高中数学选择性必修一专题1 4 空间向量的综合应用 (解析版)

2020-2021年高二数学选择性必修一尖子生同步培优题典1.4空间向量的综合应用（解析版）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项：本卷共18小题，8道单选题，3道多选题，3道填空题，4道解答题。

一、单项选择题（本题共8小题，每小题满分5分）1．（2020·全国课时练习）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的棱长均为2，则异面直线1A B 与1B C 所成角的余弦值是( )A 3B ．12C ．14D ．0【答案】C【解析】【分析】建立空间直角坐标系，结合空间向量的结论求解异面直线所成角的余弦值即可.【详解】以AC 的中点O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则：()10,1,2A -,()3,0,0B ，)13,0,2B ，()0,1,0C ， 向量()13,1,2A B =-,()13,1,2B C =--， 11cos ,A B B C <>1111A B B C A B B C ⋅=⨯2222=⨯14=. 本题选择C 选项.【点睛】本题主要考查异面直线所成的角的求解，空间向量的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．（2020·全国课时练习）如图所示，在正四面体A­BCD中，E为棱AD的中点，则CE与平面BCD的夹角的正弦值为( )A 3B．23C．12D3【答案】B【解析】【分析】首先利用正四面体的线与线的位置关系，求出点A在下底面的投影，进一步求出E在下底面的射影位置，最后利用所求出的线段长，通过解直角三角形求得结果.【详解】在正四面体A BCD-中，设棱长为a，E为棱AD的中点，如下图所示过A做AO⊥平面BCD，则O为平面BCD的中心，延长DO交BC于G，过E做EF GD⊥，连接FC，所以ECF∠就是所求的CE与平面BCD的夹角．所以222GD CD CG =-，求得32GD a =， 所以33DO a =，利用222AO AD OD =-，解得63AO a =， 所以66EF a =，32CE a =， 在Rt EFC 中，2sin 3EF ECF CE ∠==，故选B.【点睛】本题主要考查直线与平面所成的角，勾股定理的应用及相关的运算问题，具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：（1）作--作出斜线与射影所成的角；（2）证--论证所作（或找到的）角就是要求的角；（3）算--常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角；（4）答--回答求解问题． 3．（2020·全国课时练习）已知空间直角坐标系O xyz -中，()1,2,3OA =，()2,1,2OB =，()1,1,2OP =，点Q 在直线OP 上运动，则当QA QB ⋅取得最小值时，点Q 的坐标为（ ） A ．131,,243⎛⎫ ⎪⎝⎭ B ．133,,224⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．448,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．447,,333⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】【分析】设(,,)Q x y z ，根据点Q 在直线OP 上，求得(,,2)Q λλλ，再结合向量的数量积和二次函数的性质，求得43λ=时，QA QB ⋅取得最小值，即可求解. 【详解】设(,,)Q x y z ，由点Q 在直线OP 上，可得存在实数λ使得OQ OP λ=，即(,,)(1,1,2)x y z λ=，可得(,,2)Q λλλ,所以(1,2,32),(2,1,22)QA QB λλλλλλ=---=---,则2(1)(2)(2)(1)(32)(22)2(385)QA QB λλλλλλλλ⋅=--+--+--=-+， 根据二次函数的性质，可得当43λ=时，取得最小值23-，此时448(,,)333Q . 故选：C.【点睛】本题主要考查了空间向量的共线定理，空间向量的数量积的运算，其中解答中根据向量的数量积的运算公式，得出关于λ的二次函数是解答的关键，着重考查运算与求解能力.4．（2020·全国课时练习）圆锥的轴截面SAB 是边长为2的等边三角形，O 为底面的中心，M 为SO 的中点，动点P 在圆锥底面内（包括圆周）若,AM MP ⊥则点P 形成的轨迹的长度为( ) A ．76 B ．75 C ．72 D ．74【答案】C【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设出动点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量坐标，利用向量垂直的充要条件列出方程求出动点P 的轨迹方程，得到P 的轨迹是底面圆的弦，利用勾股定理求出弦长． 【详解】建立空间直角坐标系．设A （0，﹣1，0），B （0，1，0），S （0，03，M （0，03，P （x ，y ，0）．于是有AM =（0，1，32），MP =（x ，y ，32-）． 由于AM ⊥MP ，所以（0，1，32）•（x ，y ，32-0， 即y 34=，此为P 点形成的轨迹方程，其在底面圆盘内的长度为2371()4-=． 故选C ．【点睛】本题考查通过建立坐标系，将求轨迹问题转化为求轨迹方程、考查向量的数量积公式、向量垂直的充要条件、圆的弦长的求法．属中档题5．（2020·全国高二课时练习）如图所示，在四面体P ABC -中，PC ⊥平面ABC ，AB BC CA PC ===，那么二面角B AP C --的余弦值为（ ）A ．22B ．33C 7D ．57【答案】C【解析】【分析】本题首先可作BD AP ⊥于点D 以及作CE AP ⊥于点E ，然后通过BC BD DE EC =++求出14EC BD ⋅=-，最后根据cos ,EC BD BD EC EC BD ⋅〈〉=⋅以及二面角B AP C --为锐二面角即可得出结果.【详解】如图所示，作BD AP ⊥于点D ，作CE AP ⊥于点E ，设1AB =，则易得22CE =，22EP =，2PA PB ==可以求得144BD =，24ED =.因为BC BD DE EC =++，所以2222222BC BD DE EC BD DE DE EC EC BD =+++⋅+⋅+⋅， 则14EC BD ⋅=-，7cos ,7EC BD BD EC EC BD ⋅〈〉==-⋅， 因为二面角B AP C --为锐二面角，所以二面角B AP C --的余弦值为77， 故答案为：C .【点睛】本题考查二面角的余弦值的求法，考查向量的数量积公式的灵活应用，考查向量加法法则的几何应用，考查数形结合思想，考查推理能力与计算能力，是中档题.6．（2020·全国高二课时练习）如图所示，M ，N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE AB ⊥于点E ，现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A DE B --为45︒，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M ，N 的连线与AE 所成的角的大小为（ ）A ．45︒B ．90︒C ．135︒D ．180︒【答案】B【解析】【分析】 首先根据题意，建立空间直角坐标系，设出边长，求得点的坐标，进而求得向量的坐标，利用向量数量积等于零，得到两向量的夹角为90︒，进而得到异面直线所成角的大小.【详解】建立空间直角坐标系，如图所示：由题意知ABE △为等腰直角三角形.设1CD =，则1BE =，1AB =，2AE =设2BC DE a ==，则(0,0,0)E ，(1,0,1)A ，(1,,0)N a ，(0,2,0)D a ，11,,22M a ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 所以11,0,22MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(1,0,1)AE =--， 所以11,0,(1,0,1)022MN AE ⎛⎫⋅=-⋅--= ⎪⎝⎭.故AE MN ⊥，从而MN 与AE 所成的角为90︒.故选：B.【点睛】该题考查的是有关立体几何的问题，涉及到的知识点有利用空间向量求异面直线所成角，属于简单题目.7．（2020·全国高二课时练习）已知空间中三点(0,1,0)A ，(2,2,0)B ，(1,3,1)C -，则（ ） A ．AB 与AC 是共线向量 B ．AB 的单位向量是255⎫⎪⎪⎝⎭C ．AB 与BC 55D ．平面ABC 的一个法向量是(1,2,5)-【答案】D【解析】【分析】根据向量的相关性质判断.【详解】对于A 项，(2,1,0)AB =，(1,2,1)AC =-，所以AB AC λ≠，则AB 与AC 不是共线向量，所以A 项错误；对于B 项，因为(2,1,0)AB =，所以AB 的单位向量为255,,055⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以B 项错误； 对于C 项，向量(2,1,0)AB =，(3,1,1)BC =-，所以55cos ,11AB BC AB BC AB BC ⋅==-⋅，所以C 项错误； 对于D 项，设平面ABC 的法向量是(,,)n x y z =，因为(2,1,0)AB =，(1,2,1)AC =-，所以00n AB n AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，则2020x y x y z +=⎧⎨-++=⎩，令1x =，则平面ABC 的一个法向量为(1,2,5)n =-，所以D 项正确.故选:D.【点睛】本题考查共线向量的判断，单位向量的求法，夹角的求法，平面法向量的求法，属于空间向量综合题.8．（2020·浙江余杭·高三学业考试）如图，在圆锥SO 中，A ，B 是O 上的动点，BB '是O 的直径，M ，N 是SB 的两个三等分点，()0AOB θθπ∠=<<，记二面角N OA B --，M AB B '--的平面角分别为α，β，若αβ≤，则θ的最大值是（ ）A ．56πB ．23πC ．2πD ．4π 【答案】B【解析】【分析】设底面圆的半径为r ,OS a =,以'B B 所在直线为x 轴,以垂直于'B B 所在直线为y 轴,以OS 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,写出各个点的坐标.利用法向量求得二面角N OA B --与M AB B '--夹角的余弦值.结合αβ≤即可求得θ的取值范围,即可得θ的最大值.【详解】设底面圆的半径为r ,OS a =,以'B B 所在直线为x 轴,以垂直于'B B 所在直线为y 轴,以OS 所在直线为z 轴建立空间直角坐标系,如下图所示:则由()0AOB θθπ∠=<<可得()()()0,0,0,,0,0,0,0,O B r S a ,()()cos ,sin ,0,',0,0A r r B r θθ-M ,N 是SB 的两个三等分点 则22,0,,,0,3333r a r a M N ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 所以()2cos ,sin ,0,,0,33r a OA r r ON θθ⎛⎫== ⎪⎝⎭ 设平面NOA 的法向量为()111,,m x y z =则00m OA m ON ⎧⋅=⎨⋅=⎩,代入可得()()()111111,,cos ,sin ,002,,,0,033x y z r r r a x y z θθ⎧⋅=⎪⎨⎛⎫⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩化简可得1111cos sin 02033x r y r x r az θθ+=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 令11x =,解得11cos 2,sin r y z a θθ=-=- 所以cos 21,,sin r m a θθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭平面OAB 的法向量为()0,0,1n =由图可知, 二面角N OA B --的平面角α为锐二面角,所以二面角N OA B --的平面角α满足cos 1m nm n α⋅==⋅+设二面角M AB B '--的法向量为()222,,k x y z =()2'cos ,sin ,0,cos ,sin ,33r a B A r r r AM r r θθθθ⎛⎫=+=-- ⎪⎝⎭ 则'00k B A k AM ⎧⋅=⎨⋅=⎩代入可得()()()222222,,cos ,sin ,002,,cos ,sin ,033x y z r r r r a x y z r r θθθθ⎧⋅+=⎪⎨⎛⎫⋅--= ⎪⎪⎝⎭⎩化简可得2222222cos sin 02cos sin 033x r x r y r x r az x r y r θθθθ++=⎧⎪⎨--+=⎪⎩ 令21x =,解得221cos 2,sin r y z a θθ--==- 所以1cos 21,,sin r k a θθ--⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 平面AB B '的法向量为()0,0,1h =由图可知, 二面角M AB B '--的平面角β为锐二面角,所以二面角M AB B '--的平面角β满足 cos 1k hk h β⋅==⋅⎛+由二面角的范围可知0αβπ≤≤≤结合余弦函数的图像与性质可知cos cos αβ≥即≥化简可得1cos 2θ≤-,且0θπ<< 所以203πθ<≤ 所以θ的最大值是23π 故选:B【点睛】本题考查了空间直角坐标系在求二面角中的综合应用,根据题意建立合适的空间直角坐标系,求得平面的法向量,即可求解.本题含参数较多,化简较为复杂,属于难题.二、多选题（3道小题，每小题满分5分，答漏得3分，答错得0分）9．（2020·全国单元测试）如图，一个结晶体的形状为平行六面体1111ABCD A B C D -，其中，以顶点A 为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是（ ）A ．()()2212AA AB ADAC ++=B ．()10AC AB AD ⋅-= C ．向量1B C 与1AA 的夹角是60° D ．1BD 与AC 6【答案】AB 【解析】 【分析】直接用空间向量的基本定理，向量的运算对每一个选项进行逐一判断. 【详解】以顶点A 为端点的三条棱长都相等, 它们彼此的夹角都是60°， 可设棱长为1,则11111cos602AA AB AA AD AD AB ⋅=⋅=⋅=⨯⨯︒=()22221111=+2+2+2AA AB AD AA AB AD AA AB AB AD AA AD ++++⋅⋅⋅11113262=+++⨯⨯=而()()()22222222ACAB AD AB AD AB AD =+=++⋅121122362⎛⎫=++⨯=⨯= ⎪⎝⎭， 所以A 正确.()()()11AC AB AD AA AB AD AB AD ⋅-⋅=++-2211AA AB AA AD AB AB AD AD AB AD =⋅-⋅+-⋅+⋅- =0,所以B 正确.向量11B C A D=,显然1AA D △ 为等边三角形，则160AA D ∠=︒.所以向量1A D 与1AA 的夹角是120︒ ,向量1B C 与1AA 的夹角是120︒,则C 不正确 又11=AD AA BD AB +-，AC AB AD =+ 则()211||=2AD AA A B B D =+-，()2||=3AC AB AD =+()()111AD AA AB BD AC AB AD ⋅=+-=+⋅所以11116cos ===6||||23BD AC BD AC BD AC ⋅⋅⨯，，所以D 不正确.故选：AB 【点睛】本题考查空间向量的运算，用向量求夹角等，属于中档题.10．（2020·全国单元测试）（多选题）正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,,E F G 分别为11,,BC CC BB 的中点．则（ ）A ．直线1D D 与直线AF 垂直B ．直线1A G 与平面AEF 平行C ．平面AEF 截正方体所得的截面面积为98D ．点C 和点G 到平面AEF 的距离相等 【答案】BC 【解析】 【分析】找到AF 在平面11ADD A 内的射影，由三垂线定理可知AF 与1DD 不垂直，故A 错误；易证：平面1//A MG 平面AEF ，由面面平行的性质可得1//AG 平面AEF ，故B 正确；通过延展平面AEF 可得截面四边形1AEFD ，经过计算可知，C 正确；通过反证法，假设成立，推出矛盾，从而证明D 不正确. 【详解】取1DD 的中点N ，连接AN ，则AN 为直线AF 在平面11ADD A 内的射影，AN 与1DD 不垂直，从而AF 与1DD 也不垂直，选项A 错误；取11B C 的中点为M ，连接1,A M GM ，则1//,//A M AE GM EF ，易证：平面1//A MG 平面AEF ，从而1//AG 平面AEF ，选项B 正确； 连接1AD ，1D F ，易知四边形1AEFD 为平面AEF 截正方体所得的截面四边形（如图所示），且15D H AH ==，12A D =，所以1221232(5)()222∆=⨯⨯-=AD H S ， 而113948∆==AEFD AD H S S ，从而选项C 正确； 假设点C 与点G 到平面AEF 的距离相等，即平面AEF 将CG 平分，则平面AEF 必过CG 的中点，连接CG 交EF 于点O ，易知O 不是CG 的中点，故假设不成立，从而选项D 错误. 故选：BC 【点睛】本题以正方体为载体，考查了空间中线线、线面的位置关系、点到面的距离、截面面积等立体几何基本知识，考查了运算求解能力和空间想象能力，属于中档题目.11．（2020·山东高三其他）在长方体1111ABCD A B C D -中，23AB =12AD AA ==，,,P Q R 分别是11,,AB BB AC 上的动点，下列结论正确的是（ ） A ．对于任意给定的点P ，存在点Q 使得1D P CQ ⊥ B ．对于任意给定的点Q ，存在点R 使得1D R CQ ⊥ C ．当1AR A C ⊥时，1AR D R ⊥D ．当113AC A R =时，1//D R 平面1BDC 【答案】ABD 【解析】 【分析】如图所示建立空间直角坐标系，计算142D P CQ b ⋅=-，()12222D R CQ b λλ⋅=--，134AR D R ⋅=-，10D R n ⋅=，得到答案.【详解】如图所示，建立空间直角坐标系，设()2,,0P a ，0,23a ⎡⎤∈⎣⎦，()2,23,Q b ，[]0,2b ∈，设11A R AC λ=，得到()22,23,22R λλλ--，[]0,1λ∈. ()12,,2P a D -=，()2,0,CQ b =，142D P CQ b ⋅=-，当2b =时，1D P CQ ⊥，A 正确；()122,23,2D R λλλ=--，()12222D R CQ b λλ⋅=--，取22bλ=+时，1D R CQ ⊥，B 正确；1AR A C ⊥，则()()12,23,222,23,2212440AR AC λλλλλλ⋅=--⋅--=-+-+=， 14λ=，此时11333313,,,,02222224AR D R ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅-=-≠ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，C 错误； 113AC A R =，则4234,,333R ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，14232,,333D R ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面1BDC 的法向量为(),,n x y z =，则100n BD n DC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得()3,1,3n =-，故10D R n ⋅=，故1//D R 平面1BDC ，D 正确. 故选：ABD .【点睛】本题考查了空间中的线线垂直，线面平行，意在考查学生的计算能力和空间想象能力，推断能力.三、填空题（3道小题，每小题满分5分）12．（2018·上海市控江中学）写出直线210x y ++=的一个法向量n =______．【答案】()21，【解析】 【分析】化直线方程为斜截式，求出直线的斜率，得到直线的一个方向向量，进而可求得直线的一个法向量，得到答案． 【详解】由题意，化直线210x y ++=的方程为斜截式21y x =--，可得直线的斜率为-2，所以直线的一个方向向量为12-（，），所以直线的一个法向量为21（,）． 故答案为21（，） 【点睛】本题主要考查了直线的方向向量和法向量的意义、数量积的运算是解题的关键，是基础题． 13．（2020·全国高二课时练习）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为________.25【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，找到1D E 、1CC 法向量，用异面直线1D E 与1CC 的距离公式求得即可. 【详解】点P 到直线1CC 距离的最小值就是异面直线1D E 与1CC 的距离，以点D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在直线的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，则1(0,0,2)D ，(1,2,0)E ，(0,2,0)C ，1(0,2,2)C ，1(1,2,2)D E ∴=-，1(0,0,2)CC =，设1n D E ⊥，1n CC ⊥，(,,)n x y z =， 则12D x y E =+20z -=，120n CC z ⋅==，0z ∴=，取1y =-，则2x =，∴(2,1,0)n ∴=-，又(1,0,0)CE ∴=，异面直线1D E 与1CC 的距离22|||2100|255||2(1)0n CE d n ⋅⨯++===+-+即点P 到直线1CC 距离的最小值为255. 故答案为：255【点睛】求异面直线之间的距离，关键是建立空间直角坐标系，找到法向量，正确运用公式. 14．（2017·浙江余姚中学高二月考）如图，棱长为3的正方体的顶点A 在平面α上，三条棱,,AB AC AD 都在平面α的同侧，若顶点,B C 到平面α的距离分别为2，2，则顶点D 到平面α的距离是______.5【解析】 【分析】求点到平面的距离，建立空间直角坐标系，由顶点,B C 到平面α的距离分别为2，2，利用空间点到平面距离公式，求出平面α的法向量，即可求出结论. 【详解】如图，以O 为坐标原点，建立空间直角坐标系， 则(0,0,0),(3,0,0),(0,3,0),(3,3,0),(3,3,3)O C B A D ， 所以(3,0,0),(0,3,0),(0,0,3)BA CA AD ===， 设平面α的一个法向量为(,,)n x y z =， 则点B 到平面α距离为1222|||3|2||BA n x d n x y z ⋅===++，①点C 到平面α距离为1222|||3|2||CA n y d n x y z⋅===++，②由①②可得5||||,||||2y x z x ==， 所以D 到平面α的距离为22253|||||3|253||||2x AD n z n x y z x ⋅===++. 故答案为:5.【点睛】本题考查点到平面的距离，利用空间直角坐标系解题时，正确建立空间坐标系是关键，属于较难题.四、解答题（4道小题，每小题满分10分）15．（2020·安徽高三其他（理））如图1，在直角梯形ABCD 中，//AB CD ，AB AD ⊥，2AD CD AB ==，E ，F 分别为AD ，BC 的中点，若沿着EF 折叠使得2AD AE =如图2所示，连结BC ．（1）求证：平面CDEF ⊥平面ABFE ； （2）求二面角C -BF -D 的余弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）2121. 【解析】 【分析】（1）本小题先根据勾股定理判断线线垂直，再证明线面垂直，最后证明面面垂直.（2）本小题根据题意建立空间直角坐标系，再求二面角两个面的法向量，最后根据夹角公式求解即可. 【详解】 （1）E ，F 分别为AD ，BC 的中点，////EF AB CD ∴AB AD ⊥．EF AE ∴⊥，EF DE ⊥2AD =，AE DE =∴222AE DE AD +=DE EF ∴⊥DE ∴⊥平面ABFE DE ⊂平面CDEF∴平面CDEF ⊥平面ABFE ．（2）由（1）知，AE ，DE ，EF 两两垂直， 如图建立空间直角坐标系，令1AE =则()0,0,1D ，()1,0,0A ，()1,1,0B ，30,,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()0.2,1C ．()1,1,1DB =-，30,,12DF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，11,,02FB ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，10,,12FC ⎛⎫= ⎪⎝⎭设平面BDF 的法向量为(),,m x y z =，则0m DB m DF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即0320x y z y z +-=⎧⎨-=⎩，令2y =，则3z =，1x =，∴平面BDF 的一个法向量为()1,2,3m =． 设平面BCF 的法向量为(),,n x y z =，则0n FB n FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即2020x y y z -=⎧⎨+=⎩，令1z =-，则2y =，1x =，∴平面BCF 的一个法向量为()1,2,1n =-． ∴221cos ,21146m n m n m n⋅===⋅⋅ ∵二面角C BF D --为锐二面角设为θ， ∴21cos 21θ=． 【点睛】本题考查通过线线垂直证明面面垂直和借空间向量求二面角的余弦值，是较难题.16．（2020·湖南月考）已知四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，且60ABC ∠=︒，PA ⊥平面ABCD ，E 、M 分别是BC 、PD 上的中点，直线EM 与平面PAD 所成角的正弦值为155，点F 在PC 上移动. （1）证明：无论点F 在PC 上如何移动，平面AEF ⊥平面PAD ； （2）若点F 为PC 的中点，求二面角C AF E --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）155. 【解析】 【分析】（1）本小题先证明ABC 是正三角形，从而证明AE AD ⊥，再证明PA AE ⊥，接着证明AE ⊥平面PAD ，最后平面AEF ⊥平面PAD .（2）本小题先建立空间直角坐标系，再明确AME ∠就是直线EM 与平面PAD 所成的角，求得2AM =、2AP =，并标点，接着求平面AEF 的一个法向量()0,2,1n =-，平面ACF 的一个法向量()3,3,0BD =-，最后求出二面角C AF E --的余弦值为155. 【详解】（1）因为底面ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒，所以ABC 是正三角形， 又E 是BC 的中点，所以AE BC ⊥，又//AD BC ，所以AE AD ⊥. 因为PA ⊥平面ABCD ，AE ⊂平面ABCD ，所以PA AE ⊥， 又PA AD A ⋂=，所以AE ⊥平面PAD ， 又AE ⊂平面AEF ，所以平面AEF ⊥平面PAD .（2）由（1）得，AE ，AD ，AP 两两垂直，以AE ，AD ，AP 所在直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图.因为AEF ⊥平面PAD .，所以AME ∠就是直线EM 与平面PAD 所成的角， 在Rt AME △中，由15sin AME ∠=6tan AE AME AM ∠==， 由已知2AB =，则3AE =2AM =所以222PD AM AD AP ==+，即()222222AP =+， 从而2AP =，则()0,0,0A ，()3,1,0B -，()3,1,0C ，()0,2,0D ，()002P ,,，()3,0,0E ，31,,122⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭F ， 所以()3,0,0AE =，31,,122⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭AF ， 设(),,n x y z =是平面AEF 的一个法向量，则30,310.22n AE x n AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩取1z =，得()0,2,1n =-.又BD ⊥平面ACF ，∴()3,3,0=-BD 是平面ACF 的一个法向量， 所以()()03231015cos ,5523n BDn BD n BD ⨯-+-⨯+⨯⋅===-⨯， 由图可知C AF E --为锐二面角，所以二面角C AF E --的余弦值为155. 【点睛】 本题考查利用线面垂直证明面面垂直，利用空间向量求二面角的余弦值，是偏难题.17．（2020·甘肃城关·兰州一中高三三模（理））已知，图中直棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形，其中124AA AC BD ===.又点,,,E F P Q 分别在棱1111,,,AA BB CC DD 上运动，且满足：BF DQ =，1CP BF DQ AE -=-=.（1）求证：,,,E F P Q 四点共面，并证明EF ∥平面PQB .（2）是否存在点P 使得二面角B PQ E --的余弦值为55？如果存在，求出CP 的长；如果不存在，请说明理由.【答案】（1）见解析（2）不存在点P 使之成立.见解析【解析】【分析】(1) 在线段,CP DQ 上分别取点,M N ,使得1QN PM ==,进而得到MN PQ 与EF MN 即可.(2) 以O 为原点,分别以,OA OB ,及过O 且与1AA 平行的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系,再求解平面BPQ 的法向量与平面EFPQ 的法向量,再设BF a =,[]1,3a ∈,再根据二面角的计算方法分析是否存在[]1,3a ∈5即可. 【详解】解：（1）证法1：在线段,CP DQ 上分别取点,M N ,使得1QN PM ==,易知四边形MNQP 是平行四边形,所以MN PQ ,联结,,FM MN NE , 则AE ND =,且AE ND所以四边形ADNE 为矩形,故AD NE ,同理,FM BC AD且NE MF AD ==,故四边形FMNE 是平行四边形,所以EFMN ,所以EF PQ 故,,,E F P Q 四点共面又EF PQ ,EF ⊄平面BPQ ,PQ ⊂平面BPQ ,所以EF 平面PQB .证法2：因为直棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,∴AC BD ⊥,1AA ⊥底面ABCD ,设,AC BD 交点为O ,以O 为原点,分别以,OA OB ,及过O 且与1AA 平行的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系.则有()2,0,0A ,()0,1,0B ,()2,0,0C -,()0,1,0D -,设BF a =,[]1,3a ∈,则()2,0,1E a -,()0,1,F a ,()2,0,1P a -+,()0,1,Q a -,()2,1,1EF =-,()2,1,1QP =-,所以EF PQ ,故,,,E F P Q 四点共面.又EF PQ ,EF ⊄平面BPQ ,PQ ⊂平面BPQ ,所以EF 平面PQB .（2）平面EFPQ 中向量()2,1,1EF =-,()2,1,1EQ =--,设平面EFPQ 的一个法向量为()111,,x y z ,则1111112020x y z x y z -++=⎧⎨--+=⎩,可得其一个法向量为()11,0,2n =. 平面BPQ 中,()2,1,1BP a =--+,()0,2,BQ a =-,设平面BPQ 的一个法向量为()222,,n x y z =,则()2222221020x y a z y az ⎧--++=⎨-+=⎩,所以取其一个法向量()22,2,4n a a =+. 若()1212225cos ,5216n n n n a a ⋅==⋅+++则()2210548a a a +=++, 即有24230a a --=,[]1,3a ∈,解得[]2321,3a =±,故不存在点P 使之成立.【点睛】本题主要考查了根据线线平行证明共面的方法,同时也考查了建立空间直角坐标系确定是否存在满足条件的点的问题.需要根据题意建立合适直角坐标系,再利用空间向量求解二面角的方法,分析是否有参数满足条件等.属于难题.18．（2020·全国高三其他（理））某人设计了一个工作台，如图所示，工作台的下半部分是个正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1，其底面边长为4，高为1，工作台的上半部分是一个底面半径为2的圆柱体的四分之一．（1）当圆弧E2F2（包括端点）上的点P与B1的最短距离为2时，证明：DB1⊥平面D2EF．（2）若D1D2＝3．当点P在圆弧E2E2（包括端点）上移动时，求二面角P﹣A1C1﹣B1的正切值的取值范围．【答案】（1）见解析，（2）32623[,]27+-- 【解析】【分析】 （1）以D 为原点，以2,,DA DC DD 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，可得1120,0DB EF DB ED ⋅=⋅=，从而可证DB 1⊥平面D 2EF ； （2）设(,,4)P a b ，则222,0,0a b a b +=≥≥，所以[2,2]a b +∈，求出平面11PA C 的法向量4(1,1,)3a b n --=，而平面111A B C 的一个法向量(0,0,1)m =，设二面角111P AC B --的大小为θ，则先求出cos θ，从而可得32tan 4a b θ=+-，再由[2,2]a b +∈可得tan θ的范围. 【详解】（1）证明：作PH ⊥平面1111D C B A 于H ，则H 在圆弧EF 上，因为2211PB PH HB =+，所以当1HB 取最小值时，1PB 最小，由圆的对称性可知，1HB 的最小值为42232-=，所以221142PH PB HB =-=如图，以D 为原点，以2,,DA DC DD 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系D xyz -，则21(0,0,0),(0,0,142),(2,0,1),2,1),(4,4,1)D D E F B +，12(4,4,1),(2,2,0),(2,0,42)DB EF ED ==-=-,因为112424200,420420DB EF DB ED ⋅=-++=⋅=-+=，所以112,DB EF DB ED ⊥⊥,因为EF ⊂平面2D EF ，2ED ⊂平面2D EF ，2ED EF E =, 所以DB 1⊥平面D 2EF ，（2）解：若D 1D 2＝3，由（1）知()()()1114,0,1,0,4,1,4,4,1A C B ,设(,,4)P a b ，因为222,0,0a b a b +=≥≥， 设2,2,[0,]2a b πθθθ==∈ 所以2sin()[2,2]4a b πθ+=+∈，111(4,4,0),(4,,3)AC A P a b =-=-，设平面11PA C 的法向量为111(,,)n x y z =，则11111111440(4)30n AC x y n A P a x by z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩， 令11x =，则4(1,1,)3a b n --=， 取平面111A B C 的一个法向量(0,0,1)m =，设二面角111P AC B --的大小为θ，θ显然是钝角， 则243cos cos ,42()3a b m n m n a b m n θ+-⋅=-=-=+-+， 220,sin 0,sin 1co 242()s 3a b θπθθθ≤≤∴>+-+=-=则3tan []427a b θ=∈--+-，所以二面角111P AC B --的正切值的取值范围为3[]27--， 【点睛】此题考查了利用空间向量证明线面垂直，求二面角，考查了空间想象能力和推理计算能力，属于较难题.。