高考专题之空间向量
高考数学常考知识点之空间向量
空间向量1．空间向量的概念： 具有大小和方向的量叫做向量 注：⑴空间的一个平移就是一个向量 ⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下 b a +=+=b a -=-=)(R a ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a +=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ++=++⑶数乘分配律：b a b a λλλ+=+)( 3 共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a //．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．4．共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb .推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 t +=a ．其中向量a叫做直线l 的方向向量.5．向量与平面平行：已知平面α和向量a ，作OA a =，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的6．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB=+或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++ ① ①式叫做平面MAB 的向量表达式7 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB =++8 空间向量的夹角及其表示： 已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,O A aO B b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤，显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>=，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥. 9．向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a . 10．向量的数量积： a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．已知向量AB a =和轴l ，e 是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B ''叫做向量AB 在轴l 上或在e 上的正射影.可以证明A B ''的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅．11．空间向量数量积的性质：（1）||cos ,a e a a e ⋅=<>．（2）0a b a b ⊥⇔⋅=．（3）2||a a a =⋅．12．空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．（2）a b b a ⋅=⋅（交换律）（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）．空间向量的坐标运算一．知识回顾：（1）空间向量的坐标：空间直角坐标系的x 轴是横轴（对应为横坐标），y 轴是纵轴（对应为纵轴），z 轴是竖轴（对应为竖坐标）.①令=(a 1,a 2,a 3),),,(321b b b b =，则),,(332211b a b a b a ±±±=+))(,,(321R a a a ∈=λλλλλ332211b a b a b a ++=⋅ ∥)(,,332211R b a b a b a b ∈===⇔λλλλ332211b a b a b a ==⇔0332211=++⇔⊥b a b a b a b a222321a a a ++==(a a =⋅=)232221232221332211||||,cos b b b a a a b a b a b a b a b a b a ++⋅++++=⋅⋅>=< ②空间两点的距离公式：212212212)()()(z z y y x x d -+-+-=.（2）法向量：若向量所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥，如果α⊥a 那么向量a 叫做平面α的法向量.（3）用向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α||n ②利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n 方向相同，则为补角，21,n 反方，则为其夹角）.③证直线和平面平行定理：已知直线≠⊄a 平面α，α∈⋅∈⋅D C a B A ,，且CDE 三点不共线，则a ∥α的充要条件是存在有序实数对μλ⋅使CE CD AB μλ+=.（常设CE CD AB μλ+=求解μλ,若μλ,存在即证毕，若μλ,不存在，则直线AB 与平面相交）.AB。
高中数学必修知识点空间向量知识点
高中数学必修知识点空间向量知识点高中数学必修知识点：空间向量知识点一、空间向量的概念与表示空间向量是指具有大小、方向和作用线的量，可以用一个有向线段来表示。
设 A、B 是空间中的两点，用线段 AB 表示的向量称为向量AB，记作⃗AB 或 AB。
二、向量的加法与减法1. 向量的加法：设向量⃗AB 与向量⃗BC 共线，则向量⃗AC 称为向量⃗AB 和向量⃗BC 的和，记作⃗AB + ⃗BC = ⃗AC。
2. 向量的减法：设向量⃗AB 与向量⃗BC 共线，则向量⃗AC 称为向量⃗AB 和向量⃗BC 的差，记作⃗AB - ⃗BC = ⃗AC。
三、数量积与向量积1. 数量积的定义：设向量⃗a = (x₁, y₁, z₁) 与向量 ⃗b = (x₂, y₂, z₂)，则向量⃗a 和向量⃗b 的数量积为 a·b = x₁x₂ + y₁y₂ + z₁z₂。
2. 数量积的性质：- 交换律：⃗a·⃗b = ⃗b·⃗a- 结合律：(k⃗a)·⃗b = k(⃗a·⃗b) = ⃗a·(k⃗b) (k 为常数)- 分配律：⃗a·(⃗b + ⃗c) = ⃗a·⃗b + ⃗a·⃗c- ⃗a·⃗a ≥ 0，当且仅当⃗a = ⃗0 时，⃗a·⃗a = 03. 向量积的定义：设向量⃗a = (x₁, y₁, z₁) 与向量⃗b = (x₂, y₂,z₂)，则向量⃗a 和向量⃗b 的向量积为⃗a × ⃗b = (y₁z₂ - z₁y₂, z₁x₂ - x₁z₂, x₁y₂ - y₁x₂)。
4. 向量积的性质：- ⃗a × ⃗b = -⃗b × ⃗a- (k⃗a) × ⃗b = ⃗a × (k⃗b) = k(⃗a × ⃗b) (k 为常数)- ⃗a × ⃗b = ⃗0，当且仅当⃗a 与 ⃗b 共线或其中一个为⃗0 时，⃗a × ⃗b = ⃗0四、平面与空间向量的关系1. 平面方程的向量表示：设平面过点 A(x₁, y₁, z₁)，且法向量为 ⃗n = (A, B, C)，则平面上任意一点 M(x, y, z) 满足向量⃗AM·⃗n = 0。
高考数学中的向量空间及其性质分析
高考数学中的向量空间及其性质分析在高考数学中，向量空间是一个重要的概念，涵盖了向量的范围和性质，是代数学研究的基础。
本文将介绍向量空间的概念、性质、基础定理以及相关的例子和应用。
一、向量空间的概念向量空间（Vector space）指的是一个包含多个向量的空间，它们满足以下性质：1. 向量的数量是有限个或无限个。
2. 向量定义了一个数域，数域可以是实数域R，复数域C，有理数域Q等。
3. 向量有进一步的代数、几何、拓扑和泛函分析等特征。
4. 向量空间必须包含零向量（也就是全零的向量）。
5. 向量空间必须包含加法：对于任意两个线性向量（即向量的加法、数乘等操作结果还是一个向量），在向量空间内有一个数域运算，满足交换律、结合律、存在加法逆元素等条件。
6. 向量空间必须包含数乘：对于任意线性向量和数域中的一个数，存在一个数乘运算，满足分配律、结合律等条件。
这些性质被称为向量空间的八条基本公理，其中1-4条是定义性质，5-8条是增量性质。
然后我们将详细探讨它们的含义和应用。
二、向量空间的性质1. 向量的数量和定义的数域可以是各种类型的，只需要满足八条基本公理即可。
2. 向量空间是一个集合，因此它也可以定义子空间，即由其中的一组线性无关的向量组成的空间。
3. 向量空间的维数是指其向量组成的最小集合，我们可以通过线性变换的定义来计算向量空间的维数。
4. 向量空间的元素是线性向量，它们的位置可以描述其中一个向量相对于原点的位置，以及相对于其它向量的位置关系。
5. 向量空间中的向量可以表示为各种类型的坐标，这种坐标和几何坐标非常相似，因为它们都是由一组数值表示向量。
6. 向量空间定义的加法和数乘可以轻松地进行多种操作，例如向量之间的点乘、叉乘、向量积等等。
7. 向量空间是线性代数学中一个很重要的概念，在计算机图像、统计学、量子力学等领域都有广泛的应用。
三、向量空间的基础定理1. 向量空间的基底定理：向量空间的任何一个基底都必须包含同样数量的向量。
高考数学中的空间向量的几何意义
高考数学中的空间向量的几何意义数学是一门抽象的学科，但是它具有严密的逻辑性和实际应用性。
在高考数学中，空间向量是一个非常重要的概念，它不仅具有数学上的意义，还有很多实际生活中的应用。
本文将从几何意义的角度探讨空间向量在高考数学中的应用。
1. 空间向量的定义及表示空间向量是指有大小和方向的量，用于表示从一个点到另一个点的位矢。
在直角坐标系中，空间向量可以表示为一个三元组$(x, y, z)$，其中 $x$、$y$、$z$ 分别表示向量在 x 轴、y 轴和 z 轴上的投影。
因此，一个空间向量可以表示为：$$\vec{v} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$$其中 $\vec{i}$、$\vec{j}$ 和 $\vec{k}$ 分别表示 x 轴、y 轴和 z 轴上的单位向量。
空间向量表示为有向线段时，通常用一个带箭头的线段来表示，箭头所指方向为向量的方向，线段的长度为向量的大小。
2. 空间向量的加、减、数量积与向量积(1) 向量的加减两个向量的加和是将它们的对应分量相加得到的新向量。
例如，对于向量 $\vec{a}=(a_1, a_2, a_3)$ 和向量 $\vec{b}=(b_1, b_2,b_3)$，它们的和 $\vec{c}=\vec{a}+\vec{b}$ 可以表示为：$$\vec{c}=(a_1+b_1)\vec{i}+(a_2+b_2)\vec{j}+(a_3+b_3)\vec{k} $$向量的减法是加上一个相反的向量。
如果 $\vec{b}=(b_1, b_2,b_3)$ 是向量 $\vec{a}=(a_1, a_2, a_3)$ 的相反向量，则 $\vec{a}-\vec{b}$ 表示向量的减法。
(2) 数量积两个向量的数量积是一个标量，它等于两个向量的模长的乘积再乘以两个向量的夹角的余弦值。
如果 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 的夹角为 $\theta$，则它们的数量积表示为：$$\vec{a}\cdot\vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$$数量积还可以用于判断两个向量是否垂直或平行。
空间向量在高考数学中的应用
空间向量在高考数学中的应用高考是每个中国学生的命运之战，数学考试是其中最为重要的一项。
而在数学考试中，空间向量是一个重要的知识点，与许多数学问题都有着密切的关联。
在本文中，我们将探讨空间向量在高考数学中的应用。
一、空间向量的定义和性质在开始探讨空间向量的应用之前，我们先来了解一下空间向量的定义和性质。
空间向量是指由起点和终点所组成的有向线段。
空间向量可以用一个三元组来表示，三元组的三个分量分别表示空间向量在$x$轴、$y$轴和$z$轴上的投影。
如图1所示，空间向量$\vec{AB}$可以表示为$(x_B-x_A,y_B-y_A,z_B-z_A)$。
空间向量有许多性质，其中最基本的性质是向量的共线性。
若向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$共线，则存在实数$k$，使得$\vec{a}=k\vec{b}$。
此外，向量的模长、加法、减法、数量积和向量积都是空间向量的常见性质。
二、平面和空间的向量运算在高考数学中，我们经常会遇到平面和空间的向量运算。
这些运算包括向量的加、减、数乘和数量积。
向量的加、减和数乘都比较简单，其中向量的加和数乘遵循矢量运算的规则；向量的减就是向量加上它的相反数。
平面和空间向量的加、减和数乘计算方法都基本相同，只是空间向量的计算需要注意向量的方向。
向量的数量积也是平面和空间向量中的常见运算，它定义为两个向量的模长相乘再乘以它们的夹角余弦值。
以平面向量为例，向量$\vec{a}$和向量$\vec{b}$的数量积可以表示为$\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$，其中$\theta$为两个向量的夹角。
当两个向量共线时，它们的数量积为一个实数，可以用它们的模长和夹角来表示。
当两个向量不共线时，它们的数量积为零，两个向量垂直。
三、向量在平面几何中的应用向量是平面几何中的有力工具，它可以用来求解各种几何问题，比如求面积、角度、切线和垂线等。
解析高考几何题中的空间向量知识点
解析高考几何题中的空间向量知识点在高考数学中，几何题一直是重点和难点，而空间向量的引入为解决这类问题提供了有力的工具。
空间向量不仅能够简化复杂的几何推理，还能帮助我们更直观、高效地找到解题思路。
接下来，咱们就深入剖析一下高考几何题中涉及的空间向量知识点。
一、空间向量的基本概念空间向量是在空间中既有大小又有方向的量。
它与平面向量类似，但多了一个维度。
一个空间向量可以用有向线段来表示，其长度表示向量的模，方向表示向量的指向。
在直角坐标系中，空间向量可以用坐标形式表示，比如向量 a ＝（x, y, z) 。
通过坐标，我们可以方便地进行向量的运算。
二、空间向量的运算1、加法和减法两个空间向量的加法和减法遵循三角形法则和平行四边形法则。
通过坐标运算，若向量 a ＝（x1, y1, z1) ，向量 b ＝（x2, y2, z2) ，则向量 a ＋ b ＝（x1 ＋ x2, y1 ＋ y2, z1 ＋ z2) ，向量 a b ＝（x1 x2, y1 y2, z1 z2) 。
2、数乘运算一个实数 k 乘以一个空间向量 a ，得到的向量 k a 的模是原向量模的｜k| 倍，方向当 k ＞ 0 时与原向量相同，当 k ＜ 0 时与原向量相反。
坐标运算为 k a ＝（kx, ky, kz) 。
3、数量积空间向量的数量积 a · b ＝｜a| ｜b| cosθ ，其中θ 是两个向量的夹角。
通过坐标运算，若向量 a ＝（x1, y1, z1) ，向量 b ＝（x2, y2, z2) ，则 a · b ＝ x1x2 ＋ y1y2 ＋ z1z2 。
数量积的应用非常广泛，比如可以用来求向量的模、判断向量的垂直关系等。
三、空间向量在证明平行与垂直关系中的应用1、平行关系若向量 a ＝（x1, y1, z1) ，向量 b ＝（x2, y2, z2) ，当存在实数 k ，使得 a ＝ k b 时，向量 a 与向量 b 平行。
高考数学专题复习：空间向量及其运算的坐标表示
高考数学专题复习：空间向量及其运算的坐标表示一、单选题1．已知空间三点()2,0,8A -，(),,P m m m ，()4,4,6B -，若向量PA 与PB 的夹角为60°，则实数m =（ ） A ．1B ．2C ．1-D ．2-2．已知点()1,1,2A -，()2,1,1B -，()3,3,2C ，又点(),7,2P x -在平面ABC 内，则x 的值为（ ） A ．11B ．9C ．1D ．4-3．已知(121)a =-，，，(121)a b -=--，，，则b =（ ）． A ．(202)--，， B ．(242)--，， C ．(242)-，， D ．(213)-，， 4．如图所示，在空间直角坐标系中，2BC =，原点O 是BC 的中点，点D 在平面yOz 内，且90BDC ∠=，30DCB ∠=，则点D 的坐标为（ ）．A ．1(02-，B ．1(02-，C ．1(02，，D ．1(02，5．点(023)A -，，在空间直角坐标系中的位置是（ ）．A ．在x 轴上B ．在xOy 平面内C ．在yOz 平面内D ．在xOz 平面内 6．若直线l 的方向向量为(2,1,)m ，平面a 的法向量为1(1,,2)2，且l a //，则m =（ ）A ．2B ．4C ．54-D ．57．在空间直角坐标系中，已知(1,0,3)A -，(4,2,1)B -，则AB =（ ）A B C D8．已知向量(3,1,2),(,,4)a b x y =-=-,且//a b ，则x y +=（ ） A ．4B ．8C ．4-D ．8-9．如图，已知四棱锥E ABCD -，底面ABCD 是边长为3的正方形，AE ⊥面ABCD ，2EQ QD =，2EP PB =，12ER RC =，若RP RQ ==E ABCD -外接球表面积为（ ）A ．44πB ．54πC ．176πD ．216π10．若向量(1,,1)a λ=，(2,1,2),b =--且a 与b λ等于（ ）A ．BC ．D ．211．已知向量OA 和OB 在基底{}a b c ，，下的坐标分别为(3，4，5)和(0，2，1)，若OC ＝25AB ，则向量OC 在基底{}a b c ，，下的坐标是（ ）A ．648(,,)555---B ．648(,,)555--C ．648(,,)555--D ．648(,,)55512．若(),1,3a x =-，()2,,6b y =，且//a b ，则（ ） A ．1x =，2y = B ．1x =，2y =- C ．12x =，2y =- D ．1x =-，2y =-二、填空题13．设空间向量)(1,2,m α=-，)(2,,4b n =-，若//a b ，则a b -=________． 14．已知(212)A -，，，(451)B -，，，(223)C -，，，若点P 满足1()2AP AB AC =-，则点P 的坐标为________．15．在空间直角坐标系中，已知向量b 与向量(212)a =-，，共线且满足方程18a b ⋅=-，则向量b 的坐标为________．16．在空间直角坐标系中，(123)A -，，、(21)B m ，，，若110AB =m 的值为________．三、解答题17．设空间两个不同的单位向量11(0)a x y =，，，22(0)b x y =，，与向量(111)c =，，的夹角都等于4π． （1）求11x y +和11x y ⋅的值； （2）求a b ，的大小．18．已知(354)a =-，，，(218)b =，，． （1）求a b ⋅；（2）求a 与b 夹角的余弦值；（3）求确定λ、μ的值使得a b λμ+与z 轴垂直，且()()53a b a b λμ+⋅+=．19．P 是平面ABCD 外的点，四边形ABCD 是平行四边形，()2,1,4AB =--,()4,2,0AD =,()1,2,1AP =--．（1）求证：PA ⊥平面ABCD ；（2）对于向量()111,.a x y z =，()222,,b x y z =，()333,,c x y z =，定义一种运算：()123231312132213321a b c x y zx y z x y z x y z x y z x y z ⨯⋅=++---，试计算()AB AD AP ⨯⋅的绝对值；说明其与几何体P ABCD -的体积关系，并由此猜想向量这种运算()AB AD AP ⨯⋅的绝对值的几何意义．20．正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 是棱D 1D 的中点，P 、Q 分别为线段B 1D 1，BD 上的点，且31B P ＝1PD ，若PQ ⊥AE ，BD ＝λDQ ，求λ的值．21．已知空间三点()()()2,0,2,1,1,2,3,0,4A B C ---，设,a AB b AC ==. （1）求a 和b 的夹角θ的余弦值；（2）若向量ka b +与2ka b -互相垂直，求k 的值.22．在长方体OABC D A B C ''''-中．3OA =，4OC =，3OD '=，A C ''与B D ''相交于点P ，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz ．（1）写出点C ，B '，P 的坐标； （2）写出向量BB '，A C ''的坐标．参考答案1．B 【分析】直接由空间向量的夹角公式计算即可 【详解】()2,0,8A -，(),,P m m m ，()4,4,6B -，()2,,8PA m m m ∴=----，()4,4,6m m B m P =----由题意有2cos603PA PB PA P B⋅︒==即2231268312402m m m m -+=-+，整理得2440m m -+=， 解得2m = 故选：B 2．B 【分析】根据向量的坐标表示求出向量AP AB AC 、、的坐标，再结合空间向量的共面定理即可得出结果. 【详解】 由题意，得(112)(211)(332)(72)A B C P x ---，，，，，，，，，，，，则(184)(101)(240)AP x AB AC =--=-=，，，，，，，，， 因为P 在平面ABC 内，并设未知数a ，b ， 则AP aAB bAC =+，(184)(101)(240)x a b --=-+，，，，，，，即1280440x a b b a -=+⎧⎪=+⎨⎪-=-+⎩，解得9x =.故选：B 3．C 【分析】由空间向量的加法运算求解. 【详解】因为(121)a =-，，，(121)a b -=--，，，所以(121)(121)(121)(242)b a =---=----=-，，，，，，，，， 故选：C ． 4．B 【分析】过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ，然后在Rt BDC 中求解. 【详解】过点D 作DE BC ⊥，垂足为E ，在Rt BDC 中，90BDC ∠=，30DCB ∠=，2BC =， 得||1BD =、3CD =， 所以3sin 302DE CD =⋅=所以11cos 60122OE OB BE OB BD =-=-⋅=-=，所以点D 的坐标为1(02-，，故选：B ． 5．C 【分析】根据点A 的横坐标为0判断. 【详解】∵点A 的横坐标为0，∴点(023)A -，，在yOz 平面内， 故选：C ． 6．C 【分析】由题设l a //知：直线l 的方向向量与平面a 的法向量垂直，即1(1,(2,2)02,1,)m =⋅，即可求m . 【详解】由题设知：11(1,,(2)2202,1,)22m m =++=⋅，∴54m =-.故选：C 7．B 【分析】求出AB ，进而可得AB . 【详解】依题意得()3,2,4AB =-，所以23AB =故选：B. 8．C 【分析】利用空间向量平行的条件:坐标对应成比例，列式求得,x y 的值，进而得解. 【详解】∵向量(3,1,2),(,,4)a b x y =-=-,且//a b ， ∴4312x y ==--,解得6,2x y =-=. ∴4x y +=-, 故选：C . 9．B 【分析】以A 为坐标原点，以AD ，AB ，AE 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设AE h =，根据2PR QR ==+=h ，从而得到四棱锥E ABCD -外接球的直径得到答案． 【详解】以A 为坐标原点，以AD ，AB ，AE 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设AE h =，则()0,0,0A ，()0,3,0B ，()3,3,0C ，()3,0,0D ，()0,0,E h ，则0,2,3h P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，2,0,3h Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21,1,3h R ⎛⎫ ⎪⎝⎭，于是2PR QR ==+，∴6h =，四棱锥E ABCD -外接球直径为EC =表面积为22454r EC πππ==．故选：B.【点睛】本题考查了求内接四棱锥的问题，关键点是建立空间直角坐标系，考查了学生的空间想象能力和计算能力. 10．A 【分析】由向量的数量积求得夹角的余弦值，可得参数值． 【详解】解：∵向量(1,,1),(2,1,2),a b λ==--，∴2cos ,||||2a b a b a b λλ⋅-<>===⋅+解得λ= 故选：A ． 11．A 【分析】根据向量的加减法运算可求得AB ，再由OC ＝25AB 可求得OC ，由此可得选项. 【详解】解：因为AB ＝OB －OA 2+3+4+532()()4b c a b c a b c =-=---， 所以26485555OC AB a b c ==---，所以向量OC 在基底{}a b c ，，下的坐标是648(,,)555---， 故选：A ． 12．B 【分析】根据空间向量的共线条件，列出方程组，即可求解. 【详解】由题意，向量(),1,3a x =-，()2,,6b y =，因为//a b ，可得62301630x y ⨯-⨯=⎧⎨-⨯-⨯=⎩，即1020x y -=⎧⎨+=⎩，解得x 1,y 2==-.故选：B. 13．9 【分析】先利用空间向量共线定理，得到b a λ=，由此求出m 和n 的值，得到,a b 的坐标，求出a b -的坐标，再利用向量模的计算公式求解即可． 【详解】解：因为空间向量(1,2,a =-)m ，(2,,b n =4)-，且//a b ， 所以b a λ=，即(2,,n 4)(1,2,λ-=-)m ，可得224n m λλλ=-⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得2m =，4n =-，所以(1,2,a =-2)，(2,4,b =-4)-， 则(3,6a b -=-,6)，所以2||(3)9a b -=-． 故答案为：9． 14．1(50)2，， 【分析】设()P x y z ，，，则(212)AP x y z =-+-，，，再由坐标相等列方程可得解. 【详解】设()P x y z ，，，则(212)AP x y z =-+-，，，(263)AB =-，，，(431)AC =-，，， ∵1()2AP AB AC =-， ∴113(212)[(263)(431)](634)(32)222x y z -+-=---=-=-，，，，，，，，，，， ∴P 点坐标为1(50)2，，． 故答案为：1(50)2，，. 15．(424)--，， 【分析】设b a λ=，R λ∈，由数量积运算可得2λ=-，进而可得坐标. 【详解】∵b 与a 共线，故可设b a λ=，R λ∈，由18a b ⋅=-得：22||(4918a a a λλλλ⋅==+==-， 故2λ=-，∴2(424)b a =-=--，，． 故答案为：(424)--，，. 16．7-或13【分析】根据空间两点距离公式列式求解即可.【详解】(AB =-∴2(3)100m -=，∴310m -=±，∴7m =-或13．故答案为：7-或13.17．（1）11x y +=1114x y ⋅=；（2）3π． 【分析】（1）根据模长和夹角的坐标表示列方程可得解；（2）由1212cos a b a b x x y y a b ⋅==⋅+⋅⋅，，结合（1）可求坐标，进而得解. 【详解】（1）∵||||1a b ==，∴22111x y +=、22221x y+=，又∵a 与c 的夹角为4π， ∴cos4a ca c π⋅=⋅⋅=， ∴11a c x y ⋅=+= 另外222111111()21x y x y x y +=+-⋅=， ∴2111212x y ⋅=-=，1114x y ⋅=； （2）1212cos a ba b x x y y a b ⋅==⋅+⋅⋅，，由（1）知11xy +=1114x y ⋅=， ∴1x 、1y是方程2104x x+=的解，∴11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或11x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 同理22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∵a b ≠，∴1221x yx y ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩1221x y x y ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩∴6111cos 4442a b +==+=，， ∵[0]a bπ∈，，，∴3a b π<>=，． 18．（1）21-；（2）（3）1λ=，12μ=． 【分析】 （1）利用向量的数量积运算求解；（2）利用向量的夹角公式求解；（3）取z 轴上的单位向量(001)n =，，，由a b λμ+与z 轴垂直，且()()53a b a b λμ+⋅+=，利用数量积运算求解.【详解】（1）因为(354)a =-，，，(218)b =，，， 所以(354)(218)32514821a b =-⋅=⨯+⨯-⨯=-⋅，，，，. （2）∵52a =，69b =， ∴21cos ,52a ba b a b ⋅-===⋅⋅ ∴a 与b 夹角的余弦值为 （3）取z 轴上的单位向量(001)n =，，，(564)a b +=，，， 依题意()()()053a b n a b a b λμλμ⎧+⋅=⎪⎨+⋅+=⎪⎩， 即(32548)(001)0(32548)(564)53λμλμλμλμλμλμ++-+⋅=⎧⎨++-+⋅=⎩，，，，，，，，， 故480294853λμλμ-+=⎧⎨+=⎩， 解得1λ=，12μ=． 19．（1）证明见解析；（2）答案见解析.【分析】（1）证明AP 与平面ABCD 内的两个不共线的向量垂直，即证明AP 与此平面内的两个不共线的向量的数量积等于0．（2）根据体题中定义的运算法则，化简()AB AD AP ⨯⋅的结果，发现此值正好等于以AB ，AD ，AP 为棱的平行六面体的体积． 【详解】（1）2240AP AB ⋅=--+=，AP AB ∴⊥，即AP AB ⊥,4400AP AD ⋅=-++=，AP AD ∴⊥，即AP AD ⊥,又AB AD A ⋂=PA ∴⊥平面ABCD ．（2）()432004848AB AD AP ⨯⋅=--++--=，又cos ,4AB AD == 4sin ,35AB AD =， 1sin 163V AB AD AB AD AP =⋅⋅⋅=， 猜测：()AB AD AP ⨯⋅在几何上可表示以AB ，AD ，AP 为棱的平行六面体的体积（或以AB ，AD ，AP 为棱的四棱柱的体积）． 20．λ＝－4.【分析】建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，求出11,,,,A E B B D 的坐标，设点P 的坐标为(a ，a ，1)和Q 的坐标为(b ，b ，0)，结合已知向量共线和向量垂直即可求出未知数的值，从而求出Q 的坐标，进而可求出λ.【详解】以D 为原点，DA ，DC ，1DD 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A (1，0，0)，E 1(0,0,)2，B (1，1，0)， B 1(1，1，1)，D 1(0，0，1)，由题意，可设点P 的坐标为(a ，a ，1)，因为31B P ＝1PD ，所以3(a －1，a －1，0)＝(－a ，－a ，0)，所以3a －3＝－a ，解得34a =， 所以点P 的坐标为33(,,1)44.由题意可设点Q 的坐标为(b ，b ，0)，因为PQ ⊥AE ， 所以PQ AE ⋅＝0，所以33(,,1)44b b ---·1(1,0,)2-＝0，即31()042b ---=，解得14b = ，所以点Q 的坐标为11(,,0)44，因为BD DQ λ=，所以(1,1,0)--＝λ11(,,0)44， 所以14λ=-，故λ＝－4.【点睛】关键点睛:本题的关键是通过建立空间直角坐标系，由向量共线和垂直求出Q 的坐标.21．（1）；（2）52k =-或2k =. 【分析】（1）求出a 和b 的坐标后利用公式可求夹角的余弦值.（2）求出ka b +与2ka b -的坐标，利用向量垂直的坐标形式可得关于k 的方程，从而可得k 的值.【详解】 (1,1,2)(2,0,2)(1,1,0)a AB ==---=，(3,0,4)(2,0,2)(1,0,2)b AC ==---=-．（1）10cos ||||2a b a b θ⋅-+===⨯所以a 与b 的夹角θ的余弦值为 （2）,,01,)0,21,,()()(2ka b k k k k +=+-=-， 2,,02,)0,42,,()()(4ka b k k k k -=--=+-，所以()()21,,22,,(4)()1280k k k k k k k -⋅+-=-++-=，即22100k k +-=，所以52k =-或2k =. 22．（1）()()30,4,0,3,4,3,,2,32C B P ⎛⎫' ⎪⎝⎭；（2）()0,0,3BB '=，()3,4,0A C ''=-. 【分析】（1）根据条件可直接写出答案； （2）根据坐标算出答案即可.【详解】（1）因为3OA =，4OC =，3OD '=，所以()()30,4,0,3,4,3,,2,32C B P ⎛⎫' ⎪⎝⎭（2）因为()0,0,3D '=，()3,0,0A ()0,0,3BB OD ''==，()3,4,0A C AC ''==-。
高考空间向量知识点总结
高考空间向量知识点总结空间向量是高中数学中的重要概念之一，也是高考中常考的知识点。
掌握好空间向量的相关知识对于解题和理解几何概念都非常重要。
本文将为您总结高考空间向量的相关知识点，帮助您更好地备考高考。
一、空间向量的定义和表示方法空间向量是有大小和方向的量，通常用有序三元组表示。
设有两点A(x₁,y₁,z₁)和B(x₂,y₂,z₂)，则向量AB可以表示为：AB = (x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁)二、空间向量的模、方向余弦和共线性1. 向量的模：向量AB的模表示为|AB|，计算方式为：|AB| = √[(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²]2. 向量的方向余弦：设向量AB与坐标轴的夹角分别为α、β、γ，则方向余弦分别为：cosα = (x₂-x₁) / |AB|cosβ = (y₂-y₁) / |AB|cosγ = (z₂-z₁) / |AB|3. 向量的共线性：若两个向量平行或反向平行，则称其共线。
当两个向量的坐标比例相等时，它们共线。
三、空间向量的运算1. 向量的加法：设有两个向量AB和CD，其和可以表示为：AB + CD = (x₂-x₁+x₄-x₃, y₂-y₁+y₄-y₃, z₂-z₁+z₄-z₃)2. 向量的数量乘法：设有一个向量AB和实数k，其数量乘积为：kAB = (kx, ky, kz)，其中x, y, z分别为向量AB的坐标3. 向量的点乘和叉乘：(1) 点乘：设有两个向量AB和CD，其点乘结果为：AB · CD = |AB||CD|cosθ，其中θ为两个向量夹角的余弦值(2) 叉乘：设有两个向量AB和CD，其叉乘结果为：AB × CD = (i, j, k)，其中i表示x轴分量，j表示y轴分量，k表示z 轴分量四、空间向量的应用1. 向量在平面内的投影：设有一个向量AB和平面α，向量AB在平面α上的投影为向量AC，计算公式为：AC = |AB|cosθ，其中θ为向量AB与平面α的夹角的余弦值2. 平面的方程：设平面α过点A(x₁,y₁,z₁)且法向量为n(a,b,c)，则平面α的方程为：ax + by + cz = d，其中d = ax₁ + by₁ + cz₁3. 空间向量的夹角：设有两个向量AB和CD，它们的夹角θ可以通过以下公式计算：cosθ = (AB · CD) / (|AB||CD|)五、空间向量的坐标表示和平行四边形法则1. 坐标表示：空间中的向量可以通过坐标表示，即将向量的尾点移到坐标原点，将向量的起点坐标作为表示该向量的坐标。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高考专题之空间向量 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN空间向量专题1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。
2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+;BA OA OB a b =-=-;()OP a R λλ=∈运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a 平行于b ，记作b a//。
当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b存在实数λ，使a＝λb 。
4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+。
5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++。
若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB zOC =++。
6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，对空间任一点A ，存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使++=，有序实数组(,,)x y z 叫作向量A 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作(,,)A x y z ，x 叫横坐标，y 叫纵坐标，z 叫竖坐标。
（2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为1，这个基底叫单位正交基底，用{,,}i j k 表示。
（3）空间向量的直角坐标运算律：①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++，112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ⋅=++，112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ⇔===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥⇔++=。
②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---。
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
（4）模长公式：若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则21||a a a a =⋅=+21||b b b b =⋅=+（5）夹角公式：21cos ||||a ba b a b a ⋅⋅==⋅+（6）两点间的距离公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则2||(AB AB ==，或,A B d =（7）法向量：若向量a 所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥a ，如果α⊥a 那么向量a 叫做平面α的法向量.向量的常用方法：①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条射线，其中α∈A ，则点B 到平面α②.异面直线间的距离 d =(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离).③.直线AB 与平面所成角sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).④.利用法向量求二面角的平面角定理：设21,n n 分别是二面角βα--l 中平面βα,的法向量，则21,n n 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（21,n n 方向相同，则为补角，21,n n 反方，则为其夹角）.二面角l αβ--的平面角cos ||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.7. 空间向量的数量积。
（1）空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；且规定0,a b π≤<>≤，显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>=，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥。
（2）向量的模：设OA a =，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a 。
（3）向量的数量积：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>叫做,a b 的数量积，记作a b ⋅，即a b ⋅=||||cos ,a b a b ⋅⋅<>。
（4）空间向量数量积的性质：①||cos ,a e a a e ⋅=<>。
②0a b a b ⊥⇔⋅=。
③2||a a a =⋅。
（5）空间向量数量积运算律：①()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅。
②a b b a ⋅=⋅（交换律）。
③()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）。
专题练习1. 已知平行六面体ABCD －D C B A ''''，化简下列向量表达式，标出化简结果的向量。
⑴AB BC +； ⑵AB AD AA '++；⑶12ABAD CC '++； ⑷1()3AB AD AA '++。
GM2. 如图正方体1111ABCD A B C D -中，11111114B E D F A B ==，求1BE 与1DF 所成角的余弦。
3. 已知空间三点A （0，2，3），B （－2，1，6），C （1，－1，5）。
⑴求以向量,AB AC 为一组邻边的平行四边形的面积S ；⑵若向量a 分别与向量,AB AC 垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标。
4.如图，正四棱柱1111ABCD A B C D -中，124AA AB ==，点E 在1CC 上且EC E C 31=．（Ⅰ）证明：1A C ⊥平面BED ； （Ⅱ）求二面角1A DE B --的大小．5.如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 四边长 为1的菱形，4ABC π∠=, OA ABCD ⊥底面, 2OA =,M 为OA 的中点，N 为BC 的中点（Ⅰ）证明：直线MN OCD 平面‖； （Ⅱ）求异面直线AB 与MD 所成角的大小.6.如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AD =AA 1=1，AB =2，点E 在棱AB 上移动. （1）证明：D 1E ⊥A 1D ；（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离；（3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4.7.如图所示，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是边长为1的菱形，∠BCD ＝60°，E 是CDD 11B 1A 1EDCB的中点，PA ⊥底面ABCD ，PA ＝2. （Ⅰ）证明：平面PBE ⊥平面PAB ;（Ⅱ）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小.8．在空间直角坐标系中，已知点A （1，0，2），B(1，-3，1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是________。
9．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是（ ）A ．OM ++=B ．OM --=2C ．OC OB OA OM 3121++=D ．OC OB OA OM 313131++=10.若向量λμλμλ且向量和垂直向量R ∈+=,(,、则)0≠μ （ ）A ．n m //B ． n m ⊥C ．也不垂直于不平行于,D ．以上三种情况都可能11.设向量},,{是空间一个基底，则一定可以与向量-=+=,构成空间的另一个基底的向量是（ ）A ．aB ．bC ．cD ．b a 或12.在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）A ．52-B ．52C ．53D ．1010。