江苏理数立体几何空间向量的应用空间角的求法

由nn·―A―A11→→CB1＝＝2－y－x＋z＝2y0＝，0，
令 y＝1，得 n＝(2,1,2)，
设 D1C1 与平面 A1BC1 所成角为 θ，则
sin
θ＝|cos〈D―1→C1，n〉|＝
―→ |D1C1·n| ―→
＝2×2 3＝13，
|D1C1||n|
即直线 D1C1 与平面 A1BC1 所成角的正弦值为13．
|a·n| l 与 α 所成的角，则 sin φ＝_|c_o_s_〈__a_，__n__〉__| ＝_|a_|_|n_|_.
3．二面角 (1)若 AB，CD 分别是二面角 α-l-β 的两个平面内与棱 l 垂
uuur 直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量 AB
uuur 与CD的夹角，如图(1)．
相等，E 是 SB 的中点，则 AE，SD 所成角的
余弦值为________．
解析：以两对角线 AC 与 BD 的交点 O 作为原点，以 OA，OB，
OS 所在直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，设边
长为 2，则有 O(0，0,0)，A( 2，0,0)，B(0， 2，0)，S(0，0， 2)，
[小题纠偏] 1．如图所示，已知正方体 ABCD -A1B1C1D1，E，
F 分 别是正方形 A1B1C1D1 和 ADD1A1 的中心， 则 EF 和 CD 所成的角是________．
解析：以 D 为原点，分别以射线 DA，DC， DD1 为 x 轴、y 轴、z 轴的非负半轴建立空间 直角坐标系 D -xyz，设正方体的棱长为 1， 则 D(0,0，0)，C (0,1,0)，E12，12，1，
第六节
空间向量的应用(空间角的求法)
1．异面直线所成角 |a·b|
设异面直线 a，b 所成的角为 θ，则 cos θ＝_|a_||_b_| ， 其中 a，
b 分别是直线 a，b 的方向向量．
2．直线与平面所成角 如图所示，设 l 为平面 α 的斜线，l∩α＝A，a 为 l 的方向向量，n 为平面 α 的法向量，φ 为
＝PA，则平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角为________． 解析：如图所示，建立空间直角坐标系，设 AB ＝PA＝1，知 A(0,0,0)，B(1，0,0)，D(0,1,0)， C(1,1,0)，P(0，0,1)，由题意，AD⊥平面 ABP， 设 E 为 PD 的中点，连接 AE，则 AE⊥PD，又 因为 CD⊥平面 PAD，所以 AE⊥CD，又 PD∩CD＝D，所以 AE⊥平面 CDP． 所以―A→D ＝(0,1,0)，―A→E ＝0，12，12分别是平面 ABP，平面 CDP 的法向量，且〈―A→D ，―A→E 〉＝45°， 所以平面 ABP 与平面 CDP 所成的二面角为 45°．答案：45°
平面α与β相交于直线l，平面α的法向量为n1，平面β的法向量 为n2，〈n1，n2〉＝θ，则二面角α -l -β为θ或π－θ.设二面角大 小为φ，则|cos φ|＝|cos θ|＝||nn11|·|nn22||，如图(2)(3)．
[小题体验]
1．已知正四棱锥 S -ABCD 的侧棱长与底面边长都
考点一 异面直线所成角 [典例引领]
(2015·全国卷Ⅰ)如图，四边形 ABCD 为菱形， ∠ABC＝120°，E，F 是平面 ABCD 同一侧的 两点，BE⊥平面 ABCD，DF⊥平面 ABCD， BE＝2DF，AE⊥EC． (1)证明：平面 AEC⊥平面 AFC； (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值．
解：(1)证明：连接 BD，设 BD∩AC 于点 G，连接 EG，FG，EF．在 菱形 ABCD 中，不妨设 GB＝1． 由∠ABC＝120°，可得 AG＝GC＝ 3． 由 BE⊥平面 ABCD，AB＝BC，可知 AE ＝EC． 又 AE⊥EC，所以 EG＝ 3，且 EG⊥AC． 在 Rt△EBG 中，可得 BE＝ 2，故 DF＝ 22． 在 Rt△FDG 中，可得 FG＝ 26．
F12，0，12，―E→F ＝0，－12，－12，
―D→C ＝(0,1,0)，
所以
cos〈―E→F ，―D→C 〉＝
―→ ―→ EF ·DC ―→ ―→
＝－
22，
| EF || DC |
所以〈―E→F ，―D→C 〉＝135°，
所以异面直线 EF 和 CD 所成的角是 45°．
答案：45°
2．过正方形 ABCD 的顶点 A 作线段 PA⊥平面 ABCD，若 AB
在直角梯形 BDFE 中， 由 BD＝2，BE＝ 2，DF＝ 22， 可得 EF＝322． 从而 EG2＋FG2＝EF2， 所以 EG⊥FG． 又 AC∩FG＝G，所以 EG⊥平面 AFC． 因为 EG⊂平面 AEC， 所以平面 AEC⊥平面 AFC．
D(0，－ 2，0)，E0， 22， 22，―A→E ＝－ 2， 22， 22，―SD→＝
(0，－
2，－
2)，|cos〈―A→E ，―SD→〉|＝|―|―AA→E→E|··― |―SSD→D→||＝2×2
＝ 3
33，
故 AE，SD 所成角的余弦值为 33．
答案：
3 3
2．(教材习题改编)在长方体 ABCD -A1B1C1D1 中，AB＝2，BC ＝ AA1 ＝ 1 ， 则 D1C1 与 平 面 A1BC1 所 成 角 的 正 弦 值 为 ________． 解析：如图，建立空间直角坐标系 D-xyz， 则 D1(0,0,1)，C1(0,2,1)，A1(1,0,1)，B(1,2,0)， 所以D―1→C1＝(0,2,0)，A―1→C1＝(－1,2,0)，―A1→B ＝ (0,2，－1)， 设平面 A1BC1 的一个法向量为 n＝(x，y，z)，
答案：13
1．求异面直线所成角时易忽视角的范围0，π2而导致结论错误． 2．求直线与平面所成角时，注意求出夹角的余弦值的绝对值应
为线面角的正弦值． 3．利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面 α，β
的法向量 n1，n2 时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的 方向，从而确定二面角与向量 n1，n2 的夹角是相等(一个平面 的法向量指向二面角的内部，另一个平面的法向量指向二面 角的外部)，还是互补(两个法向量同时指向二面角的内部或 外部)，这是利用向量求二面角的难点、易错点．