空间向量法求空间角图示原理
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利用向量法求空间角PPT精选文档
则 mAF 0,mAE 0
所以
1
y2 2 z2 1 2 x2 y2
0 0
取y2=1,得x2=z2=-2
C x
故m=(-2, 1,-2)
又平面AED的法向量为AA1=(0,0,1)
观察图形知，二面角
cosm, AA1
mAA1 m AA1
2 31
2 3
F-AE-D为锐角，所以
所求二面角F-AE-D的
得两异面直线所成角的余弦值
6
例2:正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E、F分别为CD、 DD1的中点，
(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;
(2)求二面角F-AE-D的余弦值。
A1
D1
B1
C1
F
A D
E B
C
7
例2:(1)求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值;
解： (1)以点A为坐标原点建立空间 直角坐标系,如图所示，则： A(0,0,0)
b´
m
o•
a
a´
b´
b
பைடு நூலகம்
n
cos cos m, n
b
n
cos cos m,n
13
用向量法求异面直线所成角
设两异面直线a、b的方向向量分别为 m 和 n ，
所以，异面直线a、b所成的角的余弦 值为
cos cos m, n m n m n
x1x2y1y2z1z2
x12y12z12 x22y22z22
O
AF1 (12,0,1), BD1 (12,12,1) A
cosAF1,BD1 AF1BD1 AF1 BD1
1 0 4 5
用空间向量求空间角课件(共22张PPT)
向量的加法与数乘
向量的加法满足平行四边形法则或三 角形法则，即$vec{a} + vec{b} = vec{b} + vec{a}$。
数乘是指实数与向量的乘积，满足分 配律，即$k(vec{a} + vec{b}) = kvec{a} + kvec{b}$。
向量的数量积
向量的数量积定义为$vec{a} cdot vec{b} = left| vec{a} right| times left| vec{b} right| times cos theta$，其中$theta$为两 向量的夹角。
数量积满足交换律和分配律，即$vec{a} cdot vec{b} = vec{b} cdot vec{a}$和$(lambdavec{a}) cdot vec{b} = lambda(vec{a} cdot vec{b})$。
03 向量的向量积与混合积
向量的向量积
定义
两个向量a和b的向量积是一个向量，记作a×b，其模长为 |a×b|=|a||b|sinθ，其中θ为a与b之间的夹角。
适用范围
适用于直线与平面不垂直的情况。
利用向量的混合积求二面角
1 2 3
定义
二面角是指两个平面之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a×b×c∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣∣c∣∣，其中a、 b和c分别是三个平面的法向量，θ是两个平面之 间的夹角。
适用范围
适用于两个平面不平行的情况。
06 案例分析
案例一：利用空间向量求线线角
定义
线线角是指两条直线之间的夹角。
计算公式
cosθ=∣∣a⋅b∣∣∣∣a∣∣∣∣b∣∣∣， 其中a和b是两条直线的方向向量，
利用空间向量求角-课件
因E→F⊥P→C，D→G⊥P→C，
故 E－PC－D 的平面角 θ 的大小为向量E→F与D→G的夹角．
＝
|DG||EF|
22，θ＝4π，
即二面角 E－PC－D 的大小为π4.
跟踪训练
3.如图在直三棱柱ABC－A1B1C1中， AB＝BC，D、E分别为BB1、AC1的中
2．求异面直线所成的角主要是转化为两个向量的夹 角，这时要特别注意二向量的方向及最后求出的角一定要 是锐角或直角．
3．线面角是求线与平面的法向量所成角的余角．
•
9、有时候读书是一种巧妙地避开思考 的方法 。2021/2/272021/2/27Saturday, February 27, 2021
•
•
16、业余生活要有意义，不要越轨。2021/2/272021/2/27Februar y 27, 2021
•
17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。2021/2/272021/2/272021/2/272021/2/27
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
|A→M|＝ A→A1＋A→1M2 ＝ |A→A1|2＋|A→1M|2＝
1＋14＝
25，同理，|C→N|＝
5 2.
设直线 AM 与 CN 所成的角为 α. 则 cos α＝|AA→→MM|·|CC→→NN|＝5412＝25.
∴直线 AM 与 CN 所成的余弦值为25.
法二：如图，分别以D→A、D→C、D→D1 方向为 x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空 间直角坐标系．
A→B＝∵(0M，→Ca1,0·A→)，B＝A→A0，1＝M(→0C,01·，A→A1＝2a0)．，
∵M→C1·A→B＝0，M→C1·A→A1＝0， ∴MC1⊥平面 AA1B1B， ∴∠C1AM 是 AC1 与侧面 AA1B1B 所成的角．
空间向量法求空间角图示原理
则二面角 l 的大小 ＝〈m, n 〉
m, n
m
n
L
若二面角 l 的大小为 (0 ,) 则 cos
注意法向量的方向：同进 同出，二面角等于法向量 夹角的补角；一进一出， 二面角等于法向量夹角
uv u v
.
2. 线面角
设直线l的方向向量为 a，平面 的法向量为 l 与平面 所成的角为 ( 0 ≤ ≤ ),则 直线
2
u ，且
a u
sin
au a u
aBiblioteka l u
3、二面角
法向量法
将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。 如图，向量 n ，m ，
空间“角度”问题
学习目标：
• （1）、理解向量法求空间角的原理 • （2）、熟练掌握向量法求空间角
原理分析
1.异面直线所成角
设直线 l , m 的方向向量分别为a , b
若两直线 l , m 所成的角为 (0 ≤ ≤
2
), 则
cos
ab a b
l
l
a
m
a b
m
利用空间向量求空间角PPT教学课件
澶渊之盟
宋真宗赵恒 1004年，辽军大举南征时，亲自领兵到澶 渊抵御，并与辽签订了“澶渊之盟”。
下一页
寇准
寇准
北宋宰相。1004年，辽军大举南征时， 主战。
返回
西夏武士
西夏的建立
1038年，党项族首领元昊建立西夏 国。图为李元昊之墓
下一页
党项人
女男供供养养人人
下一页
西夏铜牛
下一页
西夏飞天壁画
nn
α
与平面垂直的直线叫做平面
的法线．因此平面的法向量
就是平面法线的方向向量
异面直线所成角
a, b分别是两直线l1 , l2的方向向量,
l1, l2的所成的角为 ,则
cos | a b |
|a||b|
l2
b a
l1
巩固性训练1
1.如图,已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱
长为2,底面连长为1.求异面直线AB1与
BC1夹角的余弦值.
解：取的中点O建立如图 所示的空间直角坐标系O-XYZ。
1
A(
2
,0,2)
3
B(0, 2
,2)
B1 (0,
3 2
,0)
C1
1(-
,0 ,0)
2
A
BC ∴
1 AB1 ( 2 ,
3 ,2) 2
1
=（-
1 2
，-
3 ，-2） 2
X
∴cos = AB1 • BC1 = 7
AB1 • BC1 10
m 设 =(x,y,z) 是平面PBC的一个法向量
∴ PB ⊥ m
PC ⊥ m
∴ PB • m =x-z=0
y
PC • m =x+y-z=0
利用向量法求空间角 ppt课件
（1）当 m 与 n 的夹 角不大于90°时，异 面直线a、b 所成的
角 与m 和 n
的夹角 相等
（2）当 m 与 n 的 夹角大于90°时，异 面直线a、b 所成的
角 与 m 和n
的夹角 互补
ma
m
a
a´
o•
b´
a´
o•
b´
b
n
b
n
PPT课件
13
cos cos m, n
sin = cos AB, n
PPT课件
15
二面角 （范围： 0, ）
n2
n1
n2
n1
n1, n2
n1, n2
cos cos n1, n2
cos cos n1, n2
PPT课件
16
例3 如图，甲站在水库底面上的点A处，乙站在水坝斜面上的点
3
D y
8
点评：向量法求直线与平面所成角的正弦值的一般步骤
建系
求直线的方向向量 求平面的法向量
求直线的方向向量与平面的法向量 的夹角的余弦值
得直线与平面所成角的正弦值
PPT课件
9
例2 (2)点E、F分别为CD、DD1的中点，求二面角F-AE-D的
余弦值。
z
(2)由题意知 F(0,1, 1 ), E( 1 ,1,0) A1
2
AB
( AC
CD
DB)2
A
2
2
2
AC CD BD 2(ACCD AC DB CD DB)
a2 c2 b2 2 AC DB
学年高中复习理数通用版第六节利用空间向量求空间角PPT课件
第六节 利用空间向量求空间角
01
突破点(一) 利用空间向量求空间角
02 突破点(二) 与空间角有关的综合问题
03
全国卷5年真题集中演练——明规律
04
课时达标检测
01 突破点(一) 利用空间向量求空间角
自学区 抓牢双基· 完成情况
[基本知识]
[基本能力]
× × × √
讲练区 研透高考· 完成情况
When You Do Your Best, Failure Is Great, So Don'T Give Up, Stick To The End
感谢聆听
不足之处请大家批评指导
Please Criticize And Guide The Shortcomings
演讲人：XXXXXX 时 间：XX年XX月XX日
[全析考法]
分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量 法向量法
的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小 分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这 方向向量法 两个向量的夹角的大小就是二面角的大小
[全练题点]
02 突破点(二) 与空间角有关的综合问题
[全析考法]
[方法技巧]
[全练题点]
03 全国卷5年真题集中演练——规律
04 课时达标检测 单击进入电子文档
结束语
当你尽了自己的最大努力时，失败也是伟大的， 所以不要放弃，坚持就是正确的。
高考数学一轮复习第八章立体几何第六节利用空间向量求空间角课件理
(2)建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成 的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系，在此基础上选 择一个合理的位置建立空间直角坐标系．
[易错防范] 1．利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间 角．因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同． 2．求二面角要根据图形确定所求角是锐角还是钝角．
答案：13
4．在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，点 E 为 BB1 的中点，则平 面 A1ED 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为________．
解析：以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长 为 1，
则 A1(0,0,1)，E1，0，12，D(0，1,0)，
以 B 为原点，分别以
的方向为 x 轴、y 轴、z 轴的
正方向建立空间直角坐标系，则 A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，
F(2,2,1)．
因为 AB⊥平面 BEC，所以 ＝(0,0,2)为平面 BEC 的法向量． 设 n＝(x，y，z)为平面 AEF 的法向量．
所以平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值为23.
A(0，－ 3，0)，E(1,0， 2)，F－1，0， 22，C(0， 3，0)，
所以直线
AE
与直线
CF
所成角的余弦值为
3 3.
[解题模板] 利用向量法求异面直线所成角的步骤
直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，∠BCA＝90°，M，N 分别是 A1B1，
A1C1 的中点，BC＝CA＝CC1，则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( )
接 EG，FG，EF.在菱形 ABCD 中，不妨设 GB＝1.
由∠ABC＝120°，可得 AG＝GC＝ 3.
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空间“角度”问题
学习目标：
• （1）、理解向量法求空间角的原理 • （2）、熟练掌握向量法求空间角
原理分析
1.异面直线所成角
rr 设直线l, m 的方向向量分别为a, b
若两直线
l
,
m
所成的角为
(0
≤
≤
2
)
,
则
rr ab
cos r r
ab
l
a
m
l
a
b m
2. 线面角
r
r
设直线l的方向向量为 a，平面 的法向量为 u ，且
直线l 与平面 所成的角为 ( 0≤ ≤ ),则
2
rr
au
u
a
sin r r au
lau来自3、二面角法向量法 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。
如图，向量
n
，m
，
则二面角
l
的大小
＝〈m, n 〉
m, n
m
n
注意法向量的方向：同进 同出，二面角等于法向量 夹角的补角；一进一出， 二面角等于法向量夹角
L
rr
uv
若二面角 l 的大小为 (0 ,) 则 cos r r .
uv
学习目标：
• （1）、理解向量法求空间角的原理 • （2）、熟练掌握向量法求空间角
原理分析
1.异面直线所成角
rr 设直线l, m 的方向向量分别为a, b
若两直线
l
,
m
所成的角为
(0
≤
≤
2
)
,
则
rr ab
cos r r
ab
l
a
m
l
a
b m
2. 线面角
r
r
设直线l的方向向量为 a，平面 的法向量为 u ，且
直线l 与平面 所成的角为 ( 0≤ ≤ ),则
2
rr
au
u
a
sin r r au
lau来自3、二面角法向量法 将二面角转化为二面角的两个面的法向量的夹角。
如图，向量
n
，m
，
则二面角
l
的大小
＝〈m, n 〉
m, n
m
n
注意法向量的方向：同进 同出，二面角等于法向量 夹角的补角；一进一出， 二面角等于法向量夹角
L
rr
uv
若二面角 l 的大小为 (0 ,) 则 cos r r .
uv