纹面为可展曲面的充要条件,法线组成的可展曲面5.曲面论基本定理5.1曲面上的活动标架，曲面的基本公式5.2曲面的基本方程5.3曲面的基本定理6.曲面上的测地线6.1测地曲率向量,测地曲率6.2 liouville 公式6.3测地线6.4测地坐标系6.5 gauss-bounet公式6.6曲面上向量的平行移动6.7常高斯(gauss)曲率的曲面*（三）外微分法和活动标架简介（6学时）1.外微分形式2.活动标架法3.用活动标架法研究曲线、曲面．*（四）整体微分几何简介1.平面曲线的整体性质2.空间曲线的整体性质3.曲面的整体性质注：（三）、（四）建议只讲一个，若时间不允许可以不讲。
《微分几何》教学大纲09
《微分几何》课程教学大纲一、教学大纲说明（一）课程的地位、作用和任务《微分几何》是本科数学与应用数学（教师教育）专业的专业选修课程之一。
通过本课程的学习，要求掌握三维空间的曲线和曲面的局部理论以及向量分析研究曲线与曲面的基本方法,培养学生的几何素养，为今后探索现代微分几何打下基础。
本课程要求掌握微分几何的基本内容和研究方法。
（二）课程教学的目的和要求：《微分几何》是本科数学与应用数学专业的专业必修课程之一。
学习及考试重点是空间曲线的基本三菱形、曲率、挠率和伏雷内（Frenet）公式；曲面的第一、第二基本形式及由他们所表示的曲面的内蕴性质、外蕴性质以及可展曲面和测地线。
本课程的主要目的是培养学生的几何素养，为今后探索现代微分几何打好基础，使之具备一定的科学研究能力，并独立攥写小论文。
要求学生掌握：曲线的概念，空间曲线，一般螺线，曲面的概念，曲面的第一基本形式，曲面的第二基本形式，直纹曲面和可展曲面，曲面论的基本定理。
理解：贝特朗曲线，曲面上的测地线了解：常高斯曲率的曲面。
（三）课程教学方法与手段采用理论与习题相结合的教学方法。
（四）课程与其它课程的联系本课程是后续专业课，它需要具备解析几何、数学分析、微分方程等课程的基本知识、基本理论，和与本课程平行开设拓扑学有一定联系。
本课程是学生将来进行专业学习时学习整体微分几何、微分流形等课程的基础；又是现代实、复分析的重要基础。
（五）教材与教学参考书教材：梅向明、黄敬之，《微分几何 (第三版)》，高等教育出版社，2003年12月参考书： 1、梅向明、黄敬之，《微分几何》，人民教育出版社2、吴大任，《微分几何讲义》3、陈维桓等，《微分几何讲义》2006年6月二、课程教学内容、重点和难点本课程主要讲授三维空间中经典的曲线和曲面的局部理论。
教学重点与难点：本课程的重点是空间曲线和曲面论的基本概念、技巧、方法和理论。
难点是抽象性及用微分方程解决几何问题。
第一章曲线论第一节向量函数1、教学内容向量函数的极限、连续、微分、Taylor展式及积分、向量函数具有固定长的充要条件等。
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习题答案4p. 202 习题5.11. 设可允许的参数变换12(,)u u v v αα=是保持定向的，即()det 0a αβ>，其中u a vααββ∂=∂. 用,g b αβαβ表示曲面S 在参数系12(,)u u 下的第一、第二类基本量，用g αβ，b αβ表示曲面S 在参数系12(,)v v 下的第一、第二类基本量. 证明：g g a a γδαβγδαβ=， b b a a γδαβγδαβ=. 证明. (1) 因为du a dv ααββ=，所以在可允许参数变换下，I ()()()g dv dv g du du g a dv a dv g a a dv dv αβγδγαδβγδαβαβγδγδαβγδαβ====.上式两边作为12,dv dv 的二次型相等，所以g g a a γδαβγδαβ=.(2) 设S 的方程为12(,)r r u u =. 令()12112212(,)(,),(,)r v v r u v v u v v =.则有r a r βααβ=. 于是1221121212121212()()()det()r r a r a r a a a a r r a r r αβααββ⨯=⨯=-⨯=⨯.因为()det 0a αβ>，这说明在两个参数系下，有()12112212(,)(,),(,)n v v n u v v u v v =.于是()()()().b dv dv dr dn dr dn b du du b a dv a dv b a a dv dv αβγδαβγδγαδβγδαβγδαβγδαβ=-⋅=-⋅===和(1)中一样，可得b b a a γδαβγδαβ=. □4. 验证：曲面S 的平均曲率H 可以表示成12H b g αβαβ=，并且证明H 在第1题的参数变换下是不变的.证明. (1) 证法一：直接验证. 由定义，()211121222221211112212det ,,,g g gg g g g g g g g g g g gαβ==-==-==. 因此 ()()112212122211112212122211211221221222b g b g b g H b g b g b g g g g g -+==-+- ()111222*********b g b g b g =++()11122122111221221122b g b g b g b g b g αβαφ==+++.证法二：运用Weingarten 变换W . 由定义，()W r n b r βαααβ=-=.所以()b βα是Weingarten 变换W 在切空间的基12{,}r r 下的矩阵. 它的两个特征值12,κκ，也就是主曲率，满足121212trace()b b b b b g b g βαβααβαααβαβκκ+==+===.所以12122H b g αβαβκκ+==. (2) 在第1题的参数变换下，令12(,)v v u u αα=为逆变换，v a uααββ∂=∂. 则()a αβ与()a αβ互为逆矩阵. 故有a a αγαγββδ=，a a αγαγββδ=. (1) 在第1题中已经证明了g g a a γδαβγδαβ=. (2)所以有g g g a a g εβεγδβεααβγδαβδ==.用a αξ乘上式两端，并对指标α求和，利用(1)式可得a a g a a a g g a g g a g εαεαγδβεγδβεδβεξξαγδξαβγδξβδξβδδ====.再用g ξη乘上式两端，并对指标ξ求和，可得g a g g a g a g a g ξηεξηδβεηδβεηβεξδξβδββδ===.最后用a αη乘上式两端，并对指标η求和，利用(1)式可得a g a a a g g g αξηεαηβεαβεαεηξηββδ===，即有g a a g αβαβξηηξ=. (3)于是由b b a a γδαβγδαβ=得到()()b g b a a a a g b a a a a g b g b g αβγδαβξηγαδβξηγδξηξηαβγδαβηξγδαηβξγδηξξηδδ====.所以H 在第1题的参数变换下是不变的. □注. 如果采用矩阵记号，令()g αβ=G ，()g αβ=G ，()a βα=T .则(2)就是T =G TGT ，(3)就是()1111T ----=G T G T .5. 证明下列恒等式：(1) g g g u αβαδββδαδγδγγ∂Γ+Γ=-∂； (2) g g g g u uβγαγλλβλαγαλβγαβ∂∂-=Γ-Γ∂∂；(3) 1ln 2g uβαβα∂Γ=∂，其中()2112212g g g g =-. 证明. (1) 因为g g αξαξηηδ=，对u γ求偏导数，得0g g g g u uαξξηαξξηγγ∂∂+=∂∂. 因此()g g g g g g u uαξξηαξαξααξξηγηξγξηηγηξγγγ∂∂Γ+Γ=-=-=-Γ-Γ∂∂. 用g ηβ乘上式两边，再对η求和，得g g g g g g g g uαβηβααξηβδβααξβαδβδβαηγηξγδγξγδγδγγ∂=-Γ-Γ=-Γ-Γ=-Γ-Γ∂. 这就是(1).(2) 由αβγαγβΓ=Γ，g u βγβγαγβαα∂=Γ+Γ∂，g λβλαγβαγΓ=Γ可得左边γβαβγαγαβαγββαγαβγ=Γ+Γ-Γ-Γ=Γ-Γ=右边.(3) 左边为121211.22g g g g g uu u g g g g g g u u u g g g g g g g g u u u u ββγβγαγβγαβαβγαββαγαγβγαββγβγβγβαγβγβγαγβγαγβγβγγβαβαβ∂∂∂⎛⎫Γ=Γ=+- ⎪∂∂∂⎝⎭∂∂∂⎛⎫=+- ⎪∂∂∂⎝⎭∂∂∂∂⎛⎫==+- ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 右边为()2112212112212212211211211221221112212211ln 112221211.22g g g g g u g u g ug g g g g g g g g u u u u g g g g g g g g g g u u u u u αααααααβγβγααααα⎡⎤∂-∂∂⎣⎦==∂∂∂∂∂∂∂⎛⎫=+-- ⎪∂∂∂∂⎝⎭∂∂∂∂∂⎛⎫==+++ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭所以(3)成立. □ p. 212 习题5.34. 设S 有2个不相等的常数主曲率. 证明：S 是圆柱面的一部分.证明. 设S 的2个常数主曲率为12,κκ. 因为12κκ≠，所以S 上没有脐点，可以选取正交的曲率线网作为参数曲线网，使得0F M ==，1L E κ=，2N G κ=. (1) 因为12,κκ是常数，由Codazzi 方程(3.23)得1212v v v v E L HE E κκκ+===，1222u u u u G N HG G κκκ+===.因此0,0v u E G ==. (2)于是()E E u =，()G G v =.作参数变换u =⎰，v =. 则第一、第二基本形式成为2222I ()()E u du G v dv du dv =+=+， 22221212II ()()E u du G v dv du dv κκκκ=+=+.即在新的参数下1E G ==，1L κ=，2N κ=. 为了方便起见，不妨设在原来的参数下就有22I du dv =+，2212II du dv κκ=+. (3)由(3.22)得12120R =，从而由Gauss 方程(3.19)可知120LN κκ==. 不妨设20κ=. 则120κκ≠=.于是(3)成为22I du dv =+，21II du κ=. (4)直接计算可得圆柱面()111111cos(),sin(),u u v r κκκκ-=的第一、第二基本形式也是(4)，见第四章第2节的例题. 根据曲面论唯一性定理，曲面S 是圆柱面的一部分. □5. 已知曲面的第一基本形式和第二基本形式分别是()222I u du dv =+，22II (,)(,)A u v du B u v dv =+.证明：(1) 函数(,),(,)A u v B u v 满足1AB ≡；(2) A 和B 只是u 的函数.证明. 由已知条件可得主曲率和平均曲率分别是12A u κ=， 22B u κ=， 22A BH u+=. 由Codazzi 方程(3.23)得0v v A HE ==，u u A BB HG u+==. 因此()A A u =，()u uB B A u -=.由Gauss 方程可得42241111ln ||AB K u u u u u u u ∂⎛⎫==-∆=-= ⎪∂⎝⎭. 因此1AB =，并且1()B A u =仅依赖于u . □ p. 217 习题5.42. 判断下面给出的二次微分形式,ϕψ能否作为空间3E 中某个曲面的第一、第二基本形式，并说明理由.(1) 22du dv ϕ=+，22du dv ψ=-.(2) 222cos du u dv ϕ=+，222cos u du dv ψ=+.解. (1) 不能. 否则曲面有2个不相等的常数主曲率11κ=，21κ=-. 由上一节习题4，曲面是圆柱面的一部分. 但是圆柱面是可展曲面，Gauss 曲率0K =，矛盾. (2) 不能. 如果这样的曲面存在，则21221cos ,cos u uκκ==，421cos 0cos u H u +=≠. 由Codazzi 方程(3.23)的第2式得0sin 2u u N HG H u ===-，矛盾. □4. 已知22(,)(,)E u v du G u v dv ϕ=+，(,)u v ψλϕ=，其中0E >，0G >. 若,ϕψ能作为某个曲面的第一、第二基本形式，问函数,,E G λ应该满足什么条件？假定E G =. 写出满足上述条件的函数,,E G λ的具体表达式.解. 如果这样的曲面S 存在，则S 上的点都是脐点. 由第四章定理 1.1和定理1.2，λ必须是常数.情况1. 0λ=. 则0L M N ===，Codazzi 方程(3.23)的2个式子自动成立. 因此只要函数,E G 满足Gauss 方程. 因为Gauss 曲率0K =，,E G 应满足0v u+=. (1)也就是22022v u u v v u vv uu E E G E G G E G E G+++--=. 情况2. 0λ≠. 则,0,L E M N G λλ===，H λ=. 因此Codazzi 方程(3.23)的2个式子成立. 剩下的只要函数,E G 满足Gauss 方程. 因为Gauss 曲率2K λ=，,E G应满足2v u λ⎧⎫⎪+=⎬⎪⎭. (2) 当E G=时，(1)成为0∆=,所以ln 0E∆=. 令z u =+. 根据复变函数知识，存在复解析函数()f z 使得ln E f f =+. 因此22||||f f f f f E G e e e e h +=====，0λ=，其中()()f z h h z e ==也是一个在其定义域内恒不为零的复解析函数.(2)式成为2E λ∆=-， (3)其中0λ≠是常数. 它的一个解是22224(1)E u v λ=++.如果令z u =，则上面的函数可以写成()224(,)1E E z z zz λ==+.对任何一个在其定义域内恒不为零的复解析函数()z f w =，1w u v =+-，只要()0f w '≠，函数()2(,)|()|(),()E w w f w E f z f z '=都是(3)的解. □ p. 227 习题5.51. 已知曲面S 的第一基本形式如下，求它们的高斯曲率K .(2) ()2222I a du dv v =+，0v >，a 是常数；(4) 222I u adu dv e =+，a 是常数； (6) 22I ()du G u dv =+.解. (2) 这是等温参数网. 由公式(5.5)，222222222||11ln ln v a v v K v v v v a a v a a ∂∂⎛⎫=-∆===- ⎪∂∂⎝⎭. (4) 这是正交参数网. 由公式(5.4)，[]//211u auu u a K eea=-=-.(6) 由公式(5.4)，22224G GG K G '''''''-⎤''====-. □2. 证明下列曲面之间不存在等距对应.(1) 球面；(2) 柱面；(3) 双曲抛物面22z x y =-.证明. (1) 球面是全脐点曲面，它的主曲率就是法曲率，也就是法截线的相对曲率. 因此121Rκκ==±，其中R 为球面半径. 故球面的Gauss 曲率210K R=>. (2) 柱面是可展曲面，因此Gauss 曲率0K =. (3) 对于双曲抛物面22z x y =-，参数方程为 ()22,,r x y x y =-. 故有()1,0,2x r x =，()0,1,2y r y =-，()2,2,1x y r r x y ⨯=-， ()0,0,2xx r =，0x y r =，()0,0,2y y r =-. 于是214E x =+，4F xy =-，214G y =+；2L =0M =，N =.由此得22240(144)K x y -=<++.根据Gauss 定理，这3个曲面之间不存在等距对应. □。