高考数学专题复习：空间向量基本定理

高考数学专题复习：空间向量基本定理一、单选题1．如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为,,,OB AC M N 分别是,OA CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量,,OA OB OC 表示向量OG 为（ ）A ．111633OG OA OB OC =++ B ．122233OG OA OB OC =++C ．2233OG OA OB OC =++D ．112233OG OA OB OC =++2．已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线的长都等于a ，点,E F 分别是,BC AD 的中点，则AE AF ⋅的值为（ ）A ．2aB ．212aC ．214aD 2 3．已知空间向量a ，b 满足|a |=|b |=1，且a ，b 的夹角为3π，O 为空间直角坐标系的原点，点A ，B 满足OA =2a +b ，OB =3a -b ，则△OAB 的面积为（ ）A B C D ．1144．如图所示，空间四边形OABC 中，OB OC =，3AOB AOC π∠=∠=，则cos OA <，BC >的值是（ ）A ．0B ．12C D 5．设向量{},,a b c 是空间一个基底，则一定可以与向量p a b =+，q a b =-，构成空间的另一个基底的向量是（ ）A ．aB ．bC ．cD ．a 或b6．若,a b 是平面α内的两个向量，则（ ） A ．α内任一向量p a b λμ=+(λ，μ∈R) B ．若存在λ，μ∈R 使a b λμ+＝0，则λ＝μ＝0C ．若,a b 不共线，则空间任一向量p a b λμ=+ (λ，μ∈R)D ．若,a b 不共线，则α内任一向量p a b λμ=+ (λ，μ∈R)7．已知()cos ,1,sin a αα=，()sin ,1,cos b αα=，则向量a b +与a b -的夹角是（ ） A ．90° B ．60° C ．45°D ．30°8．若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则“312123a a ab b b ==”是“a //b ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件9．如图，在三棱锥P ABC -中，PA a =，PB b =，PC c =，D 、E 分别为棱PA 、BC 的中点，则DE =（ ）A ．111222a b c --B ．111222a b c --+C ．111222a b c +-D ．111222a b c -++10．已知A ，B ，C ，D ，E 是空间中的五个点，其中点A ，B ，C 不共线，则“存在实数x ，y ，使得DE xAB yAC =+是“//DE 平面ABC ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件11．已知在四棱柱ABCD A B C D ''''-中，四边形ABCD 为平行四边形，若32AC aAB bBC cCC =+'+'，则abc =（ ）A ．12B ．13C ．16D ．5612．在三棱锥O ABC -中，,,,2OA a OB b OC c AM MO ====，N 为BC 中点，则MN =（ ） A ．121232a b c -+ B ．111322a b c -++C ．111222a b c +- D ．121332a b c +-二、填空题13．在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，O 为矩形ABCD 外接圆的圆心.若OP xAB yAD zAP =++，则x y z +-=________.14．在长方体1111ABCD A BC D -中，M 为11AC 与11D B 的交点，设AB a =，AD b =，1AA c =，则向量AM =____________（用a ，b ，c 表示）.15．已知324(0)a m n p a =--≠，(1)82b x m n y p =+++，且m ､n ､p 不共面，若//a b ，则x y +=________.16．如图所示，在正方体1111ABCD A BC D -中，点F 是侧面11CDD C 的中心，若1AF xAD yAB zAA =++，求x y z -+=________．三、解答题17．如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点．（1）求EF BA ⋅； （2）求EG 的长．18．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，设1,,AB a AD b AA c ===，E ，F 分别是AD 1，BD 的中点．（1）用向量,,a b c 表示1D B ，EF ；（2）若1D F xa yb zc =++，求实数x ，y ，z 的值．19．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足111333OM OA OB OC =++.（1）判断MA ，MB ，MC 三个向量是否共面； （2）判断点M 是否在平面ABC 内.20．如图，在三棱锥A BCD -中，E 是CD 的中点，点F 在AE 上，且2EF FA =．设BC a =，BD b =，BA c =，求直线AE ，BF 的方向向量．21．如图，在空间平移ABC 到A B C '''，连接对应顶点，设AA a '=，AB b =，AC c =，M 是BC '的中点，N 是B C ''的中点，用基底{},,a b c 表示向量AM ，AN ．22．在平行六面体1111ABCD A BC D -中，4AB =，4=AD ，15AA =，60DAB ∠=︒，160BAA ∠=︒，160DAA ∠=︒，M ，N 分别为11D C ，11C B 的中点.（1）{},,a b c 构成空间的一个基底，用它们表示MN ，1AC ，设AB a =，AD b =，1AA c =. （2）求1AC 与MN 的夹角.参考答案1．A 【分析】结合空间向量的加法、减法和数乘运算，把向量OG 逐步向基底靠拢，再结合点的位置关系可得答案. 【详解】221333OG OM MG OM MN ON OM =+=+=+.因为,M N 分别为,OA CB 的中点， 所以()11,,22OM OA ON OB OC ==+所以()1111136633OG OB OC OA OA OB OC =++=++. 故选：A. 2．C 【分析】由题意可知，空间四边形ABCD 相邻两边的夹角都为60︒，所以把,,AB AC AD 看成空间向量的基底，将,AE AF 用基底表示化简可得答案 【详解】 11()22AB AC AE AF AD ⋅=+⋅ 1()4AB AD AC AD =⋅+⋅ 22211(cos 60cos 60)44a a a ︒︒=+= 故选：C 3．B 【分析】求出||OA 和||OB ，cos ∠AOB 和sin ∠AOB ，根据三角形的面积公式可求出结果. 【详解】|OA 2(2)a b +=224||||4a b a b ++⋅=|OB |222(3)96a b a a b b =-=-⋅+=则cos ∠AOB=·||||OAOB OA OB =226||||7a b a b -+⋅1611127-+⨯⨯==1114， 从而有sin ∠AOB =，∴△OAB 的面积S 1||||sin 2OA OB AOB =∠=12，故选：B ． 4． A 【分析】利用OB OC =，以及两个向量的数量积的定义求出cos OA <，BC >的值即可. 【详解】 OB OC =，∴1··()?··cos?cos?()0332OA BC OA OC OB OAOC OAOB OA OC OA OB OA OC OB ππ=-=-=-=-=cos OA ∴<，0BC >=，故选： A 5．C 【分析】判断哪个与,p q 不共面即可得． 【详解】由题意和空间向量的共面定理， 结合()()2p q a b a b a +=++-=， 得a 与,p q 是共面向量， 同理b 与,p q 是共面向量，所以a 与b 不能与,p q 构成空间的一个基底； 又c 与a 和b 不共面，所以c 与,p q 构成空间的一个基底． 故选：C ． 6．D 【分析】根据空间向量共面定理判断． 【详解】当a 与b 共线时，A 项不正确；当a 与b 是相反向量，λ＝μ≠0时，a b λμ+＝0，故B 项不正确；若a 与b 不共线，则与a 、b 共面的任意向量可以用a ，b 表示，对空间向量则不一定， 故C 项不正确，D 项正确． 故选：D ． 7．A 【分析】先利用向量坐标计算模长，再化简计算数量积()()0a b a b +⋅-=，即得夹角为90°． 【详解】依题意，()cos ,1,sin a αα=，()sin ,1,cos b αα=，则2222cos 1sin 2a αα=++=，2222sin 1cos 2b αα=++=， 所以()()2222220a b a b a b a b +⋅-=-=-=-=， 所以()()a b a b +⊥-，即向量a b +与a b -的夹角是90°． 故选：A. 8．A 【分析】结合空间向量共线定理，直接利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】 解析：设312123a a a kb b b ===，则a =k b ，即a //b ，即“312123a a ab b b ==”可推出“a //b ”；又若b ＝0时，b ＝(0，0，0)，虽有a //b 成立，但条件312123a a ab b b ==显然不成立，所以“a //b ”推不出“312123a a a b b b ==”，故“312123a a ab b b ==”是“a //b ”充分不必要条件. 故选：A ． 9．D 【分析】连接PE ，利用空间向量的加法和减法法则可将DE 用a 、b 、c 加以表示. 【详解】连接PE ，如下图所示：()11112222PE PB BE PB BC PB PC PB PB PC =+=+=+-=+， 因此，111111222222DE PE PD PB PC PA a b c =-=+-=-++. 故选：D. 10．B 【分析】利用存在实数x ，y ，使得DE xAB yAC =+⇔//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC ，结合充分必要条件的定义即可求解. 【详解】若//DE 平面ABC ，则,,DE AB AC 共面，故存在实数x ，y ，使得DE xAB yAC =+，所以必要性成立；若存在实数x ，y ，使得DE xAB yAC =+，则,,DE AB AC 共面，则//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC ，所以充分性不成立；所以 “存在实数x ，y ，使得DE xAB yAC =+是“//DE 平面ABC ”的必要不充分条件， 故选：B【点睛】关键点点睛：本题考查空间向量共面的问题，理清存在实数x ，y ，使得DE xAB yAC =+⇔//DE 平面ABC 或DE ⊂平面ABC 是解题的关键，属于基础题.11．C 【分析】由题意可得32AB BC CC aAB bBC cCC ''++=++，则(31)(21)(1)0a AB b BC c CC '-+-+-=，而,,AB BC CC '为空间不共面的三个向量，所以312110a b c -=-=-=，从而可求得答案 【详解】据题意，得AC AB BC CC ''=++，32AC aAB bBC cCC =+'+'， 所以32AB BC CC aAB bBC cCC ''++=++， 即(31)(21)(1)0a AB b BC c CC '-+-+-=. 又因为,,AB BC CC '为空间不共面的三个向量， 所以312110a b c -=-=-=，所以11,,132a b c ===，所以16abc. 故选：C. 12．B 【分析】 连接ON ，得()12ON OB OC =+， 13OM OA =，所以()12MN MO ON OM OB OC =+=-++可得答案. 【详解】连接ON ，所以()()1122ON OB OC b c =+=+， 因为2AM MO =，所以1133OM OA a ==， 所以()11112322MN MO ON OM OB OC a b c =+=-++=-++. 故选：B.13．2-【分析】 利用空间向量基本定理将OP 用,,AB AD AP 出来，从而可求出,,x y z 的值，进而可得答案【详解】如图，由题意可得111()222OP AP AO AP AB AD AB AD AP xAB y AD z AP =-=-+=--+=++， 则12x =-，12y，1z =，故2x y z ++=-. 故答案为：2- 14．1122a b c ++ 【分析】作出图形，可知点M 为11AC 的中点，利用空间向量的加法法则可得出AM 关于a 、b 、c 的表达式.【详解】如下图所示，由于四边形1111D C B A 为矩形，M 为11AC 与11D B 的交点，则M 为11AC 的中点，由题可得()1111111111111112222AM AA A M AA AC AA A B A D AB AD AA =+=+=++=++1122a b c =++. 故答案为：1122a b c ++. 15．5-【分析】根据//a b ，且m ､n ､p 不共面可得，存在λ使得b a λ=，根据向量相等可列出方程解出,x y .【详解】解：//a b 且0a ≠，a b λ∴=，即(1)82324x m n y p m n p λλλ+++=--，又m ､n ､p 不共面，182324x y +∴==--， 则13x =-，8y =，5x y +=-.故答案为：5-【点睛】空间向量中的有关定理（1）共线向量定理：空间两个向量a 与(0)b b ≠共线的充要条件是存在唯一的实数λ，使得λa b ； （2）共面向量定理：共面向量定理的向量表达式：p xa yb =+，其中,,,x y R a b ∈为不共线向量； （3）空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在唯一的有序实数组{},,x y z ，使得{},,,p xa yb zc a b c =++叫做空间的一个基底. 16．1【分析】利用空间向量的加减法运算用1,,AD AB AA 来表示AF ，即得结果.【详解】()()11111112222AF AD DF AD DD DC AD AB AD AB AA AA =+=++=++=++， 故1x =，12y =，12z =，则1x y z -+=． 故答案为：1.17．（1）14；（2 【分析】设AB =a ，AC =b ，AD =c ，（1）将EF 和BA 化为,,a b c 可求出结果；（2）将EG 化为12a -+12b +12c 可求出结果. 【详解】设AB =a ，AC =b ，AD =c ，则||||||1a b c ===，,,,60a b b c c a <>=<>=<>=，a b b c c a ⋅=⋅=⋅=⨯⨯=111122，1111122222EF BD AD AB c a ==-=-，BA AB a =-=- （1）EF BA ⋅=21111111()()2222224c a a a c a -⋅-=-⋅+=-⨯+=， （2）EG =EB +BC +CG=12AB +(AC -AB )+12(AD -AC ) =12AB -+12AC +12AD =12a -+12b +12c ， ∴22111||()222EG a b c =-++2221(222)4a b c a b a c b c =++-⋅-⋅+⋅ 11(111111)42=++--+=，所以2||2EG =，即EG 18．（1）1D B a b c =--，1()2EF a c =-；（2）11,,122x y z ==-=-． 【分析】利用向量的加减法的平行四边形和三角形法则，结合平行六面体的性质求解即可【详解】解：（1）111D B D D DB AA AB AD a b c =+=-+-=--,1111111()()()22222EF EA AF D A AC AA AD AB AD a c =+=+=-+++=- （2）1111()2D F D D D B =+ 111()2AA D B =-+ 1()2c a b c =-+-- 1122a b c =-- 所以11,,122x y z ==-=- 19．（1）,,MA MB MC 共面；（2）点M 在平面ABC 内.【分析】（1）由向量的线性关系可得()()OA OM OM OB OM OC -=-+-，由向量减法有MA MB MC =--，由空间向量共面定理，知,,MA MB MC 共面. （2）由（1）结论，有四点共面，即可知M 在平面ABC 内.【详解】（1）由题意，知：3OM OA OB OC =++，∴()()OA OM OM OB OM OC -=-+-，即MA BM CM MB MC =+=--， 故,,MA MB MC 共面得证.（2）由（1）知：,,MA MB MC 共面且过同一点M .所以,,,M A B C 四点共面，从而点M 在平面ABC 内.20．直线AE 的方向向量22a b c AE +-=，直线BF 的方向向量46a b c BF ++=. 【分析】由已知线段所表示的空间向量，应用向量加减运算的几何意义求得AD 、AC ，即可求AE ，再由2EF FA =知3AE AF =，即可求BF . 【详解】在△BAD 中，BD b =，BA c =，则AD BD BA b c =-=-， 在△BAC 中，BC a =，BA c =，则AC BC BA a c =-=-， ∵在△DAC 中，E 是CD 的中点，∴222AD AC a b c AE ++-==，而2EF FA =，即236AE a b c AF +-==， ∴在△BAF 中，2466a b c a b c BF BA AF c +-++=+=+=. ∴直线AE ，BF 的方向向量分别为22a b c AE +-=、46a b c BF ++=. 21．()12AM a b c =++，()12A a b c N =++. 【分析】 利用空间向量的加法、剪发和数乘运算法则求解即可.【详解】AM AB BM =+()12AB BB BC '=++ ()12AB AA AC AB ⎡⎤'=++-⎣⎦ 111222AB AA AC '=++ ()12a b c =++. 12AN AB BB B C '''=++ 12AB AA BC '=++ ()12AB AA AC AB '=++- 1122AB AA AC '=++ ()12a b c =++. 22．（1）1122MN a b =-，++AC a b c =；（2）2π 【分析】 （1）运用空间向量的加减法可表示11111111++22MN MC C N D C C B ==，1++AC AB BC CC =，代入可得答案； （2）根据（1）的结论，利用空间向量的数量积运算求得0MN AC ⋅=，由空间向量垂直的条件可得答案.【详解】（1）因为111111111111++222222MN MC C N D C C B AB AD a b ===-=-，1++++AC AB BC CC a b c ==， 所以1122MN a b =-，++AC a b c =； （2）因为()11++22MN AC a b a b c ⎛⎫⋅=-⋅= ⎪⎝⎭ 2211111++2222212a a a b a c c b b b =--⋅⋅⋅-⋅ 22111111114+44+4544222222114422225=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯--⨯⨯⨯-⨯⨯⨯⨯ 0=，所以MN AC ⊥，所以1AC 与MN 的夹角为2π.。